हमारे आस-पास की कई वस्तुओं का आकार एक जैसा होता है ज्यामितीय आंकड़े. एल्बम शीट में एक आयत का आकार है। यदि आप कागज के एक टुकड़े पर एक गोल गिलास रखते हैं और उस पर पेंसिल से निशान बनाते हैं, तो आपको एक वृत्त को दर्शाने वाली एक रेखा मिलेगी। एक अंगूठी या घेरा आकार में एक वृत्त जैसा होता है, जबकि एक सर्कस के मैदान में, एक गिलास या प्लेट के नीचे एक वृत्त का आकार होता है। नारंगी, सॉकर बॉल, तरबूज एक गेंद की तरह दिखता है। हेक्स पेंसिल, मिस्र के पिरामिड- ये भी ज्यामितीय आकृतियाँ हैं।

ज्यामिति ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का विज्ञान है: त्रिकोण, वर्ग, वृत्त, पिरामिड, गोला, आदि।

शब्द "ज्यामिति" ग्रीक है और रूसी में अनुवादित इसका अर्थ है "भूमि सर्वेक्षण"। यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि ज्यामिति की उत्पत्ति हुई प्राचीन ग्रीस. लेकिन यूनानियों ने मिस्रवासियों से भूमि सर्वेक्षण की मूल बातें अपनाई और सामान्य कानून स्थापित करके इसे एक वैज्ञानिक अनुशासन में बदल दिया। ज्यामिति पर मुख्य कार्य प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड का "तत्व" है, जो लगभग 300 ईसा पूर्व संकलित किया गया था। यह काम लंबे समय तकअनुकरणीय माना गया। यूक्लिडियन ज्यामिति सबसे सरल ज्यामितीय रूपों का अध्ययन करती है: बिंदु, सीधी रेखाएं, खंड, बहुभुज, गेंदें, पिरामिड इत्यादि। यह ज्यामिति का वह खंड है जिसका अध्ययन स्कूल में किया जाता है।

1877 में, जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन ने अपने एर्लांगर कार्यक्रम में, ज्यामिति की विभिन्न शाखाओं का वर्गीकरण प्रस्तावित किया, जिसका उपयोग आज भी किया जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति, प्रक्षेप्य, एफ़िन, वर्णनात्मक, बहुआयामी, रीमैनियन, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, मैनिफोल्ड्स की ज्यामिति , टोपोलॉजी।

यूक्लिडियन ज्यामिति में दो भाग होते हैं: प्लैनिमेट्री और स्टीरियोमेट्री।

प्लानिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जिसमें एक समतल पर ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन किया जाता है।

स्टीरियोमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो अंतरिक्ष में आकृतियों का अध्ययन करती है।

प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री उन आकृतियों के गुणों का अध्ययन करती है जो प्रक्षेपित होने पर संरक्षित रहती हैं (एक अलग आकार के समान आंकड़ों के साथ प्रतिस्थापित)।

एफ़िन ज्योमेट्री समतल और अंतरिक्ष में विभिन्न परिवर्तनों के तहत आकृतियों के निरंतर गुणों का अध्ययन करती है।

इंजीनियरिंग अनुशासन - वर्णनात्मक ज्यामिति किसी वस्तु को चित्रित करने के लिए कई अनुमानों का उपयोग करता है, जो आपको वस्तु की त्रि-आयामी छवि बनाने की अनुमति देता है।

बहुआयामी ज्यामिति चौथे आयाम के वैकल्पिक अस्तित्व की पड़ताल करती है।

अलग-अलग वाद्य उपधाराएँ हैं: विश्लेषणात्मक ज्यामिति, जो ज्यामितीय आकृतियों का वर्णन करने के लिए बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करती है, और विभेदक ज्यामिति, जो विभिन्न कार्यों के ग्राफ़ का अध्ययन करती है।

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जूनियर अकादमी में कक्षाओं के दौरान, मुझसे यह पता लगाने के लिए कहा गया कि किस ज्यामिति का अध्ययन किया जाता है और कितनी बार किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगीहम उसे डेट कर रहे हैं.

मैंने ज्यामिति पर एक पाठ्यपुस्तक, एक विश्वकोश पढ़ा, ज्यामितीय आकृतियों की परिभाषाओं से परिचित हुआ, अपने आस-पास की वस्तुओं पर करीब से नज़र डाली और महसूस किया कि हम हर कदम पर ज्यामिति का सामना करते हैं, कभी-कभी इसके बारे में सोचे बिना भी। मुझे यह अवलोकन बहुत दिलचस्प लगा और मैंने इस विषय पर और अधिक विस्तार से शोध करना शुरू किया।

मैंने अपने लिए एक लक्ष्य निर्धारित किया: यह पता लगाना कि एक व्यक्ति हमारे आस-पास की दुनिया में कितनी बार ज्यामिति का सामना करता है और कौन सी ज्यामितीय आकृतियाँ दूसरों की तुलना में अधिक बार पाई जाती हैं।

अनुसंधान चरण:

मेरे अपार्टमेंट में अध्ययन का पहला चरण ज्यामिति है।

घर से लिसेयुम तक मेरे रास्ते में अनुसंधान का दूसरा चरण ज्यामिति है।

अध्ययन का तीसरा चरण लिसेयुम में ज्यामिति है।

चौथा चरण स्थूल-सूक्ष्म जगत में ज्यामिति है।

ज्यामिति किसका अध्ययन करती है?

ज्यामिति का उदय बहुत समय पहले हुआ था, यह सबसे प्राचीन विज्ञानों में से एक है। ग्रीक से अनुवादित, शब्द "ज्यामिति" का अर्थ है "भूमि सर्वेक्षण" (ग्रीक में "जियो" का अर्थ है पृथ्वी, और "मेट्रियो" का अर्थ है मापना)।

इस नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि ज्यामिति की उत्पत्ति विभिन्न से जुड़ी हुई थी मापने का काम, जिसे चिन्हित करते समय निष्पादित किया जाना था भूमि भूखंड, सड़कों का निर्माण, भवनों और अन्य संरचनाओं का निर्माण। इस गतिविधि के परिणामस्वरूप, वहाँ प्रकट हुआ और धीरे-धीरे जमा हुआ अलग नियमज्यामितीय माप और निर्माण से संबंधित।

ज्यामिति व्यावहारिक मानव गतिविधि के आधार पर उत्पन्न हुई और व्यावहारिक उद्देश्यों को पूरा किया। इसके बाद, ज्यामिति का गठन एक स्वतंत्र विज्ञान के रूप में हुआ जो ज्यामितीय आकृतियों के अध्ययन से संबंधित है।

ज्यामितीय आकृतियाँ बहुत विविध हैं। हम जानते हैं कि एक बिंदु, एक सीधी रेखा, एक खंड, एक किरण, एक कोण क्या है।

हम त्रिभुज, आयत, वृत्त और अन्य आकृतियों से परिचित हैं।

स्कूल में पढ़ाई जाने वाली ज्यामिति को यूक्लिडियन कहा जाता है, जिसका नाम प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने गणित पर द बिगिनिंग नामक एक मैनुअल बनाया था। लम्बे समय तक इसी पुस्तक से ज्यामिति का अध्ययन किया जाता रहा।

ज्यामिति को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: प्लैनिमेट्री और स्टीरियोमेट्री।

प्लानिमेट्री एक समतल पर आकृतियों से संबंधित है। ऐसी आकृतियों के उदाहरण खंड, त्रिभुज और आयत हैं।

स्टीरियोमेट्री में, अंतरिक्ष में गेंद और सिलेंडर जैसी आकृतियों के गुणों का अध्ययन किया जाता है।

घर पर ज्यामिति.

हमारे घर की सभी वस्तुएँ विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों से मिलती जुलती हैं। आइए उनमें से कुछ पर विचार करें और उनका वर्णन करें।

उदाहरण के लिए, एक ग्लोब - यह एक गेंद जैसा दिखता है। वैज्ञानिक परिभाषाएक गेंद की स्थिति इस प्रकार है: एक गेंद एक पिंड है जिसमें अंतरिक्ष में सभी बिंदु शामिल होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से अधिक दूरी पर स्थित नहीं होते हैं। इस बिंदु को गेंद का केंद्र कहा जाता है, और यह दूरी गेंद की त्रिज्या है।

ग्लोब, जैसा कि हम जानते हैं, ग्लोब का एक मॉडल है। और पृथ्वी की तरह ही, एक ग्लोब भी अपनी धुरी पर घूम सकता है।

एक गेंद, एक सिलेंडर और एक शंकु की तरह, क्रांति का एक पिंड है। इसे इसके व्यास के चारों ओर एक अक्ष के रूप में अर्धवृत्त घुमाकर प्राप्त किया जाता है।

एक मोटी किताब एक समानांतर चतुर्भुज की तरह दिखती है। क्योंकि, एक समान्तर चतुर्भुज की तरह, इसके सभी विपरीत फलक और भुजाएँ समान्तर हैं। रसोई में डिब्बाबंद भोजन का डिब्बा एक सिलेंडर के आकार का होता है। और वास्तव में, इसमें समानांतर विमानों में स्थित दो वृत्त और एक दीवार है, जिसे इन वृत्तों पर संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले खंडों के एक समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। अलमारियाँ, अलमारियाँ और बेडसाइड टेबल समान समानांतर चतुर्भुज हैं। दरवाज़ों का आकार आयताकार जैसा है। दीवारें, छत, खिड़कियाँ भी आयतों से मिलती जुलती हैं।

कुछ वस्तुओं का आकार अधिक जटिल होता है - उदाहरण के लिए, एक कोने वाला अर्धवृत्ताकार बेडसाइड टेबल एक वृत्त के एक सेक्टर जैसा दिखता है। यदि हम इसे ऊपर से देखें, तो हमें दो खंड दिखाई देते हैं जो त्रिज्याएँ हैं और इन त्रिज्याओं के सिरों को जोड़ने वाले वृत्त का एक चाप है।

खिड़की पर फूल का बर्तन एक कटे हुए शंकु जैसा दिखता है, क्योंकि इसकी कल्पना कई खंडों से जुड़े एक वृत्त के रूप में की जा सकती है, जो इस वृत्त में नहीं है, और इसे छोटा कर दिया गया है क्योंकि शंकु का शीर्ष गायब है, ऐसा लगता है हवाई जहाज़ से कट जाना. एक और फूलदानएक गोलार्ध का आकार है. यदि आप इनमें से दो बर्तनों को एक साथ रखते हैं, तो आपको एक गोला (एक गेंद की सतह) मिलता है

यदि हम खिड़की पर पर्दे के मोड़ को देखें, तो हम देखेंगे कि यह एक घुमावदार रेखा का वर्णन करता है जिसे साइन वेव कहा जाता है।

हमारे घर में किसी भी ज्यामितीय आकृतियों से मिलती-जुलती वस्तुओं की विविधता में, आयताकार खंड और आकृतियाँ प्रमुख हैं।

घर से लिसेयुम के रास्ते में ज्यामिति।

सड़क पर हम मनुष्य द्वारा बनाई गई वस्तुएं और वस्तुएं देखते हैं प्राकृतिक उत्पत्ति. उदाहरण के लिए: किसी व्यक्ति द्वारा निर्मित आवासीय भवन। यह एक समान्तर चतुर्भुज है.

सड़क के किनारे लगे लैंपपोस्ट सीधी रेखाओं से मिलते जुलते हैं।

छत ट्रांसफार्मर सबस्टेशनयह एक त्रिकोणीय प्रिज्म है. इसकी दो त्रिभुजाकार भुजाएँ समान्तर तलों में स्थित हैं और पार्श्व सतहें, जो एक प्रिज्म बनाते हैं।

और ट्राम रेल को समानांतर सीधी रेखाओं के रूप में सोचा जा सकता है। ट्रॉलीबस के तार भी समानांतर सीधी रेखाएँ हैं।

प्राकृतिक उत्पत्ति की एक वस्तु नदी तल है। इसे एक घुमावदार रेखा के रूप में सोचा जा सकता है।

लिसेयुम में ज्यामिति।

लिसेयुम में हम आयताकार आकृतियों, विभिन्न खंडों और विमानों की प्रधानता पाते हैं।

अंदर सर्पिल सीढ़ी वाला लिसेयुम टॉवर एक सिलेंडर जैसा दिखता है। मीनार का शीर्ष एक शंकु जैसा दिखता है।

स्वरुप स्व घुमावदार सीडियाँयह एक हेलिक्स है, एक स्थिर त्रिज्या वाला त्रि-आयामी सर्पिल।

लिसेयुम के प्रवेश द्वार पर स्तंभ भी सिलेंडर हैं। हॉल की सीढ़ियाँ आकार में समलम्बाकार हैं। उनकी दो भुजाएँ समानांतर हैं और समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं, और अन्य दो समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

सीढ़ियों पर कदम, दरवाजे, गलियारों और कक्षाओं की दीवारें आयतों से मिलती जुलती हैं।

लिसेयुम में, सभी प्रकार की वस्तुओं के साथ, सीधी और आयताकार आकृतियाँ प्रबल होती हैं।

सूक्ष्मदर्शी के नीचे ज्यामिति.

चूँकि हमारे चारों ओर मौजूद वस्तुएँ बहुत छोटी हो सकती हैं, आइए एक माइक्रोस्कोप का उपयोग करें और टेबल नमक और चीनी के क्रिस्टल को देखें।

बड़ा करने पर नमक का एक दाना घन के आकार का निकला। चीनी के एक दाने का आकार एक आयत जैसा होता है, और ये आयत कभी-कभी अनियमित आकार की एक आकृति में मिल जाते हैं।

अंतरिक्ष में ज्यामिति.

हमारे चारों ओर मौजूद वस्तुओं में ज्यामितीय आकृतियों की खोज पूरी नहीं होगी यदि हम अंतरिक्ष वस्तुओं की ओर रुख नहीं करते और यह निर्धारित नहीं करते कि उनके पास क्या आकार हैं। आइए ग्रहों, तारों, आकाशगंगाओं के आकार और अंतरिक्ष में उनकी गति के प्रक्षेप पथ पर विचार करें।

इनका आकार गोलाकार होता है। यह सिद्ध हो चुका है कि सभी ग्रह सौर परिवारइनका आकार गेंद जैसा होता है।

ब्रह्मांडीय वस्तुएं होने के कारण, ग्रहों की तरह तारे भी एक गेंद के आकार के होते हैं। सूर्य एक विशाल गेंद जैसा दिखता है।

आकाशगंगाएँ:

वैज्ञानिकों ने पाया है कि आकाशगंगाओं का आकार अक्सर एक ज्यामितीय आकृति जैसा होता है जिसे सर्पिल कहा जाता है।

ग्रहों की कक्षाएँ:

ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार प्रक्षेपपथ के साथ घूमते हैं। यह ज्ञात है कि पृथ्वी पर ऋतुओं का परिवर्तन ठीक-ठीक इसलिए होता है क्योंकि पृथ्वी की कक्षा एक दीर्घवृत्त है।

निष्कर्ष: में वाह़य ​​अंतरिक्षइसमें केवल गोल या अन्य घुमावदार आकृतियों की वस्तुएं हैं और कोई सीधी रेखा वाली वस्तुएं नहीं हैं।

हमारे चारों तरफ है एक बड़ी संख्या कीऐसी वस्तुएं जिनमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों का आकार होता है। साथ ही, सीधे तत्वों, कोणों, खंडों और विमानों वाली आकृतियाँ कृत्रिम उत्पत्ति की वस्तुएं हैं और मनुष्य द्वारा बनाई गई हैं। प्राकृतिक उत्पत्ति की वस्तुओं का आकार गोल होता है, जैसे गेंद, दीर्घवृत्त, चाप। अपवाद वे क्रिस्टल हैं जिनका आकार आयताकार होता है।

"स्टीरियोमेट्री की बुनियादी अवधारणाएं और सिद्धांत। रेखाओं और विमानों की समानता"

स्टीरियोमेट्रीज्यामिति की एक शाखा है जिसमें अंतरिक्ष में आकृतियों के गुणों का अध्ययन किया जाता है।

शब्द "स्टीरियोमेट्री" ग्रीक शब्द "στερεοσ" से आया है - वॉल्यूमेट्रिक, स्थानिक और "μετρεο" - मापने के लिए।

अंतरिक्ष में सबसे सरल आंकड़े:बिंदु, सीधी रेखा, समतल।

विमान।हवाई जहाज़ का विचार देता है सौम्य सतहमेज या दीवार. एक ज्यामितीय आकृति के रूप में विमान की सभी दिशाओं में असीमित विस्तार के रूप में कल्पना की जानी चाहिए।
चित्रों में, विमानों को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में या एक मनमाना क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है और ग्रीक अक्षरों α, β, γ, आदि द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। बिंदु A और B β तल में स्थित हैं (β तल इन बिंदुओं से होकर गुजरता है), लेकिन बिंदु M, N, P इस तल में नहीं हैं। इसे संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: A ∈ β, B ∈ β,

स्टीरियोमेट्री के सिद्धांत और उनके परिणाम

अभिगृहीत 1.किन्हीं तीन बिंदुओं से, जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, एक विमान गुजरता है, और केवल एक।
स्वयंसिद्ध 2. यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक तल में स्थित हों, तो रेखा के सभी बिंदु इसी तल में स्थित होते हैं। (एक सीधी रेखा एक समतल पर स्थित होती है या एक समतल सीधी रेखा से होकर गुजरती है)।
अभिगृहीत 2 से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि कोई रेखा किसी दिए गए तल में नहीं है, तो उसके साथ अधिकतम एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। यदि एक सीधी रेखा और एक समतल में एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो कहा जाता है कि वे प्रतिच्छेद करते हैं।
स्वयंसिद्ध 3. इस मामले में, वे कहते हैं कि विमान एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं। उदाहरण: दो आसन्न दीवारों का प्रतिच्छेदन, एक कमरे की दीवार और छत।

स्वयंसिद्धों से कुछ परिणाम

प्रमेय 1.प्रत्यक्ष के माध्यम से एऔर उस पर एक बिंदु नहीं पड़ा है एएक विमान गुजरता है, और उस पर केवल एक ही।
प्रमेय 2.दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के माध्यम से एऔर बीएक विमान गुजरता है, और उस पर केवल एक ही।

अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएँ

अंतरिक्ष में दो रेखाएं कहलाती हैं समानांतर, यदि वे एक ही तल में हों और प्रतिच्छेद न करें।

समानांतर रेखाओं पर प्रमेय. अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा गुजरती है, और, इसके अलावा, केवल एक।
समांतर रेखाओं द्वारा एक समतल के प्रतिच्छेदन पर लेम्मा।यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक किसी दिए गए तल को काटती है, तो दूसरी रेखा भी इसी तल को काटती है।
अंतरिक्ष में तीन रेखाओं के बारे में प्रमेय.यदि दो रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (यदि ए∥सीऔर बी∥सी, वह ए∥बी).

एक रेखा और एक समतल की समानता

एक रेखा और एक समतल को समानांतर कहा जाता है यदि उनमें उभयनिष्ठ बिंदु न हों।

एक रेखा और एक समतल के बीच समानता का संकेत प्रमेय.यदि किसी दिए गए तल में न पड़ी हुई कोई रेखा इस तल में पड़ी हुई किसी रेखा के समानांतर है, तो वह दिए गए तल के समानांतर होती है।
प्रमेय.यदि एक विमान किसी अन्य विमान के समानांतर दी गई रेखा से गुजरता है और इस विमान को काटता है, तो विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है। प्रमेय.यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक किसी दिए गए विमान के समानांतर है, तो दूसरी रेखा भी या तो दिए गए विमान के समानांतर है या इस विमान में स्थित है।

अंतरिक्ष में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

प्रतिच्छेदी रेखाएँ:एक ही तल में लेटें और एक उभयनिष्ठ बिंदु रखें।	समानांतर रेखाएं:एक ही तल में हों, कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो (प्रतिच्छेद न करें)	पार लाइनों:एक ही तल में न रहें, उभयनिष्ठ बिंदु न हों (प्रतिच्छेद न करें)

स्टीरियोमेट्री

स्टीरियोमेट्री(प्राचीन ग्रीक στερεός से, "स्टीरियोस" - "ठोस, वॉल्यूमेट्रिक, स्थानिक" और μετρέω, "मेट्रीओ" - "मैं मापता हूं") - ज्यामिति का एक खंड जिसमें अंतरिक्ष में आकृतियों के गुणों का अध्ययन किया जाता है। अंतरिक्ष में मुख्य (सरलतम) आकृतियाँ बिंदु, रेखाएँ और तल हैं। स्टीरियोमेट्री में प्रकट होता है नये प्रकार कारेखाओं की सापेक्ष स्थिति: प्रतिच्छेदी रेखाएँ। यह स्टीरियोमेट्री और प्लैनिमेट्री के बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतरों में से एक है, क्योंकि कई मामलों में स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को विभिन्न स्तरों पर विचार करके हल किया जाता है जिसमें प्लैनिमेट्रिक कानून संतुष्ट होते हैं।

इस खंड को प्लैनिमेट्री के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि प्लैनिमेट्री में एक समतल पर आकृतियों के गुणों (समतल आकृतियों के गुण) का अध्ययन किया जाता है, और स्टीरियोमेट्री में - अंतरिक्ष में आकृतियों के गुणों (स्थानिक आकृतियों के गुण) का अध्ययन किया जाता है।

स्टीरियोमेट्री के सिद्धांत

• प्रत्येक सीधी रेखा पर और प्रत्येक तल में हैं कम से कमदो बिंदु।
• अंतरिक्ष में विमान हैं. अंतरिक्ष के प्रत्येक तल में, प्लैनिमेट्री के सभी सिद्धांत संतुष्ट होते हैं।
• किन्हीं तीन बिंदुओं के माध्यम से जो एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं, एक विमान खींचा जा सकता है, और केवल एक।
• तल जो भी हो, ऐसे बिंदु हैं जो इस तल से संबंधित हैं और ऐसे बिंदु भी हैं जो इससे संबंधित नहीं हैं।
• यदि किसी रेखा पर दो बिंदु एक ही तल पर स्थित हों, तो रेखा के सभी बिंदु उसी तल पर स्थित होते हैं।
• यदि दो भिन्न तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो उनमें एक उभयनिष्ठ सीधी रेखा होती है, जिस पर इन तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु स्थित होते हैं।
• कोई भी समतल α अंतरिक्ष में उन बिंदुओं के समूह को विभाजित करता है जो उससे संबंधित नहीं हैं, उन्हें दो गैर-रिक्त सेटों में विभाजित करता है ताकि:
  1. विभिन्न सेटों से संबंधित किन्हीं दो बिंदुओं को समतल α द्वारा अलग किया जाता है;
  2. एक ही सेट से संबंधित कोई भी दो बिंदु समतल α द्वारा अलग नहीं किए जाते हैं।
• अंतरिक्ष में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी इन बिंदुओं वाले किसी भी तल पर समान होती है।

बहुतल

बहुफलक एक ऐसा पिंड है जिसकी सतह पर सीमित संख्या में समतल बहुभुज होते हैं। इन बहुभुजों को बहुफलक के फलक कहा जाता है, और बहुभुज की भुजाओं और शीर्षों को क्रमशः बहुफलक के किनारे और शीर्ष कहा जाता है। पॉलीहेड्रा उत्तल या गैर-उत्तल हो सकता है। एक उत्तल बहुफलक उसके किसी भी फलक से गुजरने वाले समतल के सापेक्ष एक तरफ स्थित होता है।

साहित्य

• वी. वी. प्रसोलोव, आई. एफ. शैरगिन। स्टीरियोमेट्री में समस्याएं. - एम.: नौका, 1989।
• आई. एफ. शैरगिन। ज्यामिति समस्याएं (स्टीरियोमेट्री)। एम.: नौका, 1984. - 160 पी। (लाइब्रेरी "क्वांटम", अंक 31)।

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अभिन्न समीकरण ज्यामिति और टोपोलॉजी ज्यामिति टोपोलॉजी डिस्क्रीट मैथ

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स्टीरियोमेट्री की मूल अवधारणाएँ और सिद्धांत क्या हैं?

दुःखी संसार

ए1. किन्हीं तीन बिंदुओं से जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, एक विमान गुजरता है और केवल एक ही धारा होती है।
A2 यदि एक सीधी रेखा के 2 बिंदु एक तल में स्थित हों, तो सभी बिंदु। इस रेखा का भाग समतल में स्थित है।
A3 यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनमें एक उभयनिष्ठ सीधी रेखा होती है जिस पर सभी उभयनिष्ठ बिंदु स्थित होते हैं।

नतीजे:
1. एक तल एक रेखा और उस पर न पड़े एक बिंदु से होकर गुजरता है।
2. एक विमान दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है और, इसके अलावा, केवल एक ही धारा होती है।

यूरी मलिकोव

यहां हमें स्पष्ट करने की जरूरत है. इन तीन कथनों में से किसी को भी प्रारंभ में एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जा सकता है। फिर शेष दो प्रमेय लिए गए स्वयंसिद्ध के आधार पर सिद्ध किए जाएंगे:
1. किन्हीं तीन बिंदुओं से, जो एक ही सीधी रेखा पर न हों, एक तल गुजरता है और इसके अलावा, केवल एक धारा गुजरती है।
2. एक तल एक रेखा और उस पर न पड़े एक बिंदु से होकर गुजरता है।
3. एक विमान दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है और, इसके अलावा, केवल एक ही धारा होती है।

एलेक्सी रयाबचिकोव

प्लैनिमेट्री में, मुख्य आकृतियाँ बिंदु और सीधी रेखाएँ थीं। स्टीरियोमेट्री में इनके साथ ही एक और मूल आकृति मानी जाती है - समतल। समतल का विचार किसी मेज़ या दीवार की चिकनी सतह से होता है। एक ज्यामितीय आकृति के रूप में विमान की सभी दिशाओं में असीमित विस्तार के रूप में कल्पना की जानी चाहिए।
पहले की तरह, हम बिंदुओं को बड़े अक्षरों में निरूपित करेंगे लैटिन अक्षरों के साथए, बी, सी, आदि, और सीधी रेखाएँ - छोटे लैटिन अक्षर ए, बी, सी, आदि या दो बड़े लैटिन अक्षर एबी, सीडी, आदि। हम समतलों को ग्रीक अक्षरों ए, पी, वाई आदि से निरूपित करेंगे। रेखाचित्रों में समतलों को समांतर चतुर्भुज के रूप में या एक मनमाना क्षेत्र के रूप में दर्शाया जाता है।
बिंदुओं, रेखाओं और तलों के मूल गुणों को उनकी सापेक्ष स्थिति के संबंध में अभिगृहीतों में व्यक्त किया जाता है। स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्धों की पूरी प्रणाली में कई स्वयंसिद्ध सिद्धांत शामिल हैं, जिनमें से अधिकांश हम प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से परिचित हैं। हम अंतरिक्ष में बिंदुओं, रेखाओं और विमानों की सापेक्ष स्थिति के बारे में केवल तीन सिद्धांत तैयार करेंगे। नीचे उन्हें A:, A1, A2 नामित किया गया है। ए3.
A1: किन्हीं तीन बिंदुओं से, जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, एक विमान गुजरता है, और केवल एक से।
बिंदु A, B और C से गुजरने वाला एक विमान जो एक ही रेखा पर नहीं होता है उसे कभी-कभी ABC विमान कहा जाता है। ध्यान दें कि यदि हम तीन नहीं, बल्कि चार मनमाने बिंदु लेते हैं, तो एक भी विमान उनसे होकर नहीं गुजर सकता है। दूसरे शब्दों में, चारों बिंदु एक ही तल में नहीं हो सकते। इस तथ्य की ऐसी स्पष्ट पुष्टि से हर कोई परिचित है: यदि कुर्सी के पैर लंबाई में समान नहीं हैं, तो कुर्सी तीन पैरों पर खड़ी होती है, यानी यह तीन "बिंदुओं" पर टिकी होती है और चौथे का अंत होता है पैर (चौथा "बिंदु") फर्श के तल में नहीं है, बल्कि हवा में लटका हुआ है।
A2: यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक तल में स्थित हों, तो रेखा के सभी बिंदु इसी तल में स्थित होते हैं।
इस मामले में, वे कहते हैं कि रेखा समतल में स्थित है या समतल रेखा से होकर गुजरती है।
अभिगृहीत A2 में व्यक्त संपत्ति का उपयोग ड्राइंग रूलर की "सपाटता" की जांच करने के लिए किया जाता है। इस प्रयोजन के लिए, रूलर के किनारे को टेबल की सपाट सतह पर लगाया जाता है। यदि रूलर का किनारा चिकना (सीधा) है, तो इसके सभी बिंदु टेबल की सतह से सटे हुए हैं। यदि किनारा असमान है, तो कुछ स्थानों पर इसके और टेबल की सतह के बीच एक अंतर बन जाएगा।"
अभिगृहीत A2 से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि कोई रेखा किसी दिए गए तल में नहीं है, तो उसके साथ अधिकतम एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। यदि किसी रेखा और समतल में केवल एक ही उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो कहा जाता है कि वे प्रतिच्छेद करते हैं।
A3: यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा है जिस पर इन तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु स्थित हैं।
इस मामले में, कहा जाता है कि विमान एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं। एक स्पष्ट चित्रणअभिगृहीत A3 दो आसन्न दीवारों, कक्षा की दीवार और छत का प्रतिच्छेदन है।

लक्ष्य: अपने विचारों को सही ढंग से, लगातार, तर्कसंगत रूप से व्यक्त करने की क्षमता प्राप्त करना, छात्रों के क्षितिज को व्यापक बनाना, उनकी गणितीय संस्कृति के स्तर को बढ़ाना, तार्किक सोच, छात्रों के व्यक्तिगत गुणों, निष्कर्ष निकालने और सामान्यीकरण करने की क्षमता विकसित करना।

उपकरण:

• कंप्यूटर प्रस्तुति परिशिष्ट 1 ।
• खेल का मैदान (2 टुकड़े) - हैंडआउट्स . परिशिष्ट 2।

पुरालेख: “गणित तो बस एक खेल है जिसके अनुसार खेला जाता है सरल नियमऔर अर्थहीन पदनामों का प्रयोग करें। गिल्बर्ट)

आयोजन की प्रगति

1. परिचयात्मक भाग - 3 मिनट।

प्रस्तुतकर्ता आई.“गणित महज एक खेल है, जो सरल नियमों के अनुसार और अर्थहीन प्रतीकों का उपयोग करके खेला जाता है।” ये महान जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट के शब्द हैं... आज हम "समुद्री युद्ध" खेल रहे हैं! ( इसके बाद टीमों, जूरी के सदस्यों का परिचय और टीमों का अभिनंदन किया जाता है।)

2. खेल के नियमों का विवरण - 2 मिनट।

प्रस्तुतकर्ता द्वितीय.खेल के नियम सुनें. मुख्य लक्ष्य दुश्मन के जहाजों को "डूबना" है सीधी चोटलक्ष्य पर प्रहार करें और साथ ही यथासंभव अधिक से अधिक अंक अर्जित करें। प्रत्येक टीम का अपना खेल मैदान होता है। (स्लाइड) फ़ील्ड के प्रत्येक सेल के निर्देशांक संख्याओं और रूसी अक्षरों से चिह्नित हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो फ़ील्ड की समान छवियां टीमों की टेबल पर हैं। प्रत्येक टीम ने पहले अपने जहाजों को अपनी इच्छानुसार तैनात किया था, लेकिन दुश्मन जहाजों का स्थान उनके लिए अज्ञात है। प्रत्येक खेल के मैदान पर "जहाज" होते हैं: चार-डेक, तीन-डेक, दो-डेक और एक-डेक। टीमें तालिका में किसी भी सेल के निर्देशांक को बारी-बारी से कॉल करती हैं। यदि जहाज का एक डेक इसके नीचे है, तो टीम को इस सेल से संबंधित प्रश्न का उत्तर देने और एक अंक अर्जित करने का अवसर दिया जाता है।

प्रस्तुतकर्ता आई. प्रश्न का उत्तर देने के बाद, टीम को अगले शॉट का अधिकार मिल जाता है। यदि कोई टीम लक्ष्य से चूक जाती है या किसी प्रश्न का गलत उत्तर देती है, तो अगला शॉट दूसरी टीम को दे दिया जाता है। यदि गोली किसी ऐसे सेल में गिरती है जिस पर किसी दुश्मन जहाज का कब्जा नहीं है, तो टीम को प्रतिक्रिया मिलती है "अतीत!" और निशानेबाजों ने इस स्थान पर किसी और के वर्ग पर एक बिंदु लगा दिया।

प्रस्तुतकर्ता द्वितीय. यदि टीमों में से किसी एक के मैदान पर एक भी जहाज अज्ञात नहीं बचा है, तो खेल समाप्त माना जाता है, अर्थात। जहाजों के सभी 10 डेक हिट हो जाएंगे, और सबसे अधिक अंक वाली टीम जीत जाएगी।

मैं यह नोट करना चाहूंगा कि विभिन्न जहाजों के अलग-अलग कार्य होते हैं। तो, 4-डेक जहाज के लिए अंक प्राप्त करने के लिए, आपको प्रस्तावित चार में से एक विकल्प चुनकर सही उत्तर का अनुमान लगाना होगा, तीन-डेक जहाज में गणित के इतिहास से संबंधित प्रश्न होते हैं, दो-डेक जहाज में तर्क समस्याएं होती हैं , और एक उदाहरण को हल करके, आप सिंगल-डेक जहाज के लिए अंक अर्जित कर सकते हैं। ( परिशिष्ट 3)

3. पहले गोली चलाने के अधिकार के लिए रैफ़ल - 5 मिनट।

प्रस्तुतकर्ता आई. खेल शुरू करने से पहले, आइए पहले शॉट के दाएँ भाग को खेलें। प्रत्येक टीम को 1 मिनट का समय देना होगा सबसे बड़ी संख्यासही उत्तर। प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक प्रदान किया जाता है। जिस टीम को सबसे अधिक अंक मिलते हैं उसे पहले खेल शुरू करने का मौका मिलता है। यदि आप किसी प्रश्न का उत्तर नहीं जानते हैं, तो उत्तर दें: "अगला!"

पहली टीम के लिए प्रश्न.

1. उस फ़ंक्शन का नाम क्या है जिसके लिए समानता f(-х)= – f(х) सत्य है? (विषम)
2. यह दो बिंदुओं के माध्यम से किया जा सकता है. यह एक ग्राफ है रैखिक प्रकार्य. (सीधा)
3. "गणित दिमाग को व्यवस्थित करता है" शब्द का मालिक कौन है? (लोमोनोसोव)
4. कॉस किस तिमाही में है? सकारात्मक? (मैं, चतुर्थ)
5. 64 का घनमूल. (4)
6. दो ने 2 घंटे तक शतरंज खेली। प्रत्येक व्यक्ति ने कितनी देर तक खेला? (2 घंटे)
7. 3, 4, 5 भुजाओं वाले त्रिभुज को आप क्या कहते हैं? (मिस्र के)
8. 4 प्राप्त करने के लिए आपको 2 को किस संख्या से विभाजित करना होगा? (1/2)
9. किसी संख्या का सौवाँ भाग। (%)
10. यह किस कोण का वर्णन करेगा? घड़ी में घंटे की सूई 2 घंटे में? (60°)
11. प्राचीन ग्रीक में "ट्रेपेज़ॉइड" का क्या अर्थ है? (मेज़)
12. वह विज्ञान जो अंतरिक्ष में आकृतियों के गुणों का अध्ययन करता है। (स्टीरियोमेट्री)
13. बिंदु के प्रथम निर्देशांक का नाम. (एब्सिस्सा)
14. एक किलोमीटर एक मिलीमीटर से कितनी बार लंबा होता है? (1 मिलियन)
15. एक से एक अंश कम. (सही)

दूसरी टीम के लिए प्रश्न.

1. उस फ़ंक्शन का नाम क्या है जिसके लिए समानता f(-x) = f(x) सत्य है? (यहां तक ​​की)
2. कौन सा प्राचीन गणितज्ञ मुट्ठी की लड़ाई में पहला ओलंपिक चैंपियन था? (पाइथागोरस)
3. दो समान भुजाओं वाले त्रिभुज का क्या नाम है? (समद्विबाहु)
4. एक पैर पर खड़े मुर्गे का वजन 5 किलो होता है। दो पैरों पर उसका वजन कितना होगा? (5 किग्रा)
5. क्या आयत के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं? (नहीं)
6. 2 वर्ग 4, 3 वर्ग 9. एक वर्ग में कोण कितना होता है? (90°)
7. वह विज्ञान जो समतल पर आकृतियों के गुणों का अध्ययन करता है। (प्लानिमेट्री)
8. एक बयान बिना सबूत के स्वीकार कर लिया गया. (स्वयंसिद्ध)
9. जब आप 2 दहाई को 3 दहाई से गुणा करते हैं तो आपको कितनी दहाई मिलती है? (60 दहाई)
10. उन दोनों में क्या समान है? समद्विबाहु त्रिकोणऔर डिग्री? (आधार)
11. उस संख्या का नाम बताइए जो बिना किसी शेषफल के किसी भी संख्या से विभाज्य है। (0)
12. वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड। (राग)
13. प्राचीन ग्रीक में "कर्ण" का क्या अर्थ है? (डोरी)
14. व्युत्क्रम आनुपातिकता ग्राफ. (अतिपरवलय)
15. 16 और 28 के बीच कितनी विषम संख्याएँ हैं? (6)

4. समुद्री युद्ध - 26-35 मिनट।

टीमें बारी-बारी से शूटिंग करती हैं, यदि वे जहाज के किसी एक डेक से टकराते हैं, तो संबंधित कार्य के साथ एक स्लाइड दिखाई देती है। प्रस्तुतकर्ता आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

सही उत्तर का अनुमान लगाने के लिए प्रश्न: (8 पीसी.) (8 मिनट)

प्रस्तुतकर्ता आई. चार-डेकर जहाज के लिए अंक प्राप्त करने के लिए, आपको प्रस्तावित चार में से एक उत्तर चुनकर, 4 पेचीदा सवालों के जवाब देने होंगे। इनका उत्तर केवल वही व्यक्ति दे सकता है जो गणित के इतिहास से थोड़ा भी परिचित हो, या तर्क का उपयोग करता हो। आपको अपने उत्तर के बारे में सोचने के लिए एक मिनट का समय दिया जाता है। (स्लाइड्स)

1. यह वाला गणितीय शब्दग्रीक से अनुवादित का अर्थ है "स्ट्रिंग"।

एक स्वर।
बी) प्रत्यक्ष.
सी) खंड.
डी) किरण.

2. ग्रीक में "शंकु" शब्द का क्या अर्थ है?

ए) गोल पिरामिड.
बी) छत.
सी) पाइन शंकु।
डी) ऊंची टोपी।

3. गणितज्ञ एस.वी. कहाँ हैं? कोवालेवस्काया ने उच्च शिक्षा प्राप्त की?

लेकिन रूस में.
बी) स्विट्ज़रलैंड में।
सी) जर्मनी में.
डी) इंग्लैंड में.

4. दशमांश एक माप है:

ए) वजन.
बी) क्षेत्र.
ग) लंबाई।
डी) आयतन।

5. प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ।

ए) परवलय।
बी) अतिशयोक्ति।
सी) प्रत्यक्ष.
डी) वक्र.

6. प्रथम कंप्यूटर का निर्माता कौन था?

ए) बी पास्कल।
बी) आर डेसकार्टेस।
सी) पाइथागोरस।
डी) के. गॉस।

7. फ्रांसीसी वैज्ञानिक जिन्होंने समन्वय विधि का आविष्कार किया।

ए) आर डेसकार्टेस।
बी) एल यूलर।
सी) बी पास्कल।
डी) थेल्स।

8. यह नाम दो लैटिन शब्दों "ट्वाइस" और "सेकु" से आया है। यह किस बारे में है?

ए) एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में।
बी) एक आयत के बारे में।
C)समानांतर रेखाओं के बारे में.
डी)द्विभाजक के बारे में.

गणित के इतिहास पर प्रश्न: (6 टुकड़े) (6 मिनट)

प्रस्तुतकर्ता आई. तीन-डेकर जहाज को मार गिराने के लिए, आपको गणित के इतिहास से संबंधित प्रश्नों का उत्तर देना होगा प्राचीन विज्ञान. इसका इतिहास नामों, विचारों और घटनाओं, अद्भुत और कभी-कभी महान खोजों से समृद्ध है। गणित का इतिहास हमें गणित में निहित विचारों की गहरी समझ हासिल करने में मदद करता है। इसीलिए हमने उन लोगों को याद करने के लिए खेल का उपयोग करने का निर्णय लिया जो गणित के मूल में खड़े थे। इस प्रतियोगिता में आपको मौखिक विवरण के आधार पर गणितज्ञ का नाम बताना होगा। (स्लाइड्स)

प्रश्न 1: उन्हें प्रथम ज्यामितिमापी में से एक माना जाता है। राजनीतिज्ञ, भौतिक विज्ञानी, अपने समय के अग्रणी खगोलशास्त्री। वह वर्ष की लंबाई की खोज और इसे 365 दिनों में विभाजित करने के लिए जिम्मेदार थे। वह उर्सा माइनर और पोलर स्टार की खोज करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिसके द्वारा नाविक समुद्र में नेविगेट करते थे, ऊर्ध्वाधर कोणों की समानता साबित करते थे, त्रिकोणों की समानता का दूसरा संकेत, एक समद्विबाहु त्रिकोण के आधार पर कोणों की समानता पर प्रमेय . यह गणितज्ञ कौन है?

उत्तर: यह छठी-सातवीं शताब्दी के प्राचीन यूनानी गणितज्ञों में से एक हैं। ईसा पूर्व इ। थेल्स ऑफ़ मिलिटस.

प्रश्न 2. एक बार फ्रांसीसी अपने सैनिकों के लिए स्पेनिश सरकार के आदेशों को रोकने में कामयाब रहे, जो एक बहुत ही जटिल गुप्त लिपि में लिखे गए थे। बुलाया गया गणितज्ञ इस सिफर की कुंजी ढूंढने में कामयाब रहा। तब से, फ्रांसीसी स्पेनियों की योजनाओं को जानते थे और सफलतापूर्वक उनकी प्रगति को रोकते थे। इनक्विजिशन ने गणितज्ञ पर शैतान की मदद का सहारा लेने का आरोप लगाया और उसे दांव पर जला देने की सजा सुनाई। उसे इन्क्वायरी को नहीं सौंपा गया था।

उत्तर: फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस विएते, 16वीं शताब्दी।

प्रश्न 3. 19वीं सदी के इस प्रमुख गणितज्ञ ने गणितीय प्रतिभा जल्दी विकसित कर ली। उनका कहना है कि 3 साल की उम्र में उन्हें अपने पिता की गणना में एक त्रुटि नजर आई। पहली कक्षा में, गणित के शिक्षक ने विद्यार्थियों से 1 से 100 तक की संख्याओं को जोड़ने के लिए कहा। लगभग तुरंत ही, इस गणितज्ञ को परिणाम मिला - संख्या 5050। संख्या की गणना जोड़ की एक छोटी विधि का उपयोग करके की गई, जबकि बाकी ने संख्याओं को एक पंक्ति में जोड़ा।

उत्तर: के. गॉस, जर्मन गणितज्ञ।

प्रश्न 4. "प्रिंसिपल्स" नामक अपनी 13 पुस्तकों में उन्होंने उस समय के बुनियादी ज्यामितीय ज्ञान को व्यवस्थित किया। जब राजा टालोमी ने उनसे पूछा कि क्या ज्यामिति का अध्ययन करने का कोई छोटा रास्ता है, तो गणितज्ञ ने गर्व से उत्तर दिया: "ज्यामिति में कोई शाही रास्ता नहीं है।"

उत्तर: यूक्लिड, प्राचीन यूनानी। जियोमीटर, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व इ।

प्रश्न 5. उनके स्कूल में कहा गया था: “संख्याएँ दुनिया पर राज करती हैं। ब्रह्माण्ड का सामंजस्य उन्हीं पर आधारित है। उन्होंने अपने आदेश के सदस्यों के लिए वर्जनाओं की एक विस्तृत सूची तैयार की। उनमें से कुछ यहां हैं:

• फलियाँ खाने से परहेज करें;
• जो गिरा है उसे मत उठाओ;
• सफेद मुर्गे को मत छुओ;
• पूरी रोटी मत काट लेना;
• ऊंची सड़क आदि पर न चलें।”

उत्तर: प्राचीन यूनानी दार्शनिकपाइथागोरस, 6वीं सदी - 5वीं सदी की शुरुआत। ईसा पूर्व.

प्रश्न 6. यह प्राचीन गणितज्ञ एक रोमन सैनिक की तलवार से मर गया, उसने गर्व से कहा: "दूर हो जाओ, मेरे चित्रों को मत छुओ!" वह हेरॉन के सूत्र को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे।

उत्तर: प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक, गणितज्ञ आर्किमिडीज़।

गणितीय तर्क पर प्रश्न: (4 पीसी.) (8 मिनट)

प्रस्तुतकर्ता द्वितीय. "तार्किक रूप से सोचने की क्षमता मनुष्य की सबसे उत्कृष्ट क्षमताओं में से एक है।" ये अंग्रेजी उपन्यासकार बर्नार्ड शॉ के शब्द हैं. लेकिन यह हुनर ​​हासिल करना आसान नहीं है. इसलिए, डबल डेकर जहाज़ को ख़त्म करना शायद किसी भी अन्य जहाज़ की तुलना में अधिक कठिन है। क्योंकि इसके लिए तार्किक समस्याओं का समाधान आवश्यक है। (स्लाइड्स)

प्रश्न 1. संख्या 28 को पाँच दो भागों में लिखिए (22 + 2 + 2 + 2 = 28)

प्रश्न 2. कमरे का आकार एक वर्ग जैसा है। आपको दीवारों के साथ 7 कुर्सियाँ रखनी होंगी ताकि प्रत्येक दीवार के साथ कुर्सियों की संख्या समान हो। यह कैसे करना है इसका चित्र बनाएं। (एक कुर्सी कोने में होनी चाहिए)

प्रश्न 3. एक किसान को एक भेड़िया, एक बकरी और गोभी को नदी के पार ले जाना है। एक आदमी एक नाव में फिट हो सकता है, और उसके साथ या तो एक भेड़िया, या एक बकरी, या एक गोभी हो सकती है। लेकिन यदि आप भेड़िये को बिना किसी व्यक्ति के बकरी के साथ छोड़ देते हैं, तो भेड़िया बकरी को खा जाएगा, यदि आप बकरी और गोभी को छोड़ देते हैं, तो बकरी गोभी को खा जाएगी। किसी व्यक्ति की उपस्थिति में कोई भी किसी को नहीं खाएगा. माल का परिवहन कैसे करें?

1) बकरी का परिवहन;
2) वापस आओ;
3) भेड़िया (गोभी) ले लो;
4) बकरी को वापस ले जाना;
5) परिवहन गोभी (भेड़िया);
6) वापस आओ;
7) बकरी का परिवहन करें.

प्रश्न 4. तीन गर्लफ्रेंड - ड्रोज़्डोवा, चिज़ोवा और स्कोवर्त्सोवा - एक थ्रश, एक सिस्किन और एक स्टार्लिंग के साथ रहती हैं। हालाँकि, उनमें से किसी के पास ऐसा पक्षी नहीं है जो मालिक के उपनाम से मेल खाता हो। "तुम्हारा थ्रश कितना अच्छा गाता है!" - स्कोवर्त्सोवा ने अपनी सहेली से कहा। किस प्रेमिका के पास कौन सी चिड़िया है?

	स्कोवर्त्सोवा	ड्रोज़्डोवा	चिज़ोवा
मैना	–	+	–
थ्रश	–	–	+
सिस्किन	+	–	–

"कार्यों की गणना करें!" (2 पीसी.) (8 मिनट)

प्रस्तुतकर्ता द्वितीय. 1-डेक जहाज़ को ख़त्म करने के लिए आपको कुछ सरल गणनाएँ करने की आवश्यकता है। लेकिन पहले आपको उदाहरण को आधुनिक रूप में लिखना होगा।

प्रश्न 1. "हर कोई नहीं जानता कि प्रतीक "", जिसका उपयोग हम जड़ें निकालने के लिए करते हैं, लैटिन अक्षर का एक संशोधन है आर, जो लैटिन शब्द रेडिक्स के आरंभ में आता है, जिसका अर्थ है जड़। एक समय (16वीं शताब्दी) था जब छोटे अक्षर के बजाय बड़े अक्षर को मूल चिन्ह के रूप में प्रयोग किया जाता था आर, और उसके बगल में लैटिन शब्द "स्क्वायर" का पहला अक्षर रखा गया था ( क्यू) या "घन" ( साथ) यह इंगित करने के लिए कि किस जड़ को निकालने की आवश्यकता है।" उदाहरण के लिए, उन्होंने लिखा आर.क्यू.16के बजाय । “अगर हम इसमें यह भी जोड़ दें कि उस युग में वर्तमान प्लस और माइनस चिह्न अभी तक सामान्य उपयोग में नहीं आए थे, और उनके स्थान पर आर अक्षर लिखे गए थे। और एम., और हमारे कोष्ठकों को चिह्नों से बदल दिया गया, तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि आधुनिक आंखों के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का तब कितना असामान्य रूप होना चाहिए था। प्राचीन प्रतीकों को आधुनिक प्रतीकों में बदलने के लिए तालिका का उपयोग करते हुए, साथ ही गणित के अपने ज्ञान के साथ, बोर्ड पर लिखे उदाहरण की गणना करें। (फिसलना)

उत्तर: = 5 (स्लाइड)

प्रश्न 2. “लंबाई के आधुनिक माप - मीटर, सेंटीमीटर और अन्य - हमेशा मौजूद नहीं थे। 1925 में माप की मीट्रिक प्रणाली और इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली की शुरूआत से पहले, लंबाई के अन्य माप रूस में लागू थे, जो लगातार रूसी साहित्य के कार्यों में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक इंच का माप लगभग 4.45 सेमी है।

रूस और अन्य देशों में लंबाई की पहली इकाइयाँ मानव शरीर के अंगों के आकार से जुड़ी थीं। ये हैं "विस्तार", "थाह" और "कोहनी"।

स्पैन फैले हुए बड़े और के सिरों के बीच की दूरी के बराबर था तर्जनी. एक स्पैन को 4 इंच के रूप में लिया गया। लंबाई का एक बहुत व्यापक माप अर्शिन था, जो 16 वर्शोक या लगभग 71 सेमी के बराबर था। यह शब्द पूर्वी व्यापारियों से आया है और इसका अनुवाद तातार से "कोहनी" के रूप में किया गया है। आजकल दुकानों में कपड़े को मीटर रूलर से मापा जाता है, लेकिन पहले इसे एक आर्शिन लंबे रूलर से मापा जाता था। ऐसे शासक को अर्शिन भी कहा जाता था। "थाह" शब्द अक्सर साहित्य में पाया जाता है। यह 3 अर्शिन या लगभग 2.13 मीटर के बराबर है। बड़ी दूरियों को मापने के लिए एक वर्स्ट का उपयोग किया जाता था - यह लंबाई का सबसे बड़ा रूसी माप है। एक मील 500 थाह या लगभग 1.06 किमी है। (फिसलना)।

अब आपको एक समस्या का समाधान करना है. लंबाई के प्राचीन मापों को दर्शाने वाले एक साहित्यिक कार्य के उद्धरण में, आपको माप की आधुनिक इकाइयों में बदलने और समस्या के प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है।

कार्य पूर्ण करने का समय - 2 मिनट। उत्तर को निकटतम इकाई तक पूर्णांकित किया जा सकता है। ( टीम को एक कार्य के साथ कागज का एक टुकड़ा दिया जाता है.)

हर मिनट पानी बढ़ रहा था
बेचारे जानवरों के लिए: उनके नीचे पहले से ही कुछ बचा हुआ है...
चौड़ाई में भूमि के एक आर्शिन से भी कम,
लंबाई में एक थाह से भी कम.
(नेक्रासोव, "दादाजी मजाई और हार्स")

प्रश्न: पहले मानों को मीटर में व्यक्त करके द्वीप का क्षेत्रफल और परिधि निर्धारित करें।

उत्तर: 0.71 x 2.1 मीटर, यानी। एस 1.5 मीटर 2, पी 5.6 मीटर।

5. सारांश, पुरस्कृत - 2 मिनट। .

परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, जूरी के प्रत्येक सदस्य द्वारा खेल के दौरान भरी गई तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक है। परिशिष्ट 4.

साहित्य व्लासोवा टी.जी.. स्कूल में गणित का विषय सप्ताह: पुस्तक। शिक्षक के लिए, - रोस्तोव एन/डी.: फीनिक्स, 2007।

रब्बनिकोव के.ए.गणितीय विज्ञान का उद्भव और विकास: पुस्तक। शिक्षक के लिए, - एम.: शिक्षा, 1987।

ग्लेज़र जी.आई.स्कूल में गणित का इतिहास. शिक्षकों के लिए मैनुअल, - एम.: "शिक्षा", 1982।

पेरेलमैन वाई.आई.मनोरंजक बीजगणित. जेएससी "सेंचुरी", 1994।

समाचार पत्र सितंबर 1 "गणित", 2005-2011 का अनुपूरक।