Натрийн ферми энерги нь температуртай тэнцүү байна. Металд энергийн хувьд
At үнэмлэхүй тэгэнерги нь нэг электроноос хэтрэхгүй муж бүрт; -тэй төлөвт электронууд байхгүй. Иймээс үнэмлэхүй тэг үед өөр өөр энергитэй төлөвт электронуудын тархалтын функц нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 52.1.
Түгээлтийн функцийг үнэмлэхүй тэгээс өөр температурт олъё.
Киттелийг дагаж, металлын болор торонд суулгасан хольцын атомтай тэнцвэрт электрон хийн уян хатан бус мөргөлдөөнийг авч үзье. Бохир атом нь зөвхөн хоёр төлөвт байж болох ба энерги нь 0-тэй тэнцүү байна гэж үзье.
Мөргөлдөөний олон процессоос электрон Е энергитэй k төлөвөөс энергитэй k төлөвт шилжих нэгийг авч үзье. Энэ тохиолдолд хольцын атом нь энергитэй түвшнээс тэгтэй тэнцүү энергитэй түвшинд шилждэг. -д шилжих магадлал нь: 1) төлөвт электрон байх магадлал, 2) төлөв чөлөөтэй байх магадлал, 3) хольцын атом энергитэй төлөвт байх магадлал e.Иймээс,
Урвуу үйл явцын магадлал нь илэрхийлэлтэй пропорциональ байна
хольцын атом тэг энергитэй төлөвт байх магадлал хаана байна.
Нарийвчилсан тэнцвэрийн зарчмын дагуу (52.1) ба (52.2) илэрхийлэл дэх пропорциональ байдлын коэффициент ижил байна.
Тэнцвэрийн төлөвт шилжилтийн магадлал ижил байх ёстой. Тиймээс,
(төвшин дэх хольцын атомыг олох магадлал нь Больцманы тархалтын хуульд захирагддаг гэдгийг бид анхаарч үзсэн).
Функциональ тэгшитгэл (52.3) ямар ч температурт биелэх ёстой T. Хэрэв бид тавьсан бол энэ нь тохиолдох болно
хаана нь хамааралгүй утга нь E. Үүний дагуу
Эдгээр хоёр илэрхийллийн үржвэр нь дурын температурт байна
(52.4) тэгшитгэлийг шийдэж, янз бүрийн энергитэй төлөвт электронуудын тархалтын функцийн илэрхийлэлийг олж авна.
Энэ илэрхийллийг Ферми-Дирак тархалтын функц гэж нэрлэдэг. Параметрийг химийн потенциал гэж нэрлэдэг.
Функцийн утгын дагуу (52.5) хэмжигдэхүүн нь E энергитэй төлөвт байгаа электронуудын дундаж тоо юм. Тиймээс (52.5) томъёог хэлбэрт оруулж болно.
(49.4)-тэй харьцуулна уу). (49.4)-ээс ялгаатай нь тархалтын параметр (52.6) байна эерэг утгууд(v энэ тохиолдолдҮүний үр дүнд сөрөг тоо гарахгүй). Тархалт (52.6) нь Ферми-Дирак статистикийн үндэс суурь болдог.
Энэ статистикийг дагаж мөрддөг бөөмсийг фермион гэж нэрлэдэг. Эдгээрт хагас бүхэл тоо ээрэх бүх бөөмс орно.
Фермионууд нь аль хэдийн нэг бөөмс байдаг төлөвийг хэзээ ч эзэлдэггүй гэдгээрээ онцлог юм. Тиймээс фермионууд нь "хувь хүн" юм. Бозонууд эсрэгээрээ "нэгдэлчид" гэдгийг бид санаж байна (§ 49-ийн төгсгөлийг үзнэ үү).
Эрчим хүчний хэмжигдэхүүнтэй параметрийг ихэвчлэн дамжуулан тэмдэглэдэг бөгөөд үүнийг Ферми түвшин эсвэл Ферми энерги гэж нэрлэдэг. Энэ тэмдэглэгээнд функц (52.5) хэлбэртэй байна
(52.7) функцийн шинж чанарыг судалж үзье. Үнэмлэхүй тэг дээр
Тиймээс 0 K-д Ферми түвшний EP нь электроноор дүүрсэн дээд түвшинтэй давхцдаг (өмнөх хэсгийг үзнэ үү).
Температураас үл хамааран at, функц нь байна.Иймээс Ферми түвшин нь энергийн түвшинтэй давхцаж, дүүргэх магадлал нь хагастай тэнцүү байна.
EP-ийн утгыг түвшинг дүүргэх электронуудын нийт тоо нь талст дахь чөлөөт электронуудын тоотой тэнцүү байх (электрон нягтрал, V бол болорын эзэлхүүн) байх нөхцлөөс олж болно. Эрчим хүчний интервал дахь төлөвийн тоо нь төлөвүүдийн нягтрал хаана байгаатай тэнцүү байна. Эдгээр төлөв дэх электронуудын дундаж тоог дулааны тэнцвэрт байдлын илэрхийлэлээр тодорхойлно. Энэ илэрхийллийн интеграл нь болор дахь чөлөөт электронуудын нийт тоог өгнө.
Энэ хамаарал нь үндсэндээ функцийг хэвийн болгох нөхцөл юм
(51.9) ба (52.7) илэрхийллийг (52.8)-д орлуулснаар гарна
Энэ харьцаа нь зарчмын хувьд функцийг олох боломжийг олгодог. (52.9) илэрхийлэл дэх интегралыг аваагүй болно. Интегралын ойролцоо утгыг олох боломжтой тохиолдолд. Үүний үр дүнд Ферми түвшний илэрхийлэл гарч ирнэ
(үүнийг санаарай) хамаарна; (51.10)-ыг үзнэ үү).
Энэ нь (52.10)-аас дараах байдлаар гарч байна бага температур(энэ илэрхийлэл зөвхөн хүчинтэй байдаг) хэдийгээр Ферми түвшин нь температураас хамаардаг боловч маш сул байна. Тиймээс олон тохиолдолд үүнийг таамаглаж болно, гэхдээ жишээлбэл, термоэлектрик үзэгдлийг (§ 63-ыг үзнэ үү) ойлгохын тулд T-ээс хамааралтай байх нь үндсэн ач холбогдолтой юм.
Үнэмлэхүй тэгээс өөр температурт функцийн график (52.7) Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 52.2. Өндөр энергитэй тохиолдолд (өөрөөр хэлбэл хуваарилалтын муруйн "сүүл" хэсэгт биелэгдэх зүйл) функцийн хуваагч дахь нэгжийг үл тоомсорлож болно. Дараа нь янз бүрийн энергитэй төлөвт электронуудын тархалт хэлбэрийг авна
Энэ нь Больцманы хуваарилалтын функц руу шилждэг.
Зураг дээрх муруйд мэдэгдэхүйц ялгаа байгааг анхаарна уу. Зурагт үзүүлсэн графикаас 52.2. 52.1, зөвхөн эрэмбийн мужид ажиглагдаж байна.Температур өндөр байх тусам муруйн уруудах хэсэг илүү зөөлөн явдаг.
Электрон хийн зан төлөв нь болор температур ба Ферми температурын хоорондын хамаарлаас ихээхэн хамаардаг бөгөөд энэ нь тэнцүү хоёр хязгаарлагдмал тохиолдол байдаг.
Тиймээс өрөөний температурт ч гэсэн олон хагас дамжуулагч дахь электрон хий нь мууддаггүй бөгөөд сонгодог статистикт захирагддаг.
3.1. Бөөмийн цуглуулгын статистик тодорхойлолт.
Бөөмийн төлөвийн хуваарилалтын функц. Фермион ба бозонууд
Хамтлагийн онолын үр дүнгийн дагуу хатуу бодисталст дахь электронуудыг чөлөөт бөөмс гэж үзэх нь тохиромжтой бөгөөд үр дүнтэй масс нь чөлөөт электроны массаас ялгаатай байдаг. Хагас дамжуулагчийн хувьд электронуудаас гадна эерэг цэнэгтэй бөөмс - нүхнүүд нь мөн цэнэгийн тээвэрлэгч юм. Иймд эдгээр бөөмс гол үүрэг гүйцэтгэдэг үзэгдлүүдэд (цахилгаан дамжуулалт, дулаан дамжуулалт, гэрэлтэй харилцан үйлчлэлцэх гэх мэт) хатуу биеийг электрон ба нүхний хий гэж үзэж болно.
-аас бүрдсэн системүүд их тооижил хэсгүүд нь статистикийн физикийн судалгааны сэдэв юм. Статистикийн хэв маягийн гол онцлог нь магадлалын шинж чанар юм. Идеал хийн молекулуудын нэгдлийн статистикийн тодорхойлолтын сайн мэддэг арга. Хэдийгээр бие даасан хийн молекулын хурд нь хийн доторх санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. их тооижил молекулууд, тэдгээрийн хурдаар тархах тодорхой зүй тогтол байдаг. Статистик физикийн аргуудыг ашиглан молекулуудын аль хэсэг нь өгөгдсөн утгын хүрээнд хурдтай байгааг үргэлж зааж өгөх боломжтой.
Статистикийн гол ажил бол энерги нь өгөгдсөн интервалд оршдог бөөмсийн тоог тодорхойлох явдал юм. Энэхүү статистикийн асуудлыг шийдсэний үр дүн нь олох явдал юм бөөмийн энерги хуваарилах функц, үүнийг ихэвчлэн тэмдэглэдэг f (E).Хэрэв dZ-аас хүртэлх энергитэй бөөмсийн чуулгын боломжит төлөвүүдийн тоо юм Эөмнө E + dE, a dNнь эдгээр төлөвт байгаа бөөмсийн тоо, дараа нь тодорхойлолтоор
(3.1)
Тиймээс бөөмсийн энерги хуваарилах функц нь эдгээр төлөвийг бөөмсөөр дүүргэх нягт юм.
Хамгийн тохиромжтой хийн молекулуудын хувьд е(Э) гэж нэрлэдэг Максвелл-Больцманы тархалтын функц:
(3.2)
хаана ХАМТ- эрчим хүчээс хамааралгүй параметр; к- Больцманы тогтмол; Т- үнэмлэхүй температур.
Формула (3.2)-ыг ихэвчлэн бас нэрлэдэг каноник тархалтэсвэл Гиббс хуваарилалт... Энэ тархалтаас мэдэгдэж байгаа зүйлийг хялбархан олж авах боломжтой молекулын физик Максвелл хуваарилалтдулааны хөдөлгөөний хурдаар хамгийн тохиромжтой хийн молекулуудын . Тохиромжтой хийн молекулуудын статистик нь дараахь үндсэн таамаглал дээр суурилдаг.
1. Хийн молекулууд сонгодог механикийн хуулиудад захирагддаг.
2. Хийн молекулууд нь бие биенээсээ ялгагдах шинж чанартай байдаг. Иймд хоёр молекул байрлах үед өөр өөр нөхцөл байдалсолигдсон бол энэ нь мужуудад (шинэ бичил төлөв) тэдгээрийг шинээр хуваарилахад хүргэдэг.
3. Бүх хуваарилалтын аргууд ижил магадлалтай гэж үздэг.
Металл дахь электрон хий нь Максвелл-Больцманы статистикт захирагддаг гэсэн таамаглалыг хэд хэдэн туршилтын үр дүнд үгүйсгэж байна. Жишээлбэл, энэ таамаглал нь электронууд металлын хувийн дулаанд хувь нэмэр оруулах ёстой бөгөөд энэ нь туршилтаар ажиглагдсан утгаас хоёр дахин их байна. Хэрэв талст дахь бөөмсийн квант шинж чанарыг харгалзан үзвэл зөрчил арилна.
Максвелл-Больцманы сонгодог статистикаас ялгаатай нь квант статистик нь үзэл бодлыг баримталдаг. ижил хэсгүүдийн үндсэн ялгаагүй байдал... Тиймээс хоёр квант бөөмсийг дахин зохион байгуулах нь шинэ бичил төлөвт хүргэдэггүй. Электрон ба хагас бүхэл тоо ээрэх бүх бөөмсийн хувьд үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй Паулигийн зарчим... Энэ зарчмын дагуу зөвхөн нэг бөөмс нэг квант төлөвт байж болно. Ийм бөөмсийг нэрлэдэг фермионуудмөн дуулгавартай байх Ферми-Дирак квант статистик... Тэг ба бүхэл тоо ээрэх тоосонцорыг бусад квант статистик мэдээллээр дүрсэлсэн байдаг. Эдгээр бөөмс нь Паули зарчмыг дагаж мөрддөггүй бөгөөд нэг төлөвт таны хүссэн хэмжээгээр байж болно. Ийм бөөмсийг нэрлэдэг бозонууд, тэдгээрийн эрчим хүчний хуваарилалтыг тодорхойлсон квант статистик, - Бозе-Эйнштейний статистик... Эдгээр гурван статистикийн харьцуулалтыг Зураг дээр үзүүлэв. Гурван төлөвт хоёр бөөмийн тархалтын жишээнд 3.1. Энэ зураг дээрх бөөмсийн янз бүрийн төлөвийг эсүүдээр дүрсэлсэн болно.
Бүх зүйл боломжит арга замуудГурван төлөвт Максвелл-Больцманы сонгодог статистикийг дагаж мөрддөг хоёр бөөмийн тархалтыг Зураг дээр үзүүлэв. 3.1, a. Энэ статистикт бөөмс нь ялгагдах боломжтой тул тэдгээрийг өөр өөр өнгөөр тэмдэглэв. Нийт есөн микро төлөв байх боломжтой бөгөөд тус бүрийн математик магадлал нь 1/9 байна. Бозе-Эйнштейн, Ферми-Дирак нарын квант статистикийн хувьд микро төлөв 1 ба 2, 3 ба 4, 5 ба 6 нь үндсэндээ ялгагдахгүй бөгөөд ийм төлөвийн хос бүрийг нэг микро төлөв гэж үзэх ёстой. Бозоны хувьд боломжит бичил төлөвийн тоо 6 (Зураг 3.1, б), тус бүрийн магадлал нь 1/6 байна. Фермионуудын хувьд төлөв бүрт хоёр бөөмс байдаг микро төлөвийг хэрэгжүүлэх боломжгүй юм. Ферми-Дирак статистикт зөвхөн гурван боломжит микро төлөв үлдсэн бөгөөд үүнийг Зураг дээр үзүүлэв. 3.1, в. Тэд тус бүрийн магадлал 1/3 байна.
Бозе-Эйнштейний статистик нь хатуу биетүүдийн физик шинж чанарт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг фотон ба фононуудад захирагддаг. Бозе-Эйнштейний тархалтын функц нь хэлбэртэй байна
(3.3)
Энд Э Бнь бозоны системийн химийн потенциал юм.
Хэрэв бөөмсийн нийт тоо тогтмол биш, харин туйлын хар биеийн цацраг дахь фотонууд эсвэл болор дахь фононуудын нэгэн адил термодинамикийн тэнцвэрийн нөхцлөөс тодорхойлогдох ёстой бол химийн потенциал тэг болно. Энэ тохиолдолд (3.3) томъёо нь Планкийн томьёотой давхцаж байгаа бөгөөд энэ нь фотонуудын дундаж тоог тодорхойлдог. энэ төрөлтуйлын хар биеийн дулааны цацрагийн чичиргээ.
3.2. Ферми-Дирак хуваарилалтын функц. Ферми түвшин.
Ферми энерги. Ферми-Дирак тархалтад температурын нөлөө
Фермионы төлөв байдлын тархалтыг тодорхойлсон Ферми-Дирак хуваарилалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.
, (3.4)
энд Э Фнь фермионы системийн химийн потенциал, i.e. систем дэх бөөмсийн тоог нэгээр өөрчлөхөд зарцуулах шаардлагатай ажил. Электронуудын хувьд хэмжигдэхүүн Э Фдуудсан Ферми энерги.
Абсолют тэг рүү чиглэсэн температурт Ферми-Дирак функцийн хэлбэрийг авч үзье. Томъёо (3.4)-ээс харахад Ферми энергиэс илүү аливаа бөөмийн энергийн хувьд хуваагч дахь экспоненциал нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. , тиймээс f (E)тэг рүү чиглэдэг. Энэ нь бүх энерги нь дараах байдалтай байна гэсэн үг юм E> E Fүнэмлэхүй тэг дээр бүрэн үнэгүй. Хэрэв Э< E F цагт , f (E)эв нэгдэлтэй байхыг эрмэлздэг. Энэ нь Ферми энергиэс бага энергитэй бүх квант төлөвийг электронууд бүрэн эзэлдэг гэсэн үг юм. Иймээс электронуудын төлөвт хуваарилалтын параметр болох Ферми энергийн физик утга нь тодорхой байна. Ферми энерги гэдэг нь үнэмлэхүй тэг температурт метал дахь электронуудын байж болох хамгийн их энерги юм... Ферми энергид тохирох энергийн түвшинг гэж нэрлэдэг Ферми түвшин.
Ферми-Дирак тархалтын функцийн хэлбэр T = 0KЗурагт үзүүлэв. 3.2, a. Зураг дээр. 3.2, b нь ижил температурт металлын дамжуулах зурвас дахь энергийн түвшинд электронуудын тархалтыг харуулав.
Хэрэв Т ¹ 0K, дараа нь бөөмийн энерги дээр, тэнцүү энергиФерми, Ферми-Дирак хуваарилалтын функц нь 1/2 ... Энэ нь үнэмлэхүй тэгээс бусад температурт Фермигийн түвшин хагасаар дүүрсэн гэсэн үг юм. Хоёр хүний Ферми-Дирак функц өөр өөр температурЗураг дээр схемийн дагуу үзүүлэв. 3.3. Төлөвийн дагуу электронуудын тархалтын шинж чанар өөрчлөгдөх нь электронуудын дулааны өдөөлттэй холбоотой байдаг. Энэ тохиолдолд электронуудын зарим нь Фермигийн энергиээс их энергитэй төлөвт шилждэг. Үүний дагуу Ферми түвшнээс доогуур мужуудын зарим нь эрх чөлөөтэй болж хувирдаг. Үүний үр дүнд функц f (E)Ферми энергийн ойролцоо "бүдгэрсэн" байна. Ферми түвшний ойролцоо байрладаг электронуудын өчүүхэн хэсэг нь дулааны өдөөлтөд ордог. Ферми-Дирак функц нь үнэмлэхүй тэгтэй байсан хэлбэрээс эрс ялгаатай. ... "Бүдгэрэлтийн" хэмжээ нь температуртай пропорциональ байна (Зураг 3.3). Температур өндөр байх тусам түгээлтийн функцэд илүү их өөрчлөлт гардаг.
Нөхцөлөөр
(3.5)
хуваагч дахь илтгэгч нь (3.4) томъёоны нэгдлээс хамаагүй их болно. Энэ тохиолдолд нэгдмэл байдлыг үл тоомсорлож, Ферми-Дирак тархалтыг хэлбэрт шилжүүлж болно
(3.6)
Илэрхийлэл (3.6) нь Максвелл-Больцманы тархалтын функцтэй хэлбэрийн хувьд давхцдаг.
Эрчим хүчний зарим түвшний энергийн магадлал Эүнэ төлбөргүй, өөрөөр хэлбэл. нүхэнд эзэлсэн нь тэнцүү байна
(3.7)
Тиймээс нүхний Ферми-Дирак хуваарилалтын функц нь электронуудын хуваарилалтын функцтэй төстэй бөгөөд хэрэв экспонентуудын шинж тэмдгүүд өөрчлөгдсөн бол. Энэ нь нүх нь эерэг цэнэг зөөгч гэсэн санаатай сайн тохирч байна.
Ферми-Диракийн статистикт захирагдах цэнэглэгч хийг гэж нэрлэдэг доройтох... Хэрэв цэнэг тээвэрлэгчид Максвелл-Больцманы статистикийг дагаж мөрдвөл тэдгээрийг дуудна доройтдоггүй.
3.3. Төлөвийн нягтрал нь электрон ба нүхэнд үйлчилдэг
Өгөгдсөн интервал дахь энерги бүхий бөөмсийн тоог тодорхойлохын тулд хуваарилалтын функцээс гадна шаардлагатай , төлөвийн функцийн нягтыг мэдэх ... Энэ функц нь харгалзах бүс дэх түвшний тархалтыг тодорхойлж, эрчим хүчний нэгжийн интервал дахь түвшний тоог тодорхойлдог. А - тэргүүн байр
(3.8)
Энд өмнөх шигээ dZхүртэлх энергитэй бөөмсийн чуулгын боломжит төлөвүүдийн тоо (түвшингийн тоо) юм. Эөмнө E + dE... Чиг үүрэг g (E)бид талтай куб болорыг тооцдог Л... Дамжуулах зурвасын доод хэсэгт байрлах электрон энергийг ойролцоогоор хэлбэрээр дүрсэлж болно
(3.9)
энд дамжуулах зурвасын доод хэсгийн энерги, дамжуулалтын зурвасын доод хэсэгт байрлах электроны үр дүнтэй масс, кэлектроны квазимомент юм, - түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд. Хилийн нөхцлийн дагуу квазимоментумын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь зөвхөн дараах дискрет энергийн утгыг авч болно.
Тоо бүрийн багцад n x, н ж, n zзарим квант төлөв (квант түвшин) таарч байна. Долгионы векторуудын орон зайд квант төлөв бүр нь эзлэхүүнтэй тохирч байна , хаана Вболорын эзэлхүүн юм. Эдгээр энгийн куб эсүүд долгионы орон зайд радиустай бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг эзэлдэг. кхамгийн дээд хэмжээтэй тохирч байна боломжит утгадолгионы векторын модуль. Хоёр гадаргуугийн хооронд бөмбөрцөг хэлбэртэй давхаргыг сонгоно к = constболон к+dk= const... Энэ давхаргын эзэлхүүн нь . Энэ эзэлхүүнийг нэгж эсийн эзэлхүүнд хувааж, 2-оор үржүүлснээр төлөв бүр нь эсрэгээр чиглэсэн спинтэй хоёр электрон агуулж болох тул бөмбөрцөг давхаргын эзэлхүүн дэх төлөвийн тоог олж авна.
. (3.10)
(3.9) дагуу
Утгыг орлуулах к 2 ба dk(3.10) томъёогоор бид олж авна
(3.8)-ыг харгалзан бид дамжуулалтын зурвасын доод хэсэгт байрлах электронуудын квант төлөвийн нягтын эцсийн илэрхийлэлийг олж авна.
(3.11)
Валентын зурвасын дээд хэсэгт байрлах нүхний энергийг мөн параболын хуулийн хэлбэрээр бичиж болно.
(3.12)
хаана E v- валентын зурвасын таазны энерги, нь нүхний үр дүнтэй масс юм. Дээр дурдсан электронуудын тооцоололтой төстэй тооцоолол нь валентын зурвасын дээд хэсэгт байрлах нүхний төлөвийн нягтын функцийг дараах илэрхийлэлд хүргэдэг.
(3.13)
Томъёо (3.11) ба (3.13) нь зөвхөн эрчим хүчний экстремумын ойролцоох мужуудад хүчинтэй гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. эрчим хүчний бүсийн доод буюу таазанд. Бүсийн дунд хэсэгт функцийн яг хэлбэр g (Э) тодорхойгүй байна. Зураг дээр. 3.4-т дамжуулалтын зурвасын доод хэсэг ба валентын зурвасын дээд хэсгийн ойролцоох квант түвшний нягтын хамаарлыг бүдүүвчээр үзүүлэв.
3.4. Хагас дамжуулагч дахь электрон ба нүхний концентраци.
Үйл ажиллагаа явуулж буй массын хууль. Электрон ба нүхний үүсээгүй хий
Хагас дамжуулагчийн дамжуулах зурвас дахь электронуудын концентрацийг тооцоолъё. Электронуудын тоо dNд байрладаг dZ(3.1) тэгшитгэлийн дагуу энергийн зурвасын төлөвийг илэрхийллээр тодорхойлно
Үүнийг харгалзан үзвэл dZ = g (E) dE, бид авдаг
. (3.14)
Бид дамжуулалтын зурвас дахь электронуудын нийт тоог (3.14) илэрхийлэлийг зурвас дотор нэгтгэн олно
, (3.15)
энд Э ндамжуулалтын бүсийн таазны энерги юм. Ферми-Диракийн тархалтын функц нь энерги нэмэгдэхийн хэрээр маш хурдан буурдаг тул интеграцийн дээд хязгаарыг хязгааргүйтэй тэнцүү авч болно. Хэрэв дамжуулалтын зурвас дахь энергийн төлөвийг электроноор дүүргэх зэрэг нь бага бол ( f (E) << 1), что практически всегда имеет место в полупроводниках, то единицей в знаменателе формулы (3.4) можно пренебречь. При этих условиях подстановка функций f (E)болон g (E)(3.15) тэгшитгэлд оруулснаар дамжуулалтын зурвас дахь электронуудын концентрацийг дараах илэрхийлэлд хүргэнэ.
. (3.16)
Бид одоо илэрхийллийг (3.16) хэлбэрт шилжүүлнэ
Бид интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг
Үүний үр дүнд бид авдаг
Энэ илэрхийлэл дэх интеграл нь... Тиймээс
(3.17)
хаана
. (3.18)
Үнэ цэнэ Н вгэж нэрлэдэг дамжуулалтын зурвас дахь төлөвүүдийн үр дүнтэй нягтрал... Энэ нэр нь дамжуулах зурвас дахь тодорхой энергийн мужид бодит байдал дээр тархсан электронуудын нийт концентраци нь тухайн зурвасыг эзэлсэнтэй ижил байдагтай холбоотой юм. Н вижил энергитэй түвшин E c.
Үүнтэй төстэй аргаар валентын зурвас дахь нүхний концентрацийг тооцоолж болно. Энэ төлөвөөс электрон дамжуулалтын муж руу шилжсэний үр дүнд валентын бүс дэх хоосон төлөв үүсдэг тул энергитэй төлөв байдал үүсэх магадлал. Эвалентын зурваст эзэлдэггүй, тэнцүү байна .
Дараа нь нүхний концентраци
энд E v- валентын бүсийн тааз.
Нүхний хий нь муудаагүй тохиолдолд бид олж авна
(3.19)
хаана валентын зурвас дахь төлөвүүдийн үр дүнтэй нягтрал
. (3.20)
(3.17) ба (3.19) илэрхийллийг үржүүлснээр бид олж авна
(3.21)
хаана n iхагас дамжуулагч дахь дотоод цэнэгийн тээвэрлэгчдийн концентраци; Ж= E c - E v- хориотой бүсийн өргөн.
(3.21) харьцааг нэрлэнэ массын хууль... Энэ хуулийг гаргахдаа бид энергийн түвшинг цэнэглэгчээр дүүргэх зэрэг нь нэгдмэл байдлаас хамаагүй бага гэсэн таамаглалыг ашигласан. Ийм тээвэрлэгч хий гэж нэрлэдэг доройтдоггүйболон хагас дамжуулагч - доройтдоггүй.
Ерөнхийдөө физикийн хувьд доройтсон хий нь хийн хэсгүүдийн квант-механик шинж чанараас шалтгаалан шинж чанар нь сонгодог идеал хийн шинж чанараас ялгаатай хий юм. Муудсан хий нь Ферми-Дирак эсвэл Бозе-Эйнштейний квант-механик статистикт захирагддаг бол муудаагүй хий нь Маквелл-Больцманы статистикт захирагддаг. Хийг муудаагүй төлөвт шилжүүлэх нөхцөл нь тэгш бус байдлыг хангах явдал юм f (E) << 1. Можно показать, что это условие для электронного газа эквивалентно следующему соотношению:
(3.22)
Үүнтэй төстэй хамаарал нь солихтой нүхэнд хүчинтэй nдээр хболондээр.
Кристал дахь цэнэг зөөгч хий нь доройтсон эсвэл мууддаггүй эсэх асуудлыг зөвхөн түүний концентраци ба температураар тодорхойлдог. Тэгш бус байдалд (3.22) орсон хэмжигдэхүүний тоон утгыг орлуулах нь өрөөний температурт (3.22) гэсэн дүгнэлтэд хүргэдэг. Т~ 300K), хэрэв түүний концентраци нь 10 25 м -3-аас бага байвал тээвэрлэгч хий нь доройтдоггүй. Энэ нөхцөл нь бараг бүх хагас дамжуулагчийн хувьд биелдэг. Металлын дамжуулалтын зурвас дахь электронуудын концентраци 10 28 м -3-аас давсан тул металлын электрон хий нь үргэлж доройтож байдаг.
Тиймээс массын үйл ажиллагааны хууль нь хольцын үүргээс үл хамааран доройтдоггүй хагас дамжуулагчийн хувьд биелдэг. ямар ч муудаагүй хагас дамжуулагчийн хувьд ижил тэмдгийн тээвэрлэгчдийн концентраци нэмэгдэх нь эсрэг тэмдгийн тээвэрлэгчдийн концентраци буурахад хүргэдэг. Электрон ба нүхний концентрацийн үржвэр нь Фермигийн түвшний байрлалаас хамаардаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
3.5. Хагас дамжуулагч дахь фермийн түвшин
Металлын хувьд Ферми энерги ба Ферми түвшний тухай ойлголтыг өмнө нь нэвтрүүлсэн. Хагас дамжуулагч дахь электронуудын төлөвийн хуваарилалтын функц нь металлынхтай ижил хэлбэртэй байдаг тул хагас дамжуулагч дахь Ферми энерги ижил байна. физик утга: Ферми энерги нь зөвшөөрөгдөх хамгийн их энерги бөгөөд үүнээс доош үнэмлэхүй температурт бүх энергийн түвшин эзэлдэг [ f (E)= 1] ба түүнээс дээш бүх түвшин хоосон байна [ е (Э) = 0]. Хагас дамжуулагчийн хувьд үнэмлэхүй тэг үед валентын зурвас бүрэн дүүрсэн, дамжуулах зурвас бүрэн чөлөөтэй байдаг бол тархалтын функц нь тасалдалтай байдаг. Иймээс хагас дамжуулагч дахь Ферми түвшин зурвасын завсарт үнэмлэхүй тэг байх ёстой.
Дотоод хагас дамжуулагчийн хувьд электрон ба нүхний концентраци тэнцүү байна ( n = х), учир нь валентийн зурвасаас гарсан электрон бүр нэг нүх үүсгэдэг. (3.17) ба (3.19) тэгшитгэлийг бид олж авна
-тэй холбоотой сүүлчийн тэгш байдлыг шийдвэрлэх Э Ф, бид авдаг
(3.23)
Хэрэв электрон ба нүхний үр дүнтэй масс тэнцүү бол [ = , = 0] ямар ч температур дахь дотоод хагас дамжуулагчийн Ферми түвшин нь хориотой зурвасын дунд байрладаг.
Температурын хамааралдотоод хагас дамжуулагч дахь Ферми түвшний байрлалыг (3.23) тэгшитгэлийн гурав дахь гишүүнээр тодорхойлно. Хэрэв валентын зурвас дахь нүхний үр дүнтэй масс нь дамжуулалтын зурвас дахь электроны үр дүнтэй массаас их байвал температур нэмэгдэхийн хэрээр Ферми түвшин дамжуулалтын зурвасын ёроолд ойртоно. Эсрэг тохиолдолд Ферми түвшин валентын зурвасын дээд хэсэгт шилждэг. Температурын өөрчлөлттэй дотоод хагас дамжуулагч дахь Ферми түвшний байрлалыг Зураг дээр схемээр үзүүлэв. 3.5.
Ихэнх хагас дамжуулагчийн хувьд нүхний үр дүнтэй масс нь электроны үр дүнтэй массаас хэт их байдаггүй бөгөөд температурын өөрчлөлттэй Ферми түвшний шилжилт нь ач холбогдолгүй юм. Гэсэн хэдий ч индий антимонид (InSb) , мөн зурвасын завсар бага (E g = 0.17 эВ) тул T> 450 К үед Ферми түвшин дамжуулалтын зурваст ордог. Энэ температурт хагас дамжуулагч нь доройтсон төлөвт шилждэг.
Хольцын хагас дамжуулагч дахь Ферми түвшний байрлалыг болор нь цахилгаан саармаг байх нөхцөлөөс олж болно. Хандивлагчийн хагас дамжуулагчийн хувьд энэ нөхцлийг маягтаар бичнэ
, (3.24)
энд Н д- донорын түвшний концентраци; n d- донорын түвшинд электронуудын концентраци. Дамжуулах зурвас дахь электронуудын концентраци нь валентын зурвас дахь нүхний концентраци ба эерэг цэнэгтэй донор ионуудын концентрацийн нийлбэртэй тэнцүү байна (сүүлийнх нь мэдээжийн хэрэг Н г - n d).
Донорын түвшин дэх электронуудын концентрацийг эдгээр түвшний концентрацийг үржүүлэх замаар тооцоолж болно Н дФерми-Дирак тархалтын функц дээр:
, (3.25)
хаана Э днь донорын түвшний идэвхжүүлэх энерги юм.
Электрон (3.17) ба нүхний (3.19) концентраци, түүнчлэн донорын түвшин дэх электроны концентрацийг (3.25) электрон саармаг байдлын нөхцөлд (3.24) орлуулснаар Ферми түвшний байрлалын дараах тэгшитгэл гарч ирнэ. Э Ф :
. (3.26)
Донорын түвшний электронуудын концентрацийг тэгшитгэлд (3.24) орлуулахдаа хольцын атомын электронуудын хий нь доройтдоггүй гэж үзсэн бөгөөд энэ нь (3.25) томъёоны хуваарьт нэгжийг үл тоомсорлох боломжийг олгосон.
(3.26) тэгшитгэл нь нарийн төвөгтэй байдлаасаа болж ихэвчлэн ерөнхий хэлбэрээр шийдэгдээгүй бөгөөд онцгой тохиолдлуудыг авч үзэхэд хязгаарлагддаг. Жишээлбэл, бага температурт дамжуулалтын зурваст электронууд голчлон хольцын түвшингээс шилжсэний улмаас гарч ирэх ба нүхний концентраци тэгтэй ойролцоо байвал Eqn (3.26)-ийн уусмал нь хэлбэртэй байна.
. (3.27)
(3.27) тэгшитгэлээс үзэхэд үнэмлэхүй тэг температурт донорын хагас дамжуулагчийн Ферми энерги нь дамжуулалтын зурвасын доод хэсэг ба донорын түвшний хооронд яг дунд байна. Ферми түвшний байрлалын температурын хамаарлыг (3.27) тэгшитгэлийн гурав дахь гишүүнээр тодорхойлдог бөгөөд энэ нь температурын өөрчлөлтөөр тэмдэг нь өөрчлөгддөг. Тиймээс температур нэмэгдэхийн хэрээр Ферми түвшин эхлээд дамжуулалтын зурвас руу, дараа нь валентын зурваст шилждэг (Зураг 3.6, а).
Үүнтэй адилаар хүлээн авагч хагас дамжуулагч дахь Ферми түвшний температурын хамаарлын илэрхийлэлийг олж авч болно. Энэ хамаарлын графикийг Зураг дээр схемээр үзүүлэв. 3.6, б.
3.6. Тэнцвэрт ба тэнцвэргүй цэнэг тээвэрлэгчид. Квази-фермийн түвшин
Дотоод ба хольцын хагас дамжуулагч дахь Ферми түвшний байрлал нь термодинамик тэнцвэрт байдалд өгөгдсөн температурт тогтсон цэнэгийн тээвэрлэгчдийн концентрацтай холбоотой байдаг. Температурын өдөөлтөөс болж электрон дамжуулалтын зурваст шилжих ба энэ үйл явцын үр дүнд валентын зурваст нүх үүсэхийг нэрлэдэг. үнэ төлбөргүй тээвэрлэгч дулааны үүсгүүр... Үүний зэрэгцээ урвуу үйл явц бас тохиолддог: электронууд валентын зурваст буцаж ирдэг бөгөөд үүний үр дүнд электрон ба нүх алга болдог. Энэ процессыг нэрлэдэг цэнэг зөөгчийг дахин нэгтгэх замаар... Хагас дамжуулагч дахь цэнэг зөөгчийг үүсгэх, дахин нэгтгэх үйл явцыг тоон байдлаар тодорхойлохын тулд эдгээр ойлголтуудыг ашигладаг. үүсгэх хурд, рекомбинацын хувь хэмжээболон насан туршдаацэнэглэгч тээвэрлэгчид.
Тээвэрлэгч үүсгэх хурд нь хагас дамжуулагчийн нэгж эзэлхүүн дэх нэгж хугацаанд өдөөгдсөн тээвэрлэгчдийн тоо юм.
Тээвэрлэгчийн рекомбинацийн хурд нь хагас дамжуулагчийн нэгж эзэлхүүн дэх нэгж хугацаанд дахин нэгдэх тээвэрлэгчдийн тоо юм.
Тээвэрлэгчдийн амьдралын хугацаа тнь тээвэрлэгч үүсэхээс түүнийг дахин нэгтгэх хүртэлх дундаж хугацаа юм.
Дээрх тодорхойлолтууд нь электронуудын рекомбинацын хурд хоорондын дараах хамаарлыг шууд илэрхийлдэг R nболон нүхнүүд R pмөн тэдний амьдралтnболон тхтус тус:
(3.28)
Энд 1 / гэдгийг харгалзан үзнэ.т нь нэгж хугацаанд тээвэрлэгчийн рекомбинацын магадлал юм.
Тогтмол температурт термодинамик тэнцвэрт байдал бий болж, үүсэх ба рекомбинацын үйл явц харилцан тэнцвэрждэг. Кристал тортой дулааны тэнцвэрт байдалд байгаа ийм зөөгчийг нэрлэдэг. тэнцвэр.
Хагас дамжуулагчийн цахилгаан дамжуулах чанарыг бусад аргаар өдөөж болно, жишээлбэл, гэрлийн цацраг, ионжуулагч хэсгүүдийн үйл ажиллагаа, цахилгаан орон, контактаар дамжуулагчийг шахах гэх мэт. Эдгээр бүх тохиолдолд тэнцвэрийн тээвэрлэгчээс гадна , хагас дамжуулагчийн дотор талсттай дулааны тэнцвэрт байдалд байхгүй цэнэгийн тээвэрлэгчид гарч ирдэг. Ийм хэвлэл мэдээллийн хэрэгслийг нэрлэдэг тэнцвэргүй байдал.
Дамжуулах зурвас дахь электронуудын нийт концентраци nтэнцвэрийн болон тэнцвэргүй тээвэрлэгчдийн хувьд хэлбэрээр илэрхийлж болно
, (3.29)
хаана n 0- тэнцвэрт электронуудын концентраци;Дn- тэнцвэргүй электронуудын концентраци.
Нүхний нийт концентраци
, (3.30)
хаана p 0болон Дх- тэнцвэрийн ба тэнцвэргүй нүхний концентраци.
Ферми-Диракийн тархалт нь зөвхөн термодинамикийн тэнцвэрийн төлөвт хүчинтэй байдаг тул тэнцвэргүй тээвэрлэгчдийн статистик өөр байх ёстой нь ойлгомжтой. Термодинамик тэнцвэр байхгүй тохиолдолд хуваарилалтын хоёр шинэ параметрийг нэвтрүүлэх нь заншилтай байдаг. E Fnэлектронуудын хувьд болон E Fpнүхний хувьд. Эдгээр параметрүүдийг тэнцвэргүй зөөвөрлөгч байгаа үед электрон ба нүхний концентрацийн хувьд солих тохиолдолд тэгшитгэл (3.17) ба (3.19) хангагдсан байхаар сонгосон. Э Фдээр E Fnэлектронуудын хувьд болон бусад E Fpнүхний хувьд. Тоо хэмжээ E Fnболон E Fpгэж нэрлэдэг бараг фермийн түвшинэлектрон ба нүх тус тус. Ийнхүү доройтдоггүй хагас дамжуулагчдад тэгшитгэлүүд
, (3.31)
Термодинамик тэнцвэрийн төлөвт бараг Ферми түвшин нь тэнцвэрийн Ферми түвшинтэй давхцдаг. Э Ф... Тэнцвэргүй цэнэгийн тээвэрлэгчдийн концентраци өндөр байх тусам бараг фермийн түвшин Ферми түвшнээс хол байна. Тэгшитгэл (3.31), (3.32), (3.17), (3.19)
. (3.33)
Энэ хамаарал нь тэнцвэргүй байдал дахь электрон ба нүхний концентрацийн хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг. Эрчим хүчний ялгаа термодинамикийн тэнцвэрийн төлөвөөс хазайлтыг тодорхойлдог. Хэрэв np > n 0· p 0, дараа нь ... Энэ нөхцөл нь тохирч байна тарилга(шидэх) илүүдэл хэвлэл мэдээллийн хэрэгсэл. Хэрэв np < n 0 p 0дараа нь ярих олборлолттээвэрлэгчдийн (ядуурал).
Хагас дамжуулагч төхөөрөмжүүдийн үйл ажиллагаанд тэнцвэрт бус тээвэрлэгчид чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Ферми энерги. Ферми-Дирак тархалтад температурын нөлөө
Фермионы төлөв байдлын тархалтыг тодорхойлсон Ферми-Дирак хуваарилалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.
энд Э Фнь фермионы системийн химийн потенциал, i.e. систем дэх бөөмсийн тоог нэгээр өөрчлөхөд зарцуулах шаардлагатай ажил. Электронуудын хувьд хэмжигдэхүүн Э Фдуудсан Ферми энерги.
Абсолют тэг рүү чиглэсэн температурт Ферми-Дирак функцийн хэлбэрийг авч үзье. (3.4) томъёоноос харахад Ферми энергиэс их хэмжээний бөөмийн энергийн хувьд хуваагч дахь экспоненциал нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. f (E)тэг рүү чиглэдэг. Энэ нь бүх энерги нь дараах байдалтай байна гэсэн үг юм E> E Fүнэмлэхүй тэг дээр бүрэн үнэгүй. Хэрэв Э< E F цагт, f (E)эв нэгдэлтэй байхыг эрмэлздэг. Энэ нь Ферми энергиэс бага энергитэй бүх квант төлөвийг электронууд бүрэн эзэлдэг гэсэн үг юм. Иймээс электронуудын төлөвт хуваарилалтын параметр болох Ферми энергийн физик утга нь тодорхой байна. Ферми энерги гэдэг нь үнэмлэхүй тэг температурт метал дахь электронуудын байж болох хамгийн их энерги юм... Ферми энергид тохирох энергийн түвшинг гэж нэрлэдэг Ферми түвшин.
Ферми-Дирак тархалтын функцийн хэлбэр T = 0KЗурагт үзүүлэв. 3.2, a. Зураг дээр. 3.2, b нь ижил температурт металлын дамжуулах зурвас дахь энергийн түвшинд электронуудын тархалтыг харуулав.
Хэрэв Т 0K, тэгвэл Ферми энергитэй тэнцүү бөөмийн энергийн хувьд Ферми-Дирак хуваарилалтын функц байна 1/2 ... Энэ нь үнэмлэхүй тэгээс бусад температурт Фермигийн түвшин хагасаар дүүрсэн гэсэн үг юм. Хоёр өөр температурт зориулсан Ферми-Дирак функцийн хэлбэрийг Зураг дээр схемээр үзүүлэв. 3.3. Төлөвийн дагуу электронуудын тархалтын шинж чанар өөрчлөгдөх нь электронуудын дулааны өдөөлттэй холбоотой байдаг. Энэ тохиолдолд электронуудын зарим нь Фермигийн энергиээс их энергитэй төлөвт шилждэг. Үүний дагуу Ферми түвшнээс доогуур мужуудын зарим нь эрх чөлөөтэй болж хувирдаг. Үүний үр дүнд функц f (E)Ферми энергийн ойролцоо "бүдгэрсэн" байна. Ферми түвшний ойролцоо байрладаг электронуудын өчүүхэн хэсэг нь дулааны өдөөлтөд ордог. Ферми-Дирак функц нь зөвхөн үнэмлэхүй тэгтэй байсан хэлбэрээс эрс ялгаатай. "Бүдгэрэлтийн" хэмжээ нь температуртай пропорциональ байна (Зураг 3.3). Температур өндөр байх тусам түгээлтийн функцэд илүү их өөрчлөлт гардаг.
Нөхцөлөөр
(3.5)
хуваагч дахь илтгэгч нь (3.4) томъёоны нэгдлээс хамаагүй их болно. Энэ тохиолдолд нэгдмэл байдлыг үл тоомсорлож, Ферми-Дирак тархалтыг хэлбэрт шилжүүлж болно
Илэрхийлэл (3.6) нь Максвелл-Больцманы тархалтын функцтэй хэлбэрийн хувьд давхцдаг.
Эрчим хүчний зарим түвшний энергийн магадлал Эүнэ төлбөргүй, өөрөөр хэлбэл. нүхэнд эзэлсэн нь тэнцүү байна
Ферми түвшин... Металд асар их тооны чөлөөт электронууд байдаг ч тэдгээр нь боломжит худгийн энергийн түвшний дагуу хатуу дарааллаар байрладаг. Электрон бүр нь хамгийн бага түвшинд сул орон зай эзэлдэг. Ямар ч тогтолцоог өөртөө үлдээдэг, өөрөөр хэлбэл байхгүй тохиолдолд энэ нь үнэхээр байгалийн юм гадны нөлөө, үргэлж хамгийн бага энергитэй муж руу явах хандлагатай байдаг. Түвшин дэх электронуудын хуваарилалт нь Паули зарчимд захирагддаг бөгөөд үүний дагуу хоёр бөөмс яг ижил төлөвт байж болохгүй. Үүнээс болж энергийн түвшин бүрт хоёроос илүүгүй электрон байрлаж болохгүй, тэр ч байтугай тэдгээр нь өөр өөр эргэх чиглэлтэй байдаг. Доод шатлалууд боловсон хүчинтэй болохын хэрээр дээд түвшний хүмүүс улам бүр нэмэгдсээр байна. Хэрэв авч үзэж буй металлын дээжинд N чөлөөт электрон байгаа бол дулааны өдөөлт байхгүй тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй тэг температурт (T = 0) бүх чөлөөт электронууд N / 2 доод түвшинд хос хосоороо байрлана (Зураг 1). 47). T = 0 үед электронууд эзэлдэг металлын боломжит цооногийн энергийн хамгийн дээд түвшинг Ферми түвшин * гэж нэрлэх ба μ эсвэл W F үсгээр тэмдэглэнэ. Энэ түвшний электроны энергийг Ферми энерги гэнэ. T = 0 дахь Ферми түвшнээс дээш байрлах бүх энергийн түвшин туйлын хоосон байна.
* (Энэ түвшин нь Английн нэрт физикч П.Дирактай хамтран метал дахь электрон шиг ажилладаг бөөмсийн нэгдлүүдийн зан үйлийн онолыг боловсруулсан Италийн нэрт физикч Э.Фермигийн нэрэмжит нэрээр нэрлэгдсэн юм.)
Ферми түвшинд байрлах электронууд металаас гадагш гарахын тулд ажил хийх ёстой нь ойлгомжтой.
Тэсрэх бодисын алсын электроны түвшин ба Ферми түвшний хоорондох энергийн зайтай тэнцүү А хэмжигдэхүүнийг гэнэ. термодинамик ажилгарах эсвэл зүгээр л ажлын гарц. Энэ нь зан төлөвийг тодорхойлдог тоо хэмжээ юм төрөл бүрийн металлуудтэдгээрийн хооронд холбоо тогтоох эсвэл металл хагас дамжуулагчтай холбоо барих үед.
Ферми - Диракын тархалтын функц... Бөөмийн тархалтын шинж чанар өөр өөр түвшинэсвэл тодорхой нөхцөлд төлөвийг хуваарилах функц гэж нэрлэдэг. Ерөнхий тохиолдолд тархалтын функц нь бөөмсөөр тодорхой түвшнийг эзлэх магадлалыг тодорхойлдог. Хэрэв өгөгдсөн түвшинг бөөмсөөр дүүргэсэн нь найдвартай мэдэгдэж байгаа бол тэд энэ түвшинд бөөмсийг илрүүлэх магадлал 1 байна гэж хэлдэг. Хэрэв бид авч үзэж буй түвшинд бөөмс байхгүй гэж бүрэн итгэлтэй хэлж чадвал авч үзэж байгаа төлөвт бөөмс илрүүлэх магадлалыг 0 гэж хэлсэн боловч ихэнх тохиолдолд түвшинг дүүрэн эсвэл хоосон гэж найдвартай хэлж чадахгүй. Дараа нь авч үзсэн түвшинд бөөмийг олох магадлал тэг биш боловч нэгээс бага байна. Энэ тохиолдолд авч үзсэн түвшинд бөөмийг илрүүлэх магадлал их байх тусам харгалзах төлөвийн тархалтын функцийн утга нэгдмэл байдалд ойртох болно.
Хэрэв бид абсцисса тэнхлэгийн дагуу янз бүрийн түвшинд харгалзах энергийн утгуудыг боломжит худгийн ёроолоос тааз хүртэл, ордны тэнхлэгийн дагуу харгалзах түвшинг электроноор дүүргэх магадлалыг зурвал бид графикийг авна. Ферми - Дирак тархалтын функц. T = 0 үед энэ нь 48-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Энэ графикийг ихэвчлэн Ферми алхам гэж нэрлэдэг. Үүнээс харахад T = 0 үед Ферми хүртэлх бүх түвшинд электронууд байрлана. W = μ цэг дээр тархалтын функц нь тэг болж огцом буурдаг; энэ нь Ферми түвшнээс дээш бүх түвшин хоосон байна гэсэн үг.
Температурын нөлөөлөл... Тэгээс өөр температурт хамаарлын графикийн хэлбэр 
Зураг 48-д үзүүлсэнээс ялгаатай. Температурын өсөлт нь электронуудын дулааны чичиргээнээс хүлээн авдаг дулааны өдөөлтийг үүсгэдэг. болор тор... Энэхүү өдөөлтөөс болж хамгийн өндөр эзлэгдсэн түвшинд байрлах электронуудын зарим нь Ферми түвшнээс дээш байрлах хоосон түвшин рүү шилждэг (Зураг 49). Эдгээр түвшинд электрон илрүүлэх магадлал аль хэдийн тэгтэй тэнцүү байна. Үүний зэрэгцээ, зарим электронууд Ферми түвшнээс шууд доогуур байрлах зарим түвшнээс зугтаж байгаа тул тэдгээрийг дүүргэх магадлал нь нэгдмэл байдлаас бага байх болно. Тиймээс температурын өсөлт нь Ферми алхамын хилийн тодорхой "т рхэц" -д хүргэдэг: 1-ээс 0 хүртэл огцом өөрчлөгдөхийн оронд түгээлтийн функц жигд шилжилтийг хийдэг. 50-р зурагт тасархай шугам нь электронуудын тархалтын функцийн графикийн хэлбэрийг T = 0-ийн түвшинд, хатуу шугамууд нь тэгээс өөр температурт электронуудын тархалтыг харуулав. Тархалтын муруй дор байрлах муруй гурвалжны талбай утгын баруун талд WF (2-р талбар) нь өдөөгдсөн түвшинд шилжсэн электронуудын тоотой пропорциональ бөгөөд тархалтын муруй дээрх WF утгын зүүн талд байрлах ижил гурвалжны талбай нь (1-р талбай) электронуудын тоотой пропорциональ байна. Өмнө нь дүүргэж байсан түвшнийг, өөрөөр хэлбэл Фермигийн түвшний сул орон тоог орхисон. Эдгээр хоёр гурвалжны талбайнууд ижил байх нь ойлгомжтой, учир нь өөр өөр байрлалаас тэдгээр нь ижил тооны электроныг илэрхийлдэг.
Ашиглалтын температурын мужид металл дахь электрон тархалтын муруйг түрхэх зэрэг нь маш бага байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь зөвхөн Ферми түвшний шууд зэргэлдээ энергийн түвшинд байрладаг электронууд дулааны өдөөлтөд өртдөгтэй холбон тайлбарлаж байна. Өдөөлтөд өртөж буй түвшний энергийн гүнийг чанарын хувьд тооцоолох боломжтой. Дулааны хөдөлгөөний улмаас бөөмсийн кинетик энергийг дараах байдлаар илэрхийлдэг нь молекулын физикээс мэдэгдэж байна.
Иймээс дулааны чичиргээнд өртөж буй болор торны атомууд электрон руу шилжиж болох энергийн утга нь кТ-тэй тэнцүү байна. Өрөөний температурт 
Энэ температурт металлын Ферми энерги 3-10 эВ хооронд хэлбэлздэг. Тиймээс энэ нь гарч байна хэвийн нөхцөлБүх чөлөөт электронуудын 1% -иас илүүгүй нь эрчим хүчний өндөр түвшинд шилжихэд оролцох боломжтой. Түүнээс гадна эдгээр нь зөвхөн энерги нь Ферми энергитэй ойролцоо электронууд юм. Боломжит худгийн гүнд байрладаг, Ферми түвшнээс кТ-аас дээш зайд байрлах энергийн түвшинг дүүргэдэг электронуудын хувьд тэд дулааны өдөөлтөд оролцдоггүй тул эдгээр электронуудын тархалт үнэмлэхүй үеийнхтэй ижил хэвээр байна. тэг.
Ферми түвшний физик утга... §6-д хатуу бодисын дамжуулах чадварыг авч үзэх цахилгаан, бид цахилгаан дамжуулах чанар нь электронуудыг илүү өндөр энергийн түвшинд шилжүүлэх чадвартай холбоотой гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн, өөрөөр хэлбэл энэ нь гадаад орчинд электроноор хурдатгал авах боломжоор тодорхойлогддог. цахилгаан орон... T>0 металлын хувьд ийм боломж нь зөвхөн тархалтын функцийн тархалтын бүсэд байрладаг электронуудад л боломжтой байдаг, учир нь бодит цахилгаан орон нь электронуудыг боломжит худгийн гүнээс гаргаж, чөлөөт түвшинд шилжүүлэх боломжгүй байдаг. , энерги нь WF-ээс өндөр (хөрш рүү шилжихийн тулд дээд түвшний гүн электронууд чадахгүй, учир нь эдгээр бүх түвшнийг эзэлдэг). Иймээс T>0 үед Ферми энерги нь өгөгдсөн температурт дамжуулалтад оролцох металл электронуудын хамгийн их магадлалтай буюу дундаж энергийн утгыг агуулна. Эдгээр электронууд нь зөвхөн цахилгаан дамжуулалтыг бий болгох үүрэгтэй биш юм. Эдгээр нь болорын нийт дулаан багтаамжид электрон дулааны багтаамжийн оруулах хувь нэмрийг тодорхойлж, болорын дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг голчлон тодорхойлдог.
Температур өсөхөд металл дахь ферми түвшин бараг өөрчлөгддөггүй. Температур нэмэгдэхийн хэрээр электронуудын өдөөх түвшин нэмэгдэж, тэд илүү өндөр түвшинд шилждэг. Үүний зэрэгцээ эрчим хүч багатай гүн гүнзгий байрласан түвшинүүд ч бас сэтгэл хөдөлж байна. T 2> T 1-ийн тархалтын муруй (50-р зургийг үз) нь T 1-ээс илүү хүчтэй "бүдгэрсэн" боловч баруун болон зүүн тийшээ тэнцүү байна. Тиймээс дамжуулалтад оролцож буй электронуудын дундаж энерги бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Өдөөгдсөн түвшний хооронд тогтмол электрон солилцоо байдаг тул энэ нь илүү үнэн юм.
Ферми энерги ба доройтлын температур
Сонгодог (мууддаггүй) хийн дундаж энерги нь ~ кТ. Өрөөний температурт ( Т≈300 К) кТ≈ 0.025 эВ.Энэ хэмжигдэхүүнийг Ферми энергитэй харьцуулах нь үүнийг харуулж байна кТ << Э Ф . Энэ нь тийм гэсэн үг Метал дахь электрон хий нь үргэлж доройтдог, өөрөөр хэлбэл энэ нь цэвэр квант шинж чанарыг харуулдаг.
доройтлын шалгууруудын нэг нь юм доройтлын температуртэнцүү
At Т < Т Фсистем нь доройтож, квант статистикт захирагддаг. At Т > Т Фсистем нь доройтдоггүй бөгөөд түүний зан байдал нь сонгодог Максвелл-Больцманы статистикт захирагддаг.
Хүснэгт 3.1-д мөн электрон хийн задралын температурыг жагсаав. Тэдгээр нь хэдэн арван, хэдэн зуун мянган градусын хэмжээ юм. Энэ нь метал хатуу төлөвт байх бүх температурт электрон хий нь доройтдог гэсэн үг юм. Хийн доройтлыг электрон массын бага утгаар хөнгөвчилдөг мба тэдгээрийн өндөр концентраци n.
Түгээлтийн функцийн зан төлөвийг авч үзье е Фцагт T> 0
.(3.2.8)
Температур нэмэгдэхийн хэрээр электронууд авдаг дулааны энергизахиалга кТба энергийн дээд түвшинд (Ферми түвшнээс дээш) шилждэг бөгөөд үүний үр дүнд энергийн төлөвт тэдгээрийн тархалтын шинж чанар өөрчлөгддөг (Зураг 3.3, b). Тэг температуртай харьцуулахад муруйн налуу е Ф (Э) үед тэг рүү үсрдэггүй Э= Э Ф, мөн ~ дарааллын өргөнтэй туузанд жигд явагдана 2 кТ. Дулааны хөдөлгөөний энергиээс хойш кТФерми энергиэс хамаагүй бага бол зөвхөн нарийн энергийн зурвасын электронууд байна кТФерми түвшний шууд ойролцоо байрладаг (Зураг 3.5).
Дулааны хөдөлгөөний энерги нь гүн гүнзгий энергийн түвшинд байгаа электронууд бараг ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй хэвээр байна. кТтэднийг өдөөхөд хангалтгүй (Ферми түвшинд шилжих). Эрчим хүч Э=
Э Ф, түгээлтийн функцийн утгатай тохирч байна 
... Тиймээс, at T> 0Ферми түвшин нь энергийн түвшин бөгөөд дүүргэх магадлал юм
.
3.3b-р зурагт сүүдэрлэсэн хэсгүүд нь төлөвөөс энергитэй гарч буй электронуудын тоотой пропорциональ байна. 
, (ADV бүс) ба Ферми түвшнээс дээш байрлах түвшинд шилжих 
(Тэнгисийн цэргийн сайт). Эдгээр хэсгүүд нь хоорондоо тэнцүү хэмжээтэй байна. Дулааны өдөөлтөд орж буй электронуудын хэсэг нь
, (3.2.9)
Өрөөний температурт энэ хувь хэмжээ нь ач холбогдолгүй бөгөөд 1% -иас бага байна нийтдамжуулагч электронууд.
Энэ нөхцөл байдал нь электрон хийн дулаан багтаамж нь торны дулаан багтаамжтай харьцуулахад маш бага болохыг тайлбарлаж байна. Түүний молийн дулаан багтаамж 
, мөн сонгодог онолын дагуу 
... (Энд R нь бүх нийтийн хийн тогтмол юм). Энэ үр дүн нь туршилттай сайн тохирч, металлын сонгодог электрон онолын нэг бэрхшээлийг арилгасан.
3.3. Металлын цахилгаан дамжуулах чанарын квант онолын тухай ойлголт
Металлын цахилгаан дамжуулах чанарын онолыг квант механик болон Ферми-Диракийн квант статистик дээр үндэслэн бүтээсэн металлын цахилгаан дамжуулах чанарын квант онол гэж нэрлэдэг.
Металлын цахилгаан дамжуулах чадварыг тооцоолох квант онолСоммерфельд үйлдвэрлэсэн. Ом-ын хуулийг дифференциал хэлбэрээр гаргаж авсан
, (3.3.1)
хаана
- тодорхой дамжуулалт; 
- өгөгдсөн цэг дэх гүйдлийн нягт; 
- цахилгаан талбайн хүч.
Тодорхой дамжуулалтын хувьд дараахь илэрхийлэлийг олж авав.
;
(3.3.2)
хаана 
- дундаж уртФерми энергитэй электроны чөлөөт зам, 
ийм электроны хурд, м
- түүний масс.
Металлын сонгодог электрон онолоос олж авсан илэрхийлэлтэй (3.12) харьцуулж үзье
. (3.3.3)
Энэ илэрхийлэлд <
λ
>
электроны дундаж чөлөөт зам, 
- дундаж хурдтүүний дулааны хөдөлгөөн.
Хэдийгээр (3.12) ба (3.13) илэрхийлэл нь гадаад төрхөөрөө төстэй боловч агуулга нь өөр юм. Дулааны хөдөлгөөний дундаж хурд 
зэрэг температураас хамаарна 
, a 
температураас бараг хамаардаггүй, учир нь температур өөрчлөгдөхөд Ферми энерги, улмаар хурд нь бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
(3.3.2) ба (3.3.3) томъёоны хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь электроны дундаж чөлөөт замын тухай ойлголтын утга юм. < λ > металлын сонгодог ба квант онолд.
Сонгодог электрон онол нь электронуудыг энгийн бөөмс гэж үздэг ба болор торны зангилаатай электронуудын мөргөлдөөнийг металлын цахилгаан эсэргүүцлийн шалтгаан гэж үздэг. Электронууд замдаа таарч буй бараг бүх торны хэсгүүдтэй мөргөлддөг гэж үзвэл, сонгодог онолавдаг < λ > lattice параметртэй тэнцүү байна г(г 10 -10 м).
Квантын онол нь электроныг долгионы шинж чанартай бөөмс, металл дахь цахилгаан гүйдлийг электрон долгионы тархалтын процесс гэж үздэг бөгөөд долгионы уртыг де Бройль томъёогоор тодорхойлдог.
. (3.3.4)
Ийм дүрслэл нь туршилтаар ажиглагдсан тодорхой дамжуулалтын температурын хамаарлыг тайлбарлах боломжийг олгодог
ба эсэргүүцэл 
... Зангилаа нь суурин ионууд байдаг, ямар ч хольц, согоггүй металлын хамгийн тохиромжтой болор торыг авч үзье. Ийм тохиромжтой тор нь электрон долгионыг тараахгүй бөгөөд ийм металлын цахилгаан эсэргүүцэл нь тэг байх ёстой.
Бодит талстууд дээр Т > 0 ионууд тэнцвэрийн байрлалд дулааны чичиргээнд орж, торны хатуу үечлэлийг зөрчиж байна. Үүнээс гадна ийм тор нь ихэвчлэн бүтцийн согогийг агуулдаг: хольц, сул орон зай, мултрал гэх мэт. Эдгээр бүх жигд бус байдал нь электрон долгионы тархалтын төвийн үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд цахилгаан эсэргүүцлийн шалтгаан болдог. Тооцоолол нь дундаж чөлөөт замыг харуулж байна < λ Ф > хуулийн дагуу температураас хамаарна
, (3.3.5)
хаана 
- уян хатан модуль; г
нь торны параметр юм.
(3.15)-ыг харгалзан тусгай дамжуулалт (3.12) томъёогоор тодорхойлогдох маягттай байна
, (3.3.6)
тэр бол 
, ба 
, энэ нь хэт бага температуртай газар нутгийн туршлагатай сайн тохирдог.
NS 
Маш бага температурт (3.3.5) томъёог дагаж мөрдөхгүй. Энэ тохиолдолд дундаж чөлөөт зам нь температурын эхний биш, харин тав дахь зэрэгтэй урвуу пропорциональ болж хувирдаг тул хувийн эсэргүүцэл ρ
үнэмлэхүй температурын тав дахь зэрэгтэй пропорциональ байх болно.
Зураг 3.7-д металлын цахилгаан эсэргүүцлийн температурын хамаарлыг харуулав. At T = 0металлын эсэргүүцэл нь тэг биш, харин үлдэгдэл эсэргүүцэл ost , металл торны бүтцийн согог дээр электрон долгионы тархалтаас үүдэлтэй.