Ciri-ciri unit agregat statistik berbeda dalam artinya, misalnya, upah pekerja dari profesi yang sama dari perusahaan mana pun tidak sama untuk periode waktu yang sama, harga di pasar untuk produk yang sama berbeda. , hasil tanaman pertanian di pertanian daerah, dll. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai karakteristik karakteristik dari seluruh rangkaian unit yang dipelajari, nilai rata-rata dihitung.
nilai rata-rata – itu adalah karakteristik umum dari kumpulan nilai individu dari karakteristik kuantitatif tertentu.

Agregat, dipelajari dengan kriteria kuantitatif, terdiri dari nilai-nilai individu; mereka dipengaruhi oleh penyebab umum dan kondisi individu. Artinya, penyimpangan karakteristik nilai individu dipadamkan. Rata-rata, sebagai fungsi dari himpunan nilai individu, mewakili seluruh himpunan sebagai satu nilai dan mencerminkan kesamaan yang melekat pada semua unitnya.

Rata-rata yang dihitung untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang homogen secara kualitatif disebut sekunder khas... Misalnya, Anda dapat menghitung gaji bulanan rata-rata seorang karyawan dari kelompok profesional tertentu (penambang, dokter, pustakawan). Tentu saja, tingkat upah bulanan para penambang, karena perbedaan kualifikasi, masa kerja, jam kerja per bulan dan banyak faktor lainnya, berbeda satu sama lain, dan dari tingkat upah rata-rata. Namun, tingkat rata-rata mencerminkan faktor utama yang mempengaruhi tingkat upah, dan perbedaan yang muncul karena karakteristik individu karyawan saling mengimbangi. Upah rata-rata mencerminkan tingkat upah tipikal untuk jenis pekerja tertentu. Mendapatkan rata-rata tipikal harus didahului dengan analisis tentang bagaimana populasi tertentu secara kualitatif homogen. Jika agregat terdiri dari bagian-bagian yang terpisah, itu harus dibagi menjadi kelompok-kelompok yang khas (suhu rata-rata di rumah sakit).

Cara yang digunakan sebagai ciri-ciri populasi heterogen disebut rata-rata sistem... Misalnya, rata-rata produk domestik bruto (PDB) per kapita, konsumsi rata-rata berbagai kelompok barang per orang, dan nilai-nilai serupa lainnya yang mewakili karakteristik umum negara sebagai satu sistem ekonomi.

Rata-rata harus dihitung untuk populasi dengan jumlah unit yang cukup besar. Kepatuhan terhadap kondisi ini diperlukan agar hukum bilangan besar mulai berlaku, sebagai akibatnya penyimpangan acak dari nilai-nilai individu dari tren umum saling dibatalkan.

Jenis rata-rata dan cara menghitungnya

Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh kandungan ekonomi dari indikator tertentu dan data awal. Namun, setiap nilai rata-rata harus dihitung sehingga ketika menggantikan setiap varian fitur rata-rata, final, generalisasi, atau, seperti yang biasa disebut, indikator yang menentukan, yang dikaitkan dengan indikator rata-rata. Misalnya, saat mengganti kecepatan sebenarnya pada bagian jalur yang terpisah dengan kecepatan rata-ratanya, total jarak yang ditempuh kendaraan selama waktu yang sama tidak boleh berubah; ketika upah aktual dari masing-masing karyawan perusahaan digantikan oleh upah rata-rata, dana upah tidak boleh berubah. Akibatnya, dalam setiap kasus tertentu, tergantung pada sifat data yang tersedia, hanya ada satu nilai rata-rata yang sebenarnya dari indikator, yang memadai untuk sifat dan esensi dari fenomena sosial-ekonomi yang dipelajari.
Yang paling umum digunakan adalah rata-rata aritmatika, rata-rata harmonik, rata-rata geometrik, rata-rata akar-kuadrat dan rata-rata kubik.
Rata-rata yang terdaftar milik kelas hukum kekuasaan rata-rata dan digabungkan dengan rumus umum:
,
di mana nilai rata-rata fitur yang diselidiki;
m - indikator tingkat rata-rata;
- nilai saat ini (varian) dari atribut rata-rata;
n adalah jumlah fitur.
Bergantung pada nilai eksponen m, jenis sarana daya berikut dibedakan:
pada m = -1 - harmonik rata-rata;
di m = 0 - rata-rata geometrik;
untuk m = 1 - rata-rata aritmatika;
untuk m = 2 - akar-rata-rata-kuadrat;
dengan m = 3 - rata-rata kubik.
Menggunakan data awal yang sama, semakin besar eksponen m dalam rumus di atas, semakin besar nilai rata-rata:
.
Properti hukum kekuasaan ini berarti meningkat dengan peningkatan eksponen dari fungsi penentu disebut aturan rata-rata mayor.
Masing-masing dari rata-rata yang ditandai dapat mengambil dua bentuk: sederhana dan tertimbang.
Bentuk sedang sederhana ini digunakan ketika rata-rata dihitung dari data primer (tidak dikelompokkan). Bentuk tertimbang- saat menghitung rata-rata untuk data sekunder (dikelompokkan).

Rata-rata aritmatika

Rata-rata aritmatika digunakan ketika volume populasi adalah jumlah dari semua nilai individu dari atribut variabel. Perlu dicatat bahwa jika jenis rata-rata tidak ditunjukkan, rata-rata aritmatika tersirat. Rumus logikanya adalah:

Rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan data yang tidak dikelompokkan menurut rumus:
atau ,
di mana nilai individu dari atribut;
j adalah bilangan urut satuan pengamatan, yang dicirikan oleh nilai;
N adalah jumlah unit pengamatan (ukuran populasi).
Contoh. Dalam kuliah "Ringkasan dan pengelompokan data statistik" hasil pengamatan pengalaman kerja tim yang terdiri dari 10 orang dipertimbangkan. Mari kita hitung rata-rata masa kerja para pekerja brigade. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Menurut rumus bilangan prima rata-rata aritmatika, berikut ini juga dihitung: rata-rata kronologis jika interval waktu di mana nilai karakteristik disajikan sama.
Contoh. Volume produk yang dijual untuk kuartal pertama sebesar 47 den. unit, untuk 54 hari kedua, untuk 65 hari ketiga dan 58 hari keempat. unit Omset triwulanan rata-rata adalah (47 + 54 + 65 + 58) / 4 = 56 sarang. unit
Jika indikator momen diberikan dalam rangkaian kronologis, maka ketika menghitung rata-rata, mereka diganti dengan setengah jumlah nilai pada awal dan akhir periode.
Jika ada lebih dari dua momen dan interval di antara keduanya sama, maka rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus kronologis rata-rata.

,
dimana n adalah berapa kali
Dalam kasus ketika data dikelompokkan berdasarkan nilai karakteristik (yaitu, deret distribusi variasi diskrit dibangun) dengan rata-rata tertimbang aritmatika dihitung menggunakan frekuensi atau frekuensi pengamatan nilai-nilai tertentu dari atribut, yang jumlahnya (k) secara signifikan lebih sedikit daripada jumlah pengamatan (N).
,
,
di mana k adalah jumlah grup dari deret variasi,
i - nomor grup dari seri variasi.
Karena, a, kita mendapatkan rumus yang digunakan untuk perhitungan praktis:
dan
Contoh. Mari kita hitung rata-rata senioritas tim kerja untuk baris yang dikelompokkan.
a) menggunakan frekuensi:

b) menggunakan frekuensi:

Dalam kasus ketika data dikelompokkan berdasarkan interval , yaitu disajikan dalam bentuk deret distribusi interval, ketika menghitung rata-rata aritmatika, pertengahan interval diambil sebagai nilai atribut, berdasarkan asumsi distribusi unit populasi yang seragam dalam interval ini. Perhitungan dilakukan sesuai dengan rumus:
dan
di mana adalah tengah interval :,
di mana dan adalah batas bawah dan atas interval (asalkan batas atas interval ini bertepatan dengan batas bawah interval berikutnya).

Contoh. Mari kita hitung rata-rata aritmatika dari deret variasi interval yang dibangun berdasarkan hasil studi tentang upah tahunan 30 pekerja (lihat kuliah "Ringkasan dan pengelompokan data statistik").
Tabel 1 - Variasi interval deret distribusi.

Interval, UAH	Frekuensi, orang	Frekuensi,	Pertengahan interval,
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

hryvnia atau hryvnia
Sarana aritmatika yang dihitung berdasarkan data awal dan seri variasi interval mungkin tidak bertepatan karena distribusi nilai atribut yang tidak merata dalam interval. Dalam hal ini, untuk perhitungan rata-rata tertimbang aritmatika yang lebih akurat, bukan titik tengah interval yang harus digunakan, tetapi rata-rata aritmatika sederhana yang dihitung untuk setiap kelompok ( rata-rata grup). Rata-rata yang dihitung dari rata-rata kelompok dengan menggunakan rumus perhitungan berbobot disebut Rata-rata umum.
Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah sifat.
1. Jumlah deviasi varian dari mean sama dengan nol:
.
2. Jika semua nilai varian bertambah atau berkurang sebesar nilai A, maka nilai rata-rata juga bertambah atau berkurang dengan nilai A yang sama:

3. Jika setiap opsi ditambah atau dikurangi sebanyak B kali, maka nilai rata-rata juga akan naik atau turun dengan jumlah yang sama:
atau
4. Jumlah produk varian dengan frekuensi sama dengan produk nilai rata-rata dengan jumlah frekuensi:

5. Jika semua frekuensi dibagi atau dikalikan dengan sembarang angka, maka rata-rata aritmatika tidak akan berubah:

6) jika dalam semua interval frekuensinya sama satu sama lain, maka rata-rata aritmatika tertimbang sama dengan rata-rata aritmatika sederhana:
,
di mana k adalah jumlah grup dari deret variasi.

Menggunakan properti mean membuatnya lebih mudah untuk menghitung.
Misalkan semua opsi (x) pertama-tama dikurangi dengan angka A yang sama, dan kemudian dikurangi B kali. Penyederhanaan terbesar dicapai ketika nilai tengah interval dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai A, dan nilai interval (untuk baris dengan interval yang sama) dipilih sebagai B. Kuantitas A disebut asal, oleh karena itu metode penghitungan rata-rata ini disebut cara B ohm menghitung dari nol bersyarat atau cara saat.
Setelah transformasi seperti itu, kami memperoleh deret variasi baru dari distribusi, yang variannya sama. Rata-rata aritmatika mereka disebut momen orde pertama, dinyatakan oleh rumus dan menurut sifat kedua dan ketiga dari rata-rata aritmatika sama dengan rata-rata dari opsi asli, dikurangi pertama oleh A, dan kemudian oleh B kali, yaitu.
Menerima rata-rata nyata(rata-rata deret awal), Anda perlu mengalikan momen orde pertama dengan B dan menambahkan A:

Perhitungan mean aritmatika dengan metode momen diilustrasikan oleh data pada Tabel. 2.
Tabel 2 - Distribusi pekerja toko perusahaan berdasarkan masa kerja

Pengalaman kerja, tahun	Jumlah pekerja	Pertengahan interval
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Temukan momen orde pertama ... Kemudian, mengetahui bahwa A = 17,5, dan B = 5, kami menghitung rata-rata lama kerja pekerja toko:
bertahun-tahun

Harmonik rata-rata
Seperti ditunjukkan di atas, rata-rata aritmatika digunakan untuk menghitung nilai rata-rata fitur dalam kasus di mana varian x dan frekuensi f diketahui.
Jika informasi statistik tidak mengandung frekuensi f untuk varian individu x dari populasi, tetapi disajikan sebagai produk mereka, rumus diterapkan tertimbang harmonik rata-rata... Untuk menghitung rata-rata, mari kita tunjukkan di mana. Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus untuk rata-rata tertimbang aritmatika, kita memperoleh rumus untuk rata-rata tertimbang harmonik:
,
dimana adalah volume (berat) dari nilai-nilai atribut indikator pada interval dengan angka i (i = 1,2, ..., k).

Dengan demikian, harmonik rata-rata digunakan dalam kasus di mana bukan opsi itu sendiri yang tunduk pada penjumlahan, tetapi nilai timbal baliknya: .
Dalam kasus di mana bobot setiap opsi sama dengan satu, mis. nilai-nilai individu dari karakteristik terbalik terjadi sekali, itu diterapkan harmonik sederhana sederhana:
,
di mana varian individu dari tanda yang berlawanan, terjadi satu kali pada satu waktu;
N adalah jumlah opsi.
Jika ada rata-rata harmonik untuk dua bagian populasi dan ada rata-rata harmonik, maka rata-rata total untuk seluruh populasi dihitung dengan rumus:

dan disebut rata-rata harmonik tertimbang dari rata-rata grup.

Contoh. Selama perdagangan di bursa mata uang, tiga transaksi diselesaikan pada jam pertama kerja. Data tentang jumlah penjualan hryvnia dan nilai tukar hryvnia dalam kaitannya dengan dolar AS diberikan dalam tabel. 3 (kolom 2 dan 3). Tentukan nilai tukar rata-rata hryvnia terhadap dolar AS untuk jam pertama perdagangan.
Tabel 3 - Data jalannya perdagangan di bursa mata uang

Tingkat dolar rata-rata ditentukan oleh rasio jumlah hryvnia yang terjual selama semua transaksi dengan jumlah dolar yang diperoleh sebagai hasil dari transaksi yang sama. Jumlah total penjualan hryvnia diketahui dari kolom 2 tabel, dan jumlah dolar yang dibeli dalam setiap transaksi ditentukan dengan membagi jumlah penjualan hryvnia dengan tarifnya (kolom 4). Secara total, dalam tiga transaksi, 22 juta dolar dibeli. Ini berarti bahwa rata-rata nilai tukar hryvnia untuk satu dolar adalah
.
Nilai yang dihasilkan adalah nyata, karena menggantinya dengan nilai tukar hryvnia aktual dalam transaksi tidak akan mengubah jumlah total penjualan hryvnia, yang bertindak sebagai indikator yang menentukan: USD juta.
Jika mean aritmatika digunakan untuk perhitungan, mis. hryvnia, maka dengan nilai tukar untuk pembelian $ 22 juta. akan perlu untuk menghabiskan 110,66 juta hryvnyas, yang tidak sesuai dengan kenyataan.

Rata-rata geometris
Rata-rata geometrik digunakan untuk menganalisis dinamika fenomena dan memungkinkan Anda untuk menentukan tingkat pertumbuhan rata-rata. Saat menghitung rata-rata geometrik, nilai individual fitur mewakili indikator relatif dinamika, dibangun dalam bentuk jumlah rantai, sebagai rasio setiap level dengan yang sebelumnya.
Mean geometrik sederhana dihitung dengan rumus:
,
di mana tanda pekerjaan,
N adalah jumlah nilai rata-rata.
Contoh. Jumlah kejahatan yang tercatat selama 4 tahun meningkat 1,57 kali, antara lain 1 - 1,08 kali, 2 - 1,1 kali, 3 - 1,18 kali dan 4 - 1,12 kali. Maka rata-rata laju pertumbuhan tahunan jumlah kejahatan adalah:, yaitu. jumlah kejahatan terdaftar tumbuh rata-rata 12% setiap tahun.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Untuk menghitung mean square weighted, kita tentukan dan masukkan ke dalam tabel dan. Maka nilai rata-rata penyimpangan panjang produk dari norma yang diberikan sama dengan:

Rata-rata aritmatika dalam kasus ini tidak cocok, karena hasilnya akan menjadi nol deviasi.
Penerapan akar rata-rata kuadrat akan dibahas lebih lanjut dalam hal variasi.

Bentuk paling umum dari indikator statistik yang digunakan dalam penelitian sosio-ekonomi adalah nilai rata-rata, yang merupakan karakteristik kuantitatif umum dari atribut populasi statistik. Nilai rata-rata, seolah-olah, adalah "perwakilan" dari seluruh rangkaian pengamatan. Rata-rata dapat ditentukan dalam banyak kasus melalui rasio awal rata-rata (ISC) atau rumus logisnya:. Jadi, misalnya, untuk menghitung upah rata-rata karyawan suatu perusahaan, perlu membagi dana upah total dengan jumlah karyawan: Pembilang rasio awal rata-rata adalah indikator yang menentukan. Untuk upah rata-rata, indikator yang menentukan adalah gaji. Untuk setiap indikator yang digunakan dalam analisis sosial ekonomi, hanya satu rasio dasar yang benar yang dapat dikompilasi untuk menghitung rata-rata. Juga harus ditambahkan bahwa untuk lebih akurat memperkirakan deviasi standar untuk sampel kecil (dengan jumlah elemen kurang dari 30), dalam penyebut ekspresi di bawah akar perlu digunakan not n, A n- 1.

Konsep dan jenis rata-rata

Nilai rata-rata adalah indikator generalisasi populasi statistik, yang menghilangkan perbedaan individu dalam nilai kuantitas statistik, memungkinkan Anda untuk membandingkan populasi yang berbeda satu sama lain. Ada 2 kelas rata-rata: kekuasaan-hukum dan struktural. Sarana struktural termasuk mode dan median , tetapi paling sering digunakan rata-rata daya dari berbagai jenis.

Rata-rata daya

Kekuatan berarti bisa sederhana dan tertimbang.

Rata-rata sederhana dihitung dengan adanya dua atau lebih besaran statistik yang tidak dikelompokkan, disusun dalam urutan arbitrer sesuai dengan rumus rata-rata hukum daya umum berikut (untuk nilai k (m) yang berbeda):

Rata-rata tertimbang dihitung dari statistik yang dikelompokkan menggunakan rumus umum berikut:

Dimana x - nilai rata-rata dari fenomena yang diselidiki; x i - varian ke-i dari fitur rata-rata;

f i adalah bobot opsi ke-i.

Dimana X - nilai kuantitas statistik individu atau tengah interval pengelompokan;
m adalah eksponen, yang nilainya bergantung pada jenis nilai rata-rata hukum kekuasaan berikut:
pada m = -1 rata-rata harmonik;
untuk m = 0, mean geometrik;
untuk m = 1, mean aritmatika;
untuk m = 2 akar rata-rata kuadrat;
untuk m = 3, rata-ratanya adalah kubik.

Dengan menggunakan rumus umum rata-rata sederhana dan rata-rata tertimbang untuk eksponen m yang berbeda, kami memperoleh rumus khusus dari setiap jenis, yang akan dipertimbangkan lebih lanjut secara rinci.

Rata-rata aritmatika

Rata-rata aritmatika - momen awal orde pertama, ekspektasi matematis dari nilai-nilai variabel acak dengan sejumlah besar tes;

Rata-rata aritmatika adalah nilai rata-rata yang paling umum digunakan, yang diperoleh dengan mengganti m = 1 dalam rumus umum. Rata-rata aritmatika sederhana terlihat seperti ini:

atau

Dimana X - nilai kuantitas yang perlu untuk menghitung nilai rata-rata; N adalah jumlah total nilai X (jumlah satuan dalam populasi yang diteliti).

Misalnya, seorang siswa lulus 4 ujian dan mendapatkan nilai berikut: 3, 4, 4 dan 5. Hitung skor rata-rata menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 = 16/4 = 4 . Rata-rata aritmatika tertimbang terlihat seperti ini:

Dimana f adalah jumlah besaran dengan nilai X (frekuensi) yang sama. > Misalnya, seorang siswa lulus 4 ujian dan mendapatkan nilai berikut: 3, 4, 4 dan 5. Hitung skor rata-rata menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika: (3 * 1 + 4 * 2 + 5 * 1) / 4 = 16/4 = 4 ... Jika nilai X ditentukan sebagai interval, maka titik tengah interval X digunakan untuk perhitungan, yang ditentukan sebagai jumlah setengah dari batas atas dan bawah interval. Dan jika interval X tidak memiliki batas bawah atau atas (interval terbuka), maka rentang (selisih antara batas atas dan bawah) dari interval X tetangga digunakan untuk menemukannya. Misalnya, perusahaan memiliki 10 karyawan dengan pengalaman kerja hingga 3 tahun, 20 dengan pengalaman 3 hingga 5 tahun, 5 karyawan dengan pengalaman lebih dari 5 tahun. Kemudian kami menghitung rata-rata masa kerja karyawan sesuai dengan rumus rata-rata tertimbang aritmatika, dengan mengambil X di tengah interval pengalaman (2, 4 dan 6 tahun): (2 * 10 + 4 * 20 + 6 * 5) / (10 + 20 + 5) = 3,71 tahun.

Fungsi RATA-RATA

Fungsi ini menghitung rata-rata (aritmatika) dari argumennya.

RATA-RATA (angka1, angka2, ...)

Number1, number2, ... adalah antara 1 dan 30 argumen yang rata-ratanya dihitung.

Argumen harus berupa angka atau nama, larik atau referensi yang berisi angka. Jika argumen, yang berupa larik atau referensi, berisi teks, nilai boolean, atau sel kosong, maka nilai tersebut diabaikan; namun, sel yang berisi nilai nol akan dihitung.

Fungsi RATA-RATA

Menghitung rata-rata aritmatika dari nilai yang ditentukan dalam daftar argumen. Selain angka, teks dan nilai logika seperti TRUE dan FALSE dapat digunakan dalam perhitungan.

RATA-RATA (nilai1, nilai2, ...)

Nilai1, nilai2, ... adalah antara 1 dan 30 sel, rentang sel, atau nilai yang rata-ratanya dihitung.

Argumen harus berupa angka, nama, array, atau referensi. Array dan tautan yang berisi teks ditafsirkan sebagai 0 (nol). Teks kosong ("") ditafsirkan sebagai 0 (nol). Argumen yang mengandung nilai TRUE ditafsirkan sebagai 1, Argumen yang mengandung nilai FALSE ditafsirkan sebagai 0 (nol).

Rata-rata aritmatika paling sering digunakan, tetapi ada beberapa kasus ketika perlu menggunakan jenis rata-rata lainnya. Kami akan mempertimbangkan kasus-kasus seperti itu lebih lanjut.

Harmonik rata-rata

Harmonic mean untuk menentukan jumlah rata-rata timbal balik;

Harmonik rata-rata ini digunakan ketika data asli tidak mengandung frekuensi f untuk nilai individu X, tetapi disajikan sebagai produk Xf mereka. Menyatakan Xf = w, kami menyatakan f = w / X, dan mensubstitusikan penunjukan ini ke dalam rumus rata-rata aritmatika tertimbang, kami memperoleh rumus untuk rata-rata tertimbang harmonik:

Jadi, pembobotan harmonik rata-rata digunakan ketika frekuensi f tidak diketahui, tetapi w = Xf diketahui. Dalam kasus di mana semua w = 1, yaitu nilai individu X terjadi 1 kali, rumus untuk harmonik sederhana rata-rata diterapkan: atau Misalnya, sebuah mobil melaju dari titik A ke titik B dengan kecepatan 90 km/jam, dan kembali dengan kecepatan 110 km/jam. Untuk menentukan kelajuan rata-rata, kami menerapkan rumus rata-rata harmonik sederhana, karena dalam contoh diberikan jarak w 1 = w 2 (jarak dari titik A ke titik B sama dengan dari B ke A), yang sama dengan hasil kali kecepatan (X) dan waktu (f). Kecepatan rata-rata = (1 + 1) / (1/90 + 1/110) = 99 km / jam.

Fungsi SRGARM

Mengembalikan rata-rata harmonik dari kumpulan data. Rata-rata harmonik adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika dari kebalikannya.

SRGARM (nomor1; nomor2; ...)

Number1, number2, ... adalah antara 1 dan 30 argumen yang rata-ratanya dihitung. Anda dapat menggunakan array atau referensi array alih-alih argumen yang dipisahkan oleh titik koma.

Rata-rata harmonik selalu lebih kecil dari rata-rata geometrik, yang selalu lebih kecil dari rata-rata aritmatika.

Rata-rata geometris

Rata-rata geometrik untuk menilai tingkat pertumbuhan rata-rata variabel acak, menemukan nilai fitur yang berjarak sama dari nilai minimum dan maksimum;

Rata-rata geometris digunakan dalam menentukan rata-rata perubahan relatif. Rata-rata geometrik memberikan hasil rata-rata yang paling akurat jika tugasnya adalah menemukan nilai X yang berjarak sama dari nilai maksimum dan minimum X. Misalnya, antara tahun 2005 dan 2008indeks inflasi di Rusia adalah: pada 2005 - 1,109; pada tahun 2006 - 1.090; pada tahun 2007 - 1.119; pada tahun 2008 - 1.133. Karena indeks inflasi adalah perubahan relatif (indeks dinamika), nilai rata-rata harus dihitung menggunakan mean geometrik: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, yaitu untuk periode 2005 hingga tahun 2008 harga tumbuh rata-rata 11,26% per tahun. Perhitungan yang salah menggunakan rata-rata aritmatika akan memberikan hasil yang salah sebesar 11,28%.

Fungsi SRGEOM

Mengembalikan rata-rata geometrik larik atau interval bilangan positif. Misalnya, Anda dapat menggunakan fungsi SRGEOM untuk menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata jika Anda menentukan pendapatan majemuk tingkat variabel.

SRGEOM (nomor1; nomor2; ...)

Angka1, angka2, ... adalah antara 1 dan 30 argumen yang rata-rata geometriknya dihitung. Anda dapat menggunakan array atau referensi array alih-alih argumen yang dipisahkan oleh titik koma.

Akar berarti kuadrat

Akar kuadrat rata-rata adalah momen awal orde kedua.

Akar berarti kuadrat ini digunakan dalam kasus di mana nilai awal X bisa positif dan negatif, misalnya, saat menghitung deviasi rata-rata. Aplikasi utama dari mean kuadrat adalah untuk mengukur variasi nilai X.

Kubik rata-rata

Rata-rata kubik - momen awal orde ketiga.

Kubik rata-rata ini sangat jarang digunakan, misalnya, ketika menghitung indeks kemiskinan populasi untuk negara berkembang (INN-1) dan untuk negara maju (INN-2), diusulkan dan dihitung oleh PBB.

Dalam statistik, berbagai jenis rata-rata digunakan, yang dibagi menjadi dua kelas besar:

Daya rata-rata (rata-rata harmonik, rata-rata geometrik, rata-rata aritmatika, rata-rata kuadrat, rata-rata kubik);

Sarana struktural (fashion, median).

Menghitung rata-rata daya semua nilai karakteristik yang tersedia harus digunakan. Mode dan median ditentukan hanya oleh struktur distribusi, oleh karena itu disebut struktural, rata-rata posisi. Median dan modus sering digunakan sebagai karakteristik rata-rata dalam populasi yang menghitung mean daya tidak mungkin atau tidak praktis.

Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika. Dibawah rata-rata aritmatika makna suatu ciri dipahami bahwa setiap unit populasi akan memiliki jika total semua nilai fitur didistribusikan secara merata di antara semua unit populasi. Perhitungan nilai ini direduksi menjadi penjumlahan semua nilai atribut variabel dan membagi jumlah yang dihasilkan dengan jumlah total unit dalam populasi. Misalnya, lima pekerja memenuhi pesanan untuk pembuatan suku cadang, sedangkan yang pertama membuat 5 suku cadang, yang kedua - 7, yang ketiga - 4, yang keempat - 10, yang kelima - 12. Karena pada data awal nilai masing-masing pilihan itu hanya ditemui sekali, untuk menentukan

Untuk menentukan keluaran rata-rata satu pekerja, rumus rata-rata aritmatika sederhana harus diterapkan:

yaitu, dalam contoh kita, output rata-rata satu pekerja sama dengan

Seiring dengan rata-rata aritmatika sederhana, pelajari rata-rata aritmatika tertimbang. Misalnya, mari kita hitung usia rata-rata siswa dalam kelompok 20, yang usianya berkisar antara 18 hingga 22, di mana xi- varian fitur rata-rata, fi- frekuensi, yang menunjukkan berapa kali itu terjadi aku-itu nilai agregat (Tabel 5.1).

Tabel 5.1

Usia rata-rata siswa

Menerapkan rumus untuk rata-rata tertimbang aritmatika, kita mendapatkan:

Ada aturan tertentu untuk memilih rata-rata aritmatika tertimbang: jika ada serangkaian data pada dua indikator, untuk salah satunya perlu dihitung

nilai rata-rata, dan pada saat yang sama nilai numerik penyebut rumus logisnya diketahui, dan nilai pembilangnya tidak diketahui, tetapi dapat ditemukan sebagai produk dari indikator-indikator ini, maka nilai rata-rata harus dihitung menurut rumus rata-rata aritmatika tertimbang.

Dalam beberapa kasus, sifat data statistik awal sedemikian rupa sehingga perhitungan rata-rata aritmatika kehilangan maknanya dan satu-satunya indikator generalisasi hanya dapat berupa jenis rata-rata lain - harmonik rata-rata. Saat ini, sifat komputasi dari rata-rata aritmatika telah kehilangan relevansinya dalam perhitungan indikator statistik umum sehubungan dengan pengenalan luas teknologi komputasi elektronik. Nilai harmonik rata-rata, yang juga dapat sederhana dan berbobot, telah memperoleh kepentingan praktis yang besar. Jika nilai numerik dari pembilang rumus logis diketahui, dan nilai penyebut tidak diketahui, tetapi dapat ditemukan sebagai pembagian hasil bagi satu indikator dengan indikator lainnya, maka nilai rata-rata dihitung menggunakan harmonik. rumus rata-rata tertimbang.

Misalnya, diketahui bahwa mobil menempuh 210 km pertama dengan kecepatan 70 km/jam, dan sisanya 150 km dengan kecepatan 75 km/jam. Tidak mungkin menentukan kecepatan rata-rata sebuah mobil sepanjang perjalanan 360 km menggunakan rumus rata-rata aritmatika. Karena opsinya adalah kecepatan di masing-masing bagian xj= 70 km / jam dan X2= 75 km / jam, dan bobot (fi) adalah segmen jalan yang sesuai, maka produk dari opsi dengan bobot tidak akan memiliki arti fisik maupun ekonomi. Dalam hal ini, hasil bagi dari membagi bagian-bagian jalan menjadi kecepatan yang sesuai (opsi xi), yaitu, waktu yang dihabiskan untuk melewati masing-masing bagian jalan (fi / xi). Jika segmen jalur dilambangkan dengan fi, maka seluruh jalur akan dinyatakan sebagai Fi, dan waktu yang dihabiskan di seluruh jalur - bagaimana? fi / xi , Kemudian kecepatan rata-rata dapat ditemukan sebagai hasil bagi membagi seluruh jalur dengan total waktu yang dibutuhkan:

Dalam contoh kami, kami mendapatkan:

Jika, saat menggunakan bobot harmonik rata-rata dari semua opsi (f) adalah sama, maka alih-alih yang berbobot, Anda dapat menggunakan rata-rata harmonik sederhana (tidak berbobot):

di mana xi adalah opsi individual; n- jumlah varian fitur rata-rata. Dalam contoh dengan kecepatan, rata-rata harmonik sederhana dapat diterapkan jika segmen jalur yang dilalui pada kecepatan yang berbeda adalah sama.

Nilai rata-rata apa pun harus dihitung sehingga ketika menggantikan setiap varian fitur rata-rata, nilai beberapa indikator generalisasi akhir, yang dikaitkan dengan indikator rata-rata, tidak berubah. Jadi, ketika mengganti kecepatan sebenarnya pada masing-masing bagian jalan dengan nilai rata-ratanya (kecepatan rata-rata), jarak total tidak boleh berubah.

Bentuk (rumus) nilai rata-rata ditentukan oleh sifat (mekanisme) hubungan indikator akhir ini dengan rata-rata, oleh karena itu indikator akhir, yang nilainya tidak boleh berubah saat mengganti opsi dengan nilai rata-ratanya, adalah ditelepon indikator yang menentukan. Untuk menurunkan rumus rata-rata, Anda perlu menyusun dan menyelesaikan persamaan menggunakan hubungan indikator rata-rata dengan indikator yang menentukan. Persamaan ini dibangun dengan mengganti varian dari atribut rata-rata (indikator) dengan nilai rata-ratanya.

Selain mean aritmatika dan mean harmonik, jenis (bentuk) mean lain juga digunakan dalam statistik. Mereka semua adalah kasus khusus. rata-rata kekuatan hukum. Jika kita menghitung semua jenis rata-rata hukum pangkat untuk data yang sama, maka nilainya

mereka akan berubah menjadi sama, aturannya berlaku di sini peringkat utama medium. Dengan peningkatan eksponen rata-rata, nilai rata-rata itu sendiri juga meningkat. Rumus yang paling sering digunakan dalam penelitian praktis untuk menghitung berbagai jenis nilai mean power-law disajikan pada Tabel. 5.2.

Tabel 5.2

Jenis rata-rata daya

Rata-rata geometrik diterapkan jika tersedia. n faktor pertumbuhan, sedangkan nilai individu dari fitur, sebagai suatu peraturan, adalah nilai relatif dari dinamika, dibangun dalam bentuk kuantitas rantai, sebagai hubungan dengan level sebelumnya dari setiap level dalam rangkaian dinamika. . Rata-rata dengan demikian mencirikan tingkat pertumbuhan rata-rata. Rata-rata geometris sederhana dihitung dengan rumus

Rumus rata-rata tertimbang geometris terlihat seperti ini:

Rumus yang diberikan identik, tetapi satu diterapkan pada tingkat saat ini atau tingkat pertumbuhan, dan yang kedua - pada nilai absolut dari tingkat seri.

Akar berarti kuadrat digunakan saat menghitung dengan nilai fungsi kuadrat, digunakan untuk mengukur derajat variabilitas nilai individu suatu fitur di sekitar mean aritmatika dalam deret distribusi dan dihitung dengan rumus

Persegi rata-rata tertimbang dihitung menggunakan rumus yang berbeda:

Kubik rata-rata digunakan saat menghitung dengan nilai fungsi kubik dan dihitung dengan rumus

kubik rata-rata tertimbang:

Semua rata-rata yang dibahas di atas dapat disajikan dalam bentuk rumus umum:

di mana adalah nilai rata-rata; - nilai individu; n- jumlah unit populasi yang diteliti; k- eksponen yang menentukan jenis rata-rata.

Saat menggunakan data awal yang sama, semakin banyak k dalam rumus umum daya-hukum rata-rata, semakin besar nilai rata-rata. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ada hubungan reguler antara nilai rata-rata daya:

Nilai rata-rata yang dijelaskan di atas memberikan gambaran umum tentang agregat yang dipelajari, dan dari sudut pandang ini, nilai teoretis, terapan, dan kognitifnya tidak dapat disangkal. Tetapi kebetulan nilai rata-rata tidak sesuai dengan salah satu opsi yang benar-benar ada, oleh karena itu, selain rata-rata yang dipertimbangkan dalam analisis statistik, disarankan untuk menggunakan nilai opsi tertentu, yang menempati cukup posisi tertentu dalam urutan (peringkat) serangkaian nilai fitur. Di antara nilai-nilai ini, yang paling umum adalah struktural, atau deskriptif, sedang- modus (Mo) dan median (Me).

Mode- nilai fitur yang paling sering ditemukan dalam populasi tertentu. Berkenaan dengan deret variasi, modus adalah nilai deret peringkat yang paling sering muncul, yaitu varian dengan frekuensi tertinggi. Fashion dapat digunakan untuk menentukan toko mana yang lebih sering dikunjungi dan harga yang paling umum untuk suatu produk. Ini menunjukkan ukuran karakteristik fitur dari sebagian besar populasi, dan ditentukan oleh rumus

di mana x0 adalah batas bawah interval; H- ukuran interval; fm- frekuensi interval; fm_ 1 - frekuensi interval sebelumnya; fm + 1 - frekuensi interval berikutnya.

median disebut varian yang terletak di tengah baris peringkat. Median membagi baris menjadi dua bagian yang sama sedemikian rupa sehingga jumlah unit populasi yang sama terletak di kedua sisinya. Pada saat yang sama, di satu setengah dari unit populasi, nilai atribut yang bervariasi kurang dari median, di yang lain - lebih dari itu. Median digunakan ketika mempelajari suatu elemen, yang nilainya lebih besar dari atau sama dengan atau secara bersamaan lebih kecil dari atau sama dengan setengah dari elemen-elemen deret distribusi. Median memberikan gambaran umum tentang di mana nilai atribut terkonsentrasi, dengan kata lain, di mana pusatnya berada.

Sifat deskriptif median dimanifestasikan dalam kenyataan bahwa ia mencirikan batas kuantitatif nilai-nilai atribut yang bervariasi, yang dimiliki oleh setengah dari unit populasi. Masalah menemukan median untuk deret variasi diskrit mudah dipecahkan. Jika kita menetapkan bilangan urut ke semua satuan deret, maka bilangan urut varian median ditentukan sebagai (n+1)/2 dengan jumlah anggota ganjil n. Jika jumlah anggota deret adalah bilangan genap , maka median akan menjadi rata-rata dari dua opsi dengan nomor urut n/ 2 dan n/ 2 + 1.

Saat menentukan median dalam deret variasi interval, interval tempatnya (interval median) pertama-tama ditentukan. Interval ini dicirikan oleh fakta bahwa jumlah frekuensi yang terakumulasi sama dengan atau melebihi jumlah setengah dari semua frekuensi dalam seri. Median dari deret variasi interval dihitung dengan menggunakan rumus

di mana X0- batas bawah interval; H- ukuran interval; fm- frekuensi interval; F- jumlah anggota seri;

M -1 - jumlah akumulasi anggota dari seri sebelumnya yang satu ini.

Seiring dengan median, untuk karakterisasi yang lebih lengkap dari struktur populasi yang diteliti, nilai opsi lain digunakan, yang menempati posisi yang ditentukan dengan baik dalam deret peringkat. Ini termasuk kuartil dan desil. Kuartil membagi deret dengan jumlah frekuensi menjadi 4 bagian yang sama, dan desil menjadi 10 bagian yang sama. Ada tiga kuartil dan sembilan desil.

Median dan mode, berbeda dengan mean aritmatika, tidak menghilangkan perbedaan individu dalam nilai atribut variabel dan oleh karena itu merupakan karakteristik tambahan dan sangat penting dari populasi statistik. Dalam praktiknya, mereka sering digunakan sebagai pengganti atau di samping rata-rata. Sangat disarankan untuk menghitung median dan modus dalam kasus-kasus ketika populasi yang diteliti berisi sejumlah unit tertentu dengan nilai yang sangat besar atau sangat kecil dari atribut yang bervariasi. Ini, tidak terlalu khas untuk nilai agregat opsi, yang memengaruhi nilai rata-rata aritmatika, tidak memengaruhi nilai median dan mode, yang menjadikan yang terakhir ini indikator yang sangat berharga untuk analisis ekonomi dan statistik.

Dalam matematika, rata-rata aritmatika angka (atau hanya rata-rata) adalah jumlah semua angka dalam himpunan tertentu, dibagi dengan jumlahnya. Ini adalah konsep rata-rata yang paling umum dan tersebar luas. Seperti yang sudah Anda pahami, untuk menemukan nilai rata-rata, Anda perlu menjumlahkan semua angka yang diberikan kepada Anda, dan membagi hasilnya dengan jumlah suku.

Apa yang dimaksud dengan aritmatika?

Mari kita ambil contoh.

Contoh 1... Angka yang diberikan: 6, 7, 11. Anda perlu menemukan nilai rata-ratanya.

Larutan.

Pertama, mari kita cari jumlah semua angka ini.

Sekarang mari kita bagi jumlah yang dihasilkan dengan jumlah suku. Karena kami memiliki tiga suku, masing-masing, kami akan membaginya dengan tiga.

Jadi, rata-rata dari 6, 7 dan 11 adalah 8. Mengapa 8? Karena jumlah 6, 7 dan 11 akan sama dengan tiga delapan. Ini terlihat jelas dalam ilustrasi.

Rata-rata agak mengingatkan pada "kesejajaran" dari serangkaian angka. Seperti yang Anda lihat, tumpukan pensil telah menjadi satu tingkat.

Mari kita pertimbangkan contoh lain untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh.

Contoh 2. Angka yang diberikan: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Anda perlu menemukan rata-rata aritmatikanya.

Larutan.

Kami menemukan jumlahnya.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Bagilah dengan jumlah suku (dalam hal ini - 15).

Jadi, nilai rata-rata deret bilangan ini adalah 22.

Sekarang mari kita lihat angka negatif. Mari kita ingat bagaimana meringkasnya. Misalnya, Anda memiliki dua angka 1 dan -4. Mari kita cari jumlah mereka.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Dengan mengingat hal ini, pertimbangkan contoh lain.

Contoh 3. Temukan nilai rata-rata dari serangkaian angka: 3, -7, 5, 13, -2.

Larutan.

Temukan jumlah angkanya.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Karena ada 5 suku, kami membagi jumlah yang dihasilkan dengan 5.

Jadi, rata-rata aritmatika dari bilangan 3, -7, 5, 13, -2 adalah 2,4.

Di zaman kemajuan teknologi kita, jauh lebih nyaman menggunakan program komputer untuk menemukan nilai rata-rata. Microsoft Office Excel adalah salah satunya. Menemukan rata-rata di Excel cepat dan mudah. Apalagi program ini termasuk dalam paket perangkat lunak Microsoft Office. Mari kita lihat panduan singkat tentang cara menemukan mean aritmatika menggunakan program ini.

Untuk menghitung nilai rata-rata dari serangkaian angka, Anda perlu menggunakan fungsi AVERAGE. Sintaks untuk fungsi ini adalah:
= Rata-rata (argumen1, argumen2, ...argumen255)
di mana argument1, argument2, ... argument255 adalah angka atau referensi sel (sel berarti rentang dan larik).

Agar lebih jelas, mari kita coba ilmu yang didapat.

1. Masukkan angka 11, 12, 13, 14, 15, 16 di sel C1 - C6.
2. Pilih sel C7 dengan mengkliknya. Di sel ini, kami akan menampilkan nilai rata-rata.
3. Klik pada tab Rumus.
4. Pilih More Functions> Statistical untuk membuka daftar drop-down.
5. Pilih RATA-RATA. Setelah itu, kotak dialog akan terbuka.
6. Pilih dan seret sel C1-C6 ke sana untuk mengatur rentang di kotak dialog.
7. Konfirmasikan tindakan Anda dengan tombol "OK".
8. Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, di sel C7 Anda harus memiliki jawabannya - 13.7. Saat Anda mengklik sel C7, fungsi (= Rata-rata (C1: C6)) akan ditampilkan di bilah rumus.

Sangat nyaman untuk menggunakan fungsi ini untuk akuntansi, faktur, atau ketika Anda hanya perlu menemukan rata-rata dari serangkaian angka yang sangat panjang. Oleh karena itu, sering digunakan di kantor dan perusahaan besar. Ini memungkinkan Anda untuk menyimpan catatan secara berurutan dan memungkinkan untuk menghitung sesuatu dengan cepat (misalnya, pendapatan rata-rata per bulan). Juga, dengan menggunakan Excel, Anda dapat menemukan nilai rata-rata dari fungsi tersebut.

Rata-rata

Istilah ini memiliki arti lain, lihat berarti.

Rata-rata(dalam matematika dan statistik) satu set angka adalah jumlah dari semua angka dibagi dengan jumlah mereka. Ini adalah salah satu ukuran tren sentral yang paling umum.

Itu diusulkan (bersama dengan rata-rata geometris dan rata-rata harmonik) oleh Pythagoras.

Kasus khusus dari mean aritmatika adalah mean (dari populasi umum) dan mean sampel (sampel).

pengantar

Kami menunjukkan kumpulan data x = (x 1 , x 2 , …, x n), maka mean sampel biasanya ditunjukkan dengan bilah horizontal di atas variabel (x (\ displaystyle (\ bar (x))), diucapkan “ x dengan garis").

Huruf Yunani digunakan untuk menunjukkan mean aritmatika dari seluruh populasi. Untuk variabel acak yang nilai rata-ratanya ditentukan, adalah rata-rata probabilistik atau ekspektasi matematis dari variabel acak. Jika himpunan x adalah kumpulan bilangan acak dengan mean probabilistik , maka untuk setiap sampel x Saya dari koleksi ini = E ( x Saya) adalah ekspektasi matematis dari sampel ini.

Dalam praktiknya, perbedaan antara dan x (\ displaystyle (\ bar (x))) adalah bahwa adalah variabel tipikal karena Anda dapat melihat sampel daripada seluruh populasi. Oleh karena itu, jika sampel disajikan secara acak (dalam hal teori probabilitas), maka x (\ displaystyle (\ bar (x))) (tetapi bukan ) dapat diperlakukan sebagai variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas atas sampel (distribusi probabilitas mean).

Kedua besaran ini dihitung dengan cara yang sama:

X = 1 n i = 1 n x i = 1 n (x 1 + + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

Jika x adalah variabel acak, maka harapan matematis x dapat dianggap sebagai nilai rata-rata aritmatika dalam pengukuran berulang dari suatu kuantitas x... Ini adalah manifestasi dari hukum bilangan besar. Oleh karena itu, mean sampel digunakan untuk memperkirakan ekspektasi matematis yang tidak diketahui.

Terbukti dalam aljabar dasar bahwa mean n+ 1 angka di atas rata-rata n angka jika dan hanya jika angka baru lebih besar dari rata-rata lama, kurang jika dan hanya jika angka baru lebih kecil dari rata-rata, dan tidak berubah jika dan hanya jika angka baru sama dengan rata-rata. Lebih n, semakin kecil perbedaan antara rata-rata baru dan lama.

Perhatikan bahwa ada beberapa nilai "rata-rata" lainnya, termasuk rata-rata pangkat, rata-rata Kolmogorov, rata-rata harmonik, rata-rata aritmatika-geometris, dan berbagai rata-rata tertimbang (misalnya, rata-rata aritmatika tertimbang, rata-rata geometris tertimbang, rata-rata harmonik tertimbang).

Contoh dari

• Untuk tiga angka, tambahkan dan bagi dengan 3:

x 1 + x 2 + x 3 3. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)

• Untuk empat angka, tambahkan dan bagi dengan 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

Atau lebih sederhananya 5 + 5 = 10, 10: 2. Karena kami menambahkan 2 angka, yang berarti berapa banyak angka yang kami tambahkan, kami membaginya dengan banyak.

Variabel acak kontinu

Untuk kuantitas yang terdistribusi secara kontinu f (x) (\ gaya tampilan f (x)), mean aritmatika pada segmen [a; b] (\ displaystyle) didefinisikan dalam integral tertentu:

F (x) [a; b] = 1 b - a abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x)))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f(x)dx)

Beberapa masalah dalam menggunakan mean

Kurangnya ketangguhan

Artikel utama: Ketangguhan dalam statistik

Meskipun rata-rata aritmatika sering digunakan sebagai rata-rata atau tendensi sentral, ini bukan statistik yang kuat, yang berarti bahwa rata-rata aritmatika sangat dipengaruhi oleh "deviasi besar". Patut dicatat bahwa untuk distribusi dengan koefisien kemiringan yang besar, rata-rata aritmatika mungkin tidak sesuai dengan konsep "rata-rata", dan nilai rata-rata dari statistik yang kuat (misalnya, median) dapat menggambarkan tren pusat dengan lebih baik.

Contoh klasik adalah menghitung pendapatan rata-rata. Rata-rata aritmatika dapat disalahartikan sebagai median, yang dapat mengarah pada kesimpulan bahwa ada lebih banyak orang dengan pendapatan lebih tinggi daripada yang sebenarnya. Pendapatan "rata-rata" ditafsirkan sedemikian rupa sehingga pendapatan kebanyakan orang mendekati angka ini. Pendapatan "rata-rata" ini (dalam arti rata-rata aritmatika) lebih tinggi daripada pendapatan kebanyakan orang, karena pendapatan yang tinggi dengan penyimpangan besar dari rata-rata membuat rata-rata aritmatika sangat miring (sebaliknya, pendapatan median "menolak" seperti itu). bias). Namun, pendapatan "rata-rata" ini tidak mengatakan apa-apa tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan rata-rata (dan tidak mengatakan apa-apa tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan modal). Namun demikian, jika Anda menganggap enteng konsep "rata-rata" dan "mayoritas orang", maka Anda dapat membuat kesimpulan yang salah bahwa kebanyakan orang memiliki pendapatan lebih tinggi dari yang sebenarnya. Misalnya, laporan tentang pendapatan bersih "rata-rata" di Medina, Washington, yang dihitung sebagai rata-rata aritmatika dari pendapatan bersih tahunan semua penduduk, akan menghasilkan jumlah yang sangat besar karena Bill Gates. Pertimbangkan sampel (1, 2, 2, 2, 3, 9). Rata-rata aritmatika adalah 3,17, tetapi lima dari enam nilai berada di bawah rata-rata ini.

Bunga majemuk

Artikel utama: Pengembalian investasi

Jika angka berkembang biak, tapi tidak melipat, Anda perlu menggunakan mean geometrik, bukan mean aritmatika. Paling sering, kejadian ini terjadi ketika menghitung laba atas investasi di bidang keuangan.

Misalnya, jika saham turun 10% di tahun pertama dan naik 30% di tahun kedua, maka tidak benar menghitung kenaikan "rata-rata" selama dua tahun ini sebagai mean aritmatika (-10% + 30%) / 2 = 10%; nilai rata-rata yang benar dalam hal ini diberikan oleh tingkat pertumbuhan kumulatif tahunan, di mana pertumbuhan tahunan hanya sekitar 8,16653826392% 8,2%.

Alasan untuk ini adalah bahwa persentase memiliki titik awal baru setiap kali: 30% adalah 30%. dari angka yang kurang dari harga pada awal tahun pertama: jika saham berada di $30 di awal dan turun 10%, itu berada di $27 di awal tahun kedua. Jika stoknya naik 30%, nilainya $ 35,1 pada akhir tahun kedua. Rata-rata aritmatika dari pertumbuhan ini adalah 10%, tetapi karena stok hanya $5,1 dalam 2 tahun, kenaikan rata-rata 8,2% memberikan hasil akhir $35,1:

[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Jika kita menggunakan rata-rata aritmatika 10% dengan cara yang sama, kita tidak akan mendapatkan nilai sebenarnya: [$ 30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $ 36,3].

Senyawa pada akhir Tahun 2: 90% * 130% = 117% untuk peningkatan total 17%, dan CAGR 117% 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ kira-kira 108,2 \% ), yaitu, pertumbuhan tahunan rata-rata 8,2%.

Petunjuk arah

Artikel utama: Statistik tujuan

Saat menghitung rata-rata aritmatika dari beberapa variabel yang berubah secara siklis (misalnya, fase atau sudut), perhatian khusus harus diberikan. Misalnya, rata-rata 1 ° dan 359 ° adalah 1 + 359 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 °. Jumlah ini salah karena dua alasan.

• Pertama, standar sudut hanya ditentukan untuk rentang 0 ° hingga 360 ° (atau 0 hingga 2π bila diukur dalam radian). Dengan demikian, pasangan angka yang sama dapat ditulis sebagai (1 ° dan 1 °) atau sebagai (1 ° dan 719 °). Rata-rata setiap pasangan akan berbeda: 1 + (- 1 ) 2 = 0 (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 + 719 2 = 360 (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
• Kedua, dalam hal ini, 0 ° (setara dengan 360 °) akan menjadi rata-rata geometris yang lebih baik, karena angka-angka tersebut menyimpang lebih sedikit dari 0 ° daripada dari nilai lainnya (0 ° memiliki varians paling sedikit). Membandingkan:
  • angka 1 ° menyimpang dari 0 ° hanya dengan 1 °;
  • angka 1 ° menyimpang dari rata-rata yang dihitung 180 ° sebesar 179 °.

Nilai rata-rata untuk variabel siklik, yang dihitung menggunakan rumus di atas, akan digeser secara artifisial dari rata-rata nyata ke tengah rentang numerik. Karena itu, mean dihitung dengan cara yang berbeda, yaitu, angka dengan varians terkecil (titik tengah) dipilih sebagai mean. Selain itu, daripada mengurangkan, digunakan jarak modular (yaitu jarak keliling). Misalnya, jarak modular antara 1 ° dan 359 ° adalah 2 °, bukan 358 ° (pada lingkaran antara 359 ° dan 360 ° == 0 ° - satu derajat, antara 0 ° dan 1 ° - juga 1 °, secara total - 2 °).

Rata-rata tertimbang - apa itu dan bagaimana menghitungnya?

Dalam proses belajar matematika, anak sekolah berkenalan dengan konsep mean aritmatika. Kemudian dalam statistika dan beberapa ilmu lainnya, siswa dihadapkan pada perhitungan nilai rata-rata lainnya. Apa yang bisa mereka dan bagaimana mereka berbeda satu sama lain?

Nilai rata-rata: makna dan perbedaan

Tidak selalu indikator yang akurat memberikan pemahaman tentang situasi. Untuk menilai situasi tertentu, terkadang perlu menganalisis sejumlah besar angka. Dan kemudian rata-rata datang untuk menyelamatkan. Mereka memungkinkan untuk menilai situasi secara keseluruhan.

Sejak masa sekolah, banyak orang dewasa mengingat keberadaan mean aritmatika. Sangat mudah untuk menghitung - jumlah barisan n anggota habis dibagi n. Artinya, jika Anda perlu menghitung rata-rata aritmatika dalam urutan nilai 27, 22, 34 dan 37, maka Anda perlu menyelesaikan ekspresi (27 + 22 + 34 + 37) / 4, karena 4 nilai digunakan dalam perhitungan. Dalam hal ini, nilai yang diperlukan akan sama dengan 30.

Seringkali, dalam kerangka kursus sekolah, rata-rata geometrik juga dipelajari. Perhitungan nilai ini didasarkan pada ekstraksi akar ke-n dari produk suku-n. Jika kita mengambil angka yang sama: 27, 22, 34 dan 37, maka hasil perhitungannya adalah 29,4.

Harmonic mean dalam pendidikan umum sekolah biasanya bukan merupakan mata pelajaran. Namun demikian, ini cukup sering digunakan. Nilai ini adalah kebalikan dari mean aritmatika dan dihitung sebagai hasil bagi n - jumlah nilai dan jumlah 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Jika kita kembali mengambil deret angka yang sama untuk perhitungan, maka harmoniknya adalah 29,6.

Rata-rata tertimbang: fitur

Namun, semua nilai di atas mungkin tidak digunakan di mana-mana. Misalnya, dalam statistik, saat menghitung beberapa nilai rata-rata, "bobot" dari setiap angka yang digunakan dalam perhitungan memainkan peran penting. Hasilnya lebih indikatif dan benar karena memperhitungkan lebih banyak informasi. Kelompok nilai ini secara kolektif disebut sebagai "rata-rata tertimbang". Mereka tidak lulus di sekolah, jadi ada baiknya memikirkan mereka lebih detail.

Pertama-tama, ada baiknya memberi tahu apa yang dimaksud dengan "bobot" dari nilai ini atau itu. Cara termudah untuk menjelaskan ini adalah dengan contoh spesifik. Suhu tubuh setiap pasien diukur dua kali sehari di rumah sakit. Dari 100 pasien di berbagai departemen rumah sakit, 44 akan memiliki suhu normal - 36,6 derajat. 30 lainnya akan memiliki nilai yang meningkat - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, dan dua sisanya - 40. Dan jika kita mengambil mean aritmatika, maka nilai ini secara umum untuk rumah sakit akan lebih dari 38 derajat! Tetapi hampir setengah dari pasien memiliki suhu yang benar-benar normal. Dan di sini akan lebih tepat untuk menggunakan nilai rata-rata tertimbang, dan "bobot" dari setiap nilai adalah jumlah orang. Dalam hal ini, hasil perhitungan akan menjadi 37,25 derajat. Perbedaannya jelas.

Dalam kasus perhitungan rata-rata tertimbang, "berat" dapat diambil sebagai jumlah pengiriman, jumlah orang yang bekerja pada hari tertentu, secara umum, apa pun yang dapat diukur dan mempengaruhi hasil akhir.

Varietas

Rata-rata tertimbang sesuai dengan rata-rata aritmatika yang dibahas di awal artikel. Namun, nilai pertama, seperti yang telah disebutkan, juga memperhitungkan bobot setiap angka yang digunakan dalam perhitungan. Selain itu, juga terdapat nilai rata-rata berbobot geometris dan harmonik.

Ada variasi menarik lainnya yang digunakan dalam rangkaian angka. Ini adalah rata-rata bergerak tertimbang. Atas dasar itulah tren dihitung. Selain nilai itu sendiri dan bobotnya, periodisitas juga digunakan di sana. Dan ketika menghitung nilai rata-rata di beberapa titik waktu, nilai untuk interval waktu sebelumnya juga diperhitungkan.

Menghitung semua nilai ini tidak terlalu sulit, tetapi dalam praktiknya hanya rata-rata tertimbang yang biasa digunakan.

Metode perhitungan

Di era komputerisasi yang masif, tidak perlu menghitung rata-rata tertimbang secara manual. Namun, akan berguna untuk mengetahui rumus perhitungan sehingga Anda dapat memeriksa dan, jika perlu, mengoreksi hasil yang diperoleh.

Cara termudah untuk mempertimbangkan perhitungan adalah dengan contoh spesifik.

Penting untuk mengetahui berapa upah rata-rata di perusahaan ini, dengan mempertimbangkan jumlah pekerja yang menerima penghasilan ini atau itu.

Jadi, rata-rata tertimbang dihitung menggunakan rumus berikut:

x = (a 1 * w 1 + a 2 * w 2 + ... + a n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)

Misalnya, perhitungannya akan seperti ini:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

Jelas, tidak ada kesulitan khusus dalam menghitung rata-rata tertimbang secara manual. Rumus untuk menghitung nilai ini di salah satu aplikasi paling populer dengan rumus - Excel - terlihat seperti fungsi SUMPRODUCT (rangkaian angka; rangkaian bobot) / SUM (rangkaian bobot).

Bagaimana cara mencari rata-rata di excel?

Bagaimana cara mencari mean aritmatika di excel?

Vladimir09854

Mudah sekali. Hanya membutuhkan 3 sel untuk menemukan rata-rata di excel. Yang pertama kita akan menulis satu nomor, yang kedua - yang lain. Dan di sel ketiga, kita akan membuat rumus yang akan memberi kita nilai rata-rata antara dua angka ini dari sel pertama dan kedua. Jika sel nomor 1 disebut A1, sel nomor 2 disebut B1, maka di sel dengan rumus Anda perlu menulis sebagai berikut:

Rumus ini menghitung rata-rata aritmatika dari dua angka.

Untuk keindahan perhitungan kami, Anda dapat memilih sel dengan garis, dalam bentuk piring.

Ada juga fungsi untuk menentukan nilai rata-rata di Excel itu sendiri, tetapi saya menggunakan metode kuno dan memasukkan rumus yang saya butuhkan. Jadi, saya yakin bahwa Excel akan menghitung persis seperti yang saya butuhkan, dan tidak akan menghasilkan semacam pembulatan sendiri.

M3sergey

Sangat mudah jika data sudah dimasukkan ke dalam sel. Jika Anda hanya tertarik pada suatu angka, cukup memilih rentang / rentang yang diperlukan, dan nilai jumlah angka-angka ini, rata-rata aritmatika dan nomornya akan muncul di kanan bawah bilah status.

Anda dapat memilih sel kosong, klik pada segitiga (daftar drop-down) "Jumlah Otomatis" dan pilih "Rata-rata" di sana, lalu setujui kisaran yang diusulkan untuk perhitungan, atau pilih sendiri.

Terakhir, Anda dapat menggunakan rumus secara langsung dengan mengklik Sisipkan Fungsi di sebelah bilah rumus dan alamat sel. Fungsi AVERAGE terletak di kategori "Statistik", dan menerima sebagai argumen angka dan referensi ke sel, dll. Di sana Anda juga dapat memilih opsi yang lebih kompleks, misalnya, AVERAGEIF - menghitung rata-rata berdasarkan kondisi.

Cari rata-rata di excel adalah tugas yang cukup mudah. Di sini Anda perlu memahami apakah Anda ingin menggunakan nilai rata-rata ini dalam beberapa rumus atau tidak.

Jika Anda hanya perlu mendapatkan nilainya, maka cukup memilih rentang angka yang diperlukan, setelah itu excel akan secara otomatis menghitung nilai rata-rata - itu akan ditampilkan di bilah status, menuju "Rata-rata".

Jika Anda ingin menggunakan hasil yang diperoleh dalam rumus, Anda dapat melakukan ini:

1) Jumlahkan sel menggunakan fungsi SUM dan bagi semuanya dengan jumlah angka.

2) Pilihan yang lebih tepat adalah dengan menggunakan fungsi khusus yang disebut RATA-RATA. Argumen untuk fungsi ini dapat berupa angka yang ditentukan secara berurutan, atau rentang angka.

Vladimir tikhonov

lingkari nilai-nilai yang akan berpartisipasi dalam perhitungan, klik tab "Rumus", di sana Anda akan melihat "JumlahOtomatis" di sebelah kiri dan di sebelahnya ada segitiga mengarah ke bawah. klik pada segitiga ini dan pilih "Rata-rata". Voila, selesai) di bagian bawah bilah Anda akan melihat rata-rata :)

Ekaterina mutalapova

Mari kita mulai dari awal dan berurutan. Apa artinya?

Rata-rata adalah nilai yang merupakan rata-rata aritmatika, yaitu. dihitung dengan menambahkan satu set angka dan kemudian membagi seluruh jumlah angka dengan jumlah mereka. Misalnya, untuk angka 2, 3, 6, 7, 2 akan ada 4 (jumlah angka 20 dibagi dengan angka 5)

Dalam spreadsheet Excel bagi saya pribadi, cara termudah adalah dengan menggunakan rumus = RATA-RATA. Untuk menghitung nilai rata-rata, Anda perlu memasukkan data ke dalam tabel, tulis fungsi = RATA-RATA () di bawah kolom data, dan dalam tanda kurung menunjukkan kisaran angka dalam sel, menyorot kolom data. Setelah itu, tekan ENTER, atau cukup klik kiri pada sel mana pun. Hasilnya akan ditampilkan di sel di bawah kolom. Kelihatannya tidak bisa dimengerti, tetapi sebenarnya hanya dalam hitungan menit.

Petualang 2000

Program Ecxel beragam, jadi ada beberapa opsi yang memungkinkan Anda menemukan nilai rata-rata:

Pilihan pertama. Anda cukup menjumlahkan semua sel dan membaginya dengan jumlah mereka;

Opsi kedua. Gunakan perintah khusus, tulis di sel yang diperlukan rumus "= RATA-RATA (lalu tentukan rentang sel)";

Opsi ketiga. Jika Anda memilih rentang yang diperlukan, perhatikan bahwa pada halaman di bawah ini, nilai rata-rata dalam sel ini juga ditampilkan.

Jadi, ada banyak cara untuk menemukan nilai rata-rata, Anda hanya perlu memilih yang terbaik untuk Anda dan menggunakannya terus-menerus.

Di Excel, menggunakan fungsi AVERAGE, Anda dapat menghitung mean prima aritmatika. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengemudi di sejumlah nilai. Tekan sama dan pilih di Kategori Statistik, di antaranya pilih fungsi RATA-RATA

Juga, menggunakan rumus statistik, Anda dapat menghitung rata-rata aritmatika tertimbang, yang dianggap lebih akurat. Untuk menghitungnya, kita membutuhkan nilai dan frekuensi indikator.

Bagaimana menemukan rata-rata di Excel?

Situasinya adalah sebagai berikut. Ada tabel berikut:

Bilah yang diarsir dengan warna merah berisi nilai numerik dari nilai untuk mata pelajaran. Di kolom "Skor rata-rata" Anda ingin menghitung nilai rata-ratanya.
Masalahnya adalah ini: total ada 60-70 item dan beberapa di antaranya ada di lembar lain.
Saya mencari di dokumen lain, rata-rata sudah dihitung, dan di sel ada rumus seperti
= "nama lembar"! | E12
tapi itu dilakukan oleh beberapa programmer yang dipecat.
Tolong beri tahu saya siapa yang mengerti ini.

Hector

Di baris fungsi yang Anda masukkan dari fungsi yang ditawarkan "RATA-RATA" dan pilih dari mana mereka perlu dihitung (B6: N6) untuk Ivanov, misalnya. Saya tidak tahu persis tentang lembar tetangga, tetapi yang pasti itu terkandung dalam bantuan Windows standar

Beri tahu saya cara menghitung nilai rata-rata dalam Word

Tolong beritahu saya bagaimana menghitung nilai rata-rata di Word. Yaitu, rata-rata rating, bukan jumlah orang yang menerima rating.

Julia pavlova

Word dapat melakukan banyak hal dengan makro. Tekan ALT + F11 dan tulis program makro ..
Selain itu, Insert-Object ... akan memungkinkan Anda menggunakan program lain, bahkan Excel, untuk membuat lembar dengan tabel di dalam dokumen Word.
Tetapi dalam hal ini, Anda perlu menuliskan angka Anda di kolom tabel, dan memasukkan rata-rata di sel bawah dari kolom yang sama, bukan?
Untuk melakukan ini, masukkan bidang ke dalam sel bawah.
Sisipkan-Field ... -Formula
Konten lapangan
[= RATA-RATA (ATAS)]
memberikan rata-rata jumlah sel-sel berbaring di atas.
Jika bidang dipilih dan tombol kanan mouse ditekan, maka dapat di-Refresh, jika angkanya berubah,
lihat kode atau nilai bidang, ubah kode langsung di bidang.
Jika terjadi kesalahan, hapus seluruh bidang dalam sel dan buat kembali.
RATA-RATA berarti rata-rata, DI ATAS berarti tentang, yaitu deretan sel di atas.
Saya sendiri tidak mengetahui semua ini, tetapi saya dengan mudah menemukannya di BANTUAN, tentu saja, sedikit berpikir.

Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika.

Rata-rata aritmatika sederhana

Mean aritmatika sederhana adalah istilah rata-rata, dalam menentukan volume total fitur tertentu dalam data yang didistribusikan secara merata di antara semua unit yang termasuk dalam set ini. Jadi, output tahunan rata-rata per karyawan adalah jumlah output yang akan jatuh pada setiap karyawan jika seluruh volume output didistribusikan secara merata di antara semua karyawan organisasi. Nilai sederhana rata-rata aritmatika dihitung dengan rumus:

Rata-rata aritmatika sederhana- Sama dengan rasio jumlah nilai individual suatu fitur dengan jumlah fitur dalam agregat

Contoh 1 ... Sebuah tim yang terdiri dari 6 pekerja menerima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 ribu rubel sebulan.

Temukan Gaji Rata-Rata
Solusi: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 ribu rubel.

Rata-rata aritmatika tertimbang

Jika volume kumpulan data besar dan mewakili deret distribusi, maka rata-rata aritmatika tertimbang dihitung. Ini adalah bagaimana harga rata-rata tertimbang per unit produksi ditentukan: total biaya produksi (jumlah produk dari kuantitasnya dengan harga satu unit produksi) dibagi dengan jumlah total produksi.

Kami mewakili ini dalam bentuk rumus berikut:

Rata-rata aritmatika tertimbang- sama dengan rasio (jumlah produk dari nilai fitur dengan frekuensi pengulangan fitur yang diberikan) dengan (jumlah frekuensi semua fitur). Digunakan ketika varian dari populasi yang diteliti terjadi dalam jumlah yang tidak sama.

Contoh 2 ... Temukan upah bulanan rata-rata seorang pekerja bengkel

Upah rata-rata dapat diperoleh dengan membagi total upah dengan jumlah total pekerja:

Jawaban: 3,35 ribu rubel.

Rata-rata aritmatika untuk deret interval

Saat menghitung rata-rata aritmatika untuk deret variasi interval, pertama-tama tentukan rata-rata untuk setiap interval, sebagai setengah jumlah batas atas dan bawah, dan kemudian - rata-rata seluruh deret. Dalam kasus interval terbuka, nilai interval bawah atau atas ditentukan oleh ukuran interval yang berdekatan dengannya.

Rata-rata yang dihitung dari seri interval adalah perkiraan.

Contoh 3... Tentukan usia rata-rata siswa malam.

Rata-rata yang dihitung dari seri interval adalah perkiraan. Derajat pendekatannya tergantung pada sejauh mana distribusi aktual unit populasi dalam interval mendekati seragam.

Saat menghitung rata-rata, tidak hanya absolut, tetapi juga nilai relatif (frekuensi) dapat digunakan sebagai bobot:

Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah properti yang lebih lengkap mengungkapkan esensinya dan menyederhanakan perhitungan:

1. Produk rata-rata dengan jumlah frekuensi selalu sama dengan jumlah produk varian dengan frekuensi, yaitu.

2. Rata-rata aritmatika dari jumlah besaran yang bervariasi sama dengan jumlah rata-rata aritmatika dari besaran-besaran ini:

3. Jumlah aljabar dari deviasi nilai individual atribut dari mean sama dengan nol:

4. Jumlah kuadrat deviasi opsi dari mean kurang dari jumlah kuadrat deviasi dari nilai arbitrer lainnya, mis.