Kami terus mempelajari topik solusi persamaan". Kita sudah berkenalan dengan persamaan linear dan sekarang kita akan berkenalan dengan persamaan kuadrat.

Pertama, kita akan membahas apa itu persamaan kuadrat, bagaimana persamaan itu ditulis dalam bentuk umum, dan memberikan definisi terkait. Setelah itu, dengan menggunakan contoh, kami akan menganalisis secara rinci bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Selanjutnya, mari kita beralih ke penyelesaian persamaan lengkap, mendapatkan rumus untuk akar-akarnya, berkenalan dengan diskriminan persamaan kuadrat, dan mempertimbangkan solusi untuk contoh-contoh tipikal. Akhirnya, kami menelusuri hubungan antara akar dan koefisien.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan kuadrat? Tipe mereka

Pertama, Anda perlu memahami dengan jelas apa persamaan kuadrat itu. Oleh karena itu, masuk akal untuk mulai membicarakan persamaan kuadrat dengan definisi persamaan kuadrat, serta definisi yang terkait dengannya. Setelah itu, Anda dapat mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadrat: dikurangi dan tidak dikurangi, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Pengertian dan contoh persamaan kuadrat

Definisi.

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk a x 2 + b x + c = 0, di mana x adalah variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, dan a berbeda dari nol.

Katakanlah segera bahwa persamaan kuadrat sering disebut persamaan derajat kedua. Karena persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar tingkat dua.

Definisi yang terdengar memungkinkan kita untuk memberikan contoh persamaan kuadrat. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi.

angka a, b dan c disebut koefisien persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, dan koefisien a disebut koefisien pertama, atau senior, atau pada x 2, b adalah koefisien kedua, atau koefisien pada x, dan c adalah anggota bebas.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat dalam bentuk 5 x 2 2 x−3=0, di sini koefisien utamanya adalah 5, koefisien kedua adalah 2, dan suku bebasnya adalah 3. Perhatikan bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, seperti dalam contoh yang baru saja diberikan, bentuk singkat dari persamaan kuadrat dari bentuk 5 x 2 2 x−3=0 digunakan, bukan 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Perlu dicatat bahwa ketika koefisien a dan / atau b sama dengan 1 atau 1, maka mereka biasanya tidak secara eksplisit hadir dalam notasi persamaan kuadrat, yang disebabkan oleh kekhasan notasi tersebut . Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 y+3=0, koefisien utama adalah satu, dan koefisien di y adalah 1.

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Bergantung pada nilai koefisien utama, persamaan kuadrat tereduksi dan non-reduksi dibedakan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan kuadrat di mana koefisien utama adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Jika tidak, persamaan kuadratnya adalah tidak dikurangi.

Menurut definisi ini, persamaan kuadrat x 2 3 x+1=0 , x 2 x−2/3=0, dst. - dikurangi, di masing-masing dari mereka koefisien pertama sama dengan satu. Dan 5 x 2 x−1=0 , dst. - persamaan kuadrat yang tidak direduksi, koefisien utamanya berbeda dari 1 .

Dari setiap persamaan kuadrat yang tidak tereduksi, dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien utama, Anda dapat beralih ke yang tereduksi. Tindakan ini merupakan transformasi ekuivalen, yaitu persamaan kuadrat tereduksi yang diperoleh dengan cara ini memiliki akar yang sama dengan persamaan kuadrat non-reduksi asli, atau, seperti itu, tidak memiliki akar.

Mari kita ambil contoh bagaimana transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi dilakukan.

Contoh.

Dari persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, lanjutkan ke persamaan kuadrat tereduksi yang sesuai.

Larutan.

Cukup bagi kita untuk melakukan pembagian kedua bagian persamaan asli dengan koefisien terkemuka 3, itu bukan nol, sehingga kita dapat melakukan tindakan ini. Kami memiliki (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , yang sama dengan (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , dan seterusnya (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , dari mana . Jadi kami mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi, yang setara dengan yang asli.

Menjawab:

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Ada kondisi a≠0 dalam definisi persamaan kuadrat. Kondisi ini diperlukan agar persamaan a x 2 +b x+c=0 benar-benar kuadrat, karena dengan a=0 sebenarnya menjadi persamaan linier berbentuk b x+c=0 .

Adapun koefisien b dan c, mereka bisa sama dengan nol, baik secara terpisah maupun bersama-sama. Dalam kasus ini, persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0 disebut tidak lengkap, jika setidaknya salah satu dari koefisien b , c sama dengan nol.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan di mana semua koefisien berbeda dari nol.

Nama-nama ini tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas dari diskusi berikut.

Jika koefisien b sama dengan nol, maka persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +0 x+c=0 , dan setara dengan persamaan a x 2 +c=0 . Jika c=0 , yaitu, persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +b x+0=0 , maka dapat ditulis ulang menjadi a x 2 +b x=0 . Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapatkan persamaan kuadrat a·x 2 =0. Persamaan yang dihasilkan berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya. Karenanya namanya - persamaan kuadrat tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan 2 x 2 5 x+0,2=0 adalah contoh persamaan kuadrat lengkap, dan x 2 =0, 2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , x 2 5 x=0 adalah persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Ini mengikuti dari informasi paragraf sebelumnya bahwa ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

• a x 2 =0 , koefisien b=0 dan c=0 sesuai dengan itu;
• a x 2 +c=0 saat b=0 ;
• dan a x 2 +b x=0 saat c=0 .

Mari kita menganalisis secara berurutan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap dari masing-masing jenis ini diselesaikan.

a x 2 \u003d 0

Mari kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap di mana koefisien b dan c sama dengan nol, yaitu dengan persamaan berbentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh dari asal dengan membagi kedua bagiannya dengan bilangan bukan nol a. Jelas, akar persamaan x 2 \u003d 0 adalah nol, karena 0 2 \u003d 0. Persamaan ini tidak memiliki akar-akar lain, yang dijelaskan, memang, untuk setiap bilangan tak nol p, ketidaksamaan p 2 >0 terjadi, yang menyiratkan bahwa untuk p≠0, persamaan p 2 =0 tidak pernah tercapai.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 \u003d 0 memiliki akar tunggal x \u003d 0.

Sebagai contoh, kami memberikan solusi dari persamaan kuadrat tidak lengkap 4·x 2 =0. Ini setara dengan persamaan x 2 \u003d 0, satu-satunya akarnya adalah x \u003d 0, oleh karena itu, persamaan asli memiliki satu akar nol.

Solusi singkat dalam hal ini dapat dikeluarkan sebagai berikut:
4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Sekarang perhatikan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan, di mana koefisien b sama dengan nol, dan c≠0, yaitu, persamaan berbentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahwa pemindahan suku dari satu sisi persamaan ke sisi lain yang berlawanan tanda, serta pembagian kedua sisi persamaan dengan bilangan bukan nol, menghasilkan persamaan yang setara. Oleh karena itu, transformasi ekivalen berikut dari persamaan kuadrat tak lengkap a x 2 +c=0 dapat dilakukan:

• pindahkan c ke ruas kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = c,
• dan membagi kedua bagiannya dengan a , kita dapatkan .

Persamaan yang dihasilkan memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang akarnya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ekspresi bisa negatif (misalnya, jika a=1 dan c=2 , maka ) atau positif, (misalnya, jika a=−2 dan c=6 , maka ), tidak sama dengan nol , karena dengan syarat c≠0 . Kami akan menganalisis kasus dan .

Jika , maka persamaan tidak memiliki akar. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa kuadrat dari bilangan apa pun adalah bilangan non-negatif. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ketika , maka untuk sembarang bilangan p persamaan tidak mungkin benar.

Jika , maka situasi dengan akar persamaan berbeda. Dalam hal ini, jika kita mengingat tentang, maka akar persamaan segera menjadi jelas, itu adalah bilangan, sejak. Mudah ditebak bahwa bilangan tersebut juga merupakan akar dari persamaan , memang, . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dapat ditunjukkan, misalnya, dengan kontradiksi. Ayo lakukan.

Mari kita nyatakan akar persamaan yang hanya disuarakan sebagai x 1 dan x 1 . Misalkan persamaan memiliki akar lain x 2 yang berbeda dari akar yang ditunjukkan x 1 dan x 1 . Diketahui bahwa substitusi ke dalam persamaan alih-alih x dari akar-akarnya mengubah persamaan menjadi persamaan numerik sejati. Untuk x 1 dan x 1 kita miliki , dan untuk x 2 kita miliki . Sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk melakukan pengurangan suku demi suku dari persamaan numerik yang sebenarnya, jadi mengurangkan bagian persamaan yang sesuai menghasilkan x 1 2 x 2 2 =0. Sifat-sifat operasi dengan angka memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai (x 1 x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Kita tahu bahwa hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satunya sama dengan nol. Oleh karena itu, dari persamaan yang diperoleh diperoleh bahwa x 1 x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0 , yang sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 = x 1 . Jadi kita sampai pada kontradiksi, karena pada awalnya kita mengatakan bahwa akar persamaan x 2 berbeda dengan x 1 dan x 1 . Ini membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar selain dan .

Mari kita rangkum informasi dalam paragraf ini. Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +c=0 setara dengan persamaan , yang

• tidak memiliki akar jika ,
• memiliki dua akar dan jika .

Perhatikan contoh penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0 .

Mari kita mulai dengan persamaan kuadrat 9 x 2 +7=0 . Setelah memindahkan suku bebas ke ruas kanan persamaan, akan berbentuk 9·x 2 =−7. Membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai di . Karena bilangan negatif diperoleh di ruas kanan, persamaan ini tidak memiliki akar, oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 +7=0 tidak memiliki akar.

Mari selesaikan satu lagi persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0. Kami mentransfer sembilan ke sisi kanan: -x 2 \u003d -9. Sekarang kita bagi kedua bagian dengan 1, kita mendapatkan x 2 =9. Sisi kanan berisi angka positif, dari mana kita menyimpulkan bahwa atau . Setelah kita menuliskan jawaban akhir: persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0 memiliki dua akar x=3 atau x=−3.

a x 2 + b x = 0

Masih berurusan dengan solusi dari jenis terakhir persamaan kuadrat tidak lengkap untuk c=0 . Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk a x 2 +b x=0 memungkinkan Anda untuk memecahkan metode faktorisasi. Jelas, kita dapat, terletak di sisi kiri persamaan, yang cukup untuk mengambil faktor persekutuan x dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita untuk berpindah dari persamaan kuadrat tidak lengkap asli ke persamaan ekuivalen dengan bentuk x·(a·x+b)=0 . Dan persamaan ini setara dengan himpunan dua persamaan x=0 dan a x+b=0 , yang terakhir adalah linier dan memiliki akar x=−b/a .

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +b x=0 memiliki dua akar x=0 dan x=−b/a.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi dari contoh spesifik.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Larutan.

Kami mengambil x dari tanda kurung, ini memberikan persamaan. Ini setara dengan dua persamaan x=0 dan . Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan: , dan setelah membagi bilangan campuran dengan pecahan biasa, kami menemukan . Oleh karena itu, akar-akar persamaan awal adalah x=0 dan .

Setelah mendapatkan latihan yang diperlukan, solusi persamaan tersebut dapat ditulis secara singkat:

Menjawab:

x=0 , .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ada rumus akar. Ayo tulis rumus akar persamaan kuadrat: , di mana D=b 2 4 a c- disebut diskriminan persamaan kuadrat. Notasi tersebut pada dasarnya berarti .

Sangat berguna untuk mengetahui bagaimana rumus akar diperoleh, dan bagaimana penerapannya dalam mencari akar persamaan kuadrat. Mari kita tangani ini.

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 . Mari kita lakukan beberapa transformasi yang setara:

• Kita dapat membagi kedua bagian persamaan ini dengan angka bukan nol a, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi.
• Sekarang pilih kotak penuh di sebelah kirinya: . Setelah itu, persamaan akan berbentuk .
• Pada tahap ini, dimungkinkan untuk melakukan pemindahan dua suku terakhir ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan, kita miliki .
• Dan mari kita juga mengubah ekspresi di sisi kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan , yang ekuivalen dengan persamaan kuadrat asli a·x 2 +b·x+c=0 .

Kami telah memecahkan persamaan serupa dalam bentuk di paragraf sebelumnya ketika kami menganalisis. Hal ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut mengenai akar persamaan:

• jika , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi nyata;
• jika , maka persamaan memiliki bentuk , Oleh karena itu, , dari mana akar satu-satunya terlihat;
• jika , maka atau , yang sama dengan atau , yaitu, persamaan memiliki dua akar.

Jadi, ada atau tidaknya akar-akar persamaan, dan dengan demikian persamaan kuadrat aslinya, bergantung pada tanda ekspresi di ruas kanan. Pada gilirannya, tanda dari ekspresi ini ditentukan oleh tanda pembilangnya, karena penyebutnya 4 a 2 selalu positif, yaitu, tanda dari ekspresi b 2 4 a c . Ungkapan ini b 2 4 a c disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditandai dengan huruf D. Dari sini, esensi diskriminan jelas - dengan nilai dan tandanya, disimpulkan apakah persamaan kuadrat memiliki akar nyata, dan jika demikian, berapa nomornya - satu atau dua.

Kami kembali ke persamaan , menulis ulang menggunakan notasi diskriminan: . Dan kami menyimpulkan:

• jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jika D=0, maka persamaan ini memiliki akar tunggal;
• akhirnya, jika D>0, maka persamaan memiliki dua akar atau , yang dapat ditulis ulang dalam bentuk atau , dan setelah memperluas dan mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, kita mendapatkan .

Jadi kami menurunkan rumus untuk akar persamaan kuadrat, mereka terlihat seperti , di mana diskriminan D dihitung dengan rumus D=b 2 4 a c .

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminan positif, Anda dapat menghitung kedua akar real dari persamaan kuadrat. Ketika diskriminan sama dengan nol, kedua rumus memberikan nilai akar yang sama yang sesuai dengan satu-satunya solusi persamaan kuadrat. Dan dengan diskriminan negatif, ketika mencoba menggunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat, kita dihadapkan dengan mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang membawa kita keluar dari cakupan kurikulum sekolah. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, tetapi memiliki pasangan konjugasi kompleks akar, yang dapat ditemukan menggunakan rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dalam praktiknya, saat memecahkan persamaan kuadrat, Anda dapat langsung menggunakan rumus akar, yang dapat digunakan untuk menghitung nilainya. Tapi ini lebih tentang menemukan akar yang kompleks.

Namun, dalam kursus aljabar sekolah, kita biasanya tidak berbicara tentang kompleks, tetapi tentang akar nyata dari persamaan kuadrat. Dalam hal ini, disarankan untuk mencari diskriminan terlebih dahulu sebelum menggunakan rumus untuk akar-akar persamaan kuadrat, pastikan tidak negatif (jika tidak, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real), dan setelah itu menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan kita untuk menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, Anda perlu:

• menggunakan rumus diskriminan D=b 2 4 a c hitung nilainya;
• menyimpulkan bahwa persamaan kuadrat tidak memiliki akar real jika diskriminan negatif;
• hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus jika D=0 ;
• temukan dua akar real dari persamaan kuadrat menggunakan rumus akar jika diskriminannya positif.

Di sini kami hanya mencatat bahwa jika diskriminan sama dengan nol, rumus juga dapat digunakan, itu akan memberikan nilai yang sama dengan .

Anda dapat melanjutkan ke contoh penerapan algoritme untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Pertimbangkan solusi dari tiga persamaan kuadrat dengan diskriminan positif, negatif, dan nol. Setelah berurusan dengan solusi mereka, dengan analogi dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lainnya. Ayo mulai.

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan x 2 +2 x−6=0 .

Larutan.

Dalam hal ini, kita memiliki koefisien persamaan kuadrat berikut: a=1 , b=2 dan c=−6 . Menurut algoritme, Anda harus terlebih dahulu menghitung diskriminan, untuk ini kami mengganti a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam rumus diskriminan, kami memiliki D=b 2 4 a c=2 2 4 1 (−6)=4+24=28. Karena 28>0, yaitu diskriminan lebih besar dari nol, persamaan kuadrat memiliki dua akar real. Mari kita temukan dengan rumus akar , kita dapatkan , di sini kita dapat menyederhanakan ekspresi yang diperoleh dengan melakukan memfaktorkan tanda akarnya diikuti dengan pengurangan pecahan:

Menjawab:

Mari kita beralih ke contoh tipikal berikutnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 4 x 2 +28 x−49=0 .

Larutan.

Kita mulai dengan mencari diskriminan: D=28 2 4 (−4) (−49)=784−784=0. Oleh karena itu, persamaan kuadrat ini memiliki akar tunggal, yang kita temukan sebagai , yaitu,

Menjawab:

x=3.5 .

Tetap mempertimbangkan solusi persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5 y 2 +6 y+2=0 .

Larutan.

Berikut adalah koefisien persamaan kuadrat: a=5 , b=6 dan c=2 . Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan, kita dapatkan D=b 2 4 a c=6 2 4 5 2=36−40=−4. Diskriminan adalah negatif, oleh karena itu, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real.

Jika Anda perlu menentukan akar kompleks, maka kami menggunakan rumus terkenal untuk akar persamaan kuadrat, dan lakukan operasi bilangan kompleks:

Menjawab:

tidak ada akar real, akar kompleksnya adalah: .

Sekali lagi, kita perhatikan bahwa jika diskriminan persamaan kuadrat adalah negatif, maka sekolah biasanya segera menuliskan jawabannya, di mana mereka menunjukkan bahwa tidak ada akar real, dan mereka tidak menemukan akar kompleks.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus untuk akar persamaan kuadrat , di mana D=b 2 4 ac memungkinkan Anda mendapatkan rumus yang lebih ringkas yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien genap di x (atau hanya dengan koefisien yang terlihat seperti 2 n , misalnya, atau 14 ln5=2 7 ln5 ). Mari kita bawa dia keluar.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +2 n x + c=0 . Mari kita cari akarnya menggunakan rumus yang kita kenal. Untuk melakukan ini, kami menghitung diskriminan D=(2 n) 2 4 a c=4 n 2 4 a c=4 (n 2 a c), dan kemudian kami menggunakan rumus akar:

Nyatakan ekspresi n 2 a c sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Kemudian rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n berbentuk , dimana D 1 =n 2 a c .

Sangat mudah untuk melihat bahwa D=4·D 1 , atau D 1 =D/4 . Dengan kata lain, D 1 adalah bagian keempat dari diskriminan. Jelas bahwa tanda D 1 sama dengan tanda D . Artinya, tanda D 1 juga merupakan indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, Anda perlu

• Hitung D 1 =n 2 a·c ;
• Jika D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus;
• Jika D 1 >0, maka cari dua akar real menggunakan rumus.

Pertimbangkan solusi dari contoh menggunakan rumus akar yang diperoleh dalam paragraf ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 5 x 2 6 x−32=0 .

Larutan.

Koefisien kedua dari persamaan ini dapat direpresentasikan sebagai 2·(−3) . Artinya, Anda dapat menulis ulang persamaan kuadrat asli dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , di sini a=5 , n=−3 dan c=−32 , dan hitung bagian keempat dari pembeda: D 1 =n 2 a c=(−3) 2 5 (−32)=9+160=169. Karena nilainya positif, persamaan memiliki dua akar real. Kami menemukannya menggunakan rumus akar yang sesuai:

Perhatikan bahwa mungkin untuk menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini, lebih banyak pekerjaan komputasi harus dilakukan.

Menjawab:

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang, sebelum memulai perhitungan akar persamaan kuadrat menggunakan rumus, tidak ada salahnya untuk mengajukan pertanyaan: "Apakah mungkin untuk menyederhanakan bentuk persamaan ini"? Setuju bahwa dalam hal perhitungan akan lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 11 x 2 4 x 6=0 daripada 1100 x 2 400 x−600=0 .

Biasanya, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dicapai dengan mengalikan atau membagi kedua ruasnya dengan suatu bilangan. Misalnya, pada paragraf sebelumnya, kita berhasil mencapai penyederhanaan persamaan 1100 x 2 400 x 600=0 dengan membagi kedua ruas dengan 100 .

Transformasi serupa dilakukan dengan persamaan kuadrat, yang koefisiennya tidak . Dalam hal ini, kedua bagian persamaan biasanya dibagi dengan nilai absolut dari koefisiennya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 12 x 2 42 x+48=0. nilai mutlak koefisiennya: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Membagi kedua bagian persamaan kuadrat asli dengan 6 , kita sampai pada persamaan kuadrat yang setara 2 x 2 7 x+8=0 .

Dan perkalian kedua bagian persamaan kuadrat biasanya dilakukan untuk menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini, perkalian dilakukan pada penyebut koefisiennya. Misalnya, jika kedua bagian persamaan kuadrat dikalikan dengan KPK(6, 3, 1)=6 , maka akan menjadi bentuk yang lebih sederhana x 2 +4 x−18=0 .

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mencatat bahwa hampir selalu menyingkirkan minus pada koefisien tertinggi dari persamaan kuadrat dengan mengubah tanda semua suku, yang sesuai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan 1. Misalnya, biasanya dari persamaan kuadrat 2·x 2 3·x+7=0 pergi ke solusi 2·x 2 +3·x−7=0 .

Hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat

Rumus untuk akar-akar persamaan kuadrat menyatakan akar-akar persamaan dalam bentuk koefisiennya. Berdasarkan rumus akar, Anda bisa mendapatkan hubungan lain antara akar dan koefisien.

Rumus yang paling terkenal dan dapat diterapkan dari teorema Vieta bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya adalah suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 7 x+22=0, kita dapat langsung mengatakan bahwa jumlah akar-akarnya adalah 7/3, dan hasil kali akar-akarnya adalah 22/3.

Dengan menggunakan rumus yang sudah ditulis, Anda bisa mendapatkan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, Anda dapat menyatakan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat dalam hal koefisiennya: .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Rumus untuk akar persamaan kuadrat. Kasus-kasus akar nyata, ganda dan kompleks dipertimbangkan. Faktorisasi trinomial persegi. Interpretasi geometris. Contoh menentukan akar dan faktorisasi.

Rumus Dasar

Perhatikan persamaan kuadrat:
(1) .
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
; .
Rumus-rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Ketika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai produk dari faktor-faktor (difaktorkan):
.

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa adalah bilangan real.
Mempertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminan positif, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar real yang berbeda:
; .
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah unit imajiner, ;
dan merupakan bagian real dan imajiner dari akar:
; .
Kemudian

.

Interpretasi grafis

Jika kita membuat grafik fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik dengan sumbu akan menjadi akar-akar persamaan
.
Ketika , grafik memotong sumbu absis (sumbu) di dua titik.
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik.
Ketika , grafik tidak memotong sumbu x.

Di bawah ini adalah contoh grafik tersebut.

Rumus Berguna Terkait dengan Persamaan Kuadrat

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):




,
di mana
; .

Jadi, kami mendapatkan rumus untuk polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Dari sini dapat diketahui bahwa persamaan

dilakukan pada
Dan .
Yaitu, dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat
.

Contoh menentukan akar persamaan kuadrat

Contoh 1

(1.1) .

Larutan

.
Dibandingkan dengan persamaan kami (1.1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Karena diskriminan positif, persamaan memiliki dua akar real:
;
;
.

Dari sini kita peroleh dekomposisi trinomial kuadrat menjadi faktor-faktor:

.

Grafik fungsi y = 2x2 + 7x + 3 memotong sumbu x di dua titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Ini melintasi sumbu x (sumbu) di dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah akar dari persamaan asli (1.1).

Menjawab

;
;
.

Contoh 2

Cari akar-akar persamaan kuadrat:
(2.1) .

Larutan

Kami menulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan asli (2.1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Karena diskriminan adalah nol, persamaan memiliki dua akar kelipatan (sama):
;
.

Maka faktorisasi trinomial memiliki bentuk:
.

Grafik fungsi y = x 2 - 4x + 4 menyentuh sumbu x di satu titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) pada satu titik:
.
Titik ini adalah akar dari persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu disebut kelipatan. Artinya, mereka menganggap bahwa ada dua akar yang sama:
.

Menjawab

;
.

Contoh 3

Cari akar-akar persamaan kuadrat:
(3.1) .

Larutan

Kami menulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis ulang persamaan awal (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Diskriminannya negatif, . Oleh karena itu, tidak ada akar nyata.

Anda dapat menemukan akar kompleks:
;
;
.

Kemudian


.

Grafik fungsi tidak memotong sumbu x. Tidak ada akar nyata.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Itu tidak melewati absis (sumbu). Oleh karena itu, tidak ada akar nyata.

Menjawab

Tidak ada akar nyata. Akar kompleks:
;
;
.

Persamaan kuadrat - mudah dipecahkan! *Selanjutnya di teks "KU". Teman-teman, tampaknya dalam matematika itu bisa lebih mudah daripada menyelesaikan persamaan seperti itu. Tetapi sesuatu mengatakan kepada saya bahwa banyak orang memiliki masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan yang diberikan Yandex per permintaan per bulan. Inilah yang terjadi, lihatlah:

Apa artinya? Ini berarti bahwa sekitar 70.000 orang per bulan mencari informasi ini, dan ini adalah musim panas, dan apa yang akan terjadi selama tahun ajaran - akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang telah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan ujian mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha menyegarkan ingatan mereka.

Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materi. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya atas permintaan ini; kedua, di artikel lain, ketika muncul ucapan “KU”, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda sedikit lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

dimana koefisien a,Bdan dengan angka arbitrer, dengan a≠0.

Dalam kursus sekolah, materi diberikan dalam bentuk berikut - pembagian persamaan menjadi tiga kelas dilakukan secara kondisional:

1. Memiliki dua akar.

2. * Hanya memiliki satu root.

3. Tidak memiliki akar. Perlu dicatat di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata

Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!

Kami menghitung diskriminan. Di bawah kata "mengerikan" ini terdapat rumus yang sangat sederhana:

Rumus akarnya adalah sebagai berikut:

* Rumus-rumus ini harus diketahui dengan hati.

Anda dapat segera menuliskan dan memecahkan:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut memiliki dua akar.

2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut memiliki satu akar.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaannya:

Pada kesempatan ini, ketika diskriminan adalah nol, kursus sekolah mengatakan bahwa satu akar diperoleh, di sini sama dengan sembilan. Itu benar, itu, tapi...

Representasi ini agak salah. Sebenarnya, ada dua akar. Ya, ya, jangan heran, ternyata dua akar yang sama, dan untuk menjadi akurat secara matematis, maka dua akar harus ditulis dalam jawaban:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah, Anda dapat menulis dan mengatakan bahwa hanya ada satu akar.

Sekarang contoh berikut:

Seperti yang kita ketahui, akar dari bilangan negatif tidak diekstraksi, sehingga tidak ada solusi dalam kasus ini.

Itulah seluruh proses keputusan.

Fungsi kuadrat.

Berikut adalah bagaimana solusinya terlihat secara geometris. Ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel, kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).

Ini adalah fungsi dari bentuk:

di mana x dan y adalah variabel

a, b, c diberi nomor, di mana a 0

Grafiknya berbentuk parabola:

Artinya, ternyata dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan "y" sama dengan nol, kita menemukan titik potong parabola dengan sumbu x. Mungkin ada dua dari titik ini (diskriminan positif), satu (diskriminan adalah nol) atau tidak sama sekali (diskriminan negatif). Lebih lanjut tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.

Pertimbangkan contoh:

Contoh 1: Putuskan 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawaban: x 1 = 8 x 2 = -12

* Anda dapat langsung membagi ruas kiri dan kanan persamaan dengan 2, yaitu, sederhanakan. Perhitungannya akan lebih mudah.

Contoh 2: Menyelesaikan x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami mendapatkan x 1 \u003d 11 dan x 2 \u003d 11

Dalam jawabannya, diperbolehkan untuk menulis x = 11.

Jawab: x = 11

Contoh 3: Menyelesaikan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminan negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.

Jawaban: tidak ada solusi

Diskriminan adalah negatif. Ada solusi!

Di sini kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan dalam kasus ketika diskriminan negatif diperoleh. Apakah Anda tahu sesuatu tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa peran dan kebutuhan khusus mereka dalam matematika, ini adalah topik untuk artikel terpisah yang besar.

Konsep bilangan kompleks.

Sedikit teori.

Bilangan kompleks z adalah bilangan dengan bentuk

z = a + bi

di mana a dan b adalah bilangan real, i adalah apa yang disebut unit imajiner.

a+bi adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:

Sekarang perhatikan persamaannya:

Dapatkan dua akar konjugasi.

Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Pertimbangkan kasus khusus, ini adalah ketika koefisien "b" atau "c" sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Mereka diselesaikan dengan mudah tanpa diskriminan.

Kasus 1. Koefisien b = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Mari kita ubah:

Contoh:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Kasus 2. Koefisien c = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Transformasikan, faktorkan:

*Produknya sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.

Di sini jelas bahwa solusi persamaan akan selalu x = 0.

Sifat dan pola koefisien yang berguna.

Ada properti yang memungkinkan penyelesaian persamaan dengan koefisien besar.

tetapix 2 + bx+ C=0 persamaan

Sebuah + B+ c = 0, kemudian

— jika untuk koefisien persamaan tetapix 2 + bx+ C=0 persamaan

Sebuah+ dengan =B, kemudian

Sifat-sifat ini membantu memecahkan jenis persamaan tertentu.

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah koefisiennya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, jadi

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Persamaan Sebuah+ dengan =B, cara

Keteraturan koefisien.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c \u003d 0 koefisien "b" adalah (a 2 +1), dan koefisien "c" secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

ax 2 + (a 2 +1) x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 - bx + c \u003d 0, koefisien "b" adalah (a 2 +1), dan koefisien "c" secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

kapak 2 - (a 2 + 1) x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam persamaan ax 2 + bx - c = 0 koefisien "b" sama (a 2 – 1), dan koefisien “c” numerik sama dengan koefisien "a", maka akar-akarnya sama

ax 2 + (a 2 -1) x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 - bx - c \u003d 0, koefisien "b" sama dengan (a 2 - 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien "a", maka akarnya adalah

kapak 2 - (a 2 -1) x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Contoh. Perhatikan persamaan 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

teorema Vieta.

Teorema Vieta dinamai ahli matematika Prancis terkenal Francois Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, seseorang dapat menyatakan jumlah dan produk dari akar-akar KU arbitrer dalam hal koefisiennya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Singkatnya, angka 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat dengan segera secara lisan.

Teorema Vieta, apalagi. nyaman karena setelah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara biasa (melalui diskriminan), akar yang dihasilkan dapat diperiksa. Saya sarankan melakukan ini sepanjang waktu.

METODE TRANSFER

Dengan metode ini, koefisien "a" dikalikan dengan istilah bebas, seolah-olah "ditransfer" ke sana, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika mudah untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang paling penting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Jika tetapi± b+c 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Menurut teorema Vieta dalam persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Akar persamaan yang diperoleh harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.

Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah:

Jika Anda melihat akar persamaan, maka hanya penyebut yang berbeda yang diperoleh, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien di x 2:

Akar kedua (dimodifikasi) 2 kali lebih besar.

Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.

*Jika kita menggulung three of a kind, maka hasilnya kita bagi dengan 3, dan seterusnya.

Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5

persegi ur-yaitu dan ujian.

Saya akan mengatakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir, Anda perlu mengetahui rumus akar dan pembeda dengan hati. Banyak tugas yang merupakan bagian dari tugas USE turun ke penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk yang geometris).

Apa yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk persamaan bisa "implisit". Misalnya, entri berikut dimungkinkan:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standar (agar tidak bingung saat menyelesaikannya).

2. Ingat bahwa x adalah nilai yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h, dan lainnya.

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk ax^2 + bx + c = 0, dimana koefisien a, b dan c adalah bilangan arbitrer, dan a 0 jika tidak maka tidak lagi menjadi persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat tidak memiliki akar, atau memiliki tepat satu akar, atau dua akar yang berbeda. Langkah pertama adalah mencari diskriminan. Rumus: D = b^2 4ac. 1. Jika D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, akan ada dua akar. Opsi pertama jelas, tidak ada root. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari sebagai berikut: x12 = (-b +- D) / 2a. Adapun opsi kedua, ketika D = 0, rumus atas dapat digunakan.

Persamaan kuadrat mulai dipelajari dalam kurikulum sekolah pada mata kuliah matematika. Namun, sayangnya, tidak semua orang mengerti dan tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan benar dan menghitung akarnya. Pertama, mari kita pahami apa itu persamaan kuadrat.

Apa itu persamaan kuadrat?

Istilah persamaan kuadrat biasanya dipahami sebagai persamaan aljabar dari bentuk umum. Persamaan ini memiliki bentuk sebagai berikut: ax2 + bx + c = 0, sedangkan a, b dan c adalah beberapa bilangan pasti, x tidak diketahui. Ketiga bilangan ini biasanya disebut koefisien persamaan kuadrat:

• a - koefisien pertama;
• b - koefisien kedua;
• c adalah koefisien ketiga.

Cara mencari akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menghitung berapa akar persamaan kuadrat akan sama, perlu untuk menemukan diskriminan persamaan. Diskriminan persamaan kuadrat adalah ekspresi yang sama dan dihitung dengan rumus b2 - 4ac. Jika diskriminan lebih besar dari nol, akar dihitung dengan rumus: x \u003d -b + - akar diskriminan dibagi 2 a.

Perhatikan contoh persamaan 5x kuadrat - 8x +3 = 0

Diskriminannya adalah delapan kuadrat, dikurangi empat kali lima kali tiga, yaitu = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 \u003d 8 + - akar empat dibagi dua kali lima \u003d 8 + 2/10 \u003d 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Dengan demikian, akar persamaan kuadrat ini adalah 1 dan 0,6.

Beberapa masalah dalam matematika membutuhkan kemampuan untuk menghitung nilai akar kuadrat. Masalah-masalah ini termasuk memecahkan persamaan orde kedua. Dalam artikel ini, kami menyajikan metode yang efektif untuk menghitung akar kuadrat dan menggunakannya saat bekerja dengan rumus untuk akar persamaan kuadrat.

Apa itu akar kuadrat?

Dalam matematika, konsep ini sesuai dengan simbol . Data sejarah mengatakan bahwa itu mulai digunakan untuk pertama kalinya sekitar paruh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama tentang aljabar oleh Christoph Rudolf). Para ilmuwan percaya bahwa simbol ini adalah huruf Latin yang diubah r (radix berarti "akar" dalam bahasa Latin).

Akar angka apa pun sama dengan nilai seperti itu, kuadratnya sesuai dengan ekspresi akar. Dalam bahasa matematika, definisi ini akan terlihat seperti ini: x = y jika y 2 = x.

Akar bilangan positif (x > 0) juga merupakan bilangan positif (y > 0), tetapi jika akar bilangan negatif (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Berikut adalah dua contoh sederhana:

9 = 3 karena 3 2 = 9; (-9) = 3i karena i 2 = -1.

Rumus iteratif Heron untuk menemukan nilai akar kuadrat

Contoh di atas sangat sederhana, dan perhitungan akar di dalamnya tidak sulit. Kesulitan mulai muncul ketika menemukan nilai akar untuk nilai apa pun yang tidak dapat direpresentasikan sebagai kuadrat dari bilangan asli, misalnya √10, 11, 12, 13, belum lagi fakta bahwa dalam praktiknya diperlukan untuk menemukan akar untuk bilangan bukan bilangan bulat: misalnya (12.15), (8.5) dan seterusnya.

Dalam semua kasus di atas, metode khusus untuk menghitung akar kuadrat harus digunakan. Saat ini, beberapa metode seperti itu dikenal: misalnya, ekspansi dalam deret Taylor, pembagian dengan kolom, dan beberapa lainnya. Dari semua metode yang diketahui, mungkin yang paling sederhana dan efektif adalah penggunaan rumus berulang Heron, yang juga dikenal sebagai metode Babilonia untuk menentukan akar kuadrat (ada bukti bahwa orang Babilonia kuno menggunakannya dalam perhitungan praktis mereka).

Biarkan perlu untuk menentukan nilai x. Rumus untuk mencari akar kuadrat adalah sebagai berikut:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), di mana lim n->∞ (a n) => x.

Mari kita menguraikan notasi matematika ini. Untuk menghitung x, Anda harus mengambil beberapa angka a 0 (bisa sembarang, namun, untuk mendapatkan hasilnya dengan cepat, Anda harus memilihnya sehingga (a 0) 2 sedekat mungkin dengan x. Kemudian substitusikan ke dalam rumus yang ditentukan untuk menghitung akar kuadrat dan mendapatkan yang baru angka a 1, yang sudah akan lebih dekat dengan nilai yang diinginkan.Setelah itu, perlu untuk mengganti 1 ke dalam ekspresi dan mendapatkan 2. Prosedur ini harus diulang sampai diperoleh akurasi yang dibutuhkan.

Contoh penerapan rumus iteratif Heron

Algoritme yang dijelaskan di atas untuk mendapatkan akar kuadrat dari beberapa angka yang diberikan mungkin terdengar agak rumit dan membingungkan bagi banyak orang, tetapi dalam kenyataannya semuanya menjadi jauh lebih sederhana, karena rumus ini menyatu dengan sangat cepat (terutama jika angka yang baik adalah 0 yang dipilih) .

Mari kita berikan contoh sederhana: perlu untuk menghitung 11. Kami memilih 0 \u003d 3, karena 3 2 \u003d 9, yang lebih dekat ke 11 daripada 4 2 \u003d 16. Mengganti ke dalam rumus, kami mendapatkan:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

a 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

a 3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

Tidak ada gunanya melanjutkan perhitungan, karena kami telah menemukan bahwa 2 dan 3 mulai berbeda hanya di tempat desimal ke-5. Jadi, cukup menerapkan rumus hanya 2 kali untuk menghitung 11 dengan akurasi 0,0001.

Saat ini, kalkulator dan komputer banyak digunakan untuk menghitung akar, namun, akan berguna untuk mengingat rumus yang ditandai agar dapat menghitung nilai eksaknya secara manual.

Persamaan orde kedua

Memahami apa itu akar kuadrat dan kemampuan menghitungnya digunakan saat menyelesaikan persamaan kuadrat. Persamaan ini adalah persamaan dengan satu yang tidak diketahui, bentuk umumnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Di sini c, b dan a adalah beberapa angka, dan a tidak boleh sama dengan nol, dan nilai c dan b dapat sepenuhnya berubah-ubah, termasuk sama dengan nol.

Setiap nilai x yang memenuhi persamaan yang ditunjukkan pada gambar disebut akarnya (konsep ini tidak boleh disamakan dengan akar kuadrat ). Karena persamaan yang dibahas memiliki orde ke-2 (x 2), maka akarnya tidak boleh lebih dari dua bilangan. Kami akan mempertimbangkan nanti di artikel cara menemukan akar ini.

Menemukan akar persamaan kuadrat (rumus)

Metode penyelesaian jenis persamaan yang dipertimbangkan ini disebut juga universal, atau metode melalui diskriminan. Hal ini dapat diterapkan untuk setiap persamaan kuadrat. Rumus untuk diskriminan dan akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Dari sini terlihat bahwa akar-akarnya bergantung pada nilai masing-masing dari ketiga koefisien persamaan tersebut. Selain itu, perhitungan x 1 berbeda dengan perhitungan x 2 hanya dengan tanda di depan akar kuadrat. Ekspresi radikal, yang sama dengan b 2 - 4ac, tidak lebih dari diskriminan dari persamaan yang dipertimbangkan. Diskriminan dalam rumus akar-akar persamaan kuadrat memegang peranan penting karena menentukan jumlah dan jenis penyelesaian. Jadi, jika nol, maka hanya akan ada satu solusi, jika positif, maka persamaan memiliki dua akar real, dan akhirnya, diskriminan negatif mengarah ke dua akar kompleks x 1 dan x 2.

Teorema Vieta atau beberapa sifat dari akar persamaan orde kedua

Pada akhir abad ke-16, salah satu pendiri aljabar modern, seorang Prancis, yang mempelajari persamaan orde kedua, dapat memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematis, mereka dapat ditulis seperti ini:

x 1 + x 2 = -b / a dan x 1 * x 2 = c / a.

Kedua persamaan tersebut dapat dengan mudah diperoleh oleh semua orang, untuk ini hanya perlu melakukan operasi matematika yang sesuai dengan akar-akar yang diperoleh melalui rumus dengan diskriminan.

Kombinasi dari dua ekspresi ini dapat dengan tepat disebut rumus kedua dari akar persamaan kuadrat, yang memungkinkan untuk menebak solusinya tanpa menggunakan diskriminan. Di sini perlu dicatat bahwa meskipun kedua ekspresi selalu valid, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika dapat difaktorkan.

Tugas mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh

Kami akan memecahkan masalah matematika di mana kami akan menunjukkan semua teknik yang dibahas dalam artikel. Kondisi masalahnya adalah sebagai berikut: Anda perlu menemukan dua angka yang produknya -13, dan jumlahnya 4.

Kondisi ini segera mengingatkan teorema Vieta, menggunakan rumus untuk jumlah akar kuadrat dan produk mereka, kami menulis:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Asumsikan a = 1, maka b = -4 dan c = -13. Koefisien ini memungkinkan kita untuk membuat persamaan orde kedua:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Kami menggunakan rumus dengan diskriminan, kami mendapatkan akar berikut:

x 1,2 = (4 ± D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Artinya, tugasnya dikurangi menjadi menemukan nomor 68. Perhatikan bahwa 68 = 4 * 17, maka, dengan menggunakan sifat akar kuadrat, kita memperoleh: 68 = 2√17.

Sekarang kami menggunakan rumus akar kuadrat yang dipertimbangkan: a 0 \u003d 4, lalu:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

a 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

Tidak perlu menghitung 3 karena nilai yang ditemukan hanya berbeda 0,02. Jadi, 68 = 8.246. Substitusikan ke dalam rumus untuk x 1,2, kita peroleh:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 dan x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

Seperti yang Anda lihat, jumlah angka yang ditemukan benar-benar sama dengan 4, tetapi jika Anda menemukan produknya, maka itu akan sama dengan -12,999, yang memenuhi kondisi masalah dengan akurasi 0,001.