به طور غیررسمی، نمودار را می توان مجموعه ای از نقاط و خطوطی دانست که این نقاط را با یا بدون فلش به هم متصل می کنند.

اولین کار نظریه گراف به عنوان یک رشته ریاضی، مقاله اویلر (1736) است که مسئله پل های کونینگسبرگ را در نظر گرفته است. اویلر نشان داد که با عبور از هر پل دقیقاً یک بار نمی توان هفت پل شهر را دور زد و به نقطه شروع بازگشت. نظریه گراف انگیزه بعدی خود را تقریبا 100 سال بعد با توسعه تحقیقات در مورد شبکه های الکتریکی، کریستالوگرافی، شیمی آلی و سایر علوم.

حتی بدون توجه به آن، ما همیشه با نمودارها مواجه می شویم. به عنوان مثال، یک نمودار نمودار خطوط مترو است. نقاط روی آن نشان دهنده ایستگاه ها و خطوط نشان دهنده مسیرهای قطار است. با تحقیق در مورد اصل و نسب خود و ردیابی آن به یک اجداد دور، به اصطلاح یک شجره خانوادگی می سازیم. و این درخت یک نمودار است.

نمودارها به عنوان وسیله ای مناسب برای توصیف روابط بین اشیاء عمل می کنند. ما قبلا از نمودارها به عنوان راهی برای نمایش بصری روابط باینری محدود استفاده کرده‌ایم.

اما از نمودار نه تنها به عنوان یک تصویر استفاده می شود. به عنوان مثال، در نظر گرفتن نموداری که شبکه ای از جاده ها را بین آنها نشان می دهد شهرک ها، می توانید مسیر را از نقطه A تا نقطه B تعیین کنید. اگر چندین مسیر از این قبیل وجود دارد، می خواهید بهینه ترین را به معنای خاصی انتخاب کنید، برای مثال کوتاه ترین یا ایمن ترین. برای حل مشکل انتخاب، لازم است محاسبات خاصی روی نمودارها انجام شود. هنگام حل چنین مسائلی، استفاده از تکنیک های جبری راحت است و مفهوم نمودار باید رسمی شود.

روش های نظریه گراف به طور گسترده در ریاضیات گسسته استفاده می شود. هنگام تجزیه و تحلیل و سنتز مبدل های مختلف گسسته نمی توان بدون آنها انجام داد: بلوک های عملکردی رایانه ها، بسته های نرم افزاری و غیره.

در حال حاضر، نظریه گراف مطالب زیادی را پوشش می دهد و به طور فعال در حال توسعه است. هنگام ارائه آن، تنها به بخشی از نتایج محدود می‌شویم و تأکید اصلی را بر توصیف و توجیه برخی از الگوریتم‌های تحلیل گراف گسترده که در تئوری زبان‌های رسمی استفاده می‌شوند، می‌گذاریم.

• تعاریف اساسی

  همانطور که قبلاً در مثال ها اشاره شد، نمودارها روشی برای "تجسم" اتصالات بین اشیاء خاص هستند. جاده ها). مطابق با این، در نظریه گراف دو نوع اصلی گراف وجود دارد: جهت دار (یا جهت دار) و غیر جهت دار.

• روش های ارائه

  تاکنون نمودارهای جهت دار و غیر جهت دار را تعریف کرده ایم و آنها را با استفاده از نقشه ها به تصویر می کشیم. شما می توانید یک نمودار را به عنوان یک جفت مجموعه تعریف کنید، اما این روش کاملاً دست و پا گیر است و بیشتر از نظر نظری جالب است. توسعه رویکردهای الگوریتمی برای تجزیه و تحلیل ویژگی‌های نمودارها به روش‌های دیگری برای توصیف نمودارها نیاز دارد که برای محاسبات عملی از جمله استفاده از رایانه مناسب‌تر هستند. بیایید به سه روش رایج برای نمایش نمودارها نگاه کنیم.

• درختان

  تعریف 5.5. درخت بدون جهت یک گراف بدون جهت متصل و غیر چرخه ای است. تعریف 5.6. درخت جهت دار یک گراف جهت دار غیر کانتوری است که در آن نیم درجه هر رأسی بزرگتر از 1 نیست و دقیقاً یک راس وجود دارد که ریشه درخت جهت دار نامیده می شود که نیم درجه آن 0 است.

• درخت پوشا با کمترین وزن

  مسئله زیر در نظریه گراف به عنوان مسئله اشتاینر شناخته می شود: n نقطه در یک صفحه داده می شود. شما باید آنها را با قطعات مستقیم به گونه ای متصل کنید که طول کل قطعات حداقل باشد.

• روش‌هایی برای پیمایش سیستماتیک رئوس نمودار

  مسائل مهم در تئوری گراف، مشکلات تحلیل سراسری گراف های غیر جهت دار و جهت دار است. این وظایف شامل، به عنوان مثال، وظیفه یافتن چرخه ها یا خطوط، محاسبه طول مسیرهای بین جفت رئوس، فهرست کردن مسیرهایی با ویژگی های خاص و غیره است. تجزیه و تحلیل گراف جهانی را باید از تحلیل محلی متمایز کرد که یک نمونه از آن تعیین مجموعه های پیشینیان و جانشینان یک راس ثابت یک گراف جهت دار است.

• مسئله مسیر در نمودارهای جهت دار وزنی

• ایزومورفیسم نمودار

  برای یک گراف جهت دار (V, E)، مجموعه E کمان ها را می توان به عنوان نموداری از یک رابطه دسترسی مستقیم باینری تعریف شده بر روی مجموعه رئوس در نظر گرفت. در یک گراف بدون جهت (V, E)، مجموعه E یال ها مجموعه ای از جفت های نامرتب است. برای هر جفت نامرتب (u, v) ∈ E می توانیم فرض کنیم که رئوس u و v توسط یک رابطه دودویی متقارن p به هم متصل شده اند. (u، v) ∈ р و (v، u) ∈ р.

• مرتب سازی توپولوژیکی

  تعریف 5.17. یک شبکه جهت دار (یا به سادگی یک شبکه) یک گراف جهت دار بدون کانتور* است. از آنجایی که شبکه یک نمودار بدون کانتور است، می توان نشان داد که رئوس (گره ها) شبکه با درجه خارج از صفر و همچنین رئوس (گره ها) با صفر در درجه وجود دارند. اولی را سینک یا خروجی شبکه و دومی را منابع یا ورودی شبکه می نامند.

• عناصر سیکلوماتیک

  هنگام بحث در مورد الگوریتم جستجوی عمق اول در یک گراف بدون جهت، مسئله جستجو برای به اصطلاح چرخه های بنیادی گراف در نظر گرفته شد. در این مورد، یک چرخه اساسی به عنوان یک چرخه حاوی دقیقاً یک یال معکوس در نظر گرفته شد، و یک تناظر یک به یک بین چرخه های اساسی و یال های معکوس هر زمان که یک پارتیشن دلخواه از تمام یال های یک گراف بدون جهت ایجاد می شود، ایجاد می شود درختان (تشکیل چند جنگل لبه حداکثر نمودار اصلی) و معکوس، و در حالت کلی این پارتیشن را می توان کاملا مستقل از الگوریتم جستجوی عمق-اول مشخص کرد. جستجوی عمقی تنها یکی از راه‌های پیاده‌سازی چنین پارتیشنی است.

کتاب K. Berge اولین کتاب نظریه گراف به زبان روسی است. در همین حال در سال های گذشتهعلاقه به این نظریه هم از طرف ریاضیدانان و هم از طرف نمایندگان طیف گسترده ای از رشته ها به شدت افزایش یافت. این با این واقعیت توضیح داده می شود که روش های نظریه گراف با موفقیت مشکلات متعددی را در نظریه مدارهای الکتریکی، تئوری زنجیره های حمل و نقل، نظریه اطلاعات، سایبرنتیک و غیره حل می کنند.
در کتاب برگه، نظریه گراف به صورت متوالی و با شروع از اصول اولیه ارائه شده است. فرض بر این است که خواننده دانش ریاضی بسیار متوسطی دارد، اگرچه او دارای فرهنگ ریاضی است. متن شامل مثال های متعدد و اغلب خنده دار است. از این کتاب می توان برای مطالعه اولیه نظریه گراف استفاده کرد. ریاضی دانان حرفه ای نیز چیزهای جالب زیادی در آن خواهند یافت.

الگوریتمی برای شناسایی مستقیم چرخه اویلری
[فلوری]. اجازه دهید یک مولتی گراف G متصل را در نظر بگیریم، که همه رئوس آن دارای درجه زوج هستند، و سعی می کنیم آن را با یک ضربه ترسیم کنیم، بدون اینکه در طول فرآیند ساخت و ساز به اصلاحات در قسمت از قبل ترسیم شده مسیر متوسل شویم. کافی است قانون زیر را رعایت کنید:
1 ما از یک راس دلخواه a خارج می شویم. هر لبه رد شده را خط می زنیم.
2 ما هرگز در امتداد چنین لبه ای حرکت نمی کنیم و که در لحظه مورد بررسی یک تنگه است (یعنی وقتی حذف می شود، نموداری که توسط لبه های متقاطع تشکیل شده است به دو جزء متصل که هر کدام حداقل یک یال دارند تقسیم می شود).

با پیروی از این قانون، ما همیشه در موقعیت مطلوب خواهیم بود، زیرا وقتی در x = a هستیم، نمودار (لبه های غیر متقاطع) دارای دو رأس درجه فرد است: x و a; اگر رئوس جدا شده کنار گذاشته شوند، یک گراف متصل باقی می ماند که به موجب قضیه 1، دارای یک زنجیره اویلر است که از x شروع می شود.

محتوا
معرفی
فصل 1. تعاریف اساسی
مجموعه ها و نگاشت های چند ارزشی
نمودار مسیرها و خطوط
مدارها و چرخه ها
فصل 2. بررسی مقدماتی شبه نظم
شبه ترتیبی که توسط نمودار تعریف شده است
نمودار استقرایی و مبانی
فصل 3. تابع و تابع ترتیبی
گراندی برای یک گراف بی نهایت
ملاحظات کلی در مورد نمودارهای بی نهایت
تابع ترتیبی
توابع گراندی
عملیات روی نمودارها
فصل 4. اعداد پایه نظریه گراف
عدد سیکلوماتیک
عدد کروماتیک
شماره پایداری داخلی
شماره پایداری خارجی
فصل 5. هسته های نمودار
قضایای هستی و یگانگی
کاربرد برای توابع Grundy
فصل 6. بازی های نموداری
بازی نیم
تعریف کلی بازی (با اطلاعات کامل)
استراتژی ها
فصل 7. مسئله کوتاه ترین مسیر
فرآیندها بر اساس مراحل برخی از تعمیم ها
فصل 8. شبکه های حمل و نقل
مشکل حداکثر جریان مشکل کمترین جریان
مشکل جریان سازگار با مقدار مجموعه
شبکه های حمل و نقل بی پایان
فصل 9. قضیه نیم قدرت
نیمه درجه خروجی و ورودی
فصل 10. تطبیق یک نمودار ساده
حداکثر مشکل تطبیق
کمبود نمودار ساده
الگوریتم مجارستانی
تعمیم به حالت بی نهایت
کاربرد در نظریه ماتریس
فصل 11. عوامل
مسیرهای همیلتونی و خطوط همیلتونی
یافتن یک عامل
پیدا کردن یک نمودار جزئی با نیم درجه داده شده
فصل 12. مراکز نمودار
مراکز
شعاع
فصل 13. قطر یک گراف به شدت متصل
ویژگی های کلی نمودارهای به شدت متصل بدون حلقه
قطر
فصل 14. ماتریس مجاورت نمودار
کاربرد عملیات ماتریسی معمولی
شمارش مشکلات
مشکل رهبر
استفاده از عملیات بولی
فصل 15. ماتریس های حادثه
ماتریس های کاملا تک مدولار
سیستم های کاملاً تک مدولار
ماتریس های سیکلوماتیک
فصل 16. درختان و درختان اجدادی
درختان
تحقیق تحلیلی
درختان بزرگ
فصل 17. مسئله اویلر
اویلر خطوط اویلر را دور می‌زند
فصل 18. تطبیق یک نمودار دلخواه
تئوری مدار متناوب
پیدا کردن یک نمودار جزئی با درجات راس داده شده
تطابق کامل
کاربرد برای شماره پایداری داخلی
فصل 19. فاکتوروئیدها
چرخه هامیلتونی و فاکتوروئیدها
شرط لازم و کافی برای وجود فاکتوروئید
فصل 20. اتصال نمودار
نقاط بیان
نمودارها بدون مفصل
نمودارهای متصل به h
فصل 21. نمودارهای مسطح
خواص اساسی
تعمیم
اضافات
I. تئوری عمومی، بازی ها
II. درباره وظایف حمل و نقل
III. در مورد استفاده از مفاهیم بالقوه در شبکه های حمل و نقل
IV. مشکلات حل نشده و فرضیات اثبات نشده
V. در مورد برخی از اصول اولیه شمارش (J. Riguet)
VI. اضافات به ترجمه روسی (A.A. Zykov و G.I. Kozhukhin)
ادبیات
نظریه گراف و کتاب سی برژ (پس‌گفتار ترجمه روسی)
شاخص شخصیت
فهرست نام
نمایه موضوعی

کتاب الکترونیکی را به صورت رایگان در قالب مناسب دانلود کنید، تماشا کنید و بخوانید:
دانلود کتاب نظریه گراف و کاربردهای آن Berge K. - fileskachat.com دانلود سریع و رایگان.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

اهداف درس:

دانش آموزان را با مفهوم "گراف"، اصول اساسی ساخت آن آشنا کنید.

توانایی شناسایی روابط مرتبط با اشیاء را توسعه دهید.

توسعه توجه و توانایی برای استدلال منطقی؛

توسعه کمک متقابل و توانایی کار در یک تیم

ادغام دانش کسب شده در عمل

توسعه حافظه، توجه؛

توسعه استقلال؛

آموزش فعالیت های شناختی

تجهیزات:

• کلاس کامپیوتر مجهز به تکنولوژی مدرن، ویدئو پروژکتور، صفحه نمایش؛
• کامپیوترهایی با سیستم عامل ویندوز XP، برنامه مایکروسافتپاورپوینت Office 2003;
• تجهیزات تابلو (موضوع درس، اصطلاحات جدید). جزوه.

طرح درس.

II. ارائه مطالب جدید (10 دقیقه.)

III. تعمیر مواد. کار عملی. (15-20 دقیقه)

IV. جمع بندی درس (2 دقیقه)

V. مشق شب.

من. زمان سازماندهی. به روز رسانی دانش.

سلام! درس ما "نمودار" نام دارد. ما با مفهوم "گراف ها" آشنا می شویم، یاد می گیریم که چگونه آنها را به تصویر بکشیم و مسائل مربوط به این موضوع را حل کنیم.

II ارائه مطالب جدید.

اولین کار در مورد نظریه گراف متعلق به لئونارد اویلر (1736) است، اگرچه اصطلاح "گراف" برای اولین بار در سال 1936 توسط ریاضیدان مجارستانی Dénes König معرفی شد. نمودارها نام هایی بودند که به طرح هایی متشکل از نقاط و پاره های خط یا منحنی هایی که این نقاط را به هم متصل می کردند داده می شد (نمونه هایی از نمودارها در شکل 1 نشان داده شده است).

با کمک نمودارها، حل مسائل فرموله شده در زمینه های مختلف دانش اغلب ساده می شد: در اتوماسیون، الکترونیک، فیزیک، شیمی و غیره. با کمک نمودارها، نمودارهای جاده ها، خطوط لوله گاز، شبکه های گرما و برق به تصویر کشیده می شوند . نمودارها به حل مسائل ریاضی و اقتصادی کمک می کنند.

نمودار - (از یونانی grapho - من می نویسم) وسیله ای برای نمایش بصری عناصر یک شی و ارتباطات بین آنها است. اینها اشیاء ریاضی شگفت انگیزی هستند که با کمک آنها می توانید بسیاری از مسائل مختلف و ظاهراً متفاوت را حل کنید.

نمودار نوعی مدل اطلاعاتی است

نمودار شامل رئوس یا گره هایی است که با قوس ها یا قطعات - لبه ها به هم متصل شده اند. یک خط می تواند جهت دار باشد، یعنی یک فلش (قوس) داشته باشد، یک لبه دارد. دو راس که توسط یک قوس یا لبه به هم متصل شده اند مجاور نامیده می شوند.

نمونه هایی از نمودارها (اسلاید 4، 5، 6)

وظیفه 1 (اسلاید 7):

ارتباط فضایی بین نه سیاره منظومه شمسی برقرار شده است. موشک های برنامه ریزی شده در مسیرهای زیر پرواز می کنند:

زمین - عطارد; پلوتون - زهره؛ زمین - پلوتون؛ پلوتون - عطارد؛ عطارد - زهره; اورانوس - نپتون؛ نپتون - زحل؛ زحل - مشتری؛ مشتری - مریخ؛ مریخ - اورانوس.

آیا می توان با موشک های معمولی از زمین به مریخ پرواز کرد؟

راه حل: بیایید نموداری از شرط رسم کنیم: سیارات را به صورت نقطه و مسیرهای موشک را به صورت خطوط نشان می دهیم.

اکنون بلافاصله مشخص شده است که پرواز از زمین به مریخ غیرممکن است.

دو راس که توسط یک قوس یا لبه به هم متصل شده اند مجاور نامیده می شوند. هر لبه یا قوس با یک عدد مرتبط است. عدد می تواند نشان دهنده فاصله بین سکونتگاه ها، زمان انتقال از یک قله به قله دیگر و غیره باشد.

وظیفه 2 (9 اسلاید) - راه حل روی تخته. ماشا به باغ وحش آمد و می خواهد تا حد امکان حیوانات را ببیند. او کدام مسیر را باید طی کند؟ زرد، قرمز، سبز؟

وظیفه 3 (11 اسلاید) - راه حل روی تخته. پنج تیم فوتبال A، B، C، D، D باید در مقابل یکدیگر بازی کنند. قبلا A با B، C، D بازی شده است. B با A، C، D. چند مسابقه قبلا انجام شده است؟ چقدر زمان برای بازی باقی مانده است؟

ارائه نمودارها (اسلاید 12)

نمودار را می توان به صورت فهرستی از کمان ها (AB; 7)، به صورت گرافیکی یا با استفاده از جدول ارائه کرد.

لیست های قوس	فرم گرافیکی	فرم جدولی
(AB; 7)		آ که در با آ 3 که در 4 با 3 4

III. مواد تقویتی: از دانش آموزان خواسته می شود که به گروه ها تقسیم شوند و تکالیف را کامل کنند. کار در گروه کوچکدانش آموزان بر اساس دانش نظری که در ابتدای درس به دست آورده اند، درباره مدل ها بحث می کنند. این امر تکرار و تثبیت مواد را تضمین می کند.

وظیفه 2 (اسلاید 13)

IV. خلاصه درس

بچه ها امروز چه لغات جدیدی یاد گرفتید؟ (گراف، راس نمودار، لبه های نمودار.)

رئوس نمودار چه چیزی را می تواند نشان دهد؟ (شهرها؛ اشیایی که هستند؛ متصل.)

لبه های نمودار به چه معناست (مسیرها، حرکات، جهت ها)

مثالی بزنید که در کجای زندگی می توانیم آنها را ملاقات کنیم؟

نمودارها چگونه به تصویر کشیده می شوند؟

V. تکالیف. (اسلاید 15)

نظریه گراف شاخه ای از ریاضیات گسسته است که به مطالعه اشیایی که به صورت عناصر منفرد (رئوس) و ارتباطات بین آنها (قوس ها، لبه ها) نمایش داده می شوند، می پردازد.

نظریه گراف از حل مسئله پل های کونیگزبرگ در سال 1736 توسط ریاضیدان معروف سرچشمه می گیرد. لئونارد اویلر(1707-1783: متولد سوئیس، زندگی و کار در روسیه).

مشکل در مورد پل های Königsberg.

هفت پل در شهر پروس کونیگزبرگ بر روی رودخانه پرگال وجود دارد. آیا می توان مسیر پیاده روی را پیدا کرد که دقیقاً یک بار از هر پل عبور کند و در همان نقطه شروع و به پایان برسد؟

گرافی که در آن مسیری وجود دارد که از یک راس شروع و به پایان می رسد و دقیقاً یک بار از تمام یال های نمودار می گذرد، نامیده می شود.نمودار اویلر

دنباله رئوس (شاید تکرار شونده) که مسیر مورد نظر و همچنین خود مسیر از آن عبور می کند، نامیده می شود.چرخه اویلر .

مشکل سه خانه و سه چاه.

سه خانه و سه چاه وجود دارد که به نوعی در یک هواپیما قرار دارند. از هر خانه به هر چاه مسیری بکشید تا مسیرها با هم تلاقی نکنند. این مشکل توسط کوراتوفسکی (1896 - 1979) در سال 1930 حل شد (نشان داده شد که راه حلی وجود ندارد).

مشکل چهار رنگ تقسیم یک صفحه به مناطق غیر متقاطع نامیده می شود با کارت. مناطق نقشه در صورتی که دارای مرز مشترک باشند مجاور نامیده می شوند. وظیفه این است که نقشه را به گونه ای رنگ آمیزی کنید که هیچ دو منطقه مجاور با یک رنگ رنگ آمیزی نشوند. از اواخر قرن نوزدهم، این فرضیه شناخته شده است که چهار رنگ برای این کار کافی است. این فرضیه هنوز ثابت نشده است.

ماهیت راه حل منتشر شده این است که یک عدد بزرگ اما محدود (حدود 2000) از انواع متقابل بالقوه را برای قضیه چهار رنگ امتحان کنید و نشان دهید که هیچ موردی نیز یک نمونه متضاد نیست. این جستجو توسط برنامه در حدود هزار ساعت کارکرد ابررایانه کامل شد.

بررسی "دستی" راه حل حاصل غیرممکن است - دامنه شمارش فراتر از محدوده توانایی های انسانی است. بسیاری از ریاضیدانان این سوال را مطرح می کنند: آیا می توان چنین "برهان برنامه ای" را یک اثبات معتبر در نظر گرفت؟ به هر حال، ممکن است خطاهایی در برنامه وجود داشته باشد ...

بنابراین، ما فقط می توانیم به مهارت های برنامه نویسی نویسندگان تکیه کنیم و باور کنیم که آنها همه چیز را درست انجام داده اند.

تعریف 7.1. شمردن جی= جی(V, E) مجموعه ای از دو مجموعه متناهی است: V – نامیده می شود بسیاری از رئوسو مجموعه E از جفت عناصر از V، i.e. EÍV´V، نامیده شد بسیاری از لبه ها، اگر جفت ها نامرتب باشند، یا قوس های زیادی، در صورت سفارش جفت ها.

در حالت اول، نمودار جی(V, E) تماس گرفت بی جهت، در دوم - جهت دار.

مثال. یک نمودار با مجموعه ای از رئوس V = (a,b,c) و مجموعه ای از یال های E =((a, b), (b, c))

مثال. یک نمودار با V = (a،b،c،d،e) و E = ((a، b)، (a، e)، (b، e)، (b،d)، (b، c)، (ج، د))،

اگر e=(v 1 ,v 2)، eОЕ، آنگاه می گویند که یال e است متصل می کندرئوس v 1 و v 2.

دو راس v 1,v 2 نامیده می شوند مجاور، اگر لبه ای وجود داشته باشد که آنها را به هم وصل می کند. در این شرایط هر یک از رئوس فراخوانی می شود اتفاقی لبه مربوطه .

دو دنده متفاوت مجاور، اگر یک راس مشترک داشته باشند. در این شرایط هر یک از لبه ها نامیده می شود اتفاقی راس مربوطه .

تعداد رئوس نمودار جیبیایید نشان دهیم v، و تعداد لبه ها است ه:

.

نمایش هندسی نمودارها به صورت زیر است:

1) راس نمودار یک نقطه در فضا (روی صفحه) است.

2) لبه یک گراف بدون جهت - یک قطعه.

3) قوس یک گراف جهت دار - یک قطعه جهت دار.

تعریف 7.2.اگر در یال e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 رخ دهد، یال e فراخوانی می شود. حلقه. اگر یک نمودار اجازه حلقه ها را بدهد، آنگاه فراخوانی می شود نمودار با حلقه ها یا شبه نگار .

اگر یک نمودار بیش از یک یال را بین دو راس اجازه دهد، آنگاه فراخوانی می شود چند گراف .

اگر هر رأس یک گراف و/یا یال برچسب گذاری شده باشد، چنین نموداری فراخوانی می شود مشخص شده است (یا لود شده ). معمولاً از حروف یا اعداد صحیح به عنوان علامت استفاده می شود.

تعریف 7.3.نمودار جی (V , E ) تماس گرفت زیرگراف (یا بخش ) نمودار جی(V,E)، اگر V V, E E. اگر V = V، آن جی تماس گرفت زیرگراف فراگیر جی.

مثال 7 . 1 . یک نمودار بدون جهت داده شده است.

تعریف 7.4.نمودار نامیده می شود کامل ، اگر هر دو رأس آن توسط یک لبه به هم متصل شده اند. نمودار کامل با nرئوس با نشان داده می شود ک n .

شمارش K 2 ، به 3, به 4 و ک 5 .

تعریف 7.5.نمودار جی=جی(V, E) نامیده میشود دولپه ای ، اگر Vمثلاً می‌توان آن‌ها را به‌عنوان اتحادیه‌ای از مجموعه‌های مجزا نشان داد V=آب، بنابراین هر لبه دارای فرم ( v من , v j)، جایی که v من آو v j ب.

هر یال یک راس از A را به یک راس از B متصل می کند، اما هیچ دو راس از A یا دو راس از B به هم متصل نیستند.

یک گراف دو بخشی نامیده می شود دو لپه ای کامل شمردن ک متر , n، اگر آشامل مترقله ها، بشامل nرئوس و برای هر کدام v من آ, v j بما داریم ( v من , v j)E.

بنابراین، برای همه v من آ، و v j بلبه ای وجود دارد که آنها را به هم وصل می کند.

K 12 K 23 K 22 K 33

مثال 7 . 2 . یک نمودار دو بخشی کامل بسازید ک 2.4 و نمودار کامل ک 4 .

نمودار واحدn-مکعب بعدیکه در n .

رئوس نمودار مجموعه های باینری n بعدی هستند. لبه ها راس هایی را که در یک مختصات متفاوت هستند به هم متصل می کنند.

مثال:

معمای عملی زیر در بین ساکنان کونیگزبرگ رایج بود: آیا می توان از تمام پل های رودخانه پرگولیا بدون دو بار عبور از روی هیچ یک از آنها عبور کرد؟ در سال 1736، لئونارد اویلر، ریاضیدان برجسته به این مسئله علاقه مند شد و در نامه ای به یکی از دوستانش، دلیل دقیقی مبنی بر عدم انجام آن ارائه کرد. در همان سال، او فرمول قابل توجهی را ثابت کرد که تعداد رئوس، وجه ها و لبه های یک چندوجهی را در فضای سه بعدی به هم مرتبط می کند. این فرمول به طور مرموزی برای نمودارهایی که "مسطح" نامیده می شوند صادق است. این دو نتیجه پایه و اساس نظریه گراف را گذاشت و مسیر توسعه آن را تا به امروز به خوبی نشان می دهد.

در مورد دوره

این دوره به عنوان مقدمه ای عمل می کند نظریه مدرننمودارها یک نمودار به عنوان یک شیء ریاضی در بسیاری از مسائل نظری و عملی مفید است. شاید نکته این باشد که پیچیدگی ساختار آن به خوبی با قابلیت‌های مغز ما مطابقت دارد: ساختاری بصری و کاملاً ساختار یافته است، اما از سوی دیگر، آنقدر غنی است که بتواند بسیاری از پدیده‌های بی‌اهمیت را به تصویر بکشد. اگر در مورد برنامه ها صحبت کنیم، مطمئناً شبکه های بزرگ بلافاصله به ذهن می رسند: اینترنت، نقشه راه، پوشش ارتباطات سیارو غیره موتورهای جستجو مانند Yandex و Google بر اساس الگوریتم های گراف هستند. علاوه بر علوم کامپیوتر، نمودارها به طور فعال در بیوانفورماتیک، شیمی و جامعه شناسی استفاده می شوند. در دوره ما، البته، مسائل کلاسیک را مورد بحث قرار خواهیم داد، اما همچنین در مورد نتایج و روندهای جدیدتر، به عنوان مثال، در مورد نظریه گراف اکستریمال صحبت خواهیم کرد.

قالب

این دوره شامل 7 هفته آموزشی و یک آزمون می باشد. برای حل موفقیت آمیز اکثر مسائل تست، کافی است بر مطالبی که در سخنرانی ها ارائه شده است تسلط داشته باشید. سمینارها بیشتر را پوشش می دهند وظایف پیچیده، که برای شنونده ای که قبلاً با مبانی تئوری گراف آشنا است جالب خواهد بود.

منابع اطلاعاتی

1. V. A. Emelichev، O. I. Melnikov، V. I. Sarvanov، R. I. Tyshkevich. سخنرانی در مورد نظریه گراف. م.: کتاب خانه "لیبروکم"، 2009.
2. A. A. Zykov. نظریه گراف محدود نووسیبیرسک: ناوکا، 1969.
3. M. Swami، K. Thulasiraman. نمودارها، شبکه ها و الگوریتم ها. م.: میر، 1984.
4. M. Aigner، G. M. Ziegler. شواهد از کتاب. ویرایش چهارم. اسپرینگر، 2009.
5. B. بولوباس. نظریه گراف مدرن. اسپرینگر، 1998.
6. جی. ای. باندی، یو اس آر مورتی. نظریه گراف. اسپرینگر، 2008.

الزامات

مطالب از پایه و اساس ارائه شده است زبان قابل دسترس. هدف از این دوره نه تنها آشنایی شما با مسائل و روش های تئوری گراف، بلکه ایجاد فرهنگ تفکر ریاضی در بین دانش آموزان ناآماده است. بنابراین، این دوره برای طیف گسترده ای از دانش آموزان در دسترس است. برای تسلط بر مطالب، دانش خوب ریاضیات کافی خواهد بود. سطح مدرسهو دانش عمومیترکیبیات

برنامه دوره

1. مفهوم گراف و انواع نمودارها
2. برنامه های کاربردی مختلفتعداد: از پل های Königsberg تا اینترنت.
3. اتصال نمودار، زیرگراف ها و درجه راس.
4. تعاریف درختی معادل
5. مسطح بودن و معیار کوراتوفسکی
6. فرمول اویلر
7. عدد کروماتیک یک نمودار مسطح.
8. شمارش درختان: کد Prüfer و فرمول Cayley.
9. فرمول تعداد نمودارهای تک حلقه ای
10. چرخه های اویلر و معیار اویلر
11. چرخه های همیلتونی معیار دیراک و معیار چواتال.
12. تطبیق. قضیه هال و کونیگ.
13. نظریه گراف افراطی قضیه توران.
14. قیاسی از قضیه توران برای نمودارها در یک صفحه.
15. نظریه رمزی قرار بین شش نفر.
16. تعیین عدد رمزی
17. مرزهای پایین و بالایی برای اعداد رمزی.

نتایج یادگیری

پس از اتمام موفقیت آمیز دوره، دانشجو با مفهوم گراف، انواع و ویژگی ها و ویژگی های مختلف نمودار آشنا می شود. شنونده با مشکل رنگ آمیزی های منظم و امکان رسم نمودار معین در صفحه بدون تلاقی لبه ها آشنا می شود و همچنین یاد می گیرد راه های مختلفدرختان را شناسایی کنید و آنها را فهرست کنید. در نهایت، شنونده با مفاهیم چرخه های اویلر و همیلتونی، تطبیق ها و حتی لمس مسائل در نظریه گراف اکسترمال آشنا می شود.