एक लोचदार माध्यम में तरंग प्रसार. तेल और गैस का महान विश्वकोश

हम आपके ध्यान में "लोचदार माध्यम में कंपन का प्रसार" विषय पर एक वीडियो पाठ प्रस्तुत करते हैं। अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें।" इस पाठ में हम लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार से संबंधित मुद्दों का अध्ययन करेंगे। आप सीखेंगे कि लहर क्या है, यह कैसे दिखाई देती है और इसकी विशेषता कैसे होती है। आइए अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों के बीच गुणों और अंतरों का अध्ययन करें।

हम तरंगों से संबंधित मुद्दों का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए इस बारे में बात करें कि लहर क्या है, यह कैसे प्रकट होती है और इसकी विशेषता कैसे होती है। यह पता चला है कि अंतरिक्ष के एक संकीर्ण क्षेत्र में केवल एक दोलन प्रक्रिया के अलावा, इन दोलनों का एक माध्यम में प्रसार करना भी संभव है, यह वास्तव में तरंग गति है;

आइए इस वितरण पर चर्चा के लिए आगे बढ़ें। किसी माध्यम में दोलनों के अस्तित्व की संभावना पर चर्चा करने के लिए, हमें यह तय करना होगा कि सघन माध्यम क्या है। सघन माध्यम वह माध्यम है जिसमें शामिल होता है बड़ी संख्या मेंकण जिनकी परस्पर क्रिया लोचदार के बहुत करीब है। आइए निम्नलिखित विचार प्रयोग की कल्पना करें।

चावल। 1. विचार प्रयोग

आइए एक गेंद को एक लोचदार माध्यम में रखें। गेंद सिकुड़ेगी, आकार में घटेगी और फिर दिल की धड़कन की तरह फैल जाएगी। इस मामले में क्या देखा जाएगा? इस मामले में, जो कण इस गेंद से सटे हैं, वे अपनी गति को दोहराएंगे, अर्थात। दूर जाना, निकट आना - इस प्रकार वे दोलन करेंगे। चूंकि ये कण गेंद से अधिक दूर स्थित अन्य कणों के साथ संपर्क करते हैं, इसलिए वे भी दोलन करेंगे, लेकिन कुछ देरी से। इस गेंद के करीब आने वाले कण कंपन करते हैं। वे अधिक दूर स्थित अन्य कणों में संचारित हो जायेंगे। इस प्रकार, कंपन सभी दिशाओं में फैल जाएगा। कृपया ध्यान दें इस मामले मेंदोलन अवस्था प्रसारित होगी। दोलन की स्थिति के इस प्रसार को हम तरंग कहते हैं। ऐसा कहा जा सकता है की समय के साथ किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को यांत्रिक तरंग कहा जाता है।

कृपया ध्यान दें: जब हम ऐसे दोलनों के घटित होने की प्रक्रिया के बारे में बात करते हैं, तो हमें कहना होगा कि वे तभी संभव हैं जब कणों के बीच परस्पर क्रिया होती है। दूसरे शब्दों में, एक तरंग तभी अस्तित्व में रह सकती है जब कोई बाहरी अशांतकारी बल हो और ऐसी ताकतें हों जो विक्षोभ बल की कार्रवाई का विरोध करती हों। इस मामले में, ये लोचदार बल हैं। इस मामले में प्रसार प्रक्रिया किसी दिए गए माध्यम के कणों के बीच बातचीत के घनत्व और ताकत से संबंधित होगी।

आइए एक बात और नोट कर लें. तरंग पदार्थ का परिवहन नहीं करती. आख़िरकार, कण संतुलन स्थिति के निकट दोलन करते हैं। लेकिन साथ ही, तरंग ऊर्जा स्थानांतरित करती है। इस तथ्य को सुनामी लहरों से स्पष्ट किया जा सकता है। तरंग में पदार्थ नहीं चलता, बल्कि तरंग में इतनी ऊर्जा होती है कि वह बड़ी-बड़ी विपत्तियाँ ले आती है।

आइए तरंग प्रकारों के बारे में बात करें। तरंगें दो प्रकार की होती हैं - अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें। क्या हुआ है अनुदैर्ध्य तरंगें ? ये तरंगें सभी मीडिया में मौजूद हो सकती हैं। और घने माध्यम के अंदर एक स्पंदित गेंद का उदाहरण एक अनुदैर्ध्य तरंग के गठन का एक उदाहरण मात्र है। ऐसी तरंग समय के साथ अंतरिक्ष में प्रसार है। संघनन और विरलन का यह प्रत्यावर्तन एक अनुदैर्ध्य तरंग है। मैं एक बार फिर दोहराता हूं कि ऐसी लहर सभी मीडिया में मौजूद हो सकती है - तरल, ठोस, गैसीय। अनुदैर्ध्य तरंग वह तरंग है जिसके प्रसार के कारण माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

चावल। 2. अनुदैर्ध्य तरंग

जहाँ तक अनुप्रस्थ तरंग की बात है, तो अनुप्रस्थ तरंगमें ही अस्तित्व में रह सकता है एसएनएफऔर तरल की सतह पर. अनुप्रस्थ तरंग वह तरंग है जिसके प्रसार के कारण माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

चावल। 3. अनुप्रस्थ तरंग

अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों के प्रसार की गति अलग-अलग होती है, लेकिन यह निम्नलिखित पाठों का विषय है।

अतिरिक्त साहित्य की सूची:

क्या आप तरंग की अवधारणा से परिचित हैं? // क्वांटम। - 1985. - नंबर 6. — पी. 32-33. भौतिकी: यांत्रिकी. 10वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। भौतिकी के गहन अध्ययन के लिए / एम.एम. बालाशोव, ए.आई. गोमोनोवा, ए.बी. डोलिट्स्की और अन्य; ईडी। जी.या. मयाकिशेवा। - एम.: बस्टर्ड, 2002। प्राथमिक भौतिकी पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.एस. लैंड्सबर्ग। टी. 3. - एम., 1974.

पाठ मकसद:

शिक्षात्मक:

  • "यांत्रिक तरंग" की अवधारणा का गठन;
  • दो प्रकार की तरंगों के घटित होने की स्थितियों पर विचार;
  • तरंग विशेषताएँ;

विकसित होना:

  • विशिष्ट परिस्थितियों में ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करना;

शैक्षिक:

पाठ का प्रकार: नए ज्ञान के निर्माण में पाठ।

उपकरण:

प्रदर्शनों के लिए:रबर कॉर्ड, पानी का गिलास, पिपेट, वेव मशीन लेआउट, कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, वेव्स प्रस्तुति।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.

पाठ के विषय एवं उद्देश्यों की घोषणा करना।

2. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना

परीक्षा

विकल्प 1

. घुमाओ आंदोलन.

B. पृथ्वी पर गिरने वाली गेंद की गति,

2. निम्नलिखित में से कौन सा कंपन मुक्त है?

बी. लाउडस्पीकर के संचालन के दौरान लाउडस्पीकर शंकु का कंपन।

3. शरीर के दोलन की आवृत्ति 2000 हर्ट्ज है। दोलन की अवधि क्या है?

4. समीकरण x=0.4 cos 5nt दिया गया है। दोलन का आयाम और अवधि निर्धारित करें।

5. धागे पर लटकाया गया भार छोटे-छोटे कंपन उत्पन्न करता है। यह मानते हुए कि दोलन अवमंदित हैं, सही उत्तर बताएं।

. धागा जितना लंबा होगा, कंपन आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी।

B. जब भार संतुलन स्थिति से गुजरता है, तो भार की गति अधिकतम होती है।

बी. भार आवधिक गति से गुजरता है।

विकल्प संख्या 2

1. निम्नलिखित में से कौन सी गतियां यांत्रिक कंपन हैं?

. पेड़ की शाखाओं का हिलना.

B. वर्षा की बूंदों का जमीन पर गिरना।

बी. गिटार के बजने वाले तार की गति।

2. निम्नलिखित में से कौन सा दोलन मजबूर है?

. अपनी संतुलन स्थिति से एक विचलन के बाद स्प्रिंग पर भार का दोलन।

B. आंतरिक दहन इंजन के सिलेंडर में पिस्टन की गति।

बी. एक धागे पर भार का दोलन, एक बार संतुलन स्थिति से हटाकर छोड़ दिया जाता है।

3. शरीर के दोलन की अवधि 0.01 s है। दोलन आवृत्ति क्या है?

4. शरीर नियम के अनुसार एक हार्मोनिक दोलन करता है =20 पाप। दोलनों का आयाम और अवधि निर्धारित करें।

5. स्प्रिंग पर लटकाया गया भार ऊर्ध्वाधर दिशा में छोटे कंपन करता है। यह मानते हुए कि दोलन अवमंदित हैं, सही उत्तर बताएं।

. स्प्रिंग की कठोरता जितनी अधिक होगी, दोलन अवधि उतनी ही लंबी होगी।

B. दोलन की अवधि आयाम पर निर्भर करती है।

बी. लोड की गति समय-समय पर बदलती रहती है।

3. नये ज्ञान का निर्माण।

पदार्थ का मूल भौतिक मॉडल गतिमान और परस्पर क्रिया करने वाले परमाणुओं और अणुओं का एक समूह है। इस मॉडल का उपयोग आणविक गतिज सिद्धांत का उपयोग करके, पदार्थ की विभिन्न अवस्थाओं के गुणों और इन मीडिया में ऊर्जा और गति हस्तांतरण के भौतिक तंत्र की व्याख्या करना संभव बनाता है। ऐसे में माध्यम से हम गैस, तरल, ठोस को समझ सकते हैं।

आइए एक दूसरे के साथ बातचीत करने वाले माध्यम के पड़ोसी कणों के बीच एक श्रृंखला के साथ ऊर्जा और गति के अनुक्रमिक हस्तांतरण के परिणामस्वरूप पदार्थ हस्तांतरण के बिना ऊर्जा हस्तांतरण की एक विधि पर विचार करें।

तरंग प्रक्रिया पदार्थ स्थानांतरण के बिना ऊर्जा हस्तांतरण की एक प्रक्रिया है।

अनुभव का प्रदर्शन:

आइए छत पर एक रबर की रस्सी लगाएं और हाथ की तेज गति से इसके मुक्त सिरे को कंपन कराएं। नतीजतन बाहरी प्रभावइसमें माध्यम पर एक विक्षोभ उत्पन्न होता है - माध्यम के कणों का संतुलन स्थिति से विचलन;

एक गिलास में पानी की सतह पर तरंगों के प्रसार का पालन करें, उन्हें पिपेट से गिरने वाली पानी की बूंदों से बनाएं।

एक यांत्रिक तरंग एक लोचदार माध्यम में एक बिंदु से दूसरे बिंदु (गैस, तरल, ठोस) तक फैलने वाली अशांति है।

"वेव मशीन" मॉडल का उपयोग करके तरंग निर्माण की क्रियाविधि का परिचय। इस मामले में, कणों की दोलन गति और दोलन गति के प्रसार को ध्यान में रखें।

अनुदैर्ध्य एवं अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं।

अनुदैर्ध्य - तरंगें जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं। (गैसें, तरल पदार्थ, ठोस)। यह देखा गया है कि जब किसी कील को हथौड़े से ठोका जाता है, तो एक अनुदैर्ध्य आवेग कील के साथ-साथ चलता है, जिससे वह और गहराई तक चली जाती है।

अनुप्रस्थ - तरंगें जिनमें कण तरंग (ठोस) के प्रसार की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं। एक रस्सी में देखा गया, जिसका एक सिरा दोलन करने लगता है।

एक यात्रा तरंग, जिसका मुख्य गुण पदार्थ के स्थानांतरण के बिना ऊर्जा का स्थानांतरण है: सूर्य से विद्युत चुम्बकीय विकिरण पृथ्वी को गर्म करता है, समुद्र की लहरें तटों को नष्ट कर देती हैं।

तरंग के लक्षण.

तरंग दैर्ध्य किसी तरंग द्वारा उसके कणों के दोलन की एक अवधि के दौरान तय की गई दूरी है। तरंग दैर्ध्य की दूरी पर अनुप्रस्थ तरंग में आसन्न शिखर या गर्त होते हैं या अनुदैर्ध्य तरंग में गाढ़ापन या विरलन होता है।

λ - तरंग दैर्ध्य।

लहर की गति - अनुप्रस्थ तरंग में शिखरों और गर्तों की गति और अनुदैर्ध्य तरंग में संघनन और विरलन की गति।

वी - तरंग गति

तरंग दैर्ध्य निर्धारित करने के सूत्रों का परिचय:

λ = वी / वी

वी - आवृत्ति

टी - अवधि

कौशल और क्षमताओं का निर्माण।

समस्या को सुलझाना।

1. एक लड़का एक जूए पर पानी की बाल्टी लेकर चलता है, जिसके मुक्त दोलन की अवधि 1.6 s है। जब लड़के के कदम की लंबाई 65 सेमी है तो पानी विशेष रूप से जोर से उछलने लगता है तो वह किस गति से चलता है?

2. एक झील में पानी की सतह पर 8 मीटर/सेकेंड की गति से एक लहर फैलती है। यदि तरंगदैर्ध्य 3 मीटर है तो बोया के दोलन की अवधि और आवृत्ति क्या है?

3. महासागरों में तरंगदैर्घ्य 400 मीटर तक पहुंच सकता है, और अवधि 14.5 सेकेंड है। ऐसी तरंग के प्रसार की गति निर्धारित करें।

पाठ सारांश.

1. तरंग क्या है?

2. तरंग निर्माण की प्रक्रिया क्या है?

3. कक्षा में रहते हुए हम कौन-सी तरंगें अनुभव करते हैं?

4. क्या तरंगों के निर्माण के दौरान माध्यम में पदार्थ का स्थानांतरण होता है?

5. तरंगों की विशेषताएँ सूचीबद्ध करें।

6. गति, तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति कैसे संबंधित हैं?

गृहकार्य:

पृ.31-33 (पाठ्यपुस्तक भौतिकी-9)

क्रमांक 439.438 (रिमकेविच ए.पी.)

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स्लाइड कैप्शन:

पाठ विषय: लोचदार मीडिया में कंपन का प्रसार। लहर की

सघन माध्यम वह माध्यम है जिसमें बड़ी संख्या में कण होते हैं जिनकी परस्पर क्रिया लोचदार के बहुत करीब होती है

समय के साथ किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को यांत्रिक तरंग कहा जाता है।

तरंग के घटित होने की शर्तें: 1. एक लोचदार माध्यम की उपस्थिति 2. दोलनों के स्रोत की उपस्थिति - माध्यम का विरूपण

यांत्रिक तरंगें केवल किसी माध्यम (पदार्थ) में ही फैल सकती हैं: गैस में, तरल में, ठोस में। निर्वात में यांत्रिक तरंग उत्पन्न नहीं हो सकती।

तरंगों का स्रोत दोलनशील पिंड हैं जो आसपास के स्थान में पर्यावरणीय विकृति पैदा करते हैं।

तरंगें अनुदैर्ध्य अनुप्रस्थ

अनुदैर्ध्य - तरंगें जिनमें प्रसार की दिशा में कंपन होता है। वे किसी भी वातावरण (तरल पदार्थ, गैस, ठोस) में होते हैं।

अनुप्रस्थ - जिसमें तरंग गति की दिशा के लंबवत् कंपन होता है। केवल ठोस पदार्थों में होता है।

किसी द्रव की सतह पर तरंगें न तो अनुदैर्ध्य होती हैं और न ही अनुप्रस्थ। यदि आप एक छोटी सी गेंद को पानी की सतह पर फेंकते हैं, तो आप देख सकते हैं कि वह एक वृत्ताकार पथ पर लहरों पर लहराती हुई घूम रही है।

तरंग ऊर्जा एक यात्रा तरंग वह तरंग है जहां ऊर्जा स्थानांतरण पदार्थ स्थानांतरण के बिना होता है।

सुनामी लहरें. तरंग में पदार्थ नहीं चलता, बल्कि तरंग में इतनी ऊर्जा होती है कि वह बड़ी-बड़ी विपत्तियाँ ले आती है।


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एक लोचदार माध्यम (ठोस, तरल या गैसीय) में फैलने वाले यांत्रिक कंपन को यांत्रिक या लोचदार कहा जाता है लहर की.

किसी सतत माध्यम में कंपन के संचरण की प्रक्रिया को तरंग प्रक्रिया या तरंग कहा जाता है। जिस माध्यम में तरंग फैलती है, उसके कण तरंग द्वारा स्थानांतरणीय गति में नहीं खींचे जाते हैं। वे केवल अपनी संतुलन स्थिति के आसपास ही दोलन करते हैं। तरंग के साथ, केवल दोलन गति की स्थिति और उसकी ऊर्जा माध्यम के एक कण से दूसरे कण में स्थानांतरित होती है। इसीलिए सभी तरंगों का मुख्य गुण, उनकी प्रकृति की परवाह किए बिना, पदार्थ के स्थानांतरण के बिना ऊर्जा का स्थानांतरण है.

के सापेक्ष कण कंपन की दिशा पर निर्भर करता है

जिस दिशा में लहर फैलती है, वहां हैं समर्थक-

लोबारऔर आड़ालहर की।

लोचदार लहरबुलाया अनुदैर्ध्य, यदि माध्यम के कणों का कंपन तरंग प्रसार की दिशा में होता है। अनुदैर्ध्य तरंगें माध्यम के वॉल्यूमेट्रिक तन्य-संपीड़न विरूपण से जुड़ी होती हैं, इसलिए वे ठोस और ठोस दोनों में फैल सकती हैं।

तरल पदार्थ और गैसीय मीडिया में.

एक्सकतरनी विरूपण के अधीन. केवल ठोस पिंडों में ही यह गुण होता है।

λ चित्र में. 6.1.1 हार्मोनिक प्रस्तुत करता है

दोलनों के स्रोत की दूरी पर माध्यम के सभी कणों के विस्थापन की निर्भरता इस पलसमय। एक ही चरण में कंपन करने वाले निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी कहलाती है तरंग दैर्ध्य.तरंग दैर्ध्य उस दूरी के बराबर है जिस पर दोलन अवधि के दौरान दोलन का एक निश्चित चरण फैलता है

न केवल 0 अक्ष पर स्थित कण दोलन करते हैं एक्स, लेकिन एक निश्चित मात्रा में निहित कणों का एक संग्रह। उन बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति जिन तक समय के क्षण में दोलन पहुंचते हैं टी, बुलाया लहर सामने. तरंग मोर्चा वह सतह है जो तरंग प्रक्रिया में पहले से ही शामिल अंतरिक्ष के हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करती है जिसमें अभी तक दोलन उत्पन्न नहीं हुए हैं। एक ही चरण में दोलन करने वाले बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति कहलाती है तरंग सतह. तरंग सतह को तरंग प्रक्रिया द्वारा कवर किए गए स्थान में किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है। तरंग सतहें किसी भी आकार की हो सकती हैं। सरलतम मामलों में, उनका आकार एक समतल या गोले जैसा होता है। तदनुसार, इन मामलों में लहर को सपाट या गोलाकार कहा जाता है। एक समतल तरंग में, तरंग सतहें एक दूसरे के समानांतर समतलों का एक समूह होती हैं, और एक गोलाकार तरंग में वे संकेंद्रित क्षेत्रों का एक समूह होती हैं।

समतल तरंग समीकरण

समतल तरंग समीकरण एक अभिव्यक्ति है जो एक दोलनशील कण के विस्थापन को उसके निर्देशांक के फलन के रूप में देता है एक्स, य, जेडऔर समय टी

एस=एस(एक्स,य,जेड,टी). (6.2.1)

यह फ़ंक्शन समय के संदर्भ में आवधिक होना चाहिए टी, और निर्देशांक के सापेक्ष एक्स, य, जेड. समय में आवधिकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि विस्थापन एसनिर्देशांक के साथ एक कण के कंपन का वर्णन करता है एक्स, य, जेड, और निर्देशांक में आवधिकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि तरंग दैर्ध्य के बराबर दूरी पर एक दूसरे से दूरी पर स्थित बिंदु उसी तरह से कंपन करते हैं।

आइए मान लें कि दोलन प्रकृति में हार्मोनिक हैं, और अक्ष 0 है एक्सतरंग प्रसार की दिशा से मेल खाता है। तब तरंग सतहें 0 अक्ष के लंबवत होंगी एक्सऔर सब कुछ के बाद से

तरंग सतह के बिंदु समान रूप से दोलन करते हैं, विस्थापन एसकेवल समन्वय पर निर्भर करेगा एक्सऔर समय टी

आइए हम एक मनमाना मान के अनुरूप विमान में बिंदुओं के दोलन के प्रकार का पता लगाएं एक्स. हवाई जहाज़ से रास्ता तय करने के लिए एक्स= विमान के लिए 0 एक्स, तरंग को समय की आवश्यकता होती है τ = एक्स/v. नतीजतन, विमान में पड़े कणों का कंपन एक्स, तल में कण दोलनों से समय में τ का विलंब होगा एक्स= 0 और समीकरण द्वारा वर्णित है

एस(एक्स;टी)=ए cosω( टी− τ)+ϕ = एओल ω टी − एक्स +ϕ . (6.2.4)
υ

कहाँ ए− तरंग आयाम; ϕ 0 - तरंग का प्रारंभिक चरण (संदर्भ बिंदुओं की पसंद से निर्धारित होता है एक्सऔर टी).

आइए कुछ चरण मान तय करें ω( टी − एक्सυ) +ϕ 0 = स्थिरांक।

यह अभिव्यक्ति समय के बीच संबंध को परिभाषित करती है टीऔर वह जगह एक्स, जिसमें चरण का एक निश्चित मान होता है। इस अभिव्यक्ति को विभेदित करने पर हम पाते हैं

आइए हम समतल तरंग समीकरण को एक सममित सापेक्ष दें

कठोरता से एक्सऔर टीदेखना। ऐसा करने के लिए, हम मात्रा का परिचय देते हैं क= 2 λ π, जिसे कहा जाता है

हाँ तरंग संख्या, जिसे फॉर्म में दर्शाया जा सकता है

हमने मान लिया कि दोलनों का आयाम निर्भर नहीं करता एक्स. समतल तरंग के लिए, यह उस स्थिति में देखा जाता है जब तरंग ऊर्जा माध्यम द्वारा अवशोषित नहीं होती है। ऊर्जा-अवशोषित माध्यम में प्रसार करते समय, तरंग की तीव्रता दोलन के स्रोत से दूरी के साथ धीरे-धीरे कम हो जाती है, अर्थात, तरंग क्षीणन देखा जाता है। एक सजातीय माध्यम में, ऐसा क्षीणन तेजी से होता है

कानून ए = ए 0 इ −β एक्स. फिर अवशोषित माध्यम के लिए समतल तरंग समीकरण का रूप होता है

कहाँ आरआर - त्रिज्या वेक्टर, तरंग बिंदु; क = क ⋅एनआर − तरंग सदिश; एन r तरंग सतह के अभिलम्ब का इकाई सदिश है।

तरंग सदिश− तरंग संख्या के परिमाण के बराबर एक सदिश है कऔर तरंग सतह पर सामान्य की दिशा होने पर-

बुलाया।
आइए किसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से उसके निर्देशांक की ओर बढ़ें एक्स, य, जेड
आर आर (6.3.2)
क ⋅आर=के एक्स एक्स+के वाई वाई+क z z.
तब समीकरण (6.3.1) का रूप लेगा
एस(एक्स,य,जेड;टी)=एक्योंकि(ω टी−के एक्स एक्स−के वाई वाई−क z z+ϕ 0). (6.3.3)

आइए तरंग समीकरण का स्वरूप स्थापित करें। ऐसा करने के लिए, हम निर्देशांक और समय, अभिव्यक्ति (6.3.3) के संबंध में दूसरा आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं

∂ 2 एस आर आर
∂टी = −ω एओल (ω टी − क ⋅ आर +ϕ 0) = −ω एस;
∂ 2 एस आर आर
∂एक्स = − के एक्स एक्योंकि(ω टी − क ⋅आर +ϕ 0) = − के एक्स एस
. (6.3.4)
∂ 2 एस आर आर
∂य = − के वाई एओल (ω टी − क ⋅ आर +ϕ 0) = − के वाई एस;
∂ 2 एस आर आर
∂जेड = − के जेड एक्योंकि(ω टी − क ⋅आर +ϕ 0) = − के जेड एस
निर्देशांक के संबंध में व्युत्पन्न जोड़ना, और व्युत्पन्न को ध्यान में रखना
समय के साथ, हम पाते हैं
∂ 2 2 ∂ 2 ∂ 2
एस 2 + ∂ एस 2 + एस 2 = − (के एक्स 2 + के वाई 2 + के ज़ेड 2)एस = − क 2 एस = क एस 2 . (6.3.5)
∂टी
∂एक्स ∂य ∂जेड ω
2
हम प्रतिस्थापन करेंगे क = ω 2 = और हमें तरंग समीकरण प्राप्त होता है
ω υ ω υ
∂ 2 एस + ∂ 2 एस + ∂ 2 एस = 1 ∂ 2 एस या एस= 1 ∂ 2 एस , (6.3.6)
∂एक्स 2 ∂य 2 ∂जेड 2 υ 2 ∂ टी 2 υ 2 ∂ टी 2
कहाँ = ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2 − लाप्लास ऑपरेटर.
∂एक्स 2 ∂य 2 ∂जेड 2

आइए एक लोचदार माध्यम की परिभाषा से शुरुआत करें। जैसा कि नाम से निष्कर्ष निकाला जा सकता है, एक लोचदार माध्यम एक ऐसा माध्यम है जिसमें लोचदार बल कार्य करते हैं। अपने लक्ष्यों के संबंध में, हम यह जोड़ देंगे कि इस पर्यावरण की किसी भी गड़बड़ी (भावनात्मक हिंसक प्रतिक्रिया नहीं, बल्कि संतुलन से किसी स्थान पर पर्यावरण के मापदंडों का विचलन) के साथ, इसमें ताकतें पैदा होती हैं, जो हमारे पर्यावरण को वापस लाने का प्रयास करती हैं। इसकी मूल संतुलन स्थिति। इस मामले में, हम विस्तारित मीडिया पर विचार करेंगे। हम भविष्य में स्पष्ट करेंगे कि यह कितना व्यापक है, लेकिन अभी हम मान लेंगे कि यह पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, दोनों सिरों पर लगे एक लंबे स्प्रिंग की कल्पना करें। यदि किसी स्थान पर स्प्रिंग के कई घुमावों को संपीड़ित किया जाता है, तो संपीड़ित घुमावों का विस्तार हो जाएगा, और निकटवर्ती मोड़ जो खिंचे हुए हैं, वे संकुचित हो जाएंगे। इस प्रकार, हमारा लोचदार माध्यम - स्प्रिंग - अपनी मूल शांत (अबाधित) स्थिति में लौटने का प्रयास करेगा।

गैसें, तरल पदार्थ और ठोस लोचदार मीडिया हैं। पिछले उदाहरण में एक महत्वपूर्ण बात यह है कि स्प्रिंग का संपीड़ित खंड पड़ोसी खंडों पर कार्य करता है, या, वैज्ञानिक शब्दों में, गड़बड़ी फैलाता है। इसी तरह, गैस में, किसी स्थान पर, उदाहरण के लिए, कम दबाव का क्षेत्र बनाकर, पड़ोसी क्षेत्र, दबाव को बराबर करने की कोशिश करते हुए, अशांति को अपने पड़ोसियों तक पहुंचाएंगे, जो बदले में, अपने अपना, इत्यादि।

के बारे में कुछ शब्द भौतिक मात्रा. थर्मोडायनामिक्स में, एक नियम के रूप में, किसी पिंड की स्थिति पूरे शरीर के लिए सामान्य मापदंडों, गैस के दबाव, उसके तापमान और घनत्व द्वारा निर्धारित की जाती है। अब हम इन मात्राओं के स्थानीय वितरण में रुचि लेंगे।

यदि एक दोलनशील पिंड (स्ट्रिंग, झिल्ली, आदि) एक लोचदार माध्यम में है (गैस, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, एक लोचदार माध्यम है), तो यह माध्यम के कणों को इसके संपर्क में दोलनशील गति में सेट करता है। परिणामस्वरूप, शरीर से सटे पर्यावरण के तत्वों में समय-समय पर विकृतियाँ (उदाहरण के लिए, संपीड़न और निर्वहन) होती हैं। इन विकृतियों के साथ, माध्यम में लोचदार बल दिखाई देते हैं, जो माध्यम के तत्वों को संतुलन की उनकी मूल स्थिति में वापस लाने की प्रवृत्ति रखते हैं; माध्यम के पड़ोसी तत्वों की परस्पर क्रिया के कारण, लोचदार विकृतियाँ माध्यम के एक भाग से दूसरे भाग में, दोलनशील पिंड से अधिक दूर तक प्रसारित होंगी।

इस प्रकार, किसी लोचदार माध्यम के किसी स्थान पर होने वाली आवधिक विकृतियाँ माध्यम में एक निश्चित गति से फैलती हैं, जो इसकी प्रकृति पर निर्भर करती है। भौतिक गुण. इस मामले में, माध्यम के कण संतुलन स्थितियों के आसपास दोलन संबंधी गति करते हैं; केवल विरूपण की अवस्था ही माध्यम के एक भाग से दूसरे भाग में संचारित होती है।

जब एक मछली "काटती है" (काँटा खींचती है), तो फ्लोट से पानी की सतह पर वृत्त बिखर जाते हैं। फ्लोट के साथ, इसके संपर्क में आने वाले पानी के कण गति करते हैं, जिसमें गति में उनके निकटतम अन्य कण शामिल होते हैं, इत्यादि।

यही घटना खिंची हुई रबर की रस्सी के कणों के साथ भी घटित होती है यदि उसके एक सिरे में कंपन होता है (चित्र 1.1)।

किसी माध्यम में दोलनों के प्रसार को तरंग गति कहा जाता है आइए अधिक विस्तार से विचार करें कि एक डोरी पर तरंग कैसे उत्पन्न होती है। यदि हम प्रत्येक 1/4 T (चित्र 1.1 में T वह अवधि है जिसके साथ हाथ दोलन करता है) के पहले बिंदु के दोलन की शुरुआत के बाद कॉर्ड की स्थिति तय करते हैं, तो आपको चित्र में दिखाया गया चित्र मिलेगा। 1.2, बी-डी. स्थिति ए कॉर्ड के पहले बिंदु के दोलन की शुरुआत से मेल खाती है। इसके दस बिंदुओं को संख्याओं से चिह्नित किया गया है, और बिंदीदार रेखाएं दिखाती हैं कि समय के विभिन्न बिंदुओं पर कॉर्ड के समान बिंदु कहां स्थित हैं।

1/4 टी दोलन की शुरुआत के बाद, बिंदु 1 उच्चतम स्थान पर है, और बिंदु 2 अभी अपनी गति शुरू कर रहा है। चूंकि कॉर्ड का प्रत्येक अगला बिंदु पिछले एक की तुलना में बाद में अपनी गति शुरू करता है, अंतराल में 1-2 बिंदु स्थित होते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.2, बी. एक और 1/4 टी के बाद, बिंदु 1 संतुलन की स्थिति लेगा और नीचे की ओर बढ़ेगा, और बिंदु 2 ऊपरी स्थिति (स्थिति सी) लेगा। इस समय बिंदु 3 बस चलना शुरू कर रहा है।

पूरी अवधि के दौरान, दोलन कॉर्ड के बिंदु 5 (स्थिति डी) तक फैलते हैं। अवधि टी के अंत में, बिंदु 1, ऊपर की ओर बढ़ते हुए, अपना दूसरा दोलन शुरू करेगा। उसी समय, बिंदु 5 अपना पहला दोलन करते हुए ऊपर की ओर बढ़ना शुरू कर देगा। भविष्य में, इन बिंदुओं में समान दोलन चरण होंगे। अंतराल 1-5 में कॉर्ड बिंदुओं का संयोजन एक तरंग बनाता है। जब बिंदु 1 दूसरा दोलन पूरा करता है, तो कॉर्ड पर अन्य 5-10 बिंदु गति में शामिल होंगे, यानी दूसरी लहर बनेगी।

यदि आप समान चरण वाले बिंदुओं की स्थिति का पता लगाते हैं, तो आप देखेंगे कि चरण एक बिंदु से दूसरे बिंदु की ओर बढ़ता हुआ दाईं ओर बढ़ता हुआ प्रतीत होता है। वास्तव में, यदि स्थिति बी में बिंदु 1 का चरण 1/4 है, तो स्थिति सी में बिंदु 2 का चरण समान है, आदि।

वे तरंगें जिनमें चरण एक निश्चित गति से चलती है, यात्रा कहलाती है। तरंगों का अवलोकन करते समय, चरण प्रसार दिखाई देता है, जैसे तरंग शिखा की गति। ध्यान दें कि तरंग में माध्यम के सभी बिंदु अपनी संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करते हैं और चरण के साथ नहीं चलते हैं।

किसी माध्यम में दोलन गति के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग प्रक्रिया या केवल तरंग कहा जाता है.

उत्पन्न होने वाली लोचदार विकृतियों की प्रकृति के आधार पर, तरंगों को प्रतिष्ठित किया जाता है अनुदैर्ध्यऔर आड़ा. अनुदैर्ध्य तरंगों में, माध्यम के कण दोलन के प्रसार की दिशा के साथ मेल खाने वाली रेखा के साथ दोलन करते हैं। अनुप्रस्थ तरंगों में, माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं। चित्र में. चित्र 1.3 अनुदैर्ध्य (ए) और अनुप्रस्थ (बी) तरंगों में माध्यम के कणों (पारंपरिक रूप से डैश के रूप में दर्शाया गया) का स्थान दिखाता है।

तरल और गैसीय मीडिया में कतरनी लोच नहीं होती है और इसलिए उनमें केवल अनुदैर्ध्य तरंगें उत्तेजित होती हैं, जो माध्यम के वैकल्पिक संपीड़न और विरलन के रूप में फैलती हैं। चूल्हे की सतह पर उत्तेजित तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं: उनका अस्तित्व गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है। ठोस पदार्थों में, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों तरंगें उत्पन्न हो सकती हैं; एक विशेष प्रकार की अनुप्रस्थ इच्छा मरोड़ वाली होती है, जो लोचदार छड़ों में उत्तेजित होती है, जिस पर मरोड़ वाले कंपन लागू होते हैं।

आइए मान लें कि तरंग का एक बिंदु स्रोत समय के क्षण में माध्यम में दोलनों को उत्तेजित करना शुरू कर देता है टी= 0; समय बीत जाने के बाद टीयह कंपन दूर तक अलग-अलग दिशाओं में फैलेगा आर मैं =सी मैं टी, कहाँ मैं के साथ- किसी दिए गए दिशा में तरंग की गति।

वह सतह जिस पर किसी समय दोलन पहुँचता है, तरंग अग्र कहलाती है।

स्पष्ट है कि तरंग अग्रभाग (वेव फ्रंट) अंतरिक्ष में समय के साथ गति करता है।

तरंग अग्रभाग का आकार दोलन स्रोत के विन्यास और माध्यम के गुणों से निर्धारित होता है। सजातीय मीडिया में तरंग प्रसार की गति हर जगह समान होती है। पर्यावरण कहा जाता है समदैशिक, यदि यह गति सभी दिशाओं में समान हो। एक सजातीय और आइसोट्रोपिक माध्यम में दोलनों के एक बिंदु स्रोत से तरंग के अग्रभाग में एक गोले का आकार होता है; ऐसी तरंगें कहलाती हैं गोलाकार.

एक गैर-समान और गैर-आइसोट्रोपिक में ( एनिस्ट्रोपिक) पर्यावरण, साथ ही दोलनों के गैर-बिंदु स्रोतों से, तरंग मोर्चा है जटिल आकार. यदि तरंग का अग्र भाग समतल है और माध्यम में कंपन फैलने पर यह आकार बना रहता है, तो तरंग कहलाती है समतल. जटिल आकार के तरंग अग्र भाग के छोटे खंडों को समतल तरंग माना जा सकता है (यदि हम केवल इस तरंग द्वारा तय की गई छोटी दूरी पर विचार करें)।

तरंग प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय, उन सतहों की पहचान की जाती है जिनमें सभी कण एक ही चरण में कंपन करते हैं; इन "समान चरण की सतहों" को तरंग या चरण कहा जाता है।

यह स्पष्ट है कि तरंग अग्रभाग अग्र तरंग सतह का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात। तरंगों का निर्माण करने वाले स्रोत से सबसे दूर, और तरंग सतह भी गोलाकार, सपाट हो सकती है, या जटिल आकार वाली हो सकती है, जो दोलन के स्रोत के विन्यास और माध्यम के गुणों पर निर्भर करती है। चित्र में. 1.4 पारंपरिक रूप से दिखाता है: I - एक बिंदु स्रोत से एक गोलाकार तरंग, II - एक कंपन प्लेट से एक तरंग, III - अनिसोट्रोपिक माध्यम में एक बिंदु स्रोत से एक अण्डाकार तरंग जिसमें तरंग प्रसार की गति होती है साथजैसे-जैसे कोण α बढ़ता है, सुचारू रूप से बदलता है, एए दिशा के साथ अधिकतम और बीबी के साथ न्यूनतम तक पहुंचता है।