Definisi logaritma

Logaritma dari b ke basis a adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan b.

Nomor e dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menunjukkan batas yang ingin dicapai oleh suatu ekspresi

Nomor e adalah bilangan irasional- bilangan yang tidak dapat dibandingkan dengan satu, tidak dapat dinyatakan secara akurat sebagai bilangan bulat atau pecahan rasional nomor.

Surat e- surat pertama kata Latin eksponere- untuk pamer, itulah namanya dalam matematika eksponensial- Fungsi eksponensial.

Nomor e banyak digunakan dalam matematika, dan dalam semua ilmu yang dalam satu atau lain cara menggunakan perhitungan matematis untuk kebutuhannya.

Logaritma. Sifat-sifat logaritma

Definisi: Logaritma bilangan positif b terhadap basisnya adalah eksponen c yang harus dipangkatkan bilangan a untuk memperoleh bilangan b.

Identitas logaritma dasar:

7) Rumus pindah ke markas baru:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Soal dan tes dengan topik “Logaritma. Sifat-sifat logaritma"

• Logaritma - Topik penting untuk review UN Unified State dalam matematika

Agar berhasil menyelesaikan tugas pada topik ini, Anda harus mengetahui pengertian logaritma, sifat-sifat logaritma, identitas dasar logaritma, definisi desimal dan logaritma natural. Jenis soal utama pada topik ini adalah soal yang melibatkan perhitungan dan transformasi ekspresi logaritma. Mari kita pertimbangkan solusinya menggunakan contoh berikut.

Larutan: Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh

Larutan: Dengan menggunakan sifat-sifat derajat, kita peroleh

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Sifat-sifat logaritma, rumusan dan pembuktiannya.

Logaritma memiliki sejumlah sifat karakteristik. Pada artikel ini kita akan melihat yang utama sifat-sifat logaritma. Disini kami akan memberikan rumusannya, menuliskan sifat-sifat logaritma dalam bentuk rumus, menunjukkan contoh penerapannya, dan juga memberikan bukti sifat-sifat logaritma.

Navigasi halaman.

Sifat dasar logaritma, rumus

Untuk memudahkan mengingat dan menggunakan, mari kita bayangkan sifat dasar logaritma dalam bentuk daftar rumus. Pada paragraf selanjutnya kami akan memberikan rumusan, bukti, contoh penggunaan dan penjelasan yang diperlukan.

Sifat logaritma kesatuan: log a 1=0 untuk sembarang a>0, a≠1.

Logaritma suatu bilangan sama dengan basis: log a a=1 untuk a>0, a≠1.

Sifat logaritma pangkat basis: log a a p =p, dimana a>0, a≠1 dan p – any bilangan real.

Logaritma hasil kali dua bilangan positif: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
dan sifat logaritma hasil kali n bilangan positif: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .

Properti logaritma hasil bagi: , dimana a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritma pangkat suatu bilangan: log a b p =p·log a |b| , dimana a>0, a≠1, b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0.

Konsekuensi: , dimana a>0, a≠1, n – bilangan asli, lebih besar dari satu, b>0.

Akibat wajar 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Akibat wajar 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p dan q adalah bilangan real, q≠0 , khususnya untuk b=a kita punya .

Formulasi dan pembuktian sifat

Kita lanjutkan ke perumusan dan pembuktian sifat-sifat tertulis logaritma. Semua sifat logaritma dibuktikan berdasarkan definisi logaritma dan identitas dasar logaritma yang mengikutinya, serta sifat-sifat derajatnya.

Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma satu. Rumusannya sebagai berikut: logaritma kesatuan sama dengan nol, yaitu mencatat 1=0 untuk setiap a>0, a≠1. Pembuktiannya tidak sulit: karena a 0 =1 untuk sembarang a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1, maka persamaan log a 1=0 yang harus dibuktikan langsung mengikuti definisi logaritma.

Mari kita beri contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0, log1=0 dan .

Mari beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis sama dengan satu, itu adalah, log a a = 1 untuk a>0, a≠1. Memang, karena a 1 =a untuk sembarang a, maka menurut definisi logaritma log a a=1.

Contoh penggunaan sifat logaritma ini adalah persamaan log 5 5=1, log 5.6 5.6 dan lne=1.

Logaritma pangkat suatu bilangan yang sama dengan basis logaritma sama dengan eksponen. Properti logaritma ini sesuai dengan rumus formulir log a ap =p, di mana a>0, a≠1 dan p – bilangan real apa pun. Properti ini mengikuti langsung dari definisi logaritma. Perhatikan bahwa ini memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma, jika memungkinkan untuk mewakili angka di bawah tanda logaritma sebagai pangkat basis; kita akan membicarakan hal ini lebih lanjut di artikel menghitung logaritma.

Misalnya log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 dan .

Logaritma hasil kali dua bilangan positif x dan y sama dengan hasil kali logaritma bilangan-bilangan berikut: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma suatu produk. Karena sifat-sifat derajat a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, dan karena berdasarkan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y, maka a log a x ·a log a y =x· kamu. Jadi, log a x+log a y =x·y, yang berdasarkan definisi logaritma, persamaannya harus dibuktikan.

Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma suatu produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Sifat logaritma suatu hasil kali dapat digeneralisasikan ke hasil kali suatu bilangan berhingga n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Kesetaraan ini dapat dibuktikan tanpa masalah dengan menggunakan metode induksi matematika.

Misalnya, logaritma natural suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural nomor 4 , e , dan .

Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan selisih logaritma bilangan-bilangan tersebut. Sifat logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuknya , dimana a>0, a≠1, x dan y adalah beberapa bilangan positif. Validitas rumus ini dibuktikan begitu pula dengan rumus logaritma suatu hasil kali: sejak , lalu menurut definisi logaritma .

Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

Mari kita lanjutkan ke milik logaritma pangkat. Logaritma suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma modulus dasar derajat tersebut. Mari kita tuliskan sifat logaritma suatu pangkat sebagai rumus: log a b p =p·log a |b|, dimana a>0, a≠1, b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0.

Pertama kita buktikan sifat ini positif b. Identitas logaritmik dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p·log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p·log a b, yang darinya, berdasarkan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p·log a b.

Tetap membuktikan sifat ini untuk negatif b. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk negatif b hanya masuk akal untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam hal ini b p =|b| P. Maka bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , dari mana log a b p =p·log a |b| .

Misalnya, dan ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari akar: logaritma akar ke-n sama dengan hasil kali pecahan 1/n dengan logaritma ekspresi radikal, yaitu jika a>0, a≠1, n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .

Pembuktiannya didasarkan pada persamaan (lihat definisi eksponen dengan eksponen pecahan), yang berlaku untuk sembarang b positif, dan sifat logaritma eksponen: .

Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

Sekarang mari kita buktikan rumus untuk pindah ke basis logaritma baru baik . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b·log c a. Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b =log a b·log c a . Hal ini membuktikan persamaan log c b=log a b·log c a, yang berarti rumus transisi ke basis logaritma baru juga terbukti .

Mari kita tunjukkan beberapa contoh penggunaan properti logaritma ini: dan .

Rumus untuk berpindah ke basis baru memungkinkan Anda melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis “nyaman”. Misalnya, dapat digunakan untuk mengubah logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru juga memungkinkan, dalam beberapa kasus, untuk menemukan nilai logaritma tertentu ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

Kasus khusus dari rumus transisi ke basis logaritma baru untuk bentuk c=b sering digunakan. Hal ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a merupakan bilangan yang saling berbanding terbalik. Misalnya, .

Rumusnya juga sering digunakan, yang memudahkan untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana hal itu dapat digunakan untuk menghitung nilai logaritma dalam bentuk . Kita punya . Untuk membuktikan rumusnya cukup menggunakan rumus pindah ke basis baru logaritma a: .

Masih membuktikan sifat-sifat perbandingan logaritma.

Mari kita gunakan metode sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 2 dan untuk 0 1, log a 1 b≤log a 2 b benar. Berdasarkan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi Dan masing-masing, dan darinya masing-masing log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2. Kemudian, berdasarkan sifat-sifat kekuasaan dengan dengan alasan yang sama persamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu a 1 ≥a 2 . Jadi kita sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1 2. Ini melengkapi buktinya.

Sifat dasar logaritma

• Bahan untuk pelajaran
• Unduh semua rumus

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Perhatikan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap diperhatikan: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 6 4 + log 6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak yang dibangun berdasarkan fakta ini kertas ujian. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

[Keterangan untuk gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kita punya:

[Keterangan untuk gambar]

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke fondasi baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma log a x diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

[Keterangan untuk gambar]

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

[Keterangan untuk gambar]

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

[Keterangan untuk gambar]

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

[Keterangan untuk gambar]

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

[Keterangan untuk gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

1. n = log a dan n

2. Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

   Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: identitas logaritma dasar.

   Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

   Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

   [Keterangan untuk gambar]

   Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - kita cukup mengambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

   [Keterangan untuk gambar]

   Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

   Satuan logaritma dan logaritma nol

   Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

   1. log a a = 1 adalah satuan logaritma. Ingatlah sekali untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
   2. log a 1 = 0 adalah logaritma nol. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena 0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

   Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma (penjumlahan dan pengurangan).

   Sifat-sifat logaritma ikuti definisinya. Begitu pula dengan logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A didefinisikan sebagai eksponen yang suatu bilangan harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

   Dari rumusan tersebut berikut perhitungannya x=log ab, setara dengan menyelesaikan persamaan ax =b. Misalnya, catatan 2 8 = 3 Karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, lalu logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma erat kaitannya dengan topik pangkat.

   Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda bisa melakukannya operasi penjumlahan, pengurangan dan bertransformasi dengan segala cara yang memungkinkan. Tetapi karena logaritma bukan bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut properti utama.

   Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

   Mari kita ambil dua logaritma dengan basis yang sama: mencatat x Dan log ay. Maka dimungkinkan untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan:

   Seperti yang kita lihat, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan perbedaan logaritma- logaritma hasil bagi. Apalagi ini benar jika jumlahnya A, X Dan pada positif dan sebuah ≠ 1.

   Penting untuk dicatat bahwa aspek utama dalam rumus ini adalah dasar yang sama. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

   Aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma dengan basis yang sama dibaca tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya. Hasilnya, kita memiliki teorema untuk logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi.

   Logaritma produk dua bilangan positif sama dengan jumlah logaritmanya ; dengan mengulangi teorema ini kita mendapatkan bilangan berikut ini A, X Dan pada positif dan sebuah ≠ 1, Itu:

   Logaritma hasil bagi dua bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembagi dan pembagi. Dengan kata lain, jika angkanya A, X Dan pada positif dan sebuah ≠ 1, Itu:

   Mari kita terapkan teorema di atas untuk menyelesaikannya contoh:

   Jika angkanya X Dan pada kalau begitu, itu negatif rumus logaritma produk menjadi tidak berarti. Oleh karena itu, dilarang menulis:

   karena ekspresi log 2 (-8) dan log 2 (-4) tidak terdefinisi sama sekali (fungsi logaritmik pada= catatan 2 X didefinisikan hanya untuk nilai-nilai positif argumen X).

   Teorema produk berlaku tidak hanya untuk dua faktor, tetapi juga untuk sejumlah faktor yang tidak terbatas. Artinya untuk setiap alam k dan bilangan positif apa pun X 1 , X 2 , . . . ,xn ada identitas:

   Dari teorema hasil bagi logaritma Satu lagi sifat logaritma dapat diperoleh. Sudah menjadi rahasia umum bahwa log A 1= 0, oleh karena itu

   Artinya ada persamaan:

   Logaritma dua bilangan timbal balik untuk alasan yang sama akan berbeda satu sama lain hanya berdasarkan tandanya. Jadi:

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma

   Mari kita pertimbangkan kesetaraan. Beri tahu kami nilai dan dan kami ingin mencari nilai .

   Yaitu, kita mencari eksponen yang kita perlukan untuk mengokangnya untuk mendapatkan .

   Membiarkan suatu variabel dapat mengambil nilai riil apa pun, maka batasan berikut diberlakukan pada variabel tersebut: o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />

   Jika kita mengetahui nilai dan , dan kita dihadapkan pada tugas mencari yang tidak diketahui, maka untuk tujuan ini diperkenalkan operasi matematika, yang disebut logaritma.

   Untuk menemukan nilai yang kita ambil logaritma suatu bilangan Oleh dasar :

   Logaritma suatu bilangan terhadap basisnya adalah eksponen yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan .

   Itu adalah identitas logaritmik dasar:

   o» judul=»a>o»/> , 1″ judul=»a1″/>, 0″ judul=»b>0″/>

   pada dasarnya adalah notasi matematika definisi logaritma.

   Operasi matematika logaritma merupakan kebalikan dari operasi eksponensial, jadi sifat-sifat logaritma berkaitan erat dengan sifat-sifat derajat.

   Mari kita daftar yang utama sifat-sifat logaritma:

   (o" title="a>o"/> , 1″ judul=»a1″/>, 0″ judul=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ judul=”d1″/>

   4.

   5.

   Kelompok properti berikut memungkinkan Anda untuk merepresentasikan eksponen suatu ekspresi di bawah tanda logaritma, atau berdiri di dasar logaritma sebagai koefisien di depan tanda logaritma:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Kelompok rumus berikutnya memungkinkan Anda berpindah dari logaritma dengan basis tertentu ke logaritma dengan basis arbitrer, dan disebut formula untuk transisi ke basis baru:

   10.

   12. (akibat wajar dari properti 11)

   

   Tiga sifat berikut ini tidak banyak diketahui, namun sering digunakan saat menyelesaikan persamaan logaritma, atau saat menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma:

   13.

   14.

   15.

   Kasus khusus:

   — logaritma desimal

   — logaritma natural

   Saat menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma, pendekatan umum digunakan:

   1. Kami menyatakan pecahan desimal sebagai pecahan biasa.

   2. Kami menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa.

   3. Kita menguraikan bilangan-bilangan pada dasar logaritma dan di bawah tanda logaritma menjadi faktor-faktor sederhana.

   4. Kami mencoba mengurangi semua logaritma ke basis yang sama.

   5. Menerapkan sifat-sifat logaritma.

   Mari kita lihat contoh penyederhanaan ekspresi yang mengandung logaritma.

   Contoh 1.

   Menghitung:

   Mari kita sederhanakan semua eksponen: tugas kita adalah mereduksinya menjadi logaritma, yang basisnya sama dengan basis eksponen.

   ==(menurut properti 7)=(menurut properti 6) =

   Mari kita substitusikan indikator yang kita dapatkan ke dalam ekspresi aslinya. Kita mendapatkan:

   Jawaban: 5.25

   Contoh 2. Hitung:

   

   Mari kita turunkan semua logaritma ke basis 6 (dalam hal ini, logaritma dari penyebut pecahan akan “bermigrasi” ke pembilang):

   Mari kita menguraikan bilangan-bilangan di bawah tanda logaritma menjadi faktor-faktor sederhana:

   Mari kita terapkan properti 4 dan 6:

   Mari kita perkenalkan penggantinya

   Kita mendapatkan:

   Jawaban 1

   Logaritma . Identitas logaritma dasar.

   Sifat-sifat logaritma. Logaritma desimal. Logaritma natural.

   Logaritma bilangan positif N ke basis (B > 0, B 1) adalah eksponen x yang harus dipangkatkan b untuk mendapatkan N .

   Entri ini setara dengan berikut ini: bx = N .

   Contoh: log 3 81 = 4, karena 3 4 = 81;

   catatan 1/3 27 = – 3, karena (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Definisi logaritma di atas dapat dituliskan sebagai identitas:

   

   Sifat dasar logaritma.

   2) log 1 = 0, karena B 0 = 1 .

   3) Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor:

   4) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih antara logaritma pembagian dan pembagi:

   5) Logaritma suatu pangkat sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma basisnya:

   Konsekuensi dari properti ini adalah sebagai berikut: logaritma akar sama dengan logaritma bilangan radikal dibagi pangkat akar:

   

   6) Jika basis logaritma adalah derajat, maka nilainya kebalikan dari eksponen dapat diambil sebagai sajak log:

   

   Dua properti terbaru dapat digabungkan menjadi satu:

   

   7) Rumus modulus transisi (yaitu transisi dari satu basis logaritma ke basis lainnya):

   

   Dalam kasus khusus kapan Tidak=sebuah kita punya:

   

   Logaritma desimal ditelepon logaritma dasar 10. Dilambangkan lg, yaitu. catatan 10 N= mencatat N. Logaritma angka 10, 100, 1000, . p masing-masing adalah 1, 2, 3,…, mis. punya banyak hal positif

   satuan, berapa banyak angka nol pada suatu bilangan logaritma setelah satu. Logaritma angka 0,1, 0,01, 0,001, . p masing-masing adalah –1, –2, –3, …, yaitu mempunyai bilangan negatif sebanyak bilangan logaritma sebelum satu (termasuk bilangan bulat nol). Logaritma bilangan lain mempunyai bagian pecahan yang disebut mantissa. Bagian bilangan bulat dari logaritma disebut ciri. Untuk penggunaan praktis, logaritma desimal adalah yang paling nyaman.

   Logaritma natural ditelepon logaritma dasar e. Ini dilambangkan dengan ln, yaitu. catatan e N= mencatat N. Nomor e tidak rasional, nilai perkiraannya adalah 2,718281828. Ini adalah batas kecenderungan bilangan (1 + 1 / N) N dengan peningkatan yang tidak terbatas N(cm. batas indah pertama pada halaman "Batas Urutan Angka").
   Anehnya, logaritma natural ternyata sangat mudah digunakan berbagai macam operasi yang berkaitan dengan analisis fungsi. Menghitung logaritma ke basis e dilakukan jauh lebih cepat dibandingkan alasan lainnya.

• Apa yang dibutuhkan saat ini untuk mengadopsi anak di Rusia? Adopsi di Rusia, selain keputusan pribadi yang bertanggung jawab, melibatkan sejumlah prosedur untuk verifikasi kandidat oleh negara. Seleksi yang sulit untuk tahap persiapan berkontribusi pada lebih banyak […]
• Informasi gratis tentang TIN atau OGRN dari daftar pajak di seluruh Rusia - online Di Portal Layanan Pajak Terpadu Anda dapat memperoleh informasi tentang pendaftaran negara badan hukum, pengusaha perorangan, […]
• Hukuman untuk mengemudi tanpa dokumen ( SIM, asuransi, STS) Terkadang, karena kelupaan, pengemudi mengemudi tanpa SIM dan dikenakan denda karena mengemudi tanpa dokumen. Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa penggila mobil sedang mengemudi bersamanya wajib […]
• Bunga untuk pria. Bunga apa yang bisa kamu berikan kepada pria? Bunga apa yang bisa kamu berikan kepada pria? Bunga “jantan” tidak banyak, namun ada juga yang diberikan kepada laki-laki. Daftar bunga kecil di depan Anda: Krisan. mawar. anyelir. […]
• Memo resmi adalah suatu bentuk dokumen khusus yang digunakan di lingkungan internal suatu perusahaan dan berfungsi untuk solusi cepat permasalahan produksi saat ini. Biasanya dokumen ini dibuat dengan tujuan untuk memperkenalkan beberapa […]
• Kapan dan bagaimana menerima bagian dana pensiun Anda dari Bank Tabungan? Bank Tabungan adalah bank mitra dana pensiun negara. Berdasarkan hal tersebut, warga negara yang mendaftar untuk dana pensiun dapat mentransfer bagian yang didanai […]
• Tunjangan anak di Ulyanovsk dan wilayah Ulyanovsk pada tahun 2018 Selain itu, program yang disetujui oleh undang-undang federal berlaku di semua wilayah. Mari kita lihat siapa yang dapat mengandalkan manfaat apa. Bagaimana otoritas regional […]
• Panduan Lengkap cara membuat surat kuasa untuk mewakili kepentingan individu di pengadilan Dalam gugatan perdata atau arbitrase, dalam perkara administratif atau pidana, kepentingan penggugat dan tergugat dapat diwakili oleh kuasa hukum: […]

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

\(a^(b)=c\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan dengan lebih sederhana. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat yang \(2\) harus dipangkatkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:		\(\log_(5)(25)=2\)		Karena \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Karena \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumen dan basis logaritma

Logaritma apa pun memiliki “anatomi” berikut:

Argumen suatu logaritma biasanya ditulis pada tingkatnya, dan basisnya ditulis dalam subskrip yang mendekati tanda logaritma. Dan entri ini berbunyi seperti ini: “logaritma dua puluh lima berbanding lima.”

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: pangkat berapa yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan argumen?

Misalnya, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ persegi (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(4\) untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(5)\) untuk mendapatkan \(1\)? Kekuatan apa yang membuat seseorang menjadi nomor satu? Tentu saja nol!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(7)\) untuk memperoleh \(\sqrt(7)\)? Pertama, bilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(3\) untuk memperoleh \(\sqrt(3)\)? Dari yang kita tahu itu adalah pangkat pecahan yang artinya Akar pangkat dua adalah kekuatan \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Larutan :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu mencari nilai logaritmanya, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apa yang menghubungkan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua bilangan dapat diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri kita menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Basisnya sama, kita beralih ke kesetaraan indikator
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahami hal ini, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cocokkan saja \(x\) agar persamaannya berfungsi. Tentu saja \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaannya: \(3^(x)=8\). Berapakah x sama dengan? Itulah intinya.

Orang yang paling cerdas akan berkata: “X kurang dari dua.” Bagaimana tepatnya menulis nomor ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, logaritma diciptakan. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), seperti logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal, maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Larutan :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat dibawa ke basis yang sama. Ini berarti Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Mari kita balikkan persamaannya sehingga X berada di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Mari kita pindah \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan seperti bilangan biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bagilah persamaan tersebut dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ini adalah akar kami. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi mereka tidak memilih jawabannya.

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya bisa apa saja nomor positif, kecuali untuk unit \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua kemungkinan basis, ada dua yang sering muncul sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengan basis tersebut:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2,7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma Desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah suatu bilangan.

Identitas logaritma dasar

Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satunya disebut “Identitas Logaritma Dasar” dan terlihat seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana rumus ini muncul.

Mari kita ingat kembali notasi singkat tentang definisi logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) pada rumus \(a^(b)=c\). Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritmik utama.

Anda dapat menemukan properti logaritma lainnya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit dihitung secara langsung.

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Larutan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis bilangan sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian, alih-alih dua, Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\).

Tapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), yang artinya kita juga bisa menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Ternyata begitu

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menulis dua sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana pun (baik dalam persamaan, ekspresi, atau pertidaksamaan) - kita cukup menulis basis kuadrat sebagai argumen.

Sama halnya dengan triple – dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \)... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilangan apa pun \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Temukan arti ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Larutan :

Menjawab : \(1\)

Logaritma bilangan positif b dengan basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sedemikian rupa sehingga a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma bilangan non-positif tidak terdefinisi. Selain itu, basis logaritma harus berupa bilangan positif yang tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita mengkuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti bahwa basis -2 logaritma dari 4 sama dengan ke 2.

Identitas logaritma dasar

catatan a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Penting agar cakupan definisi ruas kanan dan kiri rumus ini berbeda. Ruas kiri terdefinisi hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Ruas kanan terdefinisi untuk sembarang b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan “identitas” logaritmik dasar saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan OD.

Dua konsekuensi nyata dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
catatan a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Memang, jika bilangan a dipangkatkan satu, kita mendapatkan bilangan yang sama, dan jika dipangkatkan nol, kita mendapat satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus-rumus ini secara sembarangan saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Saat menggunakannya “dari kiri ke kanan”, ODZ menyempit, dan saat berpindah dari jumlah atau selisih logaritma ke logaritma hasil kali atau hasil bagi, ODZ melebar.

Memang benar, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ekspresi ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x), kita terpaksa membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan hal ini sangat tidak dapat diterima, karena dapat mengakibatkan hilangnya solusi. Masalah serupa juga terjadi pada rumus (6).

Derajatnya bisa diambil dari tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta keakuratan. Perhatikan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ruas kiri persamaan jelas terdefinisi untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Dengan mengeluarkan derajat dari logaritma, kita kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap apa pun.

Formula untuk pindah ke yayasan baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama transformasi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus pindah ke basis baru sepenuhnya aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis baru c, kita memperoleh kasus khusus yang penting dari rumus (8):

Log a b = 1 log ba (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1. Hitung: log2 + log50.
Larutan. log2 + log50 = log100 = 2. Kami menggunakan rumus jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2. Hitung: lg125/lg5.
Larutan. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kita menggunakan rumus untuk berpindah ke basis baru (8).

Tabel rumus yang berhubungan dengan logaritma

catatan a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

catatan a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

274. Keterangan.

A) Jika ekspresi yang ingin Anda evaluasi berisi jumlah atau perbedaan bilangan, maka harus dicari tanpa bantuan tabel dengan penjumlahan atau pengurangan biasa. Misalnya:

catatan (35 +7.24) 5 = 5 catatan (35 + 7.24) = 5 catatan 42.24.

B) Mengetahui cara membuat ekspresi logaritma, kita dapat, secara terbalik, menggunakan hasil logaritma tertentu, menemukan ekspresi dari mana hasil ini diperoleh; jadi jika

catatan X= mencatat A+catatan B- 3 catatan Dengan,

maka mudah untuk memahaminya

V) Sebelum beralih ke struktur tabel logaritma, kami akan menunjukkan beberapa properti logaritma desimal, yaitu yang basisnya adalah angka 10 (hanya logaritma seperti itu yang digunakan untuk perhitungan).

Bagian dua.

Sifat-sifat logaritma desimal.

275 . A) Karena 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, dst, maka log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, dan seterusnya.

Cara, Logaritma suatu bilangan bulat yang diwakili oleh satu dan nol adalah bilangan bulat positif yang memuat bilangan satu sebanyak jumlah nol dalam representasi bilangan tersebut.

Dengan demikian: mencatat 100.000 = 5, catatan 1000 000 = 6 , dll.

B) Karena

catatan 0,1 = -l; catatan 0,01 = - 2; catatan 0,001 == -3; catatan 0,0001 = - 4, dll.

Cara, Logaritma pecahan desimal, yang diwakili oleh satuan dengan angka nol di depannya, adalah bilangan bulat negatif yang memuat satuan negatif sebanyak angka nol dalam representasi pecahan tersebut, termasuk 0 bilangan bulat.

Dengan demikian: catatan 0,00001= - 5, catatan 0,000001 = -6, dll.

V) Mari kita ambil bilangan bulat yang tidak diwakili oleh satu dan nol, misalnya. 35, atau bilangan bulat dengan pecahan, misalnya. 10.7. Logaritma dari bilangan tersebut tidak boleh bilangan bulat, karena menaikkan 10 ke pangkat dengan eksponen bilangan bulat (positif atau negatif), kita mendapatkan 1 dengan nol (mengikuti atau mendahului 1). Sekarang mari kita asumsikan bahwa logaritma dari bilangan tersebut adalah pecahan tertentu A / B . Maka kita akan memiliki kesetaraan

Tapi persamaan ini tidak mungkin terjadi 10A ada angka 1 yang nol, sedangkan derajat 35B Dan 10,7B dengan ukuran apa pun B tidak dapat memberikan 1 diikuti dengan nol. Artinya, kita tidak bisa mengizinkannya catatan 35 Dan catatan 10.7 sama dengan pecahan. Tapi dari propertinya fungsi logaritmik kita tahu () bahwa setiap bilangan positif memiliki logaritma; akibatnya, masing-masing bilangan 35 dan 10.7 mempunyai logaritmanya sendiri-sendiri, dan karena bilangan tersebut tidak dapat berupa bilangan bulat atau bilangan pecahan, maka bilangan tersebut merupakan bilangan irasional dan oleh karena itu tidak dapat dinyatakan secara tepat dengan menggunakan bilangan. Logaritma irasional biasanya dinyatakan sebagai pecahan desimal dengan beberapa tempat desimal. Bilangan bulat dari pecahan ini (walaupun “0 bilangan bulat”) disebut ciri, dan bagian pecahannya adalah mantissa dari logaritma. Jika misalnya ada logaritma 1,5441 , maka karakteristiknya sama 1 , dan mantissa adalah 0,5441 .

G) Mari kita ambil bilangan bulat atau bilangan campuran, misalnya. 623 atau 623,57 . Logaritma bilangan tersebut terdiri dari karakteristik dan mantissa. Ternyata logaritma desimal mempunyai kemudahan itu kita selalu dapat menemukan karakteristiknya dengan satu jenis bilangan . Untuk melakukannya, mari kita hitung berapa banyak digit dalam bilangan bulat tertentu, atau dalam bagian bilangan bulat dari bilangan campuran 3 . Oleh karena itu, masing-masing angka 623 Dan 623,57 lebih dari 100 tetapi kurang dari 1000; ini berarti logaritma masing-masingnya lebih besar mencatat 100, yaitu lebih 2 , tapi kurang mencatat 1000, yaitu kurang 3 (ingat bahwa bilangan yang lebih besar juga memiliki logaritma yang lebih besar). Karena itu, catatan 623 = 2,..., Dan catatan 623,57 = 2,... (titik menggantikan mantissa yang tidak diketahui).

Seperti ini kami menemukan:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 catatan 56,7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 catatan 8634 = 3,...

Misalkan suatu bilangan bulat tertentu, atau bagian bilangan bulat dari suatu bilangan campuran tertentu, mengandung M angka Karena bilangan bulat terkecil mengandung M angka, ya 1 Dengan M - 1 nol di akhir, lalu (menunjukkan angka ini N) kita dapat menulis pertidaksamaannya:

dan maka dari itu,

M - 1 < log N < M ,

catatan N = ( M- 1) + pecahan positif.

Jadi ciri khasnya logN = M - 1 .

Kita melihatnya dengan cara ini ciri-ciri logaritma suatu bilangan bulat atau bilangan campuran mengandung satuan positif yang sama banyaknya dengan jumlah digit pada bagian bilangan bulat tersebut dikurangi satu.

Setelah memperhatikan hal ini, kita bisa langsung menulis:

catatan 7.205 = 0,...; catatan 83 = 1,...; catatan 720,4 = 2,... dan seterusnya.

D) Mari kita ambil beberapa pecahan desimal lebih kecil 1 (yaitu memiliki 0 utuh): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, dan seterusnya.

Jadi, masing-masing logaritma ini terdapat di antara dua bilangan bulat negatif yang berbeda satu satuan; oleh karena itu, masing-masing bilangan tersebut sama dengan bilangan negatif terkecil yang ditambah beberapa pecahan positif. Misalnya, log0,0056= -3 + pecahan positif. Misalkan pecahan ini adalah 0,7482. Maka artinya:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Jumlah seperti - 3 + 0,7482 , terdiri dari bilangan bulat negatif dan pecahan desimal positif, disepakati perhitungan logaritma disingkat sebagai berikut: 3 ,7482 (Angka ini berbunyi: 3 dikurangi, 7482 seperseribu.), yaitu mereka memberi tanda minus pada suatu karakteristik untuk menunjukkan bahwa karakteristik tersebut hanya berkaitan dengan karakteristik ini, dan bukan pada mantissa, yang tetap positif. Jadi, dari tabel di atas jelas bahwa

catatan 0,35 == 1 ,....; catatan 0,07 = 2,....; catatan 0,0008 = 4,....

Biarlah sama sekali . ada pecahan desimal yang sebelum pecahan pertama angka penting α biaya M nol, termasuk 0 bilangan bulat. Maka jelaslah bahwa

- M < log A < - (M- 1).

Karena dari dua bilangan bulat: - M Dan - (M- 1) ada lebih sedikit - M , Itu

catatan A = - M+ pecahan positif,

dan oleh karena itu karakteristiknya catatan A = - M (dengan mantissa positif).

Dengan demikian, ciri-ciri logaritma pecahan desimal kurang dari 1 mengandung bilangan negatif sebanyak bilangan nol pada gambar pecahan desimal sebelum angka penting pertama, termasuk bilangan bulat nol; Mantissa dari logaritma tersebut adalah positif.

e) Mari kalikan suatu angka N(bilangan bulat atau pecahan - tidak masalah) dengan 10, dengan 100 dengan 1000..., secara umum dengan 1 dengan nol. Mari kita lihat bagaimana perubahannya catatan N. Karena logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya, maka

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; dll.

Kapan harus catatan N kita menambahkan bilangan bulat, maka kita selalu dapat menambahkan bilangan ini ke karakteristik, dan bukan ke mantissa.

Jadi, jika log N = 2,7804, maka 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, dst.;

atau jika log N = 3,5649, maka 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, dst.

Ketika suatu bilangan dikalikan dengan 10, 100, 1000,..., umumnya dengan 1 dengan nol, mantissa logaritmanya tidak berubah, dan karakteristiknya bertambah sebanyak satuan yang ada pada faktornya. .

Demikian pula, dengan mempertimbangkan bahwa logaritma hasil bagi sama dengan logaritma pembagian tanpa logaritma pembagi, kita memperoleh:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; dan seterusnya.

Jika kita setuju, ketika mengurangkan bilangan bulat dari logaritma, untuk selalu mengurangkan bilangan bulat ini dari karakteristiknya dan membiarkan mantissa tidak berubah, maka kita dapat mengatakan:

Membagi suatu bilangan dengan 1 dengan nol tidak mengubah mantissa logaritma, tetapi karakteristiknya berkurang sebanyak satuan yang ada pada pembaginya.

276. Konsekuensi. Dari properti ( e) dua akibat wajar berikut dapat disimpulkan:

A) Mantissa logaritma suatu bilangan desimal tidak berubah ketika dipindahkan ke koma desimal , karena memindahkan koma desimal sama dengan mengalikan atau membagi dengan 10, 100, 1000, dst. Jadi, logaritma bilangan:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

hanya berbeda dalam karakteristiknya, tetapi tidak pada mantissa (asalkan semua mantissa positif).

B) Mantissa angka-angka yang memiliki kesamaan bagian penting, tetapi hanya berbeda dengan angka nol di akhir, adalah sama: Jadi, logaritma bilangan: 23, 230, 2300, 23.000 hanya berbeda karakteristiknya.

Komentar. Dari sifat-sifat logaritma desimal yang ditunjukkan, jelas bahwa kita dapat menemukan karakteristik logaritma bilangan bulat dan pecahan desimal tanpa bantuan tabel (ini adalah kemudahan logaritma desimal); akibatnya, hanya satu mantissa yang ditempatkan dalam tabel logaritmik; selain itu, karena mencari logaritma pecahan direduksi menjadi mencari logaritma bilangan bulat (logaritma pecahan = logaritma pembilang tanpa logaritma penyebut), mantissa logaritma hanya bilangan bulat ditempatkan di tabel.

Bab tiga.

Desain dan penggunaan tabel empat digit.

277. Sistem logaritma. Sistem logaritma adalah sekumpulan logaritma yang dihitung untuk sejumlah bilangan bulat berurutan dengan menggunakan basis yang sama. Dua sistem yang digunakan: sistem logaritma biasa atau desimal, di mana bilangan diambil sebagai basis 10 , dan sistem yang disebut logaritma natural, yang menggunakan bilangan irasional sebagai basisnya (untuk beberapa alasan yang jelas di cabang matematika lainnya) 2,7182818 ... Untuk perhitungan, logaritma desimal digunakan, karena kemudahan yang kami tunjukkan saat kami membuat daftar properti logaritma tersebut.

Logaritma natural juga disebut Neperov, dinamai menurut penemu logaritma, seorang matematikawan Skotlandia Nepera(1550-1617), dan logaritma desimal - Briggs dinamai menurut nama profesor Brigga(sezaman dan teman Napier), yang pertama kali menyusun tabel logaritma ini.

278. Mengubah logaritma negatif menjadi logaritma yang mantissanya positif, dan transformasi inversnya. Kita telah melihat bahwa logaritma bilangan yang kurang dari 1 adalah negatif. Artinya terdiri dari ciri negatif dan mantissa negatif. Logaritma tersebut selalu dapat diubah sehingga mantissanya menjadi positif, namun karakteristiknya tetap negatif. Untuk melakukan ini, cukup menambahkan yang positif ke mantissa, dan yang negatif ke karakteristiknya (yang, tentu saja, tidak mengubah nilai logaritma).

Misalnya kita mempunyai logaritma - 2,0873 , maka Anda dapat menulis:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

atau disingkat:

Sebaliknya, logaritma apa pun yang memiliki karakteristik negatif dan mantissa positif dapat diubah menjadi logaritma negatif. Untuk melakukan ini, cukup menambahkan yang negatif ke mantissa positif, dan yang positif ke karakteristik negatif: jadi, Anda dapat menulis:

279. Deskripsi tabel empat digit. Untuk menyelesaikan sebagian besar masalah praktis, tabel empat digit sudah cukup, yang penanganannya sangat sederhana. Tabel-tabel ini (dengan tulisan “logaritma” di bagian atas) ditempatkan di akhir buku ini, dan sebagian kecilnya (untuk menjelaskan susunannya) dicetak di halaman ini

Logaritma.

logaritma semua bilangan bulat dari 1 sebelum 9999 inklusif, dihitung hingga empat tempat desimal, dengan tempat terakhir ditambah sebesar 1 dalam semua kasus dimana tempat desimal ke-5 adalah 5 atau lebih dari 5; oleh karena itu, tabel 4 digit memberikan perkiraan mantissa hingga 1 / 2 sepersepuluh ribu bagian (dengan kekurangan atau kelebihan).

Karena kita dapat secara langsung mengkarakterisasi logaritma bilangan bulat atau pecahan desimal, berdasarkan sifat-sifat logaritma desimal, kita hanya perlu mengambil mantissa dari tabel; Pada saat yang sama, kita harus ingat bahwa posisi koma desimal dalam suatu bilangan desimal, serta banyaknya angka nol di akhir bilangan tersebut, tidak mempengaruhi nilai mantissa. Oleh karena itu, ketika mantissa ditemukan nomor yang diberikan kita membuang koma pada bilangan ini, serta angka nol di akhir bilangan tersebut, jika ada, dan mencari mantissa dari bilangan bulat yang terbentuk setelah ini. Kasus-kasus berikut mungkin timbul.

1) Bilangan bulat terdiri dari 3 digit. Sebagai contoh, katakanlah kita perlu mencari mantissa dari logaritma bilangan 536. Dua digit pertama bilangan ini, yaitu 53, terdapat pada tabel di kolom vertikal pertama di sebelah kiri (lihat tabel). Setelah ketemu angka 53, kita gerakkan sepanjang garis mendatar ke kanan sampai garis tersebut berpotongan dengan kolom vertikal yang melewati salah satu angka 0, 1, 2, 3,... 9, diletakkan di atas (dan bawah) tabel, yang merupakan digit ke-3 dari suatu bilangan tertentu, yaitu dalam contoh kita, bilangan 6. Di persimpangan kita mendapatkan mantissa 7292 (yaitu 0,7292), yang termasuk dalam logaritma bilangan 536. Demikian pula , untuk bilangan 508 kita cari mantissa 0,7059, untuk bilangan 500 kita cari 0,6990, dst.

2) Bilangan bulat terdiri dari 2 atau 1 digit. Kemudian kita secara mental menetapkan satu atau dua angka nol pada bilangan ini dan mencari mantissa untuk bilangan tiga digit yang dibentuk demikian. Misalnya, kita menambahkan satu angka nol ke angka 51, dari situ kita mendapatkan 510 dan mencari mantissa 7070; ke nomor 5 kita tetapkan 2 angka nol dan temukan mantissa 6990, dst.

3) Bilangan bulat dinyatakan dalam 4 digit. Misalnya, Anda perlu mencari mantissa dari log 5436. Kemudian pertama-tama kita temukan di tabel, seperti yang baru saja ditunjukkan, mantissa untuk bilangan yang diwakili oleh 3 digit pertama bilangan ini, yaitu untuk 543 (mantissa ini akan menjadi 7348) ; kemudian kita gerakkan dari mantissa yang ditemukan sepanjang garis mendatar ke kanan (ke sisi kanan meja, terletak di belakang garis vertikal tebal) hingga berpotongan dengan kolom vertikal yang melewati salah satu bilangan: 1, 2 3,. .. 9, terletak di bagian atas (dan di bawah ) bagian tabel ini, yang mewakili digit ke-4 dari suatu bilangan tertentu, yaitu, dalam contoh kita, bilangan 6. Di persimpangan kita menemukan koreksi (angka 5), yang harus diterapkan secara mental pada mantissa angka 7348 untuk memperoleh mantissa angka 5436; Dengan cara ini kita mendapatkan mantissa 0,7353.

4) Bilangan bulat dinyatakan dengan 5 digit atau lebih. Kemudian kita membuang semua digit kecuali 4 digit pertama dan mengambil perkiraan angka empat digit, dan angka terakhir Kami menambah angka ini sebanyak 1 di dalamnya. kasus ketika angka ke 5 yang dibuang adalah 5 atau lebih dari 5. Jadi, sebagai pengganti 57842 kita ambil 5784, sebagai ganti 30257 kita ambil 3026, sebagai ganti 583263 kita ambil 5833, dst. Untuk bilangan empat digit yang dibulatkan ini, kita menemukan mantissa seperti yang baru saja dijelaskan.

Dipandu oleh petunjuk ini, mari kita cari, misalnya, logaritma dari bilangan berikut:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Pertama-tama, tanpa beralih ke tabel untuk saat ini, kami hanya akan mencantumkan karakteristiknya, menyisakan ruang untuk mantissa, yang akan kami tuliskan setelahnya:

catatan 36,5 = 1,.... catatan 0,00345 = 3,....

catatan 804.7 = 2,.... catatan 7.2634 = 0,....

catatan 0,26 = 1,.... catatan 3456,86 = 3,....

catatan 36,5 = 1,5623; catatan 0,00345 = 3,5378;

catatan 804,7 = 2,9057; catatan 7,2634 = 0,8611;

catatan 0,26 = 1,4150; catatan 3456,86 = 3,5387.

280. Catatan. Dalam beberapa tabel empat digit (misalnya, dalam tabel V. Lorchenko dan N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) koreksi untuk digit ke-4 nomor ini tidak dilakukan. Ketika berhadapan dengan tabel seperti itu, kita harus menemukan koreksi ini menggunakan perhitungan sederhana, yang dapat dilakukan berdasarkan kebenaran berikut: jika angkanya melebihi 100 dan selisihnya kurang dari 1, maka tanpa kesalahan sensitif itu dapat diasumsikan bahwa perbedaan antara logaritma sebanding dengan perbedaan antara angka-angka yang bersesuaian . Misalkan kita perlu mencari mantissa yang sesuai dengan angka 5367. Mantissa ini tentu saja sama dengan angka 536,7. Kita temukan dalam tabel untuk angka 536 mantissa 7292. Membandingkan mantissa ini dengan mantissa 7300 yang berdekatan di sebelah kanan, sesuai dengan angka 537, kita perhatikan bahwa jika angka 536 bertambah 1, maka mantissanya akan bertambah 8 sepuluh -seperseribu (8 disebut perbedaan tabel antara dua mantissa yang berdekatan); jika angka 536 bertambah 0,7, maka mantissanya tidak bertambah 8 per sepuluh ribu, tetapi bertambah beberapa angka yang lebih kecil X sepersepuluh ribu, yang menurut asumsi proporsionalitas, harus memenuhi proporsi:

X :8 = 0,7:1; Di mana X = 8 07 = 5,6,

yang dibulatkan menjadi 6 per sepuluh ribu. Artinya mantissa untuk bilangan 536,7 (berarti untuk bilangan 5367) adalah: 7292 + 6 = 7298.

Perhatikan bahwa menemukan bilangan perantara menggunakan dua bilangan yang berdekatan dalam tabel disebut interpolasi. Interpolasi yang dijelaskan di sini disebut sebanding, karena didasarkan pada asumsi bahwa perubahan logaritma sebanding dengan perubahan bilangan. Disebut juga linier, karena mengasumsikan bahwa secara grafis perubahan fungsi logaritma dinyatakan dengan garis lurus.

281. Batas kesalahan perkiraan logaritma. Jika bilangan yang logaritmanya dicari adalah bilangan eksak, maka limit error logaritmanya yang terdapat pada tabel 4 digit dapat diambil, seperti yang telah kami katakan pada bagian sebelumnya. 1 / 2 bagian sepuluh ribu. Jika angka ini tidak tepat, maka pada batas kesalahan ini kita juga harus menambahkan batas kesalahan lain akibat ketidakakuratan angka itu sendiri. Telah terbukti (kami menghilangkan bukti ini) bahwa batasan tersebut dapat diambil untuk suatu produk

A(D +1) sepuluh ribu.,

di mana A adalah margin kesalahan untuk angka yang paling tidak tepat, dengan asumsi demikian bagian bilangan bulatnya berisi 3 digit, A D perbedaan tabel mantissa yang bersesuaian dengan dua bilangan tiga angka berurutan yang di antaranya terletak bilangan tidak tepat tersebut. Dengan demikian, batas kesalahan akhir logaritma selanjutnya akan dinyatakan dengan rumus:

1 / 2 + A(D +1) sepuluh ribu

Contoh. Temukan catatan π , mengambil untuk π perkiraan angka 3.14, persis sampai 1 / 2 keseratus.

Dengan memindahkan koma setelah angka ke-3 pada angka 3,14, dihitung dari kiri, kita mendapatkan tiga angka angka 314, persis dengan 1 / 2 unit; Artinya margin of error untuk angka yang tidak akurat, yaitu yang kita tandai dengan huruf A , ada 1 / 2 Dari tabel kami menemukan:

catatan 3,14 = 0,4969.

Perbedaan tabel D antara mantissa angka 314 dan 315 sama dengan 14, jadi error logaritma yang ditemukan akan lebih kecil

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 sepuluh ribu.

Karena kita tidak mengetahui logaritma 0,4969 apakah kekurangan atau kelebihan, kita hanya dapat menjamin bahwa logaritma eksaknya π terletak antara 0,4969 - 0,0008 dan 0,4969 + 0,0008, yaitu 0,4961< log π < 0,4977.

282. Temukan suatu bilangan menggunakan logaritma tertentu. Untuk mencari suatu bilangan menggunakan logaritma tertentu, tabel yang sama dapat digunakan untuk mencari mantissa dari bilangan tertentu; tetapi akan lebih mudah untuk menggunakan tabel lain yang berisi apa yang disebut antilogaritma, yaitu angka yang sesuai dengan mantissa ini. Tabel-tabel ini, ditandai dengan tulisan “antilogaritma” di bagian atas, ditempatkan di akhir buku ini setelah tabel-tabel logaritma; sebagian kecil ditempatkan di halaman ini (untuk penjelasan).

Misalkan Anda diberi mantissa 2863 4 digit (kami tidak memperhatikan karakteristiknya) dan Anda perlu mencari bilangan bulat yang sesuai. Kemudian, dengan memiliki tabel antilogaritma, Anda perlu menggunakannya dengan cara yang persis sama seperti yang telah dijelaskan sebelumnya untuk mencari mantissa untuk suatu bilangan tertentu, yaitu: kita mencari 2 digit pertama mantissa di kolom pertama sebelah kiri. Kemudian kita gerakkan angka-angka tersebut sepanjang garis mendatar ke kanan hingga berpotongan dengan kolom vertikal yang berasal dari angka ke-3 mantissa yang harus dicari di baris atas (atau bawah). Di persimpangan kita menemukan empat digit angka 1932, sesuai dengan mantissa 286. Kemudian dari angka ini kita bergerak lebih jauh sepanjang garis horizontal ke kanan sampai perpotongan dengan kolom vertikal yang berasal dari digit ke-4 mantissa, yang harus ditemukan di bagian atas (atau bawah) di antara angka 1, 2 ditempatkan di sana, 3,... 9. Di persimpangan kita menemukan koreksi 1, yang harus diterapkan (dalam pikiran) ke angka 1032 yang ditemukan sebelumnya secara berurutan untuk mendapatkan nomor yang sesuai dengan mantissa 2863.

Jadi, angkanya adalah 1933. Setelah itu, dengan memperhatikan ciri-cirinya, Anda perlu meletakkan angka 1933 pada tempat yang tepat. Misalnya:

Jika catatan X = 3,2863, maka X = 1933,

„ catatan x = 1,2863, „ X = 19,33,

, catatan X = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ catatan X = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Berikut contoh lainnya:

catatan X = 0,2287, X = 1,693,

catatan X = 1 ,7635, X = 0,5801,

catatan X = 3,5029, X = 3184,

catatan X = 2 ,0436, X = 0,01106.

Jika mantissa berisi 5 digit atau lebih, maka kita ambil 4 digit pertama saja, buang sisanya (dan tambah digit ke-4 sebanyak 1 jika digit ke-5 memiliki lima atau lebih). Misalnya, alih-alih mantissa 35478 kita ambil 3548, alih-alih 47562 kita ambil 4756.

283. Catatan. Koreksi untuk digit mantissa ke-4 dan selanjutnya juga dapat ditemukan melalui interpolasi. Jadi, jika mantissanya adalah 84357, maka setelah menemukan bilangan 6966 yang sesuai dengan mantissa 843, kita dapat beralasan lebih lanjut sebagai berikut: jika mantissa bertambah 1 (seperseribu), yaitu menjadi 844, maka bilangan tersebut, sebagai dilihat dari tabel akan bertambah 16 satuan; jika mantissa bertambah bukan 1 (seperseribu), melainkan 0,57 (seperseribu), maka jumlahnya bertambah sebesar X satuan, dan X harus memenuhi proporsi:

X : 16 = 0,57: 1, dari mana x = 16 0,57 = 9,12.

Artinya angka yang dibutuhkan adalah 6966+ 9.12 = 6975.12 atau (dibatasi hanya empat digit) 6975.

284. Batas kesalahan nomor yang ditemukan. Telah dibuktikan bahwa bila pada bilangan yang ditemukan komanya terletak setelah angka ke-3 dari kiri, yaitu bila ciri logaritmanya adalah 2, maka penjumlahannya dapat diambil sebagai batas kesalahan.

Di mana A adalah batas kesalahan logaritma (dinyatakan dalam sepersepuluh ribu) yang digunakan untuk menemukan bilangan tersebut, dan D - selisih antara mantissa dua angka berurutan tiga angka yang di antara letak angka yang ditemukan (dengan koma setelah angka ke-3 dari kiri). Bila cirinya bukan 2, melainkan bilangan lain, maka pada bilangan yang ditemukan koma harus dipindahkan ke kiri atau ke kanan, yaitu membagi atau mengalikan bilangan tersebut dengan pangkat 10. Dalam hal ini, kesalahannya hasilnya juga akan dibagi atau dikalikan dengan pangkat 10 yang sama.

Misalnya kita mencari suatu bilangan dengan menggunakan logaritma 1,5950 , yang diketahui akurat hingga 3 per sepuluh ribu; itu artinya kalau begitu A = 3 . Bilangan yang sesuai dengan logaritma ini, diperoleh dari tabel antilogaritma, adalah 39,36 . Memindahkan koma setelah digit ke-3 dari kiri, kita mendapatkan nomornya 393,6 , terdiri antara 393 Dan 394 . Dari tabel logaritma kita melihat bahwa selisih mantissa yang bersesuaian dengan kedua bilangan tersebut adalah 11 sepuluh per seribu; Cara D = 11 . Kesalahan angka 393.6 akan lebih sedikit

Artinya ada kesalahan pada nomor tersebut 39,36 akan ada lebih sedikit 0,05 .

285. Operasi logaritma dengan karakteristik negatif. Penjumlahan dan pengurangan logaritma tidak menimbulkan kesulitan, terlihat dari contoh berikut:

Mengalikan logaritma dengan bilangan positif juga tidak sulit, misalnya:

Pada contoh terakhir, mantissa positif dikalikan 34 secara terpisah, kemudian sifat negatif dikalikan 34.

Jika logaritma suatu karakteristik negatif dan mantissa positif dikalikan dengan bilangan negatif, maka lanjutkan dengan dua cara: logaritma yang diberikan terlebih dahulu diubah menjadi negatif, atau mantissa dan karakteristik dikalikan secara terpisah dan hasilnya digabungkan, misalnya :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Saat membagi, dua kasus mungkin timbul: 1) sifat negatifnya terbagi dan 2) tidak habis dibagi oleh pembagi. Dalam kasus pertama, karakteristik dan mantissa dipisahkan secara terpisah:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

Dalam kasus kedua, begitu banyak satuan negatif yang ditambahkan ke karakteristik sehingga bilangan yang dihasilkan dibagi dengan pembaginya; jumlah unit positif yang sama ditambahkan ke mantissa:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Transformasi ini harus dilakukan dalam pikiran, sehingga tindakannya seperti ini:

286. Mengganti logaritma yang dikurangi dengan suku. Saat menghitung beberapa ekspresi kompleks menggunakan logaritma, Anda harus menambahkan beberapa logaritma dan mengurangi yang lain; dalam hal ini, dengan cara biasa dalam melakukan tindakan, mereka secara terpisah mencari jumlah logaritma yang ditambahkan, lalu jumlah logaritma yang dikurangi, dan mengurangi jumlah kedua dari jumlah pertama. Misalnya, jika kita memiliki:

catatan X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

maka eksekusi tindakan yang biasa akan terlihat seperti ini:

Namun, pengurangan dapat diganti dengan penjumlahan. Jadi:

Sekarang Anda dapat mengatur perhitungannya seperti ini:

287. Contoh perhitungan.

Contoh 1. Evaluasi ekspresi:

Jika A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Dan D = 7,246.

Mari kita ambil logaritma dari ungkapan ini:

catatan X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Sekarang, untuk menghindari kehilangan waktu yang tidak perlu dan untuk mengurangi kemungkinan kesalahan, pertama-tama kita akan mengatur semua perhitungan tanpa menjalankannya untuk saat ini dan, oleh karena itu, tanpa mengacu pada tabel:

Setelah ini, kita ambil tabelnya dan letakkan logaritma di ruang kosong yang tersisa:

Batas kesalahan. Pertama, mari kita cari batas kesalahan bilangan tersebut X 1 = 194,5 , sama dengan:

Jadi, pertama-tama Anda perlu menemukannya A , yaitu batas kesalahan perkiraan logaritma, dinyatakan dalam seperseribu. Mari kita asumsikan angka-angka ini A, B, C Dan D semuanya akurat. Maka kesalahan dalam logaritma individual adalah sebagai berikut (dalam sepersepuluh ribu):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 catatan A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 ditambahkan karena ketika membagi 1,9146 dengan 3 logaritma, kami membulatkan hasil bagi dengan membuang angka ke-5, dan oleh karena itu, membuat kesalahan yang lebih kecil lagi 1 / 2 sepuluh ribu).

Sekarang kita menemukan batas kesalahan logaritma:

A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (sepuluh ribu).

Mari kita definisikan lebih lanjut D . Karena X 1 = 194,5 , lalu 2 bilangan bulat berurutan yang terletak diantara bilangan tersebut X 1 akan 194 Dan 195 . Perbedaan tabel D antara mantissa yang bersesuaian dengan angka-angka ini sama dengan 22 . Artinya batas kesalahan bilangan tersebut adalah X 1 Ada:

Karena X = X 1 : 10, maka batas error pada angka tersebut X sama 0,3:10 = 0,03 . Jadi, nomor yang kami temukan 19,45 berbeda dari angka pastinya kurang dari 0,03 . Karena kami tidak mengetahui apakah perkiraan kami ditemukan kekurangan atau kelebihan, kami hanya dapat menjaminnya

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , yaitu

19,48 > X > 19,42 ,

dan karena itu, jika kita menerimanya X =19,4 , maka kita akan mendapatkan perkiraan dengan kerugian dengan akurasi hingga 0,1.

Contoh 2. Menghitung:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Karena bilangan negatif tidak memiliki logaritma, pertama-tama kita cari:

X" = (2,31) 3 5 √72

dengan dekomposisi:

catatan X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

Setelah dihitung ternyata :

X" = 28,99 ;

karena itu,

X = - 28,99 .

Contoh 3. Menghitung:

Logaritma kontinu tidak dapat digunakan di sini, karena tanda akarnya adalah cum m a. Dalam kasus seperti itu, hitung rumusnya per bagian.

Pertama kita temukan N = 5 √8 , Kemudian N 1 = 4 √3 ; kemudian dengan penjumlahan sederhana kita tentukan N+ N 1 , dan akhirnya kami menghitung 3 √N+ N 1 ; ternyata:

N=1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

catatan X= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 mencatat 2.830 = 0,1506 ;

X = 1,415 .

Bab empat.

Persamaan eksponensial dan logaritma.

288. Persamaan eksponensial adalah persamaan yang persamaan yang tidak diketahui dimasukkan dalam eksponen, dan logaritma- tempat di mana hal yang tidak diketahui masuk di bawah tanda catatan. Persamaan seperti itu hanya dapat diselesaikan dalam kasus-kasus khusus, dan kita harus mengandalkan sifat-sifat logaritma dan prinsip bahwa jika bilangan-bilangannya sama, maka logaritmanya juga sama, dan, sebaliknya, jika logaritmanya sama, maka persamaan tersebut sama. angkanya sama.

Contoh 1. Selesaikan persamaan: 2 X = 1024 .

Mari kita logaritma kedua ruas persamaan:

Contoh 2. Selesaikan persamaan: A 2x - A X = 1 . Menempatkan A X = pada , kita mendapatkan persamaan kuadrat:

kamu 2 - pada - 1 = 0 ,

Karena 1-√5 < 0 , maka persamaan terakhir tidak mungkin (fungsi A X selalu ada bilangan positif), dan bilangan pertama menghasilkan:

Contoh 3. Selesaikan persamaan:

catatan( sebuah + x) + catatan ( b+x) = catatan ( c+x) .

Persamaannya dapat ditulis seperti ini:

catatan[( sebuah + x) (b+x)] = catatan ( c+x) .

Dari persamaan logaritma kita menyimpulkan bahwa bilangan-bilangan tersebut sama:

(sebuah + x) (b+x) = c+x .

Ini adalah persamaan kuadrat yang penyelesaiannya tidak sulit.

Bab Lima.

Bunga majemuk, pembayaran berjangka dan pembayaran berjangka.

289. Masalah dasar bunga majemuk. Berapa modal yang akan diubah? A rubel, diberikan dalam pertumbuhan di R bunga majemuk, setelahnya T bertahun-tahun ( T - bilangan bulat)?

Mereka mengatakan bahwa modal dibayarkan dengan bunga majemuk jika apa yang disebut “bunga atas bunga” diperhitungkan, yaitu jika uang bunga yang harus dibayarkan atas modal ditambahkan ke modal pada setiap akhir tahun untuk meningkatkan itu dengan bunga pada tahun-tahun berikutnya.

Setiap rubel modal diberikan R %, akan mendatangkan keuntungan dalam waktu satu tahun P / 100 rubel, dan, oleh karena itu, setiap rubel modal dalam 1 tahun akan berubah menjadi 1 + P / 100 rubel (misalnya, jika modal diberikan pada 5 %, maka setiap rubel dalam setahun akan berubah menjadi 1 + 5 / 100 , yaitu di 1,05 rubel).

Untuk singkatnya, menunjukkan pecahan P / 100 dengan satu huruf, misalnya, R , kita dapat mengatakan bahwa setiap rubel modal dalam setahun akan berubah menjadi 1 + R rubel; karena itu, A rubel akan dikembalikan dalam 1 tahun hingga A (1 + R ) gosok. Setelah satu tahun lagi, yaitu 2 tahun sejak awal pertumbuhan, setiap rubelnya A (1 + R ) gosok. akan menghubungi lagi 1 + R menggosok.; Artinya semua modal akan berubah menjadi A (1 + R ) 2 menggosok. Dengan cara yang sama kita mengetahui bahwa setelah tiga tahun ibu kota akan menjadi A (1 + R ) 3 , dalam empat tahun itu akan terjadi A (1 + R ) 4 ,... umumnya melalui T tahun jika T adalah bilangan bulat, itu akan berubah menjadi A (1 + R ) T menggosok. Jadi, dilambangkan dengan A modal akhir, kita akan mendapatkan rumus bunga majemuk berikut:

A = A (1 + R ) T Di mana R = P / 100 .

Contoh. Membiarkan A =2.300 gosok., P = 4, T=20 bertahun-tahun; maka rumusnya memberikan:

R = 4 / 100 = 0,04 ; SEBUAH = 2.300 (1,04) 20.

Menghitung A, kami menggunakan logaritma:

catatan A = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

SEBUAH = 5031 rubel.

Komentar. Dalam contoh ini kami harus melakukannya catatan 1.04 kalikan dengan 20 . Sejak nomor tersebut 0,0170 ada nilai perkiraan catatan 1.04 hingga 1 / 2 sepersepuluh ribu bagian, maka hasil kali bilangan ini dengan 20 itu pasti hanya sampai 1 / 2 20, yaitu sampai dengan 10 persepuluh ribu = 1 perseribu. Oleh karena itu secara total 3,7017 Kita tidak hanya dapat menjamin jumlah sepuluh ribu saja, tetapi juga jumlah seperseribunya. Untuk mendapatkan akurasi yang lebih besar dalam kasus seperti itu, lebih baik nomornya 1 + R ambil logaritma bukan 4 digit, tapi dengan jumlah yang besar angka, mis. 7 angka. Untuk tujuan ini, di sini kami menyajikan sebuah tabel kecil di mana logaritma 7 digit ditulis untuk nilai yang paling umum R .

290. Tugas pokoknya adalah pembayaran mendesak. Seseorang mengambil A rubel per R % dengan syarat melunasi utang tersebut beserta bunga yang harus dibayar, di T tahun, membayar jumlah yang sama pada setiap akhir tahun. Berapa jumlah yang seharusnya?

Jumlah X , yang dibayarkan setiap tahun dalam kondisi seperti itu, disebut pembayaran mendesak. Mari kita tunjukkan lagi dengan huruf R uang bunga tahunan dari 1 gosok., yaitu nomornya P / 100 . Kemudian pada akhir tahun pertama utangnya A meningkat menjadi A (1 + R ), pembayaran dasar X biayanya rubel A (1 + R )-X .

Pada akhir tahun kedua, setiap rubel dari jumlah ini akan dikembalikan lagi 1 + R rubel, dan oleh karena itu utangnya akan menjadi [ A (1 + R )-X ](1 + R ) = A (1 + R ) 2 - X (1 + R ), dan untuk pembayaran X rubel akan menjadi: A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X . Dengan cara yang sama, kami akan memastikan bahwa pada akhir tahun ke-3 utangnya sudah ada

A (1 + R ) 3 - X (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X ,

dan secara umum dan akhir T tahun itu akan menjadi:

A (1 + R ) T - X (1 + R ) t -1 - X (1 + R ) t -2 ... - X (1 + R ) - X , atau

A (1 + R ) T - X [ 1 + (1 + R ) + (1 + R ) 2 + ...+ (1 + R ) t -2 + (1 + R ) t -1 ]

Polinomial di dalam tanda kurung mewakili jumlah suku-sukunya perkembangan geometri; yang mempunyai anggota pertama 1 , terakhir ( 1 + R ) t -1, dan penyebutnya ( 1 + R ). Dengan menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri (Bagian 10 Bab 3 § 249) kita menemukan:

dan jumlah hutang setelahnya T -pembayaran akan menjadi:

Sesuai dengan kondisi masalahnya, hutangnya sudah habis T -tahun ke-th harus sama dengan 0 ; Itu sebabnya:

Di mana

Saat menghitung ini formula pembayaran mendesak menggunakan logaritma kita harus mencari bilangan bantunya terlebih dahulu N = (1 + R ) T dengan logaritma: catatan N= T catatan(1+ R) ; setelah menemukan N, kurangi 1 darinya, lalu kita dapatkan penyebut rumusnya X, setelah itu kita temukan dengan logaritma sekunder:

catatan X= mencatat A+ log N + log r - log (N - 1).

291. Tugas pokok iuran berjangka. Seseorang menyetor jumlah yang sama ke bank setiap awal tahun. A menggosok. Tentukan modal apa yang akan terbentuk dari kontribusi tersebut setelahnya T tahun jika bank membayar R bunga majemuk.

Ditunjuk oleh R uang bunga tahunan dari 1 rubel, mis. P / 100 , kami beralasan seperti ini: pada akhir tahun pertama ibu kotanya akan ada A (1 + R );

pada awal tahun ke-2 akan ditambahkan ke jumlah ini A rubel; Artinya saat ini modal akan ada A (1 + R ) + A . Pada akhir tahun ke-2 dia akan menjadi A (1 + R ) 2 + sebuah (1 + R );

pada awal tahun ke-3 dimasukkan kembali A rubel; Artinya saat ini akan ada modal A (1 + R ) 2 + sebuah (1 + R ) + A ; pada akhir tanggal 3 dia akan menjadi A (1 + R ) 3 + sebuah (1 + R ) 2 + sebuah (1 + R ) Melanjutkan argumen ini lebih jauh, kami menemukan hal itu pada akhirnya T tahun modal yang dibutuhkan A akan:

Ini adalah rumus iuran berjangka yang diberikan pada setiap awal tahun.

Rumus yang sama dapat diperoleh dengan alasan berikut: uang muka ke A rubel saat berada di bank T tahun, menurut rumus bunga majemuk, akan berubah menjadi A (1 + R ) T menggosok. Angsuran kedua, berada di bank kurang dari satu tahun, yaitu. T - 1 tahun, hubungi A (1 + R ) t-1 menggosok. Begitu pula dengan angsuran ketiga yang akan diberikan A (1 + R ) t-2 dst, dan akhirnya cicilan terakhir, yang baru 1 tahun di bank, akan masuk A (1 + R ) gosok. Artinya modal akhir A menggosok. akan:

A= A (1 + R ) T + A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ),

yang, setelah disederhanakan, menghasilkan rumus yang ditemukan di atas.

Saat menghitung menggunakan logaritma rumus ini, Anda harus melakukannya dengan cara yang sama seperti saat menghitung rumus pembayaran mendesak, yaitu cari dulu angka N = ( 1 + R ) T dengan logaritmanya: catatan N= T catatan(1 + R ), lalu nomornya N-1 lalu ambil logaritma rumusnya:

catatan A = catatan A+catatan(1+ R) + log (N - 1) - 1ogR

Komentar. Jika kontribusi mendesak untuk A menggosok. dilakukan bukan pada awal, tetapi pada akhir setiap tahun (seperti, misalnya, pembayaran mendesak dilakukan X untuk melunasi utangnya), kemudian, dengan alasan yang sama dengan penjelasan sebelumnya, kita menemukannya pada akhirnya T tahun modal yang dibutuhkan A" menggosok. akan (termasuk angsuran terakhir A gosok., tidak berbunga):

A"= A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ) + A

yang sama dengan:

yaitu A" berakhir di ( 1 + R ) kali lebih sedikit A, yang diharapkan, karena setiap rubel modal A" terletak di bank selama satu tahun kurang dari rubel modal yang sesuai A.