जटिल आंकड़े

काल्पनिक तथा जटिल आंकड़े। एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट

जटिल संख्या। सम्मिश्र संख्याओं को संयुग्मित करें।

जटिल संख्याओं के साथ संचालन। ज्यामितिक

जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व। जटिल विमान।

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क। त्रिकोणमितीय

जटिल संख्या रूप। परिसर के साथ संचालन

त्रिकोणमितीय रूप में संख्याएँ। मोइवर का सूत्र।

के बारे में प्रारंभिक जानकारी काल्पनिक तथा जटिल आंकड़े "काल्पनिक और जटिल संख्या" खंड में दिए गए हैं। मामले के लिए द्विघात समीकरणों को हल करते समय एक नए प्रकार के इन नंबरों की आवश्यकता दिखाई दीडी< 0 (здесь डी- द्विघात समीकरण का विवेचक)। लंबे समय तक इन नंबरों का भौतिक उपयोग नहीं हुआ, इसलिए इन्हें "काल्पनिक" संख्याएं कहा जाता था। हालाँकि, अब वे भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

और प्रौद्योगिकी: इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रो- और वायुगतिकी, लोच का सिद्धांत, आदि।

जटिल आंकड़े के रूप में लिखा जाता है:एक + द्वि... यहां एतथा बी – वास्तविक संख्या , ए मैं – काल्पनिक इकाई, अर्थात्।इ। मैं 2 = –1. संख्या एबुलाया सूच्याकार आकृति का भुज, ए बी - समन्वयजटिल संख्याए + द्वि।दो सम्मिश्र संख्याएक + द्वितथा ए - द्वि कहा जाता है संबद्धजटिल आंकड़े।

बुनियादी समझौते:

1. वास्तविक संख्याएफॉर्म में भी लिखा जा सकता हैजटिल संख्या:ए + 0 मैंया ए - 0 मैं. उदाहरण के लिए, रिकॉर्ड 5 + 0मैंऔर 5 - 0 मैंमतलब एक ही नंबर 5 .

2. जटिल संख्या 0 + द्विबुलाया विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या. रिकॉर्डिंगद्विइसका मतलब 0 . के समान है + द्वि.

3. दो सम्मिश्र संख्याएक + द्वि तथासी + दीबराबर माना जाता है अगरए = सीतथा बी = डी... अन्यथा सम्मिश्र संख्याएँ समान नहीं हैं।

योग। सम्मिश्र संख्याओं का योगएक + द्वितथा सी + दीसम्मिश्र संख्या कहलाती है (ए + सी ) + (बी + डी ) मैं।इस प्रकार, जोड़ते समय सम्मिश्र संख्याएँ, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

यह परिभाषा साधारण बहुपदों से निपटने के नियमों का पालन करती है।

घटाव। दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतरएक + द्वि(कम) और सी + दी(घटाना) एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है (एसी ) + (बी - डी ) मैं।

इस प्रकार, दो सम्मिश्र संख्याओं को घटाते समय, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग घटाए जाते हैं।

गुणन। सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफलएक + द्वितथा सी + दी एक जटिल संख्या कहा जाता है:

(एसी - बीडीओ ) + (विज्ञापन + बीसी ) मैं।यह परिभाषा दो आवश्यकताओं से निम्नानुसार है:

1) अंक एक + द्वितथा सी + दीबीजीय की तरह गुणा किया जाना चाहिएद्विपद,

2) संख्या मैंमुख्य संपत्ति है:मैं 2 = – 1.

उदाहरण ( एक + द्वि )(ए - द्वि) = ए 2 + बी 2 . अत, काम

दो संयुग्म सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक के बराबर होती हैं

एक सकारात्मक संख्या।

विभाजन। सम्मिश्र संख्या विभाजित करेंएक + द्वि (विभाज्य) दूसरे द्वारासी + दी(विभक्त) - का अर्थ है तीसरी संख्या ज्ञात करनाई + एफ मैं(चैट), जिसे एक भाजक से गुणा किया जा रहा हैसी + दी, लाभांश में परिणामए + द्वि।

यदि भाजक शून्य नहीं है, तो विभाजन हमेशा संभव है।

उदाहरण खोजें (8 +मैं ) : (2 – 3 मैं) .

हल। आइए इस अनुपात को भिन्न के रूप में फिर से लिखें:

इसके अंश और हर को 2 + 3 . से गुणा करनामैं

तथा सभी परिवर्तनों को पूरा करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण। वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है:

यहाँ बिंदु एमतलब संख्या -3, बिंदुबी- नंबर 2, और हे- शून्य। इसके विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसके लिए हम दोनों अक्षों पर समान पैमानों वाले आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक चुनते हैं। तब सम्मिश्र संख्याएक + द्वि एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा एब्सिस्सा के साथ पी ए और कोर्डिनेट बी (अंजीर देखें।) इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान .

मापांक सम्मिश्र संख्या वेक्टर की लंबाई हैसेशननिर्देशांक पर एक जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व ( एकीकृत) विमान। जटिल संख्या मॉड्यूलएक + द्विद्वारा निरूपित | एक + द्वि| या पत्र आर

कैलकुलेटर का उपयोग करना

किसी व्यंजक का मूल्यांकन करने के लिए, आपको मूल्यांकन करने के लिए एक स्ट्रिंग दर्ज करनी होगी। संख्या दर्ज करते समय, एक अवधि पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच विभाजक होती है। आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं। सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ गुणन (*), भाग (/), जोड़ (+), घटाव (-), घातांक (^) और अन्य हैं। घातीय और बीजीय रूपों का उपयोग जटिल संख्याओं के लिए संकेतन के रूप में किया जा सकता है। एक काल्पनिक इकाई का परिचय दें मैंयह गुणन चिह्न के बिना संभव है, अन्य मामलों में गुणन चिह्न की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, कोष्ठक के बीच या किसी संख्या और स्थिरांक के बीच। स्थिरांक का भी उपयोग किया जा सकता है: संख्या को pi, घातांक के रूप में दर्ज किया जाता है इ, घातांक में किसी भी भाव को कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए।

गणना करने के लिए एक स्ट्रिंग का एक उदाहरण: (4.5 + i12) * (3.2i-2.5) / ई ^ (i1.25 * pi), जो व्यंजक \ [\ frac ((4 (,) 5 + i12) (3 (,) 2i-2 (,) 5)) से मेल खाती है (e ^ (i1 (,) 25 \ pi)) \]

कैलकुलेटर स्थिरांक, गणितीय कार्यों, अतिरिक्त संचालन और अधिक जटिल अभिव्यक्तियों का उपयोग कर सकता है, आप इस साइट पर कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए सामान्य नियमों के पृष्ठ पर इन संभावनाओं से खुद को परिचित कर सकते हैं।

साइट निर्माणाधीन है, कुछ पृष्ठ अनुपलब्ध हो सकते हैं।

समाचार

07.07.2016
गैर-रेखीय बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए जोड़ा गया कैलकुलेटर:।

30.06.2016
साइट में एक उत्तरदायी डिज़ाइन है, बड़े मॉनीटर और मोबाइल उपकरणों दोनों पर पृष्ठों को पर्याप्त रूप से प्रदर्शित किया जाता है।

प्रायोजक

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आइए हम सम्मिश्र संख्याओं के बारे में आवश्यक जानकारी याद करें।

जटिल संख्यारूप की अभिव्यक्ति है ए + द्वि, कहां ए, बीवास्तविक संख्याएं हैं, और मैं- तथाकथित काल्पनिक इकाई, एक वर्ण जिसका वर्ग -1 है, वह है मैं 2 = -1। संख्या एबुलाया असली हिस्साऔर संख्या बी - काल्पनिक हिस्साजटिल संख्या जेड = ए + द्वि... अगर बी= 0, फिर . के बजाय ए + 0मैंसरलता से लिखें ए... यह देखा जा सकता है कि वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याओं की एक विशेष स्थिति होती हैं।

सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ वास्तविक संख्याओं की तरह ही होती हैं: उन्हें एक दूसरे से जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। जोड़ और घटाव नियम के अनुसार होता है ( ए + द्वि) ± ( सी + डि) = (ए ± सी) + (बी ± डी)मैं, और गुणा - नियम के अनुसार ( ए + द्वि) · ( सी + डि) = (एसी – बीडीओ) + (विज्ञापन + बीसी)मैं(यह सिर्फ यहाँ प्रयोग किया जाता है कि मैं 2 = -1)। संख्या = ए – द्विबुलाया जटिल सन्युग्मप्रति जेड = ए + द्वि... समानता जेड · = ए 2 + बी 2 आपको यह समझने की अनुमति देता है कि एक सम्मिश्र संख्या को दूसरी (गैर-शून्य) सम्मिश्र संख्या से कैसे विभाजित किया जाए:

(उदाहरण के लिए, .)

जटिल संख्याओं का एक सुविधाजनक और सहज ज्यामितीय प्रतिनिधित्व होता है: संख्या जेड = ए + द्विनिर्देशांक के साथ एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है ( ए; बी) कार्तीय तल पर (या, जो लगभग समान है, एक बिंदु - इन निर्देशांकों के साथ सदिश का अंत)। इस स्थिति में, दो सम्मिश्र संख्याओं के योग को संबंधित सदिशों के योग के रूप में दर्शाया जाता है (जिसे समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा पाया जा सकता है)। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, निर्देशांक के साथ वेक्टर की लंबाई ( ए; बी) बराबर है। इस मात्रा को कहा जाता है मापांकजटिल संख्या जेड = ए + द्विऔर द्वारा निरूपित | जेड|. यह वेक्टर एब्सिस्सा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ जो कोण बनाता है (वामावर्त गिना जाता है) कहलाता है तर्कजटिल संख्या जेडऔर Arg . द्वारा निरूपित किया जाता है जेड... तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, लेकिन केवल 2 . के गुणज के योग तक ही है π रेडियन (या 360 °, यदि आप डिग्री में गिनते हैं) - आखिरकार, यह स्पष्ट है कि मूल के चारों ओर इस तरह के कोण से घूमने से वेक्टर नहीं बदलेगा। लेकिन अगर लंबाई का सदिश आरएक कोण बनाता है φ भुज अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ, तो इसके निर्देशांक हैं ( आरक्योंकि φ ; आरपाप φ ) इसलिए यह पता चला है त्रिकोणमितीय संकेतनजटिल संख्या: जेड = |जेड| (कोस (अर्ग .) जेड) + मैंपाप जेड))। इस रूप में जटिल संख्याएँ लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है, क्योंकि यह गणनाओं को बहुत सरल करता है। त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं को गुणा करना बहुत आसान लगता है: जेड 1 · जेड 2 = |जेड 1 | · | जेड 2 | (कोस (अर्ग .) जेड 1 + अर्गो जेड 2) + मैंपाप जेड 1 + अर्गो जेड 2)) (दो जटिल संख्याओं को गुणा करते समय, उनके मॉड्यूल गुणा किए जाते हैं, और तर्क जोड़े जाते हैं)। इसलिए अनुसरण करें मोइवर सूत्र: जेड एन = |जेड|एन(क्योंकि ( एन(आर्गो जेड)) + मैंपाप ( एन(आर्गो जेड)))। इन फ़ार्मुलों का उपयोग करके, जटिल संख्याओं से किसी भी डिग्री की जड़ें निकालना सीखना आसान है। z . का वां मूलइतनी जटिल संख्या है वू, क्या डब्ल्यू नहीं = जेड... यह स्पष्ट है कि , और कहाँ कसेट से कोई भी मान ले सकते हैं (0, 1, ..., एन- 1)। इसका मतलब है कि हमेशा सटीक होता है एनजड़ों एन-एक जटिल संख्या की डिग्री (विमान पर, वे सही के शीर्ष पर स्थित हैं एन-गॉन)।

कक्षा 12 . जटिल आंकड़े।

12.1. बीजीय रूप में जटिल संख्याओं की परिभाषा। सम्मिश्र तल पर सम्मिश्र संख्याओं की तुलना और प्रदर्शन। जटिल संयुग्मन। सम्मिश्र संख्याओं का जोड़, गुणा, भाग।

12.2 मापांक, जटिल संख्या तर्क।

12.3. एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय और घातीय संकेतन।

12.4. एक सम्मिश्र संख्या से घातांक और मूल निष्कर्षण।

बीजीय रूप में जटिल संख्याओं की परिभाषा। सम्मिश्र तल पर सम्मिश्र संख्याओं की तुलना और प्रदर्शन। जटिल संयुग्मन। सम्मिश्र संख्याओं का जोड़, गुणा, भाग।

बीजीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या वह संख्या होती है

कहां
बुलाया काल्पनिक इकाईतथा
- वास्तविक संख्या:
बुलाया वास्तविक (वास्तविक) भाग;
- काल्पनिक हिस्साजटिल संख्या ... फॉर्म की जटिल संख्या
कहा जाता है विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या... सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है .

ए-प्राथमिकता,

सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सेट का हिस्सा है
:. दूसरी ओर, ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो समुच्चय से संबंधित नहीं हैं ... उदाहरण के लिए,
तथा
जबसे
.

ऋणात्मक विभेदक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करते समय बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याएं स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं।

उदाहरण 1... प्रश्न हल करें
.

समाधान। ,

इसलिए, दिए गए द्विघात समीकरण के जटिल मूल हैं

,
.

उदाहरण 2... सम्मिश्र संख्याओं के वास्तविक और काल्पनिक भाग ज्ञात कीजिए

,

,
.

तदनुसार, संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग ,

कोई भी सम्मिश्र संख्या
जटिल विमान पर एक वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के साथ एक विमान का प्रतिनिधित्व करना
... वेक्टर की उत्पत्ति बिंदु पर है , और अंत निर्देशांक के साथ बिंदु पर है
(चित्र 1.) अक्ष
वास्तविक अक्ष कहा जाता है, और अक्ष
- जटिल विमान की काल्पनिक धुरी .

सम्मिश्र संख्याओं की एक दूसरे से केवल संकेतों द्वारा तुलना की जाती है
... ... यदि कम से कम एक समानता:
उल्लंघन किया, तो
. प्रकार के रिकॉर्ड
कोई मतलब नहीं.

परिभाषा के अनुसार, एक जटिल संख्या
संख्या का सम्मिश्र संयुग्म कहलाता है
... इस मामले में, लिखें
... जाहिर सी बात है
... नीचे हर जगह, एक सम्मिश्र संख्या के ऊपर के बार का अर्थ सम्मिश्र संयुग्मन होगा।

उदाहरण के लिए, ।

सम्मिश्र संख्याओं पर, आप जोड़ (घटाव), गुणा, भाग जैसे संक्रियाएँ कर सकते हैं।

1. सम्मिश्र संख्याओं का योगइस प्रकार किया जाता है:

ऑपरेशन गुण जोड़ें:

- कम्यूटेटिविटी की संपत्ति;

- सहयोगीता की संपत्ति।

यह देखना आसान है कि ज्यामितीय रूप से सम्मिश्र संख्याओं का योग
मतलब विमान पर उनके संगत का जोड़ समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार वैक्टर।

एक संख्या का ऑपरेशन घटाव संख्या से इस प्रकार किया जाता है:

2. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनइस प्रकार किया जाता है:

गुणन संचालन के गुण:

- कम्यूटेटिविटी की संपत्ति;

- सहयोगीता की संपत्ति;

- वितरण का नियम।

3. सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन तभी संभव है जब
और यह इस तरह किया जाता है:

.

उदाहरण 3... पाना
, अगर ।

उदाहरण 4... गणना
, अगर ।

जेड, क्योंकि
.

(ओश!)

निम्नलिखित कथनों की वैधता की जांच करना मुश्किल नहीं है (इसे स्वयं करना प्रस्तावित है):

मापांक, जटिल संख्या तर्क।

जटिल संख्या मॉड्यूल
(मापांक लक्षित ) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है
, अर्थात।
.

ज्यामितीय अर्थ - संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर की लंबाई जटिल तल पर ... समीकरण
सभी नंबरों के सेट को परिभाषित करता है (वेक्टर पर ) जिसके सिरे इकाई वृत्त पर स्थित हैं
.

जटिल संख्या तर्क
(तर्क लक्षित
) यह कोण है वास्तविक अक्ष के बीच रेडियन में
और संख्या जटिल तल पर , तथा सकारात्मक अगर इसे से गिना जाता है
इससे पहले वामावर्त, और नकारात्मक अगर अक्ष से मापा जाता है
इससे पहले दक्षिणावर्त.

तो संख्या का तर्क अस्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, अवधि तक
, कहां
... विशिष्ट संख्या तर्क यूनिट सर्कल के एक ट्रैवर्सल के भीतर परिभाषित किया गया
सतह पर . आपको आमतौर पर खोजने की जरूरत है
अंतराल के भीतर
,ऐसे मान को संख्या तर्क का मुख्य मान कहा जाता है और निरूपित
.

तथा
संख्या समीकरण से पाया जा सकता है
, जिसमें आवश्यक रूप से खाते में लेने की जरूरत हैविमान के किस तिमाही में वेक्टर का अंत है - बिंदु
:

अगर
(विमान की पहली तिमाही ), फिर ;

अगर
(विमान की दूसरी तिमाही ), फिर;

अगर
(विमान की तीसरी तिमाही ), फिर ;

अगर
(विमान की चौथी तिमाही ), फिर ।

वास्तव में, संख्या का मापांक और तर्क
, ये ध्रुवीय निर्देशांक हैं
अंक
- वेक्टर का अंत सतह पर .

उदाहरण 5... संख्या तर्क के मापांक और प्रमुख मूल्य का पता लगाएं:

.

कुल्हाड़ियों के साथ पड़ी संख्याओं का तर्क
जटिल विमान के क्वार्टर 1,2,3,4 को अलग करना , विमान पर इन नंबरों के चित्रमय निरूपण से तुरंत पाए जाते हैं .

एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय और घातीय संकेतन। त्रिकोणमितीय और घातीय संकेतन में जटिल संख्याओं का गुणा और भाग।

त्रिकोणमितीय संकेतनजटिल संख्या
की तरह लगता है:

, (2)

कहां - मापांक, - जटिल संख्या तर्क ... सम्मिश्र संख्याओं का यह निरूपण समानता से होता है।

सूचक(घातीय) एक जटिल संख्या का अंकन
की तरह लगता है:

, (3)

कहां - मापांक, - संख्या तर्क ... त्रिकोणमितीय रूप (2) और यूलर के सूत्र से जटिल संख्याओं का घातीय रूप (3) में प्रतिनिधित्व करने की संभावना निम्नानुसार है:

. (4)

यह सूत्र पाठ्यक्रम TFKP (एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत) में सिद्ध होता है।

उदाहरण 6... सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिकोणमितीय और घातांकीय संकेतन ज्ञात कीजिए: उदाहरण 5 से।

समाधान। आइए उदाहरण 5 के परिणामों का उपयोग करें, जिसमें सभी निर्दिष्ट संख्याओं के मॉड्यूल और तर्क पाए जाते हैं।

,

.

- संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप ,

- एक संख्या लिखने का घातीय (घातीय) रूप .

3)

- संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप ,

- एक संख्या लिखने का घातीय (घातीय) रूप .

संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप ,

- एक संख्या लिखने का घातीय (घातीय) रूप .

5)

- संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप ,

- एक संख्या लिखने का घातीय (घातीय) रूप .

संख्या का त्रिकोणमितीय रूप ,

.

7)

- संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप ,

- संख्या का घातीय (घातीय) रूप .

- संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप ,

- एक संख्या लिखने का घातीय (घातीय) रूप .

सम्मिश्र संख्याओं का घातीय संकेतन गुणन और सम्मिश्र संख्याओं के विभाजन के संचालन की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या की ओर ले जाता है। रहने दो
- संख्याओं के घातीय रूप
.

1. जटिल संख्याओं को गुणा करते समय, उनके मॉड्यूल गुणा किए जाते हैं, और तर्क जोड़े जाते हैं.

2. एक सम्मिश्र संख्या को विभाजित करते समय संख्या से एक सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है , मापांक जो मॉड्यूल के अनुपात के बराबर है और तर्क - मतभेद
संख्या तर्क
.

एक सम्मिश्र संख्या से घातांक और मूल निष्कर्षण।

ए-प्राथमिकता,

जब एक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है जटिल संख्या
, आपको निम्नानुसार आगे बढ़ना चाहिए: पहले मॉड्यूल खोजें और तर्क यह अंक; कल्पना करना अनुकरणीय रूप में
; पाना
क्रियाओं के निम्नलिखित क्रम को निष्पादित करके

कहा पे । (5)

टिप्पणी।तर्क
संख्या
अंतराल से संबंधित नहीं हो सकता
... इस मामले में, यह प्राप्त मूल्य के अनुसार निम्नानुसार है मुख्य मूल्य खोजें तर्क

संख्या
संख्या जोड़कर (या घटाकर)
इस मूल्य के साथ
, प्रति

अंतराल के थे
... उसके बाद, आपको सूत्रों में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है (5) पर .

उदाहरण 7... पाना तथा
, अगर
.

1)
=
(संख्या देखें उदाहरण 6 से)।

2)
, कहां
.
.
.

अत, द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और इसलिए,

कहा पे
.

3)
, कहां
.
.

बदलने के पर । अत,

जड़ निकालना -वीं डिग्री
एक सम्मिश्र संख्या से
Moivre-Laplace सूत्र के अनुसार किया जाता है

§ 1. जटिल संख्याएं: परिभाषाएं, ज्यामितीय व्याख्या, बीजीय, त्रिकोणमितीय और घातीय रूपों में क्रियाएं

एक सम्मिश्र संख्या की परिभाषा

जटिल समानताएं

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण

जटिल संख्या मापांक और तर्क

एक सम्मिश्र संख्या के बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूप

एक सम्मिश्र संख्या का घातीय रूप

यूलर के सूत्र

§ 2. संपूर्ण फलन (बहुपद) और उनके मूल गुण। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर बीजीय समीकरणों को हल करना

वें डिग्री के बीजीय समीकरण की परिभाषा

बहुपदों के मूल गुण

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर बीजीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आत्म परीक्षण प्रश्न

शब्दकोष

§ 1. जटिल संख्याएं: परिभाषाएं, ज्यामितीय व्याख्या, बीजीय, त्रिकोणमितीय और घातीय रूपों में क्रियाएं

एक जटिल संख्या की परिभाषा ( एक सम्मिश्र संख्या की परिभाषा तैयार करें)

एक सम्मिश्र संख्या z निम्नलिखित रूप का व्यंजक है:

बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्या, (1)

जहां एक्स, आप Î;

- जटिल संयुग्म संख्या संख्या z ;

- विपरीत संख्या संख्या z ;

- जटिल शून्य ;

- इस प्रकार सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है।

1)जेड = 1 + मैंरे जेड= 1, इम जेड = 1, = 1 – मैं, = –1 – मैं ;

2)जेड = –1 + मैंरे जेड= -1, इम जेड = , = –1 – मैं, = –1 –मैं ;

3)जेड = 5 + 0मैं= 5 रे जेड= 5, इम जेड = 0, = 5 – 0मैं = 5, = –5 – 0मैं = –5

अगर इम जेड= 0, तब जेड = एक्स- वास्तविक संख्या;

4)जेड = 0 + 3मैं = 3मैंरे जेड= 0, इम जेड = 3, = 0 – 3मैं = –3मैं , = –0 – 3मैं = – 3मैं

अगर रे जेड= 0, तब जेड = मैं - शुद्ध काल्पनिक संख्या.

जटिल समानताएं (जटिल समानता का अर्थ तैयार करें)

1) ;

2) .

एक जटिल समानता दो वास्तविक समानताओं की प्रणाली के बराबर है। ये वास्तविक समानताएँ वास्तविक और काल्पनिक भागों को विभाजित करके जटिल समानता से प्राप्त की जाती हैं।

1) ;

2) .

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण ( सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण क्या है?)

जटिल संख्या जेडएक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है ( एक्स , आप) इस बिंदु के जटिल तल या त्रिज्या वेक्टर पर।

संकेत जेडदूसरी तिमाही में इसका मतलब है कि कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग जटिल विमान के रूप में किया जाएगा।

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क ( सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क क्या है?)

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है

.(2)

ज्यामितीय रूप से, एक जटिल संख्या का मापांक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर की लंबाई है जेड, या बिंदु की ध्रुवीय त्रिज्या ( एक्स , आप).

निम्नलिखित संख्याओं को सम्मिश्र तल पर खींचिए और उन्हें त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए।

1)जेड = 1 + मैं Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

अर्थात्, z = 0 के लिए होगा

, जेअपरिभाषित

सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ (सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं की परिभाषाएँ दीजिए और मुख्य गुणों की सूची बनाइए।)

सम्मिश्र संख्याओं का जोड़ (घटाव)

जेड 1 ± जेड 2 = (एक्स 1 + मैं 1) ± ( एक्स 2 + मैं 2) = (एक्स 1 ± एक्स 2) + मैं (आप 1 ± आप 2),(5)

अर्थात् सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने (घटाने) में उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग जोड़े (घटाए) जाते हैं।

1)(1 + मैं) + (2 – 3मैं) = 1 + मैं + 2 –3मैं = 3 – 2मैं ;

2)(1 + 2मैं) – (2 – 5मैं) = 1 + 2मैं – 2 + 5मैं = –1 + 7मैं .

जोड़ के मूल गुण

1)जेड 1 + जेड 2 = जेड 2 + जेड 1;

2)जेड 1 + जेड 2 + जेड 3 = (जेड 1 + जेड 2) + जेड 3 = जेड 1 + (जेड 2 + जेड 3);

3)जेड 1 – जेड 2 = जेड 1 + (– जेड 2);

4)जेड + (–जेड) = 0;

बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

जेड 1∙जेड 2 = (एक्स 1 + मैं 1)∙(एक्स 2 + मैं 2) = एक्स 1एक्स 2 + एक्स 1मैं 2 + मैं 1एक्स 2 + मैं 2आप 1आप 2 = (6)

= (एक्स 1एक्स 2 – आप 1आप 2) + मैं (एक्स 1आप 2 + आप 1एक्स 2),

अर्थात्, जटिल संख्याओं का बीजगणितीय रूप में गुणन द्विपद के बीजगणितीय गुणन के नियम के अनुसार किया जाता है, इसके बाद वास्तविक और काल्पनिक शब्दों में समान संख्याओं को प्रतिस्थापित और घटाया जाता है।

1)(1 + मैं)∙(2 – 3मैं) = 2 – 3मैं + 2मैं – 3मैं 2 = 2 – 3मैं + 2मैं + 3 = 5 – मैं ;

2)(1 + 4मैं)∙(1 – 4मैं) = 1 – 42 मैं 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + मैं)2 = 22 + 4मैं + मैं 2 = 3 + 4मैं .

त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

जेड 1∙जेड 2 = आर 1 (कोस जे 1 + मैंपाप जे 1) × आर 2 (कोस जे 2 + मैंपाप जे 2) =

= आर 1आर 2 (कोस जे 1कोस जे 2 + मैंक्योंकि जे 1सिन जे 2 + मैंपाप जे 1कोस जे 2 + मैं 2 पाप जे 1सिन जे 2) =

= आर 1आर 2 ((कोस जे 1कोस जे 2 - पाप जे 1सिन जे 2) + मैं(कोस जे 1सिन जे 2 + पाप जे 1कोस जे 2))

त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल, अर्थात त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करते समय, उनके मॉड्यूल गुणा किए जाते हैं, और तर्क जोड़े जाते हैं।

गुणन के मूल गुण

1)जेड 1 × जेड 2 = जेड 2 × जेड 1 - कम्यूटेबिलिटी;

2)जेड 1 × जेड 2 × जेड 3 = (जेड 1 × जेड 2) × जेड 3 = जेड 1 × ( जेड 2 × जेड 3) - सहयोगीता;

3)जेड 1 × ( जेड 2 + जेड 3) = जेड 1 × जेड 2 + जेड 1 × जेड 3 - जोड़ के संबंध में वितरण;

4)जेड× 0 = 0; जेड× 1 = जेड ;

सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन

भाग गुणन का विलोम है, इसलिए

अगर जेड × जेड 2 = जेड 1 और जेड 2 0, फिर।

जब विभाजन बीजगणितीय रूप में किया जाता है, तो अंश के अंश और हर को हर के जटिल संयुग्म से गुणा किया जाता है:

बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन (7)

त्रिकोणमितीय रूप में विभाजन करते समय, मॉड्यूल विभाजित होते हैं और तर्क घटाए जाते हैं:

त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन (8)

2)
.

एक जटिल संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना

त्रिकोणमितीय रूप में प्राकृतिक घातांक प्रदर्शन करना अधिक सुविधाजनक है:

मोइवर का सूत्र, (9)

यही है, जब एक जटिल संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो इसका मापांक इस शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, और तर्क को घातांक से गुणा किया जाता है।

गणना करें (1 + मैं)10.

टिप्पणियां

1. त्रिकोणमितीय रूप में गुणा और प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के संचालन करते समय, कोण एक पूर्ण क्रांति की सीमा के बाहर प्राप्त किए जा सकते हैं। लेकिन उन्हें हमेशा कोणों तक कम किया जा सकता है या कार्यों की आवधिकता के गुणों के अनुसार पूर्ण क्रांतियों की एक पूर्णांक संख्या को छोड़कर और।

2. मूल्य एक सम्मिश्र संख्या के तर्क का मुख्य मान कहलाता है;

सभी संभावित कोणों के मूल्यों का मतलब है;

यह स्पष्ट है कि , .

एक सम्मिश्र संख्या का प्राकृतिक मूल निकालना

यूलर के सूत्र (16)

जिसके द्वारा त्रिकोणमितीय फलन और एक वास्तविक चर एक घातांकीय फलन (घातांक) के माध्यम से विशुद्ध रूप से काल्पनिक घातांक के साथ व्यक्त किए जाते हैं।

§ 2. संपूर्ण फलन (बहुपद) और उनके मूल गुण। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर बीजीय समीकरणों को हल करना

एक ही घात के दो बहुपद एनसमान रूप से एक दूसरे के बराबर होते हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांक चर की समान शक्तियों पर मेल खाते हैं एक्स, अर्थात्

सबूत

w पहचान (3) "xÎ (या" xÎ) के लिए मान्य है

इसके लिए मान्य है; प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है एक = अरब .

हम (3) शर्तों में परस्पर सत्यानाश करते हैं एकतथा अरबऔर दोनों भागों को में विभाजित करें एक्स :

यह पहचान "के लिए भी सही है" एक्स, at . सहित एक्स = 0

मान लेना एक्स= 0, हमें प्राप्त होता है एक – 1 = अरब – 1.

हम परस्पर (3 ") शर्तों में सत्यानाश करते हैं एक- 1 और ए एन- 1 और दोनों भागों को से विभाजित करें एक्स, परिणामस्वरूप हमें मिलता है

इसी प्रकार तर्क को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि एक – 2 = अरब –2, …, ए 0 = बी 0.

इस प्रकार, यह साबित हो गया है कि 2-x बहुपदों की पहचान का तात्पर्य उनके गुणांकों के समान डिग्री पर संयोग से है एक्स .

विलोम कथन सत्य और स्पष्ट है, अर्थात। यदि दो बहुपदों के सभी गुणांक समान हैं, तो वे समान कार्य हैं, इसलिए, उनके मान तर्क के सभी मूल्यों के लिए मेल खाते हैं, जिसका अर्थ है उनकी समान समानता। संपत्ति 1 पूरी तरह से सिद्ध है। वी

बहुपद को विभाजित करते समय पीएन (एक्स) अंतर से ( एक्स – एन एस 0), शेषफल . के बराबर है पीएन (एक्स 0), अर्थात्

बेज़ाउट की प्रमेय, (4)

कहां क्यूएन – 1(एक्स) भाग का पूर्णांक भाग है, घात का एक बहुपद है ( एन – 1).

सबूत

डब्ल्यू शेष के साथ विभाजन का सूत्र लिखते हैं:

पीएन (एक्स) = (एक्स – एन एस 0)∙क्यूएन – 1(एक्स) + ए ,

कहां क्यूएन – 1(एक्स) घात का एक बहुपद है ( एन – 1),

ए- शेष, जो एक बहुपद को दो-अवधि वाले "स्तंभ" से विभाजित करने के लिए जाने-माने एल्गोरिथम के कारण एक संख्या है।

यह समानता सत्य है " एक्स, at . सहित एक्स = एन एस 0 Þ

पीएन (एक्स 0) = (एक्स 0 – एक्स 0)× क्यूएन – 1(एक्स 0) + ए Þ

ए = पीएन (एन एस 0), पी.टी.डी. वी

बेज़ौट के प्रमेय से कोरोलरी। एक बहुपद को बिना शेषफल वाले द्विपद से भाग देने पर

यदि संख्या एन एस 0 बहुपद का शून्य है, तो यह बहुपद अंतर से विभाज्य है ( एक्स – एन एस 0) बिना शेष के, अर्थात्

Þ .(5)

1), चूंकि पी 3 (1) 0

2), चूंकि पी 4 (-2) 0

3), चूंकि पी 2 (-1/2) 0

बहुपदों का द्विपद में विभाजन "एक स्तंभ में":

_

_

_

_

_

डिग्री n 1 के किसी भी बहुपद में कम से कम एक शून्य, वास्तविक या सम्मिश्र होता है

इस प्रमेय का प्रमाण हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है। इसलिए, हम प्रमेय को बिना प्रमाण के स्वीकार करेंगे।

आइए हम इस प्रमेय पर और बहुपद के साथ बेज़आउट प्रमेय पर काम करें पीएन (एक्स).

बाद में एन-इन प्रमेयों का गुना अनुप्रयोग, हम प्राप्त करते हैं

कहां ए 0 पर गुणांक है एक्स एनवी पीएन (एक्स).

बीजगणित के मुख्य प्रमेय से कोरोलरी। एक बहुपद का रैखिक गुणनखंडों में अपघटन

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर घात का कोई भी बहुपद विघटित हो जाता है एनरैखिक कारक, अर्थात्

एक बहुपद का रैखिक गुणनखंडों में अपघटन, (6)

जहाँ x1, x2, ... xn बहुपद के शून्यक हैं।

इसके अलावा, अगर कसेट से नंबर एन एस 1, एन एस 2, … xnएक दूसरे के साथ मेल खाते हैं और संख्या ए के साथ, फिर कारक ( एक्स- ए) क... फिर नंबर एक्स= ए कहा जाता है बहुपद का k-गुना शून्य पीएन ( एक्स) ... अगर क= 1, तो शून्य कहा जाता है सरल शून्य बहुपद पीएन ( एक्स) .

1)पी 4(एक्स) = (एक्स – 2)(एक्स- 4) 3 एक्स 1 = 2 - साधारण शून्य, एक्स 2 = 4 - तीन गुना शून्य;

2)पी 4(एक्स) = (एक्स – मैं) 4 एक्स = मैं- बहुलता का शून्य 4.

गुण 4 (बीजीय समीकरण के मूलों की संख्या पर)

किसी भी बीजीय समीकरण Pn (x) = 0 डिग्री n के सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर ठीक n मूल होते हैं, यदि प्रत्येक मूल को उसकी बहुलता के रूप में कई बार गिना जाता है।

1)एक्स 2 – 4एक्स+ 5 = 0 - दूसरी डिग्री का बीजीय समीकरण

Þ एक्स 1.2 = 2 ± = 2 ± मैं- दो जड़ें;

2)एक्स 3 + 1 = 0 - तीसरी डिग्री का बीजीय समीकरण

Þ एक्स 1,2,3 = - तीन जड़ें;

3)पी 3(एक्स) = एक्स 3 + एक्स 2 – एक्स- 1 = 0 एक्स 1 = 1, क्योंकि पी 3(1) = 0.

बहुपद को विभाजित करें पी 3(एक्स) पर ( एक्स – 1):

एक्स 3	+	एक्स 2	–	एक्स	–	1	एक्स – 1
एक्स 3	–	एक्स 2	एक्स 2 + 2एक्स +1
2एक्स 2	–	एक्स
2एक्स 2	–	2एक्स
एक्स	–	1
एक्स	–	1
0

मूल समीकरण

पी 3(एक्स) = एक्स 3 + एक्स 2 – एक्स- 1 = 0 ( एक्स – 1)(एक्स 2 + 2एक्स+ 1) = 0 ( एक्स – 1)(एक्स + 1)2 = 0

Þ एक्स 1 = 1 - साधारण जड़, एक्स 2 = -1 - दोहरी जड़।

1) - युग्मित जटिल संयुग्म जड़ें;

वास्तविक गुणांक वाले किसी भी बहुपद को वास्तविक गुणांक वाले रैखिक और द्विघात फलन के गुणनफल में विघटित किया जाता है।

सबूत

डब्ल्यू Let एक्स 0 = ए + द्वि- बहुपद का शून्य पीएन (एक्स) यदि इस बहुपद के सभी गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो वह भी इसका शून्य (गुण 5 के अनुसार) होता है।

हम द्विपदों के गुणनफल की गणना करते हैं :

सम्मिश्र संख्या बहुपद समीकरण

प्राप्त ( एक्स – ए)2 + बी 2 - वास्तविक गुणांक के साथ वर्ग त्रिपद।

इस प्रकार, सूत्र (6) में जटिल संयुग्म जड़ों वाले द्विपदों की कोई भी जोड़ी वास्तविक गुणांक के साथ एक वर्ग त्रिपद की ओर ले जाती है। वी

1)पी 3(एक्स) = एक्स 3 + 1 = (एक्स + 1)(एक्स 2 – एक्स + 1);

2)पी 4(एक्स) = एक्स 4 – एक्स 3 + 4एक्स 2 – 4एक्स = एक्स (एक्स –1)(एक्स 2 + 4).

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर बीजीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण ( सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर बीजीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण दीजिए)

1. पहली डिग्री के बीजीय समीकरण:

, एकमात्र सरल जड़ है।

2. द्विघात समीकरण:

, - हमेशा दो जड़ें (अलग या बराबर) होती हैं।

1) .

3. डिग्री के दो-अवधि के समीकरण:

, - हमेशा अलग-अलग जड़ें होती हैं।

,

उत्तर: , .

4. घन समीकरण को हल करें।

तीसरी डिग्री के समीकरण में तीन जड़ें (वास्तविक या जटिल) होती हैं, और प्रत्येक जड़ को इसकी बहुलता के रूप में कई बार गिना जाना चाहिए। चूँकि इस समीकरण के सभी गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, समीकरण के सम्मिश्र मूल, यदि कोई हों, युग्मित सम्मिश्र संयुग्म होंगे।

चयन द्वारा, हम समीकरण की पहली जड़ पाते हैं, क्योंकि।

बेज़ौट के प्रमेय के कोरोलरी द्वारा। हम इस विभाजन की गणना "एक कॉलम में" करते हैं:

_
_
_

अब बहुपद को एक रैखिक और एक वर्ग गुणनखंड के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

हम द्विघात समीकरण के मूल के रूप में अन्य मूल पाते हैं:

उत्तर: , .

5. वास्तविक गुणांकों के साथ न्यूनतम घात का बीजगणितीय समीकरण लिखिए, यदि यह ज्ञात हो कि संख्याएँ एक्स 1 = 3 और एक्स 2 = 1 + मैंइसकी जड़ें हैं, और एक्स 1 एक दोहरा मूल है, और एक्स 2 - सरल।

संख्या भी समीकरण का मूल है, क्योंकि समीकरण के गुणांक मान्य होने चाहिए।

कुल मिलाकर, अभीष्ट समीकरण के 4 मूल हैं: एक्स 1, एक्स 1,एक्स 2,. इसलिए, इसकी घात 4 है। हम शून्य के साथ चौथी डिग्री का एक बहुपद बनाते हैं एक्स

11. सम्मिश्र शून्य क्या है?

13. जटिल समानता का अर्थ तैयार करें।

15. सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क क्या है?

17. एक सम्मिश्र संख्या तर्क क्या है?

18. सूत्र का क्या नाम या अर्थ है?

19. इस सूत्र में संकेतन का अर्थ स्पष्ट करें:

27. सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं के मूल गुणों की परिभाषा दीजिए और उनकी सूची बनाइए।

28. सूत्र का क्या नाम या अर्थ है?

29. इस सूत्र में पदनामों का अर्थ स्पष्ट करें:

31. सूत्र का क्या नाम या अर्थ है?

32. इस सूत्र में संकेतन का अर्थ स्पष्ट करें:

34. सूत्र का क्या नाम या अर्थ है?

35. इस सूत्र में पदनामों का अर्थ स्पष्ट करें:

61. बहुपदों के मूल गुणों की सूची बनाइए।

63. बहुपद को अंतर (x - x0) से विभाजित करने का गुण बनाइए।

65. सूत्र का क्या नाम या अर्थ है?

66. इस सूत्र में पदनामों का अर्थ स्पष्ट करें:

67. ⌂ .

69. प्रमेय तैयार करें। बीजगणित का मुख्य प्रमेय।

70. सूत्र का क्या नाम या अर्थ है?

71. इस सूत्र में पदनामों का अर्थ स्पष्ट करें:

75. एक बीजीय समीकरण के मूलों की संख्या के बारे में गुणधर्म निरूपित करें।

78. वास्तविक गुणांक वाले बहुपद के रैखिक और द्विघात गुणनखंडों में अपघटन के गुणधर्म को सूत्रित कीजिए।

शब्दकोष

बहुपद का k-गुना शून्य कहलाता है... (पृष्ठ 18)

एक बीजीय बहुपद कहा जाता है ... (पृष्ठ 14)

nवीं डिग्री के बीजीय समीकरण को कहा जाता है ... (पृष्ठ 14)

एक सम्मिश्र संख्या के बीजीय रूप को कहा जाता है ... (पृष्ठ 5)

सम्मिश्र संख्या तर्क है ... (पृष्ठ 4)

एक सम्मिश्र संख्या z का वास्तविक भाग है... (पृष्ठ 2)

एक सम्मिश्र संयुग्म संख्या है ... (पृष्ठ 2)

सम्मिश्र शून्य है... (पृष्ठ 2)

एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है... (पृष्ठ 2)

एक सम्मिश्र संख्या का nवां मूल कहलाता है... (पृष्ठ 10)

समीकरण के मूल को कहा जाता है... (पृष्ठ 14)

बहुपद के गुणांक हैं ... (पृष्ठ 14)

काल्पनिक इकाई है ... (पृष्ठ 2)

एक सम्मिश्र संख्या z का काल्पनिक भाग है ... (पृष्ठ 2)

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है ... (पृष्ठ 4)

फलन शून्य कहलाता है... (पृष्ठ 14)

एक सम्मिश्र संख्या के घातांकीय रूप को कहा जाता है ... (पृष्ठ 11)

बहुपद कहा जाता है ... (पृष्ठ 14)

बहुपद का एक साधारण शून्यक कहलाता है... (पृष्ठ 18)

विपरीत संख्या है ... (पृष्ठ 2)

एक बहुपद की घात है... (पृष्ठ 14)

एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप को कहा जाता है ... (पृष्ठ 5)

Moivre का सूत्र है ... (पृष्ठ 9)

यूलर के सूत्र हैं ... (पृष्ठ 13)

पूरे फ़ंक्शन को कहा जाता है ... (पृष्ठ 14)

एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है ... (पृष्ठ 2)