خواص مثلث حاد اضلاع. انواع مثلث
ساده ترین چندضلعی که در مدرسه مطالعه می شود یک مثلث است. برای دانش آموزان قابل درک تر است و با مشکلات کمتری مواجه می شود. علیرغم وجود انواع مختلفی از مثلث ها که دارای خواص ویژه ای هستند.
به چه شکلی مثلث می گویند؟
توسط سه نقطه و بخش تشکیل شده است. اولی ها را رئوس و دومی ها را طرف می نامند. علاوه بر این، هر سه بخش باید طوری به هم وصل شوند که زوایایی بین آنها ایجاد شود. از این رو نام شکل "مثلث" است.
تفاوت در نام در گوشه و کنار
از آنجایی که می توانند حاد، منفرد و مستقیم باشند، انواع مثلث ها با این نام ها مشخص می شوند. بر این اساس، سه گروه از این چهره ها وجود دارد.
- اولین. اگر تمام زوایای یک مثلث تند باشد، آن را حاد می نامند. همه چیز منطقی است.
- دومین. یکی از زوایا منفرد است، یعنی مثلث منفرد است. ساده تر از این نمی توانست باشد.
- سوم. زاویه ای برابر با 90 درجه وجود دارد که به آن زاویه قائمه می گویند. مثلث مستطیل می شود.
تفاوت در نام در طرفین
بسته به ویژگی های اضلاع، انواع مثلث های زیر متمایز می شوند:
حالت کلی scalene است که در آن تمام اضلاع دارای طول دلخواه هستند.
متساوی الساقین که دو طرف آن مقادیر عددی یکسانی دارند.
متساوی الاضلاع، طول همه اضلاع آن یکسان است.
اگر مشکل نوع خاصی از مثلث را مشخص نمی کند، باید یک مثلث دلخواه ترسیم کنید. که در آن تمام گوشه ها تیز هستند و کناره ها دارای طول های مختلف هستند.
ویژگی های مشترک در همه مثلث ها
- اگر تمام زوایای یک مثلث را جمع کنید، عددی برابر با 180 درجه به دست می آید. و فرقی نمی کند که چه نوع باشد. این قانون همیشه اعمال می شود.
- مقدار عددی هر ضلع مثلث کمتر از دو ضلع دیگر است که با هم جمع می شوند. علاوه بر این، از تفاوت آنها بیشتر است.
- هر گوشه بیرونیدارای مقداری است که با افزودن دو داخلی که مجاور آن نیستند به دست می آید. علاوه بر این، همیشه بزرگتر از داخلی مجاور آن است.
- کوچکترین زاویه همیشه در مقابل ضلع کوچکتر مثلث است. و بالعکس، اگر ضلع بزرگ باشد، زاویه آن بزرگترین خواهد بود.
این ویژگی ها همیشه معتبر هستند، صرف نظر از اینکه چه نوع مثلث هایی در مسائل در نظر گرفته می شوند. همه بقیه از ویژگی های خاص پیروی می کنند.
ویژگی های مثلث متساوی الساقین
- زوایایی که در مجاورت قاعده قرار دارند با هم برابرند.
- ارتفاعی که به سمت قاعده کشیده می شود نیز میانه و نیمساز است.
- ارتفاعات، میانه ها و نیمسازها که در اضلاع جانبی مثلث ساخته شده اند، به ترتیب با یکدیگر برابر هستند.
ویژگی های مثلث متساوی الاضلاع
اگر چنین رقمی وجود داشته باشد، تمام ویژگی هایی که کمی در بالا توضیح داده شده است، صادق خواهند بود. زیرا متساوی الاضلاع همیشه متساوی الساقین خواهد بود. اما نه برعکس مثلث متساوی الساقینلزوما متساوی الاضلاع نخواهد بود.
- تمام زوایای آن با یکدیگر برابر بوده و مقدار آن 60 درجه است.
- هر وسط یک مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع و نیمساز آن است. علاوه بر این، همه آنها با یکدیگر برابر هستند. برای تعیین مقادیر آنها، فرمولی وجود دارد که از حاصل ضرب ضلع و جذر 3 تقسیم بر 2 تشکیل شده است.
ویژگی های مثلث قائم الزاویه
- مجموع دو زاویه تند 90 درجه می شود.
- طول هیپوتنوز همیشه از هر یک از پاها بیشتر است.
- مقدار عددی میانه رسم شده به هیپوتنوس برابر با نصف آن است.
- اگر پا در مقابل زاویه 30 درجه قرار گیرد با همان مقدار برابر است.
- ارتفاعی که از راس با مقدار 90 درجه ترسیم می شود، وابستگی ریاضی خاصی به پاها دارد: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. در اینجا: a، b - پاها، n - ارتفاع.
مشکلات با انواع مثلث ها
شماره 1. یک مثلث متساوی الساقین در نظر گرفته شده است. محیط آن مشخص است و برابر با 90 سانتی متر است. مانند شرط اضافی: طرف کناری 1.2 برابر کوچکتر از پایه است.
مقدار محیط به طور مستقیم به مقادیری که باید پیدا شود بستگی دارد. مجموع هر سه ضلع 90 سانتی متر می شود حالا باید علامت مثلث را به خاطر بسپارید که مطابق آن متساوی الساقین است. یعنی دو طرف برابرند. شما می توانید یک معادله با دو مجهول ایجاد کنید: 2a + b = 90. در اینجا a طرف است، b پایه است.
حالا نوبت یک شرط اضافی است. به دنبال آن، معادله دوم به دست می آید: b = 1.2a. می توانید این عبارت را با عبارت اول جایگزین کنید. معلوم می شود: 2a + 1.2a = 90. پس از تبدیل: 3.2a = 90. از این رو a = 28.125 (سانتی متر). اکنون به راحتی می توان اساس را پیدا کرد. این بهتر است از شرط دوم انجام شود: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (سانتی متر).
برای بررسی، می توانید سه مقدار اضافه کنید: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (cm). درست است.
پاسخ: اضلاع مثلث 28.125 سانتی متر، 28.125 سانتی متر، 33.75 سانتی متر است.
شماره 2. ضلع مثلث متساوی الاضلاع 12 سانتی متر است، باید ارتفاع آن را محاسبه کنید.
راه حل. برای یافتن پاسخ کافی است به لحظه ای که ویژگی های مثلث شرح داده شد بازگردیم. این فرمول برای یافتن ارتفاع، میانه و نیمساز مثلث متساوی الاضلاع است.
n = a * √3 / 2، که در آن n ارتفاع و a سمت است.
تعویض و محاسبه نتیجه زیر را به دست می دهد: n = 6 √3 (cm).
نیازی به حفظ این فرمول نیست. کافی است به یاد داشته باشید که ارتفاع مثلث را به دو مستطیل تقسیم می کند. علاوه بر این ، معلوم می شود که یک پا است و هیپوتونوس موجود در آن طرف اصلی است ، پای دوم نیمی از ضلع شناخته شده است. حالا باید قضیه فیثاغورث را بنویسید و یک فرمول برای ارتفاع استخراج کنید.
پاسخ: قد 6 √3 سانتی متر است.
شماره 3. با توجه به اینکه MKR یک مثلث است که در آن زاویه K 90 درجه است، اضلاع MR و KR به ترتیب برابر با 30 و 15 سانتی متر هستند.
راه حل. اگر یک نقاشی بکشید، مشخص می شود که MR هیپوتانوس است. علاوه بر این، دو برابر بزرگتر از سمت KR است. دوباره باید به خواص مراجعه کنید. یکی از آنها مربوط به زاویه است. از آن مشخص است که زاویه KMR 30 درجه است. این به این معنی است که زاویه مورد نظر P برابر با 60 درجه خواهد بود. این از خاصیت دیگری ناشی می شود که بیان می کند مجموع دو زاویه تند باید برابر 90 درجه باشد.
پاسخ: زاویه P 60 درجه است.
شماره 4. ما باید تمام زوایای یک مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم. در مورد آن مشخص است که زاویه خارجی از زاویه در پایه 110 درجه است.
راه حل. از آنجایی که فقط زاویه خارجی داده شده است، این همان چیزی است که باید استفاده کنید. این یک زاویه باز شده با زاویه داخلی تشکیل می دهد. یعنی در مجموع 180 درجه می دهند. یعنی زاویه قاعده مثلث برابر 70 درجه خواهد بود. از آنجایی که متساوی الساقین است، زاویه دوم نیز همان مقدار را دارد. باقی مانده است که زاویه سوم را محاسبه کنیم. طبق ویژگی مشترک همه مثلث ها، مجموع زاویه ها 180 درجه است. این بدان معنی است که سومی به صورت 180º - 70º - 70º = 40º تعریف می شود.
پاسخ: زوایای 70 درجه، 70 درجه، 40 درجه است.
شماره 5. مشخص است که در مثلث متساوی الساقین زاویه مقابل قاعده 90 درجه است. یک نقطه روی پایه مشخص شده است. قسمتی که آن را به زاویه قائمه متصل می کند، آن را به نسبت 1 به 4 تقسیم می کند. باید تمام زوایای مثلث کوچکتر را پیدا کنید.
راه حل. یکی از زاویه ها را می توان بلافاصله تعیین کرد. از آنجایی که مثلث قائم الزاویه و متساوی الساقین است، آنهایی که در قاعده آن قرار دارند هر کدام 45 درجه خواهند بود، یعنی 90 درجه / 2.
دومی از آنها به شما کمک می کند تا رابطه شناخته شده در شرایط را پیدا کنید. از آنجایی که برابر است با 1 به 4، پس قسمت هایی که به آنها تقسیم می شود فقط 5 است. بنابراین، برای پیدا کردن زاویه کوچکترمثلث به 90º/5 = 18º نیاز دارد. باقی مانده است که سومی را کشف کنیم. برای این کار باید 45 و 18 درجه را از 180 درجه کم کنید (مجموع تمام زوایای مثلث). محاسبات ساده هستند، و شما دریافت می کنید: 117 درجه.
نامگذاری های استاندارد
مثلث با رئوس آ, بو سیبه عنوان تعیین شده است (شکل را ببینید). مثلث سه ضلع دارد:
طول اضلاع یک مثلث با حروف کوچک نشان داده می شود با حروف لاتین(الف، ب، ج):
یک مثلث دارای زوایای زیر است:
مقادیر زاویه در رئوس مربوطه به طور سنتی با حروف یونانی (α، β، γ) نشان داده می شود.
نشانه های تساوی مثلث ها
یک مثلث در صفحه اقلیدسی را می توان به طور منحصر به فرد (تا همخوانی) توسط سه گانه عناصر اساسی زیر تعیین کرد:
- a، b، γ (برابری در دو طرف و زاویه قرار گرفته بین آنها).
- a، β، γ (برابری در ضلع و دو زاویه مجاور)؛
- الف، ب، ج (برابری در سه طرف).
نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:
- در امتداد ساق و هیپوتانوز؛
- روی دو پا؛
- در امتداد ساق و زاویه حاد؛
- در امتداد هیپوتنوز و زاویه حاد.
برخی از نقاط مثلث "جفت" هستند. به عنوان مثال، دو نقطه وجود دارد که همه اضلاع آن با زاویه 60 درجه یا زاویه 120 درجه قابل مشاهده است. آنها نامیده می شوند نقاط توریچلی. همچنین دو نقطه وجود دارد که برآمدگی آنها روی اضلاع در رأس یک مثلث منظم قرار دارد. این - نقاط آپولونیوس. امتیاز و مانند آن نامیده می شود نقاط بروکارد.
مستقیم
در هر مثلثی، مرکز ثقل، مرکز قائم و مرکز دایره بر روی یک خط مستقیم قرار دارند که به نام خط اویلر.
خط مستقیمی که از مرکز دایره و نقطه لموئین می گذرد نامیده می شود محور بروکارت. نقاط آپولونیوس روی آن قرار دارد. نقطه Torricelli و نقطه Lemoine نیز در یک خط قرار دارند. قاعده نیمسازهای خارجی زوایای مثلث روی یک خط مستقیم قرار دارند که به نام محور نیمسازهای خارجی. نقاط تلاقی خطوط حاوی اضلاع یک مثلث با خطوط حاوی اضلاع مثلث نیز روی همان خط قرار دارند. این خط نامیده می شود محور ارتوسنتریک، بر خط مستقیم اویلر عمود است.
اگر نقطه ای از دایره دایره مثلث بگیریم، برآمدگی های آن روی اضلاع مثلث روی همان خط مستقیم قرار می گیرد که به نام سیمسون مستقیم استاین نقطه خطوط سیمسون از نقاط کاملاً متضاد، عمود هستند.
مثلثها
- مثلثی با رئوس در قاعده های کشیده شده از یک نقطه معین نامیده می شود مثلث سئویناین نقطه
- مثلثی با رئوس در برآمدگی یک نقطه معین روی اضلاع نامیده می شود چمنیا مثلث پدالاین نقطه
- مثلثی که رئوس آن در دومین نقطه تلاقی خطوط کشیده شده از رئوس و نقطه داده شده با دایره محصور شده نامیده می شود. مثلث محیطی. مثلث محیطی شبیه مثلث چمنی است.
حلقه ها
- دایره حکاکی شده- دایره ای که هر سه ضلع مثلث را لمس می کند. او تنها است. مرکز دایره محاطی نامیده می شود در مرکز.
- حول دایره- دایره ای که از هر سه رأس یک مثلث می گذرد. دایره محدود نیز منحصر به فرد است.
- حلقه بزنید- دایره ای که یک طرف مثلث و ادامه دو ضلع دیگر را لمس می کند. سه دایره از این قبیل در یک مثلث وجود دارد. مرکز رادیکال آنها مرکز دایره محاطی مثلث میانی است که به آن می گویند نکته اسپایکر.
نقاط وسط سه ضلع یک مثلث، پایه های سه ارتفاع آن و وسط سه قسمتی که راس آن را به مرکز قائم متصل می کنند، روی یک دایره قرار دارند که به آن می گویند. دایره نه نقطه اییا دایره اویلر. مرکز دایره نه نقطه ای روی خط اویلر قرار دارد. یک دایره نه نقطه ای یک دایره محاطی و سه دایره دور را لمس می کند. نقطه مماس بین دایره محاط شده و دایره نه نقطه نامیده می شود نقطه فویرباخ. اگر از هر رأس به سمت بیرون مثلث روی خطوط مستقیمی که اضلاع را شامل می شود، ارتزهایی مساوی با اضلاع مقابل قرار دهیم، شش نقطه به دست آمده روی همان دایره قرار می گیرند - دایره کانوی. سه دایره را می توان در هر مثلث به گونه ای حک کرد که هر یک از آنها دو ضلع مثلث و دو دایره دیگر را لمس کنند. چنین حلقه هایی نامیده می شوند دایره های مالفاتی. مرکز دایره های محصور شش مثلثی که مثلث به وسط آنها تقسیم می شود روی یک دایره قرار دارد که به آن می گویند. دور لامون.
یک مثلث دارای سه دایره است که دو ضلع مثلث و دایره دایره را لمس می کنند. چنین حلقه هایی نامیده می شوند نیمه کتیبه اییا دایره های Verrier. قطعاتی که نقاط مماس دایره های وریر را به دایره دایره ای متصل می کنند در یک نقطه به نام نکته وریر. به عنوان مرکز یک همگنی عمل می کند که یک دایره را به یک دایره محاط تبدیل می کند. نقاط تماس دایره های Verrier با اضلاع روی یک خط مستقیم قرار دارند که از مرکز دایره محاطی می گذرد.
قطعاتی که نقاط مماس دایره محاطی را به رئوس متصل می کنند در یک نقطه به نام نقطه گرگون، و پاره های اتصال رئوس با نقاط مماس دایره ها در هستند نقطه ناگل.
بیضی ها، سهمی ها و هذلولی ها
مخروطی کتیبه (بیضی) و چشم انداز آن
تعداد نامتناهی مخروط (بیضی، سهمی یا هذلولی) را می توان در یک مثلث حک کرد. اگر یک مخروط دلخواه را در یک مثلث حک کنیم و نقاط مماس را با رئوس مخالف به هم وصل کنیم، آنگاه خطوط مستقیم حاصل در یک نقطه قطع می شوند که به آن می گویند. کاوشگرتختخواب برای هر نقطه ای از هواپیما که در یک طرف یا در امتداد آن قرار ندارد، یک مخروط حکاکی شده با یک چشم انداز در این نقطه وجود دارد.
بیضی اشتاینر توصیف شده و سئوین ها از کانون های آن عبور می کنند
شما می توانید یک بیضی را در یک مثلث حک کنید که اضلاع را در وسط لمس می کند. چنین بیضی نامیده می شود بیضی اشتاینر حکاکی شده است(پرسپکتیو آن مرکز مثلث خواهد بود). بیضی محصور که خطوطی را که از رئوس موازی با اضلاع عبور می کنند لمس می کند، نامیده می شود. توسط بیضی اشتاینر توصیف شده است. اگر یک مثلث را با استفاده از تبدیل افین ("کول") به یک مثلث منتظم تبدیل کنیم، بیضی اشتاینر محاط شده و محاط شده آن به یک دایره محاط شده و محصور تبدیل می شود. خطوط شوین که از میان کانون های بیضی اشتاینر توصیف شده (نقاط اسکوتین) کشیده شده اند با هم برابر هستند (قضیه اسکوتین). از بین تمام بیضی های توصیف شده، بیضی اشتاینر توصیف شده دارای آن است کوچکترین منطقهو از بین تمام کتیبه ها، بیضی کتیبه ای اشتاینر بیشترین مساحت را دارد.
بیضی بروکارد و تماشاگر آن - نقطه لموئین
بیضی با کانون در نقاط بروکارد نامیده می شود بیضی بروکارد. چشم انداز آن نقطه Lemoine است.
ویژگی های سهمی محاطی
سهمی کیپرت
چشم انداز سهمی های محاط شده بر روی بیضی اشتاینر توصیف شده نهفته است. کانون یک سهمی حکاکی شده روی دایره دایره قرار دارد و جهاز از مرکز متعامد عبور می کند. سهمی که در یک مثلث حک شده و جهت اویلر به عنوان خط مستقیم آن وجود دارد، نامیده می شود. سهمی کیپرت. چشم انداز آن چهارمین نقطه تلاقی دایره محصور و بیضی استاینر محدود است که به نام نقطه اشتاینر.
هذلولی کیپرت
اگر هذلولی توصیف شده از نقطه تقاطع ارتفاعات عبور کند، متساوی الاضلاع است (یعنی مجانب آن عمود هستند). نقطه تلاقی مجانب هذلولی متساوی الاضلاع روی دایره نه نقطه قرار دارد.
تحولات
اگر خطوطی که از رئوس عبور می کنند و نقطه ای که در طرفین قرار ندارد و امتداد آنها نسبت به نیمسازهای مربوطه منعکس می شود، تصاویر آنها نیز در یک نقطه قطع می شود که به آن می گویند. مزدوج همساناصلی (اگر نقطه روی دایره محدود قرار داشته باشد، خطوط حاصل موازی خواهند بود). بسیاری از جفت نقاط قابل توجه به صورت متقابل مزدوج هستند: مرکز و مرکز متعامد، مرکز و نقطه Lemoine، نقاط Brocard. نقاط آپولونیوس به صورت همسان با نقاط توریچلی مزدوج هستند و مرکز دایره محاطی به صورت همسان با خود مزدوج است. تحت عمل صرف همگونی، خطوط مستقیم به مخروط های محدود تبدیل می شوند و مخروط های محدود به خطوط مستقیم. بنابراین، هذلولی کیپرت و محور بروکارد، هذلولی جنزابک و خط مستقیم اویلر، هذلولی فویرباخ و خط مراکز دایره های محاط شده و محاط شده به صورت هم ضلعی مزدوج هستند. دایره های مثلث نقاط مزدوج همسان بر هم منطبق هستند. کانون های بیضی های محاط شده به صورت هم ضلعی مزدوج هستند.
اگر به جای یک سئوین متقارن، یک سئوین را انتخاب کنیم که قاعده آن از وسط ضلع به اندازه قاعده ی اصلی فاصله داشته باشد، آنگاه چنین سئوین ها نیز در یک نقطه قطع می شوند. تبدیل حاصل نامیده می شود کونژوگاسیون ایزوتومی. همچنین خطوط مستقیم را به مخروط های توصیف شده تبدیل می کند. نقاط Gergonne و Nagel از نظر ایزوتومی مزدوج هستند. تحت تبدیل های آفین، نقاط مزدوج ایزوتومی به نقاط مزدوج ایزوتومی تبدیل می شوند. با صرف ایزوتومی، بیضی اشتاینر توصیف شده به خط مستقیم بی نهایت دور می رود.
اگر در قسمت‌هایی که اضلاع مثلث از دایره بریده شده‌اند، دایره‌هایی را که اضلاع آنها را لمس می‌کنند، در پایه‌های سیون‌ها که از نقطه‌ای معین کشیده شده‌اند، می‌نویسیم و سپس نقاط مماس این دایره‌ها را با راس مخالف به دایره مدور متصل می‌کنیم. سپس چنین خطوط مستقیمی در یک نقطه قطع می شوند. تبدیل صفحه ای که نقطه اصلی را با نقطه حاصل مطابقت دهد نامیده می شود تبدیل همدوره ای. ترکیب مزدوج های ایزوگونال و ایزوتومی ترکیب یک تبدیل همسان دایره ای با خود است. این ترکیب یک تبدیل تصویری است که اضلاع مثلث را در جای خود رها می کند و محور نیمسازهای خارجی را به یک خط مستقیم در بی نهایت تبدیل می کند.
اگر اضلاع یک مثلث شوین را در یک نقطه مشخص گسترش دهیم و نقاط تقاطع آنها را با اضلاع مربوطه در نظر بگیریم، آنگاه نقاط تقاطع حاصل روی یک خط مستقیم قرار می گیرند که به نام قطبی سه خطینقطه شروع. محور ارتوسنتریک قطب سه خطی مرکز متعامد است. قطب سه خطی مرکز دایره محاطی، محور نیمسازهای خارجی است. قطب‌های سه‌خطی نقاطی که روی یک مخروط محدود قرار دارند در یک نقطه قطع می‌شوند (برای یک دایره محصور این نقطه لموئین است و برای یک بیضی اشتاینر محصور شده مرکز است). ترکیب یک مزدوج هم ضلعی (یا ایزوتومی) و یک قطب سه خطی یک تبدیل دوگانه است (اگر یک نقطه به صورت ایزوگونال (ایزوتومی) به یک نقطه مزدوج روی قطب سه خطی یک نقطه قرار گیرد، پس قطب سه خطی یک نقطه به صورت همسان (ایزوتومی) مزدوج به نقطه ای که روی قطب سه خطی یک نقطه قرار دارد).
مکعبها
نسبت ها در یک مثلث
توجه داشته باشید:در این بخش، طول سه ضلع مثلث، و زوایایی هستند که به ترتیب در مقابل این سه ضلع قرار دارند (زوایای مخالف).
نابرابری مثلثی
در مثلث غیر منحط، مجموع طول دو ضلع آن از طول ضلع سوم بیشتر است، در مثلث منحط برابر است. به عبارت دیگر، طول اضلاع یک مثلث با نابرابری های زیر مرتبط است:
نابرابری مثلث یکی از بدیهیات متریک است.
قضیه مجموع زاویه مثلث
قضیه سینوس ها
,که در آن R شعاع دایره ای است که به دور مثلث محصور شده است. از این قضیه برمی آید که اگر الف< b < c, то α < β < γ.
قضیه کسینوس
قضیه مماس
نسبت های دیگر
نسبت های متریک در یک مثلث برای:
حل مثلث
محاسبه اضلاع و زوایای مجهول مثلث بر اساس اضلاع شناخته شده در طول تاریخ "حل مثلث" نامیده می شود. از قضایای مثلثاتی کلی فوق استفاده می شود.
مساحت یک مثلث
موارد خاص علامت گذاریبرای منطقه نابرابری های زیر معتبر است:
محاسبه مساحت مثلث در فضا با استفاده از بردارها
رئوس مثلث در نقاط , , .
بیایید بردار مساحت را معرفی کنیم. طول این بردار برابر با مساحت مثلث است و نسبت به صفحه مثلث عادی است:
اجازه دهید ما را تنظیم کنیم، که در آن،، پیش بینی های مثلث بر روی هواپیماهای مختصات هستند. که در آن
و به همین ترتیب
مساحت مثلث است.
یک جایگزین این است که طول اضلاع را محاسبه کنید (با استفاده از قضیه فیثاغورث) و سپس با استفاده از فرمول هرون.
قضایای مثلث
قضیه دزارگ: اگر دو مثلث پرسپکتیو باشند (خطوطی که از رئوس متناظر مثلث ها می گذرند در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند)، اضلاع متناظر آنها در همان خط قطع می شوند.
قضیه سوندا: اگر دو مثلث پرسپکتیو و متعامد باشند (عمودهایی که از رئوس یک مثلث به اضلاع مقابل رئوس متناظر مثلث کشیده شده اند و بالعکس) هر دو مرکز ارثولوژی (نقاط تلاقی این عمودها) و مرکز پرسپکتیو روی یک خط مستقیم، عمود بر محور پرسپکتیو قرار دارد (خط مستقیم از قضیه دزارگ).
مثلث - تعریف و مفاهیم کلی
مثلث یک چند ضلعی ساده است که از سه ضلع تشکیل شده و تعداد زوایا یکسانی دارد. صفحات آن توسط 3 نقطه و 3 بخش محدود شده است که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کند.
تمام رئوس هر مثلث، صرف نظر از نوع آن، با حروف بزرگ لاتین مشخص می شوند و اضلاع آن با علامت های مربوط به رئوس مخالف، فقط نه با حروف بزرگ، بلکه با حروف کوچک نشان داده می شوند. به عنوان مثال، مثلثی با رئوس با برچسب A، B و C دارای اضلاع a، b، c است.
اگر مثلثی را در فضای اقلیدسی در نظر بگیریم، آن شکل هندسی است که با استفاده از سه بخش که سه نقطه را که روی یک خط مستقیم قرار ندارند به هم متصل می‌کنند.
به تصویر نشان داده شده در بالا با دقت نگاه کنید. روی آن نقاط A، B و C رئوس این مثلث هستند و پاره های آن را اضلاع مثلث می نامند. هر رأس این چند ضلعی زاویه هایی را در داخل آن تشکیل می دهد.
انواع مثلث
با توجه به اندازه زوایای مثلث ها، آنها به انواع مختلفی تقسیم می شوند: مستطیل؛
حاد زاویه ای؛
دیر فهم.
مثلث های مستطیلی شامل آنهایی هستند که یک زاویه قائمه و دو زاویه دیگر دارای زاویه تند هستند.
مثلث های حاد آنهایی هستند که تمام زوایای آن تند باشد.
و اگر مثلثی دارای یک زاویه منفرد و دو زاویه دیگر حاد باشد، چنین مثلثی به عنوان منفرد طبقه بندی می شود.
هر یک از شما به خوبی می‌دانید که همه مثلثها اضلاع مساوی ندارند. و با توجه به طول اضلاع آن، مثلث ها را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:
متساوی الساقین;
متساوی الاضلاع؛
همه کاره.
وظیفه: قرعه کشی انواع متفاوتمثلثها. آنها را تعریف کنید. چه تفاوتی بین آنها می بینید؟
ویژگی های اساسی مثلث ها
اگرچه این چند ضلعی های ساده ممکن است از نظر اندازه زاویه یا اضلاع با یکدیگر متفاوت باشند، اما هر مثلث دارای ویژگی های اساسی است که مشخصه این شکل است.
در هر مثلث:
مجموع تمام زوایای آن 180 درجه است.
اگر متعلق به متساوی الاضلاع باشد، هر یک از زوایای آن 60 درجه است.
مثلث متساوی الاضلاع دارای زوایای مساوی و مساوی است.
هرچه ضلع چند ضلعی کوچکتر باشد، زاویه مقابل آن کوچکتر است و بالعکس، زاویه بزرگتر در مقابل ضلع بزرگتر است.
اگر اضلاع مساوی باشند، در مقابل آنها زوایای مساوی وجود دارد و بالعکس.
اگر مثلثی را بگیریم و ضلع آن را گسترش دهیم، در نهایت با یک زاویه خارجی مواجه می شویم. برابر است با مجموع زوایای داخلی.
در هر مثلثی، ضلع آن، صرف نظر از اینکه کدام یک را انتخاب کنید، باز هم کمتر از مجموع 2 ضلع دیگر خواهد بود، اما بیشتر از تفاوت آنها خواهد بود:
1. الف< b + c, a >قبل از میلاد مسیح؛
2.b< a + c, b >a–c;
3.ج< a + b, c >الف – ب
ورزش
جدول دو زاویه از قبل شناخته شده مثلث را نشان می دهد. با دانستن مجموع تمام زوایا، زاویه سوم مثلث را با چه عددی بدست آورید و در جدول وارد کنید:
1. زاویه سوم چند درجه است؟
2. متعلق به چه نوع مثلثی است؟
تست های هم ارزی مثلث ها
امضا میکنم
علامت دوم
علامت III
ارتفاع، نیمساز و وسط مثلث
ارتفاع مثلث - عمودی که از راس شکل به طرف مقابل آن کشیده می شود ارتفاع مثلث نامیده می شود. تمام ارتفاعات یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند. نقطه تلاقی هر 3 ارتفاع یک مثلث، مرکز آن است.
پاره ای که از یک راس مشخص کشیده شده و آن را در وسط به هم وصل می کند طرف مقابل، میانه است. میانه ها، و همچنین ارتفاعات یک مثلث، یک نقطه تقاطع مشترک دارند، به اصطلاح مرکز ثقل مثلث یا مرکز.
نیمساز مثلث پاره ای است که راس یک زاویه و نقطه مقابل را به هم وصل می کند و این زاویه را نیز به نصف تقسیم می کند. تمام نیمسازهای یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند که به آن مرکز دایره محاط شده در مثلث می گویند.
قسمتی که وسط دو ضلع مثلث را به هم متصل می کند خط وسط نامیده می شود.
مرجع تاریخی
شکلی مانند مثلث در دوران باستان شناخته شده بود. این شکل و خواص آن در چهار هزار سال پیش بر روی پاپیروس های مصری ذکر شده است. کمی بعد، به لطف قضیه فیثاغورث و فرمول هرون، مطالعه خواص یک مثلث به موارد بیشتری منتقل شد. سطح بالا، اما هنوز هم این اتفاق بیش از دو هزار سال پیش افتاده است.
در پانزدهم - قرن 16آنها شروع به انجام تحقیقات زیادی در مورد خواص یک مثلث کردند و در نتیجه علمی مانند پلان سنجی به وجود آمد که "هندسه مثلث جدید" نامیده شد.
دانشمند روسی N.I. Lobachevsky سهم بزرگی در شناخت خواص مثلث ها داشت. آثار او بعدها در ریاضیات، فیزیک و سایبرنتیک کاربرد پیدا کرد.
به لطف دانش در مورد خواص مثلث ها، علمی مانند مثلثات بوجود آمد. معلوم شد که در نیازهای عملی شخص برای شخص ضروری است ، زیرا استفاده از آن هنگام ترسیم نقشه ها ، اندازه گیری مناطق و حتی هنگام طراحی مکانیسم های مختلف به سادگی ضروری است.
معروف ترین مثلثی که می شناسید چیست؟ این البته مثلث برمودا است! این نام را در دهه 50 به دلیل موقعیت جغرافیایی نقاط (رأس مثلث) دریافت کرد که طبق نظریه موجود، ناهنجاری های مرتبط با آن به وجود آمد. رئوس مثلث برمودا برمودا، فلوریدا و پورتوریکو هستند.
تکلیف: چه نظریه هایی در مورد مثلث برموداشنیدی؟
آیا می دانید که در نظریه لوباچفسکی، هنگام جمع کردن زوایای مثلث، مجموع آنها همیشه کمتر از 180 درجه است. در هندسه ریمان مجموع زوایای یک مثلث بزرگتر از 180 درجه و در آثار اقلیدس برابر با 180 درجه است.
مشق شب
حل جدول کلمات متقاطع در مورد یک موضوع
سوالات جدول کلمات متقاطع:
1. عمودی که از راس مثلث به خط مستقیم واقع در ضلع مقابل کشیده می شود چه نام دارد؟
2. چگونه در یک کلمه می توان مجموع طول اضلاع یک مثلث را نام برد؟
3- مثلثی را نام ببرید که دو ضلع آن مساوی باشد؟
4- مثلثی را نام ببرید که زاویه آن برابر 90 درجه باشد؟
5. نام بزرگترین ضلع مثلث چیست؟
6. نام ضلع مثلث متساوی الساقین چیست؟
7. همیشه در هر مثلثی سه عدد از آنها وجود دارد.
8. نام مثلثی که یکی از زوایای آن از 90 درجه بیشتر باشد چیست؟
9. نام پاره ای که بالای شکل ما را به وسط طرف مقابل متصل می کند؟
10. در یک چند ضلعی ساده ABC حرف بزرگ A ... است؟
11. نام پاره ای که زاویه مثلث را به دو نیم می کند چیست؟
سوالات در مورد مثلث:
1. آن را تعریف کنید.
2. چند ارتفاع دارد؟
3. یک مثلث چند نیمساز دارد؟
4. مجموع زوایای آن چقدر است؟
5. چه انواعی از این چندضلعی ساده را می شناسید؟
6. نقاط مثلثی که قابل توجه نامیده می شوند را نام ببرید.
7. برای اندازه گیری زاویه از چه وسیله ای می توان استفاده کرد؟
8. اگر عقربه های ساعت 21 را نشان می دهند. عقربه های ساعت چه زاویه ای ایجاد می کنند؟
9. اگر دستور «چپ»، «دایره» به فرد داده شود، از چه زاویه ای می چرخد؟
10. چه تعاریف دیگری را می شناسید که با شکلی که دارای سه زاویه و سه ضلع است مرتبط باشد؟
هنگام مطالعه ریاضی، دانش آموزان شروع به آشنایی با انواع مختلف می کنند شکل های هندسی. امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد انواع مختلفمثلثها.
تعریف
به اشکال هندسی که از سه نقطه تشکیل شده اند که در یک خط قرار ندارند مثلث می گویند.
قطعاتی که نقاط را به هم متصل می کنند ضلع و نقاط را رئوس می نامند. رئوس با حروف بزرگ مشخص می شوند، به عنوان مثال: A، B، C.
طرفین با نام دو نقطه ای که از آن تشکیل شده اند - AB، BC، AC مشخص می شوند. متقاطع، اضلاع زاویه تشکیل می دهند. سمت پایین پایه شکل در نظر گرفته می شود.
برنج. 1. مثلث ABC.
انواع مثلث
مثلث ها بر اساس زاویه و ضلع طبقه بندی می شوند. هر نوع مثلث ویژگی های خاص خود را دارد.
سه نوع مثلث در گوشه ها وجود دارد:
- حاد زاویه دار؛
- مستطیل شکل؛
- کج زاویه دار
همه زوایا حاد زاویه دارمثلث ها حاد هستند، یعنی درجه هر یک از 90 0 بیشتر نیست.
مستطیل شکلیک مثلث شامل یک زاویه قائمه است. دو زاویه دیگر همیشه حاد خواهند بود، زیرا در غیر این صورت مجموع زوایای مثلث از 180 درجه تجاوز می کند و این غیرممکن است. طرفی که مقابل است زاویه راست، هیپوتنوز نامیده می شود و دو پای دیگر. هیپوتونوس همیشه بزرگتر از ساق است.
دیر فهممثلث دارای یک زاویه منفرد است. یعنی زاویه ای بیشتر از 90 درجه. دو زاویه دیگر در چنین مثلثی تند خواهند بود.
برنج. 2. انواع مثلث در گوشه ها.
مثلث فیثاغورثی مستطیلی است که اضلاع آن 3، 4، 5 باشد.
علاوه بر این، ضلع بزرگتر هیپوتنوز است.
از چنین مثلث هایی اغلب برای ساختن استفاده می شود کارهای سادهدر هندسه بنابراین، به یاد داشته باشید: اگر دو ضلع یک مثلث برابر با 3 باشد، ضلع سوم قطعاً 5 خواهد بود. این محاسبات را ساده می کند.
انواع مثلث در اضلاع:
- متساوی الاضلاع
- متساوی الساقین;
- همه کاره.
متساوی الاضلاعمثلث مثلثی است که همه اضلاع آن برابر باشند. تمام زوایای چنین مثلثی برابر با 60 0 است، یعنی همیشه حاد است.
متساوی الساقینمثلث - مثلثی که فقط دو ضلع آن برابر است. این اضلاع را جانبی و سومی را پایه می نامند. علاوه بر این، زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین برابر و همیشه تیز هستند.
همه کارهیا مثلث دلخواه مثلثی است که در آن تمام طول ها و تمام زوایا با هم برابر نیستند.
اگر مشکل حاوی هیچ توضیحی در مورد شکل نباشد، به طور کلی پذیرفته شده است که ما در مورد یک مثلث دلخواه صحبت می کنیم.
برنج. 3. انواع مثلث در اضلاع.
مجموع تمام زوایای یک مثلث، صرف نظر از نوع آن، 1800 است.
در مقابل زاویه بزرگتر، ضلع بزرگتر قرار دارد. و همچنین طول هر ضلعی همیشه کمتر از مجموع دو ضلع دیگر آن است. این ویژگی ها با قضیه نابرابری مثلث تایید می شوند.
مفهومی از مثلث طلایی وجود دارد. این یک مثلث متساوی الساقین است که دو ضلع آن با قاعده متناسب و برابر با عدد معینی است. در چنین شکلی، زاویه ها با نسبت 2:2:1 متناسب هستند.
وظیفه:
آیا مثلثی وجود دارد که اضلاع آن 6 سانتی متر، 3 سانتی متر، 4 سانتی متر باشد؟
راه حل:
برای حل این کار باید از نابرابری a استفاده کنید
ما چه آموخته ایم؟
از جانب از این مواداز درس ریاضی پنجم دبستان آموختیم که مثلث ها بر اساس اضلاع و اندازه زوایایشان طبقه بندی می شوند. مثلث ها دارای ویژگی های خاصی هستند که می توان از آنها برای حل مسائل استفاده کرد.