معرفی

1862-1943 ) در پایان قرن CIC.

– – اندازه گرفتن.

طرح ساخت هندسه

مفاهیم اصلی تعریف نشده فهرست شده است.

ویژگی های مفاهیم اساسی - بدیهیات - فرمول بندی شده است.

سایر مفاهیم هندسی تعریف شده است.

خصوصیات مفاهیم هندسی - قضایا - صورت بندی و اثبات می شود.

بدیهیات استریومتری. اثرات AXIOM

مفاهیم اساسی استریومتری: نقطه، خط، صفحه، فاصله.

تعریف: بدیهیات جمله ای است که نیاز به اثبات ندارد .

خصوصیات اساسی نقاط، خطوط و سطوح در مورد موقعیت نسبی آنها در بدیهیات بیان می شود. کل سیستم بدیهیات استریومتری شامل تعدادی بدیهیات است که از درس پلان سنجی برای ما شناخته شده است و بدیهیاتی درباره موقعیت نسبی نقاط، خطوط و سطوح در فضا.

بدیهیات استریومتری

من. بدیهیات وابستگی

من 1. حداقل یک خط مستقیم و حداقل یک صفحه وجود دارد. هر خط مستقیم و هر صفحه مجموعه ای غیر خالی از نقاط است که با فضا منطبق نیست.

تعیین:

آ ب پ ت - نکته ها؛

الف، ب، ج - سر راست؛

a، b، g - سطح؛

A Î آ– نقطه A متعلق به خط a است، خط a از نقطه A عبور می کند.

E Ï آ –نقطه E به خط a تعلق ندارد.

C Î آ– نقطه C متعلق به صفحه a است، صفحه a از نقطه C می گذرد.

E Ï آ –نقطه E به صفحه a تعلق ندارد.

خروجی: نقاطی هستند که متعلق به یک خط مستقیم هستند و متعلق به یک خط مستقیم نیستند، نقاطی هستند که متعلق به یک صفحه هستند و متعلق به یک صفحه نیستند.

من 2. یک و تنها یک خط مستقیم از دو نقطه مختلف عبور می کند.

تعیین:

یک Ì آ –صفحه a از خط مستقیم a عبور می کند.

بودن آ–صفحه a از خط b عبور نمی کند.

من 4. یک و تنها یک هواپیما از سه نقطه عبور می کند که به یک خط مستقیم تعلق ندارند.

تعیین: a = ABC

خروجی: هواپیماهایی که سه نقطه مشترک متفاوت دارند با هم منطبق هستند.

من 5. اگر دو صفحه مختلف یک نقطه مشترک داشته باشند، محل تقاطع آنها یک خط مستقیم است.

تعیین: M Î صبحÎ b، a ¹ b، aìü b = l.

II. بدیهیات فاصله

II 1. برای هر دو امتیاز آو Vیک کمیت غیر منفی وجود دارد که به آن فاصله از آقبل از V... فاصله ABبرابر صفر است اگر و فقط اگر نقاط آو Vهمخوانی داشتن.

تعیین: AB ³ 0.

II 2. فاصله از آقبل از Vبرابر است با فاصله از Vقبل از آ.

تعیین: AB = BA.

II 3. برای هر سه امتیاز آ, V, بافاصله از آقبل از بابیش از مجموع فواصل از آقبل از Vو از Vقبل از با.

تعیین: £ AS AB + BC.

III. بدیهیات را ترتیب دهید

III 1. هر نقطه ای Oسر راست آرمجموعه همه غیر نقطه ای را تقسیم می کند Oنقاط یک خط مستقیم آربه دو مجموعه غیر خالی به طوری که برای هر دو نقطه آو Vمتعلق به مجموعه های مختلف، نقطه Oبین نقاط قرار دارد آو V; اگر امتیاز آو Vمتعلق به همان مجموعه است، سپس یکی از آنها بین دیگری و نقطه قرار می گیرد O.

III 3. اگر نقطه بابین نقاط قرار دارد آو V، سپس نقاط آ, V, بامتعلق به یک خط مستقیم

III 4. هر مستقیم آردراز کشیدن در هواپیما آ آر آر.

IV. اصل موضوع تحرک هواپیما

اگر امتیاز آ, V, الف 1, در 1در هواپیما دراز بکش آ، و AB> 0و AB= A 1 B 1، سپس دو و فقط دو جابجایی از این صفحه وجود دارد که هر کدام نشان دهنده یک نقطه است آبه نقطه الف 1اما اشاره کنید Vبه نقطه در 1.

V. بدیهیات موازی

از طریق نقطه آحداکثر از یک خط مستقیم به موازات یک خط مستقیم معین عبور می کند آر.

اثرات AXIOM

نتیجه 1: از طریق یک خط مستقیم و نقطه ای که متعلق به آن نیست، یک و تنها یک صفحه را می توان ترسیم کرد.

داده شده: M, a, M Ï آ

ثابت كردن:

2. .

اثبات:

1. روی خط مستقیم یک نقطه A و B را انتخاب کنید (اصول I 1 ): آÎ الف، بÎ آ.

): a = MAB.

از آنجایی که نقاط A، B متعلق به صفحه a هستند، پس خط مستقیم a متعلق به صفحه a است (اصول I 3 ): آÌ آ.

در نتیجه، صفحه ای وجود دارد که از یک خط مستقیم a عبور می کند و نقطه ای M که به آن تعلق ندارد:.

2. صفحه a شامل خط مستقیم a و نقطه M است، یعنی از نقاط M، A، B می گذرد. ​​از سه نقطه که متعلق به یک خط مستقیم نیستند، تنها صفحه می گذردمن 4 ).

نتیجه 2: از طریق دو خط متقاطع می توان یک و تنها یک صفحه را رسم کرد.

داده شده: a، b، a ´ ب

ثابت كردن:

2. .

اثبات:

1. نقطه تلاقی خطوط a و b را تعیین می کنیم.

اجازه دهید نقطه A را در خط a، نقطه B را در خط b انتخاب کنیم (اصول I 1 ): آÎ الف، بÎ ب

صفحه a از نقاط M، A، B می گذرد (اصول I 4 ): a = MAB.

از آنجایی که نقاط A، M متعلق به صفحه a هستند، پس خط مستقیم a متعلق به صفحه a است (اصول I 3 ): AM = aÌ آ.

از آنجایی که نقاط B، M متعلق به صفحه a هستند، پس خط مستقیم b متعلق به صفحه a است (اصول I 3 ): BM = b Ì آ.

بنابراین، صفحه a وجود دارد که از دو خط متقاطع a و b عبور می کند:.

2. صفحه a شامل خطوط a و b است، یعنی از نقاط M، A، B می گذرد. ​​از سه نقطه که متعلق به یک خط مستقیم نیستند، تنها صفحه می گذرد (اصول I 4). ).

تعریف: خطوط موازی نامیده می شوند که در یک صفحه قرار داشته باشند و نقطه مشترک یا منطبق نداشته باشند.

نتیجه 3: یک و تنها یک صفحه را می توان از طریق دو خط موازی رسم کرد.

داده شده: الف، ب،

ثابت كردن:

2. .

اثبات:

1. وجود صفحه a که از دو خط موازی a و b عبور می کند از تعریف خطوط موازی به دست می آید.

2. فرض کنید صفحه دیگری حاوی خطوط a و b وجود دارد. اجازه دهید نقطه A را در خط a، نقاط B و M را در خط b انتخاب کنیم (اصول I 1 ): آÎ الف، بÎ ب، مÎ ب دریافتیم که دو صفحه از نقاط A، B، M عبور می کنند که با اصل موضوع در تضاد استمن 4. بنابراین، این فرض درست نیست، صفحه a–تنها

تمرینات:

ج) ;

2. مطابق تصویر، نام:

الف) صفحاتی که خطوط مستقیم PE، MK، DB، AB، EC در آن قرار دارند.

ب) نقطه تلاقی خط مستقیم DK با صفحه ABC، خط مستقیم CE با صفحه ADB.

ج) نقاطی که در صفحات ADB و DVS قرار دارند.

د) خطوط مستقیمی که در امتداد آن صفحات ABC و DCB، ABD و CDA، PDC و ABC قطع می شوند.

3. مطابق شکل، نام:

الف) نقاطی که در هواپیماهای DСС 1 و ВQС قرار دارند.

ب) صفحاتی که خط مستقیم AA 1 در آنها قرار دارد.

ج) نقاط تلاقی خط مستقیم MK با صفحه ABD، خطوط مستقیم DK و BP با صفحه A 1 B 1 C 1.

د) خطوط مستقیمی که صفحات AA 1 B 1 و ACD ، PB 1 C 1 و ABC در امتداد آنها قطع می شوند.

ه) نقاط تقاطع خطوط مستقیم MK و DC، B 1 C 1 و BP، C 1 M و DC.

3. موقعیت نسبی دو خطی در فضا

علامت عبور از خط

برنج. 1. شکل 2. شکل 3.

تعریف: صفحات موازی هستند اگر نقطه مشترکی نداشته باشند یا منطبق باشند.

چهار وجهی. متوازیالسطوح

در مبحث اجسام هندسی، سطوح و حجم آنها به بررسی چند وجهی – اجرام هندسی می پردازیم که سطوح آنها از چندضلعی تشکیل شده است. برای نشان دادن مفاهیم مرتبط با آرایش متقابل خطوط و صفحات در فضا، اجازه دهید با دو چند وجهی آشنا شویم - چهار وجهی و موازی.

یک مثلث دلخواه را در نظر بگیرید ABC و اشاره کنید دی در صفحه این مثلث دراز نکشید. با اتصال نقطه دی پاره خط با رئوس مثلث ABC ، مثلث می گیریم DAB , DVS ,DCA .

سطحی که از چهار مثلث تشکیل شده است ABC , DAB , DVS ,DCA نامیده میشود چهار وجهیو نشان داد DABS .

مثلث هایی که چهار وجهی را تشکیل می دهند نامیده می شوند وجوه، طرفین آنها هستند دندهو رئوس هستند رئوس چهار وجهی... چهار وجهی چهار وجه، شش لبه و چهار رأس دارد.

دو یال چهار وجهی که رئوس مشترکی ندارند نامیده می شوند مقابل... در چهار وجهی DABS لبه ها مخالف هستند آگهی و آفتاب , VD و مانند , سی دی و AB ... اغلب یکی از چهره های چهار وجهی نامیده می شود اساسو سه نفر دیگر - صورت های جانبی.

دو متوازی الاضلاع مساوی را در نظر بگیرید آ ب پ ت و A 1 B 1 C 1 D 1 در صفحات موازی قرار گرفته است به طوری که خط پاره ها AA 1 , BB 1 , اس اس 1 و DD 1 موازی هستند. چهار ضلعی ABB 1 A 1 , VSS 1 در 1 , CDD 1 С 1 ,DАА 1 D 1 متوازی الاضلاع نیز هستند، زیرا هر یک از آنها دارای اضلاع متضاد موازی زوجی هستند.

سطحی که از دو متوازی الاضلاع مساوی تشکیل شده است آ ب پ ت و A 1 B 1 C 1 D 1 و چهار متوازی الاضلاع ABB 1 A 1 , VSS 1 در 1 , CDD 1 С 1 ,DА А 1 D 1 ، متوازی الاضلاع نامیده می شود و نشان داده می شود ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

متوازی الاضلاع تشکیل دهنده متوازی الاضلاع نامیده می شود وجوه، طرفین آنها هستند دنده، و رئوس متوازی الاضلاع هستند رئوس متوازی الاضلاع... جعبه دارای شش وجه، دوازده لبه و هشت رأس است. دو وجه از یک متوازی الاضلاع که دارای یک یال مشترک هستند نامیده می شوند مجاورو نداشتن لبه های مشترک - مقابل... دو رأس که به یک صورت تعلق ندارند نامیده می شوند مقابل... قطعه ای که رئوس مقابل را به هم متصل می کند نامیده می شود توسط مورب متوازی الاضلاع... هر متوازی الاضلاع چهار قطر دارد.

مورب های یک متوازی الاضلاع ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 بخش ها هستند AC 1 , VD 1 , CA 1 , DV 1 .

غالباً دو چهره متضاد متمایز و نامیده می شوند زمینهو بقیه چهره ها - وجوه جانبی متوازی الاضلاع... لبه های متوازی الاضلاع که به پایه ها تعلق ندارند نامیده می شوند دنده های جانبی.

اگر به عنوان پایه های متوازی الاضلاع ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 چهره ها را انتخاب کنید آ ب پ ت و A 1 B 1 C 1 D 1 ، سپس وجوه جانبی متوازی الاضلاع خواهند بود ABB 1 A 1 , VSS 1 در 1 , CDD 1 С 1 ,DА А 1 D 1 ، و لبه های جانبی بخش ها AA 1 , BB 1 , اس اس 1 و DD 1 .

تمرینات:

1. در چهار وجهی DABS، نقاط M، N، Q، P هستند وسط بخش های BD، DC، AC، AB. اگر AD = 12 cm، ВС = 14 cm، محیط چهار ضلعی МNQР را بیابید.

زاویه بین مستقیم

تعریف: زاویه بین خطوط غیر موازی تیو NSکوچکتر از زوایای مجاور تشکیل شده از متقاطع خطوط مستقیم نامیده می شود تی"و NS"، جایی که تی"|| تی,NS"|| NS.

, , .

اظهار نظر: زاویه بین خطوط موازی صفر در نظر گرفته می شود.

تعریف: دو خط مستقیم در فضا اگر زاویه بین آنها باشد عمود نامیده می شوند .

تعیین:

خطوط عمود بر هم می توانند قطع شوند و می توان از آنها عبور کرد.

وظیفه: به یک مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 داده می شود.

پیدا کردن: ; ; .

راه حل:

بر اساس توازی دو خط:

و بنابراین. .

. ، زیرا CDD 1 C 1 یک مربع است.

بر اساس خطوط عبور:

از این رو، · .

، از این رو، .

خروجی:

از مرکز O یک دایره با شعاع 3 dm، OV عمود بر صفحه آن بازیابی شد. یک مماس به دایره در نقطه A کشیده می شود و روی این مماس یک قطعه AC برابر با 2 dm از نقطه مماس جدا می شود. اگر طول عمود OB 6 dm باشد طول BC مایل را بیابید.

5. از راس D مستطیل ABCD که اضلاع آن AB = 9 سانتی متر و BC = 8 سانتی متر است، عمود DF = 12 سانتی متر به صفحه مستطیل باز می گردد. فاصله نقطه F تا نقطه را پیدا کنید. رئوس مستطیل

8. زاویه دوتایی. زاویه دوتایی خطی

III 4.هر مستقیم آر دراز کشیدن در هواپیما آ ، مجموعه نقاط این صفحه را که به آن تعلق ندارند به دو مجموعه غیر خالی تقسیم می کند به طوری که هر دو نقطه متعلق به مجموعه های مختلف با یک خط مستقیم از هم جدا شوند. آر ; هر دو نقطه متعلق به یک مجموعه با یک خط مستقیم از هم جدا نمی شوند آر .

مجموعه هایی که خط مستقیم به آنها آرمجموعه ای از نقاط هواپیما را که به آن تعلق ندارند تقسیم می کند آ،نیم صفحه های باز با مرز نامیده می شوند آر.

ضلع BC مستطیل ABCD به عنوان ضلع مثلث BCF عمل می کند و راس F بر روی DC قرار می گیرد. زاویه خطی زاویه دو وجهی را که توسط صفحات ABC و BCF تشکیل شده است نام ببرید (شکل 1).

برنج. 1. شکل 2.

تصویری از ذوزنقه متساوی الساقین ABCD و مثلث ABM داده شده است. قطعه MC عمود بر صفحه ABC است. زاویه خطی زاویه دو وجهی را که توسط صفحات ABC و BCM تشکیل شده است طوری بسازید که یکی از اضلاع آن از نقطه M عبور کند (شکل 2).

3. در سطح یک زاویه دو وجهی برابر با 45 درجه، نقطه ای به فاصله 4 سانتی متر از لبه داده می شود، فاصله این نقطه تا وجه دیگر را پیدا کنید.

چند ضلعی توسط قطرهایی که از یک راس کشیده شده اند به تعداد محدودی مثلث تقسیم می شود که برای هر یک از آنها قضیه صادق است. بنابراین، این قضیه برای مجموع مساحت تمام مثلث هایی که صفحات آنها با صفحه برآمده یک زاویه را تشکیل می دهند نیز صادق خواهد بود.

اظهار نظر: قضیه ثابت شده برای هر شکل صفحه ای که توسط یک منحنی بسته محدود شده است معتبر است.

تمرینات:

1. مساحت مثلثی را بیابید که صفحه آن متمایل به صفحه برآمده با زاویه باشد در صورتی که برآمدگی آن مثلثی منتظم با ضلع a باشد.

2. مساحت مثلثی را که صفحه آن به صفحه برآمدگی متمایل است، در صورتی که برآمدگی آن مثلث متساوی الساقین با ضلع 10 سانتی متر و قاعده 12 سانتی متر باشد، بیابید.

3. مساحت مثلثی را که صفحه آن به صفحه برآمده متمایل است، در صورتی که برآمدگی آن مثلثی با اضلاع 9، 10 و 17 سانتی متر باشد، بیابید.

4. مساحت ذوزنقه ای را محاسبه کنید که صفحه آن متمایل به صفحه برآمده با زاویه است، در صورتی که برآمدگی آن ذوزنقه ای متساوی الساقین باشد که قاعده بزرگتر آن 44 سانتی متر، ضلع آن 17 سانتی متر و قطر 39 سانتی متر است.

5. مساحت برآمدگی یک شش ضلعی منتظم با ضلع 8 سانتی متر را محاسبه کنید که صفحه آن متمایل به صفحه برآمده با زاویه است.

6. لوزی با ضلع 12 سانتی متر و زاویه تند با این صفحه زاویه تشکیل می دهد. مساحت پیش بینی شده لوزی را روی این صفحه محاسبه کنید.

7. لوزی با ضلع 20 سانتی متر و قطر 32 سانتی متر با این صفحه زاویه می سازد. مساحت پیش بینی شده لوزی را روی این صفحه محاسبه کنید.

8. برآمدگی سایبان بر روی صفحه افقی مستطیل با اضلاع و. اگر وجه های جانبی مستطیل های مساوی و متمایل به صفحه افقی در یک زاویه باشد و قسمت میانی سایبان مربعی موازی با صفحه پیش بینی شده باشد، مساحت سایبان را پیدا کنید.

11. تمرینات با موضوع "خطوط و صفحات در فضا":

اضلاع مثلث 20 سانتيمتر 65 سانتيمتر 75 سانتيمتر است از بالاي زاويه بزرگتر مثلث عمودي معادل 60 سانتيمتر به صفحه آن رسم مي شود فاصله انتهاي عمود تا بزرگتر را بيابيد. ضلع مثلث

2. از نقطه ای به فاصله سانتی متر از صفحه، دو زاویه مایل رسم می شود که زوایای مساوی با صفحه و یک زاویه قائمه با یکدیگر تشکیل می دهند. فاصله بین نقاط تقاطع مایل با صفحه را پیدا کنید.

3. ضلع مثلث منتظم 12 سانتی متر است نقطه M طوری انتخاب می شود که پاره های متصل کننده نقطه M با تمام رئوس مثلث با صفحه آن زاویه تشکیل دهند. فاصله نقطه M تا رئوس و اضلاع مثلث را بیابید.

4. صفحه ای از ضلع مربع با زاویه ای نسبت به قطر مربع کشیده می شود. زوایایی را که دو ضلع مربع به صفحه متمایل هستند را پیدا کنید.

5. ساق متساوی الساقین راست گوشهبه صفحه a متمایل است که از هیپوتنوس با زاویه عبور می کند. ثابت کنید که زاویه بین صفحه a و صفحه مثلث است.

6. زاویه دو وجهی بین صفحات مثلث ABC و DBC برابر است. اگر AB = AC = 5 سانتی متر، BC = 6 سانتی متر، BD = DC = سانتی متر، AD را پیدا کنید.

سوالات کنترلی با موضوع "خطوط و هواپیما در فضا"

1. مفاهیم اساسی استریومتری را فهرست کنید. بدیهیات استریومتری را فرموله کنید.

2. نتایج بدیهیات را ثابت کنید.

3. موقعیت نسبی دو خط مستقیم در فضا چگونه است؟ تعاریفی از خطوط متقاطع، موازی و متقاطع ارائه دهید.

4. علامت خطوط متقاطع را ثابت کنید.

5. موقعیت نسبی خط و صفحه چگونه است؟ تعاریفی از خطوط متقاطع، موازی و صفحات ارائه دهید.

6. ملاک توازی خط مستقیم و صفحه را ثابت کنید.

7. موقعیت نسبی دو صفحه چگونه است؟

8-تعریف صفحات موازی را بیان کنید. علامت موازی بودن دو صفحه را ثابت کنید. قضایایی را در صفحات موازی فرموله کنید.

9. تعریف زاویه بین خطوط مستقیم را بیان کنید.

10. علامت عمود بودن یک خط و یک صفحه را ثابت کنید.

11. تعاریفی از قاعده عمود، پایه مایل، برآمدگی مایل بر روی صفحه ارائه دهید. ویژگی های عمود و مایل را که از یک نقطه بر روی یک صفحه پایین آمده است، فرموله کنید.

12. زاویه بین خط مستقیم و صفحه را تعریف کنید.

13. قضیه سه عمود بر هم را ثابت کنید.

14. تعریف یک زاویه دو وجهی، یک زاویه خطی از یک زاویه دو وجهی را ارائه دهید.

15. علامت عمود بودن دو صفحه را ثابت کنید.

16. تعریفی از فاصله بین دو نقطه مختلف ارائه دهید.

17- فاصله نقطه تا خط مستقیم را تعریف کنید.

18- فاصله نقطه تا صفحه را تعریف کنید.

19. فاصله بین خط مستقیم و صفحه موازی با آن را تعریف کنید.

20- فاصله بین صفحات موازی را تعریف کنید.

21. تعریفی از فاصله بین خطوط عبور ارائه دهید.

22-تعریف برآمدگی متعامد یک نقطه بر روی صفحه را بیان کنید.

23-تعریف برآمدگی متعامد شکل روی صفحه را بیان کنید.

24. خواص برآمدگی ها را روی صفحه فرمول بندی کنید.

25. یک قضیه در مورد مساحت طرح چندضلعی مسطح را فرموله و اثبات کنید.

معرفی

اولین ارائه علمی هندسه موجود در کار "آغازها" که توسط دانشمند یونانی باستان اقلیدس گردآوری شده است که در قرن سوم قبل از میلاد در شهر اسکندریه می زیسته است. این اقلیدس بود که اولین تلاش را برای ارائه بدیهیات هندسه انجام داد. برای اولین بار، سیستم علمی بدیهیات اقلیدس توسط دی. هیلبرت فرموله شد. 1862-1943 ) در پایان قرن CIC.

درس هندسه مدرسه از دو بخش پلان سنجی و استریومتری تشکیل شده است. در پلان سنجی، خواص اشکال هندسی در یک صفحه بررسی می شود.

استریومتری شاخه‌ای از هندسه است که به بررسی خواص شکل‌ها در فضا می‌پردازد.

کلمه "stereometry" از کلمه یونانی "stereos" گرفته شده است. – حجمی، فضایی و "مترو" – اندازه گرفتن.

اشیاء اطراف ما تصوری از اجسام هندسی مورد مطالعه در استریومتری ارائه می دهند. اجسام هندسی بر خلاف اجسام واقعی، اجسام خیالی هستند. با مطالعه خصوصیات اجسام هندسی، ایده ای از خواص هندسی اجسام واقعی به دست می آوریم و می توانیم از این ویژگی ها در عمل استفاده کنیم. هندسه، به ویژه استریومتری، به طور گسترده ای در ساخت و ساز، معماری، مهندسی مکانیک، ژئودزی و در بسیاری از زمینه های دیگر علم و فناوری استفاده می شود.

طرح ساخت هندسه

هدف: دستیابی به توانایی بیان صحیح، مداوم، منطقی افکار، وسعت بخشیدن به افق دانش آموزان، افزایش سطح فرهنگ ریاضی آنها، توسعه تفکر منطقی، ویژگی های شخصی دانش آموزان، توانایی نتیجه گیری و تعمیم.

تجهیزات:

• ارائه کامپیوتری پیوست 1.
• زمین بازی (2 قطعه) - جزوات . ضمیمه 2.

اپیگراف: "ریاضیات فقط یک بازی است که طبق قوانین ساده انجام می شود و از عناوین بی معنی استفاده می شود" .. ( گیلبرت)

پیشرفت رویداد

1. بخش مقدماتی - 3 دقیقه.

میزبان I."ریاضیات فقط یک بازی است که طبق قوانین ساده انجام می شود و از نمادهای بی معنی استفاده می شود." اینها سخنان ریاضیدان بزرگ آلمانی دیوید هیلبرت است ... امروز ما در حال بازی "نبرد دریایی!" ( در ادامه به معرفی تیم ها، اعضای هیئت داوران، احوالپرسی از سوی تیم ها می پردازند.)

2. ارتباط قواعد بازی - 2 دقیقه.

رهبر ІІ.به قوانین بازی گوش دهید. هدف اصلی غرق کردن کشتی های دشمن با ضربه مستقیم به هدف و در عین حال کسب حداکثر امتیاز ممکن است. هر تیم زمین بازی خود را دارد. (اسلاید) مختصات هر سلول فیلد با اعداد و حروف روسی مشخص شده است. لازم به ذکر است که تصاویر یکسان دو زمین روی میز تیم ها وجود دارد. هر یک از تیم ها از ابتدا کشتی های خود را آنطور که می خواست چیده بودند، اما مکان کشتی های دشمن برایش ناشناخته است. در هر زمین بازی "کشتی" وجود دارد: چهار عرشه، سه عرشه، دو عرشه و تک عرشه. دستورات به نوبت مختصات هر سلول در جدول را فراخوانی می کنند. اگر یکی از عرشه های کشتی زیر آن باشد، به تیم این فرصت داده می شود که به سوال مربوط به این سلول پاسخ دهد و یک امتیاز کسب کند.

پیشرو І. با پاسخ به سوال، تیم مستحق ضربه بعدی است. اگر تیمی هدف را از دست بدهد یا به سوال پاسخ اشتباه بدهد، حق شلیک بعدی به تیم دیگر تعلق می گیرد. اگر شلیک به سلولی اصابت کند که توسط هیچ کشتی دشمن اشغال نشده است، تیم پاسخ "پاس" را دریافت می کند. و تیراندازان در این مکان روی میدان شخص دیگری نقطه می گذارند.

رهبر ІІ. اگر هیچ کشتی در زمین یکی از تیم ها باقی نماند، بازی تمام شده تلقی می شود. تمام 10 عرشه کشتی ها نابود می شوند و تیمی که بیشترین امتیاز را داشته باشد برنده می شود.

من می خواهم توجه داشته باشم که ماموریت های مختلف با کشتی های مختلف مطابقت دارد. بنابراین، برای به دست آوردن امتیاز برای یک کشتی 4 عرشه، باید با انتخاب یکی از چهار مورد پیشنهادی، پاسخ صحیح را حدس بزنید، یک کشتی سه عرشه حاوی سوالات مربوط به تاریخچه ریاضیات، یک کشتی دو عرشه - مسائل منطقی، و با حل یک مثال می توانید برای کشتی تک عرشه امتیاز کسب کنید ... ( پیوست 3)

3. رسم سمت راست اولین ضربه - 5 دقیقه.

پیشرو І. قبل از شروع بازی، بیایید سمت راست اولین ضربه را بازی کنیم. هر تیم باید بیشترین تعداد پاسخ صحیح را در 1 دقیقه بدهد. برای هر پاسخ صحیح 1 امتیاز تعلق می گیرد. تیمی که بیشترین امتیاز را کسب کند، این فرصت را پیدا می کند که ابتدا بازی را شروع کند. اگر پاسخ برخی از سوالات را نمی دانید، پس پاسخ دهید: "بعدی!"

سوالات به تیم اول

1. نام تابعی که برابری f (-x) = - f (x) برای آن صادق است چیست؟ (فرد)
2. این کار از طریق دو نقطه قابل انجام است. این یک نمودار است تابع خطی... (سر راست)
3. کلمات "ریاضیات ذهن را مرتب می کند" متعلق به چه کسی است؟ (لومونوسوف)
4. cos در چه بخش هایی است؟ مثبت؟ (I, IV)
5. ریشه مکعب 64. (4)
6. دو نفر از آنها 2 ساعت شطرنج بازی کردند. هر کدام چقدر بازی کردند؟ (2 ساعت)
7. مثلثی با ضلع های 3، 4، 5 را چه می توان نامید؟ (مصری)
8. 2 را بر چه عددی تقسیم کنید تا عدد 4 بدست آید؟ (1/2)
9. یک صدم عدد. (%)
10. چه زاویه ای را توصیف خواهد کرد عقربه ساعتدر 2 ساعت؟ (60 درجه)
11. ذوزنقه در یونان باستان به چه معناست؟ (جدول)
12. علمی که به بررسی خواص اشکال در فضا می پردازد. (استریومتری)
13. نام مختصات اول نقطه. (اوکیسا)
14. یک کیلومتر چند برابر یک میلی متر بیشتر است؟ (1 میلیون)
15. کسری کمتر از یک (درست)

سوالات به تیم دوم

1. نام تابعی که برابری f (-x) = f (x) برای آن صادق است چیست؟ (زوج)
2. کدام ریاضیدان باستانی اولین قهرمان المپیک در مبارزه با مشت بود؟ (فیثاغورث)
3. اسم مثلثی با دو ضلع مساوی چیست؟ (متساوی الساقین)
4. خروس که روی یک پا ایستاده 5 کیلوگرم وزن دارد. وزن او روی 2 پا چقدر خواهد بود؟ (5 کیلوگرم)
5. آیا قطرهای مستطیل بر هم عمود هستند؟ (نه)
6. 2 مربع 4، 3 مربع 9. مربع زاویه چیست؟ (90 درجه)
7. علمی که به بررسی خواص شکل ها در یک صفحه می پردازد. (طرح سنجی)
8. بیانیه ای که بدون مدرک پذیرفته شده است. (اصل)
9. با ضرب 2 ده در 3 ده چند ده به دست می آید؟ (60 دوجین)
10. مثلث متساوی الساقین و درجه چه مشترکاتی دارند؟ (پایه)
11. عددی که بر هر عددی بدون باقی مانده بخش پذیر است چیست؟ (0)
12. پاره خطی که هر 2 نقطه از یک دایره را به هم متصل می کند. (آکورد)
13. "هیپوتنوز" در یونان باستان به چه معناست؟ (بند کمان)
14. نمودار متناسب معکوس. (هذلولی)
15. بین 16 تا 28 چند عدد فرد وجود دارد؟ (6)

4. نبرد دریایی - 26-35 دقیقه.

تیم ها به نوبت تیراندازی می کنند، اگر در یکی از عرشه های کشتی بیفتند، یک اسلاید با وظیفه مربوطه ظاهر می شود. مجریان نظرات لازم را می دهند.

سوالات حدس زدن: (8) (8 دقیقه)

پیشرو І. برای به دست آوردن امتیاز برای یک کشتی چهار عرشه، باید به 4 سؤال پیچیده پاسخ دهید و از بین چهار سؤال پیشنهادی، پاسخی را انتخاب کنید. فقط کسانی می توانند پاسخ دهند که حداقل کمی با تاریخ ریاضیات آشنا هستند یا از منطق استفاده می کنند. یک دقیقه فرصت داده می شود تا روی پاسخ فکر کنید. (اسلایدها)

1. این اصطلاح ریاضی ترجمه شده از یونانی به معنای "رشته" است.

الف) آکورد.
ج) مستقیم
ج) بخش.
د) پرتو.

2. کلمه "مخروط" در ترجمه از یونانی به چه معنی است؟

الف) هرم گرد.
ج) سقف.
ج) مخروط کاج.
د) هود بالا.

3. ریاضیدان S.V. Kovalevskaya تحصیلات عالی دریافت کرد؟

اما در روسیه.
ج) سوئیس
ج) در آلمان
د) در انگلستان

4. عشر یک میزان است:

الف) وزن ها
ج) مربع.
ج) طول.
د) حجم.

5. نمودار تناسب مستقیم.

الف) سهمی.
ج) هایپربولا.
ج) مستقیم
د) منحنی.

6. خالق اولین ماشین محاسباتی چه کسی بود؟

الف) ب. پاسکال.
ج) آر. دکارت.
ج) فیثاغورث.
د) ک. گاوس.

7. دانشمند فرانسوی که روش مختصات را اختراع کرد.

الف) آر. دکارت.
ج) ال اویلر.
ج) ب. پاسکال.
د) تالس.

8. این نام از دو کلمه لاتین "twice" و "secu" گرفته شده است. در مورد چیست؟

الف) در مورد مثلث متساوی الساقین.
ج) در مورد مستطیل.
ج) روی خطوط موازی.
د) درباره نیمساز.

سوالات تاریخ ریاضی: (6) (6 دقیقه)

پیشرو І. برای ناک اوت کردن کشتی سه عرشه باید به سوالات مربوط به تاریخ ریاضیات پاسخ داد.ریاضیات یکی از قدیمی ترین علوم است. تاریخ آن سرشار از نام ها، ایده ها و رویدادها، اکتشافات شگفت انگیز و گاه بزرگ است. تاریخ ریاضیات به دستیابی به درک عمیق تری از ایده های ذاتی خود ریاضیات کمک می کند. به همین دلیل است که تصمیم گرفتیم در این بازی کسانی را که در ریشه های ریاضیات ایستاده اند به یاد بیاوریم. در این مسابقه باید نام خانوادگی ریاضیدان را با توجه به خصوصیات کلامی نام ببرید. (اسلایدها)

سؤال 1: او را از نخستین هندسه‌دانان می‌دانند. سیاستمدار، فیزیکدان، بزرگترین ستاره شناس زمان خود. او صاحب کشف طول سال و تقسیم آن به 365 روز است. او اولین کسی بود که دب صغیر و ستاره قطبی را کشف کرد که به وسیله آنها ملوانان در دریا حرکت می کردند، برابری زوایای عمودی، دومین علامت تساوی مثلث ها، قضیه تساوی زوایای قاعده متساوی الساقین را اثبات کردند. مثلث. این ریاضی دان کیست؟

پاسخ: این یکی از ریاضیدانان یونان باستان قرن 6-7 است. قبل از میلاد مسیح NS. تالس از میلتوس.

سوال 2. یک بار فرانسوی ها موفق شدند دستورات نیروهای دولت اسپانیا را که با رمزنگاری بسیار پیچیده نوشته شده بود، رهگیری کنند. ریاضیدان فراخوانده شده موفق شد کلید این رمز را پیدا کند. از آن زمان، فرانسوی ها برنامه های اسپانیایی ها را می دانستند و با موفقیت از پیشروی آنها جلوگیری کردند. تفتیش عقاید ریاضیدان را به توسل به کمک شیطان متهم کرد و او را به سوزاندن در آتش محکوم کرد. او توسط تفتیش عقاید صادر نشده است.

پاسخ: فرانسوا ویت، ریاضیدان فرانسوی، قرن شانزدهم.

سوال 3. این ریاضیدان برجسته قرن 19 استعدادهای اولیه ریاضی داشت. می گویند در 3 سالگی متوجه اشتباهی در محاسبات پدرش شد. در کلاس اول، معلم ریاضی از دانش آموزان خواست که اعداد از 1 تا 100 را جمع کنند. تقریباً بلافاصله، این ریاضیدان نتیجه را پیدا کرد - عدد 5050. عدد با استفاده از روش جمع کوتاه محاسبه شد، در حالی که دیگران اعداد را پشت سر هم اضافه کردند.

پاسخ: کی گاوس، ریاضیدان آلمانی.

سؤال 4. وی در 13 کتاب خود با عنوان «آغاز»، دانش هندسی اولیه آن زمان را نظام مند کرد. وقتی پادشاه پتالومئوس از او پرسید که آیا راه کوتاه تری برای مطالعه هندسه وجود دارد، ریاضیدان با افتخار پاسخ داد: "هیچ جاده سلطنتی در هندسه وجود ندارد."

جواب: اقلیدس، یونان باستان. هندسه، قرن سوم قبل از میلاد NS.

سؤال 5. در مکتب ایشان آمده بود: «اعداد بر جهان حکومت می کنند. هارمونی کیهان بر اساس آنهاست. او فهرست مفصلی از تابوها را برای اعضای نظم خود تهیه کرد. در اینجا برخی از آنها آورده شده است:

• از خوردن حبوبات خودداری کنید؛
• آنچه افتاده است را بر ندار.
• به خروس سفید دست نزنید.
• یک نان کامل را گاز نگیرید.
• در جاده های بزرگ و غیره نروید.»

پاسخ: فیلسوف یونان باستانفیثاغورث، قرن ششم - اوایل قرن پنجم قبل از میلاد مسیح.

سوال 6. این ریاضیدان باستانی با شمشیر یک سرباز رومی کشته شد و با غرور گفت: "دور شو، به نقاشی های من دست نزن!" او اولین کسی بود که فرمول هرون را اثبات کرد.

پاسخ: ارشمیدس دانشمند، ریاضیدان یونان باستان.

سوالات منطق ریاضی: (4 عدد) (8 دقیقه)

رهبر ІІ. "توانایی تفکر منطقی یکی از عالی ترین توانایی های انسان است." اینها سخنان برنارد شاو رمان نویس انگلیسی است. اما به دست آوردن این مهارت آسان نیست. بنابراین، ناک اوت کردن یک کشتی دو طبقه، شاید، دشوارتر از هر کشتی دیگری باشد. زیرا برای این امر نیاز به حل مشکلات منطقی است. (اسلایدها)

سوال 1. عدد 28 را پنج دو تایی بنویسید (22 + 2 + 2 + 2 = 28)

سوال 2. اتاق به شکل مربع است. در امتداد دیوارها باید 7 صندلی بچینید تا تعداد صندلی های ایستاده در امتداد هر دیوار یکسان باشد. نحوه انجام آن را ترسیم کنید. (یک صندلی باید در گوشه باشد)

سوال 3. یک دهقان باید یک گرگ، یک بز و یک کلم را از رودخانه عبور دهد. یک مرد می تواند در یک قایق جا شود، و با او یا یک گرگ، یا یک بز یا یک کلم. اما اگر گرگ را با بز، بدون مرد رها کنید، گرگ بز را می‌خورد، اگر بز و کلم را رها کنید، بز کلم را می‌خورد. در حضور یک نفر، کسی کسی را نمی خورد. چگونه بار را حمل کنیم؟

1) حمل و نقل یک بز؛
2) بازگشت؛
3) یک گرگ (کلم) بگیرید.
4) انتقال بز به عقب.
5) کلم حمل و نقل (گرگ)؛
6) برگرد
7) بز را حمل کنید.

سوال 4. سه دوست دختر - دروزدووا، چیژووا و اسکورتسوا - برفک، سیسک و سار دارند. در عین حال، هیچ یک از آنها پرنده ای مطابق با نام خانوادگی میزبان ندارند. "چه خوب برفک تو آواز می خواند!" - اسکورتسوا به دوستش گفت. کدام یک از دوست دخترها، کدام پرنده زندگی می کند؟

	اسکورتسوا	دروزدووا	چیژووا
سار	–	+	–
برفک	–	–	+
سیسکین	+	–	–

محاسبه! (2 عدد) (8 دقیقه)

رهبر ІІ. برای ناک اوت کردن یک کشتی 1 عرشه، باید محاسبات ساده ای را انجام دهید. اما ابتدا باید یک مثال در آن بنویسید فرم مدرن.

سوال 1. "همه نمی دانند که نماد"" که ما برای استخراج ریشه از آن استفاده می کنیم، تغییری از حرف لاتین است. r، که در ابتدای کلمه لاتین radix به معنی ریشه آمده است. زمانی (قرن شانزدهم) بود که نماد ریشه یک حرف کوچک نبود، بلکه یک حرف بزرگ بود. آرو در کنار آن حرف اول کلمات لاتین "square" ( q) یا "مکعب" ( با) نشان می دهد که کدام ریشه را می خواهید استخراج کنید. مثلا نوشتند ر.ق.16بجای . «اگر به این اضافه کنیم که در آن دوران هنوز علائم فعلی مثبت و منفی وارد استفاده عمومی نشده بود و به جای آنها حروف p نوشته می شد. و m.، و اینکه براکت های ما با علائم جایگزین شده است، مشخص خواهد شد که عبارات جبری باید چه شکل غیرمعمولی برای چشم مدرن داشته باشند. با استفاده از جدول ترجمه نمادهای قدیمی به نمادهای امروزی و همچنین دانش خود از ریاضیات، مثال نوشته شده روی تخته را محاسبه کنید. (اسلاید)

پاسخ: = 5 (اسلاید)

سوال 2. اندازه گیری های مدرن طول - متر، سانتی متر و دیگران - همیشه وجود نداشت. قبل از معرفی سیستم اندازه گیری متریک و سیستم بین المللی واحدها در سال 1925، معیارهای دیگری از طول در روسیه وجود داشت که دائماً در آثار ادبیات روسیه یافت می شود. به عنوان مثال، اندازه ورشوک تقریباً 4.45 سانتی متر است.

اولین واحدهای طول، چه در روسیه و چه در کشورهای دیگر، با اندازه قسمت های بدن انسان مرتبط بود. اینها عبارتند از "span"، "fathom" و "arbow".

دهانه برابر با فاصله بین انتهای انگشت شست کشیده و سبابه بود. یک دهانه به عنوان 4 ورشوک در نظر گرفته شد. اندازه گیری طولی مانند آرشین، برابر با 16 ورشوک یا حدود 71 سانتی متر، بسیار گسترده بود. این کلمه از بازرگانان شرقی آمده و از تاتاری به "آرنج" ترجمه شده است. در حال حاضر پارچه در فروشگاه ها با خط کش متر اندازه گیری می شود و قبل از آن با خط کش به طول یک یار اندازه گیری می شد. به چنین حاکمی آرشین نیز می گفتند. کلمه "fathom" اغلب در ادبیات یافت می شود. این برابر با 3 آرشین یا تقریباً 2.13 متر است. برای اندازه گیری فواصل طولانی، از ورست استفاده شد - این بزرگترین اندازه گیری طول روسیه است. یک ورست 500 فتوم یا تقریباً 1.06 کیلومتر است. (اسلاید).

اکنون باید مشکل را حل کنید. در یک نقل قول از یک اثر ادبی که معیارهای باستانی طول را نشان می دهد، باید به واحدهای اندازه گیری مدرن ترجمه کنید و به سؤال مسئله پاسخ دهید.

زمان تکمیل کار - 2 دقیقه. پاسخ را می توان به نزدیکترین واحدها گرد کرد. ( به تیم یک تکه کاغذ با یک وظیفه داده می شود.)

هر دقیقه آب نزدیک تر می شد
به حیوانات بیچاره: قبلاً زیر آنها باقی مانده است ...
کمتر از یک آرشین زمین در عرض،
طول کمتر.
(نکراسوف، "پدربزرگ مزای و خرگوش ها")

سوال: مساحت و محیط جزیره را با بیان مقادیر قبلی بر حسب متر تعیین کنید.

پاسخ: 0.71 x 2.1 متر، یعنی. S 1.5 m 2، P 5.6 m.

5. جمع بندی، پاداش - 2 دقیقه .

به طور خلاصه، استفاده از جداول، که توسط هر یک از اعضای هیئت داوران در طول بازی پر می شود، راحت است. ضمیمه 4.

ادبیات Vlasova T.G... هفته موضوعی ریاضی در مدرسه: کتاب. برای یک معلم، - Rostov n / a .: Phoenix، 2007.

ریبنیکوف K.A.پیدایش و توسعه علوم ریاضی: کتاب. برای معلم، - M .: آموزش و پرورش، 1987.

گلیزر جی.آی.تاریخچه ریاضیات در مدرسه راهنمای معلمان، - M .: "آموزش و پرورش"، 1982.

پرلمن یا.آی.جبر جالب JSC "CENTURY"، 1994.

مکمل روزنامه 1 سپتامبر "ریاضیات"، 2005-2011.

در کلاس درس در آکادمی کوچک "جونیور" از من خواسته شد که بدانم هندسه چه چیزهایی را مطالعه می کند و چند بار در زندگی روزمرهما با او ملاقات می کنیم

یک کتاب درسی هندسه، یک دایره المعارف خواندم، با تعاریف اشکال هندسی آشنا شدم، اشیاء اطرافم را از نزدیک دیدم و متوجه شدم که در هر مرحله هندسه را ملاقات می کنیم، گاهی حتی بدون اینکه به آن فکر کنم. این مشاهده به نظر من بسیار جالب بود و شروع به تحقیق در مورد این موضوع با جزئیات بیشتری کردم.

من برای خودم هدفی تعیین کردم: بفهمم که یک فرد چقدر در دنیای اطراف ما با هندسه روبرو می شود و چه اشکال هندسی بیشتر از دیگران یافت می شود.

مراحل تحقیق:

مرحله اول تحقیق هندسه در آپارتمان من است.

مرحله دوم تحقیق هندسه در مسیر من از خانه تا دبیرستان است.

مرحله سوم پژوهش، هندسه در دبیرستان است.

مرحله چهارم، هندسه در عالم خرد است.

هندسه چه چیزی را مطالعه می کند؟

هندسه خیلی وقت پیش پدید آمد، این یکی از کهن ترین علوم است. ترجمه از یونانی، کلمه "هندسه" به معنای "بررسی" است ("geo" - در یونانی، زمین، و "metrio" - برای اندازه گیری).

این نام با این واقعیت توضیح داده می شود که منشاء هندسه با کارهای اندازه گیری مختلفی همراه بود که باید هنگام علامت گذاری زمین ها، هدایت جاده ها، ساخت ساختمان ها و سایر سازه ها انجام می شد. در نتیجه این فعالیت ظاهر شد و به تدریج انباشته شد قوانین مختلفمربوط به اندازه گیری ها و سازه های هندسی.

هندسه از فعالیت های عملی انسان برخاسته و در خدمت اهداف عملی است. پس از آن، هندسه به عنوان یک علم مستقل که به مطالعه اشکال هندسی می پردازد، شکل گرفت.

اشکال هندسی بسیار متنوع هستند. ما می دانیم که یک نقطه، یک خط مستقیم، یک قطعه، یک پرتو، یک زاویه چیست.

ما با مثلث، مستطیل، دایره و اشکال دیگر آشنا هستیم.

هندسه ای که در مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرد، اقلیدسی نامیده می شود، به نام دانشمند یونان باستان اقلیدس، که کتابچه راهنمای ریاضیات به نام "شروع" ایجاد کرد. مدتهاست که هندسه از این کتاب بررسی شده است.

هندسه را می توان به دو بخش پلان سنجی و هندسه جامد تقسیم کرد.

در پلان سنجی، ارقام روی یک صفحه در نظر گرفته می شوند. نمونه هایی از این اشکال عبارتند از: پاره خط، مثلث، مستطیل.

در استریومتری، خواص شکل های موجود در فضا، مانند یک توپ، یک استوانه، بررسی می شود.

هندسه در خانه

همه اشیاء در خانه ما شبیه اشکال هندسی مختلف هستند. بیایید برخی از آنها را در نظر بگیریم و شرح دهیم.

به عنوان مثال، یک کره - شبیه یک توپ است. تعریف علمی توپ به این صورت است: توپ جسمی است که از تمام نقاط موجود در فضا در فاصله ای که از یک نقطه معین بیشتر از یک نقطه معین نباشد تشکیل شده است. این نقطه مرکز توپ نامیده می شود و فاصله داده شده شعاع توپ است.

کره به عنوان مدلی از کره زمین شناخته شده است. و درست مانند زمین، کره زمین نیز می تواند حول محور خود بچرخد.

یک توپ، مانند یک استوانه و یک مخروط، بدنه ای از انقلاب است. با چرخاندن یک نیم دایره حول قطر آن به عنوان یک محور به دست می آید.

یک کتاب ضخیم شبیه یک متوازی الاضلاع است. زیرا مانند یک متوازی الاضلاع تمام وجوه و اضلاع مقابل با آن موازی هستند. یک قوطی کنسرو در آشپزخانه به شکل استوانه است. در واقع، دارای دو دایره در صفحات موازی و یک دیوار است که می تواند به عنوان مجموعه ای از بخش هایی که نقاط مربوطه را در این دایره ها به هم متصل می کند، نشان داده شود. کابینت ها، قفسه ها و میزهای کنار تخت هم همان موازی پایه هستند. درها مستطیل هستند. دیوارها، سقف، پنجره ها نیز شبیه مستطیل هستند.

برخی از اشیاء شکل های پیچیده تری دارند - به عنوان مثال، یک میز نیم دایره گوشه کنار تخت شبیه یک بخش از یک دایره است. اگر از بالا به آن نگاه کنیم، دو قطعه شعاع و یک قوس دایره ای را می بینیم که انتهای این شعاع ها را به هم متصل می کند.

گلدان روی پنجره شبیه یک مخروط کوتاه است، زیرا می‌توان آن را به صورت دایره‌ای که توسط بخش‌های زیادی به هم متصل شده‌اند با نقطه‌ای نشان داد که در این دایره قرار ندارد، اما کوتاه شده است زیرا بالای مخروط وجود ندارد، به نظر می‌رسد که بریده شده است. توسط یک هواپیما گلدان دیگر به شکل نیمکره است. اگر دو گلدان از این قبیل را کنار هم قرار دهید، یک کره (سطح توپ) به دست می آید.

اگر به انحنای پرده روی پنجره نگاه کنیم، می بینیم که یک خط منحنی به نام سینوسی را توصیف می کند.

در میان انواع اشیایی که شبیه هر شکل هندسی در خانه ما هستند، بخش ها و اشکال مستطیلی غالب هستند.

هندسه در راه من از خانه تا دبیرستان است.

در خیابان اجسام ساخته شده توسط انسان و اشیاء را می بینیم منشاء طبیعی... به عنوان مثال: یک ساختمان مسکونی ساخته شده توسط یک مرد. این یک متوازی الاضلاع است.

تیرهای چراغ در امتداد جاده شبیه به بخش های خط مستقیم هستند.

سقف ایستگاه ترانسفورماتور یک منشور مثلثی است. دارای دو ضلع مثلثی است که در صفحات موازی و سطوح جانبی قرار دارند که یک منشور را تشکیل می دهند.

و ریل های تراموا را می توان به عنوان خطوط مستقیم موازی در نظر گرفت. سیم های ترولی باس نیز خطوط مستقیم موازی هستند.

موضوع منشا طبیعی بستر رودخانه است. به آن به عنوان یک خط منحنی فکر کنید.

هندسه در دبیرستان

در لیسیوم، غالب اشکال مستطیلی، بخش‌ها و سطوح مختلف را می‌بینیم.

برج لیسیوم با یک پلکان مارپیچ در داخل شبیه یک استوانه است. بالای برج شبیه یک مخروط است.

خود فرم راه پله مارپیچاین یک مارپیچ، یک مارپیچ سه بعدی با شعاع ثابت است.

ستون های ورودی لیسه نیز استوانه ای هستند. پله های لابی ذوزنقه ای هستند. آنها دو ضلع موازی دارند و پایه ذوزنقه هستند و دو ضلع دیگر اضلاع ذوزنقه هستند.

پله ها روی پله ها درگاه ها، دیوارهای راهروها و کلاس ها شبیه مستطیل است.

در لیسیوم با انواع اشیاء، اشکال مستطیل و مستطیل غالب است.

هندسه زیر میکروسکوپ

از آنجایی که اجسامی که ما را احاطه کرده اند می توانند بسیار کوچک باشند، از میکروسکوپ استفاده می کنیم و کریستال های نمک خوراکی و شکر را در نظر می گیریم.

یک دانه نمک، وقتی بزرگ شد، به شکل یک مکعب درآمد. و یک دانه شکر به شکل مستطیل است و این مستطیل ها گاهی اوقات به یک شکل، به شکل نامنظم، به هم متصل می شوند.

هندسه در فضا

جستجوی اشکال هندسی در اجسامی که ما را احاطه کرده اند، اگر به اجسام فضایی روی نمی آوردیم و مشخص نمی کردیم که آنها چه شکلی دارند، کامل نمی شد. شکل سیارات، ستاره ها، کهکشان ها و مسیر حرکت آنها در فضا را در نظر بگیرید.

آنها کروی هستند. ثابت شده است که تمام سیارات منظومه شمسیشکل آنها شبیه یک توپ است.

ستاره ها به عنوان اجرام فضایی، مانند سیارات، شکل یک توپ را دارند. خورشید شبیه یک توپ بزرگ است.

کهکشان ها:

دانشمندان دریافته اند که کهکشان ها اغلب دارای شکل هندسی به نام مارپیچ هستند.

مدار سیارات:

سیارات در مسیرهای بیضی شکل به دور خورشید حرکت می کنند. مشخص است که تغییر فصول روی زمین دقیقاً به این دلیل است که مدار زمین بیضی است.

نتیجه گیری: در فضای بیرونی فقط اجسام دایره ای یا منحنی دیگر وجود دارند و هیچ اجسام مستطیلی وجود ندارد.

اطراف ماست تعداد زیادی ازاشیاء به شکل اشکال هندسی مختلف. در این مورد، اشکال با عناصر، زاویه، قطعات و صفحات مستطیل، اشیایی با منشاء مصنوعی هستند و توسط انسان ساخته می شوند. اشیاء با منشاء طبیعی دارای اشکال گرد هستند، مانند یک توپ، یک بیضی، یک قوس. استثنا کریستال هایی هستند که مستطیل شکل هستند.

هندسه -شاخه ای از ریاضیات که روابط و اشکال فضایی و همچنین هر رابطه و شکل دیگری را که شبیه به روابط مکانی است مطالعه می کند.

در زبان روسی (مانند بسیاری از موارد دیگر)، اصطلاح "هندسه" نه تنها برای علم مربوطه، بلکه برای کلیت اشکال و خصوصیات فضایی یا مشابه شی مورد بررسی استفاده می شود.

هندسه مدرن، هم بر اساس موضوعات اصلی مطالعه و هم بر اساس روش‌های مورد استفاده، به بسیاری از رشته‌ها تقسیم می‌شود، بخش‌های اساسی هندسه را ببینید که دارای اهمیت اساسی و کاربردی هستند. همه آنها با یک رویکرد هندسی واحد متحد شده اند، که شامل این واقعیت است که اول از همه توجه می شود ویژگی های کیفیموضوعات مورد بررسی، و همچنین در پیگیری وضوح در تمام مراحل مطالعه، از بیان مسئله تا فرمول نتیجه. هندسه کاربردهای بی شماری دارد، به بخش جایگاه هندسه در دنیای مدرن مراجعه کنید که به نوبه خود باعث توسعه آن می شود.

هندسه تقریباً در همه مناطق نفوذ می کند فعالیت انسانی... ایده های ما در مورد زیبایی و هارمونی، در مورد اثبات دقیق، در مورد یک ساختار منطقی بی عیب و نقص به طور جدایی ناپذیری با هندسه مرتبط است. در نهایت، غنای بینایی انسان به میزان زیادی امکان تحلیل را افزایش می دهد، به فرد اجازه می دهد تا روابط پیچیده ای را که بدون نمایش بصری اشیاء مورد مطالعه آشکار نیست، تشخیص دهد. احتمالاً به همین دلیل است که تصمیم می گیریم کار دشوار، ما اغلب برای ترسیم یک تصویر (نمودار، پلان، نمودار) تلاش می کنیم. به عبارت دیگر، ما در تلاش برای یافتن یک تجسم موفق، برای ساختن یک مدل هندسی، یعنی. مشکل را به شکل هندسی کاهش دهید.

توسعه هندسه.

هندسه یکی از قدیمی ترین اشکال فعالیت بشر است. حتی در دوران ماقبل تاریخ، مردم الگوهای شکار را بر روی دیوار غارها و همچنین تزئینات هندسی نسبتاً پیچیده را به تصویر می کشیدند. بعدها با پیدایش کشاورزی در مصر باستانو بابل، تقسیم ضروری شد زمین... ظاهراً در آن زمان بود که مبانی علم در هندسه شکل گرفت: برخی از قوانین کلی و روابط بین مقادیر هندسی مانند مساحت و طول کشف و تحقق یافت. توجه داشته باشید که در اصل اینها حقایق تجربی بودند، شواهد در آن زمان یا به طور کلی وجود نداشتند، یا در سطح ابتدایی بودند.

سرانجام در حدود دو و نیم هزار سال پیش به گفته مورخان هندسه از مصر به یونان آورده شد. در اینجا هندسه نه تنها نام مدرن خود را می گیرد (کلمه "هندسه" از آن گرفته شده است یونانیو به معنای "اندازه گیری زمین" است)، اما به تدریج به یک سیستم هماهنگ از دانش تبدیل می شود، حقایق جدید جمع می شود، برخی از الزامات برای شواهد ایجاد می شود، اولین مفاهیم انتزاعی از اشکال هندسی و حرکات ظاهر می شود. به نظر می رسد مدارس علمی(مشهورترین آنها مدرسه است فیثاغورث). در نتیجه یک جهش کیفی رخ می دهد و هندسه به یک علم ریاضی جداگانه تبدیل می شود که عبارات آن با برهان همراه است. نتیجه درخشان دوره یونان "آغاز" بود. اقلیدس(حدود 300 سال قبل از میلاد). در ارائه اقلیدس، هندسه (به طور دقیق تر، هندسه ابتدایی) عملاً در شکل مدرن خود به عنوان علم ساده ترین اشکال و روابط فضایی که بر اساس مقررات اساسی به وضوح فرمول بندی شده - بدیهیات و فرضیات توسعه یافته است، در برابر ما ظاهر می شود. در یک دنباله منطقی دقیق همچنین در یونان باستان، دکترین مقاطع مخروطی ( آپولونیوس، مبانی مثلثات ( هیپارکوس) و غیره.

در دوران رنسانس، علاقه به هندسه عمدتاً ناشی از نیازهای عملی بود. نقشه کشی در حال توسعه است ( مرکاتور)، ستاره شناسی ( کپلرنظریه چشم انداز ( لئوناردو داوینچی, ویتروویوس). با این حال، یک گام اساسی جدید تنها در آغاز قرن هفدهم برداشته شد. رنه دکارت (رنه دکارت; رناتوس کارتزیوس) که در اثر بنیادی خود «گفتمان روش ...» (1637) برای اولین بار از روش های جبری در تحقیقات هندسی استفاده کرد. برای این منظور، دکارت سیستم های مختصات را معرفی کرد و منحنی ها و سطوح را به عنوان مجموعه ای از راه حل های معادلات (جبری) ارائه کرد. دکارت با کمک روش خود توانست حقایق جدیدی را کشف کند که باعث شد رویکرد او بسیار محبوب شود. به عبارت مدرن، دکارت هندسه تحلیلی را ایجاد کرد و به ایجاد هندسه جبری نزدیک شد. همچنین در قرن هفدهم Desargues (جرارد دزارگ) و شاگردش پاسکال (بلز پاسکال) پایه های هندسه تصویری و هندسه توصیفی را گذاشت.

روش مختصات دکارت این امکان را فراهم کرد که هندسه را با جبر به سرعت در حال توسعه در آن زمان و لایب نیتسو نیوتنتجزیه و تحلیل ریاضی در نتیجه، در قرن هجدهم اویلر (لئونارد اویلر), مونگ (گاسپارد مانگ) و پونسلت (ژان ویکتور پونسله) قبلاً منحنی ها و سطوح تعریف شده توسط توابع دلخواه به اندازه کافی صاف (نه لزوما جبری) را مطالعه می کنند. هندسه دیفرانسیل اینگونه متولد شد که نام خود را عمدتاً مدیون روش های مبتنی بر استفاده از حساب دیفرانسیل است. در این مقام، او در آثار شکوفا می شود گاوس (یوهان کارل فردریش گاوس) و کاپوت (کاپوت پیر اوسیان).

جهش کیفی بعدی در قرن 19 اتفاق افتاد. ظاهراً مطالعه سطوح نمای کلیو مقایسه نتایج به‌دست‌آمده با هندسه ابتدایی (اقلیدسی) هندسه‌دان را به درک امکان وجود هندسه‌های غیراقلیدسی دیگر سوق داد. سنگ بنای توسعه هندسه های غیر اقلیدسی، «پنجمین اصل» معروف اقلیدس بود که می خواند (در فرمول پروکلوس) که در صفحه ای از نقطه ای که روی خط مستقیم معین قرار نمی گیرد، می توان یک و تنها یک خط مستقیم موازی با خط اصلی رسم کرد. از زمان‌های باستان تا قرن هجدهم، هر از گاهی، تلاش‌هایی برای استخراج این گزاره از دیگر بدیهیات هندسه اقلیدسی انجام شد. از جمله ریاضیدانانی که به این موضوع پرداختند بودند بطلمیوس(قرن دوم) و پروکلوس(قرن پنجم)، ابن هیثمو عمر خیام(قرن XI) ساچریو افسانه(قرن هجدهم). سرانجام، در آغاز قرن نوزدهم، این درک آغاز شد که ساخت یک نظریه معنادار بدون فرض پنجم امکان پذیر است. افتخار کشف هندسه جدید متعلق به N.I. Lobachevsky، که کار خود "درباره اصول هندسه" را در سال 1829 منتشر کرد که عدم امکان اثبات فرض پنجم و وجود یک نظریه منسجم بر اساس گزاره مخالف را تأیید می کند. یک ریاضیدان مجارستانی به طور مستقل به همین نتیجه رسید بویایی (یانوس بولیایی) که کار خود را در سال 1832 منتشر کرد. بعدا معلوم شد که گاوسامکان وجود هندسه های غیر اقلیدسی را کمی زودتر درک کرد، اما آثاری در این زمینه منتشر نکرد. هندسه ایجاد شده توسط لوباچفسکی اکنون هندسه لوباچفسکی نامیده می شود.

افتتاح لوباچفسکیو بویاییعلاقه به نظریه عمومی سطوح را برانگیخت. روشن می شود که «هندسه خیالی» لوباچفسکی در فضاهای منحنی واقعی است. مفهوم انحنا در آثار نشات گرفته است گاوسدر مورد تئوری سطوح در دهه 20 قرن نوزدهم. گاوسهندسه داخلی یک سطح را مطالعه می کند. هندسه ای که به موقعیت سطح در فضای محیط بستگی ندارد و هنگام خم شدن تغییر نمی کند. اثبات شده است گاوس Theorema Egregium بیان می کند که انحنای (گاوسی) یک سطح با خم شدن تغییر نمی کند. به طور خاص، این نشان می دهد که هیچ قطعه ای از یک کره را نمی توان بدون تغییر فاصله ها روی یک صفحه قرار داد، که برای مثال در نقشه برداری مهم است.

تئوری سطوح بیشتر در آثار توسعه یافت ریمان (جورجفردریشبرنهارد ریمان) که پایه های هندسه چند بعدی ریمانی مدرن ("نظریه چند بعدی سطوح") را بنا نهاد. در دست ساخت است ریمانبرای اولین بار مفاهیم اساسی مانند چندگانه، متریک ریمانی، تانسور انحنا ظاهر می شوند. او یکی از اولین کسانی بود که به ارتباط بین متریک ها، انحنای فضا و نیروهای فیزیکی پی برد که پیش بینی ایجاد نظریه نسبیت عام بود. ریمانفهمیدیم که هندسه‌های جهان خرد و ماکرو جهان ممکن است به‌طور قابل‌توجهی با هندسه اقلیدسی متفاوت باشند، که با داده‌های فیزیکی مدرن مطابقت خوبی دارد. ریمانهمچنین به طور فعال در تجزیه و تحلیل پیچیده شرکت می کند. در آثار او، ابتدا سطوح ریمان از توابع پیچیده چند ارزشی ساخته شد.

در همان زمان توپولوژی متولد شد. اولین نتایج ماهیت توپولوژیکی در قرن 18 به دست آمد (به عنوان مثال، فرمول اویلر برای یک پلی توپ محدب، نمودارهای اویلر). مطالعه منیفولدها، به‌ویژه سطوح ریمان، منجر به کشف ویژگی‌هایی مانند اتصال و جهت‌پذیری شد که با متریک یا انحنا مشخص نمی‌شوند. ملاحظات توپولوژیکی قبلاً در کارها استفاده شده بود گاوس , ریمان, موبیوس, جردناو کانتور... با این حال، به عنوان یک علم مستقل، توپولوژی قبلاً در قرن بیستم به لطف آثار شکل گرفت هاسدورف(یک طبقه مهم از فضاهای توپولوژیکی را توصیف کرد که امروزه فضاهای هاسدورف نامیده می شوند) کوراتوفسکی(تعریف یک فضای توپولوژیکی مشترک)، پوانکاره(پایه های نظریه همتوپی و همسانی را پایه گذاری کرد، گروه بنیادی و اعداد بتی را معرفی کرد) الکساندرواو اوریسون(ایجاد شده نظریه مدرنابعاد و نظریه فضاهای فشرده).

بنابراین، قرن نوزدهم را می توان به عنوان دوران شکوفایی هندسه توصیف کرد. در نتیجه، بسیاری از هندسه های مختلف کشف شد، که، در حالی که به طور فعال در حال توسعه، به نظر می رسید بیشتر و بیشتر از یکدیگر حرکت می کنند. فلیکس کلایندر برنامه معروف خود ارلانگن (1872) یک رویکرد جبری یکپارچه را پیشنهاد کرد که تحقیقات هندسی را به توصیف متغیرهای یک گروه از پیش تعیین شده از تبدیل های یک منیفولد کاهش می دهد. با تغییر گروه تبدیل، هندسه مورد نظر را تغییر می دهیم. به عنوان مثال، از این دیدگاه، هندسه اقلیدسی با گروه حرکات فضای اقلیدسی، هندسه تصویری به گروه تبدیل های تصویری، توپولوژی به گروه همومورفیسم ها و غیره مطابقت دارد. توجه داشته باشید که برای کار او در زمینه مبانی هندسه کلاینجایزه لوباچفسکی (1897) دریافت کرد.

سهم قابل توجهی در تئوری متغیرها توسط گیلبرت(قضیه معروف در مورد ثابت ها). گیلبرتهمچنین به مسائل رسمی سازی ریاضیات به طور کلی پرداخت، به ویژه، او بدیهیات مدرن هندسه اقلیدسی را ایجاد کرد (کار اساسی "مبانی هندسه"، 1899). بعلاوه، گیلبرتتوسعه هندسه (و به طور کلی ریاضیات) را تا آغاز قرن بیستم خلاصه کرد. سخنرانی در دومین کنگره بین المللی ریاضیات (1900، پاریس)، گیلبرت 23 مسئله را فرموله کرد که به نظر او باید برای ریاضیدانان قرن آینده ضروری ترین آنها باشد. در میان آنها، با توجه به حداقلشش مسئله هندسی که واقعاً جهت ها را از بسیاری جهات تعیین می کند پیشرفتهای بعدیهندسه در قرن XX.

در بخش بعدی، جهت‌های اصلی توسعه و بخش‌های هندسه قرن بیستم را شرح خواهیم داد. در اینجا فقط تأکید می کنیم که هندسه به طور فعال ادامه داده و همچنان به رشد خود ادامه می دهد و یکی از مکان های پیشرو در بین علوم ریاضی را به خود اختصاص می دهد. به عنوان مثال، در اینجا چند واقعیت جالب وجود دارد. همانطور که می دانید، امروزه ریاضیدانان دو مشابه جایزه نوبل دارند - جایزه فیلدز و جایزه آبل. جایزه فیلدز به سال 1936 برمی گردد. دو برنده اول آن (1936) هندسه‌سنج هستند: لارس اهلفورس(نظریه سطوح ریمان) و جسی داگلاس(حل مسئله افلاطون در حداقل سطوح). از آن زمان، در میان برندگان فیلدز هندسه ها همیشه وجود داشته اند... جایزه آبل بسیار جوانتر است، در قرن بیست و یکم اعطا شد. در مجموع 8 جایزه آبل برای سال 2010 اهدا شد که سه مورد از آنها در هندسه ( ژان پیر سر 2003, مایکل عطیهو ایزادور سینگر 2004, میخائیل گروموف 2009) و دو روش هندسی در سایر علوم ( پیتر لاکس 2005, لنار کارلسون 2006).

یکی از آنالوگ های فهرست هیلبرت در قرن بیست و یکم، کارهای به اصطلاح هزاره است. هزارهجایزهچالش ها و مسائلفرموله شده توسط موسسه Clay، که در سال 1998 توسط تاجری به نام تاسیس شد لاندون کلی (لندون تی. کلی) و ریاضیدان آرتور جفی (آرتور جافه) با هدف ارتقای دانش ریاضی. از 7 مسئله هزاره، سه مسئله در هندسه است، یعنی حدس هاج (ساختار طبقات همشناسی یک تنوع تصویری، که توسط زیرمنیفولدهای جبری محقق می شود)، حدس پوانکاره (در حوزه همسانی، حل شده است). جی. پرلمنحدس توس و سوینرتون-دایر (در مورد نقاط منطقی منحنی های بیضوی). همچنین مشکل مربوط به مطالعه میدان های یانگ میلز را می توان در دسته هندسی قرار داد.

بخش های اصلی هندسه مدرن

در طبقه بندی اعشاری جهانی مدرن (http://udk-codes.net/) بیش از 50 مورد وجود دارد که کلمه "هندسه" را در نام خود دارد. در اینجا ما فقط تعدادی از آنها را فهرست می کنیم که به نظر ما با مهمترین و فعال ترین بخش های هندسه در حال توسعه مطابقت دارد.

• هندسه جبری حل سیستم های معادلات به شکل P = 0 را مطالعه می کند که در آن P یک چند جمله ای در چندین متغیر است. در این حالت هم وجود چنین راه حل هایی و هم ویژگی های مجموعه همه راه حل ها بررسی می شود. چنین مجموعه هایی را مجموعه های جبری یا انواع جبری می نامند. تفاوت اصلی هندسه جبری با سایر شاخه‌های هندسه در این است که علاوه بر سایر روش‌های هندسی، از ایده‌ها و روش‌های جبر انتزاعی به‌ویژه زیربخش‌های آن مانند جبر جابه‌جایی و جبر همسانی به شدت استفاده می‌کند. یکی از مشهورترین دستاوردهای هندسه جبری، اثبات آخرین قضیه فرما است.
• هندسه تحلیلی تولید شده توسط دکارت، توسط او به عنوان هندسه جبری به معنای امروزی تصور شد. امروزه هندسه تحلیلی زیربخشی از هندسه جبری است که راه حل های سیستم های خطی یا خطی را مطالعه می کند. معادلات درجه دومدر هواپیما و در فضا بنابراین، اشیاء هندسه تحلیلی خطوط مستقیم، صفحات و همچنین منحنی ها و سطوح مرتبه دوم هستند. کار طبقه بندی این اشیاء به طور کامل حل شده است، با این حال، هندسه تحلیلی اهمیت خود را از دست نداده است. هم برای محاسبات خاص و هم برای فرآیند یادگیری مهم است، زیرا شامل مبانی روشهای مهمی مانند روش مختصات و روش متغیرها است.
• هندسه محدب هندسه مجموعه های محدب را عمدتاً در فضاهای اقلیدسی مطالعه می کند. شروع از کار مینکوفسکی (هرمان مینکوفسکی) و برونا (هرمان برون) مشخص شد که خاصیت تحدب به فرد اجازه می دهد تا یک نظریه مستقل بدون فرضیات اضافی در مورد تفاوت پذیری بسازد. یکی از بارزترین نتایج هندسه محدب، قضیه مینکوفسکی-الکساندروف در مورد بازسازی یک چندوجهی محدب از ویژگی‌های چهره‌های آن است. هندسه محدب کاربردهای متعددی در مسائل بهینه سازی دارد، در درجه اول در برنامه نویسی محدب و برنامه ریزی خطی.
• هندسه محاسباتی به ساخت و مطالعه الگوریتم های ترکیبی برای حل مسائل هندسی و همچنین مدل سازی هندسی می پردازد. بررسی مدل های گسسته منحنی ها و سطوح پیوسته نتایج کلاسیک هندسه محاسباتی شامل الگوریتم هایی برای ساخت بدنه محدب، درخت پوشا حداقل اقلیدسی، مثلث سازی دلونی، نمودار ورونوی، حل مسئله نزدیک ترین همسایه ها و غیره می باشد. معروف ترین روش های مدل سازی هندسی از اسپلاین ها و منحنی های بزیه استفاده می کنند. هندسه محاسباتی کاربردهای متعددی دارد، عمدتاً در رباتیک، تشخیص الگو، گرافیک کامپیوتری و غیره.
• هندسه فضاهای باناخ و هیلبرت به مطالعه آنالوگ های بینهایت بعدی فضاهای هنجاری و اقلیدسی می پردازد. ارتباط نزدیک با تحلیل تابعی، نظریه اندازه گیری، نظریه احتمال، حساب تغییرات. از ایده هایی از تحلیل محدب، جبر خطی، توپولوژی و البته نظریه توابع استفاده می کند. قابل توجه ترین نتایج شامل قضیه هان-باناخ در ادامه یک تابع خطی پیوسته، قضیه است. باناخدر یک نقطه ثابت، قضیه ریز-فرشت در مورد هم ریختی فضای دوگانه هیلبرت به فضای اصلی.
• هندسه گروه‌ها و جبرهای Lie هندسه انواع مجهز به ساختار جبری اضافی، یعنی ساختار یک گروه را مطالعه می‌کند. در این حالت، عملیات گروهی روان فرض می شود. این عملیات جبری یک ساختار جبری اضافی بر روی فضای مماس در هویت گروه ایجاد می کند و آن را به جبر دروغ تبدیل می کند. به نام یک ریاضیدان نروژی سوفوس لی (دروغ ماریوس سوفوس). ساده‌ترین نمونه‌های گروه‌های دروغ، گروه‌های تبدیل هستند، مانند گروه‌های حرکات فضای اقلیدسی یا فضای لوباچفسکی. غنای ساختار درونی گروه‌های دروغ، از یک سو، به دست آوردن نتایج عمیق غیر پیش پا افتاده، مانند قضیه طبقه‌بندی برای گروه‌های دروغ فشرده، و از سوی دیگر، انجام بسیاری از محاسبات خاص تا انتها امکان‌پذیر است. . گروه های دروغ نیز اغلب در کاربردها ظاهر می شوند، در درجه اول در مکانیک و فیزیک.
• هندسه سیستم های دینامیکیخواص کیفی (به عنوان مثال، هندسی و توپولوژیکی) سیستم های دینامیکی انواع مختلف را مطالعه می کند. نمونه هایی از چنین ویژگی های یک سیستم دینامیکی عبارتند از: تعداد موقعیت های تعادلی یا راه حل های تناوبی، پایداری یا ناپایداری آنها، رفتار آشفته یا منظم محلول ها، توپولوژی منیفولدهای ثابت سیستم یا کل فضای فاز آن. معمولاً در یک مطالعه کیفی سیستم‌های دینامیکی، آنها تا حدی معادل (مسیر، توپولوژیک، صاف و غیره) در نظر گرفته می‌شوند و مشکل یافتن متغیرهای متناظر با یک معادل معین (به ویژه یافتن مجموعه کاملی از متغیرها، یعنی طبقه بندی سیستم ها تا معادل مربوطه).

• هندسه اعداد به جنبه های هندسی نظریه اعداد می پردازد. یک مشکل معمولی در هندسه اعداد، موقعیت بردارهای اعداد صحیح در رابطه با اجسام محدب در فضای چند بعدی است. اولین بار در آثار ظاهر شد مینکوفسکی، که وجود یک نقطه صحیح (مبنای عدد صحیح) را در یک جسم متقارن با حجم به اندازه کافی بزرگ ثابت کرد. ارتباط نزدیک با تحلیل عملکردی، دیوفانتین و تقریب های منطقی.
• هندسه مسائل بهینه سازی اجسام هندسی را مطالعه می کند که نقاط بحرانی عملکردهای هندسی خاص هستند، مانند طول یک منحنی، مساحت سطح و تابع انرژی. از این نوع اجسام می توان به سطوح حداقل و هارمونیک، ژئودزیک، شبکه های اکسترمال، حداقل پرکردگی ها و غیره اشاره کرد. بارزترین نتایج این نظریه شامل حل مسئله افلاطون بر روی حداقل سطوح، اثبات وجود سه ژئودزیک تو در تو بسته بر روی یک همومورف چندگانه به یک کره دو بعدی، طبقه‌بندی شبکه‌های حداقلی بسته محلی بر روی سطوح با انحنای غیر منفی ثابت. مسائل از این نوع در فیزیک، مکانیک، شیمی، زیست شناسی، تدارکات و غیره کاربردهای فراوانی دارند.
• هندسه گسسته و ترکیبی مسائل هندسی را ترکیب می کند که خواص ترکیبی اجسام هندسی گسسته، مانند مجموعه نقاط، خطوط، توپ ها و غیره را مطالعه می کند. در این صورت قاعدتاً سؤالاتی در مورد موقعیت نسبی یا در مورد در نظر گرفته می شود مکان بهینهاین اشیاء در فضای محیط از جمله شناخته شده ترین مسائل از این نوع می توان به مسئله کپلر و نیوتن در مورد حداکثر تعداد ممکن کره های مربوط به یک مورد معین، مسئله بسته بندی بهینه توپ ها در فضا یا در حجم محدود و مسئله تام در مورد یک کد کروی هندسه گسسته همچنین شامل مسائل مربوط به چینش نمودارها در فضاهای محیطی است. این شامل تعدادی از مشکلات هندسه محاسباتی نیز می شود، به عنوان مثال، نمودارهای ورونوی، مثلث بندی های دلون و غیره.
• هندسه دیفرانسیل منیفولدهای صاف را با یک یا آن ساختار اضافی مطالعه می کند. اول از همه، به دلیل روش های خود، که ارتباط نزدیکی با تجزیه و تحلیل ریاضی، به ویژه، با خواص دیفرانسیل توابع دارد، برجسته می شود. توسعه یافته از نظریه کلاسیک منحنی ها و سطوح ایجاد شده توسط گاوسو مونگم هندسه دیفرانسیل به طور معمول به محلی تقسیم می شود، یعنی. مطالعه خواص یک منیفولد در یک همسایگی کوچک یک نقطه، و جهانی (به اصطلاح هندسه "در بزرگ")، که ارتباط بین خواص قطعات کوچک یک منیفولد و ویژگی های کل منیفولد را مطالعه می کند. به تعبیری می توان برخی از مقاطع انتخاب شده هندسه مانند هندسه ریمانی، هندسه سمپلتیک را زیرمجموعه هندسه دیفرانسیل نیز در نظر گرفت.
• هندسه انتگرال مشکلات را معکوس به ادغام کلاسیک مطالعه می کند، یعنی امکان بازیابی یک تابع از مجموعه ای از مقادیر انتگرال های آن را در زیر مجموعه های خاصی از دامنه تعریف تابع اصلی مطالعه می کند. اصطلاح "هندسه انتگرال" در دهه 30 قرن بیستم در آثار به وجود آمد پلاکو در اصل به معنای چیزی کاملاً متفاوت بود: محاسبه انتگرال توابع بر روی زیر مجموعه های معینی از منیفولدها یا، به طور کلی، فضاهای دارای اندازه. هندسه انتگرال مدرن ارتباط نزدیکی با نظریه فضاهای همگن، نظریه فضاهای فیبردار، نظریه نمایش و نظریه اندازه گیری دارد. کاربردهای متعددی دارد، به عنوان مثال، در توموگرافی کامپیوتری.
• هندسه پیچیده هندسه منیفولدهای با ساختار پیچیده را مطالعه می کند. شاخه اولیه آن نظریه سطوح ریمان است که توسط ریمانو بررسی خواص منیفولدهای پیچیده یک بعدی. هندسه پیچیده با پیوندهای نزدیک با تجزیه و تحلیل پیچیده و جبر مشخص می شود. اخیراً پیوندهای نزدیک هندسه پیچیده (به ویژه هندسه فضاهای Teichmüller) با فیزیک نظری مدرن.
• هندسه کامپیوتری به مدل سازی کامپیوتری کلی مربوط به تجسم مدل های هندسی می پردازد. هندسه محاسباتی شامل هندسه محاسباتی است، اما محدود به آن نیست. در چارچوب هندسه کامپیوتری، مدل هایی از اجسام پیچیده مانند منیفولدها، هندسه های غیر اقلیدسی، جریان ژئودزیکی روی سطح، بسیاری از راه حل های معادله دیفرانسیل و غیره ایجاد می شود. انواع آزمایش های کامپیوتری که در نتیجه آن فرضیه های خاصی وجود دارد.
• هندسه متریک هندسه اجسام کلاسیک مانند منحنی ها و سطوح را بر حسب تابعی از فاصله که به طور طبیعی بر روی آنها تعریف شده است، مطالعه می کند. در این مورد، ویژگی‌هایی که به صورت دیفرانسیل تعریف می‌شوند، مانند انحنا، بر حسب برخی روابط برای تابع فاصله تفسیر می‌شوند. در نتیجه، از یک سو، می توان بسیاری از نتایج هندسه دیفرانسیل را بدون فرضیات همواری به اجسام بسیار کلی تر منتقل کرد که در بسیاری از موارد دستیابی به کامل بودن فضاهای اجسام زیر را ممکن می سازد. توجه. در نتیجه، ارتباطات غیرمنتظره ای بین اشیاء ریاضی به ظاهر دور به وجود می آید. به عنوان مثال، ویژگی های یک گروه گسسته به طور محدود تولید شده را می توان بر حسب هندسه یک فضا با متریک منهتن توصیف کرد. گروموف). از سوی دیگر، چنین تفسیری به ما امکان می دهد تا در نتایج دیفرانسیل-هندسی تجدید نظر کنیم، تا در درک اجسام پیچیده ای مانند تانسور انحنای پیشرفت کنیم.
• هندسه توصیفی به مطالعه اشکال فضایی با استفاده از برآمدگی های متعامد متعدد آنها می پردازد. در مهندسی به عنوان ابزار اصلی برای ساختن و خواندن نقشه ها سرچشمه گرفت. پایه های هندسه توصیفی گذاشته شد مونگم، که سپس در یک دانشکده مهندسی تدریس کرد و دستور محاسبه استحکامات را انجام داد. اخیراً در ارتباط با توسعه سیستم های طراحی به کمک رایانه، نقش هندسه توصیفی به طور فزاینده ای به یک نقش صرفاً آموزشی کاهش یافته است.
• هندسه غیر جابه‌جایی ویژگی‌های آنالوگ‌های غیرجابه‌جایی جبرهای تابع را در کلاس‌های خاصی از فضاها مطالعه می‌کند. نقطه شروعی که این ایده را به وجود آورد، قضیه Gelfand-Naimark است، که در اوایل دهه 1940 اثبات شد، در مورد هم ارزی مقوله فضاهای توپولوژیکی فشرده و جبرهای C*-جابه‌جایی. معلوم شد که ساختارهای جبری که در اینجا به وجود می آیند، حتی پس از کنار گذاشتن ویژگی جابه جایی معنادار باقی می مانند. در چارچوب هندسه غیر جابه‌جایی، روش‌هایی از بخش‌های مختلف ریاضیات مدرن ترکیب می‌شوند: توپولوژی، هندسه دیفرانسیل، تحلیل تابعی، نظریه اندازه‌گیری، نظریه نمایش و برخی دیگر. ایده تعمیم غیر تعویضی بنیادی است، زیرا به لطف آن نه تنها بسیاری از مشکلات مهم حل شد، بلکه حوزه های ذکر شده در بالا متقابلاً با روش ها و نتایج جدید غنی شدند. به نظر می رسد که اصطلاح "هندسه غیر تعویضی" از تک نگاری سرچشمه گرفته باشد A.Conna"هندسه غیر تعویضی".
• هندسه ریمانی و فینسلر منیفولدهایی را مطالعه می‌کنند که ساختار اضافی روی آن‌ها داده شده است که به فرد امکان می‌دهد طول بردارهای مماس را محاسبه کند. نمونه‌های اصلی چنین سازه‌هایی عبارتند از معیارهای ریمانی و شبه ریمانی (اشکال دوخطی متقارن غیر زوال بر روی فضاهای مماس به آرامی بسته به نقطه‌ای از منیفولد) و ساختار فینسلر (خانواده‌ای از هنجارها در فضاهای مماس به طور هموار بسته به نقطه منیفولد). منیفولد دارای سری خواص اضافی). پایه های هندسه ریمانی گذاشته شد ریمان، که نظریه سطوح را به حالت چند بعدی تعمیم داد و نتایج کلاسیک را به آن منتقل کرد. گاوس, کاپوتدر چارچوب هندسه ریمانی، می توان محدودیت هایی را در ساختار جهانی منیفولدها از نظر ویژگی های محلی آن به دست آورد که مشابه انحنای یک سطح دو بعدی است (انحنای مقطعی، انحنای ریچی، انحنای ریمان). .
• هندسه سمپلتیک منیفولدهای سمپلتیک را مطالعه می کند، یعنی. منیفولدهایی که بر روی آنها یک 2 شکل غیر منحط بسته (ساختار سمپلتیک) داده شده است. در واقع، هندسه سمپلتیک به عنوان شاخه ای جداگانه از هندسه حدود 200 سال پیش به عنوان زبانی مناسب برای مسائل در مکانیک کلاسیک ظهور کرد. و اکنون یکی از انگیزه های اصلی برای مطالعه منیفولدهای سمپلتیک این است که طبیعی است که آنها را به عنوان فضاهای فازی سیستم های دینامیکی در نظر بگیریم که مسائل مختلف مکانیک، فیزیک ریاضی و هندسه را توصیف می کنند. با این حال، از دهه 1970-80 (پس از کار V. I. آرنولدا, A.Vainshtein(A.Weinstein) M.L. Gromovaهندسه سمپلتیک به یک حوزه مستقل جداگانه از ریاضیات تبدیل شده است که توسعه آن با پیوندهای نزدیک با فیزیک ریاضی، توپولوژی کم بعدی، نظریه سیستم های دینامیکی، هندسه جبری و تجزیه و تحلیل پیچیده تحریک می شود.
• هندسه تصادفی شاخه ای از تحلیل تصادفی است. او فرآیندهای تصادفی را در فضاهای بی‌بعد هیلبرت و منیفولدهای صاف هیلبرت که توسط معادلات تصادفی ایتو توصیف شده‌اند، مطالعه می‌کند. ویژگی‌های همواری احتمالات انتقال چنین فرآیندهایی بررسی می‌شود و ساخت اقدامات شبه ثابت بر روی گروه‌های دروغ بی‌بعدی معرفی می‌شود. پایه های هندسه دیفرانسیل تصادفی گذاشته شد Yu.L. Daletskiyو Ya.I. Belopolskayaدر دهه 70 قرن XX
• هندسه فراکتال به مطالعه فراکتال ها (مجموعه های خود مشابه) می پردازد. اولین نمونه از چنین مجموعه هایی با خواص غیر معمول در قرن 19 ظاهر شد (به عنوان مثال، مجموعه کانتور). اصطلاح "فرکتال" معرفی شد ب. ماندلبروتدر سال 1975 و با انتشار کتاب "هندسه فراکتال طبیعت" در سال 1977 محبوبیت زیادی به دست آورد. با این حال، "فرکتال" (لات. فراکتوس- خرد، شکسته، شکسته) یک اصطلاح ریاضی نیست و یک تعریف دقیق ریاضی پذیرفته شده ندارد. فراکتال یک شکل هندسی پیچیده با خاصیت خود شباهت است، یعنی از چندین قسمت تشکیل شده است که هر یک از آنها شبیه به کل شکل در کل است. در یک مفهوم گسترده تر، فراکتال ها به عنوان مجموعه ای از نقاط در فضای اقلیدسی درک می شوند که دارای ابعاد متریک کسری (به این معنا) مینکوفسکییا هاسدورف) یا بعد متریک به شدت بزرگتر از بعد توپولوژیکی است. در هندسه فراکتال مدرن، فراکتال های تصادفی نیز مورد مطالعه قرار می گیرند. هندسه فراکتال پیوندهای عمیقی با نظریه اعداد و فیزیک مدرن دارد.

همه این حوزه های تخصصی بسیار متفاوت با هم متحد می شوند روش های هندسی.

روش تحقیق هندسی

مهمترین ویژگی اجسام هندسی تغییر ناپذیری آنها (استقلال از سیستم مختصات) است. از این نظر، هندسه تصویری خاص و مشخص از جهان را تشکیل می‌دهد که اساساً نه بر اساس فرمول‌ها و محاسبات، بلکه بر اساس تحلیل کیفی است. چنین تصویری با ترکیبی از دقت کامل ریاضی با استفاده گسترده از شهود مشخص می شود. اجازه دهید برخی از روش‌های اساسی مطالعه اجسام هندسی را فهرست کنیم.

• تعریف و توصیف خصوصیات فضای اجسام همگن (نقاط)، مجهز به یک یا آن ساختار اضافی. به عنوان مثال، توصیفی از هندسه فضاهای اقلیدسی، سطوح منظم، منیفولدهای صاف (به ویژه منیفولدهای با ساختارهای مختلف - ریمانی، شبه ریمانی، پیچیده، جبری، سمپلتیک، تماس، فینسلر کاهلر و غیره)، فضاهای هیلبرت، گروه های دروغ، فضاهای توپولوژیکی عمومی، مجتمع های سلولی و غیره.
• یکی از روش های اصلی هندسه (و به طور کلی ریاضیات) روش هماهنگی است. برای مطالعه یک شی هندسی، یک سیستم مختصات معرفی شده است که به فرد امکان می دهد خواص آن را با استفاده از یک دستگاه تحلیلی یا جبری توصیف کند. خود اصطلاحات "هندسه تحلیلی"، "هندسه دیفرانسیل"، "هندسه جبری"، "هندسه سمپلتیک"، به ویژه با انواع روش مختصات که در این بخش های هندسه استفاده می شود، مرتبط است. با این رویکرد، وجود ساختارهای هندسی مختلف در کلاس‌های مختلف سیستم‌های مختصات و تغییرات مختصات منعکس می‌شود (مثلاً مختصات سمپلتیک و تبدیل‌های متعارف در هندسه سمپلتیک، مختصات تحلیلی و تغییرات هولومورفیک در هندسه مختلط و غیره در نظر گرفته می‌شوند). از آنجایی که اجسام هندسی خود ذاتاً تغییرناپذیر هستند، بخش مهمی از روش مختصات شامل توصیف چگونگی تغییر فرمول‌های خاص در هنگام تغییر مختصات است.
• مهمترین ویژگی یک جسم هندسی مجموعه ای از "تقارن" آن است، یعنی. یک گروه تبدیل که خواص خود را حفظ می کند. بنابراین، گروهی از عملگرهای متعامد با فضای اقلیدسی، گروهی از دیفئومورفیسم ها با منیفولد صاف، گروهی از ایزومتریک ها با منیفولد ریمانی و غیره مرتبط هستند. مطالعه گروه تحولات به شما امکان می دهد که به دست آورید اطلاعات مهمدر مورد خود شیء؛ به عنوان مثال، در مطالعه فضاهای همگن، ویژگی های گروه تبدیل نقش کلیدی دارند.
• رویکرد متریک در هندسه با معرفی آنالوگ فاصله بین نقاط و بررسی خصوصیات این فاصله (نظریه کلی فضاهای متریک، هندسه فضاهای باناخ و خصوصیات عملگرها در آنها، سمینورم ها و فضاهای فریشت، و غیره.).
• روش بدیهی از بدو پیدایش در هندسه مورد استفاده قرار گرفته است. این شامل این واقعیت است که ساختارهای هندسی با استفاده از فهرستی از بدیهیات توصیف می شوند، که متعاقباً بقیه ویژگی ها از آن استخراج می شوند. به عنوان مثال، هندسه اقلیدسی در یک فضای خطی (یعنی مجموعه ای با عملیات جمع و ضرب در عددی که مجموعه معینی از بدیهیات را برآورده می کند) با حاصلضرب نقطه ای (تابعی از یک جفت بردار که برخی از بدیهیات را نیز برآورده می کند) تعریف می شود. ). مثال دیگر: یک اتصال افین روی یک منیفولد به عنوان عملیات تمایز میدان های برداری تعریف می شود که بدیهیات خطی بودن و قانون لایب نیتس را برآورده می کند.
• در دهه های اخیر، مدل سازی هندسی کامپیوتری به طور فعال در حال توسعه بوده است. برنامه های زیادی توسعه یافته اند که امکان تجسم اشیاء هندسی را که در شبیه سازی انواع فرآیندها به وجود می آیند، به وضوح نشان دادن خواص آنها و راه اندازی آزمایش های کامپیوتری به منظور آزمایش فرضیه های ریاضی، فیزیکی، بیولوژیکی، اقتصادی و غیره می دهد. علاوه بر این، از مدل‌سازی رایانه‌ای برای اثبات قضایای ریاضی نیز استفاده می‌شود (با این حال، چنین اثبات‌هایی همواره شک و تردیدهایی را در بین بسیاری از ریاضیدانان ایجاد می‌کنند). مثال های معروف - اثبات اپلو هاکندر سال 1976 فرضیه و اثبات چهار رنگ در سال 1989 لامعدم وجود صفحه نمایشی محدود مرتبه 10.

جایگاه هندسه در دنیای مدرن

ریاضی.دیدگاه هندسی جهان در تمام ریاضیات مدرن نفوذ می کند. بیشتر بخش های آن از زبان هندسی استفاده می کنند و روش های هندسی را به کار می برند. غالباً نفوذ ایده های هندسی منجر به ایجاد نظریه های جدید، تدوین مسائل جدید و نتایج غیرمنتظره می شود: به ویژه ایده های هندسی در نظریه معمولی. معادلات دیفرانسیلمنجر به ایجاد یک نظریه کیفی و نظریه سیستم های دینامیکی شد. در تئوری معادلات دیفرانسیل جزئی - تا تجزیه و تحلیل میکرومحلی، تئوری ویژگی های غیر استاندارد، نظریه سالیتون ها و میدان های یانگ میلز. در محاسبات تغییرات - تا مسائل تغییرات هندسی، نظریه جریان های ژئودزیکی.

علوم طبیعی.فیزیک مدرن ارتباط نزدیکی با هندسه دارد. مکانیک کلاسیک از زبان، روش ها و نتایج هندسه ریمانی و سمپلتیک، اپتیک و ترمودینامیک - هندسه سمپلتیک و تماسی، مکانیک کوانتومی از هندسه پیچیده، هندسه ترکیبی و هندسه فضاهای هیلبرت، در نظریه میدان کوانتومی - دیفرانسیل و مختلط، استفاده می کند. هندسه ساده تقریباً در تمام شاخه‌های فیزیک نظری، به هر نحوی، ایده‌ها، روش‌ها یا سازه‌های هندسی وجود دارد. توجه داشته باشید که ایده های فیزیکی نیز به نوبه خود در هندسه آشکار می شوند. اغلب تجزیه و تحلیل تئوری های فیزیکی به توسعه ساختارهای هندسی انگیزه می دهد (به عنوان مثال، هندسه سمپلتیک و تماس مستقیماً با فیزیک مرتبط هستند).

جغرافیا همیشه از زبان هندسی استفاده کرده است. به ویژه، ایده توصیف یک سطح با استفاده از نقشه ها و مختصات، این علوم را از نزدیک به هم مرتبط می کند. در طراحی مسیرهای کشتی ها و هواپیماها از هندسه کروی استفاده می شود.

هندسه در شیمی و زیست شناسی مولکولی استفاده می شود. ترکیبات پیچیده (به عنوان مثال، پروتئین ها) دارای ساختار هندسی غنی هستند، که، همانطور که مشخص شد، به طور قابل توجهی بر خواص شیمیایی و بیولوژیکی ماده مورد نظر تأثیر می گذارد. هندسه همچنین برای توصیف انرژی و خواص کوانتومی مولکول ها استفاده می شود.

تکنیک.تکنولوژی مدرن به طور گسترده از روش ها و نتایج هندسی استفاده می کند. هندسه کامپیوتر در طراحی اتومبیل، هواپیما، پل و بسیاری از اشیاء فنی دیگر استفاده می شود. مشکلات هندسی هنگام برش ایجاد می شود سنگ های قیمتی، در مسائل ناوبری موبایل و غیره. روش های هندسی تشخیص الگو به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند و رمزها و کدهای مدرن اغلب بر اساس ویژگی های جبری منحنی های بیضوی هستند.

دارو.وظیفه بازیابی تصویر اعضای داخلیبا توجه به پیش بینی آنها که در تصاویر قابل مشاهده است (توموگرافی پزشکی) ماهیت هندسی دارد و با هندسه انتگرال همراه است (توضیح خواص یک تابع روی یک منیفولد در انتگرال های آن بر روی خانواده های داده شده از زیرمنیفولدها). در پزشکی از مدل های هندسی قسمت های مختلف اسکلت استفاده می شود (مثلاً فک متحرک در پروتز دندان، مفاصل زانو و آرنج و ...). توسعه فن آوری های مدرن سه بعدی امکان ایجاد پروتزهای استخوانی منفرد ایجاد شده از نتایج یک اسکن سه بعدی از یک بیمار را فراهم کرده است. مدل های کامپیوتری نیز نقش مهمی در پزشکی مدرن دارند. بدن های فردیو سیستم های آنها به عنوان مثال، در توسعه جراحی های جدی قلب، اغلب از مدل کامپیوتری هندسی آن استفاده می شود.

هنرتصاویر هندسی از دیرباز در هنرهای تجسمی و معماری استفاده می شده است. علم هندسی پرسپکتیو در آیسخولوسو دموکریتوس(اگرچه، البته، عناصر آن خیلی زودتر مورد استفاده قرار گرفت - به عنوان مثال، در ساخت معابد و اهرام مصر). در آینده، این بخش از هندسه توسط بسیاری از هنرمندان و دانشمندان توسعه یافت (به ویژه، سهم بزرگی در توسعه آن توسط لئوناردو داوینچی, دورر, Desargues, مونگدیگر). هندسه پرسپکتیو و هندسه توصیفی اکنون ابزارهای استانداردی برای هنرمندان، معماران و طراحان هستند. فرض کنید سقف ترمینال هوایی در شرم الشیخ (مصر) یک مدل حداقل سطحی است. هندسه در موسیقی نیز مهم است: شکل ساز موسیقی، سالن کنسرت، معبد - این نتیجه محاسبات ظریف هندسی و آکوستیک است. در نهایت، فناوری‌های سه بعدی که مبتنی بر هندسه تصویری و محاسباتی هستند، به طور فزاینده‌ای در فیلم و تلویزیون استفاده می‌شوند و آنها را به مرحله بعدی توسعه می‌رسانند.

علوم انسانی.هندسه همچنین در علوم انسانی استفاده می شود: اقتصاد (مسائل حمل و نقل، مسائل بهینه سازی، مدل های تولید هندسی، استفاده از ویژگی های نگاشت پیوسته برای یافتن). تعادل اقتصادی) زبان شناسی (هندسه فضاهای کلمات) و غیره.

دین.هندسه مقدس - سیستم اعتقادات مذهبیدر مورد اشکال و فضای جهان که منعکس کننده تناسب و هماهنگی آن است - در اکثر ادیان جهانی وجود دارد. این خود را در معماری مقدس، نقاشی و موسیقی، در شمایل نگاری نشان می دهد. تقریباً همه ادیان از اشکال هندسی به عنوان نمادهای مقدس استفاده می کنند.

تحصیلات.در آموزش مدارس مدرن، هندسه نقش استثنایی ایفا می کند. در درس‌های هندسه است که کودکان می‌آموزند اثبات دقیق چیست، یاد می‌گیرند که منطقی فکر کنند و از مقدمات نتیجه‌گیری مستدل بگیرند. در عین حال، هندسه مدرسه ریاضیات بصری (یعنی ثابت) را نشان می دهد که نه بر اساس فرمول ها بلکه بر اساس مطالعه دقیق ویژگی های کیفی اجسام هندسی است. این ترکیب سختگیری با وضوح در قلب تصویر طبیعی-علمی جهان نهفته است. بنابراین، مطالعه هندسه - مرحله بحرانیدر تمام آموزش های علمی ، مطابق. از آن.، M. - L.، 1937.

"علم هندسه" - قرن ششم قبل از میلاد. اشکال هندسی اطراف ما 4. چهار کشور به شکل مثلث هستند. در کلاس به چه ابزارهایی نیاز خواهیم داشت؟ خواص اشکال در یک صفحه را بررسی می کند. کلمه "هندسه" به چه معناست؟ حراج برای فروش پنج تایی. پلان سنجی. نقاشی های ویکتور وازارلی. خواص اشکال در فضا را بررسی می کند.

"آرایش متقابل خطوط مستقیم در فضا" - الف. ؟؟؟ آ؟ ب خطوط مستقیم عبور کرد. ب تعریف خطوط عبور را معرفی کنید. ?. فرمول را معرفی کنید و علامت و خاصیت خطوط مستقیم را ثابت کنید. محل قرار گرفتن خطوط مستقیم در فضا: آنها در یک صفحه قرار دارند! چرا؟ داده شده: AB ?, CD? ? = C، C AB.

مقایسه خطوط - خطوط و زوایا را مقایسه کنید. © Maksimovskaya M.A.، 2009. مقایسه بخش ها A. B. تعریف. سی.

"انواع" - این متریک طبیعی ساساکی را معرفی می کند. ... 21.19 شکل 8. 7. شکل 9. حدس پوانکاره به شرح زیر است. جریان ریچی برنج. 14. شکل. 5.25.22 شکل. 18. 26. 24. فرضیه هندسی تورستون. منیفولدهای سه بعدی. برنج. 19. شکل. 10. 15. 9. هندسه های سه بعدی همگن. برنج. 6. منیفولدهای دو بعدی.

"کتاب درسی هندسه" - چند وجهی توصیف شده در اطراف یک کره 34. خط وسط یک مثلث 33. 3. گنجاندن در محتوای مطالب تاریخی. شباهت ارقام متوازی الاضلاع 30. وظایف خلاقانه فردی. استفاده از نقاشی توسط هنرمندان: S. Dali، A. Dürer، O. Ruthersvard، M. Escher و دیگران کتابچه راهنمای آماده سازی برای امتحان.

"فرمول بخش" - مسئله 3. نتیجه: x