در این مقاله به بررسی خواهیم پرداخت ضرب اعداد مختلط. ابتدا قانون ضرب اعداد مختلط را بیان می کنیم و کاربرد این قانون را هنگام حل مثال ها در نظر می گیریم. در ادامه در مورد ضرب یک عدد مختلط و یک عدد طبیعی صحبت خواهیم کرد. در نهایت، نحوه ضرب کردن یک عدد مختلط و یک کسر مشترک را یاد خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

ضرب اعداد مختلط

ضرب اعداد مختلطرا می توان به ضرب کسرهای معمولی تقلیل داد. برای این کار کافی است اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید.

بیایید آن را بنویسیم قانون ضرب اعداد مختلط:

• ابتدا، اعداد مختلط در حال ضرب باید با کسرهای نامناسب جایگزین شوند.
• در مرحله دوم، شما باید از قانون ضرب کسر در کسر استفاده کنید.

بیایید به مثال هایی از اعمال این قانون در هنگام ضرب یک عدد مختلط در یک عدد مختلط نگاه کنیم.

ضرب اعداد مختلط و .

ابتدا، بیایید اعداد مختلط را به صورت کسرهای نامناسب ضرب کنیم: و . اکنون می توانیم ضرب اعداد مختلط را با ضرب کسرهای معمولی جایگزین کنیم: . با اعمال قانون ضرب کسرها، به دست می آوریم . کسر حاصل تقلیل ناپذیر است (به کسرهای تقلیل پذیر و غیر قابل تقلیل مراجعه کنید) اما نامناسب است (به کسرهای مناسب و نامناسب مراجعه کنید) بنابراین برای به دست آوردن پاسخ نهایی باید کل جزء را از کسر نامناسب جدا کرد: .

بیایید کل راه حل را در یک خط بنویسیم: .

.

برای تقویت مهارت ضرب اعداد مختلط، مثال دیگری را حل کنید.

ضرب را انجام دهید.

اعداد خنده دار و به ترتیب برابر با کسرهای 13/5 و 10/9 هستند. سپس . در این مرحله، زمان آن است که کاهش یک کسر را به خاطر بسپاریم: همه اعداد کسری را با تجزیه آنها به ضرایب اول جایگزین کنید و عوامل یکسان را کاهش دهید.

ضرب یک عدد مختلط و یک عدد طبیعی

پس از جایگزینی یک عدد مختلط با یک کسر نامناسب، ضرب یک عدد مختلط و یک عدد طبیعیمنجر به ضرب یک کسری معمولی و یک عدد طبیعی می شود.

یک عدد مختلط و عدد طبیعی را 45 ضرب کنید.

پس یک عدد مختلط برابر با کسری است . بیایید اعداد موجود در کسر حاصل را با تجزیه آنها به ضرایب اول جایگزین کنیم، یک کاهش انجام دهیم و سپس کل قسمت را انتخاب کنیم: .

.

ضرب یک عدد مختلط و یک عدد طبیعی گاهی اوقات به راحتی با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع انجام می شود. در این صورت حاصل ضرب یک عدد مختلط و یک عدد طبیعی برابر است با مجموع حاصلضرب جزء صحیح عدد طبیعی داده شده و جزء کسری عدد طبیعی داده شده، یعنی: .

محصول را محاسبه کنید.

بیایید عدد مختلط را با مجموع اجزای صحیح و کسری جایگزین کنیم، پس از آن خاصیت توزیعی ضرب را اعمال می کنیم: .

ضرب اعداد مختلط و کسرهاراحت‌ترین کار این است که آن را به ضرب کسرهای معمولی با نمایش اعداد مختلط که به عنوان کسر نامناسب ضرب می‌شوند کاهش دهیم.

عدد مختلط را در کسری مشترک 4/15 ضرب کنید.

با جایگزین کردن عدد مختلط با کسری، به دست می آوریم .

www.cleverstudents.ru

ضرب کسرها

§ 140. تعاریف. 1) ضرب کسری در یک عدد صحیح مانند ضرب اعداد صحیح تعریف می شود، یعنی: ضرب یک عدد (ضرب) در یک عدد صحیح (ضریب) به معنای ایجاد مجموع عبارت های یکسان است که در آن هر جمله برابر ضرب و تعداد جمله ها برابر با ضریب است.

بنابراین ضرب در 5 به معنای یافتن مجموع است:
2) ضرب عدد (ضرب) در کسری (ضریب) به معنای یافتن این کسری از ضرب است.

بنابراین، یافتن کسری از شماره داده شده، که قبلا در نظر گرفتیم، اکنون ضرب در کسری را می نامیم.

3) ضرب یک عدد (ضرب) در یک عدد مختلط (ضریب) یعنی ضرب را ابتدا در عدد صحیح ضریب و سپس در کسری ضریب ضرب کنیم و حاصل این دو ضرب را با هم جمع کنیم.

مثلا:

عددی که پس از ضرب در همه این موارد بدست می آید نامیده می شود کار کردن، یعنی مانند هنگام ضرب اعداد صحیح.

از این تعاریف مشخص می شود که ضرب اعداد کسری عملی است که همیشه ممکن و همیشه بدون ابهام است.

بند 141. مصلحت این تعاریف.برای درک مناسب بودن معرفی دو تعریف آخر ضرب در حساب، اجازه دهید مسئله زیر را در نظر بگیریم:

وظیفه. قطاری که به طور یکنواخت حرکت می کند، 40 کیلومتر در ساعت را طی می کند. چگونه بفهمیم این قطار در یک تعداد ساعت معین چند کیلومتر را طی می کند؟

اگر ما با آن یک تعریف از ضرب که در حساب اعداد صحیح نشان داده شده است (جمع عبارات مساوی) باقی بمانیم، مشکل ما سه خواهد بود. راه حل های مختلف، برای مثال:

اگر تعداد ساعت داده شده یک عدد صحیح باشد (مثلاً 5 ساعت)، برای حل مسئله باید 40 کیلومتر را در این تعداد ساعت ضرب کنید.

اگر تعداد ساعت معین به صورت کسری بیان شود (مثلاً یک ساعت)، باید مقدار این کسر را از 40 کیلومتر پیدا کنید.

در نهایت، اگر تعداد ساعت داده شده مخلوط شود (مثلاً ساعت)، باید 40 کیلومتر در عدد صحیح موجود در عدد مختلط ضرب شود و به نتیجه کسری دیگر از 40 کیلومتر اضافه شود که در حالت مخلوط است. عدد.

تعاریفی که ارائه کردیم به ما اجازه می دهد که به همه این موارد ممکن یک پاسخ کلی بدهیم:

شما باید 40 کیلومتر را در تعداد معین ساعت ضرب کنید، هر چه که باشد.

بنابراین، اگر مشکل در نمایش داده شود نمای کلیبنابراین:

قطاری که به طور یکنواخت حرکت می کند، v کیلومتر را در یک ساعت طی می کند. قطار چند کیلومتر را در t ساعت طی خواهد کرد؟

پس مهم نیست که اعداد v و t چه هستند، می‌توانیم یک پاسخ بدهیم: عدد مورد نظر با فرمول v · t بیان می‌شود.

توجه داشته باشید. یافتن کسری از یک عدد معین، طبق تعریف ما، به معنای ضرب یک عدد معین در این کسری است. بنابراین، برای مثال، یافتن 5% (یعنی پنج صدم) یک عدد معین به معنای ضرب یک عدد معین در یا در . یافتن 125 درصد از یک عدد به معنای ضرب این عدد در یا در و غیره است.

§ 142. نکته ای در مورد زمان افزایش و کاهش آن از ضرب.

ضرب در کسر مناسب عدد را کاهش می دهد و ضرب در کسر نامناسب اگر این کسر نامناسب بزرگتر از یک باشد عدد را افزایش می دهد و اگر برابر با یک باشد بدون تغییر می ماند.
اظهار نظر. هنگام ضرب اعداد کسری و همچنین اعداد صحیح، در صورتی که هر یک از ضرایب برابر با صفر باشد، حاصلضرب برابر با صفر در نظر گرفته می شود، بنابراین .

§ 143. اشتقاق قواعد ضرب.

1) ضرب کسری در یک عدد کامل. بگذارید یک کسری در 5 ضرب شود. این یعنی 5 برابر افزایش یافته است. برای افزایش کسری 5 برابر، کافی است که صورت آن را افزایش دهیم یا مخرج آن را 5 برابر کنیم (§ 127).

از همین رو:
قانون 1. برای ضرب یک کسری در یک عدد کامل، باید صورت را در این عدد کامل ضرب کنید، اما مخرج را ثابت بگذارید. در عوض، شما همچنین می توانید مخرج کسری را بر عدد کامل داده شده (در صورت امکان) تقسیم کنید و صورت را یکسان بگذارید.

اظهار نظر. حاصلضرب کسری و مخرج آن برابر با صورت آن است.

بنابراین:
قانون 2. برای ضرب یک عدد صحیح در کسری، باید عدد کامل را در صورت کسر ضرب کنید و این حاصل ضرب را به صورت صورت تبدیل کنید و مخرج این کسر را به عنوان مخرج امضا کنید.
قانون 3. برای ضرب کسری در کسری باید صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب کنید و حاصل ضرب اول را صورت و دومی را مخرج حاصل ضرب کنید.

اظهار نظر. این قانون را می توان برای ضرب کسری در یک عدد صحیح و یک عدد صحیح در کسری نیز اعمال کرد، اگر فقط عدد صحیح را کسری با مخرج یک در نظر بگیریم. بنابراین:

بنابراین، سه قاعده ذکر شده در یک قانون وجود دارد که به طور کلی می توان آن را به صورت زیر بیان کرد:
4) ضرب اعداد مختلط.

قانون 4. برای ضرب اعداد مختلط باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قوانین ضرب کسرها ضرب کنید. مثلا:
§ 144. تقلیل در حین ضرب. هنگام ضرب کسرها، در صورت امکان، لازم است یک کاهش مقدماتی انجام شود، همانطور که از مثال های زیر مشخص است:

چنین کاهشی را می توان انجام داد زیرا اگر صورت و مخرج آن به تعداد یکسان کاهش یابد، مقدار کسری تغییر نمی کند.

§ 145. تغییر محصول با عوامل متغیر.هنگامی که عوامل تغییر می کنند، حاصل ضرب اعداد کسری دقیقاً به همان صورت حاصل ضرب اعداد صحیح تغییر می کند (§ 53)، یعنی: اگر هر عاملی را چندین بار افزایش (یا کاهش دهید)، آنگاه حاصل ضرب افزایش (یا کاهش) می شود. به همان میزان .

بنابراین، اگر در مثال:
برای ضرب چند کسر، باید اعداد آن ها را با یکدیگر و مخرج ها را با یکدیگر ضرب کنید و حاصل ضرب اول را صورت و دومی را مخرج حاصل ضرب کنید.

اظهار نظر. این قاعده را می توان در مورد محصولاتی که در آنها برخی از عوامل عدد صحیح یا مختلط هستند نیز اعمال کرد، اگر عدد صحیح را کسری با مخرج یک در نظر بگیریم و اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم. مثلا:
§ 147. خواص اساسی ضرب.آن خواص ضرب که برای اعداد صحیح نشان دادیم (§ 56، 57، 59) برای ضرب اعداد کسری نیز صدق می کند. اجازه دهید این خواص را نشان دهیم.

1) محصول با تغییر فاکتورها تغییر نمی کند.

مثلا:

در واقع، طبق قاعده بند قبل، حاصل ضرب اول برابر با کسر و دومی برابر با کسر است. اما این کسرها یکی هستند، زیرا اصطلاحات آنها فقط در ترتیب اعداد صحیح متفاوت است و حاصلضرب اعداد صحیح با تغییر مکان ضرایب تغییر نمی کند.

2) اگر هر گروه از عوامل با محصول آنها جایگزین شود، محصول تغییر نخواهد کرد.

مثلا:

نتایج یکسان است.

از این خاصیت ضرب می توان نتیجه زیر را گرفت:

برای ضرب یک عدد در یک محصول، می توانید این عدد را در عامل اول ضرب کنید، عدد حاصل را در دوم ضرب کنید و غیره.

مثلا:
3) قانون توزیعی ضرب (نسبت به جمع). برای ضرب یک مجموع در یک عدد، می توانید هر جمله را جداگانه در آن عدد ضرب کنید و نتایج را اضافه کنید.

این قانون توسط ما توضیح داده شد (§ 59) همانطور که در مورد اعداد صحیح اعمال می شود. بدون هیچ تغییری برای اعداد کسری درست باقی می ماند.

اجازه دهید در واقع نشان دهیم که برابری

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(قانون توزیع ضرب نسبت به جمع) حتی زمانی که حروف اعداد کسری را نشان می دهند صادق است. بیایید سه مورد را در نظر بگیریم.

1) ابتدا فرض می کنیم که عامل m یک عدد صحیح است، برای مثال m = 3 (a, b, c – هر عددی). با توجه به تعریف ضرب در یک عدد صحیح، می توانیم بنویسیم (برای سادگی خود را به سه جمله محدود می کنیم):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

بر اساس قانون تداعی جمع، می توانیم تمام پرانتزهای سمت راست را حذف کنیم. با اعمال قانون جابجایی جمع و سپس قانون انجمنی، آشکارا می‌توان سمت راست را به صورت زیر بازنویسی کرد:

(الف + الف + الف) + (ب + ب + ب) + (ج + ج + ج).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

این بدان معنی است که قانون توزیع در این مورد تأیید می شود.

ضرب و تقسیم کسرها

آخرین بار یاد گرفتیم که چگونه کسرها را جمع و تفریق کنیم (به درس "افزودن و تفریق کسرها" مراجعه کنید). اکثر لحظه سختاین اقدامات شامل آوردن کسرها به یک مخرج مشترک بود.

حالا وقت آن است که به ضرب و تقسیم بپردازیم. خبر خوب این است که این عملیات حتی ساده تر از جمع و تفریق است. ابتدا بیایید نگاه کنیم ساده ترین مورد، هنگامی که دو کسر مثبت بدون یک جزء صحیح جدا شده وجود دارد.

برای ضرب دو کسر، باید صورت و مخرج آنها را جداگانه ضرب کنید. عدد اول صورت کسر جدید و عدد دوم مخرج خواهد بود.

برای تقسیم دو کسر، باید کسر اول را در کسر دوم "معکوس" ضرب کنید.

از تعریف به دست می آید که تقسیم کسرها به ضرب کاهش می یابد. برای "برگرداندن" کسری، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. بنابراین، در طول درس عمدتاً ضرب را در نظر خواهیم گرفت.

در نتیجه ضرب، کسری تقلیل‌پذیر می‌تواند بوجود بیاید (و اغلب هم بوجود می‌آید) - البته باید کاهش یابد. اگر بعد از همه کاهش ها، کسری نادرست است، کل قسمت باید برجسته شود. اما چیزی که قطعاً با ضرب اتفاق نمی‌افتد، تقلیل به یک مخرج مشترک است: بدون روش متقاطع، بزرگترین فاکتورها و کمترین مضرب مشترک.

طبق تعریف داریم:

ضرب کسر با اجزای کامل و کسرهای منفی

اگر کسری شامل یک قسمت صحیح باشد، باید آنها را به قسمت های نامناسب تبدیل کرد - و تنها پس از آن طبق طرح های ذکر شده در بالا ضرب شود.

اگر در صورت کسر، در مخرج یا جلوی آن یک منهای وجود داشته باشد، می توان آن را طبق قوانین زیر از ضرب خارج کرد یا به طور کلی حذف کرد:

1. به علاوه منهای منفی می دهد.
2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

تا به حال، این قوانین فقط هنگام جمع و تفریق کسرهای منفی، زمانی که لازم بود از شر کل قسمت خلاص شود، مواجه می شد. برای یک اثر، می توان آنها را تعمیم داد تا چندین معایب را به طور همزمان "سوزانند":

1. نگاتیوها را دوتایی خط می زنیم تا کاملا محو شوند. در موارد شدید، یک منهای می تواند زنده بماند - چیزی که برای آن همسری وجود نداشت.
2. اگر هیچ منفی باقی نمانده باشد، عملیات تکمیل شده است - می توانید ضرب را شروع کنید. اگر منهای آخر خط نخورد چون جفتی برای آن وجود نداشت، آن را خارج از حدود ضرب می کنیم. نتیجه یک کسر منفی است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم و سپس منهای را از ضرب خارج می کنیم. آنچه باقی می ماند را طبق قوانین معمول ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که منهای که در مقابل کسری با یک قسمت کامل برجسته ظاهر می شود، به طور خاص به کل کسری اشاره دارد و نه فقط به کل آن (این در مورد دو مثال آخر صدق می کند).

به اعداد منفی نیز توجه کنید: هنگام ضرب، آنها در داخل پرانتز قرار می گیرند. این کار به منظور جدا کردن منهای از علائم ضرب و دقیق تر کردن نماد انجام می شود.

کاهش کسری در پرواز

ضرب یک عملیات بسیار کار فشرده است. اعداد در اینجا بسیار بزرگ هستند، و برای ساده کردن مشکل، می توانید سعی کنید کسر را بیشتر کاهش دهید. قبل از ضرب. در واقع، در اصل، صورت‌ها و مخرج‌های کسرها عوامل معمولی هستند، و بنابراین، می‌توان آنها را با استفاده از ویژگی اصلی یک کسر کاهش داد. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

طبق تعریف داریم:

در همه نمونه ها، اعدادی که کاهش یافته اند و آنچه از آنها باقی مانده است با رنگ قرمز مشخص شده اند.

لطفاً توجه داشته باشید: در مورد اول، ضریب ها به طور کامل کاهش یافت. به جای آنها واحدهایی باقی می مانند که، به طور کلی، نیازی به نوشتن ندارند. در مثال دوم، امکان کاهش کامل وجود نداشت، اما مقدار کل محاسبات همچنان کاهش یافت.

با این حال، هرگز از این تکنیک هنگام جمع و تفریق کسرها استفاده نکنید! بله، گاهی اوقات اعداد مشابهی وجود دارد که شما فقط می خواهید آنها را کاهش دهید. اینجا، نگاه کنید:

شما نمی توانید این کار را انجام دهید!

این خطا به این دلیل رخ می دهد که هنگام جمع کردن، صورتگر کسری یک جمع را تولید می کند نه حاصل ضرب اعداد. در نتیجه، اعمال ویژگی اصلی یک کسر غیرممکن است، زیرا این ویژگی به طور خاص با ضرب اعداد سروکار دارد.

به سادگی هیچ دلیل دیگری برای کاهش کسر وجود ندارد، بنابراین راه حل صحیحکار قبلی به این صورت است:

همانطور که می بینید، پاسخ صحیح چندان زیبا نبود. در کل مراقب باشید.

ضرب کسرها

برای ضرب صحیح کسری در کسری یا کسری در عددی باید بدانید قوانین ساده. اکنون این قوانین را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ضرب کسر مشترک در کسری.

برای ضرب کسری در کسری باید حاصل ضرب اعداد و حاصل مخرج این کسرها را محاسبه کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
صورت کسر اول را در کسر دوم ضرب می کنیم و همچنین مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب می کنیم.

ضرب کسری در عدد.

اول، بیایید قانون را به خاطر بسپاریم، هر عددی را می توان به صورت کسری \(\bf n = \frac \) نشان داد.

بیایید هنگام ضرب از این قانون استفاده کنیم.

کسر نامناسب \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) به یک کسر مختلط تبدیل شد.

به عبارت دیگر، وقتی یک عدد را در کسری ضرب می کنیم، عدد را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم.مثال:

ضرب کسرهای مختلط

برای ضرب کسرهای مختلط، ابتدا باید هر کسر مختلط را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهید و سپس از قانون ضرب استفاده کنید. صورت را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را در مخرج ضرب می کنیم.

ضرب کسرها و اعداد متقابل.

سوالات مرتبط:
چگونه کسری را در کسری ضرب کنیم؟
جواب: حاصل ضرب کسرهای معمولی ضرب یک صورت با یک صورت، یک مخرج با یک مخرج است. برای بدست آوردن حاصل ضرب کسرهای مختلط باید آنها را به کسر نامناسب تبدیل کنید و طبق قوانین ضرب کنید.

چگونه کسری را با مخرج های مختلف ضرب کنیم؟
پاسخ: فرقی نمی‌کند کسرها دارای مخرج یکسان باشند یا متفاوت، ضرب بر اساس قاعده یافتن حاصل ضرب یک صورت با صورت، یک مخرج با مخرج انجام می‌شود.

چگونه کسرهای مختلط را ضرب کنیم؟
پاسخ: ابتدا باید کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید و سپس حاصل ضرب را با استفاده از قواعد ضرب پیدا کنید.

چگونه یک عدد را در کسری ضرب کنیم؟
پاسخ: عدد را در صورت ضرب می کنیم اما مخرج را ثابت می گذاریم.

مثال شماره 1:
حاصل ضرب را محاسبه کنید: a) \(\frac \times \frac \) ب) \(\frac \times \frac \)

مثال شماره 2:
حاصل ضرب یک عدد و یک کسر را محاسبه کنید: الف) \(3 \ بار \فرک \) ب) \(\frac \times 11\)

مثال شماره 3:
متقابل کسری \(\frac \) را بنویسید؟
پاسخ: \(\frac = 3\)

مثال شماره 4:
حاصل ضرب دو کسر معکوس متقابل را محاسبه کنید: الف) \(\frac \times \frac \)

مثال شماره 5:
آیا کسرهای متقابل می توانند:
الف) همزمان با کسرهای مناسب؛
ب) کسرهای نامناسب به طور همزمان.
ج) همزمان اعداد طبیعی?

راه حل:
الف) برای پاسخ به سوال اول مثالی می زنیم. کسری \(\frac \) مناسب است، کسر معکوس آن برابر با \(\frac \) خواهد بود - یک کسر نامناسب. پاسخ: خیر

ب) تقریباً در تمام شمارش کسرها این شرط برقرار نیست، اما اعدادی وجود دارند که شرط نامناسب بودن همزمان را دارند. به عنوان مثال، یک کسر نامناسب \(\frac \) است، کسر معکوس آن برابر با \(\frac \) است. دو کسر نامناسب بدست می آوریم. پاسخ: همیشه در شرایط خاصی که صورت و مخرج برابر هستند، نیست.

ج) اعداد طبیعی اعدادی هستند که هنگام شمارش از آنها استفاده می کنیم، مثلاً 1، 2، 3، …. اگر عدد \(3 = \frac \) را بگیریم، کسر معکوس آن \(\frac \) خواهد بود. کسر \(\frac \) یک عدد طبیعی نیست. اگر همه اعداد را مرور کنیم، متقابل عدد همیشه کسری است، به جز 1. اگر عدد 1 را بگیریم، کسر متقابل آن \(\frac = \frac = 1\) خواهد بود. عدد 1 یک عدد طبیعی است. پاسخ: آنها می توانند به طور همزمان فقط در یک مورد اعداد طبیعی باشند، اگر این عدد 1 باشد.

مثال شماره 6:
حاصل ضرب کسرهای مختلط را انجام دهید: الف) \(4 \ ضربدر 2 \ فرک \) ب) \(1\ فرک \ بار 3 \ فرک \)

راه حل:
الف) \(4 \ بار 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
ب) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

مثال شماره 7:
آیا دو عدد متقابل می توانند همزمان اعداد مخلوط شوند؟

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید یک کسر مختلط \(1\frac\) را بگیریم، کسر معکوس آن را پیدا کنیم، برای این کار آن را به یک کسر نامناسب \(1\frac = \frac \) تبدیل می‌کنیم. کسر معکوس آن برابر با \(\frac \) خواهد بود. کسری \(\frac\) یک کسر مناسب است. جواب: دو کسری که با هم معکوس هستند را نمی توان همزمان اعداد مخلوط کرد.

ضرب اعشار در یک عدد طبیعی

ارائه برای درس

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

• به روشی سرگرم کننده، قانون ضرب کسری اعشاری در یک عدد طبیعی، در واحد ارزش مکانی و قانون بیان کسری اعشاری را به صورت درصد به دانش آموزان معرفی کنید. توانایی به کارگیری دانش کسب شده را در هنگام حل مثال ها و مسائل توسعه دهید.
• توسعه و فعال سازی کنید تفکر منطقیدانش آموزان، توانایی شناسایی الگوها و تعمیم آنها، تقویت حافظه، توانایی همکاری، ارائه کمک، ارزیابی کار خود و کار یکدیگر.
• علاقه به ریاضیات، فعالیت، تحرک و مهارت های ارتباطی را پرورش دهید.

تجهیزات: تابلوی تعاملی، پوستری با سایفرگرام، پوسترهایی با اظهارات ریاضیدانان.

1. زمان سازماندهی
2. حساب شفاهی - تعمیم مطالب قبلاً مطالعه شده، آماده سازی برای مطالعه مطالب جدید.
3. توضیح مطالب جدید
4. تکلیف خانه.
5. تربیت بدنی ریاضی.
6. تعمیم و نظام مندسازی دانش کسب شده در فرم بازیبا استفاده از کامپیوتر
7. درجه بندی.

2. بچه ها، امروز درس ما تا حدودی غیرعادی خواهد بود، زیرا من آن را به تنهایی آموزش نمی دهم، بلکه با دوستم آن را آموزش می دهم. و دوست من نیز غیرعادی است، اکنون او را خواهید دید. (یک کامپیوتر کارتونی روی صفحه ظاهر می شود.) دوست من اسم دارد و می تواند صحبت کند. اسمت چیه رفیق کامپوشا پاسخ می دهد: "اسم من کومپوشا است." امروز آماده ای به من کمک کنی؟ آره! خب پس بیایید درس را شروع کنیم.

بچه ها امروز یک سایفرگرام رمزگذاری شده دریافت کردم که باید با هم حلش کنیم و رمزگشایی کنیم. (پوستر با شمارش شفاهیدر جمع و تفریق کسرهای اعشاری که در نتیجه آن کودکان کد زیر را دریافت می کنند 523914687. )

Komposha به رمزگشایی کد دریافتی کمک می کند. نتیجه رمزگشایی کلمه MULTIPLICATION است. ضرب کلمه کلیدی موضوع درس امروز است. موضوع درس روی مانیتور نمایش داده می شود: "ضرب کسری اعشاری در یک عدد طبیعی"

بچه ها ما بلدیم اعداد طبیعی رو ضرب کنیم. امروز به بررسی ضرب اعداد اعشاری در یک عدد طبیعی خواهیم پرداخت. ضرب کسری اعشاری در یک عدد طبیعی را می توان به صورت مجموع جملاتی در نظر گرفت که هر کدام برابر با این کسری اعشاری و تعداد جمله ها برابر با این عدد طبیعی است. به عنوان مثال: 5.21 · 3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63 بنابراین، 5.21 · 3 = 15.63. با ارائه 5.21 به عنوان کسری مشترک به یک عدد طبیعی، دریافت می کنیم

و در این مورد به همین نتیجه رسیدیم: 15.63. حال با صرف نظر از کاما به جای عدد 5.21 عدد 521 را گرفته و در این عدد طبیعی ضرب کنید. در اینجا باید به یاد داشته باشیم که در یکی از فاکتورها کاما دو مکان به سمت راست منتقل شده است. با ضرب اعداد 5، 21 و 3، حاصلضرب برابر با 15.63 به دست می آید. حالا در این مثال کاما را به دو مکان سمت چپ منتقل می کنیم. بنابراین، چند بار یکی از عوامل افزایش یافته است، چند بار محصول کاهش یافته است. بر اساس شباهت های این روش ها به نتیجه می رسیم.

جهت تکثیر اعشاریبرای یک عدد طبیعی، شما نیاز دارید:
1) بدون توجه به کاما، اعداد طبیعی را ضرب کنید.
2) در حاصل ضرب، به تعداد رقمی که در کسر اعشاری وجود دارد، با کاما از سمت راست جدا کنید.

نمونه‌های زیر روی مانیتور نمایش داده می‌شوند که به همراه کامپوشا و بچه‌ها آن‌ها را تحلیل می‌کنیم: 5.21 · 3 = 15.63 و 7.624 · 15 = 114.34. سپس ضرب را در یک عدد گرد نشان می دهم 12.6 · 50 = 630. بعد، من به ضرب کسری اعشاری در واحد ارزش مکانی می روم. من مثال های زیر را نشان می دهم: 7.423 · 100 = 742.3 و 5.2 · 1000 = 5200. بنابراین، قانون ضرب کسری اعشاری در یک واحد رقمی را معرفی می کنم:

برای ضرب یک کسر اعشاری در واحدهای رقمی 10، 100، 1000 و غیره، باید نقطه اعشار این کسری را به تعداد صفرهای واحد رقمی به سمت راست منتقل کنید.

توضیحاتم را با بیان کسر اعشاری به صورت درصد به پایان می برم. من قاعده را معرفی می کنم:

برای بیان یک کسر اعشاری به صورت درصد، باید آن را در 100 ضرب کنید و علامت % را اضافه کنید.

من یک مثال در رایانه می زنم: 0.5 100 = 50 یا 0.5 = 50%.

4. در پایان توضیحاتی را به بچه ها می دهم مشق شبکه روی مانیتور کامپیوتر نیز نمایش داده می شود: № 1030, № 1034, № 1032.

5. برای اینکه بچه ها کمی استراحت کنند با کمپوشا یک جلسه تربیت بدنی ریاضی انجام می دهیم تا موضوع تجمیع شود. همه می ایستند، مثال های حل شده را به کلاس نشان می دهند و باید پاسخ دهند که آیا این مثال درست یا غلط حل شده است. اگر مثال به درستی حل شد، بازوهایشان را بالای سرشان بلند می کنند و کف دستشان را می زنند. اگر مثال به درستی حل نشد، بچه ها بازوهای خود را به طرفین دراز می کنند و انگشتان خود را دراز می کنند.

6. و حالا کمی استراحت کرده اید، می توانید تکالیف را حل کنید. کتاب درسی خود را به صفحه 205 باز کنید، № 1029. در این کار باید مقدار عبارات را محاسبه کنید:

وظایف در رایانه ظاهر می شوند. همانطور که آنها حل می شوند، تصویری با تصویر یک قایق ظاهر می شود که وقتی به طور کامل جمع می شود شناور می شود.

با حل این کار در رایانه، موشک به تدریج پس از حل آخرین مثال، راکت دور می شود. معلم اطلاعات کمی به دانش آموزان می دهد: "هر سال سفینه های فضایی از کیهان بایکونور از خاک قزاقستان به سمت ستاره ها بلند می شوند. قزاقستان در حال ساخت فضانورد جدید بایترک در نزدیکی بایکونور است.

اگر سرعت خودروی سواری 74.8 کیلومتر در ساعت باشد، یک خودروی سواری در 4 ساعت چقدر مسافت را طی می کند.

گواهی هدیه نمی دانید به افراد مهم خود، دوستان، کارمندان، بستگان خود چه بدهید؟ از پیشنهاد ویژه ما استفاده کنید: "گواهی هدیه برای هتل Blue Sedge Country."

تعویض کنتور گاز: قوانین هزینه و تعویض، عمر سرویس، فهرست اسناد هر مالک ملک به عملکرد با کیفیت بالا علاقه مند است. کنتور گاز. اگر به موقع آن را تعویض نکنید، [...]

مزایای کودک در کراسنودار و منطقه کراسنوداردر سال 2018 جمعیت کوبان گرم (در مقایسه با بسیاری از مناطق دیگر روسیه) به دلیل مهاجرت و افزایش نرخ تولد به طور مداوم در حال افزایش است. با این حال، مسئولان موضوع […]

مستمری از کارافتادگی برای پرسنل نظامی در سال 2018 خدمت سربازی فعالیتی است که با خطر سلامتی خاصی مشخص می شود. زیرا در قانونگذاری فدراسیون روسیهارائه شده است شرایط خاصنگهداری از افراد معلول، [...]

مزایای کودکان در سامارا و منطقه سامارا در سال 2018 مزایای کودکان زیر سن قانونی در منطقه سامارا برای شهروندانی است که کودکان پیش دبستانی و دانش آموزان را پرورش می دهند. هنگام تخصیص بودجه، نه تنها [...]

تأمین مستمری برای ساکنان کراسنودار و قلمرو کراسنودار در سال 2018 افراد دارای معلولیت که طبق قانون به عنوان چنین شناخته شده‌اند، از حمایت مالی دولت برخوردار می‌شوند. تظاهر به منابع بودجه […]

تأمین مستمری برای ساکنان چلیابینسک و منطقه چلیابینسک در سال 2018 توسط قانون تعریف شده استسن، شهروندان حق تأمین حقوق بازنشستگی را دریافت می کنند. می تواند متفاوت باشد و شرایط انتصاب متفاوت است. به عنوان مثال، […]

مزایای کودکان در منطقه مسکو در سال 2018 سیاست اجتماعی منطقه مسکو با هدف شناسایی خانواده هایی است که نیاز به حمایت اضافی از خزانه دارند. اقدامات حمایتی فدرال برای خانواده های دارای فرزند در سال 2018 […]

محتوای درس

جمع کردن کسری با مخرج مشابه

دو نوع جمع کسر وجود دارد:

1. جمع کردن کسری با مخرج مشابه
2. جمع کسری با مخرج های مختلف

ابتدا جمع کسری با مخرج مشابه را بیاموزیم. اینجا همه چیز ساده است. برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. به عنوان مثال، بیایید کسرها و . اعداد را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.کسر و .

جواب کسری نامناسب بود. هنگامی که پایان کار فرا می رسد، مرسوم است که از شر کسرهای نامناسب خلاص شوید. برای خلاص شدن از شر کسری نامناسب، باید کل قسمت آن را انتخاب کنید. در مورد ما، کل قسمت به راحتی جدا می شود - دو تقسیم بر دو برابر یک است:

اگر پیتزای دو قسمتی را به یاد بیاوریم، این مثال را به راحتی می توان فهمید. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل دریافت می کنید:

مثال 3. کسر و .

دوباره اعداد را جمع می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 4.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. اعداد باید اضافه شوند و مخرج بدون تغییر باقی بماند:

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به یک پیتزا اضافه کنید و پیتزاهای بیشتری اضافه کنید، 1 پیتزا کامل و پیتزا بیشتر خواهید داشت.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

جمع کسری با مخرج های مختلف

حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسری را با مخرج های مختلف جمع کنیم. هنگام جمع کردن کسرها، مخرج کسرها باید یکسان باشد. اما آنها همیشه یکسان نیستند.

به عنوان مثال، کسرها را می توان اضافه کرد زیرا مخرج های یکسانی دارند.

اما کسرها را نمی توان فوراً اضافه کرد، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

راه های مختلفی برای کاهش کسرها به مخرج یکسان وجود دارد. امروز ما تنها به یکی از آنها نگاه خواهیم کرد، زیرا روش های دیگر ممکن است برای یک مبتدی پیچیده به نظر برسند.

ماهیت این روش این است که ابتدا LCM مخرج هر دو کسر جستجو می شود. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود تا اولین عامل اضافی به دست آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند - LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید.

سپس صورت و مخرج کسرها در ضرایب اضافی آنها ضرب می شوند. در نتیجه این اعمال، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم.

مثال 1. بیایید کسرهای و را جمع کنیم

اول از همه، ما کمترین مضرب مشترک مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 2 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 6 است.

LCM (2 و 3) = 6

حال به کسرها و . ابتدا LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید و اولین عامل اضافی را بدست آورید. LCM عدد 6 است و مخرج کسر اول عدد 3 است.

عدد 2 حاصل اولین ضریب اضافی است. آن را تا کسر اول یادداشت می کنیم. برای انجام این کار، یک خط مایل کوچک روی کسری ایجاد کنید و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم و عامل اضافی دوم را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر دوم عدد 2 است.

عدد 3 حاصل، دومین ضریب اضافی است. آن را تا کسر دوم یادداشت می کنیم. مجدداً یک خط مایل کوچک روی کسر دوم ایجاد می کنیم و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را می نویسیم:

اکنون همه چیز را برای اضافه کردن آماده کرده ایم. باقی مانده است که صورت و مخرج کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

با دقت نگاه کنید که به چه چیزی رسیده ایم. ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

این مثال را کامل می کند. معلوم می شود که اضافه می کند.

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل و یک ششم دیگر پیتزا دریافت خواهید کرد:

کاهش کسرها به مخرج یکسان (مشترک) نیز می‌تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با کاهش کسرها و به یک مخرج مشترک، کسرها و . این دو کسر با همان تکه های پیتزا نشان داده می شوند. تنها تفاوت این است که این بار آنها به سهام مساوی تقسیم می شوند (به همان مخرج تقلیل می یابد).

اولین نقاشی نشان دهنده کسری (چهار قطعه از شش قطعه) و نقاشی دوم نشان دهنده یک کسری (سه قطعه از شش قطعه) است. با اضافه کردن این قطعات به دست می آید (هفت قطعه از شش). این کسر نامناسب است، بنابراین کل قسمت آن را برجسته کردیم. در نتیجه، ما دریافت کردیم (یک پیتزا کامل و ششمین پیتزا).

لطفا توجه داشته باشید که ما توضیح دادیم این مثالخیلی مفصل که در موسسات آموزشینوشتن با این جزئیات مرسوم نیست. شما باید بتوانید به سرعت LCM مخرج ها و فاکتورهای اضافی به آنها را بیابید و همچنین عوامل اضافی یافت شده را به سرعت در صورت و مخرج خود ضرب کنید. وقتی در مدرسه بودیم، باید این مثال را به صورت زیر بنویسیم:

اما همچنین وجود دارد سمت عقبمدال ها اگر در مراحل اول مطالعه ریاضیات جزییات یادداشت برداری نکنید، سوالاتی از این دست ظاهر می شوند. «این عدد از کجا می آید؟»، «چرا کسرها ناگهان به کسرهای کاملاً متفاوت تبدیل می شوند؟ «.

برای آسان تر کردن جمع کردن کسر با مخرج های مختلف، می توانید از دستورالعمل های گام به گام زیر استفاده کنید:

1. LCM مخرج کسرها را بیابید.
2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسر یک عامل اضافی بدست آورید.
3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید.
4. کسری را اضافه کنید که مخرج یکسانی دارند.
5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید .

بیایید از دستورالعمل های داده شده در بالا استفاده کنیم.

مرحله 1. LCM مخرج کسرها را پیدا کنید

LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. مخرج کسرها اعداد 2 و 3 و 4 هستند

مرحله 2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسر یک عامل اضافی بدست آورید.

LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 2 است. 12 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 6 به دست می آید. اولین عامل اضافی 6 را به دست می آوریم. آن را بالای کسری اول می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. دومین عامل اضافی 4 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر سوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 به دست می آید. سومین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

مرحله 3. صورت و مخرج کسرها را در ضرایب اضافی آنها ضرب کنید

صورت‌ها و مخرج‌ها را در فاکتورهای اضافی ضرب می‌کنیم:

مرحله 4. کسری با مخرج یکسان را اضافه کنید

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. تنها چیزی که باقی می ماند اضافه کردن این کسرها است. آن را اضافه کنید:

اضافه در یک خط جا نمی شد، بنابراین ما عبارت باقی مانده را به خط بعدی منتقل کردیم. این در ریاضیات مجاز است. وقتی یک عبارت در یک خط قرار نمی گیرد به سطر بعدی منتقل می شود و لازم است علامت مساوی (=) در انتهای سطر اول و در ابتدای سطر جدید قرار دهیم. علامت مساوی در خط دوم نشان می دهد که این ادامه عبارتی است که در خط اول بود.

مرحله 5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید

جواب ما کسر نامناسبی بود. ما باید یک بخش کامل از آن را برجسته کنیم. برجسته می کنیم:

جواب گرفتیم

تفریق کسری با مخرج مشابه

دو نوع تفریق کسرها وجود دارد:

1. تفریق کسری با مخرج مشابه
2. تفریق کسری با مخرج های مختلف

ابتدا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسرها را با مخرج مشابه کم کنیم. اینجا همه چیز ساده است. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید، اما مخرج را ثابت بگذارید.

برای مثال، بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم. برای حل این مثال، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید. بیا انجامش بدیم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.مقدار عبارت را پیدا کنید.

باز هم از صورت کسر اول، کسر دوم را کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. از شماره‌گذار کسر اول باید شمارنده‌های کسرهای باقی‌مانده را کم کنید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد تفریق کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.
2. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

تفریق کسری با مخرج های مختلف

به عنوان مثال، می توانید یک کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا کسرها مخرج های یکسانی دارند. اما شما نمی توانید کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

مخرج مشترك با استفاده از همان اصلي كه ما هنگام جمع كردن كسري با مخرج هاي مختلف استفاده كرديم، يافت مي شود. اول از همه، LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید که بالای کسر اول نوشته شده است. به همین ترتیب، LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید که بالای کسر دوم نوشته می شود.

سپس کسرها در عوامل اضافی خود ضرب می شوند. در نتیجه این عملیات، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند، به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم.

مثال 1.معنی عبارت را پیدا کنید:

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

ابتدا LCM مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 4 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 12 است.

LCM (3 و 4) = 12

حال به کسرها و

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. برای انجام این کار، LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 را بدست می آوریم. بالای کسر اول یک عدد چهار بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 بدست می آید. روی کسر دوم یک عدد سه بنویسید:

اکنون برای تفریق آماده هستیم. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

جواب گرفتیم

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا می گیرید

این نسخه دقیق راه حل است. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را کوتاه‌تر حل می‌کردیم. چنین راه حلی به شکل زیر است:

کاهش کسرها به مخرج مشترک نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با تقلیل این کسرها به یک مخرج مشترک، کسرها و . این کسری ها با تکه های پیتزا یکسان نشان داده می شوند، اما این بار آنها به سهم های مساوی تقسیم می شوند (به مخرج یکسان کاهش می یابد):

تصویر اول کسری را نشان می دهد (هشت قطعه از دوازده) و تصویر دوم کسری را نشان می دهد (سه قطعه از دوازده). با بریدن سه تکه از هشت تکه، از دوازده تکه پنج قطعه بدست می آید. کسری این پنج قطعه را توصیف می کند.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

بیایید LCM مخرج این کسرها را پیدا کنیم.

مخرج کسرها اعداد 10، 3 و 5 هستند که کمترین مضرب مشترک این اعداد 30 است.

LCM(10، 3، 5) = 30

اکنون برای هر کسری فاکتورهای اضافی پیدا می کنیم. برای این کار، LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کنید.

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. LCM عدد 30 است و مخرج کسر اول عدد 10 است. 30 را بر 10 تقسیم کنید، اولین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر اول می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر دوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 30 را بر 3 تقسیم کنید، ضریب دوم اضافی 10 به دست می آید. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر سوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر سوم عدد 5 است. 30 را بر 5 تقسیم کنید، سومین عامل اضافی 6 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

اکنون همه چیز برای تفریق آماده است. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تمام کنیم.

ادامه مثال در یک خط قرار نمی گیرد، بنابراین ادامه را به خط بعدی منتقل می کنیم. علامت مساوی (=) را در خط جدید فراموش نکنید:

معلوم شد که پاسخ کسری منظم است، و به نظر می رسد همه چیز برای ما مناسب است، اما بیش از حد دست و پا گیر و زشت است. باید ساده ترش کنیم چه کاری می توان کرد؟ می توانید این کسر را کوتاه کنید.

برای کاهش یک کسری، باید صورت و مخرج آن را بر (GCD) اعداد 20 و 30 تقسیم کنید.

بنابراین، gcd اعداد 20 و 30 را پیدا می کنیم:

اکنون به مثال خود باز می گردیم و صورت و مخرج کسر را بر gcd یافت شده تقسیم می کنیم، یعنی بر 10.

جواب گرفتیم

ضرب کسری در عدد

برای ضرب یک کسری در یک عدد باید صورت کسری را در آن عدد ضرب کنید و مخرج را ثابت بگذارید.

مثال 1. کسری را در عدد 1 ضرب کنید.

عدد کسری را در عدد 1 ضرب کنید

ضبط را می توان به صورت نیمی از 1 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر یک بار پیتزا بخورید، پیتزا دریافت می کنید

از قوانین ضرب می دانیم که اگر ضرب و ضریب مبادله شوند، حاصلضرب تغییر نمی کند. اگر عبارت به صورت نوشته شود، محصول همچنان برابر خواهد بود. دوباره، قانون ضرب یک عدد کامل و یک کسری کار می کند:

این نماد را می توان به عنوان گرفتن نیمی از یک درک کرد. به عنوان مثال، اگر 1 پیتزا کامل باشد و نصف آن را برداریم، پیتزا خواهیم داشت:

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عدد کسر را در 4 ضرب کنید

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

این عبارت را می توان به صورت دو چهارم 4 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر 4 پیتزا بگیرید، دو پیتزا کامل دریافت خواهید کرد

و اگر ضریب و ضریب را عوض کنیم، عبارت . همچنین برابر با 2 خواهد بود. این عبارت را می توان به صورت گرفتن دو پیتزا از چهار پیتزا کامل فهمید:

ضرب کسرها

برای ضرب کسرها باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

مثال 1.مقدار عبارت را پیدا کنید.

جواب گرفتیم. توصیه می شود این کسر را کاهش دهید. کسر را می توان با 2 کاهش داد. سپس تصمیم نهاییبه شکل زیر خواهد بود:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن پیتزا از نصف پیتزا فهمید. فرض کنید نصف پیتزا داریم:

چگونه دو سوم از این نیمه را بگیریم؟ ابتدا باید این نیمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید:

و از این سه قطعه دو عدد بردارید:

پیتزا درست میکنیم به یاد داشته باشید که وقتی پیتزا به سه قسمت تقسیم می شود چه شکلی می شود:

یک تکه از این پیتزا و دو تکه ای که ما برداشتیم ابعاد یکسانی دارند:

به عبارت دیگر، ما در مورد پیتزای هم اندازه صحبت می کنیم. بنابراین ارزش عبارت است

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

جواب کسری منظم بود اما اگر کوتاه می شد خوب بود. برای کاهش این کسر، باید صورت و مخرج این کسر را بر بزرگترین تقسیم کنید. مقسوم علیه مشترک(GCD) شماره های 105 و 450.

بنابراین، بیایید gcd اعداد 105 و 450 را پیدا کنیم:

اکنون صورت و مخرج پاسخ خود را بر gcd که اکنون پیدا کرده ایم، یعنی بر 15 تقسیم می کنیم.

نمایش یک عدد کامل به صورت کسری

هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نشان داد. به عنوان مثال، عدد 5 را می توان به صورت . این معنی پنج را تغییر نمی دهد، زیرا این عبارت به معنای "عدد پنج تقسیم بر یک" است و همانطور که می دانیم برابر با پنج است:

اعداد متقابل

اکنون با بسیار آشنا می شویم موضوع جالبدر ریاضیات به آن "اعداد معکوس" می گویند.

تعریف. معکوس به عددآ عددی است که وقتی در آن ضرب شودآ یکی می دهد.

بیایید در این تعریف به جای متغیر جایگزین کنیم آشماره 5 و سعی کنید تعریف را بخوانید:

معکوس به عدد 5 عددی است که وقتی در آن ضرب شود 5 یکی می دهد.

آیا می توان عددی را پیدا کرد که با ضرب در 5 یک عدد بدست آورد؟ معلوم می شود امکان پذیر است. بیایید پنج را به صورت کسری تصور کنیم:

سپس این کسر را در خودش ضرب کنید، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. به عبارت دیگر، بیایید کسر را در خودش ضرب کنیم، فقط وارونه:

در نتیجه این اتفاق چه خواهد شد؟ اگر به حل این مثال ادامه دهیم، یکی به دست می آید:

این بدان معنی است که معکوس عدد 5 عدد است، زیرا وقتی 5 را در ضرب می کنیم یک به دست می آید.

متقابل یک عدد را می توان برای هر عدد صحیح دیگری نیز یافت.

شما همچنین می توانید متقابل هر کسری دیگر را پیدا کنید. برای این کار کافیست آن را برگردانید.

تقسیم کسری بر عدد

فرض کنید نصف پیتزا داریم:

بیایید آن را به طور مساوی بین دو تقسیم کنیم. هر نفر چقدر پیتزا می گیرد؟

مشاهده می شود که پس از تقسیم نصف پیتزا دو تکه مساوی به دست آمد که هر کدام یک پیتزا را تشکیل می دهند. بنابراین همه یک پیتزا می گیرند.

تقسیم کسرها با استفاده از متقابل انجام می شود. اعداد متقابل به شما امکان می دهند تقسیم را با ضرب جایگزین کنید.

برای تقسیم کسری بر یک عدد باید کسر را در معکوس مقسوم علیه ضرب کرد.

با استفاده از این قانون تقسیم نیمی از پیتزا را به دو قسمت یادداشت می کنیم.

بنابراین، شما باید کسر را بر عدد 2 تقسیم کنید. در اینجا سود تقسیمی کسره و مقسوم علیه عدد 2 است.

برای تقسیم کسری بر عدد 2 باید این کسر را در متقابل مقسوم علیه 2 ضرب کنید. بنابراین باید در آن ضرب کنید

برای ضرب صحیح کسری در کسری یا کسری در عددی، باید قوانین ساده ای را بدانید. اکنون این قوانین را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ضرب کسر مشترک در کسری.

برای ضرب کسری در کسری باید حاصل ضرب اعداد و حاصل مخرج این کسرها را محاسبه کنید.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
صورت کسر اول را در کسر دوم ضرب می کنیم و همچنین مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب می کنیم.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ بار 3) (7 \ بار 3) = \frac(4) (7)\\\)

کسر \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 کاهش یافت.

ضرب کسری در عدد.

اول، بیایید قانون را به خاطر بسپاریم، هر عددی را می توان به صورت کسری \(\bf n = \frac(n)(1)\) نشان داد.

بیایید هنگام ضرب از این قانون استفاده کنیم.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

کسر نامناسب \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) به کسر مختلط تبدیل شد.

به عبارت دیگر، وقتی یک عدد را در کسری ضرب می کنیم، عدد را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم.مثال:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

ضرب کسرهای مختلط

برای ضرب کسرهای مختلط، ابتدا باید هر کسر مختلط را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهید و سپس از قانون ضرب استفاده کنید. صورت را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را در مخرج ضرب می کنیم.

مثال:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ بار 6) = \frac(3 \times \color(قرمز) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(قرمز) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

ضرب کسرها و اعداد متقابل.

کسر \(\bf \frac(a)(b)\) معکوس کسری \(\bf \frac(b)(a)\ است، به شرط اینکه a≠0,b≠0 باشد.
کسرهای \(\bf \frac(a)(b)\) و \(\bf \frac(b)(a)\) کسرهای متقابل نامیده می شوند. حاصل ضرب کسرهای متقابل برابر با 1 است.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

مثال:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

سوالات مرتبط:
چگونه کسری را در کسری ضرب کنیم؟
جواب: حاصل ضرب کسرهای معمولی ضرب یک صورت با یک صورت، یک مخرج با یک مخرج است. برای بدست آوردن حاصل ضرب کسرهای مختلط باید آنها را به کسر نامناسب تبدیل کنید و طبق قوانین ضرب کنید.

چگونه کسری را با مخرج های مختلف ضرب کنیم؟
پاسخ: فرقی نمی‌کند کسرها دارای مخرج یکسان باشند یا متفاوت، ضرب بر اساس قاعده یافتن حاصل ضرب یک صورت با صورت، یک مخرج با مخرج انجام می‌شود.

چگونه کسرهای مختلط را ضرب کنیم؟
پاسخ: ابتدا باید کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید و سپس حاصل ضرب را با استفاده از قواعد ضرب پیدا کنید.

چگونه یک عدد را در کسری ضرب کنیم؟
پاسخ: عدد را در صورت ضرب می کنیم اما مخرج را ثابت می گذاریم.

مثال شماره 1:
حاصل ضرب را محاسبه کنید: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

راه حل:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ب) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( قرمز) (5)) (3 \times \color(قرمز) (5) \times 13) = \frac(4) (39)\)

مثال شماره 2:
حاصل ضرب یک عدد و یک کسر را محاسبه کنید: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

راه حل:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ب) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

مثال شماره 3:
متقابل کسری \(\frac(1)(3)\) را بنویسید؟
پاسخ: \(\frac(3)(1) = 3\)

مثال شماره 4:
حاصل ضرب دو کسر متقابل را محاسبه کنید: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

راه حل:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

مثال شماره 5:
آیا کسرهای متقابل می توانند:
الف) همزمان با کسرهای مناسب؛
ب) کسرهای نامناسب به طور همزمان.
ج) اعداد طبیعی همزمان؟

راه حل:
الف) برای پاسخ به سوال اول مثالی می زنیم. کسری \(\frac(2)(3)\) مناسب است، کسر معکوس آن برابر با \(\frac(3)(2)\) خواهد بود - یک کسر نامناسب. پاسخ: خیر

ب) تقریباً در تمام شمارش کسرها این شرط برقرار نیست، اما اعدادی وجود دارند که شرط نامناسب بودن همزمان را دارند. به عنوان مثال، کسر نامناسب \(\frac(3)(3)\ است، کسر معکوس آن برابر با \(\frac(3)(3)\ است). دو کسر نامناسب بدست می آوریم. پاسخ: همیشه در شرایط خاصی که صورت و مخرج برابر هستند، نیست.

ج) اعداد طبیعی اعدادی هستند که هنگام شمارش از آنها استفاده می کنیم، مثلاً 1، 2، 3، …. اگر عدد \(3 = \frac(3)(1)\ را بگیریم، کسر معکوس آن \(\frac(1)(3)\ خواهد بود). کسری \(\frac(1)(3)\) یک عدد طبیعی نیست. اگر همه اعداد را مرور کنیم، متقابل عدد همیشه کسری است، به جز 1. اگر عدد 1 را بگیریم، کسر متقابل آن خواهد بود \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). عدد 1 یک عدد طبیعی است. پاسخ: آنها می توانند به طور همزمان فقط در یک مورد اعداد طبیعی باشند، اگر این عدد 1 باشد.

مثال شماره 6:
حاصل ضرب کسرهای مختلط را انجام دهید: a) \(4 \ برابر 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

راه حل:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
ب) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

مثال شماره 7:
آیا دو عدد متقابل می توانند همزمان اعداد مخلوط شوند؟

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید یک کسر مختلط \(1\frac(1)(2)\ را بگیریم، کسر معکوس آن را پیدا کنیم، برای انجام این کار آن را به یک کسر نامناسب تبدیل می کنیم \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . کسر معکوس آن برابر با \(\frac(2)(3)\) خواهد بود. کسری \(\frac(2)(3)\) یک کسر مناسب است. جواب: دو کسری که با هم معکوس هستند را نمی توان همزمان اعداد مخلوط کرد.

در قرن پنجم قبل از میلاد فیلسوف یونان باستان Zeno of Elea آپوریاهای معروف خود را فرموله کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها دست یابد ... تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی این موضوع نقش داشتند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم "بی نهایت" را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم "آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد."

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما اینطور نیست راه حل کاملچالش ها و مسائل. گفته انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا پارادوکس منطقیخیلی ساده می توان بر آن غلبه کرد - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم به آن اشاره کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. مناسب نظریه ریاضیرا برای خود ریاضیدانان تنظیم می کند.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: روی سکه های مختلف وجود دارد مقادیر مختلفخاک، ساختار کریستالی و آرایش اتمی هر سکه منحصر به فرد است...

و حالا من بیشترین را دارم علاقه بپرس: خطی که بعد از آن عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه «مفهوم به عنوان یک کل واحد» یا «مصالح به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. پس از همه، اعداد هستند نمادهای گرافیکی، که با کمک آن اعداد را می نویسیم و به زبان ریاضی کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را که هر عددی را نشان می دهند پیدا کنید." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین تصویر که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با تعداد زیادی 12345 نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید به عدد 26 از مقاله درباره . بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما به هر مرحله زیر میکروسکوپ نگاه نمی کنیم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی خواهید گرفت.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته ، ما نمی توانیم اعداد را با آنها مقایسه کنیم واحدهای مختلفاندازه گیری ها اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عملیات ریاضی به اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

اوه اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی عیب ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس تعجب آور نیست که شما به طور ناگهانی نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، عدد چهار، تعیین درجه). و من فکر نمی کنم این دختر احمقی باشد که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.