किसी भिन्न को भिन्न से या भिन्न को किसी संख्या से सही ढंग से गुणा करने के लिए, आपको जानना आवश्यक है सरल नियम. अब हम इन नियमों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से गुणा करना।

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको इन भिन्नों के अंशों के गुणनफल और हर के गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है।

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

आइए एक उदाहरण देखें:
हम पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करते हैं, और हम पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से भी गुणा करते हैं।

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ गुना 3)(7 गुना 3) = \frac(4)(7)\\\)

भिन्न \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) को 3 से कम किया गया था।

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना.

सबसे पहले, आइए नियम याद रखें, किसी भी संख्या को भिन्न \(\bf n = \frac(n)(1)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए गुणा करते समय इस नियम का उपयोग करें।

\(5 \गुना \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \गुना \frac(4)(7) = \frac(5 \गुना 4)(1 \गुना 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

अनुचित भिन्न \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित किया गया।

दूसरे शब्दों में, किसी संख्या को भिन्न से गुणा करते समय, हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।उदाहरण:

\(\frac(2)(5) \गुना 3 = \frac(2 \गुना 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।

मिश्रित भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणन नियम का उपयोग करना होगा। हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हर को हर से गुणा करते हैं।

उदाहरण:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \गुना 6) = \frac(3 \गुना \रंग(लाल) (3) \गुना 23)(4 \गुना 2 \गुना \रंग(लाल) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

व्युत्क्रम भिन्नों और संख्याओं का गुणन।

भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) भिन्न \(\bf \frac(b)(a)\) का व्युत्क्रम है, बशर्ते a≠0,b≠0।
भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) और \(\bf \frac(b)(a)\) को व्युत्क्रम भिन्न कहा जाता है। व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है।
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

उदाहरण:
\(\frac(5)(9) \गुना \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

विषय पर प्रश्न:
किसी भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: साधारण भिन्नों का गुणनफल एक अंश को एक अंश से, एक हर को एक हर से गुणा करने पर प्राप्त होता है। मिश्रित भिन्नों का गुणनफल प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्न में बदलना होगा और नियमों के अनुसार गुणा करना होगा।

विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नों के हर समान हों या अलग-अलग, गुणन एक अंश के साथ एक अंश का, एक हर के साथ एक हर का गुणनफल ज्ञात करने के नियम के अनुसार होता है।

मिश्रित भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले, आपको मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना होगा और फिर गुणन के नियमों का उपयोग करके गुणनफल खोजना होगा।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं, लेकिन हर को वही छोड़ देते हैं।

उदाहरण 1:
उत्पाद की गणना करें: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

समाधान:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
बी) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( लाल) (5))(3 \गुना \रंग(लाल) (5) \गुना 13) = \frac(4)(39)\)

उदाहरण #2:
किसी संख्या और भिन्न के गुणनफल की गणना करें: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

समाधान:
a) \(3 \गुना \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \गुना \frac(17)(23) = \frac(3 \गुना 17)(1 \गुना 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
बी) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

उदाहरण #3:
भिन्न \(\frac(1)(3)\) का व्युत्क्रम लिखिए?
उत्तर: \(\frac(3)(1) = 3\)

उदाहरण #4:
दो व्युत्क्रम भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

समाधान:
a) \(\frac(104)(215) \गुना \frac(215)(104) = 1\)

उदाहरण #5:
क्या पारस्परिक भिन्न हो सकते हैं:
ए) एक साथ उचित भिन्नों के साथ;
बी) एक साथ अनुचित भिन्न;
ग) एक साथ प्राकृतिक संख्याएँ?

समाधान:
a) पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक उदाहरण दें। भिन्न \(\frac(2)(3)\) उचित है, इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(3)(2)\) के बराबर होगा - एक अनुचित भिन्न। उत्तर: नहीं.

बी) भिन्नों की लगभग सभी गणनाओं में यह शर्त पूरी नहीं होती है, लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो एक साथ अनुचित भिन्न होने की शर्त को पूरा करती हैं। उदाहरण के लिए, अनुचित भिन्न \(\frac(3)(3)\) है, इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(3)(3)\) के बराबर है। हमें दो अनुचित भिन्न प्राप्त होते हैं। उत्तर: हमेशा कुछ शर्तों के तहत नहीं जब अंश और हर बराबर हों।

ग) प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करते समय करते हैं, उदाहरण के लिए, 1, 2, 3,…। यदि हम संख्या \(3 = \frac(3)(1)\) लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(1)(3)\) होगा। भिन्न \(\frac(1)(3)\) नहीं है प्राकृतिक संख्या. यदि हम सभी संख्याओं को देखें, तो 1 को छोड़कर, संख्या का व्युत्क्रम हमेशा एक भिन्न होता है। यदि हम संख्या 1 लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(1)(1) = \frac(1) होगा )(1) = 1\). संख्या 1 एक प्राकृतिक संख्या है. उत्तर: वे एक साथ केवल एक ही स्थिति में प्राकृत संख्याएँ हो सकते हैं, यदि यह संख्या 1 है।

उदाहरण #6:
मिश्रित भिन्नों का गुणनफल करें: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

समाधान:
a) \(4 \गुना 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \गुना \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
बी) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

उदाहरण #7:
क्या दो व्युत्क्रम एक ही समय में मिश्रित संख्याएँ हो सकते हैं?

आइए एक उदाहरण देखें. आइए एक मिश्रित भिन्न \(1\frac(1)(2)\) लें, इसका व्युत्क्रम भिन्न ज्ञात करें, ऐसा करने के लिए हम इसे एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित करते हैं \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2)\). इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(2)(3)\) के बराबर होगा। भिन्न \(\frac(2)(3)\) एक उचित भिन्न है। उत्तर: दो भिन्न जो परस्पर प्रतिलोम हों, एक ही समय में मिश्रित संख्याएँ नहीं हो सकतीं।

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। अधिकांश कठिन क्षणउन क्रियाओं में भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना शामिल था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए देखें सबसे सरल मामला, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।

पद का नाम:

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा कारक और सबसे छोटा सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना

यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस माइनस से माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड होते हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम की गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। परिणामस्वरूप, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए सही समाधानपिछला कार्य इस प्रकार दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

पाठ सामग्री

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना

भिन्नों का योग दो प्रकार का होता है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना
2. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

सबसे पहले, आइए समान हर वाली भिन्नों का योग सीखें। यहां सब कुछ सरल है. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और। अंशों को जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.भिन्न और जोड़ें।

उत्तर अनुचित भिन्न निकला। जब कार्य का अंत आता है, तो अनुचित भिन्नों से छुटकारा पाने की प्रथा है। किसी अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसके पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूरे भाग को आसानी से अलग किया जा सकता है - दो को दो से विभाजित करने पर एक बराबर होता है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक पिज्जा के बारे में याद करें जो दो भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न और जोड़ें।

फिर से, हम अंशों को जोड़ते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप एक पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 पूरा पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

आइए अब सीखें कि विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते.

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक को देखेंगे, क्योंकि अन्य विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस विधि का सार यह है कि सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का एलसीएम खोजा जाता है। पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करने के लिए एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्न में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1. आइए भिन्नों को जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक 6 है

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब आइए भिन्नों और पर वापस लौटें। सबसे पहले, एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त गुणक है। हम इसे पहले अंश तक लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाएं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त गुणक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। पुनः, हम दूसरे भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखते हैं:

अब हमारे पास जोड़ने के लिए सब कुछ तैयार है। भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

ध्यान से देखो कि हम क्या करने आये हैं। हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

यह उदाहरण पूरा करता है. यह जोड़ने के लिए निकलता है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर करने पर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन दो अंशों को पिज़्ज़ा के समान टुकड़ों द्वारा दर्शाया जाएगा। अंतर केवल इतना होगा कि इस बार उन्हें समान शेयरों (समान भाजक तक कम) में विभाजित किया जाएगा।

पहला चित्र एक अंश (छह में से चार टुकड़े) को दर्शाता है, और दूसरा चित्र एक अंश (छह में से तीन टुकड़े) को दर्शाता है। इन टुकड़ों को जोड़ने पर हमें (छह में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न अनुचित है, इसलिए हमने इसके पूरे भाग पर प्रकाश डाला है। परिणामस्वरूप, हमें (एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा) मिला।

कृपया ध्यान दें कि हमने वर्णन किया है यह उदाहरणबहुत विस्तृत. में शिक्षण संस्थानोंइतना विस्तार से लिखना प्रथागत नहीं है। आपको हर और उनके अतिरिक्त कारकों दोनों का एलसीएम तुरंत ढूंढने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही पाए गए अतिरिक्त कारकों को अपने अंश और हर से तेजी से गुणा करना होगा। यदि हम स्कूल में होते तो हमें यह उदाहरण इस प्रकार लिखना होता:

लेकिन वहाँ भी है पीछे की ओरपदक. यदि आप गणित के अध्ययन के पहले चरण में विस्तृत नोट्स नहीं लेते हैं, तो इस प्रकार के प्रश्न सामने आने लगते हैं। “वह संख्या कहां से आती है?”, “अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्न में क्यों बदल जाते हैं? «.

विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्नलिखित चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें;
2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
4. उन भिन्नों को जोड़ें जिनके हर समान हों;
5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला तो उसके पूर्ण भाग का चयन करें;

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात करें

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्याएँ 2, 3 और 4 हैं

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान हर वाली भिन्नें जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। बस इन भिन्नों को जोड़ना बाकी है। इसे जोड़े:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष अभिव्यक्ति को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है. जब कोई अभिव्यक्ति एक पंक्ति में फिट नहीं बैठती है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस अभिव्यक्ति की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर थी।

चरण 5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो उसके पूरे भाग का चयन करें

हमारा उत्तर अनुचित भिन्न निकला। हमें इसके एक पूरे हिस्से को उजागर करना होगा. हम हाइलाइट करते हैं:

हमें जवाब मिला

समान हर वाली भिन्नों को घटाना

भिन्नों का घटाव दो प्रकार का होता है:

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना
2. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

सबसे पहले, आइए सीखें कि समान हर वाली भिन्नों को कैसे घटाया जाए। यहां सब कुछ सरल है. एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, लेकिन हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। आओ इसे करें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

पुनः, पहले भिन्न के अंश से, दूसरे भिन्न के अंश को घटाएँ, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से आपको शेष भिन्न के अंश को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप किसी भिन्न में से भिन्न को घटा सकते हैं क्योंकि भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन आप भिन्न में से भिन्न नहीं घटा सकते, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सामान्य हर उसी सिद्धांत का उपयोग करके पाया जाता है जिसका उपयोग हमने विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी प्रकार, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और एक दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, जिन भिन्नों के हर अलग-अलग होते थे, वे उन भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है।

उदाहरण 1।अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

सबसे पहले हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 12 है

एलसीएम (3 और 4) = 12

आइए अब भिन्नों पर लौटते हैं और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। पहली भिन्न के ऊपर चार लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। दूसरे भिन्न के ऊपर तीन लिखें:

अब हम घटाने के लिए तैयार हैं. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

हमें जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है. यदि हम स्कूल में होते तो हमें इस उदाहरण को संक्षेप में हल करना होता। ऐसा समाधान इस प्रकार दिखेगा:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाकर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन अंशों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (समान हर तक कम):

पहली तस्वीर एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े काटने पर हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पाँच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए सबसे पहले आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

आइए इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 30 है।

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 30 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाने के लिए तैयार है. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर समान चिह्न (=) के बारे में न भूलें:

उत्तर सामान्य अंश निकला, और सब कुछ हमारे अनुरूप प्रतीत होता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे सरल बनाना चाहिए. क्या किया जा सकता है? आप इस भिन्न को छोटा कर सकते हैं.

किसी भिन्न को छोटा करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को संख्या 20 और 30 के (जीसीडी) से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और भिन्न के अंश और हर को प्राप्त जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से।

हमें जवाब मिला

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को उस संख्या से गुणा करना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

उदाहरण 1. किसी भिन्न को संख्या 1 से गुणा करें.

भिन्न के अंश को संख्या 1 से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणनखंड की अदला-बदली कर दी जाए, तो उत्पाद नहीं बदलेगा। यदि अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाए, तो उत्पाद अभी भी के बराबर होगा। पुनः, पूर्ण संख्या और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस अंकन को एक का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 से गुणा करें

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

अभिव्यक्ति को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज़्ज़ा मिलेंगे

और यदि हम गुणक और गुणक की अदला-बदली करते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा में से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा। यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला. इस अंश को कम करने की सलाह दी जाती है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है अंतिम निर्णयनिम्नलिखित रूप लेगा:

इस अभिव्यक्ति को आधे पिज़्ज़ा से एक पिज़्ज़ा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बाँटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हम पिज़्ज़ा बनाएंगे. याद रखें कि तीन भागों में विभाजित होने पर पिज़्ज़ा कैसा दिखता है:

इस पिज़्ज़ा के एक टुकड़े और हमारे द्वारा लिए गए दो टुकड़ों के आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में कहें तो हम एक ही साइज के पिज्जा की बात कर रहे हैं. अतः अभिव्यक्ति का मान है

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक नियमित अंश निकला, लेकिन इसे छोटा कर दिया जाए तो अच्छा रहेगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को सबसे बड़े से विभाजित करना होगा सामान्य विभाजक(जीसीडी) संख्या 105 और 450।

तो, आइए संख्या 105 और 450 की जीसीडी खोजें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को उस जीसीडी से विभाजित करते हैं जो हमें अब मिली है, यानी 15 से

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। इससे पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच को एक से विभाजित करना," और यह, जैसा कि हम जानते हैं, पाँच के बराबर है:

पारस्परिक संख्याएँ

अब हम बहुत से परिचित होंगे दिलचस्प विषयगणित में। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीतए वह संख्या है, जिसे जब गुणा किया जाता हैए एक देता है.

आइए इस परिभाषा में वेरिएबल के स्थान पर स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है, जिसे जब गुणा किया जाता है 5 एक देता है.

क्या ऐसी संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला कि यह संभव है. आइए पाँच को भिन्न के रूप में कल्पना करें:

फिर इस भिन्न को स्वयं से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न को स्वयं से गुणा करें, केवल उल्टा करके:

इसके परिणामस्वरूप क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 5 का व्युत्क्रम वह संख्या है, क्योंकि जब आप 5 को गुणा करते हैं तो आपको एक प्राप्त होता है।

किसी संख्या का व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करना

मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

आइए इसे दो के बीच समान रूप से विभाजित करें। प्रत्येक व्यक्ति को कितना पिज़्ज़ा मिलेगा?

यह देखा जा सकता है कि आधे पिज्जा को विभाजित करने के बाद, दो बराबर टुकड़े प्राप्त हुए, जिनमें से प्रत्येक से एक पिज्जा बनता है। तो हर किसी को पिज़्ज़ा मिलता है।

भिन्नों का विभाजन व्युत्क्रम का उपयोग करके किया जाता है। पारस्परिक संख्याएँ आपको विभाजन को गुणन से बदलने की अनुमति देती हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

इस नियम का प्रयोग करते हुए हम अपने आधे पिज़्ज़ा को दो भागों में बाँटकर लिखेंगे।

इसलिए, आपको भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करना होगा। यहां लाभांश भिन्न है और भाजक संख्या 2 है।

किसी भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक 2 के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। भाजक 2 का व्युत्क्रम भिन्न है। तो आपको गुणा करने की आवश्यकता है

इन रेक को पहले ही प्राप्त कर लें! 🙂

भिन्नों को गुणा एवं भाग करना।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत “बहुत नहीं” हैं। »
और उन लोगों के लिए जो “बहुत ज्यादा” हैं। ")

यह ऑपरेशन जोड़ और घटाव से कहीं अधिक सुखद है! क्योंकि यह आसान है. एक अनुस्मारक के रूप में, किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। वह है:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य विभाजक की तलाश न करें! उसकी यहां कोई जरूरत नहीं...

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको उलटा करना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, यानी:

यदि आपको पूर्णांकों और भिन्नों से गुणा या भाग मिलता है, तो यह ठीक है। जोड़ की तरह, हम हर में एक लेकर पूर्ण संख्या से भिन्न बनाते हैं - और आगे बढ़ते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-मंजिला (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

मैं इस अंश को सभ्य कैसे बना सकता हूँ? हाँ, बहुत सरल! दो-बिंदु विभाजन का उपयोग करें:

लेकिन विभाजन के क्रम के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला हिस्से में गलती करना आसान है। उदाहरण के लिए कृपया ध्यान दें:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

क्या आपको फर्क महसूस होता है? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या निर्धारित करता है? या तो कोष्ठक के साथ, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज रेखाओं की लंबाई के साथ। अपनी आँख विकसित करें. और यदि कोई कोष्ठक या डैश नहीं है, जैसे:

फिर विभाजित करें और गुणा करें क्रम से, बाएँ से दाएँ!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण तकनीक। डिग्रियों वाले कार्यों में यह आपके बहुत काम आएगा! आइए एक को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

गोली पलट गई! और ऐसा हमेशा होता है. 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

भिन्नों के साथ संचालन के लिए बस इतना ही। बात बिल्कुल सरल है, लेकिन यह पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देती है। व्यावहारिक सलाह को ध्यान में रखें, और उनमें (गलतियाँ) कम होंगी!

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं हैं! यह अत्यंत आवश्यक है! एकीकृत राज्य परीक्षा में सभी गणनाएँ एक पूर्ण, केंद्रित और स्पष्ट कार्य के रूप में करें। मानसिक गणना करते समय गड़बड़ करने से बेहतर है कि आप अपने ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखें।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - सामान्य भिन्नों की ओर बढ़ें।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक वे बंद न हो जाएं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य बनाते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको निश्चित रूप से पूरा करना होगा। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय पर सामग्री और व्यावहारिक सुझावों का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में सक्षम थे। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकालें.

याद रखें - सही उत्तर है दूसरा (विशेषकर तीसरा) प्राप्त समय की गिनती नहीं होती!ऐसा ही कठोर जीवन है.

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे, यह पहले से ही एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी है। हम उदाहरण हल करते हैं, जाँचते हैं, अगला हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो.

हम ऐसे उत्तर ढूंढ रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। ऐसा कहा जा सकता है कि मैंने जानबूझकर उन्हें प्रलोभन से दूर, अव्यवस्थित तरीके से लिखा था। यहां वे उत्तर हैं, जिन्हें अर्धविराम से अलग किया गया है।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

अब हम निष्कर्ष निकालते हैं. यदि सब कुछ ठीक रहा, तो मुझे आपके लिए खुशी होगी! भिन्नों के साथ बुनियादी गणनाएँ आपकी समस्या नहीं हैं! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं. अगर नहीं।

तो आपके पास दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन। यह व्याख्या करने योग्य समस्या।

इन सभी (और अधिक!) उदाहरणों पर विशेष धारा 555 "अंश" में चर्चा की गई है। क्या, क्यों और कैसे की विस्तृत व्याख्या के साथ। यह विश्लेषण ज्ञान और कौशल की कमी में बहुत मदद करता है!

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और यहां आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

नियम 1।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको उसके अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

नियम 2.

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए:

1. इन भिन्नों के अंशों का गुणनफल और हरों का गुणनफल ज्ञात कीजिए

2. पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखें।

नियम 3.

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लिखना होगा, और फिर भिन्नों को गुणा करने के नियम का उपयोग करना होगा।

नियम 4.

एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

उदाहरण 1।

गणना

उदाहरण 2.

गणना

उदाहरण 3.

गणना

उदाहरण 4.

गणना

अंक शास्त्र। अन्य सामग्री

किसी संख्या को तर्कसंगत घात तक बढ़ाना। (

किसी संख्या को प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना। (

बीजगणितीय असमानताओं को हल करने के लिए सामान्यीकृत अंतराल विधि (लेखक ए.वी. कोलचानोव)

बीजगणितीय असमानताओं को हल करते समय कारकों को बदलने की विधि (लेखक ए.वी. कोलचानोव)

विभाज्यता के लक्षण (लुंगु अलीना)

'साधारण भिन्नों का गुणन और भाग' विषय पर स्वयं का परीक्षण करें

भिन्नों को गुणा करना

हम कई संभावित विकल्पों में साधारण भिन्नों के गुणन पर विचार करेंगे।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्नों को गुणा करने के नियम.

को भिन्न को भिन्न से गुणा करें, ज़रूरी:

पहले अंश के अंश को दूसरे अंश के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए अंश के अंश में लिखें;

पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले यह देख लें कि क्या भिन्नों को कम किया जा सकता है। गणनाओं में भिन्नों को कम करने से आपकी गणनाएँ बहुत आसान हो जाएँगी।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

भिन्न बनाना किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि गुणन का परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो उसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग को हाइलाइट करें।

मिश्रित संख्याओं को गुणा करना

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणना करते समय किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को वही छोड़ना होगा।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम का यह संस्करण उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का हर किसी शेषफल के बिना एक प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने का सबसे तेज़ तरीका क्या है? आइए सिद्धांत का विश्लेषण करें, निष्कर्ष निकालें और उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि एक नए संक्षिप्त नियम का उपयोग करके किसी भिन्न को किसी संख्या से कैसे विभाजित किया जा सकता है।

आमतौर पर, किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने पर भिन्नों को विभाजित करने के नियम का पालन किया जाता है। हम पहली संख्या (अंश) को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं। चूँकि दूसरी संख्या एक पूर्णांक है, इसका व्युत्क्रम एक भिन्न है जिसका अंश एक है और हर है दिया गया नंबर. योजनाबद्ध रूप से, किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना इस तरह दिखता है:

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको हर को उस संख्या से गुणा करना होगा और अंश को वही छोड़ना होगा। नियम को और भी संक्षेप में तैयार किया जा सकता है:

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने पर वह संख्या हर में चली जाती है।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करें:

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, हम अंश को अपरिवर्तित फिर से लिखते हैं, और हर को इस संख्या से गुणा करते हैं। हम 6 और 3 को 3 से कम करते हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करते समय, हम अंश को फिर से लिखते हैं और हर को उस संख्या से गुणा करते हैं। हम 16 और 24 को 8 से कम करते हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने पर, संख्या हर में चली जाती है, इसलिए हम अंश को वही छोड़ देते हैं और हर को भाजक से गुणा कर देते हैं। हम 21 और 35 को 7 से कम करते हैं।

भिन्नों को गुणा एवं भाग करना

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन कार्यों का सबसे कठिन हिस्सा भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा कारक और सबसे छोटा सामान्य गुणक।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना

यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस माइनस से माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

3. हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
4. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड होते हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम की गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। परिणामस्वरूप, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

भिन्नों को विभाजित करना।

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना.

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण

किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से विभाजित करना।

किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से विभाजित करने के उदाहरण

साधारण भिन्नों का विभाजन.

साधारण भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरण

मिश्रित संख्याओं का विभाजन.

एक मिश्रित संख्या को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:
• मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• पहले अंश को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करें;
• परिणामी अंश को कम करें;
• यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलें।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

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भिन्न। भिन्नों को गुणा एवं भाग करना।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से गुणा करना।

साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से गुणा करना होगा (हमें उत्पाद का अंश प्राप्त होता है) और हर को हर से गुणा करना होगा (हमें उत्पाद का हर प्राप्त होता है)।

भिन्नों को गुणा करने का सूत्र:





इससे पहले कि आप अंश और हर को गुणा करना शुरू करें, आपको यह जांचना होगा कि क्या भिन्न को कम किया जा सकता है। यदि आप भिन्न को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।

टिप्पणी! यहाँ एक सामान्य विभाजक की तलाश करने की कोई आवश्यकता नहीं है!!

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से विभाजित करना.

एक साधारण भिन्न को भिन्न से विभाजित करना इस प्रकार होता है: आप दूसरे भिन्न को पलट देते हैं (अर्थात, अंश और हर को बदल देते हैं) और उसके बाद भिन्नों को गुणा कर दिया जाता है।

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का सूत्र:





किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना.

टिप्पणी!किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करते समय, भिन्न के अंश को हमारी प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है, और भिन्न के हर को वही छोड़ दिया जाता है। यदि उत्पाद का परिणाम एक अनुचित अंश है, तो पूरे भाग को उजागर करना सुनिश्चित करें, अनुचित अंश को मिश्रित अंश में बदल दें।



प्राकृतिक संख्याओं से युक्त भिन्नों को विभाजित करना।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जोड़ की तरह, हम पूरी संख्या को हर में एक के साथ भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:



मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• भिन्नों के अंश और हर को गुणा करना;
• अंश कम करें;
• यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

टिप्पणी!एक मिश्रित भिन्न को दूसरे मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्न के रूप में बदलना होगा, और फिर साधारण भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।



किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

टिप्पणी!किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।



ऊपर दिए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग करना तब अधिक सुविधाजनक होता है जब किसी भिन्न के हर को बिना किसी शेषफल के किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है।

मल्टीस्टोरी अंश.

हाई स्कूल में, तीन मंजिला (या अधिक) भिन्न अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करें:



टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

किसी एक को किसी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उलटा:

भिन्नों को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएँ सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। मानसिक गणनाओं में खोए रहने से बेहतर है कि अपने मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्न वाले कार्यों में साधारण भिन्न के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक कि उन्हें कम करना संभव न हो जाए।

4. हम 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य में बदलते हैं।

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माध्यमिक के पाठ्यक्रम में और हाई स्कूलछात्रों ने "अंश" विषय का अध्ययन किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई अवधारणा से कहीं अधिक व्यापक है। आज, भिन्न की अवधारणा अक्सर सामने आती है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्न को गुणा करना।

भिन्न क्या है?

ऐतिहासिक रूप से, भिन्नात्मक संख्याएँ मापने की आवश्यकता से उत्पन्न हुईं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अक्सर एक खंड की लंबाई और एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक व्यक्ति को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहा जाता है।

किसी भी मूल्य के ½ के बराबर शेयर को आधा कहा जाता है; ⅓ - तीसरा; ¼ - एक चौथाई. 5/8, 4/5, 2/4 रूप के अभिलेख साधारण भिन्न कहलाते हैं। एक सामान्य भिन्न को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्न पट्टी, या भिन्न पट्टी है। भिन्नात्मक रेखा क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींची जा सकती है। में इस मामले मेंयह विभाजन चिन्ह का प्रतिनिधित्व करता है।

हर यह दर्शाता है कि मात्रा या वस्तु को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है; और अंश यह है कि कितने समान शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्न रेखा के ऊपर लिखा जाता है, हर को उसके नीचे लिखा जाता है।

निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक है। यदि एक इकाई खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया है, तो प्रत्येक भाग को लेबल करें लैटिन अक्षर, तो परिणाम एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता हो सकता है। तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B किसी दिए गए खंड के 2/8 को दर्शाता है।

भिन्नों के प्रकार

भिन्न साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

उचित भिन्न वह संख्या होती है जिसका अंश उसके हर से कम होता है। तदनुसार, अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश उसके हर से बड़ा होता है। दूसरा प्रकार आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस अभिव्यक्ति में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग शामिल है। उदाहरण के लिए, 1½. 1 एक पूर्णांक भाग है, ½ एक भिन्नात्मक भाग है। हालाँकि, यदि आपको अभिव्यक्ति के साथ कुछ हेरफेर करने की आवश्यकता है (अंशों को विभाजित करना या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।

एक सही भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा एक से कम होती है, और एक गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा 1 से बड़ी या उसके बराबर होती है।

जहां तक ​​इस अभिव्यक्ति का संबंध है, हमारा मतलब एक रिकॉर्ड है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न उचित है, तो दशमलव अंकन में पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होगा।

दशमलव अंश लिखने के लिए, आपको पहले पूरा भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम का उपयोग करके अंश से अलग करना होगा, और फिर अंश अभिव्यक्ति लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि दशमलव बिंदु के बाद अंश में डिजिटल वर्णों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी हर में शून्य होती है।

उदाहरण. अंश 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में व्यक्त करें।

अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने और इसके विपरीत के लिए एल्गोरिदम

किसी समस्या के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना होगा:

• अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
• वी विशिष्ट उदाहरणअपूर्ण भागफल - संपूर्ण;
• और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47 / 5.

समाधान. 47: 5. आंशिक भागफल 9 है, शेषफल = 2. तो, 47 / 5 = 9 2 / 5.

कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

• पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर से गुणा किया जाता है;
• परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है;
• परिणाम अंश में लिखा जाता है, हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 9 8/10।

समाधान. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।

उत्तर: 98 / 10.

भिन्नों को गुणा करना

साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, भिन्नों को भिन्न हरों से गुणा करना समान हरों से भिन्नों को गुणा करने से भिन्न नहीं है।

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद आपको भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है। में अनिवार्यआपको परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है। निस्संदेह, कोई यह नहीं कह सकता कि किसी उत्तर में अनुचित भिन्न एक त्रुटि है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी कठिन है।

उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद खोजने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त किया गया था। इस मामले में अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित किया जाता है, और परिणाम उत्तर 5/9 होता है।

दशमलव भिन्नों को गुणा करना

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार है:

• दो दशमलव भिन्नों को एक के नीचे एक लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाएँ अंक एक के नीचे एक हों;
• आपको अल्पविरामों के बावजूद, यानी प्राकृतिक संख्याओं के रूप में लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
• प्रत्येक संख्या में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनें;
• गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों के योग में निहित उतने डिजिटल प्रतीकों को दाईं ओर से गिनना होगा, और एक अलग चिह्न लगाना होगा;
• यदि उत्पाद में कम संख्याएँ हैं, तो आपको इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने उतने ही शून्य लिखने होंगे, अल्पविराम लगाना होगा और पूरे भाग को शून्य के बराबर जोड़ना होगा।

उदाहरण. दो दशमलव भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।

समाधान.

मिश्रित भिन्नों को गुणा करना

दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के नियम का उपयोग करना होगा:

• मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• अंशों का गुणनफल ज्ञात करें;
• हर का गुणनफल ज्ञात करें;
• परिणाम लिखो;
• अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं.

उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को किसी संख्या से गुणा करना)

दो भिन्नों और मिश्रित संख्याओं का गुणनफल खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जिनमें आपको भिन्न से गुणा करना होता है।

तो, उत्पाद खोजने के लिए दशमलवऔर एक प्राकृतिक संख्या, आपको चाहिए:

• भिन्न के नीचे संख्या लिखें ताकि सबसे दाएँ अंक एक के ऊपर एक हों;
• अल्पविराम के बावजूद उत्पाद ढूंढें;
• परिणामी परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, अंश में दशमलव बिंदु के बाद स्थित अंकों की संख्या को दाईं ओर से गिनें।

गुणा करने के लिए सामान्य अंशकिसी संख्या के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक कारक का गुणनफल ज्ञात करना चाहिए। यदि उत्तर में ऐसा अंश आता है जिसे कम किया जा सकता है, तो उसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

उत्तर: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और अनियमित भिन्न अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।

भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या का गुणनफल और एक प्राकृतिक गुणनखंड खोजने से भी संबंधित है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूरे भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणामी परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2।

उत्तर: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 या 0.1 के गुणनखंडों से गुणा; 0.01; 0.001

यह पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है अगला नियम. किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंकों के बाद गुणनखंड में शून्य हों।

उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

उत्तर: 65.

उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

उत्तर: 3900.

यदि आपको किसी प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बायीं ओर उतने अंक वाले वर्णों द्वारा ले जाना चाहिए जितने एक से पहले शून्य हों। यदि आवश्यक हो तो प्राकृत संख्या से पहले पर्याप्त संख्या में शून्य लिखे जाते हैं।

उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

उत्तर: 0,56.

उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

उत्तर: 0,004.

इसलिए, भिन्न-भिन्न भिन्नों का गुणनफल खोजने में परिणाम की गणना करने के अलावा कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप कैलकुलेटर के बिना बस काम नहीं कर सकते।