نمودار یک تابع چند نقطه عطف دارد. تحدب توابع
در بازه (a, c) قابل تمایز است. سپس یک مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد 
این نمودار ( 
، و مماس با محور OY موازی نیست، زیرا شیب آن برابر است با 
، البته.
تعریف
در (a, c) دارای رهاسازی به سمت پایین (بالا) است اگر در زیر (نه بالا) هیچ مماس بر نمودار تابع در (a, c) قرار نگیرد. 
(
) در تمام نقاط این بازه، منحنی که نمودار تابع است روی این بازه محدب (مقعر) است.
نقطه عطف نمودار تابع نامیده می شود، اگر در نقطه 
نمودار یک مماس دارد و چنین همسایگی نقطه وجود دارد 
، که در آن نمودار تابع سمت چپ و راست نقطه دارای جهات تحدب مختلف است.
بدیهی است که در نقطه عطف، مماس از نمودار تابع عبور می کند، زیرا در یک طرف این نقطه نمودار بالای مماس قرار دارد، و در طرف دیگر - در زیر آن، یعنی در مجاورت نقطه عطف، نمودار تابع به صورت هندسی از یک طرف مماس به طرف دیگر عبور می کند و از آن خم می شود. نام "نقطه عطف" از اینجا می آید.
مشتق دوم پیوسته سپس 
.
هر چند نقطه عطفی در (0، 0) ندارد 
در 
. بنابراین، تساوی مشتق دوم به صفر تنها شرط لازم برای عطف است. 
دارای علائم مختلف در سمت چپ و راست نقطه است، سپس نمودار دارای یک عطف در نقطه است. 
یک مشتق دوم در برخی از همسایگی های نقطه دارد، به جز خود نقطه، و مماس بر نمودار تابع در نقطه وجود دارد. 
. سپس، اگر در همسایگی نشان داده شده دارای علائم متفاوتی در سمت چپ و راست نقطه باشد، نمودار تابع دارای یک عطف در نقطه است. 
تحدب، تقعر، نقاط عطف. 
, 
=
وجود ندارد در 
)
)
یا نزدیک به نقاط ناپیوستگی از نوع دوم، اغلب معلوم می‌شود که نمودار یک تابع به هر خط مستقیمی که دوست داریم نزدیک می‌شود. چنین خطوطی نامیده می شود.
تعریف 1.
اگر فاصله نقطه منحنی تا این خط با دور شدن نقطه در طول منحنی تا بی نهایت به صفر برسد، مجانبی از منحنی L نامیده می شود. سه نوع مجانب وجود دارد: عمودی، افقی، مایل. 
مجانب عمودی نمودار تابع نامیده می شود اگر حداقل یکی از حدهای یک طرفه برابر با 
، یعنی یا 
مجانبی عمودی دارد 
، زیرا 
، آ 
.
اگر 
.
.
(
) مجانب مایل نمودار تابع برای نامیده می شود 
اگر 
; 
.
; x=0 – مجانب عمودی
.
مجانب مایل است. 
و آن را ترسیم کنید. 
تابع نه زوج و نه فرد-
-
+
+
y
-4
t r.
0
نتیجه.
یکی از ویژگی های مهم روش در نظر گرفته شده این است که اساساً مبتنی بر تشخیص و مطالعه ویژگی های مشخصه در رفتار منحنی است. مکان هایی که عملکرد به آرامی تغییر می کند با جزئیات خاصی مورد مطالعه قرار نمی گیرند و نیازی به چنین مطالعه ای وجود ندارد. اما مکان هایی که عملکرد در آنها ویژگی های رفتاری دارد، در معرض تحقیقات کامل و دقیق ترین نمایش گرافیکی هستند. این ویژگی ها نقاط ماکزیمم، حداقل، نقاط ناپیوستگی تابع و ... هستند.
تعیین جهت تقعر و عطف، و همچنین روش مشخص شده برای یافتن مجانب، مطالعه توابع با جزئیات بیشتر و دریافت ایده دقیق تری از نمودارهای آنها را ممکن می سازد.
مفهوم تحدب یک تابع
تابع \(y = f\left(x \right),\) را در نظر بگیرید که در بخش \(\left[ (a,b) \right] پیوسته فرض می شود.\) تابع \(y = f \left(x \right),\) )\) فراخوانی می شود محدب به پایین (یا به سادگی محدب) اگر برای هر نقطه \((x_1)\) و \((x_2)\) از \(\left[ (a,b) \right]\) x_1), (x_2) \در \ چپ[ (a, ب) \right]،\) به طوری که \((x_1) \ne (x_2),\) سپس تابع \(f\left(x \right) \) فراخوانی شود. به شدت محدب به پایین
یک تابع محدب رو به بالا به طور مشابه تعریف شده است. تابع \(f\left(x \right)\) فراخوانی می شود محدب (یا مقعر) اگر برای هر نقطه \((x_1)\) و \((x_2)\) از بخش \(\left[ (a,b) \right]\) نابرابری \(اگر این نابرابری برای هر \( شدید باشد (x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) به طوری که \((x_1) \ne (x_2),\) سپس تابع \(f\left(x \right ) \) نامیده می شوند به شدت محدب به سمت بالا در بخش \(\چپ[ (a,b) \راست].\)
تفسیر هندسی تحدب یک تابع
تعاریف معرفی شده از تابع محدب تفسیر هندسی ساده ای دارند.
برای عملکرد، محدب به پایین (طراحی \(1\))، نقطه وسط \(B\) هر وتر \((A_1)(A_2)\) نهفته است در بالا
به طور مشابه، برای تابع محدب (طراحی \(2\))، نقطه وسط \(B\) هر وتر \((A_1)(A_2)\) نهفته است زیرنقطه متناظر \((A_0)\) نمودار تابع یا منطبق بر این نقطه است.
توابع محدب خاصیت بصری دیگری دارند که مربوط به مکان است مماس به نمودار تابع تابع \(f\left(x \right)\) است محدب به پایین در بخش \(\left[ (a,b) \right]\) اگر و فقط اگر نمودار آن در هر نقطه \((x_0)\) از بخش \(\چپ کمتر از مماس ترسیم شده به آن نباشد. [ (a,b) \right]\) (شکل \(3\)).
بر این اساس، تابع \(f\left(x \right)\) است محدب در قسمت \(\left[ (a,b) \right]\) اگر و فقط اگر نمودار آن در هر نقطه \((x_0)\) از پاره \(\چپ بالاتر از مماس کشیده شده به آن نباشد. [ (a,b) \right]\) (شکل \(4\)). این خصوصیات یک قضیه هستند و با استفاده از تعریف تحدب یک تابع قابل اثبات هستند.
شرایط کافی برای تحدب
اجازه دهید برای تابع \(f\left(x \right)\) اولین مشتق \(f"\left(x \right)\) در بخش \(\left[ (a,b) \right] وجود داشته باشد، \) و دومین مشتق \(f""\left(x \right)\) - در بازه \(\left((a,b) \right).\) سپس معیارهای کافی زیر برای تحدب برقرار است:
اگر \(f""\left(x \right) \ge 0\) برای همه \(x \in \left((a,b) \right),\) سپس تابع \(f\left(x \ درست )\) محدب به پایین در بخش \(\چپ[ (a,b) \right];\)
اگر \(f""\left(x \right) \le 0\) برای همه \(x \in \left((a,b) \right),\) سپس تابع \(f\left(x \ درست )\) محدب در بخش \(\چپ[ (a,b) \راست].\)
اجازه دهید قضیه فوق را برای مورد تابع محدب رو به پایین اثبات کنیم. اجازه دهید تابع \(f\left(x \right)\) یک مشتق دوم غیر منفی در بازه \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x باشد. \right) \ge 0.\) با \((x_0)\) نقطه میانی بخش \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right] را نشان دهید.\) طول این بخش را فرض کنید برابر است با \(2h.\) سپس مختصات \((x_1)\) و \((x_2)\) را می توان به صورت زیر نوشت: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] تابع \(f\left(x\right)\) را در نقطه \((x_0)\) به یک سری تیلور با یک عبارت باقیمانده به شکل لاگرانژ گسترش دهید. عبارات زیر را دریافت می کنیم: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))(2},}
\]
\[
{f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) }
= {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}
\]
где \({x_0} - h !}
هر دو برابری را اضافه کنید: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac ((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \راست) + f""\left(((\xi _2)) \راست)) \right].) \] از آنجایی که \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) دومین مشتق در سمت راست غیر منفی هستند . بنابراین، \ یا \ یعنی طبق تعریف تابع \(f\left(x \right)\) محدب به پایین
.
توجه داشته باشید که شرط تحدب لازم برای یک تابع (یعنی یک قضیه مستقیم که در آن، برای مثال، از شرط تحدب نتیجه می‌شود که \(f""\left(x \right) \ge 0\)) فقط برای یک نابرابری غیر دقیق در مورد تحدب شدید، شرط لازم به طور کلی برآورده نمی شود. به عنوان مثال، تابع \(f\left(x \right) = (x^4)\) کاملاً محدب رو به پایین است. با این حال، در نقطه \(x = 0\) مشتق دوم آن برابر با صفر است، یعنی. نابرابری شدید \(f""\left(x \right) \gt 0\) در این مورد ارضا نمی شود.
خواص توابع محدب
ما برخی از ویژگی‌های توابع محدب را فهرست می‌کنیم، با این فرض که همه توابع در بخش \(\left[ (a,b) \right] تعریف شده و پیوسته هستند.
اگر توابع \(f\) و \(g\) رو به پایین (به سمت بالا) محدب باشند، هر یک از آنها ترکیب خطی \(af + bg,\) که در آن \(a\)، \(b\) اعداد حقیقی مثبت هستند، همچنین به سمت پایین (بالا) محدب هستند.
اگر تابع \(u = g\left(x \right)\) محدب رو به پایین و تابع \(y = f\left(u \right)\) محدب رو به پایین و غیر نزولی باشد، تابع پیچیده \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) نیز به سمت پایین محدب خواهد شد.
اگر تابع \(u = g\left(x \right)\) محدب رو به بالا و تابع \(y = f\left(u \right)\) محدب رو به پایین و غیر افزایشی باشد، تابع پیچیده \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) به سمت پایین محدب خواهد شد.
حداکثر محلی تابع رو به بالا محدب تعریف شده در قطعه \(\left[ (a,b) \right],\) به طور همزمان آن است بالاترین ارزش در این بخش
حداقل محلی تابع محدب رو به پایین تعریف شده در بخش \(\left[ (a,b) \right],\) به طور همزمان کوچکترین مقدار در این بخش
با یک ماشین حساب آنلاین، می توانید پیدا کنید نقاط عطف و فواصل تحدب یک نمودار تابعبا طراحی راه حل در Word. محدب بودن تابعی از دو متغیر f(x1,x2) با استفاده از ماتریس Hessian تعیین می شود.
قوانین ورود توابع:
جهت تحدب نمودار تابع. نقاط عطف
تعریف: منحنی y=f(x) را در بازه (a; b) محدب رو به پایین می گویند اگر در هر نقطه از این بازه بالاتر از مماس قرار گیرد.تعریف: منحنی y=f(x) در بازه (a; b) محدب رو به بالا نامیده می شود اگر در هر نقطه از این بازه زیر مماس قرار گیرد. 
تعریف: فواصل زمانی که نمودار تابع به بالا یا پایین محدب است، فواصل تحدب نمودار تابع نامیده می شود.
تحدب به سمت پایین یا بالا منحنی، که نمودار تابع y=f(x) است، با علامت مشتق دوم آن مشخص می شود: اگر در بازه ای f''(x) > 0 باشد، آنگاه منحنی محدب است. در این بازه به سمت پایین اگر f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
تعریف: نقطه نمودار تابع y=f(x) که فواصل تحدب جهات مخالف این نمودار را از هم جدا می کند، نقطه عطف نامیده می شود. 
فقط نقاط بحرانی نوع دوم می توانند به عنوان نقاط عطف عمل کنند. نقاط متعلق به دامنه تابع y = f(x) که در آن مشتق دوم f''(x) ناپدید می شود یا می شکند.
قانون یافتن نقاط عطف نمودار تابع y = f(x)
- مشتق دوم f''(x) را پیدا کنید.
- نقاط بحرانی نوع دوم تابع y=f(x) را پیدا کنید، یعنی. نقطه ای که در آن f''(x) ناپدید می شود یا می شکند.
- علامت مشتق دوم f''(x) را در فواصل زمانی که نقاط بحرانی یافت شده دامنه تابع f(x) را تقسیم می کنند، بررسی کنید. اگر در این مورد، نقطه بحرانی x 0 فواصل تحدب جهات مخالف را از هم جدا کند، آنگاه x 0 آبسیسا نقطه عطف نمودار تابع است.
- مقادیر تابع را در نقاط عطف محاسبه کنید.
مثال 1. شکاف های تحدب و نقاط عطف منحنی زیر را بیابید: f(x) = 6x 2 –x 3 .
راه حل: f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x را پیدا کنید.
بیایید با حل معادله 12-6x=0 نقاط بحرانی را با مشتق دوم پیدا کنیم. x=2. 
f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
پاسخ: تابع محدب رو به بالا برای x∈(2; +∞) ; تابع برای x∈(-∞; 2) رو به پایین محدب است. نقطه عطف (2;16) .
مثال 2. آیا تابع نقاط عطف دارد: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1
مثال 3. فواصل زمانی که نمودار تابع محدب و محدب است را پیدا کنید: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4
وقتی یک تابع را رسم می کنیم، تعیین فواصل محدب و نقاط عطف مهم است. ما به آنها، همراه با فواصل کاهش و افزایش، برای نمایش واضح عملکرد به شکل گرافیکی نیاز داریم.
درک این موضوع مستلزم دانستن مشتق یک تابع و نحوه محاسبه آن به ترتیبی است و همچنین قادر به حل انواع مختلف نامساوی است.
در ابتدای مقاله مفاهیم اصلی تعریف شده است. سپس نشان خواهیم داد که چه رابطه ای بین جهت تحدب و مقدار مشتق دوم در یک بازه زمانی مشخص وجود دارد. در مرحله بعد، شرایطی را که تحت آن نقاط عطف نمودار تعیین می شود را مشخص می کنیم. تمام استدلال ها با مثال هایی از راه حل های مسئله نشان داده خواهند شد.
تعریف 1در جهت رو به پایین در یک بازه معین در صورتی که نمودار آن در هیچ نقطه ای از این بازه کمتر از مماس بر آن نباشد.
تعریف 2
تابع متمایز محدب استدر یک بازه معین به سمت بالا در صورتی که نمودار این تابع در هیچ نقطه ای از این بازه بالاتر از مماس بر آن نباشد.
تابع محدب رو به پایین را می توان مقعر نیز نامید. هر دو تعریف به وضوح در نمودار زیر نشان داده شده است:
تعریف 3
نقطه عطف تابع- این نقطه M (x 0 ؛ f (x 0)) است که در آن مماس بر نمودار تابع وجود دارد، مشروط بر اینکه مشتق در مجاورت نقطه x 0 وجود داشته باشد، جایی که نمودار تابع وجود داشته باشد. جهات مختلف تحدب را در سمت چپ و راست می گیرد.
به بیان ساده، نقطه عطف، جایی از نمودار است که در آن مماس وجود دارد و جهت تحدب نمودار هنگام عبور از این مکان، جهت تحدب را تغییر می دهد. اگر به خاطر ندارید که در چه شرایطی وجود مماس عمودی و غیر عمودی امکان پذیر است، به شما توصیه می کنیم قسمت مماس نمودار یک تابع را در یک نقطه تکرار کنید.
در زیر نموداری از یک تابع است که دارای چندین نقطه عطف با رنگ قرمز برجسته شده است. اجازه دهید توضیح دهیم که وجود نقاط عطف اجباری نیست. در نمودار یک تابع، می تواند یک، دو، چند، بی نهایت زیاد یا هیچ وجود داشته باشد.
در این قسمت در مورد قضیه ای صحبت می کنیم که با آن می توانید فواصل تحدب را در نمودار یک تابع خاص تعیین کنید.
تعریف 4
اگر تابع متناظر y = f (x) دارای مشتق متناهی دوم در بازه مشخص شده x باشد، نمودار تابع دارای تحدب در جهت رو به پایین یا بالا خواهد بود، مشروط بر اینکه نابرابری f "" (x) ≥ 0 ∀ x باشد. ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) درست خواهد بود.
با استفاده از این قضیه، می توانید فواصل تقعر و تحدب را در هر نمودار یک تابع پیدا کنید. برای انجام این کار، فقط باید نابرابری های f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 را در دامنه تابع مربوطه حل کنید.
اجازه دهید روشن کنیم که آن نقاطی که مشتق دوم وجود ندارد، اما تابع y = f (x) تعریف شده است، در فواصل تحدب و تقعر قرار می گیرند.
بیایید به مثالی از یک مسئله خاص نگاه کنیم، نحوه اعمال صحیح این قضیه.
مثال 1
وضعیت:تابع y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 داده شده است. مشخص کنید نمودار آن در چه فواصلی دارای تحدب و تقعر خواهد بود.
راه حل
دامنه این تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است. بیایید با محاسبه مشتق دوم شروع کنیم.
y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
می بینیم که دامنه مشتق دوم با دامنه خود تابع منطبق است بنابراین برای شناسایی فواصل تحدب باید نابرابری های f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 را حل کنیم. .
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
دریافتیم که نمودار تابع داده شده دارای تقعر در بخش [2; + ∞) و تحدب روی قطعه (- ∞ ; 2 ] .
برای وضوح، نموداری از تابع رسم می کنیم و قسمت محدب را با رنگ آبی و قسمت مقعر را با رنگ قرمز مشخص می کنیم.
پاسخ:نمودار تابع داده شده دارای یک تقعر بر روی قطعه [2; + ∞) و تحدب روی قطعه (- ∞ ; 2 ] .
اما اگر دامنه مشتق دوم با دامنه تابع مطابقت نداشته باشد چه باید کرد؟ در اینجا نکته ای که در بالا گفته شد برای ما مفید است: نقاطی را که مشتق دوم نهایی وجود ندارد، در بخش های تقعر و تحدب نیز قرار می دهیم.
مثال 2
وضعیت:تابع y = 8 x x - 1 داده می شود. مشخص کنید نمودار آن در چه فواصل مقعر و در چه بازه هایی محدب خواهد بود.
راه حل
ابتدا بیایید دامنه عملکرد را دریابیم.
x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)
اکنون مشتق دوم را محاسبه می کنیم:
y "= 8 xx - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 xx - 1 2 - (x + 1) xx - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 xx - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) xx - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3
دامنه مشتق دوم مجموعه x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) است. می بینیم که x برابر با صفر در دامنه تابع اصلی خواهد بود، اما در دامنه مشتق دوم نیست. این نقطه باید در بخش تقعر یا تحدب گنجانده شود.
پس از آن، باید نابرابری های f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 را در دامنه تابع داده شده حل کنیم. ما از روش فاصله برای این استفاده می کنیم: در x \u003d - 1 - 2 3 ≈ - 2، 1547 یا x \u003d - 1 + 2 3 ≈ 0، 1547 عدد 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 می شود 0 و مخرج 0 می شود وقتی x صفر یا یک باشد.
بیایید نقاط به دست آمده را روی نمودار قرار دهیم و علامت عبارت را در تمام فواصل زمانی که در دامنه تابع اصلی گنجانده می شود تعیین کنیم. در نمودار، این ناحیه با هچ نشان داده شده است. اگر مقدار مثبت است، فاصله را با یک مثبت، اگر منفی، سپس با یک منفی علامت گذاری کنید.
از این رو،
f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , و f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; یک)
نقطه x=0 قبلا علامت گذاری شده را روشن می کنیم و جواب دلخواه را می گیریم. نمودار تابع اصلی دارای یک برآمدگی رو به پایین در 0 خواهد بود. - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) و بالا - برای x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; یک).
بیایید یک نمودار رسم کنیم و قسمت محدب را با رنگ آبی و قسمت مقعر را با قرمز مشخص کنیم. مجانب عمودی با یک خط نقطه چین مشخص شده است.
پاسخ:نمودار تابع اصلی دارای یک برآمدگی رو به پایین در 0 خواهد بود. - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) و بالا - برای x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; یک).
شرایط عطف برای نمودار تابع
بیایید با فرمول بندی شرط لازم برای عطف نمودار یک تابع شروع کنیم.
تعریف 5
فرض کنید یک تابع y = f(x) داریم که نمودار آن نقطه عطف دارد. برای x = x 0، مشتق دوم پیوسته دارد، بنابراین، برابری f "" (x 0) = 0 برقرار خواهد بود.
با توجه به این شرایط، ما باید به دنبال نقاط عطف در بین نقاطی باشیم که در آنها مشتق دوم به 0 تبدیل می شود. این شرط کافی نخواهد بود: همه چنین نکاتی برای ما مناسب نیستند.
همچنین توجه داشته باشید که طبق تعریف کلی، به یک خط مماس، عمودی یا غیر عمودی نیاز خواهیم داشت. در عمل این بدان معناست که برای یافتن نقاط عطف باید نقاطی را گرفت که مشتق دوم این تابع 0 می شود. بنابراین، برای یافتن ابسیساهای نقاط عطف، باید تمام x 0 را از دامنه تابع برداریم، جایی که lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ . اغلب اینها نقاطی هستند که مخرج اولین مشتق به 0 تبدیل می شود.
اولین شرط کافی برای وجود نقطه عطف نمودار تابع
ما تمام مقادیر x 0 را پیدا کرده‌ایم که می‌توان آنها را به عنوان ابسیسا نقاط عطف در نظر گرفت. پس از آن، باید اولین شرط عطف کافی را اعمال کنیم.
تعریف 6
فرض کنید یک تابع y = f (x) داریم که در نقطه M پیوسته است (x 0 ؛ f (x 0)). علاوه بر این، در این نقطه دارای مماس است و خود تابع دارای مشتق دوم در مجاورت این نقطه x 0 است. در این صورت، اگر مشتق دوم در سمت چپ و راست علائم متضاد به دست آورد، این نقطه را می توان نقطه عطف در نظر گرفت.
می بینیم که این شرط مستلزم این نیست که مشتق دوم لزوماً در این نقطه وجود داشته باشد، حضور آن در همسایگی نقطه x 0 کافی است.
همه موارد فوق را می توان به راحتی به عنوان دنباله ای از اقدامات ارائه کرد.
- ابتدا باید تمام ابسیساهای x 0 نقاط عطف ممکن را پیدا کنید، جایی که f "" (x 0) = 0، lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞، lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
- دریابید که مشتق در چه نقاطی علامت تغییر خواهد کرد. این مقادیر ابسیساهای نقاط عطف هستند و نقاط M (x 0 ؛ f (x 0)) مربوط به آنها خود نقاط عطف هستند.
برای وضوح، اجازه دهید دو مشکل را در نظر بگیریم.
مثال 3
وضعیت:تابع y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . مشخص کنید که نمودار این تابع در کجا دارای نقاط عطف و برآمدگی خواهد بود.
راه حل
این تابع بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف شده است. ما مشتق اول را در نظر می گیریم:
y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2
حال بیایید دامنه اولین مشتق را پیدا کنیم. همچنین مجموعه تمام اعداد واقعی است. از این رو، برابری های lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ را نمی توان برای هیچ مقدار x 0 برآورده کرد.
مشتق دوم را محاسبه می کنیم:
y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3
ما ابسیساهای دو نقطه عطف احتمالی - 2 و 3 را پیدا کردیم. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که بررسی کنیم مشتق در چه نقطه ای علامت خود را تغییر می دهد. یک محور عددی رسم می کنیم و این نقاط را روی آن رسم می کنیم و بعد از آن علامت های مشتق دوم را روی فواصل حاصل قرار می دهیم.
قوس ها جهت تحدب نمودار را در هر بازه نشان می دهند.
مشتق دوم علامت (از مثبت به منفی) را در نقطه ای با آبسیسا 3 معکوس می کند، از چپ به راست از آن عبور می کند، و همین کار را (از منفی به مثبت) در نقطه با آبسیسا 3 انجام می دهد. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که x = - 2 و x = 3 ابسیساهای نقاط عطف نمودار تابع هستند. آنها با نقاط نمودار مطابقت دارند - 2. - 4 3 و 3 ; - 15 8 .
بیایید دوباره به تصویر محور عددی و علائم حاصل در فواصل نگاه کنیم تا در مورد مکان های تقعر و تحدب نتیجه گیری کنیم. معلوم می شود که برآمدگی در قسمت - 2 قرار خواهد گرفت. 3، و تقعر روی قطعات (- ∞ ; - 2 ] و [ 3 ; + ∞) .
راه حل مسئله به وضوح در نمودار نشان داده شده است: رنگ آبی - تحدب، قرمز - تقعر، رنگ سیاه به معنای نقاط عطف است.
پاسخ:برآمدگی در بخش قرار خواهد گرفت - 2؛ 3، و تقعر روی قطعات (- ∞ ; - 2 ] و [ 3 ; + ∞) .
مثال 4
وضعیت:ابسیساهای تمام نقاط عطف نمودار تابع y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 را محاسبه کنید.
راه حل
دامنه تابع داده شده مجموعه تمام اعداد حقیقی است. مشتق را محاسبه می کنیم:
y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5
برخلاف یک تابع، اولین مشتق آن در مقدار x 3 تعیین نمی شود، اما:
lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y" (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞
به این معنی که یک مماس عمودی بر نمودار از این نقطه عبور می کند. بنابراین، 3 می تواند آبسیسه نقطه عطف باشد.
مشتق دوم را محاسبه می کنیم. همچنین منطقه تعریف آن و نقاطی که در آن به 0 تبدیل می شود را پیدا می کنیم:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3، 4556، x 2 = 51 - 14609. 2 = 51.
ما دو نقطه عطف احتمالی دیگر داریم. همه آنها را روی یک خط اعداد قرار می دهیم و فواصل حاصل را با علائم مشخص می کنیم:
تغییر علامت هنگام عبور از هر نقطه مشخص رخ می دهد، به این معنی که همه آنها نقاط عطف هستند.
پاسخ:بیایید نموداری از تابع رسم کنیم، تقعرها را با رنگ قرمز، محدب ها را با آبی و نقاط عطف را با سیاه مشخص کنیم:
با دانستن شرط عطف کافی اول، می‌توانیم نقاط ضروری را که وجود مشتق دوم ضروری نیست، تعیین کنیم. بر این اساس، شرط اول را می توان جهانی ترین و مناسب ترین شرط برای حل انواع مختلف مسائل دانست.
توجه داشته باشید که دو شرط عطف دیگر وجود دارد، اما آنها فقط زمانی قابل اعمال هستند که یک مشتق محدود در نقطه مشخص شده وجود داشته باشد.
اگر f "" (x 0) = 0 و f """ (x 0) ≠ 0 داشته باشیم، آنگاه x 0 آبسیسا نقطه عطف نمودار y = f (x) خواهد بود.
مثال 5
وضعیت:تابع y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 داده شده است. تعیین کنید که آیا نمودار تابع در نقطه 3 دارای عطف است یا خیر. 4 5 .
راه حل
اولین کاری که باید انجام دهید این است که مطمئن شوید که نقطه داده شده اصلاً متعلق به نمودار این تابع است.
y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
تابع مشخص شده برای همه آرگومان هایی که اعداد واقعی هستند تعریف می شود. مشتق اول و دوم را محاسبه می کنیم:
y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)
دریافتیم که اگر x برابر 0 باشد، مشتق دوم به 0 خواهد رسید. بدین معنی که شرط عطف لازم برای این نقطه برآورده می شود. حال از شرط دوم استفاده می کنیم: مشتق سوم را پیدا می کنیم و متوجه می شویم که آیا در 3 به 0 تبدیل می شود:
y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10
مشتق سوم برای هیچ مقدار x از بین نخواهد رفت. بنابراین می توان نتیجه گرفت که این نقطه نقطه عطف نمودار تابع خواهد بود.
پاسخ:بیایید راه حل را در تصویر نشان دهیم:
فرض کنید که f "(x 0) = 0، f "" (x 0) = 0، . . . , f (n) (x 0) = 0 و f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . در این مورد، برای زوج n، دریافت می کنیم که x 0 ابسیسا نقطه عطف نمودار y \u003d f (x) است.
مثال 6
وضعیت:تابع y = (x - 3) 5 + 1 داده می شود. نقاط عطف نمودار آن را محاسبه کنید.
راه حل
این تابع بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف شده است. مشتق را محاسبه کنید: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . از آنجایی که برای تمام مقادیر واقعی آرگومان نیز تعریف می شود، در هر نقطه از نمودار آن یک مماس غیر عمودی وجود خواهد داشت.
حالا بیایید محاسبه کنیم مشتق دوم برای چه مقادیری به 0 تبدیل می شود:
y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
ما دریافتیم که برای x = 3 نمودار تابع ممکن است یک نقطه عطف داشته باشد. برای تایید این موضوع از شرط سوم استفاده می کنیم:
y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) ، y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 ، y (5) (3) = 120 ≠ 0
در سومین شرط کافی، n = 4 داریم. این یک عدد زوج است، بنابراین x \u003d 3 آبسیسا نقطه عطف خواهد بود و نقطه نمودار تابع (3؛ 1) با آن مطابقت دارد.
پاسخ:در اینجا نموداری از این تابع با تحدب، تقعر و نقطه عطف مشخص شده است:
اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید