Kalkulator daring.
Solusi deret aritmatika.
Diketahui: a n, d, n
Temukan: a 1

Program matematika ini menemukan \ (a_1 \) deret aritmatika berdasarkan angka yang ditentukan pengguna \ (a_n, d \) dan \ (n \).
Angka \ (a_n \) dan \ (d \) dapat ditentukan tidak hanya utuh, tetapi juga pecahan. Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan sebagai pecahan desimal (\ (2,5 \)) dan sebagai pecahan biasa (\ (- 5 \ frac (2) (7) \)).

Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses menemukan solusi.

Kalkulator online ini dapat berguna untuk siswa sekolah menengah atas dalam persiapan untuk ujian dan ujian, ketika memeriksa pengetahuan sebelum ujian, untuk orang tua untuk mengontrol solusi dari banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pengajaran sendiri dan/atau pengajaran adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang masalah yang dipecahkan meningkat.

Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan memasukkan angka, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan entri nomor

Angka \ (a_n \) dan \ (d \) dapat ditentukan tidak hanya utuh, tetapi juga pecahan.
Angka \ (n \) hanya dapat berupa bilangan bulat positif.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian utuh dan pecahan dalam pecahan desimal dapat dipisahkan dengan tanda titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan pecahan desimal seperti ini 2.5 atau lebih 2.5

Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat digunakan sebagai pembilang, penyebut, dan seluruh bagian dari suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Memasukkan:
Hasil: \ (- \ frac (2) (3) \)

Seluruh bagian dipisahkan dari pecahan oleh ampersand: &
Memasukkan:
Hasil: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)

Masukkan angka a n, d, n

Temukan 1

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Mungkin Anda telah mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

JavaScript dinonaktifkan di browser Anda.
Agar solusi muncul, Anda harus mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda ada dalam antrian.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik ...

Jika kamu melihat kesalahan dalam keputusan, maka Anda dapat menulis tentang ini di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan dan apa? masuk ke lapangan.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Urutan nomor

Dalam praktik sehari-hari, penomoran berbagai benda sering digunakan untuk menunjukkan urutan susunannya. Misalnya, rumah di setiap jalan diberi nomor. Langganan pembaca diberi nomor di perpustakaan dan kemudian diatur dalam urutan nomor yang ditetapkan dalam indeks kartu khusus.

Di bank tabungan, sesuai dengan nomor rekening pribadi deposan, Anda dapat dengan mudah menemukan rekening ini dan melihat setoran apa yang ada di dalamnya. Biarkan akun nomor 1 berisi kontribusi a1 rubel, akun nomor 2 memiliki kontribusi a2 rubel, dll. Ternyata urutan numerik
a 1, a 2, a 3, ..., a N
di mana N adalah jumlah semua akun. Di sini, setiap bilangan asli n dari 1 hingga N diberi nomor a n.

Matematika juga belajar urutan nomor tak terbatas:
a 1, a 2, a 3, ..., n, ....
Angka 1 disebut anggota pertama dari urutan, nomor a 2 - istilah kedua, nomor a 3 - suku ketiga dll.
Bilangan a n disebut suku ke-n (n) dari barisan tersebut, dan bilangan asli n adalah nomor.

Misalnya, dalam barisan kuadrat bilangan asli 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dan 1 = 1 adalah anggota pertama dari barisan; dan n = n 2 adalah anggota ke-n dari barisan tersebut; a n + 1 = (n + 1) 2 adalah suku ke (n + 1) ke (en ditambah pertama) dari barisan tersebut. Seringkali suatu barisan dapat diberikan dengan rumus suku ke-n. Misalnya, rumus \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ di \ mathbb (N) \) mendefinisikan barisan \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ frac ( 1) (3), \; \ frac (1) (4), \ titik, \ frac (1) (n), \ titik \)

Deret aritmatika

Panjang tahun adalah sekitar 365 hari. Nilai yang lebih akurat adalah \ (365 \ frac (1) (4) \) hari, jadi kesalahan yang sama dengan satu hari terakumulasi setiap empat tahun.

Untuk menjelaskan kesalahan ini, satu hari ditambahkan ke setiap tahun keempat, dan tahun yang diperpanjang disebut tahun kabisat.

Misalnya, pada milenium ketiga, tahun kabisat adalah 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Dalam urutan ini, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan ke angka yang sama 4. Urutan seperti itu disebut deret aritmatika.

Definisi.
Barisan bilangan a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... disebut deret aritmatika jika untuk semua natural n persamaan
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \)
di mana d adalah suatu bilangan.

Rumus ini menyiratkan bahwa a n + 1 - a n = d. Bilangan d disebut selisih deret aritmatika.

Dengan definisi deret aritmatika, kita memiliki:
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \ quad a_ (n-1) = a_n-d, \)
di mana
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \), di mana \ (n> 1 \)

Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua anggota yang berdekatan. Ini menjelaskan nama perkembangan "aritmatika".

Perhatikan bahwa jika a 1 dan d diberikan, maka anggota barisan aritmatika yang tersisa dapat dihitung dengan menggunakan rumus berulang a n + 1 = a n + d. Dengan cara ini, tidak sulit untuk menghitung beberapa suku pertama dari perkembangan, namun, misalnya, 100 akan membutuhkan banyak perhitungan. Biasanya rumus untuk suku ke-n digunakan untuk ini. Menurut definisi deret aritmatika
\ (a_2 = a_1 + d, \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d, \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
dll.
Umumnya,
\ (a_n = a_1 + (n-1) d, \)
karena suku ke-n dari barisan aritmatika diperoleh dari suku pertama dengan menjumlahkan (n-1) kali bilangan d.
Rumus ini disebut dengan rumus suku ke-n dari deret aritmatika.

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

Mari kita cari jumlah semua bilangan asli dari 1 hingga 100.
Mari kita menulis jumlah ini dalam dua cara:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Mari kita tambahkan persamaan ini istilah demi istilah:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Jumlah ini memiliki 100 suku
Jadi, 2S = 101 * 100, dari mana S = 101 * 50 = 5050.

Pertimbangkan sekarang perkembangan aritmatika sewenang-wenang
a 1, a 2, a 3, ..., n, ...
Misalkan S n adalah jumlah dari n suku pertama dari deret ini:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Kemudian jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

Karena \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), kemudian mengganti n dalam rumus ini, kita mendapatkan rumus lain untuk mencari jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)

Buku (buku teks) Abstrak Tes USE dan OGE online Game, teka-teki, Fungsi plot, Kamus grafik bahasa Rusia, Kamus gaul pemuda Katalog sekolah Rusia Katalog sekolah menengah Rusia Katalog universitas Rusia Daftar tugas
Ya, ya: deret aritmatika bukan mainan untuk Anda :)

Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka kejelasan tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda belum tahu apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOO!) Ingin tahu. Karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.

Mari kita mulai dengan beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ persegi (2); \ 2 \ persegi (2); \ 3 \ persegi (2); ... $

Apa kesamaan dari semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.

Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanyalah angka berurutan, masing-masing berikutnya lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, perbedaan antara angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi perbedaan ini masih konstan. Dalam kasus ketiga, akar secara umum. Namun, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, dan $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, mis. dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah $ \ sqrt (2) $ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Jumlah di mana angka-angka itu berbeda disebut perbedaan perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $ d $.

Sebutan: $ \ kiri (((a) _ (n)) \ kanan) $ - perkembangan itu sendiri, $ d $ - perbedaannya.

Dan hanya beberapa komentar penting. Pertama, hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam roh (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan kemajuan tanpa akhir. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka yang terjadi. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa progresi meningkat dan menurun. Kami telah melihat yang meningkat - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Dan berikut adalah contoh progresi yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Oke, oke: contoh terakhir ini mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, jelas bagi Anda. Oleh karena itu, kami akan memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Deret aritmatika disebut:

1. naik jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;
2. menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - mereka terdiri dari nomor berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya ada satu pertanyaan: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, itu semua tergantung pada tanda angka $ d $, yaitu. perbedaan perkembangan:

1. Jika $ d \ gt 0 $, maka progresnya meningkat;
2. Jika $ d \ lt 0 $, maka perkembangannya jelas menurun;
3. Akhirnya, ada kasus $ d = 0 $ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner dari angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Mari kita coba hitung selisih $ d $ untuk tiga progresi menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan kurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus, perbedaannya benar-benar negatif. Dan sekarang setelah kita kurang lebih mengetahui definisinya, sekarang saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan apa sifat-sifatnya.

Anggota kemajuan dan formula berulang

Karena elemen dari urutan kami tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:

\ [\ kiri (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kiri \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ Baik \) \]

Unsur-unsur individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan oleh angka: istilah pertama, istilah kedua, dll.

Selain itu, seperti yang sudah kita ketahui, anggota perkembangan yang berdekatan terkait dengan rumus:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Panah kanan ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Singkatnya, untuk menemukan suku ke $ n $ dalam deret, Anda perlu mengetahui suku ke $ n-1 $ dan perbedaan $ d $. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya - semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun ke suku pertama dan selisihnya:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kiri (n-1 \ kanan) d \]

Pasti Anda sudah pernah bertemu dengan rumus ini. Mereka senang memberikannya dalam segala macam buku referensi dan reshebnik. Dan dalam buku teks matematika yang masuk akal, dia menjadi salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan kita berlatih sedikit.

Soal nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmatika $ \ kiri (((a) _ (n)) \ kanan) $ jika $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $ ((a) _ (1)) = 8 $ dan selisih perkembangan $ d = -5 $. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan substitusikan $ n = 1 $, $ n = 2 $ dan $ n = 3 $:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kiri (n-1 \ kanan) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ kiri (1-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ kiri (2-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ kiri (3-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Jawaban: (8; 3; 2)

Itu saja! Harap dicatat: perkembangan kami menurun.

Tentu saja, $ n = 1 $ tidak dapat diganti - suku pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti satu, kami memastikan bahwa rumus kami berfungsi bahkan untuk suku pertama. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika sepele.

Soal nomor 2. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmatika jika suku ketujuh adalah 40 dan suku ketujuh belas adalah 50.

Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalah dalam istilah biasa:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ kiri \ (\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ akhir (sejajarkan) \ kanan. \]

\ [\ kiri \ (\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ akhir (sejajarkan) \ Baik. \]

Saya memberi tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang perhatikan bahwa jika kita kurangi yang pertama dari persamaan kedua (kita memiliki hak untuk melakukan ini, karena kita memiliki sistem), kita mendapatkan ini:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & t = -1. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Begitulah cara mudah kami menemukan perbedaan dalam perkembangannya! Tetap mengganti nomor yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:

\ [\ begin (matriks) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ akhir (matriks) \]

Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Siap! Masalahnya sudah diatasi.

Jawaban: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku ke $ n $ dan $ m $ dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih dari perkembangan dikalikan dengan bilangan $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ kiri (n-m \ kanan) \]

Properti sederhana, tetapi sangat berguna yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya, Anda dapat secara signifikan mempercepat solusi dari banyak masalah dalam progresi. Berikut adalah contoh utama:

Soal nomor 3. Suku kelima dari barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari deret ini.

Larutan. Karena $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $, dan Anda perlu mencari $ ((a) _ (15)) $, maka kita perhatikan berikut ini :

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Tetapi dengan syarat $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = $ 6, maka $5d = $ 6, dari mana kita mendapatkan:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu menyusun beberapa sistem persamaan dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis tugas lain - untuk menemukan anggota progresi yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sedangkan suku pertama negatif, maka cepat atau lambat suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: anggota dari perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk meraba-raba momen ini "langsung", secara berurutan melalui elemen-elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan waktu beberapa lembar - kita hanya akan tertidur ketika kita menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Soal nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmatika -38.5; 35.8; ...?

Larutan. Jadi, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, dari mana kita segera menemukan perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga progresnya meningkat. Suku pertama negatif, jadi pada titik tertentu kita benar-benar akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan itu akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: berapa lama (yaitu hingga berapa bilangan asli $ n $) negativitas istilah dipertahankan:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Panah kanan ((a) _ (1)) + \ kiri (n-1 \ kanan) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ kiri (n-1 \ kanan) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ kiri | \ cdot 10 \ benar. \\ & -385 + 27 \ cdot \ kiri (n-1 \ kanan) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Panah kanan ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Baris terakhir membutuhkan penjelasan. Jadi, kita tahu bahwa $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Di sisi lain, kita akan puas hanya dengan nilai bilangan bulat dari angka tersebut (apalagi: $ n \ in \ mathbb (N) $), jadi angka terbesar yang diizinkan adalah persis $ n = 15 $, dan dalam hal apa pun adalah 16.

Soal nomor 5. Dalam deret aritmatika $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Temukan jumlah suku positif pertama dari deret ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan yang sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $ ((a) _ (1)) $. Tetapi suku-suku bertetangganya diketahui: $ ((a) _ (5)) $ dan $ ((a) _ (6)) $, sehingga kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

Selain itu, kami akan mencoba mengungkapkan istilah kelima dalam hal yang pertama dan perbedaannya dengan rumus standar:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kiri (n-1 \ kanan) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana dalam urutan kami akan ada angka positif:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Panah kanan ((n) _ (\ mnt)) = 56. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Solusi bilangan bulat terkecil untuk pertidaksamaan ini adalah 56.

Harap dicatat: dalam tugas terakhir, semuanya direduksi menjadi ketidaksetaraan yang ketat, sehingga opsi $ n = 55 $ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah belajar bagaimana memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti progresi aritmatika lain yang sangat berguna, yang di masa depan akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama. :)

Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama

Pertimbangkan beberapa anggota berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $ \ kiri (((a) _ (n)) \ kanan) $. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Anggota barisan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus mencatat istilah arbitrer $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, bukan $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $, dll. Karena aturan, yang sekarang akan saya bicarakan, berfungsi sama untuk "segmen" mana pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursi dan menuliskannya untuk semua anggota yang ditandai:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Nah, jadi apa? Dan fakta bahwa suku $ ((a) _ (n-1)) $ dan $ ((a) _ (n + 1)) $ terletak pada jarak yang sama dari $ ((a) _ (n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $ d $. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $ ((a) _ (n-2)) $ dan $ ((a) _ (n + 2)) $ - mereka juga dihapus dari $ ((a) _ (n) ) $ jarak yang sama sama dengan $2d $. Anda dapat melanjutkan tanpa batas, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar.

Anggota perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $ ((a) _ (n)) $ jika bilangan tetangga diketahui:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang sangat baik: setiap anggota deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika dari suku-suku tetangga! Selain itu: kita dapat menyimpang dari $ ((a) _ (n)) $ kita ke kiri dan ke kanan bukan satu langkah, tetapi $ k $ langkah - dan tetap saja rumusnya akan benar:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $ ((a) _ (150)) $ jika kita mengetahui $ ((a) _ (100)) $ dan $ ((a) _ (200)) $, karena $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sepintas, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak masalah yang khusus "dipertajam" untuk penggunaan mean aritmatika. Lihatlah:

Soal nomor 6. Temukan semua nilai $ x $ yang angka $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ dan $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ adalah anggota berurutan deret aritmatika (berurutan).

Larutan. Karena angka-angka yang ditunjukkan adalah anggota deret, kondisi rata-rata aritmatika dipenuhi untuk mereka: elemen pusat $ x + 1 $ dapat dinyatakan dalam elemen yang berdekatan:

\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Hasilnya adalah persamaan kuadrat klasik. Akarnya: $x = 2 $ dan $x = -3 $ - inilah jawabannya.

Jawaban: 3; 2.

Soal nomor 7. Temukan nilai $$ di mana angka $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Sekali lagi, kami menyatakan suku tengah dalam bentuk rata-rata aritmatika dari suku-suku tetangga:

\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ kiri | \ cdot 2 \ kanan .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Sekali lagi persamaan kuadrat. Dan lagi ada dua akar: $x = 6 $ dan $x = 1 $.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses memecahkan masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?

Misalnya pada soal no.6 kita mendapatkan jawaban -3 dan 2. Bagaimana cara mengecek apakah jawaban tersebut benar? Mari kita hubungkan mereka ke kondisi awal dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami memiliki tiga angka ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ dan $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), yang harus membentuk deret aritmatika. Substitusi $x = -3 $:

\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ akhir (sejajarkan) \]

Nomor yang diterima -54; 2; 50, yang berbeda dengan 52, tidak diragukan lagi merupakan perkembangan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ akhir (sejajarkan) \]

Sekali lagi kemajuan, tetapi dengan perbedaan 27. Dengan demikian, masalah diselesaikan dengan benar. Mereka yang tertarik dapat memeriksa masalah kedua sendiri, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat menyelesaikan masalah terakhir, kami menemukan fakta menarik lainnya, yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata aritmatika dari yang pertama dan yang terakhir, maka angka-angka ini membentuk deret aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah "membangun" perkembangan yang diperlukan, berdasarkan kondisi masalah. Tetapi sebelum kita turun ke "konstruksi" seperti itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti dari apa yang telah dipertimbangkan.

Pengelompokan dan jumlah elemen

Mari kembali ke sumbu angka lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. masih banyak member lainnya :

Garis bilangan memiliki 6 elemen yang ditandai

Mari kita coba nyatakan "ekor kiri" dalam bentuk $ ((a) _ (n)) $ dan $ d $, dan "ekor kanan" dalam $ ((a) _ (k)) $ dan $ d $ . Ini sangat sederhana:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Sekarang, perhatikan bahwa jumlah berikut adalah sama:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S \ akhir (sejajarkan) \]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan beberapa angka $ S $, dan kemudian kita mulai berjalan dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (menuju satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh) , kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini dapat paling jelas diwakili secara grafis:

Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan tingkat kompleksitas yang lebih tinggi secara fundamental daripada yang kita bahas di atas. Misalnya, seperti:

Soal nomor 8. Tentukan selisih dari barisan aritmatika yang suku pertamanya adalah 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ mnt. \ akhir (sejajarkan) \]

Jadi, kita tidak tahu perbedaan perkembangan $ d $. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ kiri (66 + d \ kanan) \ cdot \ kiri (66 + 11d \ kanan) = \\ & = 11 \ cdot \ kiri (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kiri (d + 6 \ kanan). \ akhir (sejajarkan) \]

Untuk yang ada di tangki: Saya mengambil faktor persekutuan 11 dari kurung kedua. Jadi, hasil kali yang dicari adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $ d $. Oleh karena itu, perhatikan fungsi $ f \ kiri (d \ kanan) = 11 \ kiri (d + 66 \ kanan) \ kiri (d + 6 \ kanan) $ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (sejajarkan) \]

Seperti yang Anda lihat, koefisien untuk suku terdepan adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola

Perhatikan: parabola ini mengambil nilai minimum pada titik puncaknya dengan absis $ ((d) _ (0)) $. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini sesuai dengan skema standar (ada juga rumus $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), tetapi akan jauh lebih masuk akal perhatikan bahwa titik yang diinginkan terletak pada sumbu simetri parabola, maka titik $ ((d) _ (0)) $ berjarak sama dari akar persamaan $ f \ kiri (d \ kanan) = 0 $:

\ [\ mulai (sejajarkan) & f \ kiri (d \ kanan) = 0; \\ & 11 \ cdot \ kiri (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kiri (d + 6 \ kanan) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Itulah sebabnya saya tidak terburu-buru untuk membuka kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absis sama dengan rata-rata aritmatika dari angka 66 dan 6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Apa yang diberikan nomor yang ditemukan kepada kita? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil (omong-omong, kami belum menghitung $ ((y) _ (\ min)) $ - ini tidak diperlukan dari kami). Pada saat yang sama, angka ini adalah perbedaan antara perkembangan asli, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: 36

Soal nomor 9. Sisipkan tiga angka di antara angka $ - \ frac (1) (2) $ dan $ - \ frac (1) (6) $ sehingga bersama-sama dengan angka yang diberikan membentuk barisan aritmatika.

Larutan. Pada dasarnya, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan angka pertama dan terakhir sudah diketahui. Mari kita tunjukkan angka yang hilang dengan variabel $ x $, $ y $ dan $ z $:

\ [\ kiri (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kiri \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ kanan \ ) \]

Perhatikan bahwa angka $ y $ adalah "tengah" dari barisan kita - angka ini berjarak sama dari angka $ x $ dan $ z $, dan dari angka $ - \ frac (1) (2) $ dan $ - \ pecahan (1) ( 6) $. Dan jika saat ini kita tidak bisa mendapatkan $ y $ dari angka $ x $ dan $ z $, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangan. Mengingat mean aritmatika:

Sekarang, mengetahui $ y $, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $ x $ terletak di antara angka $ - \ frac (1) (2) $ dan $ y = - \ frac (1) (3) $ baru saja ditemukan. Itu sebabnya

Dengan alasan yang sama, kami menemukan jumlah yang tersisa:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban dalam urutan di mana mereka harus disisipkan di antara angka-angka aslinya.

Jawaban: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Soal nomor 10. Sisipkan beberapa angka di antara angka 2 dan 42, yang bersama-sama dengan angka-angka ini membentuk barisan aritmatika, jika Anda tahu bahwa jumlah angka pertama, kedua dan terakhir dari angka yang dimasukkan adalah 56.

Larutan. Tugas yang bahkan lebih sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan sesuai dengan skema yang sama seperti yang sebelumnya - melalui rata-rata aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, mari kita asumsikan bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $ n $ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, deret aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:

\ [\ kiri (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kiri \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ kanan \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Akan tetapi, perhatikan bahwa bilangan $ ((a) _ (2)) $ dan $ ((a) _ (n-1)) $ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu ... ke tengah urutan. Ini berarti bahwa

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Tetapi kemudian ekspresi yang ditulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ kiri (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ kanan) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Mengetahui $ ((a) _ (3)) $ dan $ ((a) _ (1)) $, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan dari perkembangan:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ kiri (3-1 \ kanan) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Panah kanan d = 5. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Tetap hanya untuk menemukan anggota lainnya:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ akhir (sejajarkan) \]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya perlu memasukkan 7 angka: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah kata dengan progresi

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Nah, betapa sederhananya: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas-tugas ini mungkin tampak seperti kaleng. Namun demikian, justru masalah seperti itu yang muncul di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.

Soal nomor 11. Brigade memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan setiap bulan berikutnya menghasilkan 14 bagian lebih banyak daripada yang sebelumnya. Berapa banyak bagian yang dibuat tim pada bulan November?

Larutan. Jelas, jumlah bagian, dijadwalkan berdasarkan bulan, akan mewakili peningkatan aritmatika. Lebih-lebih lagi:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ kiri (n-1 \ kanan) \ cdot 14. \\ \ akhir (sejajarkan) \]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Akibatnya, 202 suku cadang akan diproduksi pada November.

Soal nomor 12. Lokakarya penjilidan itu mengikat 216 buku di bulan Januari, dan setiap bulannya mengikat 4 buku lebih banyak dari yang sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$ \ mulai (sejajarkan) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ kiri (n-1 \ kanan) \ cdot 4. \\ \ akhir (sejajarkan) $

Desember adalah bulan terakhir, 12 tahun, jadi kami mencari $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan "Kursus Pejuang Muda" dalam progresi aritmatika. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus untuk jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Apa esensi utama dari formula?

Rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap DENGAN NOMORNYA" n " .

Tentu saja, Anda juga perlu mengetahui istilah pertama. sebuah 1 dan perbedaan perkembangannya D, nah, tanpa parameter ini, Anda tidak dapat merekam perkembangan tertentu.

Menghafal (atau sparging) formula ini tidak cukup. Penting untuk mengasimilasi esensinya dan menerapkan formula dalam berbagai tugas. Apalagi jangan lupa di waktu yang tepat ya…) Bagaimana tidak lupa- Saya tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingat jika perlu, saya akan memberitahu Anda persis. Mereka yang menguasai pelajaran sampai akhir.)

Jadi, mari kita berurusan dengan rumus suku ke-n dari deret aritmatika.

Apa yang dimaksud dengan rumus secara umum - dapat kita bayangkan.) Apa yang dimaksud dengan deret aritmatika, jumlah anggota, perbedaan deret - tersedia di pelajaran sebelumnya. Coba lihat, omong-omong, jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa itu istilah ke-n.

Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai serangkaian angka:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

sebuah 1- menunjukkan anggota pertama dari deret aritmatika, sebuah 3- suku ketiga, sebuah 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik pada suku kelima, katakanlah kita bekerja dengan sebuah 5 jika seratus dua puluh - dari 120.

Dan bagaimana menunjuk secara umum setiap anggota deret aritmatika, s setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:

NS

Itulah apa itu suku ke-n dari barisan aritmatika. Huruf n menyembunyikan semua nomor anggota sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apa yang diberikan rekaman seperti itu kepada kita? Bayangkan saja, alih-alih angka, mereka menulis surat ...

Entri ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi NS, kita dapat dengan cepat menemukan setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan untuk memecahkan banyak masalah dalam perkembangan. Anda akan melihat sendiri.

Dalam rumus untuk suku ke-n dari deret aritmatika:

a n = a 1 + (n-1) d

sebuah 1- anggota pertama dari perkembangan aritmatika;

n- nomor anggota.

Rumus tersebut menghubungkan parameter kunci dari perkembangan apa pun: NS; sebuah 1; D dan n. Semua masalah dalam perkembangan berkisar pada parameter ini.

Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk mencatat perkembangan tertentu. Misalnya, masalahnya mungkin mengatakan bahwa perkembangan ditentukan oleh kondisi:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tugas seperti itu bahkan bisa membingungkan ... Tidak ada seri, tidak ada perbedaan ... Tapi, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah untuk mengetahui bahwa dalam perkembangan ini a 1 = 5 dan d = 2.

Dan itu terjadi bahkan lebih marah!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya untuk membuka kurung dan membawa yang serupa? Mari kita dapatkan formula baru:

a n = 3 + 2n.

dia Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah perangkap mengintai. Beberapa orang berpikir bahwa istilah pertama adalah triplet. Meskipun pada kenyataannya suku pertama adalah lima ... Beberapa saat kemudian kita akan bekerja dengan formula yang dimodifikasi seperti itu.

Dalam tugas untuk perkembangan, satu lagi penunjukan ditemukan - n + 1... Ini, Anda dapat menebaknya, istilah "en plus first" dalam progresi. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota dari perkembangan yang jumlahnya lebih besar dari n per satu. Misalnya, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk NS suku kelima maka n + 1 akan menjadi anggota keenam. Dll.

Paling sering sebutan n + 1 terjadi dalam rumus rekursif. Jangan terintimidasi oleh kata yang mengerikan ini!) Ini hanyalah cara untuk mengekspresikan anggota deret aritmatika melalui yang sebelumnya. Misalkan kita diberikan deret aritmatika seperti ini, menggunakan rumus berulang:

a n + 1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Yang keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - hingga yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana cara menghitung segera, ucapkan suku kedua puluh, 20? Tapi tidak mungkin!) Sampai suku ke-19 diakui, suku ke-20 tidak bisa dihitung. Inilah perbedaan mendasar antara rumus berulang dan rumus suku ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n adalah melalui pertama dan mengizinkan langsung temukan anggota mana pun dengan nomornya. Tanpa menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.

Dalam deret aritmatika, rumus yang berulang dapat dengan mudah diubah menjadi rumus biasa. Hitung sepasang suku berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tuliskan rumus dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Di GIA, tugas seperti itu sering ditemui.

Penerapan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung dari rumus tersebut. Di akhir pelajaran sebelumnya, ada masalah:

Anda diberikan deret aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 = 3 dan d = 1/6.

Masalah ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, cukup melanjutkan dari makna deret aritmatika. Tambah, ya tambah... satu atau dua jam.)

Dan menurut rumusnya, solusinya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Kami memutuskan.

Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: a 1 = 3, d = 1/6. Masih mencari tahu apa itu sama dengan n. Tidak masalah! Kita perlu menemukan 121... Jadi kami menulis:

Mohon perhatian! Alih-alih indeks n angka tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota deret aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita n. Ini dia artinya n= 121 kita akan subtitusikan lebih lanjut ke dalam rumus, dalam tanda kurung. Kami mengganti semua angka dalam rumus dan menghitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Itu saja. Secepatnya seseorang dapat menemukan suku lima ratus sepuluh, dan suku seribu tiga, apa saja. Kami menempatkan sebagai gantinya n nomor indeks yang diinginkan untuk huruf " A " dan dalam tanda kurung, dan kami menghitung.

Biarkan saya mengingatkan Anda intinya: rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap suku deret aritmatika DENGAN NOMORNYA" n " .

Mari kita selesaikan tugas yang lebih licik. Mari kita memiliki masalah seperti itu:

Tentukan suku pertama barisan aritmatika (a n) jika a 17 = -2; d = -0,5.

Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan memberi tahu Anda langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika! Ya ya. Tulis dengan tangan Anda, tepat di buku catatan Anda:

a n = a 1 + (n-1) d

Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf dalam rumus, kami mencari tahu data apa yang kami miliki dan apa yang hilang? Ada d = -0,5, ada anggota ketujuh belas ... Itu saja? Jika Anda berpikir itu saja, maka Anda tidak akan menyelesaikan masalah, ya ...

Kami masih memiliki nomor n! Dalam kondisi a 17 = -2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah nilai dari suku ketujuh belas (-2) dan bilangannya (17). Itu. n = 17."Sepele" ini sering melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "sepele", dan bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Meskipun ... tanpa kepala juga.)

Sekarang Anda bisa dengan bodohnya mengganti data kami ke dalam rumus:

a 17 = a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh ya, 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita gantikan:

-2 = a 1 + (17-1) (-0,5)

Itu, pada dasarnya, adalah semua. Tetap mengungkapkan suku pertama deret aritmatika dari rumus, dan menghitung. Jawabannya adalah: a1 = 6.

Teknik ini - menulis formula dan substitusi sederhana dari data yang diketahui - banyak membantu dalam tugas-tugas sederhana. Yah, tentu saja Anda harus dapat mengekspresikan variabel dari rumus, tetapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika sama sekali dapat dihindari ...

Teka-teki populer lainnya:

Tentukan selisih dari barisan aritmatika (a n) jika a 1 = 2; a.15 = 12.

Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis rumusnya!)

a n = a 1 + (n-1) d

Pertimbangkan apa yang kita ketahui: a 1 = 2; a 15 = 12; dan (saya akan menyorotinya secara khusus!) n = 15. Jangan ragu untuk mengganti formula:

12 = 2 + (15-1) d

Kami menghitung aritmatika.)

12 = 2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Ini adalah jawaban yang benar.

Jadi, tugas untuk a n, a 1 dan D terpecahkan. Masih belajar bagaimana menemukan nomornya:

Bilangan 99 adalah anggota dari barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 12; d = 3. Temukan nomor anggota ini.

Kami mengganti jumlah yang kami ketahui dalam rumus untuk suku ke-n:

a n = 12 + (n-1) 3

Sekilas, ada dua hal yang tidak diketahui: sebuah n dan n. Tetapi NS adalah beberapa anggota perkembangan dengan angka n... Dan kita tahu anggota perkembangan ini! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. n, jadi nomor ini wajib dicari. Kami mengganti istilah perkembangan 99 ke dalam rumus:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami mengungkapkan dari rumus n, mempertimbangkan. Kami mendapatkan jawabannya: n = 30.

Dan sekarang teka-teki tentang topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan apakah bilangan 117 merupakan anggota barisan aritmatika (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kami menulis rumus lagi. Apa, tidak ada parameter? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Lihat member pertama dari progresi? Kami melihat. Ini adalah -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: a1 = -3.6. Perbedaan D dapat ditentukan dari suatu bilangan? Sangat mudah jika Anda tahu apa perbedaan dari deret aritmatika:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Jadi, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor yang tidak dikenal n dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui bahwa itu adalah anggota dari perkembangan yang diberikan. Dan di sini kita bahkan tidak tahu ... Bagaimana menjadi!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi ... Hidupkan kreativitas!)

Kita memperkirakan bahwa 117 adalah, setelah semua, anggota kemajuan kami. Dengan nomor tak dikenal n... Dan, seperti pada tugas sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumus (ya, ya!)) dan mengganti nomor kami:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Sekali lagi kami ungkapkan dari rumusn, kami menghitung dan mendapatkan:

Ups! Nomor ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam progresi tidak bisa. Kesimpulan apa yang bisa kita tarik? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kami. Itu adalah suatu tempat antara seratus dan pertama dan seratus dan anggota kedua. Jika jumlahnya ternyata alami, mis. bilangan bulat positif, maka nomor tersebut akan menjadi anggota perkembangan dengan nomor yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban untuk masalahnya adalah: tidak.

Tugas berdasarkan versi nyata GIA:

Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi:

a n = -4 + 6.8n

Temukan anggota pertama dan kesepuluh dari perkembangan.

Di sini perkembangannya tidak diatur dengan cara yang sepenuhnya familiar. Semacam formula ... Itu terjadi.) Namun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga merupakan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan dengan nomornya.

Kami mencari anggota pertama. Yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat, adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal dimodifikasi. Suku pertama dari barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak ada, kita akan menemukannya sekarang.)

Sama seperti pada tugas sebelumnya, kami mengganti n = 1 ke dalam rumus ini:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!

Demikian pula, kami mencari suku kesepuluh:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Itu saja.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris ini - bonus yang dijanjikan.)

Misalkan, dalam situasi pertempuran yang sulit dari GIA atau USE, Anda telah melupakan formula yang berguna untuk suku ke-n dari suatu perkembangan aritmatika. Ada sesuatu yang diingat, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Entah n disana atau n + 1, atau t-1 ... Bagaimana menjadi !?

Tenang! Rumus ini mudah untuk disimpulkan. Tidak terlalu ketat, tetapi untuk kepastian dan solusi yang tepat, itu pasti akan cukup!) Sebagai kesimpulan, cukup mengingat makna dasar dari deret aritmatika dan memiliki beberapa menit waktu. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.

Gambarlah sumbu angka dan tandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dst. anggota. Dan perhatikan perbedaannya D antar anggota. Seperti ini:

Kami melihat gambar dan mencari tahu: apa yang sama dengan suku kedua? Kedua satu hal D:

A 2 = 1 + 1 D

Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D.

A 3 = 1 + 2 D

Apa kau mengerti? Bukan tanpa alasan saya menyoroti beberapa kata yang dicetak tebal. Oke, satu langkah lagi).

Apa istilah keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D.

A 4 = 1 + 3 D

Saatnya untuk mencari tahu bahwa jumlah celah, mis. D, selalu satu kurang dari jumlah istilah yang diperlukan n. Artinya, ke nomor n, jumlah interval akan n-1. Oleh karena itu, rumusnya adalah (tidak ada opsi!):

a n = a 1 + (n-1) d

Secara umum, gambar bergambar sangat membantu dalam memecahkan banyak masalah dalam matematika. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sulit untuk menggambar, maka ... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda untuk menghubungkan ke solusi seluruh gudang senjata matematika yang kuat - persamaan, ketidaksetaraan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan ...

Tugas untuk solusi independen.

Untuk pemanasan:

1. Dalam barisan aritmatika (a n) a 2 = 3; 5 = 5.1. Temukan 3

Petunjuk: sesuai dengan gambar, masalahnya diselesaikan dalam 20 detik ... Menurut rumus, ternyata lebih sulit. Tetapi untuk menguasai rumus itu lebih berguna.) Bagian 555 memecahkan masalah ini baik dengan gambar maupun dengan rumus. Rasakan perbedaan nya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam deret aritmatika (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Temukan a 3.

Apa, apakah Anda merasa enggan untuk menggambar?) Tentu saja! Lebih baik dengan rumus, ya ...

3. Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi:a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Temukan suku keseratus dua puluh lima dari deret ini.

Dalam tugas ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tapi menghitung hingga suku ke seratus dua puluh lima ... Tidak semua orang bisa melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!

4. Diberikan barisan aritmatika (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Tentukan jumlah suku positif terkecil dalam deret tersebut.

5. Sesuai dengan kondisi tugas 4, temukan jumlah anggota positif terkecil dan negatif terbesar dari perkembangan.

6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas dari deret aritmatika yang meningkat adalah -2,5, dan jumlah dari suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14.

Bukan tugas termudah, ya ...) Di sini, metode "di jari" tidak akan berfungsi. Kita harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.

Jawaban (berantakan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Telah terjadi? Itu bagus!)

Tidak semuanya berhasil? Itu terjadi. Omong-omong, ada satu poin halus dalam tugas terakhir. Kehati-hatian saat membaca masalah akan diperlukan. Dan logika.

Solusi dari semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk yang keempat, dan momen yang sulit untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun pada rumus suku ke-n - semuanya ditulis . Menyarankan.

Jika Anda menyukai situs ini ...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian validasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Deret aritmatika disebut urutan angka (anggota perkembangan)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan istilah baru, yang juga disebut perbedaan langkah atau kemajuan.

Jadi, dengan menetapkan langkah dari progresi dan suku pertamanya, Anda dapat menemukan salah satu elemennya dengan rumus

Sifat deret aritmatika

1) Setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari angka kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan selanjutnya

Kebalikannya juga benar. Jika rata-rata aritmatika anggota barisan ganjil (genap) yang berdekatan sama dengan suku di antara mereka, maka barisan bilangan ini adalah barisan aritmatika. Pernyataan ini membuatnya sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.

Juga, dengan properti deret aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan menjadi berikut:

Ini mudah untuk memverifikasi jika kita menulis istilah di sebelah kanan tanda sama dengan

Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam masalah.

2) Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dihitung dengan rumus

Ingat dengan baik rumus untuk jumlah deret aritmatika, itu sangat diperlukan untuk perhitungan dan cukup umum dalam situasi kehidupan sederhana.

3) Jika Anda tidak perlu mencari jumlah keseluruhan, tetapi bagian dari barisan yang dimulai dari suku ke-k, maka rumus jumlah berikut akan berguna

4) Secara praktis menarik untuk menemukan jumlah n suku suatu deret aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus

Ini menyimpulkan materi teoretis dan beralih ke pemecahan masalah umum dalam praktik.

Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh dari barisan aritmatika 4; 7; ...

Larutan:

Sesuai dengan kondisi, kami memiliki

Tentukan langkah perkembangannya

Menggunakan rumus terkenal, kami menemukan suku keempat puluh dari perkembangan

Contoh 2. Deret aritmatika diberikan oleh suku ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama dari perkembangan dan jumlah sepuluh.

Larutan:

Mari kita tuliskan elemen-elemen perkembangan yang diberikan menggunakan rumus

Kami mengurangi yang pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya, kami menemukan langkah perkembangan

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan untuk menemukan suku pertama dari deret aritmatika

Kami menghitung jumlah dari sepuluh anggota pertama dari perkembangan

Tanpa menggunakan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua jumlah yang diperlukan.

Contoh 3. Suatu barisan aritmatika diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Temukan anggota pertama dari perkembangan, jumlah 50 anggotanya dimulai dengan 50 dan jumlah 100 pertama.

Larutan:

Mari kita tulis rumus untuk elemen keseratus dari progresi

dan temukan yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kami menemukan istilah 50 dari perkembangan

Temukan jumlah bagian dari progresi

dan jumlah dari 100 yang pertama

Total perkembangannya adalah 250.

Contoh 4.

Tentukan banyaknya anggota barisan aritmatika jika:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Larutan:

Kami menulis persamaan dalam hal suku pertama dan langkah dari perkembangan dan mendefinisikannya

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus jumlah untuk menentukan jumlah anggota dalam jumlah

Melakukan penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadrat

Dari dua nilai yang ditemukan untuk kondisi masalah, hanya angka 8 yang cocok. Jadi, jumlah delapan anggota pertama dari perkembangan adalah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaan

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari deret aritmatika. Ayo tulis suku pertamanya dan temukan perbedaan perkembangannya

Jumlah dari barisan aritmatika.

Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat.

Pertama, mari kita cari tahu arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memperbaikinya. Untuk kesenangan Anda.) Arti dari penjumlahan sederhana, seperti dengungan. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.

Rumus jumlah terlihat sederhana:

Mari kita cari tahu huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan banyak menjelaskan.

S n - jumlah dari perkembangan aritmatika. Hasil tambahan dari semua anggota dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, yaitu, dimulai dengan pertama. Dalam tugas-tugas seperti menemukan jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku kelima hingga kedua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.)

sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris.

NS- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, malah sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.

n - jumlah anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini sesuai dengan jumlah anggota yang ditambahkan.

Mari kita definisikan konsepnya yang terakhir anggota NS... Pertanyaan isi ulang: anggota mana yang akan menjadi yang terakhir jika diberikan tak berujung deret aritmatika?)

Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)

Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah akhir yang spesifik hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak penting perkembangan mana yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diatur: dengan sejumlah angka, atau dengan rumus suku ke-n.

Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari deret ke angka c. n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu n, ditentukan secara eksklusif oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)

Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.

Pertama-tama, beberapa informasi berguna:

Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika terletak pada penentuan elemen-elemen rumus yang benar.

Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat lebih dekat beberapa contoh. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata.

1. Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 anggota pertamanya.

Tugas yang bagus. Mudah.) Apa yang perlu kita ketahui untuk menentukan jumlah dengan rumus? istilah pertama sebuah 1, istilah terakhir NS, ya jumlah anggota terakhir n.

Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya ada, dalam kondisi! Dikatakan: temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa yang akan menjadi terakhir, suku kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, jumlahnya adalah kesepuluh!) Jadi, bukannya NS dalam rumus kita akan mengganti 10, dan bukannya n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.

Itu tetap untuk menentukan sebuah 1 dan 10... Sangat mudah untuk menghitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak yakin bagaimana melakukan ini? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa itu - tidak ada.

sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5

10= 210 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung:

Itu saja. Jawaban: 75.

Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Anda diberikan deret aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a1 = 2.3. Tentukan jumlah 15 anggota pertamanya.

Kami segera menulis rumus untuk jumlah:

Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya:

Jawaban: 423.

Omong-omong, jika dalam rumus jumlah bukannya NS substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:

Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. NS... Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Atau Anda cukup menampilkannya di waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)

Sekarang tugasnya dalam bentuk enkripsi singkat):

3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua digit yang habis dibagi tiga.

Bagaimana! Baik anggota pertama, maupun yang terakhir, atau kemajuan sama sekali ... Bagaimana cara hidup!?

Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan mengeluarkan semua elemen dari jumlah deret aritmatika dari kondisinya. Kita tahu apa itu bilangan dua digit. Mereka terdiri dari dua digit.) Berapa angka dua digit yang akan menjadi pertama? 10, saya kira.) hal terakhir bilangan dua angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...

Kelipatan tiga… Hm… Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi ... 12 ... habis dibagi! Jadi, sesuatu tampak. Sudah dimungkinkan untuk menuliskan rangkaian dengan kondisi masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu saja! Setiap anggota berbeda dari yang sebelumnya hanya tiga. Jika kita menambahkan 2 atau 4 ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. bilangan baru tidak lagi habis dibagi 3. Untuk heapnya, kamu bisa langsung menentukan selisih dari barisan aritmatika: d = 3. Ini akan berguna!)

Jadi, Anda dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:

Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok.

Ada dua solusi. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah anggota dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Kita perlu mengingat rumus suku ke-n. Jika kita menerapkan rumus untuk masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah suku ketiga puluh dari perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:

Kami melihat, dan kami senang.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari pernyataan masalah:

sebuah 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Sisa-sisa aritmatika dasar. Kami mengganti angka dalam rumus dan menghitung:

Jawaban: 1665

Jenis lain dari teka-teki populer:

4. Sebuah deret aritmatika diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Temukan jumlah anggota dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya dari dua puluh ... Formulanya tidak akan berfungsi.

Anda tentu saja dapat mengecat seluruh perkembangan secara berurutan, dan menambahkan anggota dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana itu bodoh dan membutuhkan waktu lama, bukan?)

Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita membagi baris kita menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah dari anggota pertama sampai yang kesembilan belas. Bagian kedua - dari dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah anggota bagian pertama S 1-19, ya kita tambahkan dengan jumlah suku bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34... Seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat berupa pengurangan sederhana

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua jumlah di sisi kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Mulai?

Kami mengambil parameter perkembangan dari pernyataan masalah:

d = 1,5.

sebuah 1= -21,5.

Untuk menghitung jumlah 19 dan 34 anggota pertama, kita membutuhkan anggota ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:

19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

sebuah 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Tidak ada yang tersisa. Kurangi 19 anggota dari total 34 anggota:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Jawaban: 262,5

Satu catatan penting! Ada trik yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih penyelesaian langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan baru kemudian mereka memutuskan dan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil lengkap. "Trik dengan telinga" ini sering menyelamatkan tugas-tugas jahat.)

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah, yang solusinya cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa formula.)

Saran praktis:

Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini.

Rumus suku ke-n adalah:

Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Itu membantu.

Dan sekarang tugas untuk solusi independen.

5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.

Keren?) Tip tersembunyi di catatan untuk tugas 4. Nah, tugas 3 akan membantu.

6. Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi: a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 anggota pertama.

Tidak biasa?) Ini adalah rumus rekursif. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, tugas seperti itu sering ditemukan di GIA.

7. Vasya telah menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Untuk hidup indah, tanpa menyangkal diri sendiri apa pun. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai persediaan uang habis. Berapa hari kebahagiaan yang didapat Vasya?

Sulit?) Rumus tambahan dari soal 2 akan membantu.

Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.

Jika Anda menyukai situs ini ...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian validasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.