Apa yang dimaksud dengan nilai rata-rata? Rata-rata aritmatika
Ciri-ciri satuan agregat statistik berbeda-beda maknanya, misalnya upah pekerja pada profesi yang sama di suatu perusahaan tidak sama untuk jangka waktu yang sama, harga pasar untuk produk yang sama, hasil panen di suatu daerah. peternakan, dll. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai suatu karakteristik yang merupakan karakteristik seluruh populasi unit yang diteliti, dihitung nilai rata-ratanya.
nilai rata-rata –
ini adalah karakteristik umum dari sekumpulan nilai individu dari beberapa karakteristik kuantitatif.
Populasi yang diteliti secara kuantitatif terdiri dari nilai-nilai individual; mereka dipengaruhi oleh alasan umum, dan kondisi individu. Dalam nilai rata-rata, penyimpangan karakteristik nilai individu dihilangkan. Rata-rata, sebagai fungsi dari sekumpulan nilai individual, mewakili keseluruhan agregat dengan satu nilai dan mencerminkan kesamaan semua unitnya.
Rata-rata yang dihitung untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang secara kualitatif homogen disebut rata-rata tipikal. Misalnya, Anda dapat menghitung gaji bulanan rata-rata seorang karyawan dari kelompok profesional tertentu (penambang, dokter, pustakawan). Tentu saja, level bulanan upah penambang, karena perbedaan kualifikasi, masa kerja, waktu kerja per bulan dan banyak faktor lainnya, berbeda satu sama lain dan dari tingkat upah rata-rata. Namun, tingkat rata-rata mencerminkan faktor-faktor utama yang mempengaruhi tingkat upah, dan menghilangkan perbedaan-perbedaan yang timbul karenanya karakteristik individu karyawan. Gaji rata-rata mencerminkan tingkat upah yang umum untuk suatu jenis pekerja tertentu. Perolehan rata-rata tipikal harus didahului dengan analisis seberapa homogen populasi tertentu secara kualitatif. Jika himpunan terdiri dari mereka bagian individu, itu harus dibagi menjadi kelompok-kelompok yang khas ( suhu rata-rata oleh rumah sakit).
Nilai rata-rata yang digunakan sebagai ciri-ciri populasi heterogen disebut rata-rata sistem. Misalnya, nilai rata-rata produk domestik bruto (PDB) per kapita, nilai rata-rata konsumsi berbagai kelompok barang per orang, dan nilai-nilai lain yang sejenis yang mewakili ciri-ciri umum negara sebagai suatu kesatuan sistem perekonomian.
Rata-rata harus dihitung untuk populasi yang terdiri dari sejumlah unit yang cukup besar. Kepatuhan terhadap kondisi ini diperlukan agar undang-undang dapat berlaku angka besar, sebagai akibat dari penyimpangan acak nilai-nilai individu dari tren umum membatalkan satu sama lain.
Jenis rata-rata dan metode penghitungannya
Pemilihan jenis rata-rata ditentukan oleh kandungan ekonomi suatu indikator dan sumber data tertentu. Akan tetapi, setiap nilai rata-rata harus dihitung sedemikian rupa sehingga ketika menggantikan setiap varian dari karakteristik rata-rata, hasil akhir yang bersifat generalisasi, atau biasa disebut, tidak berubah. indikator penentu, yang dikaitkan dengan indikator rata-rata. Misalnya saat mengganti kecepatan sebenarnya pada bagian tertentu dari jalur mereka kecepatan rata-rata tidak seharusnya berubah jarak total, lulus kendaraan pada saat yang sama; ketika mengganti upah aktual masing-masing karyawan di perusahaan menengah upah Dana upah tidak boleh berubah. Akibatnya, dalam setiap kasus tertentu, bergantung pada sifat data yang tersedia, hanya ada satu nilai rata-rata sebenarnya dari indikator tersebut, yang sesuai dengan sifat dan esensi fenomena sosial ekonomi yang diteliti.
Yang paling umum digunakan adalah mean aritmatika, mean harmonik, mean geometri, mean kuadrat, dan mean kubik.
Rata-rata yang tercantum termasuk dalam kelas tersebut tenang rata-rata dan digabungkan dengan rumus umum:
,
dimana nilai rata-rata dari sifat yang diteliti;
m – indeks derajat rata-rata;
– nilai saat ini (varian) dari karakteristik yang dirata-ratakan;
n – jumlah fitur.
Tergantung pada nilai eksponen m, jenis rata-rata daya berikut ini dibedakan:
ketika m = -1 – mean harmonik;
pada m = 0 – rata-rata geometri;
untuk m = 1 – mean aritmatika;
untuk m = 2 – akar rata-rata kuadrat;
pada m = 3 – rata-rata kubik.
Bila menggunakan data masukan yang sama, semakin besar eksponen m pada rumus di atas, maka semakin besar pula nilainya ukuran rata-rata:
.
Sifat rata-rata pangkat yang meningkat seiring bertambahnya eksponen fungsi penentu disebut aturan mayoritas rata-rata.
Masing-masing rata-rata yang ditandai dapat mempunyai dua bentuk: sederhana Dan tertimbang.
Bentuk sedang sederhana digunakan ketika rata-rata dihitung dari data primer (tidak dikelompokkan). Bentuk tertimbang– saat menghitung rata-rata berdasarkan data sekunder (dikelompokkan).
Rata-rata aritmatika
Rata-rata aritmatika digunakan ketika volume populasi adalah jumlah dari semua nilai individu dari suatu karakteristik yang bervariasi. Perlu dicatat bahwa jika jenis rata-rata tidak ditentukan, rata-rata aritmatika akan diasumsikan. Rumus logisnya terlihat seperti: 
Rata-rata aritmatika sederhana dihitung berdasarkan data yang tidak dikelompokkan
sesuai dengan rumus: 
atau ,
dimana nilai individu dari karakteristik tersebut;
j adalah nomor urut unit observasi yang ditandai dengan nilai ;
N – jumlah unit observasi (volume populasi).
Contoh. Kuliah “Ringkasan dan Pengelompokan Data Statistik” mengkaji hasil observasi pengalaman kerja tim yang terdiri dari 10 orang. Mari kita hitung rata-rata pengalaman kerja para pekerja tim. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
Menurut rumusnya rata-rata aritmatika sederhana juga dihitung rata-rata dalam rangkaian kronologis, jika interval waktu penyajian nilai karakteristik adalah sama.
Contoh. Volume produk yang terjual pada kuartal pertama berjumlah 47 sarang. unit, untuk sarang kedua 54, untuk sarang ketiga 65 dan untuk sarang keempat 58. unit Omset triwulanan rata-rata adalah (47+54+65+58)/4 = 56 sarang. unit
Jika indikator sesaat diberikan dalam rangkaian kronologis, maka ketika menghitung rata-rata, indikator tersebut diganti dengan setengah jumlah nilai pada awal dan akhir periode.
Jika terdapat lebih dari dua momen dan jarak antar momen sama, maka rata-ratanya dihitung dengan menggunakan rumus rata-rata kronologis.
,
di mana n adalah jumlah titik waktu
Dalam hal data dikelompokkan berdasarkan nilai karakteristik
(yaitu, rangkaian distribusi variasional diskrit telah dibangun) dengan rata-rata aritmatika tertimbang dihitung dengan menggunakan frekuensi atau frekuensi pengamatan terhadap nilai tertentu dari suatu karakteristik, yang bilangannya (k) signifikan angka yang lebih sedikit pengamatan (N) .
,
,
dimana k adalah banyaknya kelompok deret variasi,
i – nomor grup dari seri variasi.
Sejak , a , kita memperoleh rumus yang digunakan untuk perhitungan praktis:
Dan
Contoh. Mari kita hitung rata-rata masa kerja tim kerja dalam satu baris yang dikelompokkan.
a) menggunakan frekuensi:
b) menggunakan frekuensi:
Dalam hal data dikelompokkan berdasarkan interval
, yaitu disajikan dalam bentuk deret distribusi interval; ketika menghitung mean aritmatika, titik tengah interval diambil sebagai nilai atribut, berdasarkan asumsi keseragaman distribusi unit populasi pada interval tertentu. Perhitungannya dilakukan dengan menggunakan rumus:
Dan
di mana titik tengah intervalnya: ,
di mana dan adalah batas bawah dan atas interval (asalkan batas atas interval tertentu bertepatan dengan batas bawah interval berikutnya).
Contoh. Mari kita hitung mean aritmatika dari deret variasi interval yang dibangun berdasarkan hasil studi terhadap upah tahunan 30 pekerja (lihat kuliah “Ringkasan dan pengelompokan data statistik”).
Tabel 1 – Distribusi deret variasi interval.
Interval, UAH |
Frekuensi, kawan |
Frekuensi, |
Pertengahan interval |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH atau 
UAH
Rata-rata aritmatika yang dihitung berdasarkan data awal dan rangkaian variasi interval mungkin tidak bertepatan karena distribusi nilai atribut yang tidak merata dalam interval tersebut. Dalam hal ini, untuk perhitungan rata-rata aritmatika tertimbang yang lebih akurat, kita tidak boleh menggunakan titik tengah interval, tetapi rata-rata aritmatika sederhana yang dihitung untuk setiap kelompok ( rata-rata kelompok). Rata-rata yang dihitung dari kelompok berarti menggunakan rumus perhitungan tertimbang disebut Rata-rata umum.
Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah sifat.
1. Jumlah deviasi dari rata-rata varian adalah nol:
.
2. Jika semua nilai opsi bertambah atau berkurang sebesar A, maka nilai rata-rata bertambah atau berkurang sebesar A: 
3. Jika setiap pilihan ditambah atau dikurangi sebanyak B kali, maka nilai rata-ratanya juga akan bertambah atau berkurang dengan jumlah yang sama:
atau 
4. Jumlah perkalian opsi dengan frekuensi sama dengan perkalian nilai rata-rata dengan jumlah frekuensi: 
5. Jika semua frekuensi dibagi atau dikalikan dengan bilangan apa pun, maka mean aritmatika tidak akan berubah: 
6) jika dalam semua interval frekuensinya sama, maka rata-rata aritmatika tertimbang sama dengan rata-rata aritmatika sederhana: 
,
dimana k adalah banyaknya kelompok deret variasi.
Penggunaan properti rata-rata memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungannya.
Misalkan semua pilihan (x) dikurangi terlebih dahulu dengan bilangan A yang sama, kemudian dikurangi dengan faktor B. Penyederhanaan terbesar dicapai jika nilai tengah interval dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai A, dan nilai interval (untuk rangkaian dengan interval identik) dipilih sebagai B. Besaran A disebut titik asal, sehingga cara menghitung rata-rata ini disebut jalan B referensi ohm dari nol bersyarat atau cara momen.
Setelah transformasi seperti itu, kita memperoleh deret distribusi variasional baru, yang variannya sama dengan . Rata-rata aritmatika mereka, disebut momen pesanan pertama, dinyatakan dengan rumus dan, menurut sifat kedua dan ketiga, mean aritmatika sama dengan mean versi aslinya, pertama-tama dikurangi A, dan kemudian B kali, yaitu.
Untuk mendapatkan rata-rata nyata(rata-rata deret aslinya) Anda perlu mengalikan momen orde pertama dengan B dan menambahkan A: 
Perhitungan mean aritmatika dengan menggunakan metode momen diilustrasikan oleh data pada Tabel. 2.
Tabel 2 – Distribusi pekerja bengkel pabrik berdasarkan masa kerja
Masa kerja karyawan, tahun |
Jumlah pekerja |
Interval tengah |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Menemukan momen orde pertama 
. Kemudian diketahui A = 17,5 dan B = 5, kita hitung rata-rata masa kerja pekerja bengkel:
bertahun-tahun
Arti harmonik
Seperti yang ditunjukkan di atas, mean aritmatika digunakan untuk menghitung nilai rata-rata suatu karakteristik jika variannya x dan frekuensinya f diketahui.
Jika informasi statistik tidak memuat frekuensi f untuk varian individu x dari populasi, tetapi disajikan sebagai produknya, maka rumus tersebut diterapkan rata-rata harmonik tertimbang. Untuk menghitung rata-rata, mari kita nyatakan dimana . Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus rata-rata tertimbang aritmatika, kita memperoleh rumus rata-rata tertimbang harmonik: 
,
dimana adalah volume (berat) nilai atribut indikator pada interval bernomor i (i=1,2, …, k).
Jadi, mean harmonik digunakan dalam kasus di mana bukan pilihan itu sendiri yang harus dijumlahkan, tetapi kebalikannya: 
.
Dalam kasus di mana bobot setiap opsi sama dengan satu, mis. nilai individu dari karakteristik terbalik muncul satu kali, diterapkan berarti harmonik sederhana:
,
dimana varian individu dari karakteristik invers, muncul satu kali;
N – opsi nomor.
Jika terdapat rata-rata harmonis pada dua bagian suatu populasi, maka rata-rata keseluruhan seluruh populasi dihitung dengan menggunakan rumus: 
dan dipanggil rata-rata harmonik tertimbang dari rata-rata kelompok.
Contoh. Selama perdagangan pertukaran mata uang, tiga transaksi diselesaikan dalam satu jam pertama operasi. Data jumlah penjualan hryvnia dan nilai tukar hryvnia terhadap dolar AS diberikan dalam tabel. 3 (kolom 2 dan 3). Tentukan nilai tukar rata-rata hryvnia terhadap dolar AS pada jam pertama perdagangan.
Tabel 3 – Data perkembangan perdagangan valuta asing
Nilai tukar rata-rata dolar ditentukan oleh rasio jumlah hryvnia yang dijual selama semua transaksi dengan jumlah dolar yang diperoleh dari transaksi yang sama. Jumlah akhir penjualan hryvnia diketahui dari kolom 2 tabel, dan jumlah dolar yang dibeli dalam setiap transaksi ditentukan dengan membagi jumlah penjualan hryvnia dengan nilai tukarnya (kolom 4). Sebanyak $22 juta dibeli dalam tiga transaksi. Artinya, nilai tukar rata-rata hryvnia untuk satu dolar adalah 
.
Nilai yang dihasilkan adalah nyata, karena menggantinya dengan nilai tukar hryvnia aktual dalam transaksi tidak akan mengubah jumlah akhir penjualan hryvnia, yang berfungsi sebagai indikator penentu: juta UAH
Jika rata-rata aritmatika digunakan untuk perhitungan, mis. 
hryvnia, lalu dengan nilai tukar pembelian 22 juta dolar. perlu mengeluarkan 110,66 juta UAH, itu tidak benar.
Rata-rata geometris
Rata-rata geometrik digunakan untuk menganalisis dinamika fenomena dan memungkinkan seseorang menentukan koefisien pertumbuhan rata-rata. Saat menghitung rata-rata geometrik, nilai individu suatu karakteristik merupakan indikator relatif dinamika, yang dibangun dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio setiap tingkat dengan tingkat sebelumnya.
Rata-rata geometri sederhana dihitung dengan menggunakan rumus: 
,
dimana tanda produknya,
N – jumlah nilai rata-rata.
Contoh. Jumlah kejahatan yang terdaftar selama 4 tahun meningkat 1,57 kali, termasuk kejahatan ke-1 – 1,08 kali, ke-2 – 1,1 kali, ke-3 – 1,18, dan ke-4 – 1,12 kali. Maka rata-rata tingkat pertumbuhan tahunan jumlah kejahatan adalah: , yaitu. jumlah kejahatan yang terdaftar tumbuh rata-rata 12% setiap tahunnya.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Untuk menghitung kuadrat rata-rata tertimbang, kita tentukan dan masukkan ke dalam tabel dan . Maka simpangan rata-rata panjang produk dari norma yang diberikan adalah: 
Rata-rata aritmatika dalam pada kasus ini akan tidak cocok, karena sebagai hasilnya kita akan mendapatkan nol deviasi.
Penggunaan mean square akan dibahas lebih lanjut dalam hal variasi.
Bentuk indikator statistik yang paling umum digunakan dalam penelitian sosial ekonomi adalah nilai rata-rata, yang merupakan karakteristik kuantitatif umum dari suatu karakteristik suatu populasi statistik. Nilai rata-rata seolah-olah merupakan “perwakilan” dari seluruh rangkaian pengamatan. Dalam banyak kasus, rata-rata dapat ditentukan melalui rasio rata-rata awal (ARR) atau rumus logikanya: . Jadi, misalnya, untuk menghitung gaji rata-rata karyawan suatu perusahaan, total dana upah perlu dibagi dengan jumlah karyawan: Pembilang rasio awal rata-rata adalah indikator penentunya. Untuk upah rata-rata, indikator penentunya adalah dana upah. Untuk setiap indikator yang digunakan dalam analisis sosial-ekonomi, hanya satu rasio awal yang sebenarnya yang dapat disusun untuk menghitung rata-ratanya. Perlu juga ditambahkan bahwa untuk memperkirakan deviasi standar dengan lebih akurat untuk sampel kecil (dengan jumlah elemen kurang dari 30), ekspresi di bawah akar tidak boleh digunakan dalam penyebut. N, A N- 1.
Konsep dan jenis rata-rata
Nilai rata-rata- ini adalah indikator umum populasi statistik yang menghilangkan perbedaan individu dalam nilai besaran statistik, memungkinkan Anda membandingkan populasi yang berbeda satu sama lain. Ada 2 kelas nilai rata-rata: kekuasaan dan struktural. Rata-rata struktural meliputi mode Dan median , tetapi paling sering digunakan rata-rata dayaberbagai jenis.Rata-rata kekuatan
Rata-rata kekuatan bisa jadi sederhana Dan tertimbang.
Rata-rata sederhana dihitung bila terdapat dua atau lebih nilai statistik yang tidak dikelompokkan, disusun secara acak menurut berikut ini rumus umum hukum pangkat rata-rata (untuk nilai k (m) yang berbeda):
Rata-rata tertimbang dihitung dari statistik yang dikelompokkan dengan menggunakan rumus umum berikut:
Dimana x - nilai rata-rata dari fenomena yang diteliti; xi – varian ke-i dari karakteristik rata-rata;
f i – bobot opsi ke-i.
Dimana X adalah nilai nilai statistik individu atau titik tengah interval pengelompokan;
m adalah eksponen, yang nilainya menentukan jenis rata-rata pangkat berikut:
ketika m = -1 mean harmonik;
pada m = 0 rata-rata geometri;
dengan m = 1 mean aritmatika;
ketika m = 2 akar rata-rata kuadrat;
pada m = 3 rata-ratanya adalah kubik.
Dengan menggunakan rumus umum rata-rata sederhana dan tertimbang untuk eksponen m yang berbeda, kita memperoleh rumus khusus dari setiap jenis, yang akan dibahas secara rinci di bawah.
Rata-rata aritmatika
Rata-rata aritmatika – momen awal orde pertama, ekspektasi matematis dari nilai variabel acak dengan sejumlah besar tes;
Rata-rata aritmatika adalah nilai rata-rata yang paling umum digunakan, yang diperoleh dengan mensubstitusikan m=1 ke dalam rumus umum. Rata-rata aritmatika sederhana memiliki bentuk berikut:
atau 
Dimana X adalah nilai besaran yang harus dihitung nilai rata-ratanya; N- total nilai X (jumlah unit dalam populasi yang diteliti).
Misalnya, seorang siswa lulus 4 ujian dan mendapat nilai sebagai berikut: 3, 4, 4 dan 5. Mari kita hitung nilai rata-rata menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Rata-rata aritmatika tertimbang memiliki bentuk berikut:
Dimana f adalah banyaknya besaran yang mempunyai nilai X (frekuensi) yang sama. >Misalnya, seorang siswa lulus 4 ujian dan mendapat nilai sebagai berikut: 3, 4, 4 dan 5. Mari kita hitung nilai rata-rata menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 . Jika nilai X ditentukan sebagai interval, maka titik tengah interval X digunakan untuk perhitungan, yang didefinisikan sebagai setengah jumlah batas atas dan bawah interval. Dan jika interval X tidak mempunyai batas bawah atau batas atas (interval terbuka), maka untuk mencarinya gunakan range (selisih batas atas dan batas bawah) dari interval X yang berdekatan. Misalnya, suatu perusahaan memiliki 10 karyawan dengan pengalaman hingga 3 tahun, 20 karyawan dengan pengalaman 3 hingga 5 tahun, 5 karyawan dengan pengalaman lebih dari 5 tahun. Kemudian kita menghitung rata-rata masa kerja pegawai dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang, dengan mengambil X titik tengah masa kerja (2, 4 dan 6 tahun): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 tahun.
fungsi RATA-RATA
Fungsi ini menghitung rata-rata (aritmatika) argumennya.
RATA-RATA(angka1; angka2; ...)
Angka1, angka2, ... terdiri dari 1 hingga 30 argumen yang rata-ratanya dihitung.
Argumen harus berupa angka atau nama, array, atau referensi yang berisi angka. Jika argumen, yang berupa array atau referensi, berisi teks, boolean, atau sel kosong, maka nilai tersebut akan diabaikan; namun, sel yang berisi nilai nol akan dihitung.
fungsi RATA-RATA
Menghitung mean aritmatika dari nilai yang diberikan dalam daftar argumen. Selain angka, perhitungannya dapat mencakup teks dan nilai logika, seperti TRUE dan FALSE.
RATA-RATA(nilai1,nilai2,...)
Nilai1, nilai2,... adalah 1 hingga 30 sel, rentang sel, atau nilai yang rata-ratanya dihitung.
Argumen harus berupa angka, nama, array, atau referensi. Array dan link yang berisi teks diartikan 0 (nol). Teks kosong (“”) diartikan 0 (nol). Argumen yang mengandung nilai TRUE diartikan 1, Argumen yang mengandung nilai FALSE diartikan 0 (nol).
Rata-rata aritmatika paling sering digunakan, namun ada kalanya jenis rata-rata lain perlu digunakan. Mari kita pertimbangkan kasus-kasus seperti itu lebih jauh.
Arti harmonik
Harmonik mean untuk menentukan jumlah rata-rata timbal balik;
Arti harmonik digunakan ketika data awal tidak berisi frekuensi f untuk nilai X individual, tetapi disajikan sebagai produknya Xf. Setelah menetapkan Xf=w, kita menyatakan f=w/X, dan, dengan mensubstitusikan notasi-notasi ini ke dalam rumus rata-rata tertimbang aritmatika, kita memperoleh rumus rata-rata tertimbang harmonik:
Jadi, rata-rata harmonik tertimbang digunakan ketika frekuensi f tidak diketahui dan w=Xf diketahui. Dalam kasus di mana semua w = 1, yaitu nilai individual X muncul satu kali, rumus prima harmonik rata-rata diterapkan: 
atau 
Misalnya, sebuah mobil melaju dari titik A ke titik B dengan kecepatan 90 km/jam, dan kembali dengan kecepatan 110 km/jam. Untuk menentukan kelajuan rata-rata kita terapkan rumus rata-rata harmonik sederhana, karena pada contoh diberikan jarak w 1 =w 2 (jarak dari titik A ke titik B sama dengan dari B ke A), yaitu sama dengan hasil kali kecepatan (X) dan waktu ( f). Kecepatan rata-rata = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/jam.
Fungsi SRGARM
Mengembalikan rata-rata harmonik kumpulan data. Rata-rata harmonik adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika dari kebalikannya.
SRGARM(nomor1,nomor2, ...)
Angka1, angka2, ... terdiri dari 1 hingga 30 argumen yang rata-ratanya dihitung. Anda dapat menggunakan array atau referensi array alih-alih argumen yang dipisahkan titik koma.
Rata-rata harmonik selalu lebih kecil dari rata-rata geometri, dan selalu lebih kecil dari rata-rata aritmatika.
Rata-rata geometris
Rata-rata geometris untuk memperkirakan tingkat pertumbuhan rata-rata variabel acak, mencari nilai suatu karakteristik yang berjarak sama dari nilai minimum dan maksimum;
Rata-rata geometris digunakan dalam menentukan perubahan relatif rata-rata. Nilai rata-rata geometri memberikan hasil rata-rata yang paling akurat jika tugasnya adalah mencari nilai X yang berjarak sama dari nilai maksimum dan maksimum. nilai minimum X. Misalnya antara tahun 2005 dan 2008indeks inflasi di Rusia adalah: pada tahun 2005 - 1,109; pada tahun 2006 - 1.090; pada tahun 2007 - 1.119; pada tahun 2008 - 1.133. Karena indeks inflasi merupakan perubahan relatif (indeks dinamis), maka nilai rata-rata harus dihitung dengan menggunakan mean geometrik: (1.109*1.090*1.119*1.133)^(1/4) = 1.1126, yaitu untuk periode tahun 2005 hingga tahun 2008 setiap tahunnya harga tumbuh rata-rata sebesar 11,26%. Kesalahan perhitungan dengan menggunakan mean aritmatika akan memberikan hasil yang salah sebesar 11,28%.fungsi SRGEOM
Mengembalikan rata-rata geometrik array atau interval angka positif. Misalnya, fungsi SRGEOM dapat digunakan untuk menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata jika pendapatan majemuk dengan tingkat variabel ditentukan.
SRGEOM (nomor1; nomor2; ...)
Angka1, angka2, ... adalah argumen dari 1 hingga 30 yang rata-rata geometrinya dihitung. Anda dapat menggunakan array atau referensi array alih-alih argumen yang dipisahkan titik koma.
Berarti persegi
Mean square – momen awal orde kedua.
Berarti persegi digunakan dalam kasus di mana nilai awal X bisa positif dan negatif, misalnya saat menghitung deviasi rata-rata.
Penerapan utama mean kuadrat adalah untuk mengukur variasi nilai X. Rata-rata kubik
Kubik rata-rata adalah momen awal orde ketiga.
Rata-rata kubik sangat jarang digunakan, misalnya, ketika menghitung indeks kemiskinan untuk negara berkembang (TIN-1) dan untuk negara maju (TIN-2), yang diusulkan dan dihitung oleh PBB.
Dalam statistik, berbagai jenis rata-rata digunakan, yang dibagi menjadi dua kelas besar:
Sarana pangkat (rata-rata harmonik, rata-rata geometri, rata-rata aritmatika, rata-rata kuadrat, rata-rata kubik);
Sarana struktural (mode, median).
Menghitung rata-rata daya perlu menggunakan semua nilai karakteristik yang tersedia. Mode Dan median hanya ditentukan oleh struktur distribusinya, oleh karena itu disebut rata-rata struktural dan posisional. Median dan modus sering digunakan sebagai karakteristik rata-rata pada populasi yang tidak mungkin atau tidak dapat menghitung rata-rata daya.
Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika. Di bawah rata-rata aritmatika dipahami sebagai nilai suatu sifat yang dimiliki oleh setiap satuan populasi jika jumlah seluruh nilai suatu sifat itu tersebar secara merata kepada semua satuan populasi. Perhitungan nilai ini dilakukan dengan menjumlahkan semua nilai karakteristik yang bervariasi dan membagi jumlah yang dihasilkan dengan jumlah unit dalam populasi. Misalnya, lima pekerja memenuhi pesanan produksi suku cadang, sedangkan pekerja pertama membuat 5 suku cadang, pekerja kedua – 7, pekerja ketiga – 4, pekerja keempat – 10, pekerja kelima – 12. Karena dalam data awal nilai masing-masing opsi hanya terjadi sekali, untuk menentukan
Untuk menentukan output rata-rata seorang pekerja, kita harus menerapkan rumus rata-rata aritmatika sederhana:
yaitu dalam contoh kita, output rata-rata satu pekerja sama dengan
Seiring dengan mean aritmatika sederhana, mereka belajar rata-rata aritmatika tertimbang. Misalnya, mari kita hitung umur rata-rata siswa dalam kelompok yang terdiri dari 20 orang, yang usianya berkisar antara 18 sampai 22 tahun, dimana xi– varian karakteristik yang dirata-ratakan, fi– frekuensi, yang menunjukkan berapa kali hal itu terjadi saya-itu nilai agregat (Tabel 5.1).
Tabel 5.1
Usia rata-rata siswa
Dengan menerapkan rumus rata-rata aritmatika tertimbang, kita memperoleh:
Untuk memilih mean aritmatika tertimbang, ada aturan tertentu: jika terdapat rangkaian data pada dua indikator, yang salah satunya perlu dihitung
nilai rata-rata, dan sekaligus diketahui nilai numerik penyebut rumus logikanya, dan nilai pembilangnya tidak diketahui, tetapi dapat dicari sebagai hasil kali indikator-indikator tersebut, maka nilai rata-ratanya harus dihitung dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang.
Dalam beberapa kasus, sifat data statistik awal sedemikian rupa sehingga perhitungan rata-rata aritmatika kehilangan maknanya dan satu-satunya indikator generalisasi hanya dapat berupa nilai rata-rata jenis lain - rata-rata harmonik. Saat ini, sifat komputasi mean aritmatika telah kehilangan relevansinya dalam penghitungan indikator statistik umum karena meluasnya pengenalan teknologi komputasi elektronik. Nilai rata-rata harmonik, yang juga bisa sederhana dan berbobot, telah menjadi sangat penting secara praktis. Jika nilai numerik pembilang suatu rumus logika diketahui, dan nilai penyebutnya tidak diketahui, tetapi dapat dicari dengan membagi sebagian indikator yang satu dengan indikator yang lain, maka nilai rata-rata dihitung dengan menggunakan harmonik. rumus rata-rata tertimbang.
Misalnya, diketahui bahwa mobil menempuh 210 km pertama dengan kecepatan 70 km/jam, dan 150 km sisanya dengan kecepatan 75 km/jam. Tidak mungkin menentukan kecepatan rata-rata sebuah mobil sepanjang perjalanan 360 km dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika. Karena opsinya adalah kecepatan di masing-masing bagian xj= 70 km/jam dan X2= 75 km/jam, dan bobot (fi) dianggap sebagai bagian jalan yang bersesuaian, maka hasil kali pilihan dan bobot tidak mempunyai arti fisik maupun ekonomi. Dalam hal ini, hasil bagi memperoleh makna dengan membagi bagian-bagian jalan menjadi kecepatan-kecepatan yang sesuai (pilihan xi), yaitu waktu yang dihabiskan untuk melewati masing-masing bagian jalan (fi / xi). Jika bagian lintasan dilambangkan dengan fi, maka keseluruhan lintasan akan dinyatakan sebagai?fi, dan waktu yang dihabiskan pada keseluruhan lintasan akan dinyatakan sebagai?fi. fi / xi , Kemudian kecepatan rata-rata dapat dicari sebagai hasil bagi seluruh lintasan dibagi dengan total waktu yang dihabiskan:
Dalam contoh kita, kita mendapatkan:
Jika, saat menggunakan mean harmonik, bobot semua opsi (f) adalah sama, maka alih-alih menggunakan bobot, Anda dapat menggunakan rata-rata harmonik sederhana (tidak tertimbang):
dimana xi adalah pilihan individual; N– jumlah varian karakteristik yang dirata-ratakan. Dalam contoh kecepatan, mean harmonik sederhana dapat diterapkan jika segmen jalur yang dilalui pada kecepatan berbeda adalah sama.
Setiap nilai rata-rata harus dihitung sehingga ketika setiap varian dari karakteristik rata-rata diganti, nilai beberapa indikator umum akhir yang terkait dengan indikator rata-rata tidak berubah. Jadi, ketika mengganti kecepatan aktual pada masing-masing bagian rute dengan nilai rata-ratanya (kecepatan rata-rata), jarak total tidak boleh berubah.
Bentuk (rumus) nilai rata-rata ditentukan oleh sifat (mekanisme) hubungan indikator akhir ini dengan rata-rata, oleh karena itu indikator akhir yang nilainya tidak boleh berubah ketika mengganti opsi dengan nilai rata-ratanya, adalah ditelepon indikator penentu. Untuk mendapatkan rumus rata-rata, Anda perlu membuat dan menyelesaikan persamaan menggunakan hubungan antara indikator rata-rata dan indikator penentu. Persamaan ini dibangun dengan mengganti varian karakteristik (indikator) yang dirata-ratakan dengan nilai rata-ratanya.
Selain mean aritmatika dan mean harmonik, jenis (bentuk) mean lainnya juga digunakan dalam statistik. Itu semua adalah kasus khusus rata-rata daya. Jika kita menghitung semua jenis rata-rata daya untuk data yang sama, maka nilainya
hasilnya akan sama, aturannya berlaku di sini sangat besar rata-rata. Ketika eksponen rata-rata meningkat, nilai rata-rata itu sendiri juga meningkat. Paling sering digunakan di penelitian praktis rumus untuk menghitung berbagai jenis rata-rata daya disajikan pada tabel. 5.2.
Tabel 5.2
Jenis-jenis kekuasaan artinya
Rata-rata geometrik digunakan jika ada N koefisien pertumbuhan, sedangkan nilai individual dari suatu karakteristik, pada umumnya, adalah nilai dinamika relatif, yang dikonstruksikan dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio terhadap level sebelumnya dari setiap level dalam deret dinamika. Dengan demikian, rata-rata mencirikan tingkat pertumbuhan rata-rata. Rata-rata geometris sederhana dihitung dengan rumus
Rumus rata-rata geometri tertimbang memiliki bentuk berikut:
Rumus di atas identik, tetapi rumus yang satu berlaku untuk koefisien atau tingkat pertumbuhan saat ini, dan rumus yang kedua berlaku untuk nilai absolut tingkat deret.
Berarti persegi digunakan dalam perhitungan dengan nilai fungsi kuadrat, digunakan untuk mengukur derajat fluktuasi nilai individu suatu karakteristik di sekitar mean aritmatika dalam deret distribusi dan dihitung dengan rumus
Rata-rata tertimbang persegi dihitung menggunakan rumus lain:
Rata-rata kubik digunakan dalam perhitungan dengan nilai fungsi kubik dan dihitung menggunakan rumus
rata-rata tertimbang kubik:
Semua nilai rata-rata yang dibahas di atas dapat direpresentasikan sebagai rumus umum:
dimana nilai rata-ratanya; – makna individu; N– jumlah unit populasi yang diteliti; k– eksponen yang menentukan jenis rata-rata.
Bila menggunakan sumber data yang sama, semakin banyak k pada rumus rata-rata daya umum, semakin besar nilai rata-ratanya. Oleh karena itu, terdapat hubungan alami antara nilai rata-rata daya:
Nilai rata-rata yang dijelaskan di atas memberikan gambaran umum tentang populasi yang diteliti, dan dari sudut pandang ini, signifikansi teoretis, terapan, dan pendidikannya tidak dapat disangkal. Tetapi kebetulan nilai rata-ratanya tidak sesuai dengan nilai riilnya pilihan yang ada, oleh karena itu, selain rata-rata yang dipertimbangkan, dalam analisis statistik disarankan untuk menggunakan nilai opsi tertentu yang menempati posisi tertentu dalam rangkaian nilai atribut yang diurutkan (diperingkat). Di antara besaran-besaran tersebut, yang paling umum digunakan adalah struktural, atau deskriptif, rata-rata– modus (Mo) dan median (Saya).
Mode– nilai suatu karakteristik yang paling sering ditemukan pada suatu populasi tertentu. Sehubungan dengan deret variasi, modus adalah nilai yang paling sering muncul dari deret rangking, yaitu opsi dengan frekuensi tertinggi. Fashion dapat digunakan dalam menentukan toko yang paling sering dikunjungi, harga paling umum untuk suatu produk. Ini menunjukkan ukuran suatu fitur yang merupakan karakteristik sebagian besar populasi dan ditentukan oleh rumus
dimana x0 adalah batas bawah interval; H– ukuran interval; fm– frekuensi interval; fm_ 1 – frekuensi interval sebelumnya; fm+ 1 – frekuensi interval berikutnya.
median opsi yang terletak di tengah baris peringkat disebut. Median membagi deret tersebut menjadi dua bagian yang sama sehingga terdapat jumlah unit populasi yang sama di kedua sisinya. Dalam hal ini, separuh unit dalam populasi mempunyai nilai karakteristik bervariasi yang lebih kecil dari median, sedangkan separuh lainnya mempunyai nilai lebih besar dari median tersebut. Median digunakan ketika mempelajari suatu elemen yang nilainya lebih besar atau sama dengan, atau sekaligus kurang dari atau sama dengan, setengah elemen suatu deret distribusi. Median memberi Ide umum tentang di mana nilai-nilai atribut terkonsentrasi, dengan kata lain, di mana pusatnya berada.
Sifat deskriptif median dimanifestasikan dalam kenyataan bahwa ia mencirikan batas kuantitatif nilai-nilai karakteristik yang bervariasi yang dimiliki oleh setengah unit populasi. Masalah mencari median deret variasi diskrit dapat diselesaikan dengan mudah. Jika semua satuan deret tersebut diberikan nomor serial, maka bilangan urut pilihan median didefinisikan sebagai (n +1) / 2 dengan jumlah suku ganjil n. Jika banyaknya anggota deret tersebut bilangan genap, maka mediannya adalah nilai rata-rata dua pilihan yang memiliki nomor urut N/ 2 dan N/ 2 + 1.
Saat menentukan median dalam deret variasi interval, tentukan dulu interval tempatnya berada (interval median). Interval ini dicirikan oleh fakta bahwa jumlah akumulasi frekuensinya sama dengan atau melebihi setengah jumlah seluruh frekuensi rangkaian. Median deret variasi interval dihitung menggunakan rumus
Di mana X0– batas bawah interval; H– ukuran interval; fm– frekuensi interval; F– jumlah anggota seri;
M -1 – jumlah akumulasi suku-suku deret yang mendahului deret tertentu.
Seiring dengan median untuk informasi lebih lanjut karakteristik penuh struktur populasi yang diteliti juga menggunakan nilai-nilai pilihan lain yang menempati posisi yang sangat pasti dalam rangkaian peringkat. Ini termasuk kuartil Dan desil. Kuartil membagi deret dengan jumlah frekuensi menjadi 4 bagian yang sama, dan desil - menjadi 10 bagian yang sama. Ada tiga kuartil dan sembilan desil.
Median dan modus, tidak seperti mean aritmatika, tidak saling hapus perbedaan individu dalam nilai-nilai karakteristik yang bervariasi dan oleh karena itu merupakan karakteristik tambahan dan sangat penting dari populasi statistik. Dalam praktiknya, mereka sering digunakan sebagai pengganti rata-rata atau bersamaan dengan itu. Sangat disarankan untuk menghitung median dan modus jika populasi yang diteliti berisi sejumlah unit tertentu dengan nilai karakteristik yang bervariasi yang sangat besar atau sangat kecil. Nilai-nilai pilihan ini, yang tidak terlalu khas dari populasi, meskipun mempengaruhi nilai mean aritmatika, tidak mempengaruhi nilai median dan modus, yang menjadikan nilai median dan modus sebagai indikator yang sangat berharga bagi ekonomi dan statistik. analisis.
Dalam matematika, rata-rata aritmatika suatu bilangan (atau rata-rata saja) adalah jumlah semua bilangan dalam suatu himpunan dibagi dengan jumlah bilangan tersebut. Ini adalah konsep nilai rata-rata yang paling umum dan tersebar luas. Seperti yang sudah Anda pahami, untuk mencari rata-rata, Anda perlu menjumlahkan semua angka yang diberikan kepada Anda, dan membagi hasilnya dengan jumlah suku.
Apa arti aritmatika?
Mari kita lihat sebuah contoh.
Contoh 1. Angka yang diberikan: 6, 7, 11. Anda perlu mencari nilai rata-ratanya.
Larutan.
Pertama, mari kita cari jumlah semua bilangan ini.
Sekarang bagilah jumlah yang dihasilkan dengan jumlah suku. Karena kita mempunyai tiga suku, maka kita akan membaginya dengan tiga.
Jadi rata-rata bilangan 6, 7 dan 11 adalah 8. Mengapa 8? Ya, karena jumlah 6, 7, dan 11 sama dengan tiga angka delapan. Hal ini terlihat jelas pada ilustrasi.
Rata-ratanya seperti “malam hari” serangkaian angka. Seperti yang Anda lihat, tumpukan pensil menjadi rata.
Mari kita lihat contoh lain untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh.
Contoh 2. Bilangan yang diberikan: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Anda perlu mencari mean aritmatikanya.
Larutan.
Temukan jumlahnya.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Bagilah dengan jumlah suku (dalam hal ini - 15).
Jadi, nilai rata-rata rangkaian angka tersebut adalah 22.
Sekarang mari kita lihat angka negatif. Mari kita ingat bagaimana meringkasnya. Misalnya, Anda memiliki dua angka 1 dan -4. Mari kita cari jumlah mereka.
1 + (-4) = 1 – 4 = -3
Mengetahui hal ini, mari kita lihat contoh lainnya.
Contoh 3. Temukan nilai rata-rata dari serangkaian angka: 3, -7, 5, 13, -2.
Larutan.
Temukan jumlah angka.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Karena ada 5 suku, maka hasilnya dibagi 5.
Jadi, mean aritmatika dari bilangan 3, -7, 5, 13, -2 adalah 2,4.
Di zaman kemajuan teknologi kita, jauh lebih mudah digunakan untuk mencari nilai rata-rata program komputer. Microsoft Office Excel adalah salah satunya. Menemukan rata-rata di Excel cepat dan mudah. Apalagi program ini termasuk dalam paket perangkat lunak Microsoft Office. Mari kita pertimbangkan instruksi singkat, cara mencari mean aritmatika menggunakan program ini.
Untuk menghitung nilai rata-rata suatu rangkaian angka, Anda harus menggunakan fungsi AVERAGE. Sintaks untuk fungsi ini adalah:
= Rata-rata(argumen1, argumen2, ...argumen255)
di mana argument1, argument2, ... argument255 adalah angka atau referensi sel (yang kami maksud dengan sel adalah rentang dan array).
Agar lebih jelas mari kita coba ilmu yang sudah kita peroleh.
- Masukkan angka 11, 12, 13, 14, 15, 16 pada sel C1 – C6.
- Pilih sel C7 dengan mengkliknya. Di sel ini kami akan menampilkan nilai rata-rata.
- Klik pada tab Rumus.
- Pilih Fungsi Lainnya > Statistik untuk membuka daftar drop-down.
- Pilih RATA-RATA. Setelah ini, kotak dialog akan terbuka.
- Pilih dan seret sel C1 hingga C6 ke sana untuk mengatur rentang di kotak dialog.
- Konfirmasikan tindakan Anda dengan tombol "OK".
- Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, Anda akan mendapatkan jawabannya di sel C7 - 13.7. Saat Anda mengklik sel C7, fungsi (=Rata-rata(C1:C6)) akan muncul di bilah rumus.
Fitur ini sangat berguna untuk akuntansi, invoice, atau ketika Anda hanya perlu mencari rata-rata dari serangkaian angka yang sangat panjang. Oleh karena itu sering digunakan di perkantoran dan perusahaan besar. Hal ini memungkinkan Anda untuk menyimpan catatan Anda secara teratur dan memungkinkan Anda menghitung sesuatu dengan cepat (misalnya, pendapatan bulanan rata-rata). Anda juga dapat menggunakan Excel untuk mencari nilai rata-rata suatu fungsi.
Rata-rata
Istilah ini memiliki arti lain, lihat arti rata-rata.Rata-rata(dalam matematika dan statistik) kumpulan angka - jumlah semua angka dibagi dengan jumlahnya. Ini adalah salah satu ukuran tendensi sentral yang paling umum.
Ini diusulkan (bersama dengan mean geometrik dan mean harmonik) oleh Pythagoras.
Kasus khusus dari mean aritmatika adalah mean (populasi umum) dan mean sampel (sampel).
Perkenalan
Mari kita nyatakan kumpulan data X = (X 1 , X 2 , …, X N), maka mean sampel biasanya ditunjukkan dengan garis horizontal di atas variabel (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), diucapkan " X dengan garis").
Huruf Yunani μ digunakan untuk menunjukkan rata-rata aritmatika seluruh populasi. Untuk variabel acak yang nilai rata-ratanya ditentukan, μ adalah rata-rata probabilistik atau ekspektasi matematis dari variabel acak. Jika set X adalah koleksi nomor acak dengan rata-rata probabilistik μ, maka untuk sampel apa pun X Saya dari himpunan ini μ = E( X Saya) adalah ekspektasi matematis dari sampel ini.
Dalam praktiknya, perbedaan antara μ dan x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) adalah bahwa μ adalah variabel biasa karena Anda dapat melihat sampel, bukan seluruh populasi. Oleh karena itu, jika sampel direpresentasikan secara acak (dalam teori probabilitas), maka x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (tetapi bukan μ) dapat diperlakukan sebagai variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas pada sampel ( distribusi probabilitas mean).
Kedua besaran ini dihitung dengan cara yang sama:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ctitik +x_(n)).)
Jika X adalah variabel acak, maka ekspektasi matematisnya X dapat dianggap sebagai nilai rata-rata aritmatika dalam pengukuran berulang suatu besaran X. Ini merupakan perwujudan dari hukum bilangan besar. Oleh karena itu, mean sampel digunakan untuk memperkirakan nilai ekspektasi yang tidak diketahui.
Telah dibuktikan dalam aljabar dasar bahwa mean N+ 1 angka di atas rata-rata N bilangan jika dan hanya jika bilangan baru lebih besar dari rata-rata lama, lebih kecil jika dan hanya jika bilangan baru lebih kecil dari rata-rata, dan tidak berubah jika dan hanya jika bilangan baru sama dengan rata-rata. Lebih N, semakin kecil perbedaan antara rata-rata baru dan rata-rata lama.
Perhatikan bahwa ada beberapa "rata-rata" lain yang tersedia, termasuk rata-rata pangkat, rata-rata Kolmogorov, rata-rata harmonik, rata-rata aritmatika-geometris, dan berbagai rata-rata tertimbang (misalnya, rata-rata aritmatika tertimbang, rata-rata geometri tertimbang, rata-rata harmonik tertimbang).
Contoh
- Untuk tiga angka, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya dengan 3:
- Untuk empat angka, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya dengan 4:
Atau lebih sederhananya 5+5=10, 10:2. Karena kita menjumlahkan 2 angka, artinya berapa angka yang kita jumlahkan, kita bagi dengan banyaknya itu.
Variabel acak kontinu
Untuk besaran yang terdistribusi kontinu f (x) (\displaystyle f(x)), mean aritmatika pada interval [ a ; b ] (\displaystyle ) ditentukan melalui integral tertentu:
F (x) ¯ [ sebuah ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Beberapa masalah menggunakan rata-rata
Kurangnya ketahanan
Artikel utama: Kekokohan dalam statistikMeskipun rata-rata aritmatika sering digunakan sebagai rata-rata atau kecenderungan sentral, konsep ini bukanlah statistik yang kuat, artinya rata-rata aritmatika sangat dipengaruhi oleh "deviasi yang besar". Patut dicatat bahwa untuk distribusi dengan koefisien skewness yang besar, mean aritmatika mungkin tidak sesuai dengan konsep “mean”, dan nilai mean dari statistik yang kuat (misalnya, median) mungkin lebih menggambarkan pusatnya. kecenderungan.
Contoh klasiknya adalah menghitung pendapatan rata-rata. Rata-rata aritmatika dapat disalahartikan sebagai median, yang mungkin mengarah pada kesimpulan bahwa terdapat lebih banyak orang dengan pendapatan lebih tinggi daripada jumlah sebenarnya. Pendapatan “rata-rata” diartikan bahwa kebanyakan orang mempunyai pendapatan di sekitar angka tersebut. Pendapatan “rata-rata” (dalam arti rata-rata aritmatika) ini lebih tinggi daripada pendapatan kebanyakan orang, karena pendapatan yang tinggi dengan deviasi yang besar dari rata-rata membuat rata-rata aritmatika menjadi sangat miring (sebaliknya, pendapatan rata-rata pada median) “menolak” kemiringan tersebut). Namun, pendapatan "rata-rata" ini tidak menjelaskan apa pun tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan median (dan tidak menjelaskan apa pun tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan modal). Namun, jika Anda menganggap enteng konsep “rata-rata” dan “kebanyakan orang”, Anda dapat menarik kesimpulan yang salah bahwa sebagian besar orang memiliki pendapatan lebih tinggi dari yang sebenarnya. Misalnya, laporan tentang pendapatan bersih "rata-rata" di Medina, Washington, dihitung sebagai rata-rata aritmatika dari seluruh pendapatan tahunan. pendapatan bersih warga akan memberikan kejutan jumlah yang besar karena Bill Gates. Perhatikan sampel (1, 2, 2, 2, 3, 9). Rata-rata aritmatikanya adalah 3,17, tetapi lima dari enam nilai berada di bawah rata-rata ini.
Bunga majemuk
Artikel utama: Pengembalian InvestasiJika angkanya berkembang biak, tapi tidak melipat, Anda perlu menggunakan mean geometrik, bukan mean aritmatika. Paling sering kejadian ini terjadi ketika menghitung laba atas investasi di bidang keuangan.
Misalnya, jika sebuah saham turun 10% di tahun pertama dan naik 30% di tahun kedua, maka menghitung kenaikan “rata-rata” selama dua tahun tersebut sebagai mean aritmatika (−10% + 30%) / 2 adalah salah. = 10%; rata-rata yang benar dalam hal ini diberikan oleh tingkat pertumbuhan tahunan gabungan, yang memberikan tingkat pertumbuhan tahunan hanya sekitar 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Alasannya adalah persentase memiliki titik awal yang baru setiap saat: 30% adalah 30% dari jumlah yang lebih kecil dari harga pada awal tahun pertama: jika sebuah saham dimulai pada $30 dan turun 10%, nilainya $27 pada awal tahun kedua. Jika sahamnya naik 30%, nilainya akan menjadi $35,1 pada akhir tahun kedua. Rata-rata aritmatika pertumbuhan ini adalah 10%, namun karena sahamnya hanya naik $5,1 dalam 2 tahun, tinggi rata-rata pada 8,2% memberikan hasil akhir $35,1:
[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Jika kita menggunakan rata-rata aritmatika 10% dengan cara yang sama, kita tidak akan mendapatkan nilai sebenarnya: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Bunga majemuk pada akhir 2 tahun: 90% * 130% = 117%, yaitu total kenaikan sebesar 17%, dan rata-rata bunga majemuk tahunan adalah 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\kira-kira 108,2\%) , yaitu peningkatan tahunan rata-rata sebesar 8,2%.
Petunjuk arah
Artikel utama: Statistik tujuanSaat menghitung mean aritmatika dari beberapa variabel yang berubah secara siklis (seperti fase atau sudut), perhatian khusus harus diberikan. Misalnya, rata-rata 1° dan 359° adalah 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Angka ini salah karena dua alasan.
- Pertama, ukuran sudut didefinisikan hanya untuk rentang dari 0° hingga 360° (atau dari 0 hingga 2π bila diukur dalam radian). Jadi pasangan bilangan yang sama dapat ditulis sebagai (1° dan −1°) atau sebagai (1° dan 719°). Nilai rata-rata setiap pasangan akan berbeda: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ lingkaran )).
- Kedua, dalam hal ini, nilai 0° (setara dengan 360°) akan menjadi nilai rata-rata yang lebih baik secara geometris, karena penyimpangan angka dari 0° lebih kecil dibandingkan nilai lainnya (nilai 0° memiliki varian terkecil). Membandingkan:
- angka 1° menyimpang dari 0° hanya sebesar 1°;
- angka 1° menyimpang dari rata-rata perhitungan 180° kali 179°.
Nilai rata-rata variabel siklik yang dihitung menggunakan rumus di atas akan digeser secara artifisial terhadap rata-rata riil ke arah tengah rentang numerik. Oleh karena itu, rata-rata dihitung dengan cara yang berbeda, yaitu angka yang variansinya paling kecil (titik pusat) dipilih sebagai nilai rata-rata. Selain itu, alih-alih melakukan pengurangan, digunakan jarak modular (yaitu jarak keliling). Misalnya, jarak modular antara 1° dan 359° adalah 2°, bukan 358° (pada lingkaran antara 359° dan 360°==0° - satu derajat, antara 0° dan 1° - juga 1°, totalnya - 2°).
Rata-rata tertimbang - apa itu dan bagaimana cara menghitungnya?
Dalam proses pembelajaran matematika, anak sekolah menjadi akrab dengan konsep mean aritmatika. Kemudian pada ilmu statistika dan beberapa ilmu lainnya, siswa dihadapkan pada perhitungan nilai rata-rata lainnya. Apa sajakah itu dan apa perbedaannya satu sama lain?
Rata-rata: makna dan perbedaan
Indikator yang akurat tidak selalu memberikan pemahaman terhadap situasi. Untuk menilai situasi tertentu, terkadang perlu menganalisis sejumlah besar angka. Dan kemudian rata-rata menjadi penyelamat. Mereka memungkinkan kita menilai situasi secara keseluruhan.
Sejak masa sekolah, banyak orang dewasa yang mengingat keberadaan mean aritmatika. Cara menghitungnya sangat sederhana - jumlah barisan n suku dibagi n. Artinya, jika Anda perlu menghitung mean aritmatika dalam barisan nilai 27, 22, 34 dan 37, maka Anda perlu menyelesaikan ekspresi (27+22+34+37)/4, karena 4 nilai digunakan dalam perhitungan. Dalam hal ini, nilai yang dibutuhkan adalah 30.
Rata-rata geometrik sering dipelajari sebagai bagian dari kursus sekolah. Perhitungan nilai yang diberikan didasarkan pada mengekstraksi akar ke-n dari hasil kali n-suku. Jika kita mengambil angka yang sama: 27, 22, 34 dan 37, maka hasil perhitungannya adalah 29,4.
Arti harmonik dalam sekolah Menengah biasanya bukan subjek studi. Namun, ini cukup sering digunakan. Nilai ini adalah kebalikan dari mean aritmatika dan dihitung sebagai hasil bagi n - jumlah nilai dan jumlah 1/a 1 +1/a 2 +...+1/an. Jika kita kembali mengambil rangkaian angka yang sama untuk perhitungan, maka harmoniknya adalah 29,6.
Rata-rata tertimbang: fitur
Namun, semua nilai di atas mungkin tidak digunakan di semua tempat. Misalnya, dalam statistik, ketika menghitung rata-rata tertentu, “bobot” setiap angka yang digunakan dalam penghitungan memainkan peran penting. Hasilnya lebih indikatif dan benar karena memperhitungkan lebih banyak informasi. Kelompok besaran ini umumnya disebut “rata-rata tertimbang”. Mereka tidak diajarkan di sekolah, jadi ada baiknya mempertimbangkannya lebih detail.
Pertama-tama, ada baiknya menjelaskan apa yang dimaksud dengan “bobot” suatu nilai tertentu. Cara termudah untuk menjelaskan hal ini adalah contoh spesifik. Dua kali sehari di rumah sakit suhu tubuh setiap pasien diukur. Dari 100 pasien di berbagai departemen rumah sakit, 44 pasien akan menderita penyakit ini suhu normal- 36,6 derajat. 30 lainnya akan mengalami peningkatan nilai - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, dan dua sisanya - 40. Dan jika kita mengambil rata-rata aritmatika, maka nilai ini secara umum untuk rumah sakit akan lebih dari 38 derajat! Tetapi hampir separuh pasien memiliki suhu normal. Dan di sini akan lebih tepat jika menggunakan rata-rata tertimbang, dan “bobot” dari setiap nilai adalah jumlah orang. Dalam hal ini, hasil perhitungannya adalah 37,25 derajat. Perbedaannya jelas.
Dalam hal perhitungan rata-rata tertimbang, “bobot” dapat diartikan sebagai jumlah pengiriman, jumlah orang yang bekerja pada hari tertentu, secara umum, segala sesuatu yang dapat diukur dan mempengaruhi hasil akhir.
Varietas
Rata-rata tertimbang berkaitan dengan mean aritmatika yang dibahas di awal artikel. Namun nilai pertama, sebagaimana telah disebutkan, juga memperhitungkan bobot setiap angka yang digunakan dalam perhitungan. Selain itu juga terdapat nilai geometri dan harmonik tertimbang.
Ada variasi menarik lainnya yang digunakan dalam deret angka. Ini adalah rata-rata pergerakan tertimbang. Atas dasar inilah tren dihitung. Selain nilai itu sendiri dan bobotnya, periodisitas juga digunakan di sana. Dan ketika menghitung nilai rata-rata pada titik waktu tertentu, nilai untuk periode waktu sebelumnya juga diperhitungkan.
Menghitung semua nilai ini tidaklah terlalu sulit, namun dalam praktiknya biasanya hanya digunakan rata-rata tertimbang biasa.
Metode perhitungan
Di era komputerisasi yang meluas, tidak perlu lagi menghitung rata-rata tertimbang secara manual. Namun ada baiknya mengetahui rumus perhitungannya agar Anda dapat memeriksa dan bila perlu menyesuaikan hasil yang diperoleh.
Cara termudah adalah dengan mempertimbangkan perhitungan menggunakan contoh spesifik.
Perlu diketahui berapa upah rata-rata pada perusahaan tertentu, dengan mempertimbangkan jumlah pekerja yang menerima gaji tertentu.
Jadi, rata-rata tertimbang dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+wn)
Misalnya perhitungannya seperti ini:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Jelasnya, tidak ada kesulitan khusus dalam menghitung rata-rata tertimbang secara manual. Rumus untuk menghitung nilai ini di salah satu aplikasi rumus terpopuler - Excel - terlihat seperti fungsi SUMPRODUK (rangkaian angka; rangkaian bobot) / SUM (rangkaian bobot).
Bagaimana cara mencari rata-rata di excel?
bagaimana cara mencari mean aritmatika di excel?
Vladimir09854
Mudah sekali. Untuk mencari rata-rata di excel, kamu hanya membutuhkan 3 sel saja. Yang pertama kita akan menulis satu nomor, yang kedua - yang lain. Dan di sel ketiga kita akan memasukkan rumus yang akan memberi kita nilai rata-rata antara dua angka dari sel pertama dan kedua. Jika sel nomor 1 disebut A1, sel nomor 2 disebut B1, maka di sel dengan rumus Anda perlu menulis ini:
Rumus ini menghitung mean aritmatika dari dua angka.
Untuk membuat perhitungan kita lebih indah, kita bisa menyorot sel dengan garis, dalam bentuk piring.
Fungsi untuk menentukan nilai rata-rata di excel sendiri juga ada, tapi saya pakai metode kuno dan masukkan rumus yang saya butuhkan. Jadi, saya yakin Excel akan menghitung persis seperti yang saya butuhkan, dan tidak akan menghasilkan pembulatan sendiri.
M3sergey
Ini sangat sederhana jika data sudah dimasukkan ke dalam sel. Jika Anda hanya tertarik pada suatu angka, cukup pilih rentang/rentang yang diinginkan, dan nilai jumlah dari angka-angka tersebut, rata-rata aritmatikanya, dan angkanya akan muncul di kanan bawah pada bilah status.
Anda dapat memilih sel kosong, klik pada segitiga (daftar drop-down) "JumlahOtomatis" dan pilih "Rata-rata" di sana, setelah itu Anda akan menyetujui rentang perhitungan yang diusulkan, atau pilih sendiri.
Terakhir, Anda dapat menggunakan rumus secara langsung dengan mengklik "Sisipkan Fungsi" di sebelah bilah rumus dan alamat sel. Fungsi AVERAGE terletak di kategori “Statistik”, dan mengambil argumen baik angka maupun referensi sel, dll. Di sana Anda juga dapat memilih opsi yang lebih kompleks, misalnya, AVERAGEIF - menghitung rata-rata sesuai dengan kondisi.
Temukan rata-rata di excel adalah tugas yang cukup sederhana. Di sini Anda perlu memahami apakah Anda ingin menggunakan nilai rata-rata ini dalam beberapa rumus atau tidak.
Jika Anda hanya perlu mendapatkan nilai, cukup pilih rentang angka yang diperlukan, setelah itu Excel akan secara otomatis menghitung nilai rata-rata - itu akan ditampilkan di bilah status, dengan judul "Rata-rata".
Jika Anda ingin menggunakan hasilnya dalam rumus, Anda dapat melakukan ini:
1) Jumlahkan sel menggunakan fungsi SUM dan bagi semuanya dengan banyaknya angka.
2 lagi pilihan yang benar- gunakan fungsi khusus yang disebut AVERAGE. Argumen fungsi ini dapat berupa angka yang ditentukan secara berurutan atau rentang angka.
Vladimir Tikhonov
Lingkari nilai yang akan ikut dalam perhitungan, klik tab “Rumus”, disana Anda akan melihat di sebelah kiri ada “JumlahOtomatis” dan di sebelahnya ada segitiga mengarah ke bawah. Klik pada segitiga ini dan pilih "Medium". Voila, selesai) di bagian bawah kolom Anda akan melihat nilai rata-rata :)
Ekaterina Mutalapova
Mari kita mulai dari awal dan berurutan. Apa arti rata-rata?
Mean adalah nilai yang merupakan mean aritmatika, yaitu. dihitung dengan menjumlahkan sekumpulan angka dan kemudian membagi seluruh jumlah angka dengan nomornya. Misal bilangan 2, 3, 6, 7, 2 hasilnya adalah 4 (jumlah bilangan 20 dibagi dengan bilangan 5)
Dalam spreadsheet Excel, bagi saya pribadi, cara termudah adalah menggunakan rumus = RATA-RATA. Untuk menghitung nilai rata-rata, Anda perlu memasukkan data ke dalam tabel, tulis fungsi =AVERAGE() di bawah kolom data, dan tunjukkan rentang angka dalam sel dalam tanda kurung, sorot kolom dengan data. Setelah itu, tekan ENTER, atau cukup klik kiri pada sel mana saja. Hasilnya muncul di sel di bawah kolom. Tampaknya dijelaskan secara tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya hanya dalam hitungan menit.
Petualang 2000
Excel adalah program yang bervariasi, jadi ada beberapa opsi yang memungkinkan Anda menemukan rata-rata:
Pilihan pertama. Anda cukup menjumlahkan semua sel dan membaginya dengan jumlahnya;
Pilihan kedua. Gunakan perintah khusus, tulis rumus “= RATA-RATA (dan di sini tunjukkan rentang sel)” di sel yang diperlukan;
Opsi ketiga. Jika Anda memilih rentang yang diperlukan, harap perhatikan bahwa halaman di bawah ini juga menampilkan nilai rata-rata dalam sel ini.
Jadi, ada banyak cara untuk mencari rata-rata, Anda hanya perlu memilih yang terbaik untuk Anda dan menggunakannya terus-menerus.
Di Excel, Anda bisa menggunakan fungsi AVERAGE untuk menghitung rata-rata aritmatika sederhana. Untuk melakukan ini, Anda perlu memasukkan sejumlah nilai. Tekan sama dengan dan pilih Statistik di Kategori, di antaranya pilih fungsi RATA-RATA
Selain itu, dengan menggunakan rumus statistik, Anda dapat menghitung rata-rata aritmatika tertimbang, yang dianggap lebih akurat. Untuk menghitungnya kita memerlukan nilai indikator dan frekuensinya.
Bagaimana cara menemukan rata-rata di Excel?
Inilah situasinya. Ada tabel berikut:
Kolom yang diberi warna merah berisi nilai numerik nilai mata pelajaran. Di kolom "Skor Rata-Rata", Anda perlu menghitung rata-ratanya.
Soalnya begini: totalnya ada 60-70 item dan ada yang ada di sheet lain.
Saya mencari di dokumen lain dan rata-rata sudah dihitung, dan di dalam sel ada rumus seperti
="nama lembar"!|E12
tapi ini dilakukan oleh beberapa programmer yang dipecat.
Tolong beritahu saya siapa yang memahami hal ini.
Hektor
Di baris fungsi, Anda memasukkan “AVERAGE” dari fungsi yang diusulkan dan memilih dari mana fungsi tersebut perlu dihitung (B6:N6) untuk Ivanov, misalnya. Saya tidak tahu pasti tentang lembar yang berdekatan, tapi mungkin itu terdapat dalam bantuan standar Windows
Beri tahu saya cara menghitung nilai rata-rata di Word
Tolong beri tahu saya cara menghitung nilai rata-rata di Word. Yakni nilai rata-rata dari rating, dan bukan jumlah orang yang menerima rating. 
Julia Pavlova
Word dapat melakukan banyak hal dengan makro. Tekan ALT+F11 dan tulis program makro..
Selain itu, Sisipkan-Objek... akan memungkinkan Anda menggunakan program lain, bahkan Excel, untuk membuat lembar dengan tabel di dalam dokumen Word.
Namun dalam kasus ini, Anda perlu menuliskan angka-angka Anda di kolom tabel, dan memasukkan rata-rata di sel bawah kolom yang sama, bukan?
Untuk melakukan ini, masukkan bidang ke sel bawah.
Sisipkan-Bidang... -Formula
Konten lapangan
[=RATA-RATA(DI ATAS)]
memberikan rata-rata jumlah sel di atas.
Jika Anda memilih suatu bidang dan mengklik tombol kanan mouse, Anda dapat Perbarui jika nomornya telah berubah,
melihat kode atau nilai suatu bidang, ubah kode langsung di bidang tersebut.
Jika terjadi kesalahan, hapus seluruh bidang di sel dan buat lagi.
RATA-RATA artinya rata-rata, DI ATAS - tentang, yaitu sejumlah sel yang terletak di atasnya.
Saya sendiri tidak mengetahui semua ini, tetapi saya dengan mudah menemukannya di HELP, tentu saja, dengan sedikit pemikiran.
Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika.
Rata-rata aritmatika sederhana
Rata-rata aritmatika sederhana adalah suku rata-rata, yang dalam menentukan volume total suatu atribut tertentu dalam data didistribusikan secara merata di antara semua unit yang termasuk dalam populasi tertentu. Jadi, rata-rata output tahunan per karyawan adalah jumlah output yang akan dihasilkan oleh setiap karyawan jika seluruh volume output didistribusikan secara merata kepada seluruh karyawan organisasi. Nilai rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan menggunakan rumus:
Contoh 1 . Sebuah tim yang terdiri dari 6 pekerja menerima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 ribu rubel per bulan.Rata-rata aritmatika sederhana— Sama dengan rasio jumlah nilai individu suatu karakteristik dengan jumlah karakteristik secara agregat
Temukan gaji rata-rata
Solusi: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 ribu rubel.
Rata-rata aritmatika tertimbang
Jika volume kumpulan data besar dan mewakili deret distribusi, maka rata-rata aritmatika tertimbang dihitung. Beginilah cara harga rata-rata tertimbang per unit produksi ditentukan: total biaya produksi (jumlah produk dari kuantitasnya dengan harga satu unit produksi) dibagi dengan total kuantitas produksi.
Mari kita bayangkan dalam bentuk rumus berikut:
Contoh 2 . Temukan gaji rata-rata pekerja bengkel per bulanRata-rata aritmatika tertimbang— sama dengan rasio (jumlah produk dari nilai suatu fitur dengan frekuensi pengulangan fitur ini) dengan (jumlah frekuensi semua fitur). beberapa kali yang tidak sama.
Upah rata-rata dapat diperoleh dengan membagi total upah dengan jumlah pekerja:
Jawaban: 3,35 ribu rubel.
Rata-rata aritmatika untuk deret interval
Saat menghitung rata-rata aritmatika untuk deret variasi interval, pertama-tama tentukan rata-rata setiap interval sebagai setengah jumlah batas atas dan batas bawah, lalu rata-rata seluruh deret. Dalam kasus interval terbuka, nilai interval bawah atau atas ditentukan oleh ukuran interval yang berdekatan dengannya.
Rata-rata yang dihitung dari deret interval adalah perkiraan.
Contoh 3. Tentukan umur rata-rata siswa malam.
Rata-rata yang dihitung dari deret interval adalah perkiraan. Tingkat perkiraannya bergantung pada sejauh mana distribusi aktual unit populasi dalam interval tersebut mendekati distribusi seragam.
Saat menghitung rata-rata, tidak hanya nilai absolut tetapi juga nilai relatif (frekuensi) yang dapat digunakan sebagai bobot:
Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah sifat yang mengungkapkan esensinya secara lebih lengkap dan menyederhanakan perhitungan:
1. Hasil kali rata-rata dengan jumlah frekuensi selalu sama dengan jumlah hasil kali varian dengan frekuensi, yaitu.
2.Sedang jumlah aritmatika besaran yang bervariasi sama dengan jumlah rata-rata aritmatika dari besaran-besaran ini:
3. Jumlah aljabar deviasi nilai individu suatu karakteristik dari rata-rata sama dengan nol:
4. Jumlah deviasi kuadrat pilihan dari rata-rata lebih kecil dari jumlah deviasi kuadrat dari nilai arbitrer lainnya, mis.