आप अपना पैसा घर पर भूल गए और एक सहकर्मी कृपया आपके लिए दोपहर का भोजन खरीदने के लिए सहमत हो गया। वापस रास्ते में, आप नाश्ते के लिए स्टोर के पास रुके, और वहाँ उन्होंने आपकी पसंदीदा चॉकलेट के लिए एक सुपर प्रमोशन की घोषणा की। आप विरोध नहीं कर सके और 5 पीस ले लिए। आप खरीदारी में इतने व्यस्त थे कि आप अपने स्मार्टफोन के बारे में भूल गए और यह गणना नहीं की कि अंत में आप पर एक सहयोगी का कितना बकाया है। स्थिति सुंदर नहीं है। सब कुछ अपने दिमाग में बस एक साथ रखना बहुत आसान होगा। लेकिन ... इसकी जरूरत किसे है जब हर फोन में लंबे समय तक कैलकुलेटर हो!

दिमाग में हिसाब किताब की तरह तेज हो सकता है। विशेष जब बात आती है घरेलू मुद्दे. मुख्य बात यह है कि तेजी से गिनती की तकनीकों में महारत हासिल करना और समय-समय पर उनका अभ्यास करना। सामग्री में हम उनमें से सबसे सरल प्रस्तुत करते हैं।

कार्य को भागों में तोड़ना

यहां तक ​​​​कि सबसे जटिल अंकगणितीय समस्याओं को भी सरल में विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण: यदि वस्तु का पूरा मूल्य ज्ञात हो तो आप 15% छूट की गणना कैसे करते हैं?

इस मामले में, 15 को 10% और 5% में विभाजित करना समझ में आता है। 10% निकालना काफी आसान है, और 5% 10% का आधा है।

मान लीजिए कि हमारे पास 900 रूबल का उत्पाद है, इसका 10% - 90 रूबल, 5% - 45। जोड़ें: 90 + 45 \u003d 135. 15% छूट के साथ माल की अंतिम लागत: 900 - 135 \u003d 765 रूबल।

निकटतम पूर्णांक तक गोलाई

इस तकनीक में एक पूरक का उपयोग शामिल है - एक संख्या जो दी गई संख्या और संख्या के बीच के अंतर को भरती है जो आमतौर पर 00 में समाप्त होती है।

उदाहरण के लिए, 87 की पूरक संख्या 13 होगी, क्योंकि उनका योग 100 है।

उदाहरण 1234 - 678 जटिल लगता है। आइए 678 से 700 के आसपास चक्कर लगाते हैं। 1234 - 700 की गणना करना बहुत आसान होगा, परिणाम 534 है।

चूँकि हमने भी घटाया है बड़ी संख्या, तो लापता परिणाम वापस करना होगा: 700 - 678 = 22, 22 से 534 जोड़ें और अंतिम परिणाम 556 प्राप्त करें।

11 . से गुणा करें

हम जानते हैं कि किसी एक अंक की संख्या को 11 से गुणा करना कितना आसान है: बस इसे दो बार दोहराएं और आपका काम हो गया!

लेकिन बहुत कम लोगों के पास दो अंकों और यहां तक ​​कि तीन अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने का कौशल होता है।

दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने के लिए, आपको उसके अंकों को में फैलाना होगा विभिन्न पक्षऔर उनके योग को बीच में लिखो। यदि योग 10 से अधिक है, तो बीच में हम प्राप्त संख्या से दूसरा अंक छोड़ते हैं, और पहले अंक में दस, यानी एक जोड़ते हैं।

उदाहरण 1: 36×11 = 3 (3+6) 6 = 396

उदाहरण 2: 57×11 = 5 (5+7) 7 = 627

तीन अंकों की संख्याओं को गुणा करने के लिए:

• पहले छोड़ दो और पिछले अंकसंख्याएं।
• अंतिम अंक के साथ अंतिम अंक जोड़ें और परिणाम लिखें। यदि यह 10 से अधिक है, तो एक को याद रखें।
• पहली संख्या में दूसरी संख्या जोड़ें और परिणाम लिखें। यदि पिछले जोड़ में से एक बचा है, तो उसे परिणाम में जोड़ें।
• यदि अंतिम जोड़ के परिणामस्वरूप कोई बचता है, तो उसे मूल संख्या के पहले अंक में जोड़ दें।

उदाहरण 3 : 869×11

1. हम 9 को एक अस्थायी परिणाम के रूप में याद करते हैं। परिणाम: 8...9।
2. हम 6 और 9 जोड़ते हैं, हमें 15 मिलता है। हम 9 से पहले 5 लिखते हैं, 1 - याद रखें। परिणाम: 8...59 (1 मन में)।
3. हम 8 और 6 जोड़ते हैं, हमें 14 मिलते हैं, हम पिछले परिणाम से 1 जोड़ते हैं। परिणाम: 8559 (मन में 1)।
4. हम पिछले परिणाम से 8 इकाई जोड़ते हैं। परिणाम: 9559।

11 से 19 तक की संख्याओं का गुणन

आप निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करके ऐसी संख्याओं को गुणा कर सकते हैं:

• 11 से 19 तक की किसी भी संख्या को दहाई और इकाई के रूप में दर्शाया जाता है।
• हमें सूत्र मिलता है: (10+a)×(10+b)।
• कोष्ठक का विस्तार करें: 100+10×b+10×a+a×b.
• हम कोष्ठकों से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं और अंतिम सूत्र प्राप्त करते हैं जिसके द्वारा हम गिन सकते हैं और जो याद रखने के लिए समझ में आता है: 100+10×(a+b)+a×b।

उदाहरण: 13×17

1. आइए इकाइयों को जोड़ते हैं - 3+7=10।
2. परिणाम को 10: 10×10 = 100 से गुणा करें।
3. 100: 100+100=200 जोड़ते हैं।
4. गुणा इकाइयाँ: 3 × 7 = 21।
5. आइए चरण 3: 200+21 = 221 से परिणाम में जोड़ें।

मनो अंकगणितीय

आप मानसिक अंकगणित की तकनीकों में महारत हासिल करके अपने दिमाग में गिनती करना सीख सकते हैं। सबसे पहले, आप जापानी अबेकस - सोरोबन पर अंकगणितीय संक्रिया करना सीखते हैं। फिर आप अपने मन की अंगुलियों को घुमाकर वही गणना करने का अभ्यास करें। के बारे में हम पहले ही विस्तार से लिख चुके हैं। मानसिक अंकगणितीय पाठ्यक्रम आपको तकनीक में महारत हासिल करने में पूरी तरह से मदद करेंगे!

"गणित को पहले से ही प्यार किया जाना चाहिए क्योंकि यह दिमाग को क्रम में रखता है," मिखाइल लोमोनोसोव ने कहा। मानसिक रूप से गिनने की क्षमता के लिए एक उपयोगी कौशल बनी हुई है आधुनिक आदमी, इस तथ्य के बावजूद कि उसके पास सभी प्रकार के उपकरण हैं जो उसके लिए गिनने में सक्षम हैं। विशेष उपकरणों के बिना और सही समय पर सेट अंकगणितीय समस्या को जल्दी से हल करने की क्षमता इस कौशल का एकमात्र अनुप्रयोग नहीं है। उपयोगितावादी उद्देश्य के अलावा, मानसिक गणना तकनीकें आपको यह सीखने में मदद करेंगी कि खुद को विभिन्न में कैसे व्यवस्थित किया जाए जीवन स्थितियां. इसके अलावा, आपके दिमाग में गिनने की क्षमता निस्संदेह आपकी बौद्धिक क्षमताओं की छवि पर सकारात्मक प्रभाव डालेगी और आपको आसपास के "मानविकी" से अलग करेगी।

मानसिक गिनती प्रशिक्षण

ऐसे लोग हैं जो अपने दिमाग में सरल अंकगणितीय संचालन कर सकते हैं। दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से गुणा करें, 20 के भीतर गुणा करें, दो छोटी दो अंकों वाली संख्याओं को गुणा करें, इत्यादि। - ये सभी क्रियाएं वे दिमाग में कर सकते हैं और औसत व्यक्ति की तुलना में तेज़ी से पर्याप्त तेज़ी से कर सकते हैं। अक्सर इस कौशल को निरंतर व्यावहारिक उपयोग की आवश्यकता से उचित ठहराया जाता है। एक नियम के रूप में, जो लोग अपने दिमाग में अच्छी तरह से गणना करते हैं, उनके पास गणितीय शिक्षा होती है या, के अनुसार कम से कम, कई अंकगणितीय समस्याओं को हल करने का अनुभव।

निस्संदेह, अनुभव और प्रशिक्षण किसी भी क्षमता के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। लेकिन मानसिक गणना का कौशल केवल अनुभव पर आधारित नहीं है। यह उन लोगों द्वारा सिद्ध किया जाता है, जो ऊपर वर्णित लोगों के विपरीत, अपने दिमाग में बहुत अधिक गणना करने में सक्षम हैं जटिल उदाहरण. उदाहरण के लिए, ऐसे लोग तीन अंकों की संख्याओं को गुणा और विभाजित कर सकते हैं, जटिल अंकगणितीय संचालन कर सकते हैं, जिसे हर व्यक्ति एक कॉलम में नहीं गिन सकता।

आपको क्या जानने और सक्षम होने की आवश्यकता है समान्य व्यक्तिऐसी अभूतपूर्व क्षमता में महारत हासिल करने के लिए? आज, विभिन्न तकनीकें हैं जो आपको यह सीखने में मदद करती हैं कि कैसे जल्दी से अपने दिमाग में गिनती करें। मौखिक रूप से गिनने के कौशल को सिखाने के कई तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हम अंतर कर सकते हैं 3 मुख्य घटकइस कौशल का:

1. क्षमता।ध्यान केंद्रित करने की क्षमता और एक ही समय में कई चीजों को अल्पकालिक स्मृति में रखने की क्षमता। गणित और तार्किक सोच की प्रवृत्ति।

2. एल्गोरिदम।विशेष एल्गोरिदम का ज्ञान और प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में वांछित, सबसे प्रभावी एल्गोरिदम को जल्दी से चुनने की क्षमता।

3. प्रशिक्षण और अनुभव, जिसका मूल्य किसी भी कौशल के लिए रद्द नहीं किया गया है। लगातार प्रशिक्षण और कार्यों और अभ्यासों की क्रमिक जटिलता आपको मानसिक अंकगणित की गति और गुणवत्ता में सुधार करने की अनुमति देगी।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तीसरा कारक महत्वपूर्ण महत्व का है। आवश्यक अनुभव के बिना आप दूसरों को आश्चर्यचकित नहीं कर पाएंगे त्वरित स्कोर, भले ही आप सबसे सुविधाजनक एल्गोरिथम जानते हों। हालांकि, पहले दो घटकों के महत्व को कम मत समझो, क्योंकि आपके शस्त्रागार में आवश्यक एल्गोरिदम की क्षमता और एक सेट होने के कारण, आप सबसे अनुभवी "बुककीपर" से भी आगे निकल सकते हैं, बशर्ते कि आप एक ही समय के लिए प्रशिक्षण ले रहे हों।

साइट पर सबक

साइट पर प्रस्तुत मौखिक गणना पाठ इन तीन घटकों के विकास के उद्देश्य से हैं। पहला पाठ बताता है कि गणित और अंकगणित के साथ-साथ गिनती और तर्क की मूल बातें कैसे विकसित करें। फिर दिमाग में विभिन्न अंकगणितीय संचालन करने के लिए विशेष एल्गोरिदम पर कई पाठ दिए जाते हैं। अंत में, यह प्रशिक्षण प्रस्तुत करता है अतिरिक्त सामग्री, जीवन में अपनी प्रतिभा और अपने ज्ञान को लागू करने में सक्षम होने के लिए, मौखिक रूप से गिनने की क्षमता को प्रशिक्षित और विकसित करने में मदद करना।

किसी भी दो अंकों की संख्या को 11 . से गुणा करना, बस इन 2 नंबरों को एक साथ जोड़ दें और उनका योग बीच में डाल दें।

उदाहरण के लिए, यदि आप 53 को 11 से गुणा करना चाहते हैं, तो 8 प्राप्त करने के लिए 5+3 जोड़ें और इसे 5 और 3 के बीच में रखें और यह सही उत्तर 583 देगा।

यदि दो अंकों का योग 10 या अधिक है, तो बस उस संख्या को बाएँ अंक में जोड़ दें। उदाहरण के लिए, यदि आप 97 को 11 से गुणा करना चाहते हैं, तो 9+7 = 16 जोड़ें। बीच में 6 डालें और 1 से 9 जोड़ें, जो सही उत्तर देता है - 1067।

5 . द्वारा विभाजन

5 से भाग देते समय 2 से गुणा करें और संख्या के अंत में 0 को हटा दें।

उदाहरण के लिए, 480 को 5 से विभाजित किया जाता है। 2 (960) से गुणा करें और 0 को हटा दें। हमें 96 मिलता है।

अब निम्नलिखित संख्याओं को स्वयं 5 से विभाजित करें: 540, 290, 770, 1450। और कैलकुलेटर से जाँच करें!

यह उत्सव का क्षण देता है।

जब 5 . से गुणा किया जाता है 2 से विभाजित करें और 0 असाइन करें।

उदाहरण। 480 को 5 से गुणा करें। 2 से भाग देने पर हमें 240 मिलता है। 0. 2400 जोड़ें।

स्वयं को 5 से गुणा करें: 540, 290, 770, 1450

5, 50, 500 . से गुणा करें

जैसा कि आप जानते हैं, बच्चे 10, 100, 1000 से गुणा करना पसंद करते हैं। आप 5, 50, 500, विशेषकर सम संख्याओं से भी जल्दी और आसानी से गुणा कर सकते हैं।

68 x 5 = 34: 10 = 340

68 x 50 = (68:2) x 100 = 3400

यह संभव और अजीब है:

17 x 50 = (16 + 1) x 50 = 8 x 100 = 850

5, 50, 500 . से विभाजन

सब कुछ उल्टे क्रम में होता है: सबसे पहले, हम लाभांश को दोगुना करते हैं और 1, 2 या 3 शून्य को छोड़ देते हैं। उदाहरण के लिए:

135: 5 = (135 x 2): 10 = 27

2150: 50 = 2150 x 2: 100 = 4300: 100 = 43

25 . से गुणा करें

24 x 25 = 24: 4 x 100 = 600 - सम होने पर भी आसान। विषम को पदों (या अंतर) के योग के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए:

37 x 25 = (36 + 1) x 25 = 36: 4 x 10 + 25 = 925

26 और 24 से गुणा करें

हम 26 और 24 पदों को योग से बदलते हैं:

36 x 26 = 36 x (25 + 1) = 36: 4 x 100 + 36 = 936

36 x 24 = 36 x (25 - 1) = 900 - 36 = 864

जब 25 . से विभाजित किया जाता हैसब कुछ उल्टे क्रम में होता है:

360: 25 = (360 x 2) x 2 x 100 = 1440: 100 = 14.4

225: 25 = (225 x 2) x 2: 100 = 9.

125 . से गुणा करें 8 से भाग और 1000 से गुणा है:

42 x 125 = 88: 8 x 1000 = 11,000

यदि संख्या 8 से विभाज्य नहीं है, तो हम निम्नलिखित विधियों में से एक का उपयोग करते हैं:

42 x 125 = 40: 8 x 1000 + 2 x 125 = 5000 + 250 = 5250।

9, 99, 999 . से गुणा करें

10 - 1, 100 - 1, 1000 - 1 . से बदलना सुविधाजनक है

सम संख्याओं को 15 . से गुणा करें

हम संख्या को 2 से विभाजित करते हैं और इसे वांछित संख्या में जोड़ते हैं, फिर हम सब कुछ 10 से गुणा करते हैं। यह तकनीक केवल सम संख्याओं के लिए काम करती है। उदाहरण के लिए:

14 x 15 = (14:2 + 14) x 10 = 21 x 10 = 210

26:15 = (26:2 + 26) x 10 = 39 x 10 = 390

विषम को पदों के योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है

23 x 15 = (22 + 1) x 15 = (22: 2 + 22) x 10 +15 = 330 +15 = 345

इस तकनीक का उपयोग करके, आप 16 और 14 - (15 +1) और (15 - 1) से गुणा कर सकते हैं:

66 x 16 = 66 x (15 + 1) = (66: 2 + 66) x 10 + 66 = 1156

5 से समाप्त होने वाली संख्याओं को स्वयं से गुणा करें

35 x 35 \u003d 3 x 4 और हम 5 x 5 की विशेषता रखते हैं, अर्थात। 35 x 35 = 1225

11 से और 111 . से गुणा करें

क) 32 x 11 = 32 x 10 + 32 = 352

बी) हम संख्या 3 और 2 को आगे बढ़ाते हैं और उनके बीच उनका योग डालते हैं: 3 5 2

ग) जब 111 से गुणा किया जाता है, तो मान लें कि 25:

गुणक की संख्या का विस्तार

उनकी राशि ढूँढना

हम इसे पहले से ही 2 बार दर्ज करते हैं:

25 x 111 = 2 7 7 5

यदि दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 10 से अधिक है, तो हम यह करते हैं:

गुणक के दहाई की संख्या में 1 की वृद्धि की जाती है,

दहाई और इकाई का विस्तार

हम दहाई के योग की इकाइयाँ और गुणक की इकाइयाँ दर्ज करते हैं:

78 x 11 = (7+1) (7+8) 8 = 8 15 8 = 858

d) तीन अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने के लिए, आपको चाहिए:

सैकड़ों और एक को जगह पर छोड़ दें

गुणक के सैकड़ों और दसियों का योग असाइन करें

दहाई और इकाइयों का योग असाइन करें

115 x 11 = 1 (1+1) (1+5) 5 = 1265

कई क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग।

ए) प्राकृतिक श्रृंखला (विषम संख्या) की कई लगातार संख्याओं को जोड़ने के लिए, बीच में शब्द को शब्दों की संख्या से गुणा करना आवश्यक है:

6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 8 x 5 = 40

b) यदि संख्याओं की एक सम संख्या है, तो हम बीच में दो पद लेते हैं और उनके योग को पदों की संख्या के आधे से गुणा करते हैं।

6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 8 + 9 x 3 = 51

परिचय

हर समय, गणित स्कूल में मुख्य विषयों में से एक रहा है, क्योंकि गणितीय ज्ञान सभी लोगों के लिए आवश्यक है। स्कूल में पढ़ने वाला हर छात्र नहीं जानता कि वह भविष्य में कौन सा पेशा चुनेगा, लेकिन हर कोई समझता है कि जीवन की कई समस्याओं को हल करने के लिए गणित आवश्यक है: एक स्टोर में गणना, भुगतान के लिए सार्वजनिक सुविधाये, भुगतान परिवार का बजटआदि। इसके अलावा, सभी स्कूली बच्चों को 9वीं और 11वीं कक्षा में परीक्षा देनी होती है, और इसके लिए पहली कक्षा से शुरू होकर, उच्च गुणवत्ता के साथ गणित में महारत हासिल करना आवश्यक है, और सबसे बढ़कर, आपको गिनना सीखना होगा। .

क्या संख्याओं के बिना दुनिया की कल्पना करना संभव है? नंबरों के बिना, आपने खरीदारी नहीं की, आपको समय का पता नहीं चला, आपने फ़ोन नंबर डायल नहीं किया। और अंतरिक्ष यान, लेजर और अन्य सभी तकनीकी उपलब्धियों के बारे में क्या?! यदि संख्याओं का विज्ञान न होता तो वे असंभव ही होते।

गणित में दो तत्व हावी हैं - संख्याएं और आंकड़े उनके अनंत गुणों और संबंधों के साथ। मेरे काम में संख्याओं के तत्वों और उनके साथ क्रियाओं को वरीयता दी जाती है।

अब, सूचना विज्ञान और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के तेजी से विकास के चरण में, आधुनिक स्कूली बच्चे मानसिक अंकगणित से खुद को परेशान नहीं करना चाहते हैं। अतः मैंने निर्णय लिया किन केवल यह दिखाएं कि किसी क्रिया को करने की प्रक्रिया महत्वपूर्ण हो सकती है, बल्कि यह भी एक दिलचस्प गतिविधि.

लक्ष्य: तेजी से गिनती के तरीकों का अध्ययन करने के लिए, गणना को सरल बनाने के लिए उनके आवेदन की आवश्यकता दिखाने के लिए।

लक्ष्य के अनुसार,कार्य:

1. जाँच करें कि क्या छात्र त्वरित गणना तकनीकों का उपयोग करते हैं।
2. त्वरित गणना तकनीक सीखें जिनका उपयोग आप गणना को आसान बनाने के लिए कर सकते हैं।
3. 5-6वीं कक्षा के छात्रों के लिए त्वरित गणना तकनीकों का उपयोग करने के लिए एक मेमो बनाएं।

अध्ययन की वस्तु:त्वरित गिनती तकनीक।

अध्ययन का विषय: गणना प्रक्रिया।

शोध परिकल्पना:यदि यह दिखाया जाता है कि तेजी से गिनती तकनीकों के उपयोग से गणना की सुविधा होती है, तो यह प्राप्त किया जा सकता है कि छात्रों की कम्प्यूटेशनल संस्कृति बढ़ेगी, और उनके लिए व्यावहारिक समस्याओं को हल करना आसान होगा।

काम में निम्नलिखित का उपयोग किया गया थातरकीबें और तरीके : सर्वेक्षण (प्रश्नावली), विश्लेषण (सांख्यिकीय डेटा प्रसंस्करण), सूचना स्रोतों के साथ काम करना, व्यावहारिक कार्य, अवलोकन।

यह कार्य संदर्भित करता हैव्यावहारिक शोध, चूंकि यह व्यावहारिक गतिविधियों के लिए तेजी से गिनती तकनीकों को लागू करने की भूमिका को दर्शाता है।

एक रिपोर्ट पर काम करते हुए, मैंनिम्नलिखित तरीकों का इस्तेमाल किया:

1. तलाशी वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य का उपयोग करने के साथ-साथ इंटरनेट पर आवश्यक जानकारी खोजने की एक विधि;
2. व्यावहारिक गैर-मानक गणना एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना करने की विधि;
3. विश्लेषण अध्ययन के दौरान प्राप्त डेटा।

प्रासंगिकता मेरा शोध यह है कि हमारे समय में अधिक से अधिक कैलकुलेटर छात्रों की सहायता के लिए आते हैं, और छात्रों की बढ़ती संख्या मौखिक रूप से गिन नहीं सकती है। लेकिन गणित का अध्ययन विकसित होता है तार्किक सोच, स्मृति, मन का लचीलापन, किसी व्यक्ति को सटीकता का आदी बनाता है, मुख्य चीज़ को देखने की क्षमता को समझने के लिए आवश्यक जानकारी प्रदान करता है चुनौतीपूर्ण कार्यआधुनिक मनुष्य की गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होने वाली। इसलिए, अपने काम में, मैं दिखाना चाहता हूं कि आप कैसे जल्दी और सही तरीके से गिन सकते हैं और यह कि क्रिया करने की प्रक्रिया न केवल उपयोगी हो सकती है, बल्कि दिलचस्प भी हो सकती है। यह कम्प्यूटेशनल कौशल के निर्माण में गैर-मानक तकनीकों का उपयोग है जो छात्रों की गणित में रुचि को बढ़ाता है और गणितीय क्षमताओं के विकास में योगदान देता है।

जोड़, घटाव, गुणा और भाग की सरल क्रियाओं के पीछे गणित के इतिहास के रहस्य छिपे हैं। गलती से "एक जाली द्वारा गुणा", "शतरंज का रास्ता" शब्द ने उत्सुकता से सुना। मैं इन और गणना के अन्य तरीकों को जानना चाहता था, साथ ही उनकी तुलना आज के तरीकों से करना चाहता था।

क्या आप गिन सकते हैं? सवाल, शायद तीन साल से अधिक उम्र के व्यक्ति के लिए भी आक्रामक। कौन गिनती नहीं कर सकता? सभी का जवाब होगा कि इसके लिए विशेष कला की जरूरत नहीं है। और वह सही होगा। लेकिन सवाल यह है कि गिनती कैसे की जाए? आप एक कैलकुलेटर पर भरोसा कर सकते हैं, आप एक नोटबुक में एक कॉलम के रूप में गिन सकते हैं, या आप त्वरित गिनती तकनीकों का उपयोग करके मौखिक रूप से गिन सकते हैं। मैं मौखिक रूप से बहुत जल्दी गिनता हूं, मैं लगभग कभी भी एक कॉलम में, लिखित रूप में हल नहीं करता, क्योंकि मैं तेजी से गिनती के विभिन्न तरीकों को जानता और लागू करता हूं। मेरे सहपाठियों में से, कुछ लोग मौखिक रूप से जल्दी से गिन सकते हैं, और मैं यह जानना चाहता था कि क्या वे त्वरित गिनती की तरकीबें जानते हैं, यदि नहीं, तो इन तरकीबों में महारत हासिल करने में उनकी मदद करें, इस उद्देश्य के लिए, उनके लिए त्वरित गिनती की चाल के साथ एक ज्ञापन लिखें।

यह पता लगाने के लिए कि क्या आधुनिक स्कूली बच्चे अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के अन्य तरीकों को जानते हैं, एक कॉलम द्वारा गुणा, जोड़, घटाव और "कोने" से विभाजन को छोड़कर और नए तरीके सीखना चाहते हैं, एक परीक्षण सर्वेक्षण किया गया था।

सबसे पहले, मैंने हमारे स्कूल की छठी कक्षा में एक सर्वेक्षण किया। लड़कों से पूछा सरल प्रश्न. आपको यह जानने की आवश्यकता क्यों है कि कैसे गिनें? क्या अध्ययन करते समय स्कूल के विषयसही खाते की आवश्यकता है? क्या वे जल्दी से गिनती करना जानते हैं? क्या आप सीखना चाहेंगे कि कैसे जल्दी से मौखिक रूप से गिनें? (परिशिष्ट I)।

सर्वे में 61 लोगों ने हिस्सा लिया। परिणामों का विश्लेषण करने के बाद, मैंने निष्कर्ष निकाला कि अधिकांश छात्र मानते हैं कि गिनने की क्षमता जीवन में उपयोगी है और स्कूल में आवश्यक है, खासकर गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान और प्रौद्योगिकी का अध्ययन करते समय। कई छात्र जल्दी से गिनना जानते हैं, और लगभग हर कोई यह सीखना चाहता है कि कैसे जल्दी से गिनना है। (सर्वेक्षण के परिणाम आरेखों में परिलक्षित होते हैं) (परिशिष्ट II)।

डेटा के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के बाद, मैंने निष्कर्ष निकाला कि सभी छात्र त्वरित गणना तकनीकों को नहीं जानते हैं, इसलिए गणना करते समय उनका उपयोग करने के लिए ग्रेड 5-6 में छात्रों के लिए त्वरित गणना तकनीक बनाना आवश्यक है।

सर्वेक्षण परिणाम:

प्रश्न	पाँचवी श्रेणी	6 कक्षाएं	कुल
	हां	नहीं	पता नहीं	हां	नहीं	पता नहीं
क्या आप जानना चाहेगे?

सर्वेक्षण की सारांश तालिका:

प्रश्न	5, 6 ग्रेड
	हां	नहीं	पता नहीं
क्या आधुनिक लोगों को प्राकृतिक संख्याओं के साथ अंकगणितीय संचालन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है?
क्या आप एक कॉलम में संख्याओं को गुणा, जोड़, घटा सकते हैं, "कोने" से विभाजित कर सकते हैं?
क्या आप अंकगणित करने के अन्य तरीके जानते हैं?
क्या आप जानना चाहेगे?

सर्वेक्षण के परिणामों के अनुसार, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि ज्यादातर मामलों में आधुनिक स्कूली बच्चे एक "कोने" से गुणा, जोड़, घटाव और विभाजन के अलावा अन्य कार्यों को करने के अन्य तरीकों को नहीं जानते हैं, क्योंकि वे शायद ही कभी सामग्री का उल्लेख करते हैं जो स्कूली पाठ्यक्रम से बाहर है।

अध्याय I. खाते का इतिहास

1. संख्या कैसे उत्पन्न हुई

लोगों ने प्राचीन पाषाण युग में वस्तुओं को गिनना सीखा - पुरापाषाण, दसियों हज़ार साल पहले। यह कैसे हुआ? सबसे पहले, लोगों की तुलना केवल आंखों से की जाती है विभिन्न मात्रासमान आइटम। वे यह निर्धारित कर सकते थे कि दोनों ढेरों में से किसमें अधिक फल थे, किस झुंड में अधिक हिरण थे, इत्यादि। यदि एक जनजाति ने पकड़ी गई मछलियों को दूसरी जनजाति के लोगों द्वारा बनाए गए पत्थर के चाकू से बदल दिया, तो यह गिनना आवश्यक नहीं था कि वे कितनी मछलियाँ लाए और कितनी चाकू। जनजातियों के बीच आदान-प्रदान के लिए प्रत्येक मछली के बगल में चाकू रखना पर्याप्त था।

सफल होने के लिए कृषि, अंकगणित ज्ञान की आवश्यकता थी। दिनों की गिनती के बिना, यह निर्धारित करना मुश्किल था कि कब खेतों में बोना है, कब पानी देना शुरू करना है, कब जानवरों से संतान की उम्मीद करनी है। झुंड में कितनी भेड़ें थीं, खलिहान में कितने बोरे अनाज रखे थे, यह जानना जरूरी था।
और आठ हजार साल से भी पहले, प्राचीन चरवाहों ने मिट्टी के मग बनाना शुरू किया - प्रत्येक भेड़ के लिए एक। यह पता लगाने के लिए कि क्या दिन के दौरान कम से कम एक भेड़ खो गई है, चरवाहा हर बार अगले जानवर के कलम में प्रवेश करने पर एक मग अलग रख देता है। और केवल यह सुनिश्चित करने के बाद कि जितनी भेड़ें थीं, उतनी ही भेड़ें वापस आ गईं, वह शांति से सो गया। लेकिन उसके झुंड में न केवल भेड़ें थीं - वह गायों, और बकरियों और गधों को चरता था। इसलिए, अन्य आकृतियों को मिट्टी से बनाया जाना था। और किसानों ने मिट्टी की मूर्तियों की मदद से रिकॉर्ड रखा कटी हुई फसल, यह देखते हुए कि कितने बोरे अनाज खलिहान में रखे जाते हैं, कितने कटोरे तेल जैतून से निचोड़ा जाता है, और कितने टुकड़े लिनन बुने जाते हैं। यदि भेड़ें संतान पैदा करती हैं, तो चरवाहा मग में नए मग जोड़ता है, और यदि भेड़ों में से कुछ मांस के लिए जाती हैं, तो कई मगों को हटाना पड़ता है। इसलिए, अभी भी नहीं जानते कि कैसे गिनना है, प्राचीन लोग अंकगणित में लगे हुए थे।

तब मानव भाषा में अंक प्रकट हुए, और लोग वस्तुओं, जानवरों, दिनों की संख्या को नाम देने में सक्षम थे। आमतौर पर ऐसे बहुत कम अंक होते थे। उदाहरण के लिए, ऑस्ट्रेलिया में मरे नदी जनजाति की दो अभाज्य संख्याएँ थीं: एनिया (1) और पेटचेवल (2)। उन्होंने मिश्रित अंकों के साथ अन्य संख्याएं व्यक्त कीं: 3 = "पेटचेवल-एनिया", 4 "पेटचेवल-पेटचेवल", आदि। एक अन्य ऑस्ट्रेलियाई जनजाति, कैमिलोरोई में साधारण अंक मल (1), बुलान (2), गुलिबा (3) थे। और यहाँ छोटी संख्याएँ जोड़कर अन्य संख्याएँ प्राप्त की गईं: 4="बुलन-बुलन", 5="बुलन-गुलिबा", 6="गुलिबा-गुलिबा", आदि।

कई लोगों के लिए, संख्या का नाम गिने जाने वाली वस्तुओं पर निर्भर करता था। यदि फ़िजी द्वीप के निवासियों ने नावों की गिनती की, तो संख्या 10 को "बोलो" कहा जाता था; अगर वे नारियल गिनते तो 10 नंबर को "करो" कहा जाता था। अमूर के तट के पास सखालिन पर रहने वाले निवखों ने भी ऐसा ही किया। उन्नीसवीं सदी में वापस, उन्होंने उसी नंबर पर कॉल किया अलग शब्दयदि वे लोगों को गिनें, तो मछलियां, नावें, जाल, तारे, लाठियां।

हम अभी भी "बहुत" अर्थ के साथ विभिन्न अनिश्चित अंकों का उपयोग करते हैं: "भीड़", "झुंड", "झुंड", "ढेर", "बंडल" और अन्य।

उत्पादन और व्यापार के विकास के साथ, लोगों ने बेहतर ढंग से समझना शुरू कर दिया कि तीन नावों और तीन कुल्हाड़ियों, दस तीरों और दस नटों में क्या समानता है। जनजातियाँ अक्सर वस्तु-दर-वस्तु विनिमय में लगी रहती हैं; उदाहरण के लिए, उन्होंने 5 मछलियों के लिए 5 खाद्य जड़ों का आदान-प्रदान किया। यह स्पष्ट हो गया कि 5 जड़ और मछली दोनों के लिए समान है; इसलिए इसे एक शब्द से कहा जा सकता है।

इसी तरह की गिनती के तरीकों का इस्तेमाल अन्य लोगों द्वारा किया जाता था। अतः पाँच, दहाई, बिसवां दशा की गणना के आधार पर संख्याएँ थीं।

अभी तक मैंने मेंटल काउंटिंग की बात की है। अंक कैसे लिखे गए? सबसे पहले, लेखन के आगमन से पहले, वे लाठी पर निशान, हड्डियों पर पायदान, रस्सियों पर गांठों का इस्तेमाल करते थे। डॉल्नी-वेस्टोनिस (चेकोस्लोवाकिया) में मिली भेड़िये की हड्डी में 25,000 साल पहले 55 कट लगाए गए थे।

जब लेखन दिखाई दिया, तो संख्याएँ लिखने के लिए भी संख्याएँ थीं। सबसे पहले, संख्याएँ लाठी पर निशान के समान थीं: मिस्र और बाबुल में, एटुरिया और खजूर में, भारत और चीन में, छोटी संख्याएँ लाठी या डैश के साथ लिखी जाती थीं। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को पाँच डंडों से लिखा गया था। एज़्टेक और मायन्स ने लाठी के बजाय डॉट्स का इस्तेमाल किया। फिर कुछ संख्याओं के लिए विशेष संकेत दिखाई दिए, जैसे कि 5 और 10।

उस समय, लगभग सभी नंबरिंग स्थितीय नहीं थे, लेकिन रोमन नंबरिंग के समान थे। केवल एक बेबीलोनियन सेक्सजेसिमल नंबरिंग स्थितीय थी। लेकिन लंबे समय तक इसमें कोई शून्य नहीं था, साथ ही एक अल्पविराम भी था जो पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक से अलग करता था। इसलिए, एक ही अंक का अर्थ 1, 60 और 3600 हो सकता है। किसी को समस्या के अर्थ के अनुसार संख्या के अर्थ का अनुमान लगाना था।

कई सदियों पहले नया युगआविष्कार नया रास्तालेखन संख्याएँ, जिसमें साधारण वर्णमाला के अक्षर अंकों के रूप में कार्य करते हैं। पहले 9 अक्षर दसियों 10, 20, ..., 90 और अन्य 9 अक्षरों की संख्या को दर्शाते हैं। इस वर्णानुक्रमिक संख्या का प्रयोग 17वीं शताब्दी तक किया जाता था। "वास्तविक" अक्षरों को संख्याओं से अलग करने के लिए, अक्षरों-संख्याओं के ऊपर एक डैश लगाया गया था (रूस में इस डैश को "टाइटलो" कहा जाता था)।

इन सभी संख्याओं में अंकगणितीय संक्रियाएँ करना बहुत कठिन था। इसलिए, छठी शताब्दी में भारतीयों द्वारा दशमलव स्थिति संख्या के आविष्कार को मानव जाति की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक माना जाता है। भारतीय अंक और भारतीय अंक यूरोप में अरबों से ज्ञात हुए और आमतौर पर इन्हें अरबी कहा जाता है।

लंबे समय तक भिन्न लिखते समय, पूरे भाग को नई दशमलव संख्या में और भिन्नात्मक भाग को सेक्सजेसिमल में दर्ज किया गया था। लेकिन XV सदी की शुरुआत में। समरकंद गणितज्ञ और खगोलशास्त्री अल-काशी ने गणना में दशमलव अंशों का उपयोग करना शुरू किया।

जिन संख्याओं के साथ हम काम करते हैं वे धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ हैं। लेकिन यह पता चला है कि ये सभी संख्याएँ नहीं हैं जिनका उपयोग गणित और अन्य विज्ञानों में किया जाता है। और आप बिना इंतज़ार किए उनके बारे में पता लगा सकते हैं उच्च विद्यालय, और बहुत पहले, यदि आप गणित में संख्याओं के उद्भव के इतिहास का अध्ययन करते हैं।

दूसरा अध्याय। गणना के पुराने तरीके

2.1. गुणन की रूसी किसान विधि

रूस में, कई सदियों पहले, कुछ प्रांतों के किसानों के बीच, एक ऐसी विधि का प्रसार किया गया था जिसके लिए संपूर्ण गुणन तालिका के ज्ञान की आवश्यकता नहीं थी। केवल 2 से गुणा और भाग करने में सक्षम होना आवश्यक था। इस विधि को कहा जाता थाकिसान (एक राय है कि यह मिस्र से निकलती है)।

उदाहरण: 47 को 35 से गुणा करें,

1. संख्याओं को एक रेखा पर लिखिए, उनके बीच एक लंबवत रेखा खींचिए;
2. हम बाईं संख्या को 2 से विभाजित करेंगे, सही संख्या को 2 से गुणा करेंगे (यदि विभाजन के दौरान शेषफल होता है, तो हम शेष को छोड़ देते हैं);
3. विभाजन समाप्त होता है जब एक इकाई बाईं ओर दिखाई देती है;
4. हम उन रेखाओं को काटते हैं जिनमें बाईं ओर सम संख्याएँ होती हैं;35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
5. फिर शेष संख्याओं को दाईं ओर जोड़ें - यह परिणाम है।

2.2. ग्रिड विधि

उत्कृष्ट अरब गणितज्ञ और खगोलशास्त्री अबू अब्दला मोहम्मद बेन मुसा अल-ख्वारिज्मी बगदाद में रहते थे और काम करते थे। वैज्ञानिक ने हाउस ऑफ विजडम में काम किया, जहां एक पुस्तकालय और एक वेधशाला थी, लगभग सभी प्रमुख अरब वैज्ञानिक यहां काम करते थे।

मुहम्मद अल-ख्वारिज्मी के जीवन और कार्य के बारे में बहुत कम जानकारी है। उनकी केवल दो रचनाएँ बची हैं - बीजगणित पर और अंकगणित पर। इन पुस्तकों के अंतिम भाग में अंकगणित के चार नियम दिए गए हैं, जो लगभग आज के समय के समान ही हैं।

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उसके में "द बुक ऑफ इंडियन काउंटिंग"वैज्ञानिक ने आविष्कार की एक विधि का वर्णन किया प्राचीन भारत, और बाद में बुलाया गया"ग्रिड विधि". यह तरीका आज इस्तेमाल की जाने वाली विधि से भी सरल है।

उदाहरण: 25 और 63 को गुणा करें।

आइए एक तालिका बनाएं जिसमें दो सेल लंबाई में और दो चौड़ाई में, हम एक संख्या लंबाई में और दूसरी चौड़ाई में लिखते हैं। कोशिकाओं में हम इन संख्याओं को गुणा करने का परिणाम लिखते हैं, उनके चौराहे पर हम दहाई और एक को विकर्ण से अलग करते हैं। हम परिणामी संख्याओं को तिरछे जोड़ते हैं, और परिणाम को तीर (नीचे और दाईं ओर) के साथ पढ़ा जा सकता है।

मैंने एक सरल उदाहरण पर विचार किया है, हालांकि, किसी भी बहु-मूल्यवान संख्या को इस तरह से गुणा किया जा सकता है।

आइए एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 987 और 12 को गुणा करें:

1. एक 3 बटा 2 आयत बनाएं (प्रत्येक कारक के लिए दशमलव स्थानों की संख्या के अनुसार);
2. फिर हम वर्ग कोशिकाओं को तिरछे विभाजित करते हैं;
3. तालिका के शीर्ष पर हम संख्या 987 लिखते हैं;
4. तालिका के बाईं ओर संख्या 12;
5. अब प्रत्येक वर्ग में हम एक ही पंक्ति में स्थित संख्याओं के उत्पाद को दर्ज करते हैं और इस वर्ग के साथ एक ही कॉलम में, विकर्ण के नीचे दसियों, ऊपर वाले;
6. सभी त्रिभुजों को भरने के बाद, उनमें दाईं ओर प्रत्येक विकर्ण के साथ संख्याएँ जोड़ दी जाती हैं;
7. परिणाम तीर द्वारा पढ़ा जाता है।

दो गुणा करने के लिए यह एल्गोरिथ्म प्राकृतिक संख्याएंमध्य युग में पूर्व और इटली में आम था।

मैं एक आयताकार तालिका तैयार करने की श्रमसाध्यता में इस पद्धति की असुविधा को नोट करना चाहूंगा, हालांकि गणना प्रक्रिया अपने आप में दिलचस्प है और तालिका में भरना एक खेल जैसा दिखता है।

2.3. उंगलियों पर गुणन

प्राचीन मिस्रवासी बहुत धार्मिक थे और उनका मानना ​​था कि मृतक की आत्मा पुनर्जन्मएक उंगली गिनती परीक्षण के अधीन। यह पहले से ही उस महत्व की बात करता है जो पूर्वजों ने प्राकृतिक संख्याओं के गुणन को करने की इस पद्धति से जोड़ा था (इसे कहा जाता थाफिंगर अकाउंट).

उन्होंने उंगलियों पर एक अंक की संख्या को 6 से 9 तक गुणा किया। ऐसा करने के लिए, उन्होंने एक हाथ पर कई अंगुलियों को बढ़ाया क्योंकि पहला गुणक संख्या 5 से अधिक था, और दूसरे पर उन्होंने दूसरे गुणक के लिए भी ऐसा ही किया। बाकी उंगलियां मुड़ी हुई थीं। उसके बाद, उन्होंने दोनों हाथों पर जितनी अंगुलियों को बढ़ाया, उतने दहाई लिए, और इस संख्या में पहले और दूसरे हाथों पर मुड़ी हुई उंगलियों के उत्पाद को जोड़ा।

उदाहरण: 8 9 = 72

बाद में उंगलियों की संख्या में सुधार हुआ - उन्होंने उंगलियों की मदद से 10,000 तक की संख्या दिखाना सीखा।

उंगलियों की गति - यह स्मृति में मदद करने का एक और तरीका है: उंगलियों की मदद से, गुणा तालिका को 9 के लिए याद रखें। दोनों हाथों को टेबल पर एक साथ रखकर, हम दोनों हाथों की उंगलियों को इस प्रकार क्रम में रखते हैं: बाईं ओर पहली उंगली 1 से निरूपित किया जाएगा, इसके बाद दूसरे को संख्या 2 से दर्शाया जाएगा, फिर 3 , 4 ... दसवीं उंगली तक, जिसका अर्थ है 10. यदि आपको पहले नौ संख्याओं में से किसी को भी 9 से गुणा करने की आवश्यकता है, तो ऐसा करने के लिए, अपने हाथों को टेबल से हटाए बिना, आपको उस उंगली को ऊपर उठाने की जरूरत है जिसकी संख्या का मतलब है कि जिस संख्या से नौ गुणा किया जाता है; फिर उठी हुई उंगली के बाईं ओर की उंगलियों की संख्या दसियों की संख्या निर्धारित करती है, और उठी हुई उंगली के दाईं ओर की उंगलियों की संख्या परिणामी उत्पाद की इकाइयों की संख्या को इंगित करती है (अपने लिए देखें)।

इसलिए, हमने जिन पुरानी गुणन विधियों पर विचार किया है, वे बताती हैं कि स्कूल में उपयोग की जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के लिए एल्गोरिथ्म केवल एक ही नहीं है और यह हमेशा ज्ञात नहीं था।

हालांकि, यह काफी तेज और सबसे सुविधाजनक है।

अध्याय III। ओरल काउंटिंग - मन की जिम्नास्टिक

3.1. जोड़ और घटाव के विभिन्न तरीके

योग

मानसिक जोड़ करने का मूल नियम है:

किसी संख्या में 9 जोड़ने के लिए, उसमें 10 जोड़ें और 1 घटाएं, 8 जोड़ने के लिए 10 जोड़ें और 2 घटाएं; 7 जोड़ने के लिए, 10 जोड़ें और 3 घटाएँ, इत्यादि। उदाहरण के लिए:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

दो अंकीय संख्याओं के दिमाग में जोड़

यदि जोड़ी गई संख्या में इकाइयों की संख्या 5 से अधिक है, तो संख्या को पूर्णांकित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी राशि से पूर्णांकन त्रुटि घटाना चाहिए। यदि इकाइयों की संख्या कम है, तो हम पहले दहाई और फिर इकाइयाँ जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

तीन अंकों की संख्याओं का जोड़

हम बाएं से दाएं जोड़ते हैं, यानी पहले सैकड़ों, फिर दहाई, और फिर एक। उदाहरण के लिए:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

घटाव

अपने सिर में दो संख्याओं को घटाने के लिए, आपको घटाए गए को गोल करना होगा, और फिर परिणामी उत्तर को सही करना होगा।

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

100 से अधिक की संख्या में से 100 से कम संख्या घटाएं

यदि सबट्रेंड 100 से कम है और मिन्यूएंड 100 से अधिक है लेकिन 200 से कम है, तो आपके दिमाग में अंतर की गणना करने का एक आसान तरीका है। 134-76 = 58

76, 100 से 24 कम है। 134, 100 से 34 अधिक है। 24 को 34 में जोड़ें और उत्तर प्राप्त करें: 58।

152-88=64

88, 100 से 12 कम है, और 152, 100 से 52 से अधिक है, इसलिए

152-88=12+52=64

3.2. गुणन और विभाजन के विभिन्न तरीके

इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करने के बाद, मैंने विभिन्न त्वरित गणना तकनीकों में से चयन किया, मैंने गुणा और भाग तकनीकों को चुना जो किसी भी छात्र के लिए समझने और उपयोग करने में आसान हैं। मैंने इन तकनीकों को मेमो (परिशिष्ट III) में शामिल किया है, जो कक्षा 5-6 के छात्रों के लिए उपयोगी होगी।

1. किसी संख्या को 4 से गुणा और भाग देना।

किसी संख्या को 4 से गुणा करने के लिए, आपको उसे 2 से दो बार गुणा करना होगा।

उदाहरण के लिए:

26 4=(26 2) 2=52 2=104;

417 4=(417 2) 2=834 2=1668।

किसी संख्या को 4 से भाग देने के लिए, आपको उसे दो बार 2 से भाग देना होगा।

उदाहरण के लिए:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

1. किसी संख्या को 5 से गुणा और भाग देना।

किसी संख्या को 5 से गुणा करने के लिए, आपको इसे 10 से गुणा करना होगा और 2 से भाग देना होगा।

उदाहरण के लिए:

236 5=(236 10):2=2360:2=1180।

किसी संख्या को 5 से भाग देने के लिए, आपको 2 से गुणा करना होगा और 10 से भाग देना होगा, अर्थात। अंतिम अंक को अल्पविराम से अलग करें।

उदाहरण के लिए:

236:5=(236 2):10=472:10=47.2.

1. किसी संख्या को 1.5 से गुणा करना।

किसी संख्या को 1.5 से गुणा करने के लिए, आपको उसका आधा मूल संख्या में जोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए: 34 1.5=34+17=51;

146 1.5=146+73=219.

1. किसी संख्या को 9 से गुणा करना।

किसी संख्या को 9 से गुणा करने के लिए उसमें 0 जोड़ें और मूल संख्या घटाएं।

उदाहरण के लिए: 72 9=720-72=648।

1. 25 से गुणा करें एक संख्या जो 4 से विभाज्य है।

25 से गुणा करने के लिए जो 4 से विभाज्य है, आपको इसे 4 से विभाजित करना होगा और परिणामी संख्या को 100 से गुणा करना होगा।

उदाहरण के लिए: 124 25=(124:4) 100=31 100=3100।

1. दो अंकों की संख्या को 11 . से गुणा करना

दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करते समय, आपको इकाई अंक और दहाई अंक के बीच इन अंकों का योग दर्ज करना होगा, और यदि अंकों का योग 10 से अधिक है, तो उच्चतम अंक में एक जोड़ा जाना चाहिए ( पहला अंक)।

उदाहरण के लिए:
23 11=253, क्योंकि 2+3=5, इसलिए 2 और 3 के बीच हम संख्या 5 डालते हैं;
57 11=627, क्योंकि 5+7=12, संख्या 2 को 5 और 7 के बीच रखें, और 1 से 5 जोड़ें, 5 के बजाय 6 लिखें।

"किनारों को मोड़ो, उन्हें बीच में रखो" - ये शब्द आपको आसानी से याद रखने में मदद करेंगे इस तरह 11 से गुणा।

यह विधि केवल दो अंकों की संख्याओं को गुणा करने के लिए उपयुक्त है।

1. दो अंकों की संख्या को 101 से गुणा करना।

किसी संख्या को 101 से गुणा करने के लिए, आपको विशेषता देने की आवश्यकता है दी गई संख्याउसी के लिए।

उदाहरण के लिए: 34 101 = 3434।

स्पष्ट करने के लिए, 34 101 = 34 100+34 1=3400+34=3434।

1. 5 पर समाप्त होने वाली दो अंकों की संख्या का वर्ग करना।

5 से समाप्त होने वाली दो अंकों की संख्या का वर्ग करने के लिए, आपको दहाई के अंक को एक से अधिक अंक से गुणा करना होगा, और परिणामी उत्पाद के दाईं ओर संख्या 25 को जोड़ना होगा।
उदाहरण के लिए: 35 2 =1225, यानी 3 4 \u003d 12 और हम 25 से 12 की विशेषता रखते हैं, हमें 1225 मिलते हैं।

1. 5 से शुरू होने वाली दो अंकों की संख्या का वर्ग करना।

पांच से शुरू होने वाली दो अंकों की संख्या का वर्ग करने के लिए, आपको संख्या के दूसरे अंक को 25 में जोड़ना होगा और दूसरे अंक के वर्ग को दाईं ओर असाइन करना होगा, और यदि दूसरे अंक का वर्ग एकल अंक संख्या है, तो उसके पहले नंबर 0 दिया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए:
52 2 = 2704, क्योंकि 25+2=28 और 2 2 =04;
58 2 = 3364, क्योंकि 25+8=33 और 82=64.

3.3. खेल

प्राप्त संख्या का अनुमान लगाना।

1. एक संख्या के बारे में सोचो। इसमें 11 जोड़ें; प्राप्त राशि को 2 से गुणा करें; इस उत्पाद से 20 घटाएं; परिणामी अंतर को 5 से गुणा करें और नए उत्पाद से एक संख्या घटाएं जो आपके इच्छित संख्या का 10 गुना है।मुझे लगता है कि आपको 10 मिल गए हैं। है ना?
2. एक संख्या के बारे में सोचो। उसके साथ ऐसा व्यवहार करो। परिणाम से 1 घटाएं। परिणाम को 5 से गुणा करें। परिणाम में 20 जोड़ें। परिणाम को 15 से विभाजित करें। परिणाम से इच्छित परिणाम घटाएं।आपको 1 मिला।
3. एक संख्या के बारे में सोचो। इसे 6 से गुणा करें। घटाएं। 3. गुणा करें। 2। 26 जोड़ें। जो आपने सोचा था उसे दो बार घटाएं। 10 से भाग दें। जो आपने सोचा था उसे घटाएं।आपको 2.
4. एक संख्या के बारे में सोचो। इसे तिगुना करें। घटाएं 2. 5 से गुणा करें। 5 जोड़ें। 5 से विभाजित करें। 1 जोड़ें। आपने जो सोचा था उससे विभाजित करें।आपको 3.
5. एक संख्या के बारे में सोचो, इसे दोगुना करो। 3 जोड़ें। 4 से गुणा करें। 12 घटाएं। जो आपने सोचा था उससे विभाजित करें।आपको 8.

दिए गए नंबरों का अनुमान लगाना।

1. किसी भी संख्या के बारे में सोचने के लिए अपने दोस्तों को आमंत्रित करें। सभी को अपनी इच्छित संख्या में 5 जोड़ने दें।
2. परिणामी योग को 3 से गुणा करने दें।
3. मान लीजिए कि गुणनफल से 7 घटाना है।
4. आइए परिणाम से 8 और घटाएं।
5. सभी को आपको अंतिम परिणाम के साथ एक शीट देने दें। शीट को देखकर आप तुरंत सभी को बता दें कि उसके मन में कौन सा नंबर है।

(कल्पित संख्या का अनुमान लगाने के लिए, परिणाम, कागज के एक टुकड़े पर लिखा जाता है या आपको मौखिक रूप से बताया जाता है, 3 से विभाजित होता है)।

निष्कर्ष

हम नई सहस्राब्दी में प्रवेश कर चुके हैं! भव्य खोजेंऔर मानव जाति की उपलब्धियां। हम बहुत कुछ जानते हैं, हम बहुत कुछ कर सकते हैं। यह कुछ अलौकिक लगता है कि संख्याओं और सूत्रों की मदद से कोई अंतरिक्ष यान की उड़ान की गणना कर सकता है, देश में "आर्थिक स्थिति", "कल" ​​का मौसम, एक राग में नोटों की ध्वनि का वर्णन करता है। ईसा पूर्व चौथी शताब्दी में रहने वाले प्राचीन यूनानी गणितज्ञ, दार्शनिक का कथन हम जानते हैं। - पाइथागोरस - "सब कुछ एक संख्या है!"।

कंप्यूटिंग के प्राचीन तरीकों का वर्णन करना और आधुनिक तकनीकत्वरित गणना, मैंने यह दिखाने की कोशिश की कि अतीत और भविष्य दोनों में, कोई गणित के बिना नहीं कर सकता, मानव मन द्वारा बनाया गया विज्ञान।

गणना के प्राचीन तरीकों के अध्ययन से पता चला है कि विभिन्न तरीकों और उनके बोझिल निष्पादन के कारण ये अंकगणितीय संचालन कठिन और जटिल थे।

कंप्यूटिंग के आधुनिक तरीके सरल और सभी के लिए सुलभ हैं।

वैज्ञानिक साहित्य से परिचित होने पर, मैंने गणना के तेज़ और अधिक विश्वसनीय तरीके खोजे।

यह संभव है कि पहली बार कई लोग चलते-फिरते इन या अन्य गणनाओं को जल्दी से नहीं कर पाएंगे। आइए पहले काम में दिखाई गई तकनीक का उपयोग करने में विफल रहें। कोई दिक्कत नहीं है। लगातार कम्प्यूटेशनल प्रशिक्षण की जरूरत है। पाठ के बाद पाठ, साल दर साल। यह उपयोगी मौखिक गिनती कौशल हासिल करने में मदद करेगा।

जर्मन वैज्ञानिक कार्ल गॉस को गणितज्ञों का राजा कहा जाता था। उनकी गणितीय प्रतिभा बचपन में ही प्रकट हो गई थी। एक बार स्कूल में (गॉस 10 वर्ष का था), शिक्षक ने कक्षा को 1 से 100 तक सभी संख्याओं को जोड़ने के लिए कहा। जब वह कार्य निर्धारित कर रहा था, गॉस के पास पहले से ही एक उत्तर तैयार था। अपने पर स्लेट बोर्डयह लिखा था: 101 50=5050। उन्होंने गणना कैसे की? यह बहुत आसान है - उसने तेजी से गिनती की तकनीक लागू की, उसने पहली संख्या को अंतिम में जोड़ा, दूसरे को अंतिम से जोड़ा, और इसी तरह। ऐसे केवल 50 योग हैं और प्रत्येक 101 के बराबर है, इसलिए वह लगभग तुरंत ही सही उत्तर देने में सक्षम था।

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101 50=5050। यह उदाहरण सबसे अच्छा दिखाता है कि लगभग सभी स्कूली बच्चों को मौखिक रूप से जल्दी और सही ढंग से गिनना संभव है, इसके लिए आपको बस त्वरित गिनती के तरीकों को जानने की जरूरत है।

मैंने अपने काम के परिणामों को एक ज्ञापन में तैयार किया है जिसे मैं अपने सभी सहपाठियों को पेश करूंगा, और मैं इसे स्कूल के विषयगत स्टैंड "इट्स इंटरेस्टिंग!" पर भी रखूंगा। यह संभव है कि पहली बार से हर कोई इन तकनीकों का उपयोग करते हुए, चलते-फिरते, जल्दी से गणना करने में सक्षम नहीं होगा, भले ही पहली बार में आप मेमो में दिखाई गई तकनीक का उपयोग नहीं कर सकते, ठीक है, आपको बस निरंतर कम्प्यूटेशनल की आवश्यकता है प्रशिक्षण। यह आपको त्वरित गणना के उपयोगी कौशल हासिल करने में मदद करेगा।

आंकड़ों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के बाद, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए।परिणाम:

1. आपको गिनने में सक्षम होने की आवश्यकता है, क्योंकि यह जीवन में काम आएगा, 93% छात्रों का मानना ​​है कि स्कूल में अच्छी तरह से अध्ययन करने के लिए - 72%, जल्दी से निर्णय लेना - 61%, साक्षर होना - 34% और यह है गिनने में सक्षम होने के लिए आवश्यक नहीं - केवल 3%।
2. कौशल अच्छा स्कोर 100% छात्रों का मानना ​​है कि वे गणित के अध्ययन के साथ-साथ भौतिकी के अध्ययन में भी आवश्यक हैं - 90%, रसायन विज्ञान - 80%, सूचना विज्ञान - 44%, प्रौद्योगिकी - 36%।
3. 16% (कई तरकीबें), 25% (कई तरकीबें) तेजी से गिनती के गुर जानते हैं, 59% छात्र त्वरित गिनती के गुर नहीं जानते हैं।
4. 21% छात्र फ़ास्ट काउंटिंग तकनीकों का उपयोग करते हैं, कभी-कभी उनका उपयोग 15% द्वारा किया जाता है।
5. 93% छात्र जल्दी से गिनना सीखना चाहेंगे।

निष्कर्ष:

1. तेजी से गिनती की तकनीकों का ज्ञान आपको गणनाओं को सरल बनाने, समय बचाने, तार्किक सोच और दिमाग के लचीलेपन को विकसित करने की अनुमति देता है।
2. स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में व्यावहारिक रूप से कोई त्वरित गणना तकनीक नहीं है, इसलिए इस कार्य का परिणाम - 5-6 वीं कक्षा के छात्रों के लिए एक त्वरित गणना मार्गदर्शिका बहुत उपयोगी होगी।

प्रयुक्त साहित्य की सूची

1. वंत्स्यान ए.जी. गणित: कक्षा 5 के लिए पाठ्यपुस्तक। - समारा: पब्लिशिंग हाउसफेडोरोव, 1999
2. कोर्डेम्स्की बी.ए., अखादोव ए.ए. अद्भुत दुनियाअंक: छात्रों की पुस्तक, - एम. ​​ज्ञानोदय, 1986।
3. मिन्स्कीख ई.एम. "खेल से ज्ञान तक", एम।, "ज्ञानोदय", 1982
4. स्वेचनिकोव ए.ए. संख्याएं, आंकड़े, कार्य। एम।, प्रबुद्धता, 1977।हाँ नहीं पता नहीं https://accounts.google.com

हमें बचपन से ही गिनती का हुनर ​​सिखाया जाता है। ये जोड़, घटाव, गुणा और भाग की प्राथमिक संक्रियाएँ हैं। छोटी संख्या के मामले में, उन्हें आसानी से भी संभाला जाता है जूनियर स्कूली बच्चे, लेकिन कार्य तब और अधिक जटिल हो जाता है जब आपको दो-अंकीय या तीन-अंकीय संख्या के साथ कोई क्रिया करने की आवश्यकता होती है। हालांकि, प्रशिक्षण, सरल अभ्यास और छोटी-छोटी तरकीबों की मदद से इन ऑपरेशनों को त्वरित मानसिक प्रसंस्करण के अधीन करना काफी संभव है।

आप पूछ सकते हैं कि यह क्यों आवश्यक है, क्योंकि कैलकुलेटर जैसी एक आसान चीज है, और चरम मामलों में, गणना करने के लिए हमेशा हाथ में कागज होता है। त्वरित मानसिक अंकगणित के कई फायदे हैं:

समस्या के अन्य पहलुओं को संबोधित करने का अवसर।अक्सर, कार्यों में कम से कम दो पक्ष होते हैं: विशुद्ध रूप से अंकगणित (संख्याओं के साथ संचालन) और बौद्धिक और रचनात्मक (किसी विशिष्ट कार्य के लिए एक उपयुक्त समाधान चुनना, एक तेज़ समाधान के लिए एक गैर-मानक दृष्टिकोण, आदि)। यदि छात्र पहले पक्ष के साथ अच्छी तरह से और जल्दी से सामना नहीं करता है, तो दूसरा पक्ष इससे ग्रस्त है: अंकगणितीय घटक के कार्यान्वयन पर ध्यान केंद्रित करते हुए, बच्चा कार्य के अर्थ के बारे में नहीं सोचता है, पकड़ या अधिक नहीं देख सकता है सरल उपाय. यदि मतगणना कार्यों को स्वचालितता में लाया जाता है या बस आवश्यकता नहीं होती है एक बड़ी संख्या मेंसमय, फिर कार्य "चालू" के अर्थ का विस्तृत विचार, इसे लागू करना संभव हो जाता है रचनात्मकताउसे।

खुफिया प्रशिक्षण।मन में लेखांकन आपको अपनी बुद्धि को अच्छी स्थिति में रखने की अनुमति देता है, लगातार उपयोग करें सोच प्रक्रियाएं. यह उन कार्यों के लिए विशेष रूप से सच है जिनके साथ बड़ी संख्याजब हम ऑपरेशन को यथासंभव सरल बनाने के लिए एक विधि का चयन करते हैं।

टेबल व्यायाम

अभ्यास किसी भी उम्र के बच्चों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जिन्हें ऑपरेशन करने में कठिनाई होती है अभाज्य सँख्या(एकल और दोहरे अंक)। आपको सरल अंकगणितीय संक्रियाओं को स्वचालितता में लाने के लिए, मौखिक गिनती के कौशल को प्रशिक्षित करने की अनुमति देता है।

आवश्यक सामग्री: अभ्यास को पूरा करने के लिए, आपको एक और दो अंकों की संख्याओं के ग्रिड की आवश्यकता होगी। उदाहरण:

पहले कॉलम में वे संख्याएँ होती हैं जिनके साथ आपको क्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। दूसरे में - इन कार्यों के उत्तर। विशेष रूप से कटे हुए बुकमार्क का उपयोग करके, आप गणना की शुद्धता की जांच कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

व्यायाम विकल्प:

क्रम से अपने दिमाग में ग्रिड में संख्याओं के जोड़े जोड़ें। उत्तर ज़ोर से बोलें और दूसरे कॉलम और बुकमार्क से स्वयं की जाँच करें। कार्य को मुक्त गति से या थोड़ी देर के लिए किया जा सकता है।

ग्रिड से अपने दिमाग में संख्याओं को क्रमिक रूप से घटाएं।

क्रम से अपने दिमाग में ग्रिड में संख्याओं के जोड़े जोड़ें। प्रत्येक योग में संख्या 5 जोड़ें और उत्तर जोर से कहें।

क्रमिक रूप से अपने दिमाग में ग्रिड में संख्याओं के त्रिगुणों को एक साथ रखें।

ग्रिड में सभी संख्याओं के अनुरूप, निम्न कार्य करें: नीचे की संख्या जोड़ें, कॉलम में अगली संख्या को परिणामी राशि से घटाएं।

ऐसी तालिकाओं के आधार पर कोई भी कार्य बनाया जा सकता है। अभ्यास के संशोधन के आधार पर ग्रिड संकलित किए जाते हैं।

जरूरी!परिणाम देने के लिए अभ्यास के लिए, इसे नियमित रूप से किया जाना चाहिए, जब तक कि कौशल पूरी तरह से महारत हासिल न हो जाए।

माहिर गुणन

यह अभ्यास उन बच्चों के लिए अभिप्रेत है जिन्होंने 1 से 10 तक गुणन तालिका में महारत हासिल की है। यह दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से गुणा करने के कौशल को प्रशिक्षित करता है।

एक कॉलम दो अंकों की मनमानी संख्याओं से बना होता है। बच्चे के लिए कार्य: इन संख्याओं को पहले 1 से क्रमिक रूप से गुणा करें, फिर 2 से, 3 से, आदि। उत्तर जोर से बोला जाता है। इसे तब तक निष्पादित किया जाता है जब तक कि उत्तर याद नहीं हो जाते और स्वचालित रूप से जारी नहीं किए जाएंगे।

मुख्य बात ध्यान है

व्यायाम:संख्याओं को क्रम से जोड़ें: 3000 + 2000+ 30 + 2000 + 10 + 20 + 1000 + 10 + 1000 + 30 =

उत्तर का नाम बताइए। कैलकुलेटर से खुद को जांचें।

यदि उत्तर सही निकला, तो सफलता को समेकित करना और इसी तरह के कई और उदाहरणों को हल करना आवश्यक है (उन्हें मनमाने ढंग से संकलित किया जा सकता है)। यदि उत्तर में कोई त्रुटि थी, तो आपको संख्याओं के क्रम पर वापस लौटना होगा और उसे ठीक करना होगा।

विचार क्या है:संख्याओं को जोड़ने के परिणामस्वरूप, योग 9100 है। लेकिन यदि आप इसे ध्यान से नहीं करते हैं, तो उत्तर 10000 स्वतः ही आ जाएगा (मस्तिष्क राशि को गोल करने के लिए, उत्तर को और अधिक सुंदर बनाने के लिए)। इसलिए, कई क्रियाओं में अंकगणितीय समस्याओं को करते समय अपने कार्यों पर नियंत्रण बनाए रखना बहुत महत्वपूर्ण है।

संभावित उदाहरण:

3000 – 700 — 60 – 500 — 40 – 300 -20 – 100 =

100:2:2*3*2 + 50 – 100 + 200 – 30 =

यदि अधिकांश उदाहरणों को त्रुटियों के साथ हल किया जाता है (लेकिन! सिद्धांत रूप में गिनने की क्षमता से संबंधित नहीं), तो यह ध्यान की एकाग्रता को बढ़ाने के लिए समझ में आता है। इसके लिए आप कर सकते हैं:

बाहरी उत्तेजनाओं को कम करें।उदाहरण के लिए, यदि संभव हो, तो दूसरे कमरे में जाएं, संगीत बंद करें, खिड़की बंद करें, आदि। यदि आपको पाठ के दौरान उदाहरण पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता है, जब बाहर जाने और पूर्ण मौन प्राप्त करने का कोई रास्ता नहीं है, तो आपको अपनी आँखें बंद करने और उन संख्याओं की कल्पना करने की आवश्यकता है जिनके साथ क्रियाएं की जाती हैं।

विवाद का एक तत्व जोड़ें।यह जानना कि क्या सही है और शीघ्र निर्णयप्रतिद्वंद्वी और/या किसी प्रकार के इनाम पर जीत लाता है, छात्र संख्याओं पर ध्यान केंद्रित करने और गणना प्रक्रिया में सबसे अधिक प्रयास करने के लिए तैयार है।

व्यक्तिगत रिकॉर्ड सेट करें।आप गणना प्रक्रिया में छात्र द्वारा की गई सभी गलतियों की कल्पना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, बड़ी पंखुड़ियों वाला एक फूल बनाएं (पंखुड़ियों की संख्या = हल किए गए उदाहरणों की संख्या)। जितने उदाहरणों को त्रुटियों के साथ हल किया गया था, उतनी ही पंखुड़ियों को काले रंग से रंगा जाएगा। उदाहरण के प्रत्येक सेट के साथ व्यक्तिगत रिकॉर्ड स्थापित करते हुए, जितना संभव हो सके काली पंखुड़ियों की संख्या को कम करना कार्य है।

समूहन।कई संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ने/घटाने पर, आपको यह देखना होगा कि उनमें से कौन-सी संख्या जोड़ने/घटाने पर एक पूर्णांक प्राप्त होगा: 13 और 67, 98 और 32, 49 और 11, आदि। सबसे पहले, इन नंबरों के साथ क्रियाएं करें, और फिर बाकी पर जाएं। उदाहरण: 7+65+43+82+64+28=(7+43)+(82+28)+65+64=50+110+124=289

दहाई और इकाइयों में अपघटन।दो दो अंकों की संख्या (उदाहरण के लिए, 24 और 57) को गुणा करते समय, उनमें से एक (छोटी संख्या में समाप्त होने वाली) को दहाई और एक में विभाजित करना फायदेमंद होता है: 24 को 20 और 4 के रूप में। दूसरी संख्या को पहले दस से गुणा किया जाता है। (57 बटा 20), फिर इकाइयों द्वारा (57 बटा 4)। फिर दोनों मान जोड़े जाते हैं। उदाहरण: 24×57=57×20+57×4=1140+228=1368

5 से गुणा करें।किसी भी संख्या को 5 से गुणा करते समय पहले उसे 10 से गुणा करना और फिर 2 से भाग देना अधिक लाभदायक होता है। उदाहरण: 45×5=45×10/2=450/2=225

4 और 8 से गुणा करें।जब 4 से गुणा किया जाता है, तो संख्या को दो बार 2 से गुणा करना अधिक लाभदायक होता है; 8 से - तीन गुणा 2. उदाहरण: 63x4=63x2x2=126x2=252

4 और 8 से विभाजन।गुणन के समान: 4 से विभाजित करते समय, संख्या को दो बार 2 से, 8 से - तीन बार 2 से विभाजित करें। उदाहरण: 192/8=192/2/2/2=96/2/2=48/2=24

5 में समाप्त होने वाली वर्ग संख्याएँ।निम्नलिखित एल्गोरिथम इस क्रिया को सुविधाजनक बनाएगा: दहाई की संख्या, वर्ग संख्या, को उसी जमा एक से गुणा किया जाता है और अंत में 25 के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। उदाहरण: 75^2=7x(7+1)=7×8=5625

सूत्र गुणन।कुछ मामलों में, गणना की सुविधा के लिए, आप वर्गों के अंतर का सूत्र लागू कर सकते हैं: (a+b)x(a-b)=a^2-b^2. उदाहरण: 52×48=(50+2)x(50-2)=50^2-2^2=2500-4=2496

पी.एस. ये नियम मानसिक गणना को बहुत सरल कर सकते हैं, लेकिन नियमित अभ्यास आवश्यक है ताकि आप सही समय पर नियम का सही उपयोग कर सकें। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए ऐसे कई उदाहरणों को हल करने की अनुशंसा की जाती है, जो आपको कौशल को स्वचालित करने की अनुमति देगा। शुरू करने के लिए, आप कागज पर गणना लिख ​​सकते हैं, धीरे-धीरे लेखन की मात्रा को कम कर सकते हैं और संचालन को मानसिक योजना में अनुवाद कर सकते हैं। सबसे पहले, एक कॉलम में कैलकुलेटर या मानक गणनाओं के साथ अपने उत्तरों की जांच करने की भी सिफारिश की जाती है।