Fungsi dari variabel kompleks.
Diferensiasi fungsi variabel kompleks.

Artikel ini membuka serangkaian pelajaran di mana saya akan melihat tugas khas dikaitkan dengan teori fungsi variabel kompleks. Untuk berhasil menguasai contoh, Anda harus memiliki pengetahuan dasar tentang bilangan kompleks. Untuk mengkonsolidasikan dan mengulangi materi, cukup mengunjungi halaman. Anda juga akan membutuhkan keterampilan untuk menemukan turunan parsial orde kedua. Ini dia, turunan parsial ini ... bahkan sekarang saya sedikit terkejut betapa seringnya mereka muncul ...

Topik yang mulai kami analisis tidak terlalu sulit, dan dalam fungsi variabel kompleks, pada prinsipnya, semuanya jelas dan dapat diakses. Hal utama adalah untuk mematuhi aturan dasar, yang diturunkan oleh saya secara empiris. Baca terus!

Konsep fungsi dari variabel kompleks

Pertama, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang fungsi sekolah dari satu variabel:

Fungsi dari satu variabel adalah aturan yang menurutnya setiap nilai variabel independen (dari domain definisi) sesuai dengan satu dan hanya satu nilai fungsi . Secara alami, "x" dan "y" adalah bilangan real.

Dalam kasus kompleks, ketergantungan fungsional diberikan dengan cara yang sama:

Fungsi bernilai tunggal dari variabel kompleks adalah aturan bahwa setiap orang terintegrasi nilai variabel independen (dari domain) sesuai dengan satu dan hanya satu luas nilai fungsi. Secara teori, multinilai dan beberapa jenis fungsi lainnya juga dipertimbangkan, tetapi untuk kesederhanaan, saya akan fokus pada satu definisi.

Apa fungsi dari variabel kompleks?

Perbedaan utamanya adalah bilangan itu kompleks. Saya tidak sedang ironis. Dari pertanyaan seperti itu mereka sering jatuh pingsan, di akhir artikel saya akan menceritakan sebuah kisah yang keren. Pada pelajaran Bilangan kompleks untuk boneka kami menganggap bilangan kompleks dalam bentuk . Sejak sekarang huruf "Z" telah menjadi variabel, maka kita akan menyatakannya sebagai berikut: , sedangkan "x" dan "y" dapat berbeda sah nilai-nilai. Secara kasar, fungsi variabel kompleks bergantung pada variabel dan , yang mengambil nilai "biasa". Poin berikut secara logis mengikuti dari fakta ini:

Fungsi variabel kompleks dapat dituliskan sebagai berikut:
, dimana dan adalah dua fungsi dari dua sah variabel.

Fungsi tersebut disebut bagian nyata fungsi .
Fungsi tersebut disebut bagian imajiner fungsi .

Artinya, fungsi dari variabel kompleks tergantung pada dua fungsi nyata dan . Untuk akhirnya memperjelas semuanya, mari kita lihat contoh praktis:

Contoh 1

Larutan: Variabel independen "z", seperti yang Anda ingat, ditulis sebagai , oleh karena itu:

(1) Disubstitusikan ke dalam fungsi aslinya.

(2) Untuk suku pertama, digunakan rumus perkalian tereduksi. Dalam istilah, kurung dibuka.

(3) Kuadratkan dengan hati-hati, jangan lupa itu

(4) Penataan ulang istilah: pertama tulis ulang istilah , di mana tidak ada satuan imajiner(kelompok pertama), kemudian istilah, di mana ada (kelompok kedua). Perlu dicatat bahwa tidak perlu mengocok istilah, dan langkah ini dapat dilewati (sebenarnya, dengan melakukannya secara lisan).

(5) Kelompok kedua dikeluarkan dari kurung.

Hasilnya, fungsi kita ternyata direpresentasikan dalam bentuk

Menjawab:
adalah bagian nyata dari fungsi .
adalah bagian imajiner dari fungsi .

Apa saja fungsi-fungsi tersebut? Fungsi paling biasa dari dua variabel, dari mana seseorang dapat menemukan yang begitu populer turunan parsial. Tanpa belas kasihan - kita akan menemukan. Tapi sedikit kemudian.

Secara singkat, algoritme dari masalah yang diselesaikan dapat ditulis sebagai berikut: kami mengganti ke fungsi aslinya, melakukan penyederhanaan dan membagi semua istilah menjadi dua kelompok - tanpa unit imajiner (bagian nyata) dan dengan unit imajiner (bagian imajiner).

Contoh 2

Menemukan bagian nyata dan imajiner dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Sebelum Anda terjun ke pertempuran di pesawat kompleks dengan draft, izinkan saya memberi Anda yang terbaik nasehat penting pada topik ini:

HATI-HATI! Anda harus berhati-hati, tentu saja, di mana-mana, tetapi dalam bilangan kompleks Anda harus lebih berhati-hati dari sebelumnya! Ingatlah bahwa, perluas tanda kurung dengan hati-hati, jangan sampai ada yang hilang. Menurut pengamatan saya, kesalahan yang paling umum adalah hilangnya tanda. Jangan terburu-buru!

Solusi Lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Sekarang kubus. Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kita peroleh:
.

Rumus sangat nyaman digunakan dalam praktik, karena sangat mempercepat proses penyelesaian.

Diferensiasi fungsi variabel kompleks.

Saya punya dua berita: baik dan buruk. Saya akan mulai dengan yang bagus. Untuk fungsi dari variabel kompleks, aturan diferensiasi dan tabel turunan dari fungsi dasar adalah valid. Jadi, turunan diambil dengan cara yang persis sama seperti dalam kasus fungsi variabel nyata.

Berita buruknya adalah untuk banyak fungsi dari variabel kompleks, tidak ada turunan sama sekali, dan Anda harus mencari tahu dapat dibedakan satu fungsi atau lainnya. Dan "mencari tahu" bagaimana perasaan hati Anda dikaitkan dengan masalah tambahan.

Pertimbangkan fungsi dari variabel kompleks . Agar fungsi ini dapat diturunkan, perlu dan cukup bahwa:

1) Agar ada turunan parsial dari orde pertama. Lupakan notasi ini segera, karena dalam teori fungsi variabel kompleks, versi lain dari notasi secara tradisional digunakan: .

2) Untuk melaksanakan apa yang disebut Kondisi Cauchy-Riemann:

Hanya dalam kasus ini turunannya akan ada!

Contoh 3

Larutan dipecah menjadi tiga tahap berturut-turut:

1) Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Tugas ini dianalisis dalam contoh sebelumnya, jadi saya akan menuliskannya tanpa komentar:

Dari dulu:

Lewat sini:

adalah bagian imajiner dari fungsi .

Saya akan membahas satu poin teknis lagi: dalam urutan apa menulis istilah dalam bagian nyata dan imajiner? Ya, pada dasarnya tidak masalah. Misalnya, bagian nyata dapat ditulis seperti ini: , dan imajiner - seperti ini: .

2) Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Ada dua dari mereka.

Mari kita mulai dengan memeriksa kondisinya. Kami menemukan turunan parsial:

Dengan demikian, kondisi terpenuhi.

Tidak diragukan lagi, kabar baiknya adalah turunan parsial hampir selalu sangat sederhana.

Kami memeriksa pemenuhan kondisi kedua:

Ternyata hal yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan, yaitu syaratnya juga terpenuhi.

Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, oleh karena itu, fungsinya terdiferensialkan.

3) Tentukan turunan dari fungsi tersebut. Turunannya juga sangat sederhana dan ditemukan sesuai dengan aturan biasa:

Satuan imajiner dalam diferensiasi dianggap konstan.

Menjawab: - bagian nyata adalah bagian imajiner.
Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, .

Ada dua cara lagi untuk menemukan turunannya, tentu saja lebih jarang digunakan, tetapi informasinya akan berguna untuk memahami pelajaran kedua - Bagaimana cara menemukan fungsi dari variabel kompleks?

Turunannya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

PADA kasus ini:

Lewat sini

Penting untuk menyelesaikan masalah terbalik - dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda perlu mengisolasi . Untuk melakukan ini, perlu dalam hal dan untuk menghilangkan tanda kurung:

Tindakan sebaliknya, seperti yang telah diperhatikan banyak orang, agak lebih sulit untuk dilakukan, untuk verifikasi selalu lebih baik untuk mengambil ekspresi dan pada konsep atau membuka kembali tanda kurung secara lisan, memastikan bahwa itu akan menjadi persis

Rumus cermin untuk mencari turunan:

Pada kasus ini: , makanya:

Contoh 4

Menentukan bagian nyata dan imajiner dari suatu fungsi . Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Jika kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, tentukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi singkat dan contoh perkiraan penyelesaian di akhir pelajaran.

Apakah kondisi Cauchy-Riemann selalu terpenuhi? Secara teoritis, mereka lebih sering tidak terpenuhi daripada mereka. Tapi di contoh praktis Saya tidak ingat kasus di mana mereka tidak dieksekusi =) Jadi, jika turunan parsial Anda "tidak konvergen", maka dengan probabilitas yang sangat tinggi kami dapat mengatakan bahwa Anda membuat kesalahan di suatu tempat.

Mari kita memperumit fungsi kita:

Contoh 5

Menentukan bagian nyata dan imajiner dari suatu fungsi . Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Menghitung

Larutan: Algoritme solusi dipertahankan sepenuhnya, tetapi pada akhirnya mode baru ditambahkan: menemukan turunan pada suatu titik. Untuk kubus, rumus yang diperlukan telah diturunkan:

Mari kita tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi ini:

Perhatian dan lagi perhatian!

Dari dulu:


Lewat sini:
adalah bagian nyata dari fungsi ;
adalah bagian imajiner dari fungsi .

Memeriksa kondisi kedua:

Ternyata hal yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan, yaitu syaratnya juga terpenuhi.

Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, oleh karena itu, fungsinya dapat diturunkan:

Hitung nilai turunan pada titik yang diperlukan:

Menjawab:, , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi,

Fungsi dengan kubus adalah umum, jadi contoh untuk mengkonsolidasikan:

Contoh 6

Menentukan bagian nyata dan imajiner dari suatu fungsi . Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Hitung.

Keputusan dan sampel finishing di akhir pelajaran.

Dalam teori analisis kompleks fungsi lain dari argumen kompleks juga didefinisikan: eksponen, sinus, kosinus, dll. Fungsi-fungsi ini memiliki sifat yang tidak biasa dan bahkan aneh - dan itu sangat menarik! Saya benar-benar ingin memberi tahu Anda, tetapi di sini, kebetulan, bukan buku referensi atau buku teks, tetapi solusi, jadi saya akan mempertimbangkan tugas yang sama dengan beberapa fungsi umum.

Pertama tentang apa yang disebut Rumus Euler:

Untuk siapa saja sah angka, rumus berikut ini valid:

Anda juga dapat menyalinnya ke buku catatan Anda sebagai referensi.

Sebenarnya, hanya ada satu formula, tetapi biasanya, untuk kenyamanan, mereka juga menulis kasus khusus dengan minus pada indikator. Parameternya tidak harus satu huruf, bisa berupa ekspresi kompleks, fungsi, yang penting diambil hanya berlaku nilai-nilai. Sebenarnya, kita akan melihatnya sekarang:

Contoh 7

Cari turunan.

Larutan: Garis umum partai tetap tak tergoyahkan - perlu untuk memilih bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Saya akan memberikan solusi terperinci, dan mengomentari setiap langkah di bawah ini:

Dari dulu:

(1) Pengganti untuk "z".

(2) Setelah substitusi, bagian real dan imajiner harus dipisahkan pertama dalam eksponen peserta pameran. Untuk melakukan ini, buka tanda kurung.

(3) Kami mengelompokkan bagian imajiner dari indikator, menempatkan unit imajiner di luar tanda kurung.

(4) Gunakan tindakan sekolah dengan kekuatan.

(5) Untuk pengali, kami menggunakan rumus Euler , sedangkan .

(6) Kami membuka tanda kurung, sebagai hasilnya:

adalah bagian nyata dari fungsi ;
adalah bagian imajiner dari fungsi .

Tindakan selanjutnya adalah standar, mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann:

Contoh 9

Menentukan bagian nyata dan imajiner dari suatu fungsi . Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Jadi biarlah, kita tidak akan menemukan turunannya.

Larutan: Algoritma solusi sangat mirip dengan dua contoh sebelumnya, tetapi ada sangat poin penting, itu sebabnya Tahap pertama Saya akan berkomentar lagi langkah demi langkah:

Dari dulu:

1) Kami mengganti bukan "z".

(2) Pertama, pilih bagian nyata dan imajiner di dalam sinus. Untuk tujuan ini, buka kurung.

(3) Kami menggunakan rumus , sedangkan .

(4) Gunakan paritas kosinus hiperbolik: dan keanehan sinus hiperbolik: . Hiperbolik, meskipun bukan dari dunia ini, tetapi dalam banyak hal mirip dengan fungsi trigonometri.

Pada akhirnya:
adalah bagian nyata dari fungsi ;
adalah bagian imajiner dari fungsi .

Perhatian! Tanda minus mengacu pada bagian imajiner, dan kita tidak boleh kehilangannya! Untuk ilustrasi visual Hasil di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann:

Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi.

Menjawab:, , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi.

Dengan cosinus, tuan dan nyonya, kami memahami sendiri:

Contoh 10

Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann.

Saya sengaja mengambil contoh yang lebih rumit, karena semua orang bisa menangani sesuatu seperti kacang kupas. Pada saat yang sama, latih perhatian Anda! Pemecah kacang di akhir pelajaran.

Nah, sebagai kesimpulan, saya akan mempertimbangkan satu lagi contoh menarik ketika argumen kompleks ada dalam penyebut. Kami bertemu beberapa kali dalam latihan, mari kita menganalisis sesuatu yang sederhana. Ah, aku semakin tua...

Contoh 11

Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann.

Larutan: Sekali lagi, perlu untuk memisahkan bagian nyata dan imajiner dari fungsi.
Jika kemudian

Muncul pertanyaan, apa yang harus dilakukan ketika "Z" ada di penyebut?

Semuanya sederhana - standar akan membantu metode mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugasi, itu sudah digunakan dalam contoh pelajaran Bilangan kompleks untuk boneka. Kita ingat rumus sekolah. Dalam penyebut kita sudah memiliki , sehingga ekspresi konjugasinya adalah . Jadi, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan: