विपरीत स्पर्शरेखा. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन और उनके ग्राफ़

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन- ये आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट हैं।

सबसे पहले आइए कुछ परिभाषाएँ दें।

आर्कसीनया, हम कह सकते हैं कि यह एक खंड से संबंधित कोण है जिसकी ज्या है संख्या के बराबरएक।

आर्क कोसाइनसंख्या a को ऐसी संख्या कहा जाता है

आर्कटिकसंख्या a को ऐसी संख्या कहा जाता है

आर्कोटैन्जेंटसंख्या a को ऐसी संख्या कहा जाता है

आइए हमारे लिए इन चार नए कार्यों के बारे में विस्तार से बात करें - व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय वाले।

याद रखें, हम पहले ही मिल चुके हैं.

उदाहरण के लिए, अंकगणित वर्गमूलकिसी संख्या से a एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

किसी संख्या b से आधार a तक का लघुगणक एक संख्या c है जैसे कि

जिसमें

हम समझते हैं कि गणितज्ञों को नए कार्यों का "आविष्कार" क्यों करना पड़ा। उदाहरण के लिए, किसी समीकरण के समाधान हैं और हम उन्हें विशेष अंकगणितीय वर्गमूल प्रतीक के बिना नहीं लिख सकते।

उदाहरण के लिए, ऐसे समीकरण के समाधान लिखने के लिए लघुगणक की अवधारणा आवश्यक साबित हुई: इस समीकरण का समाधान है अपरिमेय संख्यायह वह घातांक है जिस पर 7 प्राप्त करने के लिए 2 को बढ़ाना होगा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के साथ भी ऐसा ही है। उदाहरण के लिए, हम समीकरण को हल करना चाहते हैं

यह स्पष्ट है कि इसके समाधान त्रिकोणमितीय वृत्त पर उन बिंदुओं के अनुरूप हैं जिनकी कोटि बराबर है और यह स्पष्ट है कि यह ज्या का सारणीबद्ध मान नहीं है। समाधान कैसे लिखें?

यहां हम उस कोण को दर्शाने वाले एक नए फलन के बिना नहीं रह सकते जिसकी ज्या बराबर है दिया गया नंबरएक। हाँ, सभी ने पहले ही अनुमान लगा लिया है। यह आर्कसीन है.

जिस खंड की ज्या बराबर है, उससे संबंधित कोण एक चौथाई की चापज्या है। और इसका मतलब यह है कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर सही बिंदु के अनुरूप हमारे समीकरण के समाधान की श्रृंखला है

और हमारे समीकरण के समाधान की दूसरी श्रृंखला है

समाधान के बारे में अधिक जानकारी त्रिकोणमितीय समीकरण - .

यह पता लगाना बाकी है - आर्क्साइन की परिभाषा यह क्यों इंगित करती है कि यह खंड से संबंधित कोण है?

तथ्य यह है कि ऐसे अनंत कोण हैं जिनकी ज्या, उदाहरण के लिए, के बराबर है। हमें उनमें से एक को चुनना होगा. हम उसे चुनते हैं जो खंड पर स्थित है।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक नज़र डालें। आप देखेंगे कि खंड पर प्रत्येक कोण एक निश्चित ज्या मान से मेल खाता है, और केवल एक। और इसके विपरीत, खंड से ज्या का कोई भी मान मेल खाता है एक ही अर्थखंड पर कोण. इसका मतलब यह है कि एक सेगमेंट पर आप मान लेकर एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं

आइए परिभाषा को दोबारा दोहराएं:

किसी संख्या की आर्कसाइन वह संख्या होती है , ऐसा है कि

पदनाम: आर्क्साइन परिभाषा क्षेत्र एक खंड है।

आप वाक्यांश "आर्क्साइन्स दाहिनी ओर रहते हैं" याद कर सकते हैं। बस यह मत भूलिए कि यह सिर्फ दाईं ओर नहीं है, बल्कि खंड पर भी है।

हम फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए तैयार हैं

हमेशा की तरह, हम क्षैतिज अक्ष पर x मान और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर y मान आलेखित करते हैं।

क्योंकि, इसलिए, x -1 से 1 की सीमा में है।

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y = आर्क्सिन x की परिभाषा का क्षेत्र खंड है

हमने कहा कि y खंड से संबंधित है। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y = arcsin x के मानों की सीमा खंड है।

ध्यान दें कि फ़ंक्शन y=arcsinx का ग्राफ पूरी तरह से रेखाओं से घिरे क्षेत्र में फिट बैठता है

हमेशा की तरह किसी अपरिचित फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, आइए एक तालिका से शुरुआत करें।

परिभाषा के अनुसार, शून्य की आर्कसाइन उस खंड से एक संख्या है जिसकी साइन शून्य के बराबर है। यह संख्या क्या है? - यह स्पष्ट है कि यह शून्य है.

इसी प्रकार, एक की आर्कसाइन उस खंड से एक संख्या है जिसकी साइन एक के बराबर है। जाहिर है ये

हम जारी रखते हैं: - यह उस खंड से एक संख्या है जिसकी साइन बराबर है। हाँ यह

			0
			0

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

3. अर्थात् यह फलन विषम है। इसका ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित है।

4. कार्य नीरस रूप से बढ़ता है। उसकी सबसे छोटा मूल्य, - के बराबर, पर प्राप्त किया जाता है, और उच्चतम मूल्य, के बराबर, पर प्राप्त किया जाता है

5. कार्यों के ग्राफ़ क्या करते हैं और ? क्या आपको नहीं लगता कि वे "एक ही पैटर्न के अनुसार बने हैं" - बिल्कुल किसी फ़ंक्शन की दाहिनी शाखा और किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह, या घातांक और लघुगणकीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह?

कल्पना कीजिए कि हमने एक साधारण साइन तरंग से एक छोटा सा टुकड़ा काट दिया, और फिर इसे लंबवत घुमा दिया - और हमें एक आर्कसाइन ग्राफ मिलेगा।

इस अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के लिए तर्क के मान क्या हैं, तो आर्कसाइन के लिए फ़ंक्शन के मान होंगे। इसे ऐसा होना चाहिए! आख़िरकार, साइन और आर्कसाइन परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं। परस्पर व्युत्क्रम फलनों के युग्मों के अन्य उदाहरण at और, साथ ही घातांकीय और लघुगणकीय फलन हैं।

याद रखें कि परस्पर व्युत्क्रम फलनों के ग्राफ़ सीधी रेखा के संबंध में सममित होते हैं

इसी तरह, हम फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं। हमें केवल एक खंड की आवश्यकता है जिस पर प्रत्येक कोण का मान अपने स्वयं के कोसाइन मान से मेल खाता है, और कोसाइन को जानकर, हम विशिष्ट रूप से कोण पा सकते हैं। एक खंड हमारे लिए उपयुक्त होगा

किसी संख्या की चाप कोज्या वह संख्या है , ऐसा है कि

यह याद रखना आसान है: "आर्क कोसाइन ऊपर से रहते हैं," और न केवल ऊपर से, बल्कि खंड पर भी

पदनाम: चाप कोसाइन परिभाषा क्षेत्र एक खंड है।

जाहिर है, खंड को इसलिए चुना गया क्योंकि इस पर प्रत्येक कोसाइन मान केवल एक बार लिया जाता है। दूसरे शब्दों में, -1 से 1 तक प्रत्येक कोज्या मान, अंतराल से एकल कोण मान से मेल खाता है

आर्क कोसाइन न तो सम है और न ही पुराना फंक्शन. लेकिन हम निम्नलिखित स्पष्ट संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

हमें फ़ंक्शन के एक अनुभाग की आवश्यकता है जहां यह मोनोटोनिक है, यानी, यह प्रत्येक मान को बिल्कुल एक बार लेता है।

आइए एक खंड चुनें. इस खंड पर फ़ंक्शन एकरस रूप से घटता है, अर्थात, सेटों के बीच पत्राचार एक-से-एक होता है। प्रत्येक x मान का एक संगत y मान होता है। इस खंड पर कोज्या का व्युत्क्रम एक फलन है, अर्थात् फलन y = arccosx।

आइए आर्क कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके तालिका भरें।

अंतराल से संबंधित संख्या x की चाप कोज्या अंतराल से संबंधित संख्या y होगी जैसे कि

इसका मतलब है, चूँकि ;

क्योंकि ;

क्योंकि ,

			0
					0

यहाँ चाप कोज्या ग्राफ है:

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

यह फ़ंक्शन सामान्य रूप से देखें- यह न तो सम है और न ही विषम।

4. कार्य सख्ती से कम हो रहा है। उच्चतम मूल्य, के बराबर, फ़ंक्शन y = arccosx at लेता है, और शून्य के बराबर सबसे छोटा मान लेता है

5. फलन तथा परस्पर प्रतिलोम हैं।

अगले हैं आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट।

किसी संख्या का चापस्पर्शज्या वह संख्या है , ऐसा है कि

पद का नाम: । आर्कटेंजेंट की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल है.

अंतराल के सिरों - बिंदुओं - को आर्कटेंजेंट की परिभाषा में बाहर क्यों रखा गया है? बेशक, क्योंकि इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है। इनमें से किसी भी कोण की स्पर्शरेखा के बराबर कोई संख्या नहीं है।

आइए आर्कटेंजेंट का एक ग्राफ बनाएं। परिभाषा के अनुसार, किसी संख्या x का चाप स्पर्शज्या एक संख्या y है जो अंतराल से संबंधित है

ग्राफ़ कैसे बनाएं यह पहले से ही स्पष्ट है। चूँकि आर्कटैन्जेंट स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम फलन है, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ के एक अनुभाग का चयन करते हैं जहां x और y के बीच पत्राचार एक-से-एक है। यह अंतराल C है। इस खंड में फ़ंक्शन से मान लेता है

फिर व्युत्क्रम फ़ंक्शन, यानी फ़ंक्शन, में परिभाषा का एक डोमेन होता है जो संपूर्ण संख्या रेखा होगी, से तक, और मानों की सीमा अंतराल होगी

मतलब,

लेकिन x के असीम रूप से बड़े मानों के लिए क्या होता है? दूसरे शब्दों में, जब x धन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है तो यह फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है?

हम स्वयं से यह प्रश्न पूछ सकते हैं: अंतराल में किस संख्या के लिए स्पर्शरेखा मान अनंत की ओर प्रवृत्त होता है? - जाहिर है यह

इसका मतलब यह है कि x के असीम रूप से बड़े मानों के लिए, आर्कटेंजेंट ग्राफ़ क्षैतिज अनंतस्पर्शी तक पहुंचता है

इसी प्रकार, यदि x शून्य से अनंत तक पहुंचता है, तो आर्कटेंजेंट ग्राफ क्षैतिज अनंतस्पर्शी तक पहुंचता है

यह चित्र फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

3. फलन विषम है.

4. कार्य सख्ती से बढ़ रहा है।

6. फलन तथा परस्पर व्युत्क्रम होते हैं - अवश्य, जब फलन को अंतराल पर माना जाता है

इसी प्रकार, हम व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन को परिभाषित करते हैं और उसका ग्राफ़ बनाते हैं।

किसी संख्या का चाप स्पर्शरेखा वह संख्या होती है , ऐसा है कि

फ़ंक्शन ग्राफ़:

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

3. फलन सामान्य रूप का है, अर्थात् न तो सम है और न ही विषम है।

4. कार्य सख्ती से कम हो रहा है।

5. इस फ़ंक्शन के प्रत्यक्ष और क्षैतिज अनंतस्पर्शी।

6. यदि अंतराल पर विचार किया जाए तो फलन तथा परस्पर प्रतिलोम होते हैं

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन(गोलाकार फलन, चाप फलन) - गणितीय फलन जो त्रिकोणमितीय फलन के व्युत्क्रम होते हैं।

इनमें आमतौर पर 6 कार्य शामिल होते हैं:

आर्कसीन(पद का नाम: आर्कसिन एक्स; आर्कसिन एक्स- यह कोण है पापजो के बराबर है एक्स),
कोटिकोज्या(पद का नाम: आर्ककोस एक्स; आर्ककोस एक्सवह कोण है जिसकी कोज्या बराबर होती है एक्सऔर इसी तरह),
आर्कटिक स्पर्शरेखा(पद का नाम: आर्कटान एक्सया आर्कटान एक्स),
arccotangent(पद का नाम: आर्कसीटीजी एक्सया आर्ककॉट एक्सया आर्ककोटन एक्स),
आर्कसेसेंट(पद का नाम: आर्कसेक एक्स),
आर्कोसेसेंट(पद का नाम: आर्ककोसेक एक्सया आर्कसीएससी एक्स).

आर्कसीन (y = आर्क्सिन x) - प्रतिलोम फलन पाप (एक्स = पाप वाई . दूसरे शब्दों में, कोण को उसके मान से लौटाता है पाप.

आर्क कोसाइन (y = आर्ककोस x) - प्रतिलोम फलन ओल (एक्स = क्योंकि वाई ओल.

आर्कटिक (y = आर्कटान x) - प्रतिलोम फलन टी.जी (एक्स = टैन वाई), जिसमें एक डोमेन और मानों का एक सेट है . दूसरे शब्दों में, कोण को उसके मान से लौटाता है टी.जी.

आर्कोटैन्जेंट (वाई = आर्कसीटीजी एक्स) - प्रतिलोम फलन सीटीजी (x = cotg y), जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है। दूसरे शब्दों में, कोण को उसके मान से लौटाता है सीटीजी.

समग्र आर्समिन- आर्कसेकेंट, कोण को उसके छेदक के मान के अनुसार लौटाता है।

आर्ककोसेक- आर्ककोसेकेंट, उसके कोसेकेंट के मान के आधार पर एक कोण लौटाता है।

जब व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को किसी निर्दिष्ट बिंदु पर परिभाषित नहीं किया जाता है, तो इसका मान अंतिम तालिका में दिखाई नहीं देगा। कार्य समग्र आर्समिनऔर आर्ककोसेकखंड (-1,1) पर निर्धारित नहीं हैं, लेकिन आर्कसिनऔर आर्ककोसकेवल अंतराल [-1,1] पर निर्धारित होते हैं।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का नाम उपसर्ग "आर्क-" (अक्षांश से) जोड़कर संबंधित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के नाम से बनाया गया है। आर्क हम- चाप). यह इस तथ्य के कारण है कि ज्यामितीय रूप से, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान इकाई वृत्त के चाप की लंबाई (या इस चाप को अंतरित करने वाले कोण) से जुड़ा होता है, जो एक या दूसरे खंड से मेल खाता है।

कभी-कभी में विदेशी साहित्य, जैसा कि वैज्ञानिक/इंजीनियरिंग कैलकुलेटर में होता है, जैसे नोटेशन का उपयोग करें पाप−1, क्योंकि −1आर्कसाइन, आर्ककोसाइन और इसी तरह के लिए, इसे पूरी तरह से सटीक नहीं माना जाता है, क्योंकि किसी कार्य को एक शक्ति तक बढ़ाने में भ्रम होने की संभावना है −1 (« −1 » (पहली शक्ति घटाकर) फ़ंक्शन को परिभाषित करता है एक्स = एफ -1 (वाई), उलटा काम करना वाई = एफ(एक्स)).

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के मूल संबंध।

यहां उन अंतरालों पर ध्यान देना ज़रूरी है जिनके लिए सूत्र मान्य हैं।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सूत्र।

आइए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के किसी भी मान को निरूपित करें आर्कसिन एक्स, आर्ककोस एक्स, आर्कटन एक्स, आर्ककोट एक्सऔर नोटेशन रखें: आर्कसिन एक्स, आर्कोस एक्स, आर्कटान एक्स, आर्ककॉट एक्सउनके मुख्य मूल्यों के लिए, तो उनके बीच का संबंध ऐसे संबंधों द्वारा व्यक्त किया जाता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित समस्याएं अक्सर स्कूल की अंतिम परीक्षाओं और कुछ विश्वविद्यालयों की प्रवेश परीक्षाओं में पेश की जाती हैं। इस विषय का विस्तृत अध्ययन केवल वैकल्पिक कक्षाओं में ही प्राप्त किया जा सकता है वैकल्पिक पाठ्यक्रम. प्रस्तावित पाठ्यक्रम प्रत्येक छात्र की क्षमताओं को यथासंभव पूर्ण रूप से विकसित करने और उनकी गणितीय तैयारी में सुधार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

कोर्स 10 घंटे तक चलता है:

1.फ़ंक्शन आर्क्सिन एक्स, आर्ककोस एक्स, आर्कटीजी एक्स, आर्कसीटीजी एक्स (4 घंटे)।

2. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों पर संचालन (4 घंटे)।

3. त्रिकोणमितीय कार्यों पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संचालन (2 घंटे)।

पाठ 1 (2 घंटे) विषय: फलन y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x।

लक्ष्य: इस मुद्दे का संपूर्ण कवरेज.

1.फ़ंक्शन y = आर्क्सिन x.

ए) फ़ंक्शन y = पाप x के लिए खंड पर एक व्युत्क्रम (एकल-मूल्यवान) फ़ंक्शन है, जिसे हम आर्क्साइन कहने और इसे निम्नानुसार निरूपित करने के लिए सहमत हुए: y = आर्क्सिन x। व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ I - III समन्वय कोणों के समद्विभाजक के संबंध में मुख्य फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ सममित है।

फ़ंक्शन के गुण y = आर्क्सिन x।

1) परिभाषा का क्षेत्र: खंड [-1; 1];

2)परिवर्तन का क्षेत्र: खंड;

3)फ़ंक्शन y = आर्क्सिन x विषम: आर्क्सिन (-x) = - आर्क्सिन x;

4) फलन y = आर्क्सिन x एकरस रूप से बढ़ रहा है;

5) ग्राफ़ मूल बिंदु पर ऑक्स, ओय अक्षों को प्रतिच्छेद करता है।

उदाहरण 1. a = आर्क्सिन ज्ञात कीजिए। यह उदाहरणइस प्रकार विस्तार से तैयार किया जा सकता है: एक तर्क खोजें ए, से लेकर की सीमा में स्थित, जिसकी ज्या बराबर है।

समाधान। ऐसे अनगिनत तर्क हैं जिनकी ज्या बराबर है, उदाहरण के लिए: वगैरह। लेकिन हम केवल उस तर्क में रुचि रखते हैं जो खंड पर है। यही तर्क होगा. इसलिए, ।

उदाहरण 2. खोजें .समाधान।उदाहरण 1 की तरह ही तर्क करने पर, हम पाते हैं .

बी) मौखिक व्यायाम. खोजें: आर्क्सिन 1, आर्क्सिन (-1), आर्क्सिन, आर्क्सिन(), आर्क्सिन, आर्क्सिन(), आर्क्सिन, आर्क्सिन(), आर्क्सिन 0। नमूना उत्तर: , क्योंकि . क्या भाव समझ में आते हैं: ; आर्कसिन 1.5; ?

ग) आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: आर्क्सिन, आर्क्सिन (-0.3), आर्क्सिन 0.9।

द्वितीय. फलन y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (समान)।

पाठ 2 (2 घंटे) विषय: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, उनके ग्राफ़।

लक्ष्य: चालू यह सबकडी (वाई), ई (वाई) और आवश्यक परिवर्तनों का उपयोग करके व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ बनाने में, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को निर्धारित करने में कौशल विकसित करना आवश्यक है।

इस पाठ में, संपूर्ण अभ्यास जिसमें परिभाषा के क्षेत्र, प्रकार के कार्यों के मूल्य के डोमेन को ढूंढना शामिल है: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos।

आपको फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाने चाहिए: a) y = arcsin 2x; बी) वाई = 2 आर्कसिन 2एक्स; सी) वाई = आर्क्सिन;

घ) y = आर्क्सिन; ई) वाई = आर्क्सिन; ई) वाई = आर्क्सिन; जी) वाई = | आर्कसिन | .

उदाहरण।आइए y = आर्ककोस आलेखित करें

आप अपने होमवर्क में निम्नलिखित अभ्यास शामिल कर सकते हैं: फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | एक्स | .

व्युत्क्रम फलनों के रेखांकन

पाठ संख्या 3 (2 घंटे) विषय:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों पर संचालन।

लक्ष्य: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए बुनियादी संबंधों को शुरू करके गणितीय ज्ञान का विस्तार करना (गणितीय प्रशिक्षण के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं के साथ विशिष्टताओं में प्रवेश करने वालों के लिए यह महत्वपूर्ण है)।

पाठ के लिए सामग्री.

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों पर कुछ सरल त्रिकोणमितीय संक्रियाएँ: पाप (आर्क्सिन एक्स) = एक्स, मैं xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; टीजी (आर्कटीजी एक्स)= एक्स , एक्स आई आर; सीटीजी (arcctg x) = x , x I R.

व्यायाम.

ए) टीजी (1.5 + आर्कटीजी 5) = - सीटीजी (आर्कटीजी 5) = .

सीटीजी (आर्कटीजी एक्स) = ; टीजी (आर्कसीटीजी एक्स) =।

बी) कॉस (+ आर्क्सिन 0.6) = - कॉस (आर्क्सिन 0.6)। मान लीजिए आर्कसिन 0.6 = ए, पाप ए = 0.6;

कॉस (आर्क्सिन x) = ; पाप (आर्कोस x) = .

ध्यान दें: हम मूल के सामने "+" चिन्ह लेते हैं क्योंकि a = arcsin x संतुष्ट करता है।

ग) पाप (1.5 + आर्कसिन)।

डी) सीटीजी (+आर्कटीजी 3)।

ई) टीजी (-आर्कसीटीजी 4)।

ई) कॉस (0.5 + आर्ककोस)। उत्तर: ।

गणना करें:

ए) पाप (2 आर्कटान 5) .

माना आर्कटान 5 = ए, तो पाप 2 ए = या पाप (2 आर्कटिक 5) = ;

बी) कॉस (+2 आर्कसिन 0.8)।

सी) आर्कटीजी + आर्कटीजी।

माना a = आर्कटान, b = आर्कटान,

तब tg(a + b) = .

घ) पाप (आर्क्सिन + आर्क्सिन)।

ई) सिद्ध करें कि सभी x I के लिए [-1; 1] सच्चा आर्क्सिन x + आर्ककोस x =।

सबूत:

आर्कसिन एक्स = - आर्ककोस एक्स

पाप (आर्क्सिन x) = पाप (- आर्ककोस x)

एक्स = कॉस (आर्कोस एक्स)

इसे स्वयं हल करने के लिए:पाप (आर्ककोस), कॉस (आर्कसिन), कॉस (आर्कसिन ()), पाप (आर्कटीजी (- 3)), टीजी (आर्ककोस), सीटीजी (आर्ककोस)।

के लिए घरेलू समाधान: 1) पाप (आर्क्सिन 0.6 + आर्कटान 0); 2) आर्क्सिन + आर्क्सिन ; 3) सीटीजी (- आर्ककोस 0.6); 4) कॉस (2 आर्कसीटीजी 5) ; 5) पाप (1.5 - आर्क्सिन 0.8); 6) आर्कटीजी 0.5 - आर्कटीजी 3।

पाठ संख्या 4 (2 घंटे) विषय: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों पर संचालन।

लक्ष्य: इस पाठ में, अधिक जटिल अभिव्यक्तियों को बदलने में अनुपातों के उपयोग का प्रदर्शन करें।

पाठ के लिए सामग्री.

मौखिक रूप से:

ए) पाप (आर्कोस 0.6), कॉस (आर्क्सिन 0.8);

बी) टीजी (आर्कटीजी 5), सीटीजी (आर्कटीजी 5);

ग) पाप (आर्कटग -3), कॉस (आर्कटग ());

डी) टीजी (आर्ककोस), सीटीजी (आर्ककोस())।

लिखित में:

1) कॉस (आर्क्सिन + आर्क्सिन + आर्क्सिन)।

2) कॉस (आर्कटग 5-आर्ककोस 0.8) = कॉस (आर्कटग 5) कॉस (आर्ककोस 0.8) + पाप (आर्कटग 5) पाप (आर्ककोस 0.8) =

3) टीजी (- आर्क्सिन 0.6) = - टीजी (आर्क्सिन 0.6) =

स्वतंत्र कार्य से सामग्री पर महारत के स्तर की पहचान करने में मदद मिलेगी।

1) टीजी (आर्कटीजी 2 - आर्कटीजी)

2) कॉस( - आर्कटैन2)

3) आर्कसिन + आर्ककोस

1) कॉस (आर्क्सिन + आर्क्सिन)

2) पाप (1.5 - आर्कटान 3)

3) आर्कसीटीजी3 - आर्कटीजी 2

के लिए गृहकार्यहम सुझाव दे सकते हैं:

1) सीटीजी (आर्कटीजी + आर्कटीजी + आर्कटीजी); 2) पाप 2 (आर्कटग 2 - आर्कक्टग ()); 3) पाप (2 आर्कटग + टैन ( आर्क्सिन )); 4) पाप(2 आर्कटान); 5) टीजी ( (आर्क्सिन ))

पाठ संख्या 5 (2 घंटे) विषय: त्रिकोणमितीय कार्यों पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संक्रियाएँ।

लक्ष्य: अध्ययन किए जा रहे सिद्धांत की समझ बढ़ाने पर ध्यान केंद्रित करते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संचालन के बारे में छात्रों की समझ बनाना।

इस विषय का अध्ययन करते समय, यह माना जाता है कि याद की जाने वाली सैद्धांतिक सामग्री की मात्रा सीमित है।

पाठ सामग्री:

आप फ़ंक्शन y = आर्क्सिन (sin x) का अध्ययन करके और उसका ग्राफ़ बनाकर नई सामग्री सीखना शुरू कर सकते हैं।

3. प्रत्येक x I R, y I से संबद्ध है, अर्थात।<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. फलन विषम है: पाप(-x) = - पाप x; आर्क्सिन(sin(-x)) = - आर्क्सिन(sin x).

6. ग्राफ़ y = आर्क्सिन (sin x) पर:

ए) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

बी)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

पाप y = पाप (-x) = पाप x, 0<= - x <= .

इसलिए,

पर y = arcsin (sin x) का निर्माण करने के बाद, हम [- पर निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित रूप से आगे बढ़ते हैं; 0], इस फ़ंक्शन की विषमता को देखते हुए। आवधिकता का उपयोग करते हुए, हम संपूर्ण संख्या रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं।

फिर कुछ रिश्ते लिखिए: आर्क्सिन (पाप ए) = ए यदि<= a <= ; arccos (cos ए ) = ए यदि 0<= a <= ; आर्कटग (टीजी ए) = ए यदि< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

और निम्नलिखित अभ्यास करें:ए) आर्ककोस(पाप 2).उत्तर: 2 - ; बी) आर्क्सिन (कॉस 0.6)। उत्तर:- 0.1; सी) आर्कटीजी (टीजी 2)।

डी) आर्कसीटीजी (टीजी 0.6)। उत्तर: 0.9; ई) आर्ककोस (कॉस (-2))। ई) आर्क्सिन (पाप (- 0.6))। उत्तर:- 0.6; जी) आर्कटीजी (टीजी 2) = आर्कटीजी (टीजी (2 - )). उत्तर: 2 - ; ज) आर्कटिकजी (टीजी 0.6)। उत्तर:- 0.6; - आर्कटान एक्स; ई) आर्ककोस + आर्ककोस

चूँकि त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, इसलिए उनके व्युत्क्रम फलन अद्वितीय नहीं होते हैं। तो, समीकरण y = पाप एक्स, किसी दिए गए के लिए, अनंत रूप से कई जड़ें हैं। वास्तव में, ज्या की आवर्तता के कारण, यदि x ऐसा मूल है, तो ऐसा ही है x + 2πn(जहाँ n एक पूर्णांक है) समीकरण का मूल भी होगा। इस प्रकार, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन बहुमूल्यांकित होते हैं. उनके साथ काम करना आसान बनाने के लिए, उनके मुख्य अर्थों की अवधारणा पेश की गई है। उदाहरण के लिए, साइन: y = पर विचार करें पाप एक्स. यदि हम तर्क x को अंतराल तक सीमित रखते हैं, तो उस पर फलन y = होता है पाप एक्सनीरस रूप से बढ़ता है। इसलिए, इसका एक अद्वितीय व्युत्क्रम फलन है, जिसे आर्कसाइन कहा जाता है: x = आर्क्सिन वाई.

जब तक अन्यथा न कहा जाए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों से हमारा तात्पर्य उनके मुख्य मानों से है, जो निम्नलिखित परिभाषाओं द्वारा निर्धारित होते हैं।

आर्कसाइन ( आप= आर्कसिन एक्स) sine का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = पापी
आर्क कोसाइन ( आप= आर्ककोस एक्स) कोज्या का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = आरामदायक), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।
आर्कटिक ( आप= आर्कटान एक्स) स्पर्श रेखा का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = टीजी वाई), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।
आर्ककोटैंजेंट ( आप= आर्कसीटीजी एक्स) कोटैंजेंट का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = सीटीजी वाई), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ सीधी रेखा y = x के संबंध में दर्पण प्रतिबिंब द्वारा त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ से प्राप्त किए जाते हैं। अनुभाग देखें ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेंट।

आप= आर्कसिन एक्स

आप= आर्ककोस एक्स

आप= आर्कटान एक्स

आप= आर्कसीटीजी एक्स

मूल सूत्र

यहां आपको उन अंतरालों पर विशेष ध्यान देना चाहिए जिनके लिए सूत्र मान्य हैं।

आर्क्सिन(पाप x) = xपर
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
आर्ककोस(cos x) = xपर
cos(arccos x) = x

आर्कटान(टीजी एक्स) = एक्सपर
टीजी(आर्कटीजी एक्स) = एक्स
आर्कसीटीजी(सीटीजी एक्स) = एक्सपर
सीटीजी(आर्कसीटीजी एक्स) = एक्स

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सूत्र

यह सभी देखें: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

योग और अंतर सूत्र

पर या

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

पर

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

पाठ 32-33. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन

09.07.2015 8936 0

लक्ष्य: त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान लिखने के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके उपयोग पर विचार करें।

I. पाठ के विषय और उद्देश्य का संचार करना

द्वितीय. नई सामग्री सीखना

1. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन

आइए इस विषय पर अपनी चर्चा निम्नलिखित उदाहरण से शुरू करें।

उदाहरण 1

आइए समीकरण हल करें:ए) पाप एक्स = 1/2; बी) पाप एक्स = ए।

ए) कोटि अक्ष पर हम मान 1/2 आलेखित करते हैं और कोण बनाते हैंएक्स 1 और x2, जिसके लिएपाप एक्स = 1/2. इस स्थिति में x1 + x2 = π, जहाँ से x2 = π –एक्स 1 . त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तालिका का उपयोग करके, हम x1 = π/6 का मान ज्ञात करते हैंआइए साइन फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखें और इस समीकरण के समाधान लिखें:जहाँ k ∈ Z.

बी) जाहिर है, समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्मपाप x = a पिछले पैराग्राफ के समान ही है। बेशक, अब मान a को कोर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है। किसी तरह कोण x1 को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। हम इस कोण को प्रतीक से दर्शाने पर सहमत हुएआर्कसिन एक। फिर इस समीकरण के समाधान को फॉर्म में लिखा जा सकता हैइन दोनों सूत्रों को एक में जोड़ा जा सकता है:जिसमें

शेष व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन इसी प्रकार प्रस्तुत किये गये हैं।

अक्सर किसी कोण का परिमाण उसके त्रिकोणमितीय फलन के ज्ञात मान से निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसी समस्या बहुमूल्यांकित है - ऐसे अनगिनत कोण हैं जिनके त्रिकोणमितीय फलन समान मान के बराबर होते हैं। इसलिए, त्रिकोणमितीय कार्यों की एकरसता के आधार पर, कोणों को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को पेश किया जाता है।

संख्या a का आर्कसाइन (arcsin , जिसकी ज्या a के बराबर है, अर्थात्।

किसी संख्या की चाप कोज्याए(आर्कोस a) अंतराल से एक कोण a है जिसकी कोज्या a के बराबर है, अर्थात।

किसी संख्या का आर्कटिकए(आर्कटीजी ए) - अंतराल से ऐसा कोणजिसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है, अर्थातटीजी ए = ए.

किसी संख्या का आर्कोटेन्जेंटए(arcctg a) अंतराल (0; π) से एक कोण a है, जिसका कोटैंजेंट a के बराबर है, अर्थात।सीटीजी ए = ए.

उदाहरण 2

पता लगाते हैं:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाओं को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3

चलिए हिसाब लगाते हैं

माना कोण a = आर्कसिन 3/5, फिर परिभाषा के अनुसारपाप ए = 3/5 और . इसलिए, हमें खोजने की जरूरत हैओल एक। मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:यह ध्यान में रखा जाता है कि cos a ≥ 0. तो,

कार्य गुण	समारोह
कार्य गुण	y = आर्क्सिन x	y = आर्ककोस x	y = आर्कटान x	वाई = आर्कसीटीजी एक्स
कार्यक्षेत्र	एक्स ∈ [-1; 1]	एक्स ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
मूल्यों की श्रृंखला	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
समानता	विषम	न तो सम और न ही विषम	विषम	न तो सम और न ही विषम
फ़ंक्शन शून्य (y = 0)	x = 0 पर	x = 1 पर	x = 0 पर	आप ≠ 0
संकेत स्थिरता के अंतराल	y > 0 x ∈ (0; 1] के लिए, पर< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 for x ∈ [-1; 1)	y > 0 x ∈ (0; +∞) के लिए, पर< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ (-∞; +∞) के लिए y > 0
एक लय	की बढ़ती	अवरोही	की बढ़ती	अवरोही
त्रिकोणमितीय फलन से संबंध	पाप y = x	क्योंकि y = x	टीजी वाई = एक्स	सीटीजी वाई = एक्स
अनुसूची

आइए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाओं और बुनियादी गुणों से संबंधित कई और विशिष्ट उदाहरण दें।

उदाहरण 4

आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें

फ़ंक्शन y को परिभाषित करने के लिए, असमानता को संतुष्ट करना आवश्यक हैजो असमानताओं की प्रणाली के बराबर हैपहली असमानता का समाधान अंतराल x है∈ (-∞; +∞), दूसरा -ये गैप और यह असमानताओं की प्रणाली का समाधान है, और इसलिए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र है

उदाहरण 5

आइए फ़ंक्शन के परिवर्तन का क्षेत्र खोजें

आइए फ़ंक्शन के व्यवहार पर विचार करेंजेड = 2x - x2 (चित्र देखें)।

यह स्पष्ट है कि z ∈ (-∞; 1]। उस तर्क पर विचार करते हुएजेड आर्क कोटैंजेंट फ़ंक्शन निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर भिन्न होता है, तालिका डेटा से हम इसे प्राप्त करते हैंतो परिवर्तन का क्षेत्र

उदाहरण 6

आइए हम सिद्ध करें कि फलन y =आर्कटग x विषम. होने देनाफिर tg a = -x या x = - tg a = tg (- a), और इसलिए, - a = arctg x या a = - arctg एक्स। इस प्रकार, हम इसे देखते हैंअर्थात y(x) एक विषम फलन है।

उदाहरण 7

आइए हम सभी व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के माध्यम से व्यक्त करें

होने देना यह तो स्पष्ट है तब से

आइए कोण का परिचय दें क्योंकि वह

इसी तरह इसलिए और

इसलिए,

उदाहरण 8

आइए फ़ंक्शन y = का एक ग्राफ़ बनाएंकॉस(आर्क्सिन x).

आइए, फिर a = arcsin x को निरूपित करें आइए इस बात को ध्यान में रखें कि x = पाप a और y = cos a, अर्थात x 2 + y2 = 1, और x (x) पर प्रतिबंध∈ [-1; 1]) और y (y ≥ 0). फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =कॉस(आर्कसिन x) एक अर्धवृत्त है.

उदाहरण 9

आइए फ़ंक्शन y = का एक ग्राफ़ बनाएंआर्ककोस(cosx)।

चूंकि कॉस फ़ंक्शन अंतराल पर x परिवर्तन [-1; 1], तो फ़ंक्शन y संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित होता है और खंड पर भिन्न होता है। आइए ध्यान रखें कि y =आर्ककोस(कॉसक्स) = x खंड पर; फलन y सम है और आवर्त 2π के साथ आवर्ती है। यह मानते हुए कि फ़ंक्शन में ये गुण हैंक्योंकि x अब ग्राफ़ बनाना आसान है.

आइए कुछ उपयोगी समानताओं पर ध्यान दें:

उदाहरण 10

आइए फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान खोजेंचलो निरूपित करें तब आइए फ़ंक्शन प्राप्त करें इस फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है z = π/4, और यह बराबर है फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान बिंदु पर प्राप्त किया जाता है z = -π/2, और यह बराबर है इस प्रकार, और

उदाहरण 11

आइए समीकरण हल करें

आइए इसे ध्यान में रखें तब समीकरण इस प्रकार दिखता है:या कहाँ आर्कटेंजेंट की परिभाषा से हमें मिलता है:

2. सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

उदाहरण 1 के समान, आप सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान प्राप्त कर सकते हैं।

समीकरण	समाधान


टीजीएक्स = ए
सीटीजी एक्स = ए

उदाहरण 12

आइए समीकरण हल करें

चूँकि साइन फ़ंक्शन विषम है, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैंइस समीकरण के समाधान:हम इसे कहां से पाते हैं?

उदाहरण 13

आइए समीकरण हल करें

दिए गए सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरण के समाधान लिखते हैं:और हम ढूंढ लेंगे

ध्यान दें कि समीकरणों को हल करते समय विशेष मामलों में (a = 0; ±1)।पाप x = ए और क्योंकि x = और सामान्य सूत्रों का उपयोग नहीं करना, बल्कि इकाई वृत्त के आधार पर समाधान लिखना आसान और अधिक सुविधाजनक है:

समीकरण पाप x = 1 समाधान के लिए

समीकरण पाप x = 0 समाधान x = π k के लिए;

समीकरण पाप x = -1 समाधान के लिए