ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए मानक एल्गोरिथ्म, फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के बाद, अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों का निर्धारण मानता है। फिर स्थिति में किस प्रश्न के आधार पर अधिकतम (या न्यूनतम) और अंतराल की सीमा पर पाए गए बिंदुओं पर मानों की गणना करें।

मैं आपको इसे थोड़ा अलग तरीके से करने की सलाह देता हूं। क्यों? मैंने इसके बारे में लिखा था।

मैं ऐसे कार्यों को निम्नानुसार हल करने का प्रस्ताव करता हूं:

1. व्युत्पन्न खोजें।
2. अवकलज के शून्यक ज्ञात कीजिए।
3. निर्धारित करें कि उनमें से कौन दिए गए अंतराल से संबंधित है।
4. अंतराल की सीमाओं और आइटम 3 के बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें।
5. हम एक निष्कर्ष निकालते हैं (हम पूछे गए प्रश्न का उत्तर देते हैं)।

प्रस्तुत उदाहरणों को हल करने के क्रम में द्विघात समीकरणों के हल पर विस्तार से विचार नहीं किया गया, आपको ऐसा करने में सक्षम होना चाहिए। आपको भी पता होना चाहिए।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

77422. फलन y = x . का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए 3 –3х + 4 खंड पर [–2; 0]।

व्युत्पन्न के शून्य खोजें:

बिंदु x = -1 स्थिति में इंगित अंतराल के अंतर्गत आता है।

हम फ़ंक्शन के मानों की गणना -2, -1 और 0 बिंदुओं पर करते हैं:

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान 6 है।

उत्तर: 6

77425. खंड पर फलन y = x 3 - 3x 2 + 2 का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न के शून्य खोजें:

बिंदु x = 2 स्थिति में इंगित अंतराल के अंतर्गत आता है।

हम 1, 2 और 4 बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं:

फलन का सबसे छोटा मान -2 है।

उत्तर: -2

77426. खंड [-3; 3] पर फलन y = x 3 - 6x 2 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न के शून्य खोजें:

बिंदु x = 0 शर्त में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

हम फ़ंक्शन के मानों की गणना -3, 0 और 3 बिंदुओं पर करते हैं:

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान 0 है।

उत्तर: 0

77429. खंड पर फलन y = x 3 - 2x 2 + x +3 का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

3x 2 - 4x + 1 = 0

हमें जड़ें मिलती हैं: x 1 = 1 x 1 = 1/3।

केवल x = 1 शर्त में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

आइए बिंदु 1 और 4 पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें:

हमने पाया कि फलन का सबसे छोटा मान 3 है।

उत्तर: 3

77430. खंड [- 4; -एक]।

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न के शून्य खोजें, द्विघात समीकरण को हल करें:

3x 2 + 4x + 1 = 0

हमें जड़ें मिलती हैं:

शर्त में दर्शाया गया अंतराल मूल x = -1 के अंतर्गत आता है।

-4, -1, -1/3 और 1 बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें:

हमने पाया कि फलन का सबसे बड़ा मान 3 है।

उत्तर: 3

77433. खंड पर फलन y = x 3 - x 2 - 40x +3 का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न के शून्य खोजें, द्विघात समीकरण को हल करें:

3x 2 - 2x - 40 = 0

हमें जड़ें मिलती हैं:

शर्त में दर्शाया गया अंतराल मूल x = 4 के अंतर्गत आता है।

हम फ़ंक्शन के मान 0 और 4 पर पाते हैं:

हमने पाया कि फलन का सबसे छोटा मान -109 है।

उत्तर:-109

व्युत्पन्न के बिना कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक विधि पर विचार करें। यदि आपको व्युत्पन्न को परिभाषित करने में बड़ी समस्याएं हैं तो इस दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। सिद्धांत सरल है - हम अंतराल से सभी पूर्णांक मानों को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं (तथ्य यह है कि ऐसे सभी प्रोटोटाइप में उत्तर एक पूर्णांक है)।

77437. खंड [-2; 2] पर फलन y = 7 + 12x - x 3 का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

अंक -2 से 2 तक रखें: समाधान देखें

77434. खंड [-2; 0] पर फलन y = x 3 + 2x 2 - 4x + 4 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

बस इतना ही। आपको सफलता!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मूल्य खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर में एक वस्तु (फ़ंक्शन ग्राफ) के आकर्षक फ्लाईबाई जैसा दिखता है, एक लंबी दूरी की तोप से कुछ बिंदुओं पर फायरिंग और इन बिंदुओं से नियंत्रण के लिए बहुत ही विशेष बिंदु चुनना शॉट। अंक एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार चुने जाते हैं। नियम क्या हैं? इस बारे में हम आगे बात करेंगे।

यदि समारोह आप = एफ(एक्स) खंड पर निरंतर है [ ए, बी], तब यह इस खंड पर पहुँचती है सबसे छोटा तथा उच्चतम मूल्य ... यह या तो में हो सकता है चरम बिंदु, या खंड के सिरों पर। इसलिए, खोजने के लिए सबसे छोटा तथा अधिकतम फ़ंक्शन मान खंड पर निरंतर [ ए, बी], आपको सभी में इसके मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के सिरों पर, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी]. ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें [ ए, बी] .

महत्वपूर्ण बिंदु उस बिंदु को कहा जाता है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित, और वह यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(ए) तथा एफ(बी))। इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [ए, बी] .

खोजने की समस्या सबसे छोटा फ़ंक्शन मान .

एक साथ समारोह के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश में

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

समाधान। इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं। आइए हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, खंड के सिरों पर और एक बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2]. ये फ़ंक्शन मान इस प्रकार हैं:,,। यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे दिए गए ग्राफ़ में इसे लाल रंग में चिह्नित किया गया है), -7 के बराबर, खंड के दाहिने छोर पर - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), 9 के बराबर, - महत्वपूर्ण बिंदु पर।

यदि फ़ंक्शन कुछ अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; अंतराल और खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, और सीमा खंड के बिंदु खंड में शामिल हैं), फिर फ़ंक्शन के मूल्यों में यह सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया फ़ंक्शन निरंतर है] -∞, + [और इसका कोई सबसे बड़ा मूल्य नहीं है।

हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति सत्य है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड [-1, 3] के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

हम इन मूल्यों की तुलना करते हैं। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।

हम एक साथ फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की खोज करना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने के लिए नहीं देते हैं, अर्थात्, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक अंश है, जिसके अंश और हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों में ऐसे भी हैं जो छात्रों को पूरी तरह से सोचना पसंद करते हैं (व्युत्पन्न तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं: व्युत्पन्न कार्य :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

सभी क्रियाओं का परिणाम: फ़ंक्शन अपने सबसे छोटे मान तक पहुँचता हैबिंदु पर और बिंदु पर 0 के बराबर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ, बिंदु पर।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करना:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु रेखाखंड का है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

निष्कर्ष: फ़ंक्शन अपने सबसे छोटे मान तक पहुँचता हैबिंदु पर के बराबर और सबसे बड़ा मूल्य, बराबर, बिंदु पर।

लागू चरम समस्याओं में, एक नियम के रूप में, किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे (सबसे बड़े) मूल्यों को खोजना, न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए कम हो जाता है। लेकिन अधिक व्यावहारिक रुचि स्वयं मिनीमा या मैक्सिमा नहीं है, बल्कि तर्क के वे मूल्य हैं जिन पर वे पहुंचे हैं। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करने वाले कार्यों का संकलन।

उदाहरण 8. 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें एक वर्गाकार आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन से निकाला जाना चाहिए। कम से कम सामग्री को कवर करने के लिए टैंक कितना बड़ा होना चाहिए?

समाधान। होने देना एक्स- आधार के किनारे, एच- टैंक की ऊंचाई, एस- बिना आवरण के इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक फलन के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि, कहाँ से। पाया अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए हम इस फ़ंक्शन की एक चरम सीमा के लिए जाँच करें। यह हर जगह परिभाषित और भिन्न है] 0, + ∞ [, और

.

व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और महत्वपूर्ण बिंदु खोजें। इसके अलावा, व्युत्पन्न के लिए मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है और इसलिए यह एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, यह एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है। आइए दूसरे पर्याप्त मानदंड का उपयोग करके इसे चरम सीमा की उपस्थिति के लिए जांचें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसलिए, पर, फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंच जाता है ... इसके बाद से न्यूनतम इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम है, यह इसका सबसे छोटा मान भी है... तो, टैंक के आधार का पक्ष 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 9.पैराग्राफ से एपॉइंट टू रेलवे लाइन पर स्थित साथउससे कुछ दूरी पर मैं, कार्गो परिवहन किया जाना चाहिए। एक भार इकाई को रेल द्वारा दूरी की प्रति इकाई परिवहन की लागत बराबर है, और राजमार्ग से यह बराबर है। किस बिंदु तक एमरेलवे लाइन एक राजमार्ग द्वारा खींची जानी चाहिए ताकि माल का परिवहन एवी साथसबसे किफायती था (अनुभाग अबरेलवे को सीधा माना जाता है)?

सबसे बड़ा और सबसे छोटा फंक्शन वैल्यू

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े मान को अधिक से अधिक कहा जाता है, सबसे छोटा मान उसके सभी मानों में से सबसे छोटा मान होता है।

एक फ़ंक्शन में केवल एक सबसे बड़ा और केवल एक सबसे छोटा मान हो सकता है, या इसमें वे बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं। निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजना इन कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

1) यदि किसी अंतराल (परिमित या अनंत) में फलन y = f (x) निरंतर है और उसका केवल एक चरम है, और यदि यह अधिकतम (न्यूनतम) है, तो यह फलन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान होगा इस अंतराल में।

2) यदि फ़ंक्शन f (x) किसी खंड पर निरंतर है, तो यह आवश्यक रूप से इस खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है। ये मान या तो खंड के भीतर स्थित चरम बिंदुओं पर या इस खंड की सीमाओं पर पहुंच जाते हैं।

किसी खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1. व्युत्पन्न खोजें।

2. उस फलन के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर = 0 या मौजूद नहीं है।

3. महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों का पता लगाएं और उनमें से सबसे बड़ा f naib और सबसे छोटा f naim चुनें।

लागू समस्याओं को हल करते समय, विशेष रूप से अनुकूलन समस्याओं में, अंतराल X पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान (वैश्विक अधिकतम और वैश्विक न्यूनतम) खोजने की समस्याएं महत्वपूर्ण होती हैं। फिर परिणामी फलन का वांछित सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए। इस मामले में, स्वतंत्र चर की भिन्नता का अंतराल, जो परिमित या अनंत हो सकता है, समस्या कथन से भी निर्धारित होता है।

उदाहरण।टैंक, जिसमें एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है, जिसके शीर्ष पर एक वर्गाकार तल खुला होता है, को टिन के अंदर से बाहर निकालने की आवश्यकता होती है। 108 लीटर की क्षमता वाले टैंक के आयाम क्या होने चाहिए। पानी ताकि टिनिंग की लागत यथासंभव कम हो?

समाधान।टिन के साथ एक टैंक को कोटिंग करने की लागत कम से कम होगी यदि इसकी सतह दी गई क्षमता के लिए न्यूनतम है। आइए हम एक dm - आधार के किनारे, b dm - टैंक की ऊंचाई से निरूपित करें। तब इसकी सतह का क्षेत्रफल S बराबर है

तथा

परिणामी संबंध टैंक एस (फ़ंक्शन) के सतह क्षेत्र और आधार पक्ष ए (तर्क) के बीच संबंध स्थापित करता है। आइए हम एक एक्सट्रीमम के लिए फंक्शन S की जांच करें। पहला व्युत्पन्न खोजें, इसे शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें:

अत: a = 6. (a)> 0 a> 6 के लिए, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

उदाहरण... सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान खोजें बीच में।

समाधान: निर्दिष्ट फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर निरंतर है। एक समारोह का व्युत्पन्न

पर और पर व्युत्पन्न। आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

.

दिए गए अंतराल के सिरों पर फ़ंक्शन के मान बराबर होते हैं। नतीजतन, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान पर है, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान है।

आत्म परीक्षण प्रश्न

1. प्रपत्र की अनिश्चितताओं को प्रकट करने के लिए L'Hpital नियम तैयार करें। विभिन्न प्रकार की अनिश्चितताओं की सूची बनाएं जिन्हें संबोधित करने के लिए L'Hpital के नियम का उपयोग किया जा सकता है।

2. बढ़ते और घटते कार्यों के संकेत तैयार करें।

3. फलन के अधिकतम और न्यूनतम की परिभाषा दीजिए।

4. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त तैयार करें।

5. तर्क के किन मूल्यों (कौन से बिंदु) को आलोचनात्मक कहा जाता है? आप इन बिंदुओं को कैसे ढूंढते हैं?

6. किसी फलन के चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त मानदंड क्या हैं? पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके एक चरम के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने की योजना की रूपरेखा तैयार करें।

7. द्वितीय अवकलज का प्रयोग करते हुए एक चरम के फलन का अध्ययन करने की योजना का वर्णन कीजिए।

8. वक्र की उत्तलता, अवतलता की परिभाषा दीजिए।

9. फलन ग्राफ का विभक्ति बिंदु क्या कहलाता है? इन बिंदुओं को खोजने का एक तरीका बताएं।

10. किसी दिए गए खंड पर वक्र की उत्तलता और अवतलता के लिए आवश्यक और पर्याप्त मानदंड तैयार करें।

11. वक्र स्पर्शोन्मुख की परिभाषा दीजिए। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के लंबवत, क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख कैसे खोजें?

12. फलन के अध्ययन और उसके ग्राफ के निर्माण की सामान्य योजना की रूपरेखा तैयार कीजिए।

13. किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के लिए एक नियम तैयार करें।

फंक्शन का एक्सट्रीमम क्या होता है और एक्सट्रीमम के लिए जरूरी कंडीशन क्या होती है?

किसी फ़ंक्शन का चरम किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (एक्सट्रीमम) के लिए आवश्यक शर्त इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शन f (x) का बिंदु x = a पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं।

यह शर्त आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। बिंदु x = a पर व्युत्पन्न इस बिंदु पर एक चरम होने वाले फ़ंक्शन के बिना अनंत तक गायब हो सकता है, या मौजूद नहीं हो सकता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में व्युत्पन्न f? (X) a के बाईं ओर धनात्मक है और a के दाईं ओर ऋणात्मक है, तो बिंदु x = a पर फलन f (x) है ज्यादा से ज्यादा

यदि बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में व्युत्पन्न f? (X) a के बाईं ओर ऋणात्मक है और a के दाईं ओर धनात्मक है, तो बहुत बिंदु x = a पर फलन f (x) है न्यूनतमबशर्ते कि फलन f (x) यहां निरंतर है।

इसके बजाय, आप फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त स्थिति का उपयोग कर सकते हैं:

माना बिंदु x = a पर पहला अवकलज f? (X) लुप्त हो जाता है; यदि, इस स्थिति में, दूसरा अवकलज f ?? (a) ऋणात्मक है, तो फलन f (x) का बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह धनात्मक है, तो न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का टिपिंग पॉइंट क्या है और आप इसे कैसे ढूंढते हैं?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का एक चरम (यानी, अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए, आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफ़ंक्शन f? (x) और, इसे शून्य के बराबर करते हुए, प्रश्न हल करें f? (x) = 0. इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, अर्थात, तर्क के मान जिस पर एक हो सकता है चरम। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न प्लॉट: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिसा अक्ष (अक्ष ऑक्स) को पार करता है और जिन पर ग्राफ़ टूट जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें एक परवलय का चरम.

फलन y (x) = 3x2 + 2x - 50।

फलन का व्युत्पन्न: y? (X) = 6x + 2

समीकरण को हल करना: y? (X) = 0

6x + 2 = 0.6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदु x0 = -1 / 3 है। यह तर्क के इस मान के लिए है कि फ़ंक्शन में है चरम... तो ये है पाना, "x" के बजाय फ़ंक्शन के लिए मिली संख्या को व्यंजक में बदलें:

y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात। इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य?

यदि क्रांतिक बिंदु x0 से गुजरते समय अवकलज का चिन्ह "धन" से "ऋण" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर कोई अधिकतम या न्यूनतम नहीं है।

माना उदाहरण के लिए:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1

जब x = -1, व्युत्पन्न का मान y होगा? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (अर्थात चिन्ह "ऋण" है)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

जब x = 1, व्युत्पन्न का मान y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 होगा (अर्थात चिन्ह "धन" है)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न ने अपना संकेत माइनस से प्लस में बदल दिया। इसका मतलब है कि महत्वपूर्ण मूल्य x0 पर हमारे पास न्यूनतम बिंदु है।

सबसे बड़ा और सबसे छोटा फंक्शन वैल्यू अंतराल पर(एक खंड पर) एक ही प्रक्रिया का उपयोग करते हुए पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल से बाहर हैं उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के भीतर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसमें अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y (x) = 3sin (x) - 0.5x

अंतरालों पर:

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y? (x) = 3cos (x) - 0.5

समीकरण को हल करना 3cos (x) - 0.5 = 0

cos (x) = 0.5 / 3 = 0.16667

x = ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु खोजें [-9; 9]:

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos (0.16667) - 2π * 1 = -7.687

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

एक्स = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

y (-7.687) = 3cos (-7.687) - 0.5 = 0.885

y (-4.88) = 3cos (-4.88) - 0.5 = 5.398

y (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा गया है कि अंतराल पर [-9; 9], फ़ंक्शन का x = -4.88 पर सबसे बड़ा मान है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398।

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फलन का मान y = 5.398 के बराबर है।

अंतराल के सिरों पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात कीजिए:

y (-6) = 3cos (-6) - 0.5 = 3.838

y (-3) = 3cos (-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का उच्चतम मूल्य है

y = 5.398 x = -4.88 . पर

सबसे छोटा मान है

y = 1.077 x = -3 . पर

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के विभक्ति बिंदुओं को कैसे खोजें और उत्तलता और अवतलता के पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y = f (x) के विभक्ति के सभी बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, इसे शून्य के बराबर करें (समीकरण को हल करें) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करें जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है , अनंत या मौजूद नहीं है। यदि, इनमें से किसी एक मान से गुजरते समय, दूसरा व्युत्पन्न चिह्न बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक विभक्ति होती है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई विभक्ति नहीं है।

समीकरण की जड़ें f? (x) = 0, साथ ही फलन के संभावित असंततता बिंदु और दूसरा अवकलज, फलन के प्रांत को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के संकेत से निर्धारित होती है। यदि जांच किए गए अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f (x) यहां ऊपर की ओर अवतल है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो नीचे की ओर।

कैसे दो चर के एक समारोह के चरम को खोजने के लिए?

फ़ंक्शन f (x, y) के चरम को खोजने के लिए, जो इसके असाइनमेंट के क्षेत्र में भिन्न है, आपको चाहिए:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए - समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफएक्स? (एक्स, वाई) = 0, एफयू? (एक्स, वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए Р0 (ए; बी) जांच करें कि क्या अंतर का संकेत अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x; y) के लिए पर्याप्त रूप से Po के करीब। यदि अंतर एक सकारात्मक संकेत रखता है, तो बिंदु P0 पर हमारे पास न्यूनतम है, यदि ऋणात्मक है, तो अधिकतम है। यदि अंतर चिह्न को संरक्षित नहीं करता है, तो बिंदु P0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

बड़ी संख्या में तर्कों के लिए एक फ़ंक्शन का चरम समान तरीके से निर्धारित किया जाता है।

आइए देखें कि ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को कैसे एक्सप्लोर किया जाए। यह पता चला है, ग्राफ को देखते हुए, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें रुचिकर लगे, अर्थात्:

• फंक्शन डोमेन
• फंक्शन रेंज
• फंक्शन जीरो
• बढ़ते और घटते अंतराल
• अधिकतम और न्यूनतम अंक
• खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।

आइए शब्दावली को स्पष्ट करें:

सूच्याकार आकृति का भुजबिंदु का क्षैतिज निर्देशांक है।
तालमेलऊर्ध्वाधर निर्देशांक है।
एब्सिस्सा अक्ष- एक क्षैतिज अक्ष, जिसे अक्सर अक्ष कहा जाता है।
शाफ़्ट- ऊर्ध्वाधर अक्ष, या अक्ष।

तर्कस्वतंत्र चर है जिस पर फ़ंक्शन के मान निर्भर करते हैं। सबसे अधिक बार संकेत दिया।
दूसरे शब्दों में, हम स्वयं चुनते हैं, सूत्र में कार्य स्थानापन्न करते हैं और प्राप्त करते हैं।

कार्यक्षेत्रफ़ंक्शन - तर्क के उन (और केवल उन) मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मौजूद है।
यह इंगित करता है: या।

हमारे आंकड़े में, फ़ंक्शन का डोमेन एक खंड है। यह इस खंड पर है कि फ़ंक्शन का ग्राफ तैयार किया गया है। केवल यहाँ यह फ़ंक्शन मौजूद है।

फंक्शन रेंजमूल्यों का समूह है जो एक चर लेता है। हमारी तस्वीर में, यह एक खंड है - निम्नतम से उच्चतम मूल्य तक।

फंक्शन जीरो- वे बिंदु जहां फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है, अर्थात। हमारे आंकड़े में, ये बिंदु हैं और।

फ़ंक्शन मान सकारात्मक हैंकहाँ पे । हमारे आंकड़े में, ये अंतराल हैं और।
फ़ंक्शन मान नकारात्मक हैंकहाँ पे । हमारे पास यह अंतराल (या अंतराल) से है।

सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं बढ़ते और घटते कार्यकिसी सेट पर। एक समुच्चय के रूप में, आप एक खंड, एक अंतराल, अंतरालों का संघ या संपूर्ण संख्या रेखा ले सकते हैं।

समारोह यह बढ़ रहा है

दूसरे शब्दों में, जितना अधिक, उतना ही, चार्ट दाईं ओर और ऊपर जाता है।

समारोह कम हो जाती हैएक समुच्चय पर यदि, किसी के लिए और समुच्चय से संबंधित, असमानता असमानता का अनुसरण करती है।

घटते फलन के लिए, बड़ा मान छोटे मान से मेल खाता है। ग्राफ़ दाईं ओर और नीचे जाता है।

हमारे आंकड़े में, अंतराल में फलन बढ़ता है और अंतराल में घटता है और।

आइए परिभाषित करें कि क्या है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

अधिकतम बिंदुपरिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु है, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान पर्याप्त रूप से इसके करीब सभी बिंदुओं से अधिक है।
दूसरे शब्दों में, अधिकतम बिंदु एक ऐसा बिंदु है, जिस पर फ़ंक्शन का मान होता है अधिकपड़ोसियों की तुलना में। यह चार्ट पर एक स्थानीय "टीला" है।

हमारे आंकड़े में - अधिकतम बिंदु।

न्यूनतम बिंदु- परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान पर्याप्त रूप से इसके करीब सभी बिंदुओं से कम है।
यही है, न्यूनतम बिंदु ऐसा है कि इसमें फ़ंक्शन का मान पड़ोसी की तुलना में कम है। यह चार्ट पर एक स्थानीय "छेद" है।

हमारी तस्वीर में - न्यूनतम बिंदु।

बात सीमा है। यह परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु नहीं है और इसलिए अधिकतम बिंदु की परिभाषा में फिट नहीं बैठता है। आखिरकार, बाईं ओर उसका कोई पड़ोसी नहीं है। उसी तरह, यह हमारे चार्ट पर न्यूनतम बिंदु नहीं हो सकता।

अधिकतम और न्यूनतम अंक सामूहिक रूप से कहलाते हैं समारोह के चरम बिंदु... हमारे मामले में, यह है और।

और क्या करना है यदि आपको खोजने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, न्यूनतम कार्यखंड पर? इस मामले में, जवाब है। चूंकि न्यूनतम कार्यन्यूनतम बिंदु पर इसका मूल्य है।

इसी तरह, हमारे कार्य का अधिकतम है। यह एक बिंदु पर पहुंच जाता है।

हम कह सकते हैं कि फलन का चरम और के बराबर है।

कभी-कभी कार्यों में आपको खोजने की आवश्यकता होती है सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मानकिसी दिए गए खंड पर। जरूरी नहीं कि वे चरम सीमाओं से मेल खाते हों।

हमारे मामले में सबसे छोटा फ़ंक्शन मानखंड पर बराबर है और फ़ंक्शन के न्यूनतम के साथ मेल खाता है। लेकिन इस सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा मूल्य बराबर है। यह रेखा खंड के बाएं छोर पर पहुंचा है।

किसी भी मामले में, एक खंड पर एक निरंतर कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य या तो चरम बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर प्राप्त किए जाते हैं।