3.1. Шулуун шугамаар жигд хөдөлгөөн хийх.

3.1.1. Шулуун шугамаар жигд хөдөлгөөн хийх- тогтмол модуль ба хурдатгалын чиглэлтэй шулуун шугамын хөдөлгөөн:

3.1.2. Хурдатгал()- 1 секундын дотор хурд хэр их өөрчлөгдөхийг харуулсан физик вектор хэмжигдэхүүн.

Вектор хэлбэрээр:

биеийн анхны хурд хаана байна, цаг хугацааны агшин дахь биеийн хурд т.

Тэнхлэг дээрх төсөөлөлд Үхэр:

тэнхлэг дээрх анхны хурдны проекц хаана байна Үхэр, - тэнхлэг дээрх биеийн хурдны проекц Үхэртэр үед т.

Төлөвлөлтийн тэмдгүүд нь векторуудын чиглэл ба тэнхлэгээс хамаарна Үхэр.

3.1.3. Хурдатгалын цаг хугацааны проекцын график.

Хөдөлгөөний жигд хувьсах үед хурдатгал нь тогтмол байдаг тул цаг хугацааны тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамууд байх болно (Зураг харна уу):

3.1.4. Нэг жигд хөдөлгөөн дэх хурд.

Вектор хэлбэрээр:

Тэнхлэг дээрх төсөөлөлд Үхэр:

Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөний хувьд:

Удаан хөдөлгөөний хувьд:

3.1.5. Цаг хугацаатай харьцуулахад хурдны проекцын график.

Цаг хугацааны эсрэг хурдны проекцын график нь шулуун шугам юм.

Хөдөлгөөний чиглэл: хэрэв график (эсвэл түүний хэсэг) цаг хугацааны тэнхлэгээс дээш байвал бие нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хөдөлдөг. Үхэр.

Хурдатгалын утга: хазайлтын өнцгийн тангенс их байх тусам (дээш эсвэл доошоо явах тусам), хурдатгалын модуль их байх болно; цаг хугацааны хурдны өөрчлөлт хаана байна

Цагийн тэнхлэгтэй огтлолцох: хэрэв график нь цагийн тэнхлэгийг гаталж байвал бие нь огтлолцох цэгээс өмнө удааширч (ижил удаан хөдөлгөөн), уулзварын цэгийн дараа эсрэг чиглэлд (ижил хурдтай хөдөлгөөн) хурдасч эхлэв.

3.1.6. Тэнхлэг дэх график доорх талбайн геометрийн утга

Тэнхлэг дээр байх үед график доорх талбай Өөхурд хойшлогдож, тэнхлэгт ҮхэрЦаг хугацаа бол биеийн туулсан зам юм.

Зураг дээр. 3.5 жигд хурдасгасан хөдөлгөөний тохиолдлыг зурсан. Энэ тохиолдолд зам нь трапецын талбайтай тэнцүү байх болно: (3.9)

3.1.7. Замыг тооцоолох томъёо

Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөн	Нэг жигд удаан хөдөлгөөн
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Хүснэгтэд үзүүлсэн бүх томьёо нь зөвхөн хөдөлгөөний чиглэлийг хадгалах замаар, өөрөөр хэлбэл хурдны проекцоос цаг хугацааны хамаарлын график дээрх шулуун шугамыг цаг хугацааны тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл ажиллана.

Хэрэв уулзвар болсон бол хөдөлгөөнийг хоёр үе шатанд хуваахад хялбар болно.

хөндлөн гарахаас өмнө (тоормослох):

Гэмтсэний дараа (хурдатгал, эсрэг чиглэлд хөдөлгөөн)

Дээрх томъёонд - хөдөлгөөний эхлэлээс цаг хугацааны тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэлх хугацаа (зогсоох хугацаа), - хөдөлгөөний эхнээс цаг хугацааны тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэлх биеийн туулсан зам, - цаг хугацааны тэнхлэгийг гатлах мөчөөс одоогийн мөч хүртэл өнгөрсөн хугацаа т, - цаг хугацааны тэнхлэгийг гатлах мөчөөс одоогийн мөч хүртэлх хугацаанд биений эсрэг чиглэлд явсан зам. т, - хөдөлгөөний бүх хугацаанд шилжих векторын модуль, Л- хөдөлгөөний бүх хугацаанд бие махбодийн туулсан зам.

3.1.8. --р секундэд шилжинэ.

Цаг хугацаа өнгөрөхөд бие нь дараах замаар явах болно.

Цаг хугацаа өнгөрөхөд бие нь дараах замаар явах болно.

Дараа нь i-р интервалд бие нь замыг хамарна:

Интервал нь ямар ч урт байж болно. Ихэнхдээ хамт

Дараа нь 1 секундын дотор бие нь замыг туулдаг:

2 дахь секундэд:

3 дахь секундэд:

Хэрэв бид анхааралтай ажиглавал бид үүнийг харах болно гэх мэт.

Тиймээс бид дараах томъёонд хүрнэ.

Нэг үгээр хэлбэл: дараалсан хугацаанд бие махбодоор бүрхэгдсэн замууд нь хоорондоо сондгой тооны цуваа байдлаар хамааралтай бөгөөд энэ нь биеийн хөдөлгөөний хурдатгалаас хамаардаггүй. Энэ харилцаа нь хүчинтэй гэдгийг бид онцолж байна

3.1.9. Нэг жигд хувьсах хөдөлгөөний биеийн координатын тэгшитгэл

Координатын тэгшитгэл

Анхны хурд ба хурдатгалын төсөөллийн тэмдгүүд нь харгалзах вектор ба тэнхлэгийн харьцангуй байрлалаас хамаарна. Үхэр.

Асуудлыг шийдэхийн тулд тэнхлэг дээрх хурдны төсөөллийг өөрчлөх тэгшитгэлийг тэгшитгэлд нэмэх шаардлагатай.

3.2. Шулуун хөдөлгөөний кинематик хэмжигдэхүүнүүдийн графикууд

3.3. Чөлөөт уналтын бие

Чөлөөт уналт гэдэг нь дараах физик загварыг хэлнэ.

1) Уналт нь таталцлын нөлөөн дор үүсдэг:

2) Агаарын эсэргүүцэл байхгүй (даалгаварт заримдаа "агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлох" гэж бичдэг);

3) Бүх бие массаас үл хамааран ижил хурдатгалтай унадаг (заримдаа "биеийн хэлбэрээс үл хамааран" гэж нэмдэг, гэхдээ бид зөвхөн материаллаг цэгийн хөдөлгөөнийг авч үздэг тул биеийн хэлбэрийг авахаа больсон. данс руу);

4) Чөлөөт уналтын хурдатгал нь хатуу доош чиглэсэн бөгөөд дэлхийн гадаргуу дээр тэнцүү байна (боодлын хувьд бид үүнийг тооцоолоход хялбар болгох үүднээс ихэвчлэн авдаг);

3.3.1. Тэнхлэг дээрх проекц дахь хөдөлгөөний тэгшитгэл Өө

Хэвтээ шулуун шугамын дагуух хөдөлгөөнөөс ялгаатай нь бүх даалгавраас хол хөдөлгөөний чиглэл өөрчлөгдөхөд чөлөөт уналтын үед тэнхлэгт проекц дээр бичсэн тэгшитгэлийг нэн даруй ашиглах нь зүйтэй. Өө.

Биеийн координатын тэгшитгэл:

Хурдны проекцын тэгшитгэл:

Дүрмээр бол асуудалд тэнхлэгийг сонгох нь тохиромжтой байдаг Өөдараах байдлаар:

Тэнхлэг Өөбосоо дээш чиглэсэн;

Координатын гарал үүсэл нь дэлхийн түвшин эсвэл траекторийн хамгийн доод цэгтэй давхцдаг.

Энэ сонголтоор тэгшитгэлүүдийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.

3.4. Онгоцонд хөдөлгөөн хийх Окси.

Бид шулуун шугамын дагуух хурдатгалтай биеийн хөдөлгөөнийг авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч жигд хөдөлгөөн үүгээр хязгаарлагдахгүй. Жишээлбэл, тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн бие. Ийм ажилд нэг дор хоёр тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөнийг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Эсвэл вектор хэлбэрээр:

Хоёр тэнхлэг дээрх хурдны проекцийг өөрчлөх:

3.5. Дериватив ба интеграл гэсэн ойлголтын хэрэглээ

Бид энд дериватив ба интегралын нарийвчилсан тодорхойлолтыг өгөхгүй. Асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд зөвхөн жижиг багц томъёо хэрэгтэй.

Дериватив:

хаана А, Бмөн энэ нь тогтмолууд юм.

Интеграл:

Одоо үүсмэл ба интеграл гэсэн ойлголт физик хэмжигдэхүүнд хэрхэн хэрэглэгдэхийг харцгаая. Математикт деривативыг ""-ээр, физикт цаг хугацааны деривативыг функц дээр "∙" гэж тэмдэглэдэг.

Хурд:

өөрөөр хэлбэл хурд нь радиус векторын дериватив юм.

Хурдны төсөөллийн хувьд:

Хурдатгал:

өөрөөр хэлбэл хурдатгал нь хурдны дериватив юм.

Хурдатгалын төсөөллийн хувьд:

Тиймээс, хэрэв хөдөлгөөний хууль мэдэгдэж байгаа бол бид биеийн хурд ба хурдатгалын аль алиныг нь хялбархан олох боломжтой.

Одоо бид интеграл гэдэг ойлголтыг ашиглаж байна.

Хурд:

өөрөөр хэлбэл хурдыг хурдатгалын цаг хугацааны интеграл болгон олж болно.

Радиус вектор:

өөрөөр хэлбэл хурдны функцийн интегралыг авч радиус векторыг олж болно.

Тиймээс, хэрэв функц нь мэдэгдэж байгаа бол бид биеийн хурд болон хөдөлгөөний хуулийг хоёуланг нь хялбархан олох боломжтой.

Томъёо дахь тогтмолуудыг эхний нөхцлөөс - утга ба цаг хугацааны агшинд тодорхойлно

3.6. Хурдны гурвалжин ба шилжилтийн гурвалжин

3.6.1. хурдны гурвалжин

Тогтмол хурдатгалтай үед вектор хэлбэрээр хурдны өөрчлөлтийн хууль (3.5) хэлбэртэй байна.

Энэ томьёо нь вектор нь векторуудын вектор нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд векторын нийлбэрийг зураг дээр үргэлж дүрсэлж болно гэсэн үг юм (зураг харна уу).

Даалгавар бүрт нөхцөл байдлаас хамааран хурдны гурвалжин өөрийн гэсэн хэлбэртэй байна. Ийм дүрслэл нь геометрийн бодлыг шийдвэрлэхэд ашиглах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь ихэвчлэн асуудлын шийдлийг хялбаршуулдаг.

3.6.2. Хөдөлгөөний гурвалжин

Вектор хэлбэрээр тогтмол хурдатгалтай хөдөлгөөний хууль дараах хэлбэртэй байна.

Асуудлыг шийдэхдээ та лавлагааны системийг хамгийн тохиромжтой аргаар сонгох боломжтой тул ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр бид жишиг системийг сонгож, өөрөөр хэлбэл координатын системийн гарал үүслийг биеийг байгаа цэг дээр байрлуулах боломжтой болно. эхний мөчид байрладаг. Дараа нь

өөрөөр хэлбэл, вектор нь векторуудын вектор нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд зураг дээр зурцгаая (Зураг харна уу).

Өмнөх тохиолдлын нэгэн адил нөхцөл байдлаас шалтгаалан шилжилтийн гурвалжин нь өөрийн гэсэн хэлбэртэй байх болно. Ийм дүрслэл нь геометрийн бодлыг шийдвэрлэхэд ашиглах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь ихэвчлэн асуудлын шийдлийг хялбаршуулдаг.

Шуурхай хурд цаг хугацааны өгөгдсөн цэг эсвэл траекторийн өгөгдсөн цэг дэх биеийн хурд юм. Энэ бол дундаж хурд нь хязгааргүй бага хугацаанд чиглэдэг хязгаартай тоон хувьд тэнцүү вектор физик хэмжигдэхүүн юм.

Өөрөөр хэлбэл агшин зуурын хурд нь цаг хугацааны хувьд радиус векторын анхны дериватив юм.

2. Дундаж хурд.

дунд хурд тодорхой газар нутаг дахь шилжилтийг энэ шилжилт үүссэн хугацааны интервалд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү утга гэж нэрлэдэг.

3. Өнцгийн хурд. Томъёо. С.И.

Өнцгийн хурд нь биеийн эргэлтийн өнцгийн цаг хугацааны анхны деривативтай тэнцүү вектор физик хэмжигдэхүүн юм. [рад/с]

4. Өнцгийн хурд ба эргэлтийн хугацааны хоорондын хамаарал.

Нэг төрлийн эргэлт нь эргэлтийн хугацаа ба эргэлтийн давтамжаар тодорхойлогддог.

5. Өнцгийн хурдатгал. Томъёо. С.И.

Энэ нь цаг хугацааны хувьд өнцгийн хурдны эхний дериватив эсвэл биеийн эргэлтийн өнцгийн хоёр дахь деривативтай тэнцүү физик хэмжигдэхүүн юм. [рад/с 2 ]

6. Өнцгийн хурд/өнцгийн хурдатгалын вектор хэрхэн чиглэсэн вэ.

Өнцгийн хурдны вектор нь эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг бөгөөд ингэснээр өнцгийн хурдны векторын төгсгөлөөс харахад эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг явагдана (баруун гарын дүрэм).

Хурдасгасан эргэлтийн үед өнцгийн хурдатгалын вектор нь өнцгийн хурдны вектортой зэрэгцэн чиглэгддэг ба удаан эргэлттэй бол түүний эсрэг байна.

7/8. Хэвийн хурдатгал ба өнцгийн хурд хоорондын хамаарал/Тангенциал ба өнцгийн хурдатгалын хамаарал.

9. Нийт хурдатгалын хэвийн бүрэлдэхүүнийг юу тодорхойлж, хэрхэн чиглүүлэх вэ? Хэвийн SI хурдатгал.Хэвийн хурдатгал нь чиглэл дэх хурдны өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлж, траекторийн муруйлтын төв рүү чиглэнэ.

SI-д хэвийн хурдатгал [м/с 2 ]

10. Нийт хурдатгалын шүргэгч бүрэлдэхүүнийг юу тодорхойлж, хэрхэн чиглүүлэх вэ.

Тангенциал хурдатгал нь хурдны модулийн анхны деривативтай тэнцүү бөгөөд хурдны модулийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлж, траектор руу тангенциал чиглүүлдэг.

11. SI дахь тангенциал хурдатгал.

12. Бүтэн биеийн хурдатгал. Энэ хурдатгалын модуль.

13. Масс. Хүч. Ньютоны хуулиуд.

Жин нь биеийн инерцийн болон таталцлын шинж чанарын хэмжүүр болох физик хэмжигдэхүүн юм. SI дахь массын нэгж [ м] = кг.

Хүч вектор физик хэмжигдэхүүн бөгөөд энэ нь бие махбодид бусад бие эсвэл талбайн механик нөлөөллийн хэмжүүр бөгөөд үүний үр дүнд бие нь хэв гажилт эсвэл хурдасдаг. SI-ийн хүчний нэгж нь Ньютон; кг*м/с 2

Ньютоны анхны хууль (эсвэл инерцийн хууль): хэрэв биед ямар ч хүч үйлчлэхгүй эсвэл тэдгээрийн үйлдлийг нөхөхгүй бол энэ бие тайван эсвэл жигд шулуун хөдөлгөөнтэй байна.

Ньютоны хоёр дахь хууль : биеийн хурдатгал нь түүнд үйлчилж буй үр дүнгийн хүчтэй шууд пропорциональ ба түүний масстай урвуу пропорциональ байна. Ньютоны хоёр дахь хууль нь механикийн үндсэн асуудлыг шийдэх боломжийг бидэнд олгодог. Тиймээс үүнийг нэрлэдэг орчуулгын хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэл.

Ньютоны гурав дахь хууль : Нэг биед үйлчлэх хүч нь хэмжээнээрээ тэнцүү бөгөөд хоёр дахь бие нь эхнийх нь үйлчилж буй хүчний эсрэг чиглэлтэй байна.

1-р хэсэг

Агшин зуурын хурдыг тооцоолох

1. Тэгшитгэлээс эхэл.Агшин зуурын хурдыг тооцоолохын тулд та биеийн хөдөлгөөнийг (цаг хугацааны тодорхой цэг дэх байрлал), өөрөөр хэлбэл нэг талдаа s (биеийн хөдөлгөөн) гэсэн тэгшитгэлийг мэдэх хэрэгтэй. нөгөө талд нь t (цаг) хувьсагчтай гишүүд байна. Жишээлбэл:
   

   s = -1.5t2 + 10t + 4

   • Энэ тэгшитгэлд: шилжилт = с. Нүүлгэн шилжүүлэлт - объектын туулсан зам. Жишээлбэл, хэрэв бие 10 м урагш, 7 м хойш хөдөлсөн бол биеийн нийт хөдөлгөөн 10 - 7 = байна. 3м(мөн 10 + 7 = 17 м-т). Цаг = т. Ихэвчлэн секундээр хэмжигддэг.

2. Тэгшитгэлийн деривативыг тооцоол.Дээрх тэгшитгэлээр шилжилт хөдөлгөөнийг тодорхойлсон биеийн агшин зуурын хурдыг олохын тулд та энэ тэгшитгэлийн деривативыг тооцоолох хэрэгтэй. Дериватив нь графикийн налууг аль ч цэг дээр (цаг хугацааны аль ч үед) тооцоолох боломжийг олгодог тэгшитгэл юм. Деривативыг олохын тулд функцийг дараах байдлаар ялгана. хэрэв y = a*x n бол дериватив = a*n*x n-1. Энэ дүрэм нь олон гишүүнтийн гишүүн бүрт хамаарна.

   • Өөрөөр хэлбэл t хувьсагчтай гишүүн гишүүн бүрийн дериватив нь тухайн хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү (хувьсагчийн өмнөх) ба хувьсагчийн хүчийг анхны чадавхийг хассан 1-тэй тэнцүү чадалтай үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Чөлөөт гишүүн ( хувьсагчгүй нэр томъёо, өөрөөр хэлбэл тоо) 0-ээр үржүүлснээр алга болно. Бидний жишээнд:
     

     s = -1.5t2 + 10t + 4
     (2)-1.5т (2-1) + (1)10т 1 - 1 + (0)4т 0
     -3т1 + 10т0
     -3т+10

3. Шинэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийн дериватив (өөрөөр хэлбэл t-ийн s-ийн дериватив) болохыг харуулахын тулд "s"-ийг "ds/dt" гэж солино. Дериватив нь графикийн тодорхой цэг дэх (цаг хугацааны тодорхой цэг дэх) налуу юм. Жишээлбэл, t = 5 үед s = -1.5t 2 + 10t + 4 функцээр тодорхойлсон шулууны налууг олохын тулд дериватив тэгшитгэлд 5-ыг залгахад хангалттай.

   • Бидний жишээнд дериватив тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдах ёстой.
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Тодорхой цаг хугацааны агшин зуурын хурдыг олохын тулд дериватив тэгшитгэлд харгалзах t утгыг орлуулна. Жишээлбэл, хэрэв та t = 5 үед агшин зуурын хурдыг олохыг хүсвэл ds/dt = -3 + 10 дериватив тэгшитгэлд 5-ыг (t-ийн оронд) залгахад л хангалттай. Дараа нь тэгшитгэлийг шийдээрэй.
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

   • Агшин зуурын хурдны нэгжид анхаарлаа хандуулаарай: м / с. Бидэнд нүүлгэн шилжүүлэлтийн утгыг метрээр, цаг нь секундээр, хурд нь шилжилтийн цаг хугацааны харьцаатай тэнцүү тул м / с-ийн нэгж зөв байна.

   2-р хэсэг

   Агшин зуурын хурдны график үнэлгээ

   1. Биеийн хөдөлгөөний графикийг байгуул.Өмнөх бүлэгт та томьёо (тодорхой цэг дээрх графикийн налууг олох боломжийг олгодог дериватив тэгшитгэл) ашиглан агшин зуурын хурдыг тооцоолсон. Биеийн хөдөлгөөнийг зурснаар та түүний налууг аль ч цэгээс олох боломжтой, тиймээс тодорхой цаг хугацааны агшин зуурын хурдыг тодорхойлох.

      • Y тэнхлэгт графикийн хөдөлгөөн, X тэнхлэг дээр цаг хугацаа. Анхны шилжилтийн тэгшитгэлд t-ийн өөр утгыг орлуулж, s-ийн харгалзах утгыг тооцоолох замаар цэгүүдийн координатыг (x, y) авна.
      • График нь X тэнхлэгээс доош унаж болно.Хэрэв биеийн хөдөлгөөний график X тэнхлэгээс доош буувал энэ нь бие хөдөлгөөн эхэлсэн цэгээс эсрэг чиглэлд хөдөлж байна гэсэн үг юм. Дүрмээр бол график нь Y тэнхлэгээс хэтэрдэггүй (сөрөг x утгууд) - бид цаг хугацааны хувьд ухарч буй объектын хурдыг хэмждэггүй!

   2. График (муруй) дээрх P цэг ба түүнд ойрхон Q цэгийг сонго.Р цэг дээрх графикийн налууг олохын тулд бид хязгаар гэсэн ойлголтыг ашигладаг. Хязгаар - муруй дээр хэвтэж буй P ба Q 2 цэгээр дамжсан секантын утга тэг болох хандлагатай төлөв.

      • Жишээлбэл, цэгүүдийг анхаарч үзээрэй P(1,3)болон Q(4,7) P цэг дээрх агшин зуурын хурдыг тооцоол.

   3. PQ сегментийн налууг ол. PQ сегментийн налуу нь P ба Q цэгүүдийн "y" координатын утгын зөрүүг P ба Q цэгүүдийн "x" координатын утгын зөрүүтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), энд H нь PQ сегментийн налуу юм. Бидний жишээнд PQ сегментийн налуу нь:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Процессыг хэд хэдэн удаа давтаж, Q цэгийг P цэг рүү ойртуулна.Хоёр цэгийн хоорондох зай бага байх тусам олж авсан сегментүүдийн налуу нь P цэг дээрх графикийн налуу руу ойртох болно. Бидний жишээн дээр бид Q цэгийн координаттай (2.4.8), (1.5.3.95) тооцоог хийх болно. ба (1.25.3.49) (цэгийн координат P ижил хэвээр байна):
      

      Q = (2.4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1.8)/(1) = 1.8

      Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. P ба Q цэгүүдийн хоорондох зай бага байх тусам H-ийн утга P цэг дээрх графикийн налууд ойртох болно. Хэрэв P ба Q цэгүүдийн хоорондох зай туйлын бага бол H-ийн утга графикийн налуутай тэнцүү байна. P цэг дээр Бид хоёр цэгийн хоорондох хамгийн бага зайг хэмжих эсвэл тооцоолох боломжгүй тул график арга нь P цэг дээрх графикийн налууг тооцоолдог.

      • Бидний жишээн дээр Q P-д ойртох үед бид дараах H утгыг авна: 1.8; 1.9 ба 1.96. Эдгээр тоо нь 2 байх хандлагатай тул P цэг дээрх графикийн налуу нь тэнцүү гэж хэлж болно 2 .
      • Өгөгдсөн цэг дээрх графикийн налуу нь тухайн цэг дэх функцийн дериватив (энэ графикийг зурсан)-тай тэнцүү гэдгийг санаарай. График нь биеийн цаг хугацааны хөдөлгөөнийг харуулсан бөгөөд өмнөх хэсэгт дурдсанчлан биеийн агшин зуурын хурд нь энэ биеийн шилжилтийн тэгшитгэлийн деривативтай тэнцүү байна. Тиймээс бид t = 2 үед агшин зуурын хурд гэж хэлж болно 2 м/с(энэ бол тооцоолол).

   3-р хэсэг

   Жишээ

   1. Биеийн хөдөлгөөнийг s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9 тэгшитгэлээр дүрсэлсэн бол t = 4 үед агшин зуурын хурдыг тооцоол.Энэ жишээ нь эхний хэсгийн бодлоготой төстэй бөгөөд цорын ганц ялгаа нь гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэл (хоёр дахь биш) юм.

      • Эхлээд бид энэ тэгшитгэлийн деривативыг тооцоолно.
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5т (3 - 1) - (2)3т (2 - 1) + (1)2т (1 - 1) + (0)9т 0 - 1
        15тн(2) - 6тн(1) + 2тн(0)
        15т (2) - 6т + 2

      • Одоо бид t = 4 утгыг дериватив тэгшитгэлд орлуулна.
        

        s = 15т (2) - 6т + 2
        15(4) (2) - 6(4) + 2
        15(16) - 6(4) + 2
        240 - 24 + 2 = 22 м/с

   2. s = 4t 2 - t функцийн график дээр (1,3) координаттай цэгийн агшин зуурын хурдны утгыг тооцоолъё.Энэ тохиолдолд P цэг нь координаттай (1,3) бөгөөд P цэгтэй ойрхон байрлах Q цэгийн хэд хэдэн координатыг олох шаардлагатай. Дараа нь бид H-ийг тооцоод агшин зуурын хурдны тооцоолсон утгыг олно. .

      • Эхлээд бид Q координатыг t = 2, 1.5, 1.1, 1.01 дээр олно.
        

        s = 4t2 - t

        t=2: s = 4(2) 2 - (2)
        4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, тэгэхээр Q = (2.14)

        t = 1.5: s = 4(1.5) 2 - (1.5)
        4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, тэгэхээр Q = (1.5,7.5)

        t = 1.1: s = 4(1.1) 2 - (1.1)
        4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, тэгэхээр Q = (1.1,3.74)

        t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, тэгэхээр Q = (1.01,3.0704)

Хэрэв материаллаг цэг хөдөлгөөнд байгаа бол түүний координатууд өөрчлөгддөг. Энэ процесс хурдан эсвэл удаан байж болно.

Тодорхойлолт 1

Координатын байрлал дахь өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог утгыг нэрлэнэ хурд.

Тодорхойлолт 2

дундаж хурднь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд нэгж хугацаанд нүүлгэн шилжүүлэлттэй тоогоор тэнцүү, шилжилтийн вектортой хамтарсан чиглэлтэй υ = ∆ r ∆ t ; υ ∆ r .

Зураг 1. Дундаж хурд нь хөдөлгөөнтэй хамт чиглэгддэг

Замын дагуух дундаж хурдны модуль нь υ = S ∆ t-тэй тэнцүү байна.

Агшин зуурын хурд нь тодорхой цаг хугацааны хөдөлгөөнийг тодорхойлдог. "Тухайн үеийн биеийн хурд" гэсэн илэрхийлэл нь буруу гэж тооцогддог боловч математикийн тооцоололд хэрэглэгдэх боломжтой.

Тодорхойлолт 3

Агшин зуурын хурд гэдэг нь ∆t хугацааны интервал 0 байх үед дундаж хурд υ хүрэх хязгаар юм.

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

υ векторын чиглэл нь муруй шугамтай шүргэгч байна, учир нь хязгааргүй жижиг шилжилт d r нь траекторийн хязгааргүй жижиг элементтэй давхцдаг d s .

Зураг 2. Агшин зуурын хурдны вектор υ

Декарт координат дахь одоо байгаа υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ илэрхийлэл нь доор санал болгож буй тэгшитгэлтэй ижил байна.

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

υ векторын модулийн бичлэг дараах хэлбэртэй байна.

υ \u003d υ \u003d υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 \u003d x 2 + y 2 + z 2.

Декартын тэгш өнцөгт координатаас муруйн шугам руу шилжихийн тулд нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг баримтална уу. Хэрэв радиус вектор r нь муруй шугаман координатын r = r q 1 , q 2 , q 3 функц юм бол хурдны утгыг дараах байдлаар бичнэ.

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i.

Зураг 3. Муруйн координатын систем дэх шилжилт ба агшин зуурын хурд

Бөмбөрцөг координатын хувьд q 1 = r гэж бодъё; q 2 \u003d φ; q 3 \u003d θ, дараа нь бид υ-ийг энэ хэлбэрээр үзүүлэв.

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ, энд υ r = r ˙; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ \u003d r 1 + φ 2 нүгэл 2 θ + θ 2.

Тодорхойлолт 4

агшин зуурын хурд d r = υ (t) d t хамаарлаар анхан шатны хөдөлгөөнтэй холбоотой тухайн агшин дахь хөдөлгөөний функцын деривативын утгыг нэрлэх.

Жишээ 1

x (t) = 0 цэгийн шулуун шугаман хөдөлгөөний хууль өгөгдсөн бол 15 t 2 - 2 t + 8 . Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш 10 секундын дараа түүний агшин зуурын хурдыг тодорхойлно.

Шийдвэр

Агшин зуурын хурдыг ихэвчлэн цаг хугацааны хувьд радиус векторын анхны дериватив гэж нэрлэдэг. Дараа нь түүний оруулга дараах байдлаар харагдах болно.

υ (t) = x ˙ (t) = 0 . 3 т - 2; υ (10) = 0 . 3 × 10 - 2 = 1 м / с.

Хариулах: 1 м/с.

Жишээ 2

Материаллаг цэгийн хөдөлгөөнийг x = 4 t - 0, 05 t 2 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Цэг хөдлөхөө болих үед t цаг орчим байх момент ба газрын дундаж хурд υ-ийг тооцоол.

Шийдвэр

Агшин зуурын хурдны тэгшитгэлийг тооцоолж, тоон илэрхийлэлүүдийг орлуулна уу:

υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0 , 1 t .

4 - 0, 1 t = 0; t ойролцоогоор t \u003d 40 секунд; υ 0 = υ (0) = 4; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0, 1 м / с.

Хариулт:тогтоосон цэг 40 секундын дараа зогсох болно; дундаж хурдны утга нь 0.1 м/с байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Биеийг налуу хавтгайд эргэлдүүлэх (Зураг 2);

Цагаан будаа. 2. Биеийг налуу хавтгайгаар өнхрүүлэх ()

Чөлөөт уналт (Зураг 3).

Эдгээр гурван төрлийн хөдөлгөөн нь жигд биш, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хурд өөрчлөгддөг. Энэ хичээлээр бид жигд бус хөдөлгөөнийг авч үзэх болно.

жигд хөдөлгөөн -бие нь ямар ч тэнцүү хугацааны интервалд ижил зайд явах механик хөдөлгөөн (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Нэг жигд хөдөлгөөн

Хөдөлгөөнийг жигд бус гэж нэрлэдэг., энэ үед бие нь цаг хугацааны тэнцүү интервалд тэгш бус зайг туулдаг.

Цагаан будаа. 5. Тэгш бус хөдөлгөөн

Механикийн гол үүрэг бол ямар ч үед биеийн байрлалыг тодорхойлох явдал юм. Тэгш бус хөдөлгөөнөөр биеийн хурд өөрчлөгддөг тул биеийн хурдны өөрчлөлтийг хэрхэн дүрслэхийг сурах шаардлагатай. Үүний тулд дундаж хурд ба агшин зуурын хурд гэсэн хоёр ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Тэгш бус хөдөлгөөний үед биеийн хурдыг өөрчлөх баримтыг үргэлж анхаарч үзэх шаардлагагүй; замын том хэсэг дэх биеийн хөдөлгөөнийг бүхэлд нь авч үзэхэд (бид мөч бүрт хурдыг анхаарч үздэггүй). цаг), дундаж хурдны тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхэд тохиромжтой.

Тухайлбал, сургуулийн сурагчдын төлөөлөл Новосибирскээс Сочи руу галт тэргээр зорчиж байна. Эдгээр хотуудын хоорондох төмөр замаар явах зай нь ойролцоогоор 3300 км юм. Новосибирскээс дөнгөж хөдөлсөн галт тэрэгний хурд нь замын дунд байсан гэсэн үг үү? адилхан, гэхдээ Сочигийн үүдэнд [M1]? Зөвхөн эдгээр өгөгдлүүдтэй байх нь хөдөлгөөний цаг хугацаа байх болно гэдгийг батлах боломжтой юу (Зураг 6). Мэдээж үгүй, учир нь Новосибирскийн оршин суугчид Сочи руу явахад 84 цаг зарцуулдаг гэдгийг мэддэг.

Цагаан будаа. 6. Жишээ нь зураглал

Замын урт хэсэг дэх биеийн хөдөлгөөнийг бүхэлд нь авч үзэхдээ дундаж хурдны тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх нь илүү тохиромжтой.

дунд хурдбиеийн хийсэн нийт хөдөлгөөний харьцааг энэ хөдөлгөөнийг хийсэн цаг хугацааны харьцаа гэж нэрлэдэг (Зураг 7).

Цагаан будаа. 7. Дундаж хурд

Энэ тодорхойлолт нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Жишээлбэл, тамирчин 400 м гүйдэг - яг нэг тойрог. Тамирчны нүүлгэн шилжүүлэлт 0 (Зураг 8) боловч түүний дундаж хурд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг бид ойлгож байна.

Цагаан будаа. 8. Шилжилт нь 0 байна

Практикт газрын дундаж хурд гэсэн ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг.

Газрын дундаж хурд- энэ нь биеийн туулсан бүтэн замыг тухайн замыг туулсан хугацаатай харьцуулсан харьцаа юм (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Газрын дундаж хурд

Дундаж хурдны өөр нэг тодорхойлолт байдаг.

дундаж хурд- энэ нь бие нь жигд бус хөдөлж, түүнийг хамарсан тэр хугацаанд өгөгдсөн зайг туулахын тулд жигд хөдөлж байх ёстой хурд юм.

Математикийн хичээлээс бид арифметик дундаж гэж юу болохыг мэддэг. 10 ба 36 тоонуудын хувьд энэ нь тэнцүү байна:

Дундаж хурдыг олохын тулд энэ томъёог ашиглах боломжийг олж мэдэхийн тулд бид дараах асуудлыг шийднэ.

Даалгавар

Дугуйчин 0.5 цагийн дотор 10 км/цагийн хурдтай налуу руу авирдаг. Цаашлаад 36 км/цагийн хурдтайгаар 10 минутын дотор бууна. Дугуйчны дундаж хурдыг ол (зураг 10).

Цагаан будаа. 10. Асуудлын зураглал

Өгөгдсөн:; ; ;

Олох:

Шийдвэр:

Эдгээр хурдыг хэмжих нэгж нь км/цаг тул дундаж хурдыг км/ц-ээр олно. Тиймээс эдгээр асуудлуудыг SI-д хөрвүүлэхгүй. Цаг руу хөрвүүлье.

Дундаж хурд нь:

Бүтэн зам () нь налуу () ба налуу () уруудах замаас бүрдэнэ.

Налуу өгсөх зам нь:

Уруу зам нь:

Замыг дуусгахад зарцуулсан хугацаа нь:

Хариулт:.

Асуудлын хариулт дээр үндэслэн дундаж хурдыг тооцоолохдоо арифметик дундаж томъёог ашиглах боломжгүй гэдгийг бид харж байна.

Дундаж хурдны тухай ойлголт нь механикийн гол асуудлыг шийдвэрлэхэд үргэлж тустай байдаггүй. Галт тэрэгний тухай асуудал руу буцаж ирэхэд галт тэрэгний бүх аяллын дундаж хурд нь 5 цагийн дараа хол байх болно гэж маргаж болохгүй. Новосибирскээс.

Хязгааргүй бага хугацаанд хэмжсэн дундаж хурдыг гэнэ биеийн агшин зуурын хурд(жишээ нь: машины хурд хэмжигч (Зураг 11) агшин зуурын хурдыг харуулдаг).

Цагаан будаа. 11. Машины хурд хэмжигч нь агшин зуурын хурдыг харуулдаг

Агшин зуурын хурдны өөр нэг тодорхойлолт байдаг.

Шуурхай хурд- тухайн агшин дахь биеийн хурд, замын хөдөлгөөний өгөгдсөн цэг дэх биеийн хурд (Зураг 12).

Цагаан будаа. 12. Шуурхай хурд

Энэ тодорхойлолтыг илүү сайн ойлгохын тулд жишээг авч үзье.

Хурдны замын хэсэг дээр машиныг шулуун шугамаар хөдөлгө. Бидэнд өгөгдсөн хөдөлгөөний цаг хугацааны шилжилтийн проекцын хамаарлын график байгаа (Зураг 13), энэ графикт дүн шинжилгээ хийцгээе.

Цагаан будаа. 13. Цаг хугацаатай харьцуулсан шилжилтийн проекцын график

Графикаас харахад машины хурд тогтмол биш байна. Ажиглалт эхэлснээс хойш 30 секундын дараа (цэг дээр) машины агшин зуурын хурдыг олох хэрэгтэй гэж бодъё. А). Агшин зуурын хурдны тодорхойлолтыг ашиглан бид -ээс хүртэлх хугацааны интервал дахь дундаж хурдны модулийг олно. Үүнийг хийхийн тулд энэ графикийн фрагментийг авч үзье (Зураг 14).

Цагаан будаа. 14. Цаг хугацаатай харьцуулсан шилжилтийн проекцын график

Агшин зуурын хурдыг олох зөв эсэхийг шалгахын тулд аас хүртэлх хугацааны интервалын дундаж хурдны модулийг олохын тулд графикийн фрагментийг авч үзье (Зураг 15).

Цагаан будаа. 15. Цаг хугацаатай харьцуулсан шилжилтийн проекцын график

Тодорхой хугацааны дундаж хурдыг тооцоол.

Ажиглалт эхэлснээс хойш 30 секундын дараа бид машины хурдны хоёр утгыг авсан. Илүү нарийн, энэ нь хугацааны интервал бага байх утга байх болно, өөрөөр хэлбэл, . Хэрэв бид тооцсон хугацааны интервалыг илүү хүчтэй бууруулбал тухайн цэг дээрх машины агшин зуурын хурд болно Аилүү нарийн тодорхойлох болно.

Агшин зуурын хурд нь вектор хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс үүнийг олохоос гадна (түүний модулийг олох) үүнийг хэрхэн чиглүүлж байгааг мэдэх шаардлагатай.

(д) – агшин зуурын хурд

Агшин зуурын хурдны чиглэл нь биеийн хөдөлгөөний чиглэлтэй давхцдаг.

Хэрэв бие нь муруй шугамаар хөдөлдөг бол агшин зуурын хурд нь өгөгдсөн цэг дээр траекторийн чиглэлд тангенциал чиглэгддэг (Зураг 16).

Дасгал 1

Агшин зуурын хурд () үнэмлэхүй утгыг өөрчлөхгүйгээр зөвхөн чиглэлдээ өөрчлөгдөж чадах уу?

Шийдвэр

Шийдвэрлэхийн тулд дараах жишээг авч үзье. Бие нь муруй зам дагуу хөдөлдөг (Зураг 17). Замын чиглэлийн цэгийг тэмдэглэ Аба цэг Б. Эдгээр цэгүүдэд агшин зуурын хурдны чиглэлийг анхаарна уу (агшин зуурын хурд нь траекторийн цэг рүү тангенциал чиглэгддэг). Хурдууд нь үнэмлэхүй утгаараа ижил бөгөөд 5 м/с-тэй тэнцүү байна.

Хариулт: магадгүй.

Даалгавар 2

Агшин зуурын хурд нь чиглэлийг өөрчлөхгүйгээр зөвхөн үнэмлэхүй утгаараа өөрчлөгдөж чадах уу?

Шийдвэр

Цагаан будаа. 18. Асуудлын зураглал

Зураг 10 нь тухайн цэг дээр байгааг харуулж байна Амөн цэг дээр Багшин зуурын хурд нь ижил чиглэлд чиглэгддэг. Хэрэв бие жигд хурдатгалтай хөдөлж байвал .

Хариулт:магадгүй.

Энэ хичээлээр бид жигд бус хөдөлгөөн, өөрөөр хэлбэл өөрчлөгдөж буй хурдтай хөдөлгөөнийг судалж эхлэв. Нэг жигд бус хөдөлгөөний шинж чанар нь дундаж болон агшин зуурын хурд юм. Дундаж хурдны тухай ойлголт нь жигд бус хөдөлгөөнийг жигд хөдөлгөөнөөр оюун ухаанаар солиход үндэслэдэг. Заримдаа дундаж хурдны тухай ойлголт (бидний харж байгаачлан) маш тохиромжтой боловч механикийн гол асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжгүй байдаг. Тиймээс агшин зуурын хурд гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Ном зүй

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физик 10. - М .: Боловсрол, 2008.
2. А.П. Рымкевич. Физик. Асуудлын ном 10-11. - М .: тоодог, 2006.
3. О.Я. Савченко. Физикийн асуудлууд. - М.: Наука, 1988.
4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Физикийн курс. T. 1. - М .: Улс. уч.-пед. ed. мин. РСФСР-ын боловсрол, 1957 он.

1. "School-collection.edu.ru" интернет портал ().
2. "Virtulab.net" интернет портал ().

Гэрийн даалгавар

1. 9-р зүйлийн төгсгөлд байгаа асуултууд (1-3, 5) (х. 24); Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физик 10 (санал болгож буй унших жагсаалтыг үзнэ үү)
2. Тодорхой хугацааны дундаж хурдыг мэдсэнээр энэ интервалын аль нэг хэсэгт биеийн хийсэн хөдөлгөөнийг олох боломжтой юу?
3. Нэг жигд шулуун хөдөлгөөн дэх агшин зуурын хурд ба жигд бус хөдөлгөөн дэх агшин зуурын хурд хоёрын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ?
4. Машин жолоодож байхдаа хурд хэмжигчийг минут тутамд уншдаг байв. Эдгээр мэдээллээс машины дундаж хурдыг тодорхойлох боломжтой юу?
5. Дугуйчин замынхаа эхний гуравны нэгийг цагт 12 км, хоёр дахь гуравт 16 км, сүүлийн гуравт 24 км/цагийн хурдтайгаар явжээ. Бүх аяллын турш дугуйны дундаж хурдыг ол. Хариултаа км/цагаар хэлнэ үү