بردارها و عملیات روی بردارها. وکتور برای آدمک

بالاخره به موضوعی وسیع و مورد انتظار رسیدم هندسه تحلیلی... ابتدا کمی در مورد این بخش از ریاضیات عالی…. مطمئناً اکنون به یاد یک درس هندسه مدرسه با قضایای متعدد، برهان ها، نقاشی ها و غیره می افتید. چه چیزی را پنهان کنیم، موضوعی که مورد علاقه و اغلب مبهم برای بخش بزرگی از دانش آموزان است. هندسه تحلیلی، به اندازه کافی عجیب، ممکن است جالب تر و قابل دسترس تر به نظر برسد. صفت تحلیلی به چه معناست؟ دو نوبت ریاضی مهر شده بلافاصله به ذهن خطور می کند: «روش حل گرافیکی» و «روش حل تحلیلی». روش گرافیکیالبته با ساخت نمودارها، نقشه ها همراه است. تحلیلیهمان روششامل حل مشکلات است عمدتااز طریق اعمال جبری در این راستا، الگوریتم حل تقریباً تمام مسائل هندسه تحلیلی ساده و شفاف است، اغلب کافی است فرمول های لازم را با دقت اعمال کنید - و پاسخ آماده است! خیر، البته، به هیچ وجه بدون نقاشی انجام نمی شود، علاوه بر این، برای درک بهتر مطالب، سعی می کنم آنها را فراتر از ضرورت ذکر کنم.

دوره باز شده دروس هندسه ادعای کامل بودن نظری ندارد، بلکه بر حل مسائل عملی متمرکز است. من فقط آنچه را که از نظر من از نظر عملی مهم است در سخنرانی های خود لحاظ خواهم کرد. اگر در مورد هر بخش فرعی به کمک کامل تری نیاز دارید، ادبیات زیر را که به راحتی در دسترس است را توصیه می کنم:

1) چیزی که بدون شوخی، چندین نسل با آن آشنا هستند: کتاب درسی هندسه مدرسه، نویسندگان - L.S. آتاناسیان و شرکت... این چوب لباسی رختکن مدرسه تا به حال 20 (!) تجدید چاپ را تحمل کرده است که البته محدودیتی ندارد.

2) هندسه در 2 جلد... نویسندگان L.S. آتاناسیان، بازیلف وی.تی.... این ادبیات دبیرستانی است، شما نیاز دارید جلد اول... کارهای نادر ممکن است از دید من خارج شوند و این آموزش کمک ارزشمندی خواهد بود.

دانلود هر دو کتاب در اینترنت رایگان است. علاوه بر این، می توانید از آرشیو من با راه حل های آماده استفاده کنید که در صفحه موجود است دانلود مثال در ریاضی بالاتر.

از جعبه ابزار، من دوباره توسعه خودم را پیشنهاد می کنم - بسته نرم افزاریدر هندسه تحلیلی، که زندگی را تا حد زیادی ساده می کند و در زمان زیادی صرفه جویی می کند.

فرض بر این است که خواننده با مفاهیم اولیه هندسی و اشکال آشنا است: نقطه، خط، صفحه، مثلث، متوازی الاضلاع، متوازی الاضلاع، مکعب و غیره. توصیه می شود برخی از قضایا را به خاطر بسپارید، حداقل قضیه فیثاغورث، سلام به تکرار کنندگان)

و اکنون به ترتیب در نظر خواهیم گرفت: مفهوم یک بردار، اقدامات با بردارها، مختصات یک بردار. در ادامه توصیه میکنم مطالعه کنید مقاله مهم حاصل ضرب نقطه ای بردارهاو همچنین بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها... وظیفه محلی - تقسیم یک بخش از این نظر نیز اضافی نخواهد بود. بر اساس اطلاعات فوق می توانید مسلط شوید معادله یک خط مستقیم در یک صفحهبا ساده ترین نمونه راه حل هاکه اجازه خواهد داد حل مسائل هندسه را یاد بگیرید... مقالات زیر نیز مفید هستند: معادله یک هواپیما در فضا, معادلات یک خط مستقیم در فضا، وظایف اساسی در خط و صفحه، سایر بخش های هندسه تحلیلی. طبیعتاً در طول مسیر، وظایف معمولی را در نظر خواهند گرفت.

مفهوم برداری وکتور رایگان

ابتدا اجازه دهید تعریف مدرسه از یک بردار را تکرار کنیم. بردارتماس گرفت جهت دارقسمتی که ابتدا و انتهای آن مشخص شده است:

در این حالت، ابتدای قطعه یک نقطه است، انتهای قطعه یک نقطه است. خود بردار با نشان داده می شود. جهتضروری است، اگر فلش را به انتهای دیگر بخش تنظیم مجدد کنید، یک بردار دریافت می کنید، و این قبلا وکتور کاملا متفاوت... آسان است که مفهوم یک بردار را با حرکت یک جسم فیزیکی برابر کنید: باید موافق باشید، ورود به درهای موسسه یا خروج از درهای موسسه چیزهای کاملاً متفاوتی است.

در نظر گرفتن نقاط فردی هواپیما، فضا به اصطلاح راحت است بردار صفر... چنین بردار پایان و آغاز یکسانی دارد.

!!! توجه داشته باشید: از این پس، می توانید فرض کنید که بردارها در یک صفحه قرار دارند یا می توانید فرض کنید که آنها در فضا قرار دارند - ماهیت مطالب ارائه شده هم برای صفحه و هم برای فضا صادق است.

افسانه:خیلی ها بلافاصله متوجه یک عصا بدون فلش در نام شدند و گفتند، یک فلش هم در بالا وجود دارد! درست است، شما می توانید با یک فلش بنویسید:، اما همچنین ورودی که در آینده از آن استفاده خواهم کرد... چرا؟ ظاهراً این عادت از ملاحظات عملی ایجاد شد، تیراندازان من در مدرسه و دانشگاه بسیار متنوع و پشمالو بودند. در ادبیات آموزشی، گاهی اوقات آنها به هیچ وجه با خط میخی به دردسر نمی افتند، بلکه حروف را به صورت پررنگ برجسته می کنند:، در نتیجه به این معنی است که این یک بردار است.

این سبک بود، اما اکنون در مورد روش های نوشتن بردارها:

1) وکتورها را می توان با دو حرف بزرگ لاتین نوشت:
و غیره. علاوه بر این، حرف اول لزومانقطه شروع بردار و حرف دوم نشان دهنده نقطه پایان بردار است.

2) وکتورها نیز با حروف کوچک لاتین نوشته می شوند:
به طور خاص، برای اختصار، وکتور ما را می توان با یک حرف لاتین کوچک دوباره طراحی کرد.

طولیا مدولبردار غیر صفر طول قطعه است. طول بردار صفر صفر است. منطقی است.

طول بردار با علامت مدول نشان داده می شود:

ما کمی بعد یاد خواهیم گرفت (یا تکرار کنیم، برای چه کسی چگونه) چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم.

اینها اطلاعات ابتدایی در مورد بردار بود که برای همه دانش آموزان آشنا بود. در هندسه تحلیلی به اصطلاح وکتور رایگان.

اگر خیلی ساده است - بردار را می توان از هر نقطه به تعویق انداخت:

ما قبلاً چنین بردارهایی را برابر می نامیدیم (تعریف بردارهای مساوی در زیر ارائه خواهد شد)، اما از نظر ریاضی صرفاً بردار یکسان است یا وکتور رایگان... چرا رایگان؟ زیرا در طول حل مسائل، می توانید این یا آن بردار "مدرسه" را به هر نقطه از هواپیما یا فضایی که نیاز دارید "ضمیمه" کنید. این یک ویژگی بسیار جالب است! یک بخش جهت دار با طول و جهت دلخواه را تصور کنید - می توان آن را بی نهایت بار و در هر نقطه از فضا "کلون" کرد، در واقع، در همه جا وجود دارد. دانشجویی می گوید: هر مدرس در f ** k یک بردار. از این گذشته ، نه فقط یک قافیه شوخ ، همه چیز تقریباً درست است - یک بخش کارگردانی شده را نیز می توان در آنجا اضافه کرد. اما برای شادی عجله نکنید ، خود دانش آموزان بیشتر رنج می برند =)

بنابراین، وکتور رایگان- این هست بسیاری از قطعات خط جهت دار یکسان تعریف مدرسه ای از یک بردار، که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است: "بردار، بخش جهت دار نامیده می شود ..."، دلالت بر آن دارد. خاصیک بخش جهت دار گرفته شده از یک مجموعه معین، که به یک نقطه خاص در یک صفحه یا فضا گره خورده است.

لازم به ذکر است که از دیدگاه فیزیک، مفهوم بردار آزاد به طور کلی نادرست است و نکته کاربردی مهم است. در واقع، یک ضربه مستقیم از همان نیرو به بینی یا پیشانی برای بیان مثال احمقانه من، پیامدهای متفاوتی را به دنبال دارد. با این حال، مجانی نیستبردارها در دوره دبیرستان نیز یافت می شوند (آنجا نروید :)).

اقدامات با بردارها بردارهای خطی

در درس هندسه مدرسه تعدادی عمل و قواعد با بردار در نظر گرفته شده است: جمع بر اساس قانون مثلث، جمع بر اساس قانون متوازی الاضلاع، قانون اختلاف بردار، ضرب بردار در عدد، حاصلضرب نقطه ای بردارها و غیره.برای دانه، دو قانون را تکرار می کنیم که مخصوصاً برای حل مسائل هندسه تحلیلی مرتبط هستند.

قانون جمع بردارها طبق قانون مثلث ها

دو بردار غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید و:

برای یافتن مجموع این بردارها لازم است. از آنجایی که همه بردارها آزاد در نظر گرفته می شوند، بردار از را کنار می گذاریم پایانبردارها:

مجموع بردارها یک بردار است. برای درک بهتر این قاعده، توصیه می شود یک معنای فیزیکی در آن قرار دهید: اجازه دهید برخی از بدن مسیری را در امتداد یک بردار و سپس در امتداد یک بردار ایجاد کنند. سپس مجموع بردارها بردار مسیر به دست آمده با شروع در نقطه عزیمت و پایان در نقطه ورود است. یک قانون مشابه برای مجموع هر تعداد بردار فرموله شده است. همانطور که گفته می شود، بدن می تواند مسیر خود را به شدت در امتداد زیگزاگ، و شاید در خلبان خودکار - بر اساس بردار حاصل از مجموع، طی کند.

به هر حال، اگر بردار از شروع کنیدبردار، معادل آن را دریافت می کنید قانون متوازی الاضلاعافزودن بردارها

اول، در مورد همخطی بودن بردارها. دو بردار نامیده می شوند خطیاگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار بگیرند. به طور کلی، ما در مورد بردارهای موازی صحبت می کنیم. اما در رابطه با آنها همیشه از صفت "هم خط" استفاده می شود.

دو بردار خطی را تصور کنید. اگر فلش های این بردارها در یک راستا باشند، چنین بردارهایی نامیده می شوند کارگردانی مشترک... اگر فلش ها در جهت های مختلف باشند، بردارها خواهند بود جهت مخالف.

افسانه:هم خطی بردارها با نماد موازی معمول نوشته می شود:، در حالی که جزئیات امکان پذیر است: (بردارها هم جهت هستند) یا (بردارها مخالف جهت می شوند).

بر اساس محصولبردار غیرصفر با عدد برداری است که طول آن برابر است و بردارهای و جهت هم جهت و خلاف جهت آن هستند.

قانون ضرب یک بردار در یک عدد با کمک شکل ساده تر قابل درک است:

بیایید با جزئیات بیشتر درک کنیم:

1 مسیر. اگر ضریب منفی باشد، بردار تغییر جهت می دهدبرعکس

2) طول. اگر فاکتور در داخل یا باشد، پس طول بردار کاهش می دهد... بنابراین، طول بردار نصف طول بردار است. اگر مدول بزرگتر از یک باشد، طول بردار افزایشبه موقع.

3) لطفا توجه داشته باشید که همه بردارها خطی هستند، در حالی که یک بردار بر حسب دیگری بیان می شود، برای مثال،. عکس آن نیز صادق است: اگر بتوان یک بردار را بر حسب بردار دیگر بیان کرد، آنگاه چنین بردارهایی لزوماً هم خط هستند. بدین ترتیب: اگر یک بردار را در یک عدد ضرب کنیم، به صورت خطی می‌شویم(نسبت به اصل) بردار.

4) بردارها هم جهت هستند. بردارها و همچنین هم جهت هستند. هر بردار گروه اول نسبت به هر بردار گروه دوم جهت مخالف دارد.

کدام بردارها برابرند؟

دو بردار اگر هم جهت باشند و طول یکسانی داشته باشند با هم برابرند... توجه داشته باشید که هم جهتی بر بردارهای هم خطی دلالت دارد. این تعریف نادرست (زائد) خواهد بود اگر بگوییم: "دو بردار مساوی هستند اگر هم خط و هم جهت و دارای طول یکسان باشند."

از دیدگاه مفهوم بردار آزاد، بردارهای مساوی همان بردار هستند که قبلاً در پاراگراف قبل مورد بحث قرار گرفت.

مختصات برداری در هواپیما و در فضا

اولین نکته در نظر گرفتن بردارها در یک صفحه است. ما سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را نشان می دهیم و از مبدأ مختصات کنار می گذاریم تنهابردارها و:

بردارها و ارتودنسی... متعامد = عمود بر. توصیه می کنم به آرامی به اصطلاحات عادت کنید: به جای موازی و عمود، به ترتیب از کلمات استفاده می کنیم. هم خطی بودنو متعامد بودن.

تعیین:متعامد بودن بردارها با علامت عمودی معمول نوشته می شود، به عنوان مثال:.

بردارهای مورد بررسی نامیده می شوند بردارهای مختصاتیا orts... این بردارها تشکیل می شوند اساسروی سطح من فکر می‌کنم که مبنایی برای بسیاری از افراد به طور مستقیم روشن است، اطلاعات دقیق‌تری را می‌توان در مقاله یافت وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارهابه عبارت ساده، اساس و مبدأ مختصات کل سیستم را تعریف می کند - این نوعی پایه است که بر روی آن یک زندگی هندسی کامل و غنی در نوسان است.

گاهی اوقات پایه ساخته شده نامیده می شود متعارفاساس صفحه: "ارتو" - چون بردارهای مختصات متعامد هستند، صفت "normalized" به معنای واحد است، یعنی. طول بردارهای پایه برابر با یک است.

تعیین:اساس معمولاً در پرانتز نوشته می شود که داخل آن به ترتیب دقیقبردارهای پایه ذکر شده اند، به عنوان مثال:. بردارهای مختصات ممنوع استتنظیم مجدد.

هرهواپیمای برداری راه منحصر به فردبیان شده به صورت:
، جایی که - شمارهکه نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا و خود بیان تماس گرفت تجزیه برداربر پایه .

شام سرو می شود:

بیایید با حرف اول الفبا شروع کنیم:. نقشه به وضوح نشان می دهد که هنگام گسترش بردار از نظر پایه، مواردی که به تازگی در نظر گرفته شده استفاده می شوند:
1) قانون ضرب بردار در عدد: و;
2) جمع بردارها طبق قانون مثلث:.

حالا به طور ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری در هواپیما کنار بگذارید. کاملاً بدیهی است که زوال او "بی امان او را دنبال خواهد کرد". اینجاست، آزادی بردار - بردار "همه چیز را با خود حمل می کند." این ویژگی، البته، برای هر بردار صادق است. خنده دار است که خود بردارهای اصلی (رایگان) نباید از مبدا به تعویق بیفتند، یکی را می توان مثلاً در پایین سمت چپ و دیگری را در بالا سمت راست ترسیم کرد و هیچ چیز از این تغییر نخواهد کرد! درست است، شما نیازی به انجام این کار ندارید، زیرا معلم نیز اصالت را نشان می دهد و شما را در مکانی غیرمنتظره "اعتبار" می کند.

بردارها دقیقاً قانون ضرب یک بردار در یک عدد را نشان می دهند، بردار با بردار پایه هم جهت است، بردار مخالف بردار پایه است. این بردارها دارای یکی از مختصات برابر با صفر هستند که می توان آن را با دقت به صورت زیر نوشت:

و بردارهای پایه، به هر حال، مانند این هستند: (در واقع، آنها از طریق خودشان بیان می شوند).

و در نهایت:،. به هر حال، تفریق برداری چیست و چرا من در مورد قانون تفریق صحبت نکردم؟ جایی در جبر خطی، یادم نیست کجاست، اشاره کردم که تفریق یک مورد خاص جمع است. بنابراین، بسط بردارهای "de" و "e" به آرامی به صورت مجموع نوشته می شوند: ... این نقاشی را دنبال کنید که چگونه جمع مثلث خوب قدیمی بردارها در این شرایط به وضوح کار می کند.

تجزیه در نظر گرفته شده از فرم گاهی اوقات تجزیه برداری نامیده می شود در سیستم ort(یعنی در سیستم بردارهای واحد). اما این تنها راه برای نوشتن بردار نیست، گزینه زیر رایج است:

یا با علامت مساوی:

خود بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند: و

یعنی مختصات بردار در داخل پرانتز مشخص شده است. در کارهای عملی از هر سه گزینه ضبط استفاده می شود.

شک داشتم که حرف بزنم، اما باز هم می گویم: مختصات بردارها را نمی توان دوباره مرتب کرد. در وهله اول به شدتمختصاتی را بنویسید که با بردار واحد مطابقت دارد، به شدت در رتبه دوممختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد. در واقع، و دو بردار متفاوت هستند.

ما مختصات را در هواپیما مشخص کرده ایم. حالا بیایید به بردارها در فضای سه بعدی نگاه کنیم، اینجا همه چیز تقریباً یکسان است! فقط یک مختصات دیگر اضافه خواهد شد. انجام نقشه های سه بعدی دشوار است، بنابراین من خودم را به یک بردار محدود می کنم، که برای سادگی آن را از مبدا به تعویق می اندازم:

هربردار فضای سه بعدی می تواند تنها راهگسترش به صورت متعارف:
، مختصات بردار (عدد) در مبنای داده شده کجاست.

نمونه ای از تصویر: ... بیایید ببینیم قوانین برداری در اینجا چگونه کار می کنند. ابتدا یک بردار را در یک عدد ضرب کنید: (فلش قرمز)، (فلش سبز) و (فلش زرشکی). ثانیاً، در اینجا مثالی از اضافه کردن چند بردار، در این مورد سه، آورده شده است. بردار مجموع از نقطه شروع حرکت (شروع برداری) شروع می شود و در نقطه رسیدن نهایی (پایان بردار) قرار می گیرد.

البته همه بردارهای فضای سه بعدی آزاد هستند، سعی کنید بردار را از هر نقطه دیگری به تعویق بیندازید و خواهید فهمید که تجزیه آن "با آن باقی خواهد ماند".

مشابه مورد تخت، علاوه بر نوشتن نسخه های با براکت به طور گسترده استفاده می شود: یا.

اگر یک (یا دو) بردار مختصات در بسط وجود نداشته باشد، آنها با صفر جایگزین می شوند. مثال ها:
بردار (با دقت ) - بنویس؛
بردار (با دقت) - یادداشت کنید.
بردار (با دقت ) - ما آن را یادداشت می کنیم.

بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند:

در اینجا، شاید، تمام حداقل دانش نظری مورد نیاز برای حل مسائل در هندسه تحلیلی وجود دارد. شاید اصطلاحات و تعاریف زیادی وجود داشته باشد، بنابراین به آدمک ها توصیه می کنم دوباره این اطلاعات را بخوانند و دوباره درک کنند. و رجوع هر از چند گاهی به درس پایه برای جذب بهتر مطالب برای هر خواننده ای مفید خواهد بود. هم خطی، متعامد، مبنای متعامد، تجزیه برداری - این و مفاهیم دیگر اغلب در موارد زیر استفاده می شوند. متذکر می شوم که مواد موجود در سایت برای گذراندن یک آزمون نظری، یک کنفرانس در مورد هندسه کافی نیست، زیرا من با دقت تمام قضایا را رمزگذاری می کنم (علاوه بر بدون اثبات) - به ضرر سبک علمی ارائه، اما یک نکته مثبت برای درک شما از موضوع برای پیشینه نظری دقیق، لطفا تعظیم پروفسور آتاناسیان را دنبال کنید.

و ما به بخش عملی آن می رویم:

ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی
اعمال با بردارها در مختصات

بسیار مطلوب است که یاد بگیرید چگونه وظایفی را که کاملاً خودکار در نظر گرفته می شوند و فرمول ها را حل کنید. حفظ کردن، آنها حتی به طور خاص حفظ نخواهند کرد، خودشان به خاطر سپرده خواهند شد =) این بسیار مهم است، زیرا سایر مسائل هندسه تحلیلی بر اساس ساده ترین مثال های ابتدایی است و صرف وقت اضافی برای خوردن پیاده ها آزار دهنده خواهد بود. نیازی به بستن دکمه های بالای پیراهن نیست، خیلی چیزها از دوران مدرسه برای شما آشناست.

ارائه مطالب در یک دوره موازی انجام می شود - هم برای هواپیما و هم برای فضا. به این دلیل که تمام فرمول های ... را خودتان خواهید دید.

چگونه بردار را با دو نقطه پیدا کنیم؟

اگر دو نقطه از صفحه داده شود، بردار مختصات زیر را دارد:

اگر دو نقطه از فضا داده شود، بردار مختصات زیر را دارد:

به این معنا که، از مختصات انتهای بردارباید مختصات مربوطه را کم کنید ابتدای بردار.

ورزش:برای همان نقاط، فرمول های یافتن مختصات بردار را یادداشت کنید. فرمول ها در پایان درس.

مثال 1

دو نقطه از هواپیما و داده شده است. مختصات برداری را پیدا کنید

راه حل:طبق فرمول مربوطه:

به طور متناوب، می توان از ورودی زیر استفاده کرد:

زیبایی‌شناسان اینگونه تصمیم خواهند گرفت:

شخصاً به نسخه اول ضبط عادت کرده ام.

پاسخ:

با توجه به شرایط، نیازی به ساختن یک نقاشی (که برای کارهای هندسه تحلیلی معمول است) نبود، اما برای توضیح برخی نکات به آدمک ها، خیلی تنبل نخواهم بود:

درک آن ضروری است تفاوت بین مختصات نقطه و مختصات برداری:

مختصات نقطهمختصات معمول در یک سیستم مختصات مستطیلی هستند. فکر می کنم همه از کلاس 5-6 می دانند که چگونه در صفحه مختصات امتیاز بگیرند. هر نقطه دارای یک مکان دقیق در هواپیما است و شما نمی توانید آنها را به جایی منتقل کنید.

مختصات همان بردارآیا بسط آن بر اساس، در این مورد. هر بردار آزاد است، بنابراین، در صورت تمایل یا نیاز، به راحتی می توانیم آن را از نقطه دیگری در هواپیما به تعویق بیاندازیم. جالب است که برای بردارها ممکن است اصلاً محورها ساخته نشود، یک سیستم مختصات مستطیلی شکل، فقط یک پایه لازم است، در این مورد یک پایه متعارف صفحه.

به نظر می رسد رکورد مختصات نقاط و مختصات بردارها شبیه به:، و معنی مختصاتکاملا ناهمسانو شما باید به خوبی از این تفاوت آگاه باشید. این تفاوت البته در مورد فضا نیز صادق است.

خانم ها و آقایان، ما دستمان را پر می کنیم:

مثال 2

الف) امتیاز و داده می شود. بردارها را پیدا کنید و.
ب) امتیاز داده شده است و . بردارها را پیدا کنید و.
ج) امتیاز و داده شده است. بردارها را پیدا کنید و.
د) امتیاز داده شده است. بردارها را پیدا کنید .

شاید همین کافی باشد. اینها نمونه هایی برای راه حل مستقل هستند، سعی کنید از آنها غافل نشوید، نتیجه خواهد داد ;-). نیازی به کشیدن نقاشی نیست. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در حل مسائل هندسه تحلیلی چه چیزی اهمیت دارد؟بسیار مهم است که برای جلوگیری از خطای کارگاه "دو به علاوه دو برابر با صفر" بسیار مراقب باشید. اگر جایی اشتباه کردم فورا عذرخواهی میکنم =)

چگونه طول یک پاره خط را پیدا کنیم؟

طول، همانطور که قبلا ذکر شد، با علامت ماژول نشان داده می شود.

اگر دو نقطه از صفحه و داده شود، طول قطعه را می توان با فرمول محاسبه کرد

اگر دو نقطه از فضا داده شود، طول قطعه را می توان با فرمول محاسبه کرد

توجه داشته باشید: اگر مختصات مربوطه دوباره مرتب شوند، فرمول‌ها درست باقی می‌مانند: و، اما گزینه اول استانداردتر است.

مثال 3

راه حل:طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم کرد

بخش - این یک بردار نیست، و، البته، شما نمی توانید آن را به جایی منتقل کنید. علاوه بر این، اگر یک طراحی را به مقیاس کامل کنید: 1 واحد. = 1 سانتی متر (دو سلول نوت بوک)، سپس پاسخ به دست آمده را می توان با یک خط کش معمولی با اندازه گیری مستقیم طول قطعه بررسی کرد.

بله، راه حل کوتاه است، اما چند نکته مهم دیگر وجود دارد که می خواهم توضیح دهم:

ابتدا در جواب بعد را قرار می دهیم: «واحد». این وضعیت نمی‌گوید چه چیزی است، میلی‌متر، سانتی‌متر، متر یا کیلومتر. بنابراین، یک راه حل ریاضی صحیح، فرمول کلی خواهد بود: "واحدها" - به اختصار "واحد".

ثانیا، ما مطالب مدرسه را تکرار می کنیم که نه تنها برای مشکل مورد بررسی مفید است:

توجه کن به تکنیک مهم – بیرون آوردن یک عامل از زیر ریشه... در نتیجه محاسبات، به نتیجه رسیدیم و سبک ریاضی خوب شامل خارج کردن فاکتور از زیر ریشه (در صورت امکان) است. در جزئیات بیشتر، روند به صورت زیر است: ... البته گذاشتن جواب در فرم اشتباه نخواهد بود - بلکه نقصی است یقیناً و دلیلی سنگین برای نق زدن از طرف معلم.

سایر موارد رایج عبارتند از:

اغلب، به عنوان مثال، تعداد نسبتا زیادی در زیر ریشه به دست می آید. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ در ماشین حساب بررسی کنید که آیا عدد بر 4 بخش پذیر است یا خیر. بله، به طور کلی تقسیم شد، به این ترتیب: ... یا شاید دوباره بتوان عدد را بر 4 تقسیم کرد؟ ... بدین ترتیب: ... رقم آخر عدد فرد است، بنابراین به وضوح نمی توان برای بار سوم بر 4 تقسیم کرد. سعی می کنیم بر 9 تقسیم کنیم:. در نتیجه:
آماده.

خروجی:اگر یک عدد غیر قابل استخراج در زیر ریشه به دست آید، سپس سعی می کنیم ضریب را از زیر ریشه حذف کنیم - در ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر 4، 9، 16، 25، 36، 49 و غیره بخش پذیر است یا خیر.

در مسیر حل مسائل مختلف اغلب با ریشه ها مواجه می شود، همیشه سعی کنید عواملی را از زیر ریشه استخراج کنید تا با اصلاح راه حل های خود با توجه به تذکر استاد از نمره پایین تر و مشکلات غیر ضروری جلوگیری کنید.

بیایید مربع و سایر قدرت ها را همزمان تکرار کنیم:

قوانین کلی برای پرداختن به درجه ها را می توان در کتاب درسی مدرسه در مورد جبر یافت، اما من فکر می کنم که از مثال های ارائه شده، همه چیز یا تقریباً همه چیز از قبل مشخص است.

کار برای یک راه حل مستقل با یک بخش در فضا:

مثال 4

امتیاز و داده می شود. طول پاره خط را پیدا کنید.

راه حل و پاسخ در پایان درس.

چگونه طول یک بردار را پیدا کنم؟

اگر یک بردار صفحه داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود.

اگر بردار فضا داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود .

بردار واحد- این هست بردار، قدر مطلق (مدول) آن برابر با یک است. برای نشان دادن بردار واحد، از زیرنویس e استفاده می کنیم. بنابراین، اگر بردار داده شود آ، سپس بردار واحد آن بردار خواهد بود آه- این بردار واحد به همان جهتی هدایت می شود که خود بردار است آ، و مدول آن برابر با یک است، یعنی a e = 1.

به طور مشخص، آ= a آ e (الف - ماژول برداری آ)... این از قاعده ای که عمل ضرب یک اسکالر در یک بردار را انجام می دهد نتیجه می گیرد.

بردارهای واحداغلب با محورهای مختصات سیستم مختصات (به ویژه با محورهای سیستم مختصات دکارتی) همراه است. جهت اینها بردارهابا جهت محورهای مربوطه منطبق است و مبدا آنها اغلب با مبدأ سیستم مختصات همسو می شود.

بگذارید این را به شما یادآوری کنم سیستم مختصات دکارتیدر فضا، به طور سنتی سه گانه از محورهای متقابل عمود بر همدیگر نامیده می شود که در نقطه ای به نام مبدا قطع می شوند. محورهای مختصات معمولاً با حروف X، Y، Z مشخص می شوند و به ترتیب به آنها abscissa، ordinate و applicate می گویند. خود دکارت فقط از یک محور استفاده کرد که بر روی آن آبسیساها ترسیم شده بود. شایستگی استفاده سیستم هایتبر متعلق به شاگردانش است. بنابراین عبارت سیستم مختصات دکارتیاشتباه تاریخی بهتره حرف بزنی مستطیل شکل دستگاه مختصاتیا سیستم مختصات متعامد... با این وجود، ما سنت ها را تغییر نخواهیم داد و در آینده فرض می کنیم که سیستم مختصات دکارتی و مستطیلی (متعامد) یکی و یکسان هستند.

بردار واحددر امتداد محور X نشان داده شده است من, بردار واحدهدایت شده در امتداد محور Y نشان داده شده است j، آ بردار واحدهدایت شده در امتداد محور Z نشان داده شده است ک... بردارها من, j, کنامیده می شوند orts(شکل 12، سمت چپ)، آنها تک ماژول دارند، یعنی
i = 1، j = 1، k = 1.

تبرها و orts سیستم مختصات مستطیلیدر برخی موارد نام ها و نام های متفاوتی دارند. بنابراین، محور آبسیسا X را می توان محور مماس نامید و بردار واحد آن را نشان داد. τ (حرف کوچک یونانی tau)، مختصات محور عادی است، واحد آن نشان داده شده است n، محور کاربردی محور باینرمال است که بردار واحد آن مشخص شده است ب... چرا اسم ها را تغییر دهید اگر ماهیت ثابت بماند؟

واقعیت این است که به عنوان مثال، در مکانیک، هنگام مطالعه حرکت اجسام، اغلب از یک سیستم مختصات مستطیلی استفاده می شود. بنابراین، اگر خود سیستم مختصات ساکن باشد و تغییر مختصات یک جسم متحرک در این سیستم ثابت دنبال شود، معمولاً محورها X، Y، Z و آنها را نشان می‌دهند. ortsبه ترتیب من, j, ک.

اما اغلب، هنگامی که یک جسم در امتداد برخی از مسیرهای منحنی (مثلاً در امتداد یک دایره) حرکت می کند، در نظر گرفتن فرآیندهای مکانیکی در یک سیستم مختصات که با این جسم حرکت می کند راحت تر است. برای چنین سیستم مختصات متحرکی است که از نام های دیگر محورها و بردارهای واحد آنها استفاده می شود. تازه قبول شده در این حالت، محور X به صورت مماس بر مسیر حرکت در نقطه ای که این جسم در حال حاضر در آن قرار دارد، هدایت می شود. و سپس این محور دیگر محور X نامیده می شود، بلکه محور مماس نامیده می شود و واحد آن دیگر نشان داده نمی شود. من، آ τ ... محور Y در امتداد شعاع انحنای مسیر (در صورت حرکت در امتداد یک دایره - به مرکز دایره) هدایت می شود. و از آنجایی که شعاع عمود بر مماس است، محور را محور عادی می گویند (عمود و عادی یکی هستند). بردار واحد این محور دیگر نشان داده نمی شود j، آ n... محور سوم (Z سابق) بر دو محور قبلی عمود است. این یک بی طبیعی با اورت است ب(شکل 12، سمت راست). به هر حال، در این مورد چنین است سیستم مختصات مستطیلیاغلب به عنوان "طبیعی" یا طبیعی شناخته می شود.

یک بردار در هندسه یک قطعه جهت یا یک جفت مرتب از نقاط در فضای اقلیدسی نامیده می شود. اورتوم برداربردار واحد یک فضای برداری نرمال شده یا برداری است که هنجار (طول) آن برابر با یک است.

شما نیاز خواهید داشت

دانش هندسه.

دستورالعمل ها

ابتدا باید طول را محاسبه کنید بردار... همانطور که می دانید طول (مدول) برداربرابر است با جذر مجذور مجذور مختصات. اجازه دهید یک بردار با مختصات داده شود: a (3، 4). سپس طول آن | a | است = (9 + 16) ^ 1/2 یا | a | = 5.

برای پیدا کردن ort بردارالف، لازم است هر یک از آن را بر طول آن تقسیم کرد. نتیجه یک بردار به نام بردار واحد یا بردار واحد خواهد بود. برای بردارو (3، 4) بردار واحد یک (3/5، 4/5) خواهد بود. بردار a` واحد برای بردارآ.

برای بررسی اینکه آیا بردار واحد به درستی پیدا شده است، می توانید کارهای زیر را انجام دهید: طول واحد حاصل را پیدا کنید، سپس همه چیز به درستی پیدا شود، اگر نه، پس یک خطا در محاسبات رخ می دهد. اجازه دهید بررسی کنیم که آیا بردار واحد a` به درستی پیدا شده است. طول بردار a` برابر است با: a` = (9/25 + 16/25) ^ 1/2 = (25/25) ^ 1/2 = 1. بنابراین، طول بردار a` برابر با یک است، بنابراین بردار واحد به درستی پیدا می شود.

همچنین وظایفی برای یک راه حل مستقل وجود خواهد داشت که می توانید پاسخ آنها را مشاهده کنید.

مفهوم برداری

قبل از اینکه همه چیز را در مورد بردارها و عملیات روی آنها یاد بگیرید، با حل یک مسئله ساده هماهنگ شوید. یک بردار از کارآفرینی شما و یک بردار از توانایی های نوآورانه شما وجود دارد. بردار کارآفرینی شما را به هدف 1 و بردار توانایی های نوآورانه به هدف 2 می رساند. قوانین بازی به گونه ای است که شما نمی توانید همزمان در جهت این دو بردار حرکت کنید و همزمان به دو هدف برسید. بردارها برهم کنش دارند یا به عبارت ریاضی برخی عملیات روی بردارها انجام می شود. نتیجه این عملیات بردار «نتیجه» است که شما را به هدف 3 هدایت می کند.

حالا به من بگویید: نتیجه چه عملیاتی بر روی بردارهای "تشکیلات" و "توانایی های نوآورانه" بردار "نتیجه" است؟ اگر نمی توانید فوراً بگویید، ناامید نشوید. با پیشرفت در این درس، قادر خواهید بود به این سوال پاسخ دهید.

همانطور که قبلاً در بالا دیدیم، بردار لزوماً از نقطه ای پیش می رود آدر یک خط مستقیم تا یک نقطه ب... بنابراین، هر بردار نه تنها دارای یک مقدار عددی - طول، بلکه دارای جهت فیزیکی و هندسی است. این منجر به اولین و ساده ترین تعریف یک بردار می شود. بنابراین، یک بردار یک بخش جهت دار است که از یک نقطه می رود آبه نقطه ب... به شرح زیر تعیین می شود:.

و برای شروع متفاوت عملیات برداری ، باید با یک تعریف دیگر بردار آشنا شویم.

بردار نوعی نمایش نقطه ای است که می خواهید از نقطه شروعی به آن برسید. به عنوان مثال، یک بردار سه بعدی معمولاً به صورت نوشته می شود (x، y، z) . خیلی ساده، این اعداد نشان می دهد که چقدر طول می کشد تا در سه جهت مختلف سفر کنید تا به یک نقطه برسید.

بگذارید یک بردار داده شود. که در آن ایکس = 3 (دست راست به سمت راست اشاره می کند) y = 1 (دست چپ به جلو اشاره می کند) z = 5 (زیر نقطه یک پله منتهی به بالا وجود دارد). بر اساس این داده ها، با 3 متر پیاده روی در جهت مشخص شده توسط دست راست، سپس 1 متر در جهت مشخص شده توسط دست چپ، نقطه ای را خواهید یافت و سپس پلکانی در انتظار شماست و با بالا رفتن از 5 متر، در نهایت خواهید دید. خود را در نقطه پایانی پیدا کنید

تمام اصطلاحات دیگر اصلاحات توضیح فوق هستند که برای عملیات مختلف بر روی بردارها، یعنی حل مسائل عملی ضروری هستند. بیایید این تعاریف سخت‌گیرانه‌تر را مرور کنیم و روی مسائل برداری معمولی تمرکز کنیم.

نمونه های فیزیکیکمیت های برداری می تواند جابجایی یک نقطه مادی در حال حرکت در فضا، سرعت و شتاب این نقطه و همچنین نیروی وارد بر آن باشد.

بردار هندسیدر فضای دو بعدی و سه بعدی به صورت ارائه شده است بخش جهت دار... این قسمتی است که ابتدا و انتها را تشخیص می دهد.

اگر آآغاز بردار است و ب- انتهای آن، سپس بردار با یک نماد یا یک حرف کوچک نشان داده می شود. در شکل، انتهای بردار با فلش نشان داده شده است (شکل 1)

طول(یا مدول) یک بردار هندسی طول قطعه ای است که آن را ایجاد می کند

دو بردار نامیده می شوند برابر ، اگر بتوان آنها را با استفاده از انتقال موازی تراز کرد (در صورت منطبق بودن جهت ها) ، یعنی. اگر موازی هستند، در یک جهت قرار بگیرید و طول آنها برابر باشد.

در فیزیک، اغلب مورد توجه قرار می گیرد بردارهای لنگر انداختهتوسط نقطه کاربرد، طول و جهت داده شده است. اگر نقطه اعمال بردار مهم نباشد، می توان آن را با حفظ طول و جهت به هر نقطه از فضا منتقل کرد. در این حالت بردار نامیده می شود رایگان... ما موافقت خواهیم کرد که فقط در نظر بگیریم بردارهای رایگان.

عملیات خطی بر روی بردارهای هندسی

ضرب بردار در عدد

محصول بردار با شمارهبردار به دست آمده از یک بردار با کشش (at) یا فشرده سازی (at) بر حسب زمان نامیده می شود و جهت بردار حفظ می شود، اگر، و به عکس، اگر تغییر می کند. (شکل 2)

از تعریف بر می آید که بردارها و = همیشه روی یک یا روی خطوط موازی قرار دارند. چنین بردارهایی نامیده می شوند خطی... (همچنین می توان گفت که این بردارها موازی هستند، اما در جبر برداری مرسوم است که "هم خطی" می گویند.) برعکس نیز صادق است: اگر بردارها و هم خطی باشند، پس آنها با رابطه مرتبط هستند.

بنابراین، تساوی (1) شرط همخطی بودن دو بردار را بیان می کند.

جمع و تفریق بردارها

هنگام اضافه کردن بردارها، باید این را بدانید مجموعبردارها و بردار نامیده می شود که ابتدای آن مصادف با ابتدای بردار و پایان آن با انتهای بردار باشد، مشروط بر اینکه ابتدای بردار به انتهای بردار متصل شود. (شکل 3)

این تعریف را می توان بر روی هر تعداد محدودی از بردارها توزیع کرد. بگذار فضا داده شود nبردارهای رایگان هنگام اضافه کردن چندین بردار، بردار بسته شدن به عنوان مجموع آنها در نظر گرفته می شود که ابتدای آن با شروع اولین بردار و پایان با پایان آخرین بردار مطابقت دارد. یعنی اگر ابتدای بردار را به انتهای بردار و ابتدای بردار را به انتهای بردار و غیره متصل کنید. و در نهایت، تا انتهای بردار - ابتدای بردار، سپس مجموع این بردارها بردار بسته می شود. شروع آن با آغاز اولین بردار و پایان آن با پایان آخرین بردار منطبق است. (شکل 4)

اصطلاحات اجزای بردار نامیده می شوند و قانون فرمول بندی شده است قانون چند ضلعی... این چند ضلعی ممکن است مسطح نباشد.

وقتی یک بردار را در -1 ضرب کنید، بردار مخالف را بدست می آورید. بردارها و دارای طول یکسان و جهت مخالف هستند. مجموع آنها می دهد بردار صفرکه طول آن صفر است جهت بردار صفر تعریف نشده است.

در جبر برداری، نیازی به در نظر گرفتن جداگانه عمل تفریق نیست: تفریق بردار از بردار به معنای افزودن بردار مخالف به بردار است، یعنی.

مثال 1.ساده کردن بیان:

یعنی، بردارها را می توان به همان روشی که چند جمله ای ها (به ویژه وظایف ساده سازی عبارات) با اعداد اضافه و ضرب کرد. معمولاً نیاز به ساده سازی عبارات مشابه خطی با بردارها قبل از محاسبه حاصلضرب بردارها بوجود می آید.

مثال 2.بردارها و به عنوان قطرهای متوازی الاضلاع ABCD عمل می کنند (شکل 4a). بر حسب هر دو بردار و، که اضلاع این متوازی الاضلاع هستند را بیان کنید.

راه حل. نقطه تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع هر قطر را به نصف تقسیم می کند. طول بردارهای مورد نیاز در بیان مسئله را یا نصف مجموع بردارهایی می‌یابیم که مثلثی را با بردارهای مورد نظر تشکیل می‌دهند، یا به‌عنوان نیمی از تفاوت‌ها (بسته به جهت بردار که به عنوان مورب عمل می‌کند)، یا به عنوان در مورد دوم، نیمی از جمع با علامت منفی گرفته می شود. نتیجه بردارهای مورد نیاز در بیان مسئله است:

دلایل زیادی وجود دارد که باور کنیم اکنون به سؤال مربوط به بردارهای کارآفرینی و توانایی نوآوری در ابتدای این درس به درستی پاسخ داده اید. پاسخ صحیح: عملیات جمع بر روی این بردارها انجام می شود.

مسائل برداری را خودتان حل کنید و سپس راه حل ها را ببینید

چگونه طول مجموع بردارها را پیدا کنیم؟

این وظیفه در عملیات بردار جایگاه ویژه ای دارد، زیرا شامل استفاده از خواص مثلثاتی است. فرض کنید با کاری مانند زیر مواجه شدید:

با توجه به طول بردارها و طول مجموع این بردارها. طول اختلاف بین این بردارها را پیدا کنید.

راه حل های این و سایر مشکلات مشابه و توضیحاتی در مورد نحوه حل آنها - در درس " جمع برداری: طول جمع برداری و قضیه کسینوس ".

و می توانید راه حل چنین مشکلاتی را بررسی کنید ماشین حساب آنلاین "ضلع ناشناخته یک مثلث (قضیه جمع برداری و کسینوس)" .

محصولات بردارها کجا هستند؟

محصولات بردار به بردار عملیات خطی نیستند و به طور جداگانه در نظر گرفته می شوند. و ما آموزش Dot Product of Vectors و Vector و Mixed Product of Vectors را داریم.

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور

طرح ریزی بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب طول بردار پیش بینی شده توسط کسینوس زاویه بین بردار و محور:

همانطور که می دانید، طرح نقطه آروی خط مستقیم (صفحه) قاعده عمودی است که از این نقطه روی یک خط مستقیم (صفحه) افتاده است.

اجازه دهید یک بردار دلخواه باشد (شکل 5)، و پیش بینی های ابتدای آن (نقاط). آ) و پایان (نقاط ب) در هر محور ل... (برای ساختن طرح ریزی از یک نقطه آ) در یک خط مستقیم از طریق نقطه آصفحه عمود بر خط مستقیم تقاطع خط و صفحه طرح مورد نیاز را مشخص می کند.

جزء برداری در محور lبردار قرار گرفته بر روی این محور نامیده می شود که ابتدای آن با طرح ریزی ابتدا و انتهای آن با طرح ریزی انتهای بردار مطابقت دارد.

طرح ریزی بردار بر روی محور لبا شماره تماس گرفت

برابر طول بردار مولفه در این محور، با علامت مثبت، در صورتی که جهت مولفه ها با جهت محور منطبق باشد. ل، و با علامت منفی اگر این جهت ها مخالف باشند.

ویژگی های اصلی برآمدگی های برداری روی محور:

1. برجستگی بردارهای مساوی روی یک محور با یکدیگر برابر است.

2. هنگام ضرب یک بردار در یک عدد، طرح آن در همان عدد ضرب می شود.

3. طرح مجموع بردارها بر روی هر محور برابر است با مجموع برآمدگی مجموع بردارها در همان محور.

4. برآمدگی بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب طول بردار پیش بینی شده توسط کسینوس زاویه بین بردار و محور:

راه حل. بردارهای پروژه بر روی یک محور لهمانطور که در زمینه نظری بالا تعریف شده است. از شکل 5 الف واضح است که طرح مجموع بردارها برابر است با مجموع پیش بینی بردارها. ما این پیش بینی ها را محاسبه می کنیم:

طرح نهایی مجموع بردارها را بیابید:

رابطه یک بردار با یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضا

آشنایی با یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضا در درس مربوطه انجام شد، مطلوب است که آن را در یک پنجره جدید باز کنید.

در یک سیستم مختصات منظم 0xyzمحور گاو نرتماس گرفت اوکیسا، محور 0 سال – محور y، و محور 0z – محور اعمال می شود.

با یک نکته دلخواه مفضایی که بردار را مرتبط می کنیم

تماس گرفت بردار شعاعنکته ها مو آن را بر روی هر یک از محورهای مختصات پخش کنید. اجازه دهید مقادیر پیش بینی های مربوطه را نشان دهیم:

شماره x، y، zنامیده می شوند مختصات نقطه M، به ترتیب اوکیسا, ترتیبو اعمال کنید، و به صورت یک نقطه مرتب از اعداد نوشته می شوند: M (x; y; z)(شکل 6).

بردار واحد طول که جهت آن با جهت محور منطبق است نامیده می شود بردار واحد(یا ارتوم) محور. اجازه دهید با نشان دادن

بر این اساس، بردارهای واحد محورهای مختصات گاو نر, اوه, اوز

قضیه.هر بردار را می توان در امتداد بردارهای واحد محورهای مختصات گسترش داد:

(2)

تساوی (2) به انبساط بردار در امتداد محورهای مختصات گفته می شود. ضرایب این بسط، پیش بینی های بردار بر روی محورهای مختصات است. بنابراین ضرایب بسط (2) بردار در امتداد محورهای مختصات مختصات بردار هستند.

پس از انتخاب یک سیستم مختصات خاص در فضا، بردار و سه گانه مختصات آن به طور منحصر به فرد یکدیگر را تعیین می کنند، بنابراین بردار را می توان به شکل نوشتاری

نمایش های بردار به شکل (2) و (3) یکسان هستند.

شرط خطی برای بردارها در مختصات

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، اگر بردارها با یک رابطه مرتبط باشند، خطی نامیده می شوند

اجازه دهید بردارها ... اگر مختصات بردارها با رابطه مرتبط باشند، این بردارها هم خط هستند

یعنی مختصات بردارها متناسب هستند.

مثال 6.بردارهای داده شده ... آیا این بردارها خطی هستند؟

راه حل. بیایید نسبت مختصات این بردارها را دریابیم:

مختصات بردارها متناسب است، بنابراین، بردارها هم خط یا، که یکسان است، موازی هستند.

بردار طول و جهت کسینوس

به دلیل عمود بودن متقابل محورهای مختصات، طول بردار

برابر است با طول مورب یک متوازی الاضلاع مستطیلی که بر روی بردارها ساخته شده است

و با برابری بیان می شود

(4)

بردار با تعیین دو نقطه (شروع و پایان) کاملاً تعریف می شود، بنابراین مختصات بردار را می توان بر حسب مختصات این نقاط بیان کرد.

اجازه دهید، در یک سیستم مختصات معین، مبدأ بردار در نقطه باشد

و پایان در نقطه است

از برابری

آن را دنبال می کند

یا به صورت مختصات

از این رو، مختصات بردار برابر است با تفاوت مختصات همنام انتهای و ابتدای بردار ... فرمول (4) در این مورد شکل می گیرد

جهت بردار توسط کسینوس جهت ... این ها کسینوس زوایایی هستند که بردار با محورها تشکیل می دهد گاو نر, اوهو اوز... اجازه دهید این زوایا را به ترتیب نشان دهیم α , β و γ ... سپس کسینوس این زوایا را می توان با فرمول ها پیدا کرد

کسینوس های جهت یک بردار نیز مختصات بردار واحد این بردار و بنابراین بردار بردار هستند.