ماشین حساب آنلاین
حل پیشرفت حسابی
داده شده: a n، d، n
پیدا کنید: a 1

این برنامه ریاضی \ (a_1 \) پیشرفت حسابی را بر اساس اعداد مشخص شده توسط کاربر \ (a_n، d \) و \ (n \) پیدا می کند.
اعداد \ (a_n \) و \ (d \) را می توان نه تنها کل، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد. علاوه بر این، یک عدد کسری را می توان به عنوان یک کسر اعشاری (\ (2.5 \)) و به عنوان یک کسری معمولی (\ (- 5 \ frac (2) (7) \) وارد کرد.

این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند یافتن راه حل را نیز نمایش می دهد.

این ماشین حساب آنلاین می تواند برای دانش آموزان سال آخر دبیرستان در آمادگی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام بررسی دانش قبل از امتحان، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم خصوصی یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید تدریس خود و / یا آموزش خواهر و برادر کوچکتر خود را انجام دهید، ضمن اینکه سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

اگر با قوانین درج اعداد آشنا نیستید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین ورود شماره

اعداد \ (a_n \) و \ (d \) را می توان نه تنها کل، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد.
عدد \ (n \) فقط می تواند یک عدد صحیح مثبت باشد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
اجزای کل و کسری در کسرهای اعشاری را می توان با نقطه پایان یا کاما از هم جدا کرد.
به عنوان مثال، می توانید کسرهای اعشاری مانند این 2.5 یا بیشتر 2.5 را وارد کنید

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد صحیح می تواند به عنوان صورت، مخرج و قسمت کامل یک کسر استفاده شود.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
ورودی:
نتیجه: \ (- \ فرک (2) (3) \)

کل قسمت با آمپرسند از کسری جدا می شود: &
ورودی:
نتیجه: \ (- 1 \ فراک (2) (3) \)

اعداد a n، d، n را وارد کنید

1 را پیدا کنید

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این مشکل بارگذاری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
شاید AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه...

اگر شما متوجه اشتباه در تصمیم گیری شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید و چه در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

دنباله اعداد

در تمرین روزمره، اغلب از شماره گذاری اشیاء مختلف برای نشان دادن ترتیب چینش آنها استفاده می شود. به عنوان مثال، خانه های هر خیابان شماره گذاری می شوند. اشتراک خوانندگان در کتابخانه شماره گذاری می شود و سپس به ترتیب شماره های اختصاص داده شده در فهرست های ویژه کارت مرتب می شود.

در یک پس انداز با توجه به شماره حساب شخصی سپرده گذار به راحتی می توانید این حساب را پیدا کنید و ببینید چه سپرده ای در آن وجود دارد. اجازه دهید حساب شماره 1 شامل سهم a1 روبل باشد، حساب شماره 2 دارای سهم a2 روبل و غیره باشد. دنباله عددی
a 1، a 2، a 3، ...، a N
که در آن N تعداد تمام حساب ها است. در اینجا به هر عدد طبیعی n از 1 تا N یک عدد a n اختصاص داده می شود.

ریاضیات هم مطالعه می کند دنباله های اعداد بی نهایت:
a 1، a 2، a 3، ...، a n، ....
عدد a 1 نامیده می شود اولین عضو سکانس، شماره a 2 - ترم دوم، شماره a 3 - ترم سومو غیره.
عدد a n نامیده می شود نهمین (نهمین) جمله دنبالهو عدد طبیعی n آن است عدد.

به عنوان مثال، در یک دنباله از مربع های اعداد طبیعی 1، 4، 9، 16، 25، ...، n 2، (n + 1) 2، ... و 1 = 1 جمله اول دنباله است. و n = n 2 n-امین عضو دنباله است. a n + 1 = (n + 1) 2 جمله (n + 1) (en به اضافه اول) در دنباله است. غالباً یک دنباله را می توان با فرمول nامین جمله آن به دست آورد. به عنوان مثال، فرمول \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ در \ mathbb (N) \) دنباله \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ فرک (1) (3)، \؛ \ فراک (1) (4)، \ نقطه، \ فراک (1) (n)، \ نقطه \)

پیشرفت حسابی

طول سال تقریباً 365 روز است. مقدار دقیق تر \ (365 \ فراک (1) (4) \) روز است، بنابراین هر چهار سال یک خطای برابر با یک روز جمع می شود.

برای محاسبه این خطا، به هر سال چهارم یک روز اضافه می شود و سال طولانی را سال کبیسه می گویند.

به عنوان مثال در هزاره سوم سال های کبیسه 2004، 2008، 2012، 2016، ....

در این دنباله، هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، برابر با قبلی است که به همان عدد 4 اضافه می شود. چنین دنباله هایی نامیده می شوند. پیشرفت های حسابی.

تعریف.
دنباله عددی a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... نامیده می شود. پیشرفت حسابیاگر برای همه n برابری طبیعی است
\ (a_ (n + 1) = a_n + d، \)
جایی که d مقداری است

این فرمول نشان می دهد که a n + 1 - a n = d. عدد d را تفاضل می گویند پیشرفت حسابی.

با تعریف پیشروی حسابی، داریم:
\ (a_ (n + 1) = a_n + d، \ quad a_ (n-1) = a_n-d، \)
جایی که
\ (a_n = \ فراک (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \)، جایی که \ (n> 1 \)

بنابراین، هر عضو پیشروی حسابی، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابی دو عضو مجاور. این نام پیشرفت "حساب" را توضیح می دهد.

توجه داشته باشید که اگر 1 و d داده شوند، اعضای باقی‌مانده پیشروی حسابی را می‌توان با استفاده از فرمول تکرارشونده a n + 1 = a n + d محاسبه کرد. به این ترتیب، محاسبه چند ترم اول پیشرفت کار دشواری نیست، با این حال، برای مثال، یک 100 قبلاً به محاسبات زیادی نیاز دارد. معمولاً از فرمول عبارت n برای این استفاده می شود. با تعریف پیشروی حسابی
\ (a_2 = a_1 + d، \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d، \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
و غیره.
بطور کلی،
\ (a_n = a_1 + (n-1) d، \)
از آنجایی که n-امین ترم پیشروی حسابی از جمله اول با جمع (n-1) ضربدر عدد d به دست می آید.
این فرمول نامیده می شود با فرمول nامین ترم پیشروی حسابی.

مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی

بیایید مجموع تمام اعداد طبیعی از 1 تا 100 را پیدا کنیم.
بیایید این جمع را به دو صورت بنویسیم:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100،
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
اجازه دهید این برابری ها را به صورت ترم اضافه کنیم:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
این جمع دارای 100 عبارت است
بنابراین، 2S = 101 * 100، از آنجا S = 101 * 50 = 5050.

اکنون یک پیشرفت حسابی دلخواه را در نظر بگیرید
a 1، a 2، a 3، ...، a n، ...
فرض کنید S n حاصل جمع n جمله اول این پیشرفت باشد:
S n = a 1، a 2، a 3، ...، a n
سپس مجموع n جمله اول پیشروی حسابی است
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

از آنجایی که \ (a_n = a_1 + (n-1) d \)، سپس با جایگزینی n در این فرمول، فرمول دیگری برای یافتن دریافت می کنیم. مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده ها استفاده و تست های OGE آنلاین بازی ها، پازل ها توابع رسم نمودار نمودار زبان روسی فرهنگ لغت عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس روسی کاتالوگ مدارس متوسطه روسیه کاتالوگ دانشگاه های روسیه فهرست وظایف
بله، بله: پیشرفت حسابی برای شما اسباب بازی نیست :)

خوب، دوستان، اگر شما این متن را می خوانید، آنگاه کلاه-بدیهی داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشروی حسابی چیست، اما واقعا (نه، مانند این: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نمی دهم و بلافاصله دست به کار خواهم شد.

بیایید با چند مثال شروع کنیم. چندین مجموعه از اعداد را در نظر بگیرید:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2)؛ \ 2 \ sqrt (2)؛ \ 3 \ sqrt (2)؛ ... $

همه این مجموعه ها چه مشترکاتی دارند؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. برای مثال: هر عنصر بعدی با یک عدد قبلی متفاوت است.

خودت قضاوت کن مجموعه اول به سادگی اعداد متوالی است که هر کدام از مجموعه های بعدی بیشتر از مجموعه قبلی هستند. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر پنج است، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم، ریشه ها به طور کلی. با این حال، $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ و 3 $ \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $، یعنی. و در این مورد، هر عنصر بعدی به سادگی با $ \ sqrt (2) $ افزایش می یابد (و از غیر منطقی بودن این عدد نترسید).

بنابراین: همه این دنباله ها را فقط پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان میزان با اعداد قبلی متفاوت است، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $ d $ نشان داده می شود.

تعیین: $ \ چپ (((a) _ (n)) \ راست) $ - خود پیشرفت، $ d $ - تفاوت آن.

و فقط چند نکته مهم. اولا فقط منظمدنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. شما نمی توانید اعداد را دوباره مرتب کنید یا عوض کنید.

ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی را در روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این یک پیشرفت بی پایان است. بیضی بعد از چهار، همانطور که بود، نشان می دهد که هنوز تعداد کمی وجود دارد. برای مثال بی نهایت زیاد. :)

همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها در حال افزایش و کاهش است. ما قبلاً موارد افزایش یافته را دیده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). و در اینجا نمونه هایی از پیشرفت های کاهشی وجود دارد:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5)؛ \ \ sqrt (5) -1؛ \ \ sqrt (5) -2؛ \ \ sqrt (5) -3؛ ... $

خوب، خوب: این مثال آخر ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، برای شما روشن است. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:

1. صعودی اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد.
2. اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد، کاهش می یابد.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکرار شونده تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).

تنها یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز به علامت عدد $ d $ بستگی دارد، یعنی. پیشرفت تفاوت:

1. اگر $ d \ gt 0 $، آنگاه پیشرفت در حال افزایش است.
2. اگر $ d \ lt 0 $، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
3. در نهایت، حالت $ d = 0 $ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $ d $ را برای سه پیشرفت کاهشی که در بالا ارائه شده است محاسبه کنیم. برای این کار کافی است هر دو عنصر مجاور (مثلاً اول و دوم) را بردارید و عدد سمت چپ را از عدد سمت راست کم کنید. شبیه این خواهد شد:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

همانطور که می بینید، در هر سه مورد، تفاوت واقعا منفی بود. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، زمان آن رسیده است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و ویژگی های آنها چیست.

اعضای پیشرفت و فرمول مکرر

از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\ [\ چپ (((الف) _ (ن)) \ راست) = \ چپ \ (((الف) _ (1))، \ ((الف) _ (2))، ((الف) _ (3) ))، ... \ درست \) \]

عناصر منفرد این مجموعه را اعضای پیشرفت می نامند. آنها با یک عدد نشان داده می شوند: عبارت اول، ترم دوم و غیره.

علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، اعضای مجاور پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ فلش راست ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

به طور خلاصه، برای یافتن ترم $ n $ در پیشرفت، باید ترم $ n-1 $ و تفاوت $ d $ را بدانید. چنین فرمولی تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را پیدا کنید، تنها با دانستن شماره قبلی (و در واقع - همه موارد قبلی). این بسیار ناخوشایند است، بنابراین فرمول پیچیده تری وجود دارد که هر محاسباتی را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ چپ (n-1 \ راست) d \]

مطمئناً شما قبلاً به این فرمول برخورد کرده اید. آن ها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و رِسبنیک ها ارائه کنند. و در هر کتاب درسی معقولی در مورد ریاضیات، او یکی از اولین هاست.

با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنیم.

مشکل شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $ \ چپ (((a) _ (n)) \ راست) $ اگر $ ((a) _ (1)) = 8، d = -5 $ را بنویسید.

راه حل. بنابراین، اولین عبارت $ ((a) _ (1)) = 8 $ و تفاوت پیشرفت $ d = -5 $ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $ n = 1 $، $ n = 2 $ و $ n = 3 $ را جایگزین کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ چپ (n-1 \ راست) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ چپ (1-1 \ راست) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ چپ (2-1 \ راست) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ چپ (3-1 \ راست) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

همین! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته، $ n = 1 $ نمی تواند جایگزین شود - اولین عبارت از قبل برای ما شناخته شده است. با این حال، با جایگزینی یکی، مطمئن شدیم که فرمول ما حتی برای ترم اول هم کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به محاسبات بی اهمیت ختم شد.

مشکل شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن 40- و جملۀ هفدهم آن 50- باشد، سه جمله اول پیشروی حسابی را بنویسید.

راه حل. بیایید شرایط مشکل را با عبارات معمول بنویسیم:

\ [((الف) _ (7)) = - 40؛ \ چهار ((الف) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ چپ \ (\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ انتهای (تراز کردن) \ راست. \]

\ [\ چپ \ (\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ پایان (تراز کردن) \ درست. \]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. و حالا توجه داشته باشید که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (از آنجایی که سیستم داریم حق انجام این کار را داریم)، ​​به این می رسیم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ چپ (-40 \ سمت راست); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

به همین راحتی تفاوت در پیشرفت را پیدا کردیم! باقی مانده است که عدد پیدا شده را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:

\ [\ شروع (ماتریس) ((a) _ (1)) + 6d = -40؛ \ quad d = -1 \\ \ پایین \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((الف) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ پایان (ماتریس) \]

حال با دانستن ترم اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

آماده! مشکل حل شده است.

پاسخ: (-34؛ -35؛ -36)

به ویژگی جالبی از پیشرفتی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $ n $ th و $ m $ th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، اختلاف پیشروی را در عدد $ n-m $ ضرب می‌کنیم:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ چپ (n-m \ راست) \]

یک ویژگی ساده اما بسیار مفید که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید به طور قابل توجهی حل بسیاری از مشکلات را در پیشرفت ها سرعت بخشید. در اینجا یک مثال اصلی است:

مشکل شماره 3. ترم پنجم پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. عبارت پانزدهم این پیشرفت را بیابید.

راه حل. از آنجایی که $ ((a) _ (5)) = 8.4 $، $ ((a) _ (10)) = 14.4 $، و شما باید $ ((a) _ (15)) $ را پیدا کنید، پس موارد زیر را یادداشت می کنیم :

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اما با شرط $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = 6 $، بنابراین $ 5d = 6 $، از این رو داریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((الف) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

پاسخ: 20.4

همین! ما نیازی به ترکیب سیستم های معادلات و محاسبه عبارت اول و تفاوت نداشتیم - همه چیز فقط در چند خط حل شد.

اکنون بیایید نوع دیگری از وظایف را در نظر بگیریم - یافتن اعضای منفی و مثبت پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر پیشرفت افزایش یابد، در حالی که عبارت اول منفی است، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و برعکس: اعضای روند کاهشی دیر یا زود منفی خواهند شد.

در عین حال، همیشه نمی توان این لحظه را "سر به سر" و به طور متوالی از عناصر عبور کرد. اغلب، مسائل به گونه‌ای طراحی می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین برگه می‌گیرد - در حالی که پاسخ را پیدا می‌کنیم، فقط به خواب می‌رویم. بنابراین سعی خواهیم کرد این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.

مشکل شماره 4. چند عبارت منفی در پیشروی حسابی -38.5 وجود دارد. −35.8; ...؟

راه حل. بنابراین، $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $، $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $، از جایی که بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. عبارت اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع واقعاً به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم دریابیم: منفی بودن عبارات برای چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $ n $) حفظ می شود:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ فلش راست ((a) _ (1)) + \ چپ (n-1 \ راست) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ چپ (n-1 \ راست) \ cdot 2.7 \ lt 0؛ \ چهار \ چپ | \ cdot 10 \ راست. \\ & -385 + 27 \ cdot \ چپ (n-1 \ راست) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین، ما می دانیم که $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. از طرف دیگر، ما فقط به مقادیر صحیح عدد قانع خواهیم شد (به علاوه: $ n \ در \ mathbb (N) $)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $ n = 15 $ است و در هیچ موردی 16 است.

مشکل شماره 5. در پیشرفت حسابی $ (() _ (5)) = - 150، (() _ (6)) = - 147 $. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.

دقیقاً همان مشکل قبلی خواهد بود، اما ما $ ((a) _ (1)) $ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $ ((a) _ (5)) $ و $ ((a) _ (6)) $، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

ضمناً سعی می کنیم جمله پنجم را بر حسب اول و مابه التفاوت بر اساس فرمول استاندارد بیان کنیم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ چپ (n-1 \ راست) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اکنون به قیاس با کار قبلی پیش می رویم. ما متوجه می شویم که در کدام نقطه از دنباله ما اعداد مثبت وجود خواهد داشت:

\ [\ start (تراز کردن) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ چپ (n-1 \ راست) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ فلش راست ((n) _ (\ دقیقه)) = 56. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

کوچکترین راه حل برای این نابرابری 56 است.

لطفا توجه داشته باشید: در آخرین کار، همه چیز به یک نابرابری شدید کاهش یافت، بنابراین گزینه $ n = 55 $ برای ما مناسب نیست.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا، بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را مطالعه کنیم، که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر می شود. :)

میانگین حسابی و تورفتگی مساوی

چندین عضو متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $ \ چپ (((a) _ (n)) \ راست) $ را در نظر بگیرید. بیایید سعی کنیم آنها را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم:

اعضای یک پیشروی حسابی روی یک خط اعداد

من به طور خاص به عبارات دلخواه $ ((a) _ (n-3))، ...، ((a) _ (n + 3)) $ اشاره کردم، نه هیچ $ ((a) _ (1)) , \ ( (الف) _ (2))، \ ((الف) _ (3)) دلار و غیره. زیرا قاعده ای که اکنون در مورد آن صحبت خواهم کرد، برای هر "بخش" یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول بازگشت را به خاطر بسپاریم و آن را برای همه اعضای علامت‌گذاری شده بنویسیم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ پایان (تراز کردن) \]

با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ پایان (تراز کردن) \]

خب پس چی؟ و این واقعیت که عبارات $ ((a) _ (n-1)) $ و $ ((a) _ (n + 1)) $ در یک فاصله از $ ((a) _ (n)) $ قرار دارند. . و این فاصله برابر است با $d $. همین امر را می توان در مورد عبارات $ ((a) _ (n-2)) $ و $ ((a) _ (n + 2)) $ گفت - آنها نیز از $ ((a) _ (n) حذف شده اند. ) $ همان فاصله برابر با $ 2d $. شما می توانید به طور نامحدود ادامه دهید، اما معنی به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است.

اعضای پیشرفت در همان فاصله از مرکز دراز می کشند

معنی این برای ما چیست؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، می توانید $ ((a) _ (n)) $ را پیدا کنید:

\ [((a) _ (n)) = \ فراک (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

ما یک جمله عالی استنباط کردیم: هر عضوی از پیشروی حسابی برابر است با میانگین حسابی اصطلاحات همسایه! علاوه بر این: ما می توانیم از $ ((a) _ (n)) $ خود به چپ و راست نه یک مرحله، بلکه $ k $ انحراف داشته باشیم - و همچنان فرمول صحیح خواهد بود:

\ [((a) _ (n)) = \ فراک (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

آن ها اگر بدانیم $ ((a) _ (100)) $ و $ ((a) _ (200)) $ می توانیم به راحتی مقداری $ ((a) _ (150)) $ پیدا کنیم، زیرا $ ((a) _ (150)) = \ فراک (((الف) _ (100)) + ((الف) _ (200))) (2) دلار. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از مشکلات به طور ویژه برای استفاده از میانگین حسابی "تیز" می شوند. نگاهی بیاندازید:

مشکل شماره 6. همه مقادیر $ x $ را پیدا کنید که اعداد $ -6 ((x) ^ (2)) $، $ x + 1 $ و $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ اعضای متوالی هستند پیشرفت حسابی (به ترتیب).

راه حل. از آنجایی که اعداد نشان داده شده اعضای پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $ x + 1 $ را می توان بر حسب عناصر مجاور بیان کرد:

\ [\ start (تراز کردن) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ فراک (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

نتیجه یک معادله درجه دوم کلاسیک است. ریشه های آن: $ x = 2 $ و $ x = -3 $ - اینها پاسخ ها هستند.

پاسخ: −3; 2.

مشکل شماره 7. مقادیر $$ را پیدا کنید که اعداد $ -1؛ 4-3؛ () ^ (2)) + 1 $ یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند (به ترتیب).

راه حل. مجدداً عبارت میانی را بر حسب میانگین حسابی اصطلاحات مجاور بیان می کنیم:

\ [\ start (تراز کردن) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ فرک (((x) ^ (2)) + x) (2)؛ \ چهار \ چپ | \ cdot 2 \ سمت راست . \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

باز هم معادله درجه دوم. و دوباره دو ریشه وجود دارد: $ x = 6 $ و $ x = 1 $.

پاسخ 1؛ 6.

اگر در روند حل یک مشکل، تعدادی اعداد وحشیانه را دریافت کردید، یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، تکنیک فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا ما مشکل را به درستی حل کردیم؟

به عنوان مثال در مسئله شماره 6 پاسخ های -3 و 2 را دریافت کردیم. چگونه می توان صحت این پاسخ ها را بررسی کرد؟ بیایید فقط آنها را به شرایط اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما سه عدد ($ -6 (() ^ (2)) $، $ + 1 $ و $ 14 + 4 (() ^ (2)) $ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. جایگزین $ x = -3 $:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x = -3 \ فلش راست \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ پایان (تراز کردن) \]

شماره های دریافتی -54; −2; 50 که با 52 تفاوت دارند، بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $ x = 2 $ رخ می دهد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x = 2 \ فلش راست \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ پایان (تراز کردن) \]

دوباره یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل می شود. علاقه مندان می توانند مشکل دوم را خودشان بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: آنجا هم همه چیز درست است.

به طور کلی، در حین حل آخرین مشکلات، به واقعیت جالب دیگری برخوردیم که آن را نیز باید به خاطر بسپاریم:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین حسابی اول و آخر باشد، این اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما امکان می دهد تا به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین «ساختی»، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم که مستقیماً از آنچه قبلاً در نظر گرفته شده است نتیجه می گیرد.

گروه بندی و مجموع عناصر

بیایید دوباره به محور اعداد برگردیم. اجازه دهید در آنجا چندین عضو پیشرفت را یادداشت کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. تعداد زیادی از اعضای دیگر وجود دارد:

خط اعداد دارای 6 عنصر مشخص شده است

بیایید سعی کنیم "دم چپ" را برحسب $ ((a) _ (n)) $ و $ d $ و "دم سمت راست" را بر اساس $ ((a) _ (k)) $ و $ d $ بیان کنیم. . خیلی ساده است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

حال توجه داشته باشید که مجموع زیر برابر هستند:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ پایان (تراز کردن) \]

به بیان ساده، اگر دو عنصر از پیشروی را که در مجموع برابر با مقداری S$ است، به عنوان شروع در نظر بگیریم و سپس از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) شروع به راه رفتن کنیم. ، سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود S $. این را می توان به وضوح به صورت گرافیکی نشان داد:

تورفتگی مساوی مقادیر مساوی می دهد

درک این واقعیت به ما این امکان را می دهد که مشکلاتی با سطح پیچیدگی اساساً بالاتر از مواردی که در بالا در نظر گرفتیم حل کنیم. به عنوان مثال، مانند:

مشکل شماره 8. تفاوت پیشروی حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((الف) _ (1)) = 66; \\ و د =؟ \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ دقیقه. \ پایان (تراز کردن) \]

بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $ d $ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ چپ (66 + d \ راست) \ cdot \ چپ (66 + 11d \ راست) = \\ & = 11 \ cdot \ چپ (d + 66 \ راست) \ cdot \ چپ (d + 6 \ راست). \ پایان (تراز کردن) \]

برای کسانی که در مخزن هستند: من ضریب مشترک 11 را از پرانتز دوم خارج کردم. بنابراین، محصول جستجو شده یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $ d $ است. بنابراین، تابع $ f \ چپ (d \ راست) = 11 \ چپ (d + 66 \ راست) \ چپ (d + 6 \ راست) $ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه های بالا خواهد بود، زیرا اگر براکت ها را گسترش دهیم، دریافت می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & f \ چپ (d \ راست) = 11 \ چپ (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ راست) = \\ & = 11 (( د) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ پایان (تراز کردن) \]

همانطور که می بینید، ضریب عبارت پیشرو 11 است - این یک عدد مثبت است، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا سر و کار داریم:

نمودار تابع درجه دوم - سهمی

توجه کنید: این سهمی حداقل مقدار خود را در رأس خود با آبسیسا $ ((d) _ (0)) $ می گیرد. البته، می‌توانیم این آبسیسا را ​​طبق طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $ نیز وجود دارد)، اما بسیار معقول‌تر خواهد بود. توجه کنید که راس مورد نظر روی تقارن محور سهمی قرار دارد، بنابراین نقطه $ ((d) _ (0)) $ از ریشه های معادله $ f \ چپ (d \ راست) = 0 $ فاصله دارد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & f \ چپ (d \ راست) = 0; \\ & 11 \ cdot \ چپ (d + 66 \ راست) \ cdot \ چپ (d + 6 \ راست) = 0; \\ & ((د) _ (1)) = - 66؛ \ چهار ((د) _ (2)) = - 6. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

به همین دلیل است که من عجله ای برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین، آبسیسا برابر است با میانگین حسابی اعداد -66 و -6:

\ [((d) _ (0)) = \ فراک (-66-6) (2) = - 36 \]

عدد کشف شده چه چیزی به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز کوچکترین مقدار را می گیرد (به هر حال، ما $ ((y) _ (\ min)) $ را شمرده ایم - این مورد از ما لازم نیست). در عین حال، این عدد تفاوت بین پیشرفت اصلی است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: -36

مشکل شماره 9. سه عدد را بین اعداد $ - \ frac (1) (2) $ و $ - \ frac (1) (6) $ درج کنید تا به همراه اعداد داده شده یک پیشرفت حسابی تشکیل دهند.

راه حل. اساساً باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم که اولین و آخرین اعداد از قبل مشخص شده باشند. بیایید اعداد گمشده را با متغیرهای $ x $، $ y $ و $ z $ نشان دهیم:

\ [\ چپ (((a) _ (n)) \ راست) = \ چپ \ (- \ فرک (1) (2)؛ x؛ y؛ z؛ - \ فرک (1) (6) \ راست \ ) \]

توجه داشته باشید که عدد $ y $ "وسط" دنباله ما است - از هر دو اعداد $ x $ و $ z $ و از اعداد $ - \ frac (1) (2) $ و $ - \ برابر است. فرانک (1) (6) دلار. و اگر در حال حاضر نتوانیم $ y $ را از اعداد $ x $ و $ z $ بدست آوریم، در این صورت وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. به خاطر سپردن میانگین حسابی:

اکنون با دانستن $ y $، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $ x $ بین اعداد $ - \ frac (1) (2) $ و $ y = - \ frac (1) (3) $ قرار دارد. از همین رو

با استدلال مشابه، عدد باقی مانده را می یابیم:

آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.

پاسخ: $ - \ frac (5) (12)؛ \ - \ frac (1) (3)؛ \ - \ frac (1) (4) $

مشکل شماره 10. چند عدد بین اعداد 2 و 42 درج کنید که همراه با این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند، اگر بدانید مجموع اعداد اول، دوم و آخر اعداد درج شده 56 است.

راه حل. یک کار حتی دشوارتر، که با این حال، طبق همان طرح قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد را وارد کنیم. بنابراین، برای قطعیت، فرض می کنیم که پس از درج همه چیز، دقیقاً $ n $ اعداد وجود دارد، و اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نظر را می توان به صورت زیر نشان داد:

\ [\ چپ (((الف) _ (ن)) \ راست) = \ چپ \ (2؛ ((الف) _ (2))؛ ((الف) _ (3))؛ ...؛ (( الف) _ (n-1))؛ 42 \ راست \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

البته توجه داشته باشید که اعداد $ ((a) _ (2)) $ و $ ((a) _ (n-1)) $ از اعداد 2 و 42 در لبه ها یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. یعنی... به مرکز دنباله این به این معنی است که

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

اما سپس عبارت نوشته شده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ چپ (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ راست) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

با دانستن $ ((a) _ (3)) $ و $ ((a) _ (1)) $، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((الف) _ (3)) - ((الف) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ چپ (3-1 \ راست) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ فلش راست d = 5. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

فقط برای یافتن بقیه اعضا باقی مانده است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((الف) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ پایان (تراز کردن) \]

بنابراین، در مرحله نهم ما به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، لازم بود فقط 7 عدد درج شود: 7. 12; 17; 22; 27; 32; 37.

پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

مشکلات کلمه با پیشرفت

در پایان، من می خواهم چند مشکل نسبتا ساده را در نظر بگیرم. خوب، چقدر ساده: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضیات می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده است را نخوانده‌اند، این کارها ممکن است مانند یک حلبی به نظر برسد. با این وجود، دقیقاً چنین مشکلاتی در OGE و USE در ریاضیات وجود دارد، بنابراین توصیه می کنم که با آنها آشنا شوید.

مشکل شماره 11. این تیپ در دی ماه 62 قطعه تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قطعه بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیم در ماه نوامبر چند قسمت ساخت؟

راه حل. بدیهی است که تعداد قطعات برنامه ریزی شده بر اساس ماه، نشان دهنده یک پیشرفت محاسباتی فزاینده خواهد بود. علاوه بر این:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((الف) _ (1)) = 62؛ \ چهار d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ چپ (n-1 \ راست) \ cdot 14. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $ ((a) _ (11)) $ را پیدا کنیم:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

در نتیجه، 202 قطعه در ماه نوامبر ساخته خواهد شد.

مشکل شماره 12. این کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب را صحافی کرد و هر ماه 4 جلد کتاب بیشتر از قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. همه یکسان:

$ \ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (1)) = 216؛ \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ چپ (n-1 \ راست) \ cdot 4. \\ \ پایان (تراز کردن) $

دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $ ((a) _ (12)) $ هستیم:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.

خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارز جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید، جایی که ما فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.

ماهیت اصلی فرمول چیست؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او " n" .

البته باید ترم اول را هم بدانید. یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها، نمی توانید یک پیشرفت خاص را ضبط کنید.

به خاطر سپردن (یا کم کردن) این فرمول کافی نیست. لازم است جوهر آن را جذب کرد و فرمول را در کارهای مختلف به کار برد. علاوه بر این، در زمان مناسب فراموش نکنید، بله ...) چگونه فراموش نکن- من نمی دانم. و اینجا چگونه به خاطر بسپاریماگه لازم باشه دقیقا بهت میگم کسانی که درس را تا آخر مسلط می کنند.)

بنابراین، اجازه دهید با فرمول n-امین ترم پیشروی حسابی بپردازیم.

به طور کلی فرمول چیست - ما می توانیم تصور کنیم.) پیشروی حسابی، تعداد اعضا، تفاوت در پیشرفت چیست - در درس قبل موجود است. اتفاقاً اگر نخوندید نگاه کنید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چیست ترم نهم

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1، a 2، a 3، a 4، a 5، .....

یک 1- نشان دهنده اولین عضو یک پیشرفت حسابی است، یک 3- ترم سوم، یک 4- چهارم، و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، بگوییم با هم کار می کنیم یک 5اگر یکصد و بیستم - از یک 120.

و نحوه تعیین به صورت کلی هرعضو پیشروی حسابی، s هرعدد؟ بسیار ساده! مثل این:

یک n

همین است ترم n ام پیشرفت حسابی.حرف n همه اعداد اعضا را به طور همزمان پنهان می کند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین ضبطی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای عدد یک حرف نوشتند...

این مدخل ابزار قدرتمندی برای کار با پیشرفت حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد یک n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و برای حل یک سری مشکلات در حال پیشرفت. خودت خواهید دید.

در فرمول nامین ترم پیشروی حسابی:

a n = a 1 + (n-1) d

یک 1- اولین عضو پیشرفت حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفت را به هم متصل می کند: a n a 1; دو n. تمام مشکلات در پیشرفت حول این پارامترها می چرخد.

از فرمول ترم n نیز می توان برای ثبت یک پیشرفت خاص استفاده کرد. برای مثال، مشکل ممکن است بگوید که پیشرفت با شرط مشخص شده است:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین کاری حتی می تواند گیج شود ... هیچ سری، هیچ تفاوتی وجود ندارد ... اما، با مقایسه شرایط با فرمول، به راحتی می توان فهمید که در این پیشرفت a 1 = 5 و d = 2.

و حتی عصبانی تر اتفاق می افتد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله برای باز کردن براکت و آوردن موارد مشابه؟ بیایید یک فرمول جدید دریافت کنیم:

a n = 3 + 2n.

آی تی فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. اینجاست که دام در کمین است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول سه گانه است. اگرچه در واقع اولین عبارت پنج است ... کمی بعد ما با چنین فرمول اصلاح شده ای کار خواهیم کرد.

در وظایف پیشرفت، یک نام دیگر یافت می شود - a n + 1... حدس زدید این عبارت "en plus first" در پیشرفت است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) عضوی از پیشرفت است که تعداد آن از n در یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما برای یک nترم پنجم پس از آن a n + 1ششمین عضو خواهد بود. و غیره.

اغلب تعیین a n + 1در فرمول های بازگشتی رخ می دهد. از این کلمه وحشتناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان عضوی از یک پیشروی حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از یک فرمول تکرارشونده، یک پیشروی حسابی مانند این به ما داده می شود:

a n + 1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. و چگونه می توان فوراً شمرد، ترم بیستم را بگویید، یک 20? اما به هیچ وجه!) تا ترم 19 به رسمیت شناخته نشود، 20 را نمی توان حساب کرد. این تفاوت اساسی بین فرمول مکرر و فرمول ترم n است. مکرر فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n از طریق است اولینو اجازه می دهد فوراهر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون شمارش کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، یک فرمول تکرار شونده را می توان به راحتی به یک فرمول معمولی تبدیل کرد. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمولش یادداشت کنید و با آن کار کنید. در GIA اغلب با چنین وظایفی مواجه می‌شویم.

استفاده از فرمول برای عضو n یک پیشروی حسابی.

ابتدا، اجازه دهید به کاربرد مستقیم فرمول نگاه کنیم. در پایان درس قبل، یک مشکل وجود داشت:

به شما یک تصاعد حسابی (a n) داده می شود. اگر a 1 = 3 و d = 1/6 باشد، عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی حل کرد و به سادگی از معنای پیشرفت حسابی استفاده کرد. اضافه کنید، بله اضافه کنید ... یک یا دو ساعت.)

و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) ما تصمیم می گیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 = 3، d = 1/6.باقی مانده است که بفهمیم با چه چیزی برابر است nمشکلی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121... پس می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مندیم. شماره یکصد و بیست و یکاین مال ما خواهد بود nاین معناست n= 121 در داخل پرانتز فرمول را جایگزین خواهیم کرد. همه اعداد فرمول را جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. به همین سرعت می توان عبارت پانصد و دهم و هزار و سه را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد شاخص مورد نظر برای حرف " آ "و در پرانتز، و ما شمارش می کنیم.

بگذارید این نکته را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هراصطلاح پیشروی حسابی با شماره او " n" .

بیایید کار را با حیله گری بیشتر حل کنیم. بگذارید چنین مشکلی داشته باشیم:

جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بیابید اگر a 17 = -2; d = -0.5.

اگر مشکلی دارید قدم اول را به شما می گویم. فرمول nامین ترم پیشروی حسابی را بنویسید!بله بله. با دستان خود درست در دفترچه یادداشت خود بنویسید:

a n = a 1 + (n-1) d

و اکنون، با نگاهی به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ وجود دارد d = -0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد... آیا این همه است؟ اگر فکر می کنید که تمام است، پس مشکل را حل نمی کنید، بله ...

ما هنوز یک شماره داریم n! در شرایط a 17 = -2پنهان شده است دو پارامتراین هم مقدار جمله هفدهم (2-) و هم عدد آن (17) است. آن ها n = 17.این «ریزه کاری» اغلب از سر می گذرد و بدون آن، (بدون «ریزه» و نه سر!) مشکل حل نمی شود. اگرچه ... بدون سر نیز.)

اکنون می توانید داده های ما را احمقانه با فرمول جایگزین کنید:

a 17 = a 1 + (17-1) (-0.5)

آه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید جایگزین کنیم:

-2 = a 1 + (17-1) (-0.5)

این، در اصل، همه چیز است. باقی مانده است که عبارت اول پیشرفت حسابی را از فرمول بیان کنیم و محاسبه کنیم. پاسخ این خواهد بود: a 1 = 6.

این تکنیک - نوشتن فرمول و جایگزینی ساده داده های شناخته شده - در کارهای ساده کمک زیادی می کند. خوب، مطمئناً باید بتوانید یک متغیر را از یک فرمول بیان کنید، اما چه باید کرد!؟ بدون این مهارت، به هیچ وجه می توان از ریاضیات اجتناب کرد ...

یکی دیگر از پازل های محبوب:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را در صورت 1 = 2 بیابید. a 15 = 12.

چه کار می کنیم؟ تعجب خواهید کرد، ما در حال نوشتن فرمول هستیم!)

a n = a 1 + (n-1) d

آنچه را که می دانیم در نظر بگیرید: a 1 = 2; a 15 = 12; و (به ویژه آن را برجسته می کنم!) n = 15. با خیال راحت در فرمول جایگزین کنید:

12 = 2 + (15-1) د

ما حساب می شماریم.)

12 = 2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این جواب درست است.

بنابراین، وظایف برای a n، a 1و دحل کرد. باقی مانده است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است که a 1 = 12; d = 3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را در فرمول برای ترم n جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول دو ناشناخته وجود دارد: a n و nولی یک nبرخی از اعضای پیشرفت با یک عدد است n... و ما این عضو پیشرفت را می شناسیم! 99 است. ما شماره اش را نمی دانیم. nبنابراین باید این شماره پیدا شود. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین می کنیم:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، در نظر گرفتن. جواب میگیریم: n = 30.

و اکنون یک پازل در مورد همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

دوباره فرمول را می نویسیم. چه، هیچ پارامتری وجود ندارد؟ هوم ... چرا به ما چشم داده شده است؟) اولین عضو پیشرفت را ببینید؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 = -3.6.تفاوت دآیا می توان از یک عدد تعیین کرد؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بنابراین، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. باقی مانده است که با یک شماره ناشناخته مقابله کنیم nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل مشخص بود که عضوی از پیشرفتی است که داده شد. و اینجا ما حتی نمی دانیم ... چگونه باشیم !؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن ... خلاقیت را روشن کنید!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n... و درست مانند کار قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله، بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت نمیتونه باشه.چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ آره! شماره 117 نیستعضوی از پیشرفت ما جایی بین اعضای صد و اول و صد و دوم است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. یک عدد صحیح مثبت، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد پیدا شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ مشکل این خواهد بود: نه

وظیفه بر اساس نسخه واقعی GIA:

پیشروی حسابی با شرط مشخص می شود:

a n = -4 + 6.8n

اعضای اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی کاملاً آشنا تنظیم نشده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمولی برای ترم n یک پیشروی حسابی است!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به شدت اشتباه می شود!) زیرا فرمول در مسئله اصلاح شده است. عبارت اول از پیشروی حسابی در آن پنهان شده است.هیچی، الان پیداش می کنیم.)

همانطور که در کارهای قبلی جایگزین می کنیم n = 1به این فرمول:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

به همین ترتیب، ما به دنبال عبارت دهم هستیم:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد.

و اکنون، برای کسانی که این خطوط را خوانده اند - پاداش وعده داده شده.)

فرض کنید، در یک موقعیت جنگی دشوار از GIA یا USE، یک فرمول مفید برای ترم n-ام پیشروی حسابی را فراموش کرده اید. چیزی یادآوری می شود، اما به نحوی نامشخص... در هر صورت nوجود دارد یا n + 1 یا n-1 ...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استنباط است. خیلی سخت نیست، اما برای قطعیت و راه حل صحیح، قطعا کافی خواهد بود!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی پیشروی حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای شفافیت.

یک محور اعداد رسم کنید و اولی را روی آن علامت بزنید. دوم، سوم و غیره اعضا. و به تفاوت توجه کنید دبین اعضا مثل این:

ما به تصویر نگاه می کنیم و متوجه می شویم: جمله دوم برابر است با چیست؟ دومین یک چیز د:

آ 2 = a 1 + 1 دی

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

آ 3 = a 1 + 2 دی

متوجه شدي؟ بیهوده نیست که برخی از کلمات را به صورت پررنگ برجسته می کنم. خوب، یک قدم دیگر).

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

آ 4 = a 1 + 3 دی

وقت آن است که بفهمیم تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد ترم مورد نیاز n. یعنی به عدد n، تعداد فواصلاراده n-1.بنابراین، فرمول (بدون گزینه!):

a n = a 1 + (n-1) d

به طور کلی تصاویر تصویری در حل بسیاری از مسائل ریاضی بسیار کمک کننده هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر کشیدن یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول عبارت n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره را به راه حل متصل کنید. شما نمی توانید یک تصویر را در یک معادله قرار دهید ...

وظایف برای راه حل مستقل.

برای گرم شدن:

1. در یک تصاعد حسابی (a n) a 2 = 3; a 5 = 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: طبق تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) بخش 555 این مشکل را هم با تصویر و هم با فرمول حل کرد. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشرفت حسابی (a n) a 85 = 19.1; a 236 = 49, 3. عدد 3 را پیدا کنید.

چه، آیا احساس بی میلی به کشیدن نقاشی می کنید؟) البته! با فرمول بهتر است، بله ...

3. پیشروی حسابی با شرط مشخص می شود:a 1 = -5.5; a n + 1 = a n + 0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت مکرر داده می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم ... همه نمی توانند چنین شاهکاری انجام دهند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

تعداد کوچکترین جمله مثبت را در پیشروی پیدا کنید.

5. با توجه به شرط تکلیف 4، مجموع کوچکترین اعضای مثبت و بزرگترین اعضای منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم سیر فزاینده حسابی 5/2- و مجموع جمله های سوم و یازدهم صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله ...) در اینجا، روش "روی انگشتان" کار نخواهد کرد. ما باید فرمول بنویسیم و معادلات را حل کنیم.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

اتفاق افتاد؟ خوبه!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، یک نکته ظریف در آخرین کار وجود دارد. دقت در هنگام خواندن مشکل مورد نیاز خواهد بود. و منطق.

حل همه این مسائل به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر خیال برای چهارم، و لحظه ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی در فرمول ترم n - همه چیز نوشته شده است. . توصیه.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را بیابید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

پیشرفت حسابیدنباله ای از اعداد (اعضای یک پیشرفت) نامیده می شود.

که در آن هر عبارت بعدی با عبارت قبلی متفاوت است که به آن نیز گفته می شود تفاوت مرحله یا پیشرفت.

بنابراین، با تنظیم مرحله پیشرفت و اولین عبارت آن، می توانید هر یک از عناصر آن را با فرمول پیدا کنید

خواص پیشروی حسابی

1) هر عضو پیشروی حسابی، که از عدد دوم شروع می‌شود، میانگین حسابی عضو قبلی و بعدی پیشروی است.

عکس آن نیز صادق است. اگر میانگین حسابی اعضای فرد ( زوج) مجاور پیشروی برابر با عبارت بین آنها باشد، این دنباله از اعداد یک تصاعد حسابی است. این عبارت بررسی هر توالی را بسیار آسان می کند.

همچنین با خاصیت پیشروی حسابی می توان فرمول فوق را به موارد زیر تعمیم داد

اگر شرایط را در سمت راست علامت مساوی بنویسیم، تأیید این امر آسان است

اغلب در عمل برای ساده کردن محاسبات در مسائل استفاده می شود.

2) مجموع n جمله اول پیشروی حسابی با فرمول محاسبه می شود

فرمول مجموع یک پیشروی حسابی را به خوبی به خاطر بسپارید، این فرمول برای محاسبات ضروری است و در موقعیت های ساده زندگی بسیار رایج است.

3) اگر شما نیاز دارید که نه کل مجموع، بلکه بخشی از دنباله را که از جمله k -ام شروع می شود، پیدا کنید، فرمول جمع زیر مفید خواهد بود.

4) یافتن مجموع n ترم یک پیشروی حسابی که از عدد k ام شروع می شود بسیار جالب است. برای این کار از فرمول استفاده کنید

این مطالب نظری را به پایان می رساند و به سمت حل مشکلات رایج در عمل می رود.

مثال 1. جمله چهلم پیشروی حسابی 4؛ 7؛ ... را بیابید.

راه حل:

با توجه به شرط، داریم

مرحله پیشرفت را تعیین کنید

با استفاده از فرمول شناخته شده، چهلمین عبارت پیشرفت را پیدا می کنیم

مثال 2. پیشروی حسابی با ترم های سوم و هفتم آن به دست می آید. جمله اول پیشروی و مجموع ده را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید عناصر داده شده پیشرفت را با استفاده از فرمول ها بنویسیم

معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم، در نتیجه مرحله پیشروی را پیدا می کنیم

مقدار پیدا شده را با هر یک از معادلات جایگزین می کنیم تا اولین جمله پیشرفت حسابی را پیدا کنیم

مجموع ده عضو اول پیشرفت را محاسبه می کنیم

بدون استفاده از محاسبات پیچیده، تمام مقادیر مورد نیاز را پیدا کردیم.

مثال 3. یک تصاعد حسابی توسط مخرج و یکی از اعضای آن داده می شود. اولین عضو پیشرفت را پیدا کنید، مجموع 50 عضو آن که با 50 شروع می شود و مجموع 100 نفر اول.

راه حل:

بیایید فرمول صدمین عنصر پیشرفت را بنویسیم

و اولی را پیدا کنید

بر اساس اولی، ترم 50 پیشرفت را پیدا می کنیم

مجموع قسمت پیشرفت را پیدا کنید

و مجموع 100 مورد اول

کل پیشرفت 250 است.

مثال 4.

تعداد اعضای یک پیشروی حسابی را بیابید اگر:

a3-a1 = 8، a2 + a4 = 14، Sn = 111.

راه حل:

معادلات را بر حسب جمله اول و گام پیشروی می نویسیم و تعریف می کنیم

مقادیر به دست آمده را با فرمول جمع جایگزین می کنیم تا تعداد اعضای جمع را مشخص کنیم

انجام ساده سازی ها

و معادله درجه دوم را حل کنید

از دو مقدار یافت شده برای شرایط مشکل، تنها عدد 8 مناسب است. بنابراین، مجموع هشت عضو اول پیشرفت 111 است.

مثال 5.

معادله را حل کنید

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

راه حل: این معادله حاصل جمع یک تصاعد حسابی است. بیایید اولین عبارت آن را بنویسیم و تفاوت در پیشرفت را پیدا کنیم

مجموع یک تصاعد حسابی.

مجموع یک تصاعد حسابی چیز ساده ای است. هم در معنا و هم در فرمول. اما انواع و اقسام وظایف در این موضوع وجود دارد. از ابتدایی تا کاملا جامد.

ابتدا بیایید معنی و فرمول جمع را دریابیم. و سپس آن را درست می کنیم. برای خشنودی شما.) معنی جمع ساده است، مانند زمزمه. برای یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، فقط باید تمام اعضای آن را با دقت اضافه کنید. اگر این عبارات کم هستند، می توانید بدون هیچ فرمولی اضافه کنید. اما اگر زیاد باشد، یا زیاد ... اضافه آزاردهنده است.) در این صورت، فرمول ذخیره می کند.

فرمول جمع ساده به نظر می رسد:

بیایید بفهمیم چه حروفی در فرمول گنجانده شده است. این خیلی چیزها را روشن خواهد کرد.

S n - مجموع پیشرفت حسابی. نتیجه اضافه از همهاعضا با اولینبر آخر.مهم است. دقیقا جمع کنید همهاعضا در یک ردیف، بدون شکاف و پرش. و، یعنی، با شروع اولین.در کارهایی مانند یافتن مجموع ترم های سوم و هشتم یا جمع ترم های پنجم تا بیستم، استفاده مستقیم از فرمول ناامید کننده خواهد بود.)

یک 1 - اولینعضو پیشرفت اینجا همه چیز واضح است، ساده است اولینشماره ردیف.

یک n- آخرعضو پیشرفت آخرین شماره ردیف. نام چندان آشنا نیست، اما، هنگامی که به مقدار اعمال می شود، حتی بسیار مناسب است. بعد خودت خواهی دید.

n - شماره آخرین عضو درک این نکته مهم است که در فرمول این عدد با تعداد اعضای اضافه شده منطبق است.

بیایید مفهوم را تعریف کنیم آخرینعضو یک n... سوال تکمیلی: کدام عضو خواهد بود آخریناگر داده شود بی پایانپیشرفت حسابی؟)

برای یک پاسخ مطمئن، باید معنای ابتدایی پیشروی حسابی را درک کنید و ... تکلیف را با دقت بخوانید!)

در کار یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، آخرین جمله همیشه ظاهر می شود (مستقیم یا غیر مستقیم)، که باید محدود شود.در غیر این صورت، مبلغ نهایی، مشخص است فقط وجود نداردبرای حل، مهم نیست که کدام پیشرفت داده شده است: متناهی یا نامتناهی. فرقی نمی کند چگونه تنظیم شود: با تعدادی اعداد یا با فرمول n-امین جمله.

مهمترین چیز این است که درک کنید که فرمول از اولین ترم پیشرفت تا عدد c کار می کند. nدر واقع، نام کامل فرمول به صورت زیر است: مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.تعداد این اعضای اولیه، یعنی. n، منحصراً توسط وظیفه تعیین می شود. در کار، همه این اطلاعات ارزشمند اغلب رمزگذاری می شوند، بله ... اما هیچ، در مثال های زیر این اسرار را فاش خواهیم کرد.)

نمونه هایی از کارها برای مجموع یک پیشرفت حسابی.

اول از همه، چند اطلاعات مفید:

مشکل اصلی در کارها برای مجموع یک پیشرفت حسابی در تعیین صحیح عناصر فرمول نهفته است.

نویسندگان وظایف این عناصر را با تخیل بی حد و حصر رمزگذاری می کنند.) نکته اصلی در اینجا این است که نترسید. با درک ماهیت عناصر، فقط رمزگشایی آنها کافی است. بیایید نگاهی دقیق تر به چند مثال بیندازیم. بیایید با یک تکلیف بر اساس یک GIA واقعی شروع کنیم.

1. یک پیشرفت حسابی با شرط مشخص می شود: a n = 2n-3.5. مجموع 10 عضو اول آن را بیابید.

تکلیف خوب آسان.) برای تعیین مقدار با فرمول چه چیزهایی باید بدانیم؟ ترم اول یک 1، ترم آخر یک n، بله شماره آخرین عضو n

از کجا می توان شماره آخرین عضو را دریافت کرد n? بله، در شرایط! می گوید: مقدار را پیدا کنید 10 عضو اولخوب، چه عددی خواهد بود آخر،ترم دهم؟) باور نمی کنید، عدد آن دهم است!) بنابراین، به جای یک nدر فرمولی که جایگزین خواهیم کرد یک 10، و به جای n- ده باز هم تعداد آخرین عضو با تعداد اعضا یکسان است.

برای تعریف باقی مانده است یک 1و یک 10... محاسبه آن با فرمول عبارت n که در بیان مسئله آمده است آسان است. مطمئن نیستم چطور این کار رو بکنم؟ از درس قبلی دیدن کنید، بدون آن - هیچ چیز.

یک 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

یک 10= 210 - 3.5 = 16.5

S n = S 10.

ما معنای تمام عناصر فرمول را برای مجموع یک پیشرفت حسابی فهمیدیم. باقی مانده است که آنها را جایگزین کنیم و بشماریم:

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. جواب: 75.

وظیفه دیگری بر اساس GIA است. کمی پیچیده تر:

2. به شما یک تصاعد حسابی (a n) داده می شود که تفاوت آن 3.7 است. a 1 = 2.3. مجموع 15 عضو اول آن را بیابید.

بلافاصله فرمول مقدار را می نویسیم:

این فرمول به ما اجازه می دهد تا مقدار هر عضو را با تعداد آن پیدا کنیم. ما به دنبال یک جایگزین ساده هستیم:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

باقی مانده است که تمام عناصر موجود در فرمول را برای مجموع پیشروی حسابی جایگزین کنیم و پاسخ را محاسبه کنیم:

جواب: 423.

به هر حال، اگر در فرمول مجموع به جای یک nفقط فرمول را برای ترم n جایگزین کنید، دریافت می کنیم:

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، یک فرمول جدید برای مجموع اعضای یک پیشرفت حسابی دریافت می کنیم:

همانطور که می بینید، ترم n در اینجا مورد نیاز نیست. یک n... در برخی از کارها این فرمول کمک زیادی می کند، بله ... می توانید این فرمول را به خاطر بسپارید. یا می توانید به سادگی آن را در زمان مناسب مانند اینجا نمایش دهید. از این گذشته ، فرمول جمع و فرمول ترم n را باید از هر نظر به خاطر بسپارید.)

اکنون کار به شکل یک رمزگذاری کوتاه است:

3. مجموع تمام اعداد دو رقمی مثبت بخش پذیر بر سه را بیابید.

چگونه! نه عضو اول، نه آخرین، نه پیشرفت اصلا... چگونه زندگی کنیم!؟

شما باید با سر خود فکر کنید و تمام عناصر حاصل از مجموع پیشروی حسابی را از شرط بیرون بکشید. ما می دانیم که اعداد دو رقمی چیست. آنها از دو رقم تشکیل شده اند.) چه عددی دو رقمی خواهد بود اولین? 10، فکر می کنم.) آخرین چیزعدد دو رقمی؟ 99 البته! سه رقمی به دنبالش می آیند...

مضرب سه ... هوم ... اینها اعدادی هستند که حتی بر سه بخش پذیرند، در اینجا! ده بر سه بخش پذیر نیست، 11 بخش پذیر نیست ... 12 ... بخش پذیر است! بنابراین، چیزی به نظر می رسد. از قبل می توان یک سری را با توجه به شرایط مشکل یادداشت کرد:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

آیا این سریال یک پیشروی حسابی خواهد بود؟ البته! هر عضو به شدت با عضو قبلی سه تفاوت دارد. اگر 2 یا 4 را به عبارت اضافه کنیم، می گوییم نتیجه، i.e. عدد جدید دیگر به طور کامل بر 3 تقسیم نمی شود. به پشته، می توانید بلافاصله تفاوت پیشرفت حسابی را تعیین کنید: d = 3.به کار خواهد آمد!)

بنابراین، می توانید با خیال راحت برخی از پارامترهای پیشرفت را یادداشت کنید:

چه عددی خواهد بود nآخرین عضو؟ هر کسی که فکر می کند 99 به شدت در اشتباه است ... اعداد - آنها همیشه پشت سر هم می روند و اعضای ما از سه نفر برتر می پرند. مطابقت ندارند.

دو راه حل وجود دارد. یکی از راه ها برای افراد فوق سخت کوش است. می توانید پیشرفت، کل سری اعداد را رنگ آمیزی کنید و تعداد اعضا را با انگشت بشمارید.) راه دوم برای افراد متفکر است. ما باید فرمول ترم n را به خاطر بسپاریم. اگر فرمول را برای مسئله خود اعمال کنیم، به این نتیجه می رسیم که 99 عبارت سی ام پیشرفت است. آن ها n = 30.

ما به فرمول مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه می کنیم:

ما نگاه می کنیم و خوشحالیم.) ما همه چیزهایی را که برای محاسبه مقدار از بیانیه مشکل لازم بود بیرون آوردیم:

یک 1= 12.

یک 30= 99.

S n = S 30.

حساب ابتدایی باقی می ماند. اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و می شماریم:

جواب: 1665

نوع دیگری از پازل های محبوب:

4. یک پیشرفت حسابی داده می شود:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

مجموع اعضای بیستم تا سی و چهارم را پیدا کنید.

فرمول جمع را نگاه می کنیم و ... ناراحت می شویم.) فرمول، یادآوری کنم، جمع را محاسبه می کند. از اولعضو و در مسئله باید مجموع را محاسبه کنید از بیستم...فرمول کار نخواهد کرد.

البته می‌توانید تمام مراحل را پشت سر هم رنگ کنید و از 20 تا 34 عضو اضافه کنید.

راه حل ظریف تری وجود دارد. بیایید ردیف خود را به دو قسمت تقسیم کنیم. قسمت اول خواهد بود از اولین عضو تا نوزدهمین عضوبخش دوم - از بیستم تا سی و چهارم.واضح است که اگر مجموع اعضای قسمت اول را محاسبه کنیم S 1-19، بله با مجموع شرایط قسمت دوم اضافه می کنیم S 20-34، مجموع پیشرفت از ترم اول تا سی و چهارم را بدست می آوریم S 1-34... مثل این:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

این نشان می دهد که برای پیدا کردن مجموع S 20-34می تواند تفریق ساده باشد

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

هر دو مقدار در سمت راست در نظر گرفته شده است از اولعضو، یعنی فرمول جمع استاندارد کاملاً برای آنها قابل اجرا است. شروع شدن؟

پارامترهای پیشرفت را از عبارت problem خارج می کنیم:

d = 1.5.

یک 1= -21,5.

برای محاسبه مجموع 19 و 34 عضو اول به اعضای 19 و 34 نیاز داریم. آنها را مطابق با فرمول n ام می شماریم، مانند مسئله 2:

یک 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

یک 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

چیزی باقی نمانده است. از مجموع 34 عضو 19 عضو کم کنید:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

جواب: 262.5

یک نکته مهم! یک ترفند بسیار مفید در حل این مشکل وجود دارد. به جای تسویه مستقیم آنچه شما نیاز دارید (S 20-34)،ما شمردیم چیزی که به نظر می رسد مورد نیاز نیست - S 1-19.و تنها پس از آن آنها تعیین کردند و S 20-34، دور انداختن موارد غیر ضروری از نتیجه کامل. این "ترفند با گوش" اغلب در کارهای شیطانی صرفه جویی می کند.)

در این درس به بررسی مسائلی پرداختیم که برای حل آنها کافی است معنای مجموع یک تصاعد حسابی را بفهمیم. خوب، شما باید چند فرمول را بدانید.)

توصیه عملی:

هنگام حل هر مسئله ای برای مجموع یک پیشرفت حسابی، توصیه می کنم فوراً دو فرمول اصلی را از این مبحث بنویسید.

فرمول ترم n به صورت زیر است:

این فرمول ها بلافاصله به شما می گویند که برای حل مشکل به دنبال چه چیزی باشید، در کدام جهت فکر کنید. آن کمک می کند.

و اکنون وظایف برای راه حل مستقل.

5. مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر سه بخش پذیر نیستند را بیابید.

جالب است؟) نکته در یادداشت به کار 4 پنهان است. خوب، وظیفه 3 کمک خواهد کرد.

6. پیشروی حسابی با شرط مشخص می شود: a 1 = -5.5; a n + 1 = a n + 0.5. مجموع 24 عضو اول را پیدا کنید.

غیر معمول؟) این یک فرمول بازگشتی است. می توانید در درس قبلی در مورد آن مطالعه کنید. پیوند را نادیده نگیرید، چنین وظایفی اغلب در GIA یافت می شوند.

7. واسیا برای تعطیلات پول پس انداز کرده است. به اندازه 4550 روبل! و تصمیم گرفتم که به محبوب ترین شخصم (خودم) چند روز خوشبختی بدهم. زیبا زندگی کنی، بدون اینکه چیزی از خودت دریغ کنی. در روز اول 500 روبل خرج کنید و در هر روز بعد 50 روبل بیشتر از روز قبل خرج کنید! تا زمانی که عرضه پول تمام شود. واسیا چند روز خوشبختی گرفت؟

مشکل است؟) یک فرمول اضافی از مشکل 2 کمک خواهد کرد.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7، 3240، 6.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را بیابید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.