Vektor dan operasi pada vektor. Vektor untuk boneka

Akhirnya, saya mendapatkan topik yang luas dan telah lama ditunggu-tunggu geometri analitik. Pertama, sedikit tentang bagian matematika tingkat tinggi ini…. Tentunya Anda sekarang ingat kursus geometri sekolah dengan banyak teorema, buktinya, gambarnya, dll. Apa yang harus disembunyikan, subjek yang tidak disukai dan sering kali tidak jelas bagi sebagian besar siswa. Geometri analitik, anehnya, mungkin tampak lebih menarik dan mudah diakses. Apa arti kata sifat "analitis"? Dua putaran matematika yang dicap segera muncul di benak: "metode solusi grafis" dan "metode solusi analitis". Metode grafis, tentu saja, terkait dengan konstruksi grafik, gambar. analitis sama metode melibatkan pemecahan masalah dominan melalui operasi aljabar. Dalam hal ini, algoritme untuk menyelesaikan hampir semua masalah geometri analitik sederhana dan transparan, seringkali cukup untuk menerapkan rumus yang diperlukan secara akurat - dan jawabannya sudah siap! Tidak, tentu saja, itu tidak akan berhasil tanpa gambar sama sekali, selain itu, untuk pemahaman materi yang lebih baik, saya akan mencoba membawanya melebihi kebutuhan.

Kursus terbuka pelajaran dalam geometri tidak mengklaim sebagai kelengkapan teoretis, itu difokuskan pada pemecahan masalah praktis. Saya akan memasukkan dalam kuliah saya hanya apa, dari sudut pandang saya, yang penting secara praktis. Jika Anda memerlukan referensi yang lebih lengkap tentang subbagian apa pun, saya merekomendasikan literatur yang cukup mudah diakses berikut ini:

1) Suatu hal yang, bukan lelucon, akrab bagi beberapa generasi: Buku sekolah tentang geometri, penulis - L.S. Atanasyan dan Perusahaan. Gantungan ruang ganti sekolah ini telah bertahan 20 (!) reissues, yang tentu saja bukan batasnya.

2) Geometri dalam 2 volume. Penulis L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ini adalah literatur untuk pendidikan tinggi, Anda akan membutuhkan volume pertama. Tugas yang jarang terjadi mungkin keluar dari pandangan saya, dan tutorialnya akan sangat membantu.

Kedua buku ini gratis untuk diunduh secara online. Selain itu, Anda dapat menggunakan arsip saya dengan solusi siap pakai, yang dapat ditemukan di halaman Unduh contoh matematika yang lebih tinggi.

Dari alat, saya kembali menawarkan pengembangan saya sendiri - paket perangkat lunak pada geometri analitik, yang akan sangat menyederhanakan hidup dan menghemat banyak waktu.

Diasumsikan bahwa pembaca sudah familiar dengan konsep geometri dasar dan angka: titik, garis, bidang, segitiga, jajaran genjang, paralelepiped, kubus, dll. Dianjurkan untuk mengingat beberapa teorema, setidaknya teorema Pythagoras, hello repeater)

Dan sekarang kita akan mempertimbangkan secara berurutan: konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor. Selanjutnya saya sarankan membaca artikel terpenting Hasil kali titik dari vektor, sebaik Vektor dan produk campuran dari vektor. Tugas lokal tidak akan berlebihan - Pembagian segmen dalam hal ini. Berdasarkan informasi di atas, Anda dapat persamaan garis lurus pada bidang Dengan contoh solusi paling sederhana, yang akan memungkinkan belajar bagaimana memecahkan masalah dalam geometri. Artikel berikut juga bermanfaat: Persamaan bidang di luar angkasa, Persamaan garis lurus dalam ruang, Masalah dasar pada garis dan bidang , bagian lain dari geometri analitik. Secara alami, tugas standar akan dipertimbangkan di sepanjang jalan.

Konsep vektor. vektor gratis

Pertama, mari kita ulangi definisi sekolah dari sebuah vektor. vektor ditelepon diarahkan segmen yang awal dan akhirnya ditunjukkan:

Dalam hal ini, awal segmen adalah titik, akhir segmen adalah titik. Vektor itu sendiri dilambangkan dengan . Arah sangat penting, jika Anda mengatur ulang panah ke ujung segmen yang lain, Anda mendapatkan vektor, dan ini sudah vektor yang sama sekali berbeda. Lebih mudah untuk mengidentifikasi konsep vektor dengan pergerakan tubuh fisik: Anda harus mengakui bahwa memasuki pintu institut atau meninggalkan pintu institut adalah hal yang sama sekali berbeda.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan titik individu dari sebuah pesawat, ruang sebagai apa yang disebut vektor nol. Vektor semacam itu memiliki akhir dan awal yang sama.

!!! Catatan: Di sini dan di bawah, Anda dapat mengasumsikan bahwa vektor terletak pada bidang yang sama atau Anda dapat mengasumsikan bahwa mereka terletak di ruang - inti dari materi yang disajikan berlaku untuk bidang dan ruang.

Sebutan: Banyak yang segera menarik perhatian pada tongkat tanpa panah di penunjukan dan mengatakan bahwa mereka juga meletakkan panah di atas! Itu benar, Anda dapat menulis dengan panah: , tetapi dapat diterima dan catatan yang akan saya gunakan nanti. Mengapa? Rupanya, kebiasaan seperti itu berkembang dari pertimbangan praktis, penembak saya di sekolah dan universitas ternyata terlalu beragam dan lusuh. Dalam literatur pendidikan, kadang-kadang mereka tidak peduli dengan tulisan paku sama sekali, tetapi menonjolkan huruf yang dicetak tebal: , sehingga menyiratkan bahwa ini adalah vektor.

Itu gayanya, dan sekarang tentang cara menulis vektor:

1) Vektor dapat ditulis dalam dua huruf Latin kapital:
dll. Sedangkan huruf pertama perlu menunjukkan titik awal vektor, dan huruf kedua menunjukkan titik akhir vektor.

2) Vektor juga ditulis dalam huruf latin kecil:
Secara khusus, vektor kami dapat didesain ulang untuk singkatnya dengan huruf Latin kecil .

Panjang atau modul vektor tak nol disebut panjang segmen. Panjang vektor nol adalah nol. Logikanya.

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda modulo: ,

Bagaimana menemukan panjang vektor, kita akan belajar (atau ulangi, untuk siapa caranya) nanti.

Itu tadi informasi dasar tentang vektor yang sudah tidak asing lagi bagi semua anak sekolah. Dalam geometri analitik, yang disebut vektor gratis.

Jika itu cukup sederhana - vektor dapat ditarik dari titik manapun:

Kami biasa menyebut vektor tersebut sama (definisi vektor yang sama akan diberikan di bawah), tetapi dari sudut pandang matematis murni, ini adalah VEKTOR SAMA atau vektor gratis. Mengapa gratis? Karena dalam memecahkan masalah Anda dapat "melampirkan" satu atau lain vektor "sekolah" ke titik APAPUN dari bidang atau ruang yang Anda butuhkan. Ini adalah properti yang sangat keren! Bayangkan segmen terarah dengan panjang dan arah yang berubah-ubah - ia dapat "dikloning" dalam jumlah tak terbatas dan pada titik mana pun di ruang angkasa, pada kenyataannya, ia ada DI MANA SAJA. Ada pepatah mahasiswa seperti itu: Setiap dosen di f**u di vektor. Lagi pula, ini bukan hanya sajak yang lucu, semuanya hampir benar - segmen terarah juga dapat dilampirkan di sana. Tapi jangan buru-buru bergembira, siswa sendiri lebih sering menderita =)

Jadi, vektor gratis- dia sekelompok segmen arah yang identik. Definisi sekolah vektor, diberikan di awal paragraf: "Segmen berarah disebut vektor ...", menyiratkan spesifik segmen diarahkan diambil dari set tertentu, yang melekat pada titik tertentu di pesawat atau ruang.

Perlu dicatat bahwa dari sudut pandang fisika, konsep vektor bebas umumnya salah, dan titik penerapannya penting. Memang, pukulan langsung dengan kekuatan yang sama di hidung atau di dahi sudah cukup untuk mengembangkan contoh bodoh saya memerlukan konsekuensi yang berbeda. Namun, tidak gratis vektor juga ditemukan dalam perjalanan vyshmat (jangan pergi ke sana :)).

Tindakan dengan vektor. Kolinearitas vektor

Dalam kursus geometri sekolah, sejumlah tindakan dan aturan dengan vektor dipertimbangkan: penjumlahan menurut aturan segitiga, penjumlahan menurut aturan genjang, aturan selisih vektor, perkalian vektor dengan bilangan, perkalian skalar vektor, dll. Sebagai benih, kami mengulangi dua aturan yang sangat relevan untuk memecahkan masalah geometri analitik.

Aturan penjumlahan vektor menurut aturan segitiga

Pertimbangkan dua vektor non-nol arbitrer dan:

Hal ini diperlukan untuk menemukan jumlah dari vektor-vektor ini. Karena kenyataan bahwa semua vektor dianggap bebas, kami menunda vektor dari akhir vektor :

Jumlah vektor adalah vektor . Untuk pemahaman yang lebih baik tentang aturan, disarankan untuk memasukkan makna fisik ke dalamnya: biarkan beberapa benda membuat jalur di sepanjang vektor , dan kemudian di sepanjang vektor . Maka jumlah vektornya adalah vektor lintasan yang dihasilkan mulai dari titik berangkat dan berakhir di titik kedatangan. Aturan serupa dirumuskan untuk jumlah sejumlah vektor. Seperti yang mereka katakan, tubuh dapat berjalan dengan kuat zigzag, atau mungkin dengan autopilot - di sepanjang vektor jumlah yang dihasilkan.

Omong-omong, jika vektor ditunda dari Mulailah vektor , maka kita mendapatkan ekuivalennya aturan jajaran genjang penambahan vektor.

Pertama, tentang kolinearitas vektor. Kedua vektor tersebut disebut kolinear jika mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis sejajar. Secara kasar, kita berbicara tentang vektor paralel. Tetapi sehubungan dengan mereka, kata sifat "collinear" selalu digunakan.

Bayangkan dua vektor collinear. Jika panah-panah dari vektor-vektor ini diarahkan pada arah yang sama, maka vektor-vektor tersebut disebut searah. Jika panah melihat ke arah yang berbeda, maka vektornya adalah berlawanan arah.

Sebutan: kolinearitas vektor ditulis dengan ikon paralelisme biasa: , sementara perincian dimungkinkan: (vektor diarahkan bersama) atau (vektor diarahkan berlawanan).

bekerja dari vektor bukan nol oleh nomor adalah vektor yang panjangnya sama dengan , dan vektor dan co-diarahkan dan berlawanan diarahkan pada .

Aturan untuk mengalikan vektor dengan angka lebih mudah dipahami dengan gambar:

Kami memahami lebih detail:

1 arah. Jika pengalinya negatif, maka vektor berubah arah ke sebaliknya.

2) Panjang. Jika faktor tersebut terdapat di dalam atau , maka panjang vektor berkurang. Jadi, panjang vektor adalah dua kali lebih kecil dari panjang vektor . Jika pengali modulo lebih besar dari satu, maka panjang vektor meningkat pada waktunya.

3) Harap dicatat bahwa semua vektor adalah collinear, sedangkan satu vektor diekspresikan melalui vektor lain, misalnya . Kebalikannya juga benar: jika satu vektor dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain, maka vektor-vektor tersebut harus kolinear. Lewat sini: jika kita mengalikan vektor dengan angka, kita mendapatkan collinear(relatif terhadap aslinya) vektor.

4) Vektor adalah codirectional. Vektor dan juga codirectional. Setiap vektor dari grup pertama berlawanan dengan vektor grup kedua.

Vektor apa yang sama?

Dua buah vektor adalah sama jika keduanya searah dan memiliki panjang yang sama. Perhatikan bahwa co-direction menyiratkan bahwa vektor-vektornya adalah collinear. Definisi tersebut akan menjadi tidak akurat (berlebihan) jika Anda mengatakan: "Dua vektor adalah sama jika mereka segaris, berarah bersama, dan memiliki panjang yang sama."

Dari sudut pandang konsep vektor bebas, vektor yang sama adalah vektor yang sama, yang telah dibahas pada paragraf sebelumnya.

Koordinat vektor di pesawat dan di luar angkasa

Poin pertama adalah mempertimbangkan vektor pada bidang. Gambarlah sistem koordinat persegi panjang Cartesian dan sisihkan dari titik asal Lajang vektor dan :

Vektor dan ortogonal. Ortogonal = Tegak Lurus. Saya sarankan perlahan-lahan membiasakan diri dengan istilah: alih-alih paralelisme dan tegak lurus, kami menggunakan kata-kata masing-masing kolinearitas dan ortogonalitas.

Penamaan: ortogonalitas vektor ditulis dengan tanda tegak lurus biasa, misalnya: .

Vektor yang dipertimbangkan disebut koordinat vektor atau ort. Vektor-vektor ini membentuk dasar di permukaan. Apa dasarnya, saya pikir, secara intuitif jelas bagi banyak orang, informasi yang lebih rinci dapat ditemukan di artikel Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor.Dengan kata sederhana, dasar dan asal usul koordinat menentukan seluruh sistem - ini adalah semacam fondasi di mana kehidupan geometris yang penuh dan kaya mendidih.

Kadang-kadang dasar yang dibangun disebut ortonormal dasar bidang: "orto" - karena vektor koordinat ortogonal, kata sifat "dinormalisasi" berarti unit, mis. panjang vektor basis sama dengan satu.

Penamaan: dasarnya biasanya ditulis dalam tanda kurung, di dalamnya dalam urutan yang ketat vektor basis terdaftar, misalnya: . Vektor koordinat itu dilarang bertukar tempat.

Setiap vektor pesawat satu-satunya jalan diekspresikan sebagai:
, di mana - angka, yang disebut koordinat vektor dalam dasar ini. Tapi ekspresi itu sendiri ditelepon dekomposisi vektordasar .

Makan malam disajikan:

Mari kita mulai dengan huruf pertama dari alfabet: . Gambar dengan jelas menunjukkan bahwa ketika menguraikan vektor dalam hal basis, yang baru saja dipertimbangkan digunakan:
1) aturan perkalian vektor dengan angka: dan ;
2) penambahan vektor menurut aturan segitiga: .

Sekarang secara mental kesampingkan vektor dari titik lain di pesawat. Cukup jelas bahwa korupsinya akan "tanpa henti mengikutinya". Ini dia, kebebasan vektor - vektor "membawa segalanya bersamamu." Properti ini, tentu saja, berlaku untuk vektor apa pun. Lucu bahwa basis (gratis) vektor itu sendiri tidak harus dikesampingkan dari asalnya, satu dapat digambar, misalnya, di kiri bawah, dan yang lainnya di kanan atas, dan tidak ada yang akan berubah dari ini! Benar, Anda tidak perlu melakukan ini, karena guru juga akan menunjukkan orisinalitas dan memberi Anda "lulus" di tempat yang tidak terduga.

Vektor , menggambarkan dengan tepat aturan untuk mengalikan vektor dengan angka, vektor diarahkan bersama dengan vektor basis , vektor diarahkan berlawanan dengan vektor basis . Untuk vektor-vektor ini, salah satu koordinatnya sama dengan nol, dapat ditulis dengan cermat sebagai berikut:

Dan vektor dasar, omong-omong, seperti ini: (sebenarnya, mereka diekspresikan melalui diri mereka sendiri).

Dan akhirnya: , . Omong-omong, apa itu pengurangan vektor, dan mengapa saya tidak memberi tahu Anda tentang aturan pengurangan? Di suatu tempat dalam aljabar linier, saya tidak ingat di mana, saya mencatat bahwa pengurangan adalah kasus khusus dari penambahan. Jadi, ekspansi dari vektor "de" dan "e" ditulis dengan tenang sebagai jumlah: . Ikuti gambar untuk melihat seberapa baik penambahan lama yang baik dari vektor menurut aturan segitiga bekerja dalam situasi ini.

Dianggap dekomposisi bentuk kadang-kadang disebut dekomposisi vektor dalam sistem ort(yaitu dalam sistem vektor satuan). Tapi ini bukan satu-satunya cara untuk menulis vektor, opsi berikut ini umum:

Atau dengan tanda sama dengan:

Vektor basis itu sendiri ditulis sebagai berikut: dan

Artinya, koordinat vektor ditunjukkan dalam tanda kurung. Dalam tugas-tugas praktis, ketiga opsi perekaman digunakan.

Saya ragu apakah akan berbicara, tetapi saya tetap akan mengatakan: koordinat vektor tidak dapat diatur ulang. Benar-benar di tempat pertama tuliskan koordinat yang sesuai dengan vektor satuan , ketat di tempat kedua tuliskan koordinat yang sesuai dengan vektor satuan . Memang, dan adalah dua vektor yang berbeda.

Kami menemukan koordinat di pesawat. Sekarang perhatikan vektor dalam ruang tiga dimensi, semuanya hampir sama di sini! Hanya satu koordinat lagi yang akan ditambahkan. Sulit untuk melakukan gambar tiga dimensi, jadi saya akan membatasi diri pada satu vektor, yang untuk kesederhanaan akan saya tunda dari asalnya:

Setiap vektor ruang 3d satu-satunya jalan memperluas secara ortonormal:
, di mana adalah koordinat vektor (angka) dalam basis yang diberikan.

Contoh dari gambar: . Mari kita lihat bagaimana aturan tindakan vektor bekerja di sini. Pertama, mengalikan vektor dengan angka: (panah merah), (panah hijau) dan (panah magenta). Kedua, berikut adalah contoh penambahan beberapa, dalam hal ini tiga, vektor: . Jumlah vektor dimulai pada titik awal keberangkatan (awal vektor ) dan berakhir di titik akhir kedatangan (akhir vektor ).

Semua vektor ruang tiga dimensi, tentu saja, juga bebas, coba tunda vektor secara mental dari titik lain mana pun, dan Anda akan memahami bahwa ekspansinya "tetap bersamanya".

Sama halnya dengan case pesawat, selain tulisan versi dengan tanda kurung banyak digunakan: baik .

Jika satu (atau dua) vektor koordinat hilang dalam ekspansi, maka nol diletakkan sebagai gantinya. Contoh:
vektor (dengan cermat ) – tuliskan ;
vektor (dengan cermat) - tuliskan;
vektor (dengan cermat ) – tuliskan .

Vektor basis ditulis sebagai berikut:

Di sini, mungkin, adalah semua pengetahuan teoretis minimum yang diperlukan untuk memecahkan masalah geometri analitik. Mungkin ada terlalu banyak istilah dan definisi, jadi saya sarankan orang bodoh untuk membaca kembali dan memahami informasi ini lagi. Dan akan berguna bagi setiap pembaca untuk merujuk pada pelajaran dasar dari waktu ke waktu untuk asimilasi materi yang lebih baik. Kolinearitas, ortogonalitas, basis ortonormal, dekomposisi vektor - konsep ini dan lainnya akan sering digunakan dalam hal berikut. Saya perhatikan bahwa materi situs tidak cukup untuk lulus tes teoretis, seminar tentang geometri, karena saya dengan hati-hati mengenkripsi semua teorema (selain tanpa bukti) - dengan merugikan gaya presentasi ilmiah, tetapi nilai tambah untuk pemahaman Anda dari subjek. Untuk informasi teoretis terperinci, saya meminta Anda untuk tunduk pada Profesor Atanasyan.

Sekarang mari kita beralih ke bagian praktis:

Masalah paling sederhana dari geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Tugas yang akan dipertimbangkan, sangat diinginkan untuk mempelajari cara menyelesaikannya sepenuhnya secara otomatis, dan rumusnya menghafal, bahkan tidak mengingatnya dengan sengaja, mereka akan mengingatnya sendiri =) Ini sangat penting, karena masalah geometri analitik lainnya didasarkan pada contoh dasar yang paling sederhana, dan menghabiskan waktu ekstra untuk memakan pion akan mengganggu. Anda tidak perlu mengencangkan kancing atas di baju Anda, banyak hal yang akrab bagi Anda dari sekolah.

Penyajian materi akan mengikuti kursus paralel - baik untuk bidang maupun untuk ruang. Karena semua rumus ... Anda akan lihat sendiri.

Bagaimana menemukan vektor yang diberikan dua titik?

Jika dua titik bidang dan diberikan, maka vektor memiliki koordinat sebagai berikut:

Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka vektor memiliki koordinat berikut:

Itu adalah, dari koordinat ujung vektor Anda perlu mengurangi koordinat yang sesuai awal vektor.

Olahraga: Untuk titik yang sama, tuliskan rumus untuk mencari koordinat vektor. Rumus di akhir pelajaran.

Contoh 1

Diberikan dua titik di pesawat dan . Temukan koordinat vektor

Larutan: sesuai dengan rumus yang sesuai:

Sebagai alternatif, notasi berikut dapat digunakan:

Estetika akan memutuskan seperti ini:

Secara pribadi, saya sudah terbiasa dengan versi pertama dari rekaman.

Menjawab:

Menurut kondisinya, tidak perlu membuat gambar (yang khas untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk menjelaskan beberapa poin ke boneka, saya tidak akan terlalu malas:

Harus dipahami perbedaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:

Koordinat titik adalah koordinat biasa dalam sistem koordinat persegi panjang. Saya pikir semua orang tahu cara memplot titik pada bidang koordinat sejak kelas 5-6. Setiap titik memiliki tempat yang ketat di pesawat, dan mereka tidak dapat dipindahkan ke mana pun.

Koordinat vektor yang sama adalah perluasannya terhadap basis, dalam hal ini. Setiap vektor bebas, oleh karena itu, jika diinginkan atau perlu, kita dapat dengan mudah menundanya dari beberapa titik lain di pesawat. Menariknya, untuk vektor, Anda tidak dapat membangun sumbu sama sekali, sistem koordinat persegi panjang, Anda hanya memerlukan basis, dalam hal ini, basis ortonormal pesawat.

Catatan koordinat titik dan koordinat vektor tampaknya serupa: , dan pengertian koordinat sangat berbeda, dan Anda harus menyadari perbedaan ini. Perbedaan ini, tentu saja, juga berlaku untuk ruang.

Hadirin sekalian, kami mengisi tangan kami:

Contoh 2

a) Diberikan poin dan . Cari vektor dan .
b) Poin diberikan dan . Cari vektor dan .
c) Diberikan poin dan . Cari vektor dan .
d) Poin diberikan. Temukan Vektor .

Mungkin cukup. Ini adalah contoh untuk keputusan independen, cobalah untuk tidak mengabaikannya, itu akan membuahkan hasil ;-). Gambar tidak diperlukan. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Apa yang penting dalam memecahkan masalah geometri analitik? Sangat penting untuk berhati-hati untuk menghindari kesalahan "dua tambah dua sama dengan nol". Sebelumnya saya mohon maaf jika ada kesalahan =)

Bagaimana cara mencari panjang segmen?

Panjangnya, sebagaimana telah dicatat, ditunjukkan oleh tanda modulus.

Jika dua titik bidang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Catatan: Rumus akan tetap benar jika koordinat yang sesuai ditukar: dan , tetapi opsi pertama lebih standar

Contoh 3

Larutan: sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Untuk kejelasan, saya akan membuat gambar

Bagian - itu bukan vektor, dan Anda tidak dapat memindahkannya ke mana pun, tentu saja. Selain itu, jika Anda menyelesaikan gambar untuk skala: 1 unit. \u003d 1 cm (dua sel tetrad), maka jawabannya dapat diperiksa dengan penggaris biasa dengan langsung mengukur panjang segmen.

Ya, solusinya singkat, tetapi ada beberapa poin penting di dalamnya yang ingin saya klarifikasi:

Pertama, dalam jawaban kami menetapkan dimensi: "unit". Kondisinya tidak mengatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh karena itu, formulasi umum akan menjadi solusi yang kompeten secara matematis: "unit" - disingkat "unit".

Kedua, mari kita ulangi materi sekolah, yang berguna tidak hanya untuk masalah yang dipertimbangkan:

perhatikan trik teknis penting – mengeluarkan pengganda dari bawah root. Sebagai hasil dari perhitungan, kami mendapatkan hasil dan gaya matematika yang baik melibatkan pengambilan faktor dari bawah akar (jika mungkin). Prosesnya terlihat seperti ini secara lebih rinci: . Tentu saja, meninggalkan jawaban dalam bentuk tidak akan menjadi kesalahan - tetapi jelas merupakan cacat dan argumen yang berat untuk nitpicking di pihak guru.

Berikut adalah kasus umum lainnya:

Seringkali jumlah yang cukup besar diperoleh di bawah root, misalnya. Bagaimana menjadi dalam kasus seperti itu? Pada kalkulator, kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi 4:. Ya, pisahkan seluruhnya, jadi: . Atau mungkin angkanya bisa dibagi 4 lagi? . Lewat sini: . Digit terakhir dari angka itu ganjil, jadi membagi dengan 4 untuk ketiga kalinya jelas tidak mungkin. Mencoba untuk membagi dengan sembilan: . Hasil dari:
Siap.

Kesimpulan: jika di bawah root kami mendapatkan bilangan bulat yang tidak dapat diekstraksi, maka kami mencoba mengambil faktor dari bawah root - pada kalkulator kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , dll.

Dalam menyelesaikan berbagai masalah, akar sering ditemukan, selalu mencoba untuk mengekstrak faktor dari bawah akar untuk menghindari skor yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan menyelesaikan solusi Anda sesuai dengan komentar guru.

Mari kita ulangi kuadrat dari akar dan kekuatan lain secara bersamaan:

Aturan untuk tindakan dengan derajat dalam bentuk umum dapat ditemukan di buku teks sekolah tentang aljabar, tetapi saya pikir semuanya atau hampir semuanya sudah jelas dari contoh yang diberikan.

Tugas untuk solusi independen dengan segmen di luar angkasa:

Contoh 4

Diberikan poin dan . Cari panjang segmennya.

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mencari panjang vektor?

Jika vektor bidang diberikan, maka panjangnya dihitung dengan rumus.

Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dihitung dengan rumus .

Vektor satuan- dia vektor, nilai mutlak (modulus) yang sama dengan satu. Untuk menyatakan vektor satuan, kita akan menggunakan subskrip e. Jadi, jika vektor diberikan sebuah, maka vektor satuannya adalah vektor sebuah e.Vektor satuan ini menunjuk pada arah yang sama dengan vektor itu sendiri sebuah, dan modulusnya sama dengan satu, yaitu a e \u003d 1.

Jelas sekali, sebuah= sebuah e (a - modulus vektor sebuah). Ini mengikuti aturan di mana operasi perkalian skalar dengan vektor dilakukan.

Vektor satuan sering dikaitkan dengan sumbu koordinat sistem koordinat (khususnya, dengan sumbu sistem koordinat Cartesian). Arah ini vektor bertepatan dengan arah sumbu yang sesuai, dan asal-usulnya sering digabungkan dengan asal sistem koordinat.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa Sistem koordinasi cartesian dalam ruang secara tradisional disebut rangkap tiga dari sumbu yang saling tegak lurus yang berpotongan di suatu titik yang disebut titik asal. Sumbu koordinat biasanya dilambangkan dengan huruf X, Y, Z dan masing-masing disebut sumbu absis, sumbu ordinat, dan sumbu aplikasi. Descartes sendiri hanya menggunakan satu sumbu, di mana absis diplot. manfaat penggunaan sistem kapak milik murid-muridnya. Oleh karena itu kalimat Sistem koordinasi cartesian secara historis salah. Bicara lebih baik persegi panjang sistem koordinasi atau sistem koordinat ortogonal. Namun demikian, kami tidak akan mengubah tradisi dan di masa depan kami akan menganggap bahwa sistem koordinat Cartesian dan persegi panjang (ortogonal) adalah satu dan sama.

Vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu X, dilambangkan Saya, vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu Y, dilambangkan J, sebuah vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu Z, dilambangkan k. Vektor Saya, J, k ditelepon ort(Gbr. 12, kiri), mereka memiliki modul tunggal, yaitu
i = 1, j = 1, k = 1.

kapak dan ort sistem koordinat persegi panjang dalam beberapa kasus mereka memiliki nama dan sebutan lain. Jadi, sumbu absis X dapat disebut sumbu singgung, dan vektor satuannya dilambangkan τ (huruf kecil Yunani tau), sumbu y adalah sumbu normal, vektor satuannya dilambangkan n, sumbu aplikasi adalah sumbu binormal, vektor satuannya dilambangkan B. Mengapa mengubah nama jika esensi tetap sama?

Faktanya adalah, misalnya, dalam mekanika, ketika mempelajari gerakan benda, sistem koordinat persegi panjang sangat sering digunakan. Jadi, jika sistem koordinat itu sendiri tidak bergerak, dan perubahan koordinat benda bergerak dilacak dalam sistem tidak bergerak ini, maka biasanya sumbu menunjukkan X, Y, Z, dan sumbunya. ort masing-masing Saya, J, k.

Tetapi seringkali, ketika sebuah objek bergerak di sepanjang semacam lintasan lengkung (misalnya, sepanjang lingkaran), lebih mudah untuk mempertimbangkan proses mekanis dalam sistem koordinat yang bergerak dengan objek ini. Untuk sistem koordinat yang bergerak seperti itu, nama lain dari sumbu dan vektor satuannya digunakan. Itu baru saja diterima. Dalam hal ini, sumbu X diarahkan secara tangensial ke lintasan pada titik di mana objek ini berada saat ini. Dan kemudian sumbu ini tidak lagi disebut sumbu X, tetapi sumbu tangen, dan vektor satuannya tidak lagi dilambangkan Saya, sebuah τ . Sumbu Y diarahkan sepanjang jari-jari kelengkungan lintasan (dalam kasus gerakan dalam lingkaran - ke pusat lingkaran). Dan karena jari-jari tegak lurus terhadap garis singgung, sumbu disebut sumbu normal (tegak lurus dan normal adalah hal yang sama). Ort dari sumbu ini tidak lagi dilambangkan J, sebuah n. Sumbu ketiga (mantan Z) tegak lurus dengan dua sumbu sebelumnya. Ini adalah binormal dengan vektor B(Gbr. 12, kanan). Ngomong-ngomong, dalam hal ini sistem koordinat persegi panjang sering disebut sebagai “alami” atau natural.

Vektor dalam geometri adalah segmen berarah atau pasangan titik terurut dalam ruang Euclidean. Ortom vektor adalah vektor satuan dari ruang vektor bernorma atau vektor yang norma (panjangnya) sama dengan satu.

Anda akan perlu

pengetahuan geometri.

Petunjuk

Pertama, Anda perlu menghitung panjangnya vektor. Seperti yang Anda ketahui, panjang (modulus) vektor sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinat. Misalkan sebuah vektor dengan koordinat diberikan: a(3, 4). Maka panjangnya adalah |a| = (9 + 16)^1/2 atau |a|=5.

Untuk menemukan ort vektor a, perlu untuk membagi masing-masing dengan panjangnya. Hasilnya akan menjadi vektor, yang disebut ort atau vektor satuan. Untuk vektor a(3, 4) ort akan menjadi vektor a(3/5, 4/5). Vektor a` akan tunggal untuk vektor sebuah.

Untuk memeriksa apakah ort ditemukan dengan benar, Anda dapat melakukan hal berikut: temukan panjang ort yang diterima, jika sama dengan satu, maka semuanya ditemukan dengan benar, jika tidak, maka kesalahan telah merayap ke dalam perhitungan. Mari kita periksa apakah ort a` ditemukan dengan benar. Panjang vektor a` sama dengan: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Jadi, panjangnya vektor a` sama dengan satu, sehingga vektor satuan ditemukan dengan benar.

Juga akan ada tugas untuk solusi independen, di mana Anda dapat melihat jawabannya.

Konsep vektor

Sebelum Anda mempelajari semua tentang vektor dan operasinya, dengarkan untuk memecahkan masalah sederhana. Ada vektor perusahaan Anda dan vektor kemampuan inovatif Anda. Vektor kewirausahaan membawa Anda ke Sasaran 1, dan vektor kemampuan inovatif - ke Sasaran 2. Aturan mainnya sedemikian rupa sehingga Anda tidak dapat bergerak ke arah kedua vektor ini sekaligus dan mencapai dua tujuan sekaligus. Vektor berinteraksi, atau, secara matematis, beberapa operasi dilakukan pada vektor. Hasil dari operasi ini adalah vektor "Hasil", yang membawa Anda ke Sasaran 3.

Sekarang beri tahu saya: hasil operasi mana pada vektor "Perusahaan" dan "Kemampuan inovatif" adalah vektor "Hasil"? Jika Anda tidak bisa langsung mengatakannya, jangan berkecil hati. Saat Anda mempelajari pelajaran ini, Anda akan dapat menjawab pertanyaan ini.

Seperti yang telah kita lihat di atas, vektor pasti berasal dari beberapa titik SEBUAH dalam garis lurus ke beberapa titik B. Akibatnya, setiap vektor tidak hanya memiliki nilai numerik - panjang, tetapi juga arah fisik dan geometrik. Dari sini, definisi vektor yang pertama dan paling sederhana diturunkan. Jadi, vektor adalah segmen berarah yang berangkat dari suatu titik SEBUAH ke titik B. Ini ditandai seperti ini:

Dan untuk memulai yang berbeda operasi vektor , kita perlu mengenal satu lagi definisi vektor.

Vektor adalah semacam representasi dari suatu titik yang akan dicapai dari beberapa titik awal. Misalnya, vektor tiga dimensi biasanya ditulis sebagai (x, y, z) . Sederhananya, angka-angka ini mewakili seberapa jauh Anda harus pergi ke tiga arah yang berbeda untuk sampai ke intinya.

Biarkan vektor diberikan. Di mana x = 3 (tangan kanan menunjuk ke kanan) kamu = 1 (tangan kiri menunjuk ke depan) z = 5 (di bawah titik ada tangga menuju ke atas). Dari data ini, Anda akan menemukan titik dengan berjalan 3 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kanan, lalu 1 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kiri, dan kemudian sebuah tangga menunggu Anda dan, mendaki 5 meter, Anda akhirnya akan menemukan diri Anda pada titik akhir.

Semua istilah lain adalah penyempurnaan dari penjelasan yang disajikan di atas, yang diperlukan untuk berbagai operasi pada vektor, yaitu untuk memecahkan masalah praktis. Mari kita pergi melalui definisi yang lebih ketat ini, memikirkan masalah vektor yang khas.

Contoh fisik besaran vektor dapat berupa perpindahan titik material yang bergerak dalam ruang, kecepatan dan percepatan titik ini, serta gaya yang bekerja padanya.

vektor geometris direpresentasikan dalam ruang dua dimensi dan tiga dimensi dalam bentuk segmen terarah. Ini adalah segmen yang memiliki awal dan akhir.

Jika SEBUAH adalah awal dari vektor, dan B adalah ujungnya, maka vektor dilambangkan dengan simbol atau huruf kecil tunggal. Pada gambar, ujung vektor ditunjukkan oleh panah (Gbr. 1)

Panjang(atau modul) dari vektor geometri adalah panjang segmen yang menghasilkannya

Kedua vektor tersebut disebut setara , jika mereka dapat digabungkan (ketika arahnya bertepatan) dengan terjemahan paralel, yaitu. jika mereka sejajar, menunjuk ke arah yang sama dan memiliki panjang yang sama.

Dalam fisika, sering dianggap vektor yang disematkan, diberikan oleh titik aplikasi, panjang, dan arah. Jika titik penerapan vektor tidak menjadi masalah, maka vektor tersebut dapat dipindahkan, dengan menjaga panjang dan arahnya ke titik mana pun dalam ruang. Dalam hal ini, vektor disebut Gratis. Kami setuju untuk mempertimbangkan saja vektor gratis.

Operasi linier pada vektor geometris

Kalikan vektor dengan angka

produk vektor per nomor Sebuah vektor disebut vektor yang diperoleh dari vektor dengan peregangan (pada ) atau menyusut (pada ) kali, dan arah vektor dipertahankan jika , dan dibalik jika . (Gbr. 2)

Ini mengikuti dari definisi bahwa vektor dan = selalu terletak pada satu atau garis paralel. Vektor semacam itu disebut kolinear. (Anda juga dapat mengatakan bahwa vektor-vektor ini paralel, tetapi dalam aljabar vektor biasanya dikatakan "kolinear".) Kebalikannya juga benar: jika vektor dan collinear, maka mereka terkait dengan relasi

Oleh karena itu, persamaan (1) menyatakan kondisi kesejajaran dua buah vektor.

Penambahan dan pengurangan vektor

Saat menambahkan vektor, Anda perlu tahu bahwa jumlah vektor dan disebut vektor , awal yang bertepatan dengan awal vektor , dan akhir - dengan akhir vektor , asalkan awal vektor melekat pada akhir vektor . (Gbr. 3)

Definisi ini dapat didistribusikan melalui sejumlah vektor yang terbatas. Biarkan di ruang yang diberikan n vektor gratis. Saat menambahkan beberapa vektor, jumlah mereka diambil sebagai vektor penutup, yang awalnya bertepatan dengan awal vektor pertama, dan akhir dengan akhir vektor terakhir. Artinya, jika awal vektor dilampirkan ke ujung vektor, dan awal vektor ke ujung vektor, dll. dan, akhirnya, sampai akhir vektor - awal vektor, maka jumlah vektor-vektor ini adalah vektor penutup , yang awalnya bertepatan dengan awal vektor pertama , dan yang ujungnya bertepatan dengan akhir vektor terakhir . (Gbr. 4)

Suku-suku tersebut disebut komponen vektor, dan aturan yang dirumuskan adalah aturan poligon. Poligon ini mungkin tidak rata.

Ketika sebuah vektor dikalikan dengan angka -1, diperoleh vektor yang berlawanan. Vektor dan memiliki panjang yang sama dan arah yang berlawanan. Jumlah mereka memberi vektor nol, yang panjangnya nol. Arah vektor nol tidak ditentukan.

Dalam aljabar vektor, tidak perlu mempertimbangkan operasi pengurangan secara terpisah: mengurangkan vektor dari vektor berarti menambahkan vektor yang berlawanan ke vektor, mis.

Contoh 1 Sederhanakan ekspresi:

yaitu, vektor dapat ditambahkan dan dikalikan dengan angka dengan cara yang sama seperti polinomial (khususnya, juga masalah untuk menyederhanakan ekspresi). Biasanya, kebutuhan untuk menyederhanakan ekspresi serupa secara linier dengan vektor muncul sebelum menghitung produk vektor.

Contoh 2 Vektor dan berfungsi sebagai diagonal jajar genjang ABCD (Gbr. 4a). Nyatakan dalam dan vektor , , Dan , Yang merupakan sisi jajaran genjang ini.

Larutan. Titik potong diagonal-diagonal jajar genjang membagi dua setiap diagonalnya. Panjang vektor yang diperlukan dalam kondisi masalah ditemukan baik sebagai setengah jumlah vektor yang membentuk segitiga dengan yang diinginkan, atau sebagai setengah perbedaan (tergantung pada arah vektor yang berfungsi sebagai diagonal), atau, seperti dalam kasus terakhir, setengah jumlah yang diambil dengan tanda minus. Hasilnya adalah vektor-vektor yang dibutuhkan dalam kondisi masalah:

Ada banyak alasan untuk percaya bahwa Anda sekarang menjawab dengan benar pertanyaan tentang vektor "Perusahaan" dan "Kemampuan inovatif" di awal pelajaran ini. Jawaban yang benar: vektor-vektor ini dikenai operasi penjumlahan.

Selesaikan masalah vektor sendiri, lalu lihat solusinya

Bagaimana cara mencari panjang jumlah vektor?

Masalah ini menempati tempat khusus dalam operasi dengan vektor, karena melibatkan penggunaan sifat trigonometri. Katakanlah Anda memiliki tugas seperti berikut:

Diketahui panjang vektor dan panjang jumlah dari vektor-vektor ini. Hitunglah panjang selisih vektor-vektor tersebut.

Solusi untuk ini dan masalah serupa lainnya serta penjelasan tentang cara menyelesaikannya - dalam pelajaran " Penjumlahan vektor: panjang penjumlahan vektor dan teorema kosinus ".

Dan Anda dapat memeriksa solusi dari masalah tersebut di Kalkulator online "Sisi segitiga yang tidak diketahui (penjumlahan vektor dan teorema kosinus)" .

Dimanakah hasil kali vektor?

Produk dari vektor oleh vektor bukan operasi linier dan dianggap terpisah. Dan kami memiliki pelajaran "Perkalian Titik dari Vektor" dan "Vektor dan Perkalian Campuran Vektor".

Proyeksi vektor ke sumbu

Proyeksi vektor ke sumbu sama dengan produk dari panjang vektor yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:

Seperti diketahui, proyeksi suatu titik SEBUAH pada garis (bidang) adalah alas tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke garis (bidang).

Biarkan - vektor arbitrer (Gbr. 5), dan dan - proyeksi awalnya (titik SEBUAH) dan akhir (titik B) per poros aku. (Untuk membangun proyeksi suatu titik SEBUAH) tarik lurus melalui titik SEBUAH bidang yang tegak lurus terhadap garis. Perpotongan garis dan bidang akan menentukan proyeksi yang diperlukan.

komponen vektor pada sumbu l disebut vektor seperti itu yang terletak pada sumbu ini, yang awalnya bertepatan dengan proyeksi awal, dan akhir - dengan proyeksi akhir vektor .

Proyeksi vektor ke sumbu aku disebut nomor

sama dengan panjang vektor komponen pada sumbu ini, diambil dengan tanda tambah jika arah komponen bertepatan dengan arah sumbu aku, dan dengan tanda minus jika arah ini berlawanan.

Properti utama proyeksi vektor pada sumbu:

1. Proyeksi vektor yang sama pada sumbu yang sama adalah sama satu sama lain.

2. Ketika sebuah vektor dikalikan dengan angka, proyeksinya dikalikan dengan angka yang sama.

3. Proyeksi jumlah vektor pada sembarang sumbu sama dengan jumlah proyeksi pada sumbu yang sama dari suku-suku vektor.

4. Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu sama dengan hasil kali panjang vektor yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:

Larutan. Mari kita proyeksikan vektor ke sumbu aku seperti yang didefinisikan dalam referensi teoritis di atas. Dari Gambar 5a terlihat bahwa proyeksi jumlah vektor sama dengan jumlah proyeksi vektor. Kami menghitung proyeksi ini:

Kami menemukan proyeksi akhir dari jumlah vektor:

Hubungan vektor dengan sistem koordinat kartesius persegi panjang di ruang angkasa

Kenalan dengan sistem koordinat Cartesian persegi panjang di ruang angkasa berlangsung di pelajaran yang sesuai, sebaiknya buka di jendela baru.

Dalam sistem sumbu koordinat yang teratur 0xyz sumbu Sapi ditelepon sumbu x, sumbu 0 tahun – sumbu y, dan sumbu 0z – menerapkan sumbu.

dengan titik sewenang-wenang M vektor dasi ruang angkasa

ditelepon vektor radius poin M dan memproyeksikannya ke masing-masing sumbu koordinat. Mari kita tunjukkan nilai proyeksi yang sesuai:

angka x, y, z ditelepon koordinat titik M, masing-masing absis, ordinat dan aplikasi, dan ditulis sebagai titik bilangan berurutan: M(x; y; z)(Gbr. 6).

Vektor satuan panjang yang arahnya berimpit dengan arah sumbu disebut vektor satuan(atau ortom) sumbu. Dilambangkan dengan

Dengan demikian, vektor satuan dari sumbu koordinat Sapi, Oy, Ons

Dalil. Setiap vektor dapat didekomposisi menjadi vektor satuan dari sumbu koordinat:

(2)

Persamaan (2) disebut perluasan vektor sepanjang sumbu koordinat. Koefisien ekspansi ini adalah proyeksi vektor ke sumbu koordinat. Dengan demikian, koefisien ekspansi (2) dari vektor sepanjang sumbu koordinat adalah koordinat vektor.

Setelah memilih sistem koordinat tertentu dalam ruang, vektor dan rangkap tiga koordinatnya secara unik menentukan satu sama lain, sehingga vektor dapat ditulis dalam bentuk

Representasi vektor dalam bentuk (2) dan (3) identik.

Kondisi vektor collinear dalam koordinat

Seperti yang telah kita catat, vektor disebut collinear jika mereka terkait dengan relasi

Biarkan vektor . Vektor-vektor tersebut kolinear jika koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut dihubungkan oleh relasi

yaitu, koordinat vektor sebanding.

Contoh 6 Diberikan vektor . Apakah vektor-vektor ini kolinear?

Larutan. Mari kita cari tahu rasio koordinat vektor-vektor ini:

Koordinat vektor-vektornya proporsional, oleh karena itu, vektor-vektornya sejajar, atau, yang sama, paralel.

Panjang vektor dan arah cosinus

Karena saling tegak lurus sumbu koordinat, panjang vektor

sama dengan panjang diagonal dari parallelepiped persegi panjang yang dibangun di atas vektor

dan dinyatakan dengan persamaan

(4)

Sebuah vektor didefinisikan sepenuhnya dengan menentukan dua titik (awal dan akhir), sehingga koordinat vektor dapat dinyatakan dalam koordinat titik-titik ini.

Biarkan awal vektor dalam sistem koordinat yang diberikan berada di titik

dan akhirnya pada intinya

Dari kesetaraan

Mengikuti itu

atau dalam bentuk koordinat

Karena itu, koordinat vektor sama dengan selisih koordinat nama akhir dan awal vektor yang sama . Rumus (4) dalam hal ini berbentuk

Arah vektor ditentukan cosinus arah . Ini adalah kosinus sudut yang dibuat vektor dengan sumbu Sapi, Oy dan Ons. Mari kita tentukan masing-masing sudut ini α , β dan γ . Kemudian kosinus dari sudut-sudut ini dapat ditemukan dengan rumus

Kosinus arah suatu vektor juga merupakan koordinat vektor vektor dan dengan demikian vektor vektor