Bentuk standar persamaan kuadrat. Bagaimana memecahkan persamaan kuadrat

Saya harap setelah mempelajari artikel ini, Anda akan belajar cara mencari akar persamaan kuadrat lengkap.

Dengan bantuan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan tidak lengkap persamaan kuadrat gunakan metode lain yang akan Anda temukan di artikel "Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap".

Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? dia persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Anda perlu menghitung diskriminan D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Bergantung pada nilai yang dimiliki oleh diskriminan, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminan adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminan adalah nol, maka x \u003d (-b) / 2a. Ketika diskriminan nomor positif(D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Sebagai contoh. memecahkan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Jawab: - 3,5; satu.

Jadi mari kita bayangkan solusi persamaan kuadrat lengkap dengan skema pada Gambar 1.

Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan ditulis sebagai polinomial bentuk standar

sebuah x 2 + bx + c, jika tidak, Anda dapat membuat kesalahan. Misalnya, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda bisa salah memutuskannya

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 dan kemudian persamaan tersebut memiliki dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat contoh 2 solusi di atas).

Oleh karena itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bentuk standar, persamaan kuadrat lengkap harus ditulis terlebih dahulu sebagai polinomial bentuk standar (pertama-tama harus ada monomial dengan eksponen terbesar, yaitu sebuah x 2 , lalu dengan lebih sedikit – bx, lalu istilah bebas Dengan.

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat di atas dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk suku kedua, rumus lain juga dapat digunakan. Mari berkenalan dengan rumus-rumus ini. Jika dalam persamaan kuadrat penuh dengan suku kedua koefisiennya genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 2.

Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisien di x 2 sama dengan kesatuan dan persamaan mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk dipecahkan, atau diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisien sebuah berdiri di x 2 .

Gambar 3 menunjukkan diagram solusi dari kuadrat tereduksi
persamaan. Perhatikan contoh penerapan rumus yang dibahas dalam artikel ini.

Contoh. memecahkan persamaan

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada Gambar 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Jawaban: -1 - √3; –1 + √3

Anda dapat melihat bahwa koefisien pada x dalam persamaan ini adalah bilangan genap, yaitu b \u003d 6 atau b \u003d 2k, dimana k \u003d 3. Kemudian mari kita coba selesaikan persamaan tersebut menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram gambar D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Jawaban: -1 - √3; –1 + √3. Memperhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan membaginya, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x - 2 = 0 Kami menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus kuadrat tereduksi
persamaan gambar 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Jawaban: -1 - √3; –1 + √3.

Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus berbeda, kami mendapat jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 1 dengan baik, Anda selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan solusi persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Tapi pertama-tama, mari kita ulangi persamaan apa yang disebut kuadrat. Persamaan dalam bentuk ax 2 + bx + c \u003d 0, di mana x adalah variabel, dan koefisien a, b dan c adalah beberapa angka, dan a ≠ 0, disebut kotak. Seperti yang bisa kita lihat, koefisien pada x 2 tidak sama dengan nol, oleh karena itu koefisien pada x atau suku bebasnya bisa sama dengan nol, dalam hal ini kita mendapatkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

1) Jika b \u003d 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c \u003d 0;

2) Jika b ≠ 0, c \u003d 0, maka ax 2 + bx \u003d 0;

3) Jika b \u003d 0, c \u003d 0, maka ax 2 \u003d 0.

  • Mari kita lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan, kita pindahkan suku bebas dari ruas kanan persamaan, kita dapatkan

kapak 2 = ‒s. Karena a ≠ 0, maka kedua bagian persamaan tersebut kita bagi dengan a, lalu x 2 \u003d -c / a.

Jika ‒с/а > 0, maka persamaan tersebut memiliki dua akar

x = ±√(–c/a) .

Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari kita coba memahami dengan contoh bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 - 32 = 0.

Jawab: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.

Jawab: Persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

  • Mari kita lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx \u003d 0 kita uraikan menjadi faktor, yaitu kita keluarkan x dari tanda kurung, kita dapatkan x (ax + b) \u003d 0. Produknya nol jika setidaknya salah satu dari faktor adalah nol. Maka х = 0 atau ах + b = 0. Memecahkan persamaan ах + b = 0, kita memperoleh ах = – b, di mana х = – b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx \u003d 0 selalu memiliki dua akar x 1 \u003d 0 dan x 2 \u003d - b / a. Lihat bagaimana solusi persamaan jenis ini terlihat pada diagram.

Mari kita konsolidasi pengetahuan kita pada contoh spesifik.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 atau 3x - 12 \u003d 0

Jawab: x 1 = 0, x 2 = 4.

  • Persamaan tipe ketiga ax 2 = 0 dipecahkan dengan sangat sederhana.

Jika ax 2 \u003d 0, maka x 2 \u003d 0. Persamaan tersebut memiliki dua akar yang sama x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Untuk kejelasan, perhatikan diagram.

Saat memecahkan Contoh 4, kami akan memastikan bahwa persamaan jenis ini diselesaikan dengan sangat sederhana.

Contoh 4 Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.

Jawaban: x 1, 2 = 0.

Tidak selalu jelas persamaan kuadrat tidak lengkap seperti apa yang harus kita selesaikan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 5 memecahkan persamaan

Kalikan kedua sisi persamaan dengan penyebut yang sama, yaitu dengan 30

Ayo potong

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Mari kita buka tanda kurung

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Berikut adalah serupa

Pindahkan 99 dari sisi kiri persamaan ke sisi kanan, ubah tandanya menjadi kebalikannya

Jawaban: tidak ada akar.

Kami telah menganalisis bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Saya harap sekarang Anda tidak akan mengalami kesulitan dengan tugas-tugas seperti itu. Berhati-hatilah saat menentukan jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap, maka Anda akan berhasil.

Jika Anda memiliki pertanyaan tentang topik ini, daftar ke pelajaran saya, kami akan menyelesaikan masalah bersama.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Deskripsi bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat // Ilmuwan muda. 2016. №6.1. S.17-20..02.2019).





Proyek kami didedikasikan untuk cara memecahkan persamaan kuadrat. Tujuan proyek: mempelajari cara memecahkan persamaan kuadrat dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: temukan semuanya cara yang mungkin selesaikan persamaan kuadrat dan pelajari cara menggunakannya sendiri dan perkenalkan metode ini kepada teman sekelas.

Apa itu "persamaan kuadrat"?

Persamaan kuadrat- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, di mana sebuah, b, c- beberapa angka ( a ≠ 0), x- tidak dikenal.

Angka a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat.

  • a disebut koefisien pertama;
  • b disebut koefisien kedua;
  • c - anggota gratis.

Dan siapa yang pertama "menemukan" persamaan kuadrat?

Beberapa teknik aljabar untuk menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat telah dikenal sejak 4000 tahun yang lalu di Babel Kuno. Tablet tanah liat Babilonia kuno yang ditemukan, bertanggal antara 1800 dan 1600 SM, adalah bukti paling awal dari studi persamaan kuadrat. Tablet yang sama berisi metode untuk memecahkan jenis persamaan kuadrat tertentu.

Kebutuhan untuk memecahkan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan daerah. petak tanah dan dengan pekerjaan tanah sifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri.

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan persamaan modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya. Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, dalam teks paku tidak ada konsep bilangan negatif dan metode umum solusi persamaan kuadrat.

Matematikawan Babilonia dari sekitar abad ke-4 SM. menggunakan metode komplemen kuadrat untuk menyelesaikan persamaan dengan akar positif. Sekitar 300 SM. Euclid datang dengan metode solusi geometris yang lebih umum. Matematikawan pertama yang menemukan solusi persamaan dengan akar negatif dalam bentuk rumus aljabar, adalah seorang ilmuwan India Brahmagupta(India, abad ke-7 M).

Brahmagupta menguraikan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi satu bentuk kanonik:

ax2 + bx = c, a>0

Dalam persamaan ini, koefisiennya bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Di India, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: “Saat matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka pria ilmuwan menutupi kemuliaan majelis populer, menyarankan dan memecahkan masalah aljabar". Tugas sering berpakaian dalam bentuk puitis.

Dalam risalah aljabar Al-Khawarizmi klasifikasi persamaan linier dan kuadrat diberikan. Penulis mencantumkan 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) "Kuadrat sama dengan akar", yaitu ax2 = bx.

2) "Kuadrat sama dengan angka", yaitu ax2 = c.

3) "Akar sama dengan angka", yaitu ax2 = c.

4) "Kuadrat dan angka sama dengan akar", yaitu ax2 + c = bx.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 + bx = c.

6) "Akar dan angka sama dengan kuadrat", yaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku dari masing-masing persamaan tersebut adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode penyelesaian persamaan tersebut, dengan menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tipe pertama yang tidak lengkap, Al-Khawarizmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan nol. solusi, mungkin karena dalam tugas-tugas praktis tertentu, itu tidak masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian bukti geometrisnya.

Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat pada model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dijelaskan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202. matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru dari pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif.

Buku ini berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari buku ini dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropa pada abad ke-14 hingga ke-17. Peraturan umum solusi persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c, dirumuskan di Eropa pada tahun 1544. M.Stiefel.

Penurunan rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat di pandangan umum Viet punya, tetapi Viet hanya mengenali akar positif. matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli pertama di abad ke-16. memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. berkat kerja Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lain, cara memecahkan persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Pertimbangkan beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Cara standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dari kurikulum sekolah:

  1. Faktorisasi ruas kiri persamaan.
  2. Metode pemilihan kuadrat penuh.
  3. Solusi persamaan kuadrat dengan rumus.
  4. Solusi grafis dari persamaan kuadrat.
  5. Solusi persamaan menggunakan teorema Vieta.

Mari kita bahas lebih detail tentang solusi persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi menggunakan teorema Vieta.

Ingatlah bahwa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang diberikan, cukup menemukan dua bilangan yang produknya sama dengan suku bebas, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan.

Contoh.x 2 -5x+6=0

Anda perlu menemukan angka yang produknya 6 dan jumlahnya 5. Angka-angka ini akan menjadi 3 dan 2.

Jawaban: x 1 =2,x 2 =3.

Tetapi Anda dapat menggunakan metode ini untuk persamaan dengan koefisien pertama tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Kita mengambil koefisien pertama dan mengalikannya dengan suku bebas: x 2 +2x-15=0

Akar dari persamaan ini adalah angka yang produknya sama dengan - 15, dan jumlahnya sama dengan - 2. Angka-angka ini adalah 5 dan 3. Untuk mencari akar persamaan awal, kita membagi akar yang diperoleh dengan koefisien pertama .

Jawaban: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Solusi persamaan dengan metode "transfer".

Pertimbangkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, di mana a≠0.

Mengalikan kedua bagiannya dengan a, kita mendapatkan persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Misalkan ax = y, di mana x = y/a; kemudian kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, yang setara dengan yang diberikan. Kami menemukan akarnya pada 1 dan 2 menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita mendapatkan x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan metode ini, koefisien a dikalikan dengan suku bebasnya, seolah-olah "dipindahkan" ke dalamnya, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan ketika mudah untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, ketika diskriminan adalah kuadrat yang tepat.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari kita "transfer" koefisien 2 ke suku bebas dan menggantinya dengan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Menurut teorema invers Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Jawaban: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

Misalkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 diberikan.

1. Jika a + b + c \u003d 0 (yaitu jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x 1 \u003d 1.

2. Jika a - b + c \u003d 0, atau b \u003d a + c, maka x 1 \u003d - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Karena a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), maka x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Jawaban: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Karena a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), lalu x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Jawaban: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ada sifat lain dari koefisien persamaan kuadrat. tetapi penggunaannya lebih rumit.

8. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Gambar 1. Nomogram

Ini adalah metode lama dan saat ini terlupakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ditempatkan di halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Tabel XXII. Nomogram untuk Pemecahan Persamaan z2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dengan koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibangun sesuai dengan rumus (Gbr. 1):

Asumsi OS = p, ED = q, OE = a(semuanya dalam cm), dari Gambar 1 kesamaan segitiga SAN dan CDF kita mendapatkan proporsinya

dimana, setelah substitusi dan penyederhanaan, persamaan berikut z 2 + pz + q = 0, dan surat itu z berarti label dari setiap titik pada skala melengkung.

Beras. 2 Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan akar z 1 = 8.0 dan z 2 = 1.0

Jawaban: 8.0; 1.0.

2) Selesaikan persamaan menggunakan nomogram

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bagilah koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.

Jawaban: 4; 0,5.

9. Metode geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: "Akar kuadrat dan sepuluh sama dengan 39."

Pertimbangkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibangun pada sisi-sisinya sehingga sisi lainnya masing-masing adalah 2,5, oleh karena itu luas masing-masing adalah 2,5x. Angka yang dihasilkan kemudian ditambahkan ke kotak ABCD baru, menyelesaikan empat kotak yang sama di sudut-sudutnya, sisi masing-masing adalah 2,5, dan luasnya adalah 6,25

Beras. 3 Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asli x 2, empat persegi panjang (4 ∙ 2,5x = 10x) dan empat persegi terpasang (6,25 ∙ 4 = 25), mis. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Mengganti x 2 + 10x dengan angka 39, kita mendapatkan S \u003d 39 + 25 \u003d 64, yang menyiratkan bahwa sisi persegi ABCD, yaitu. ruas AB \u003d 8. Untuk sisi x yang diinginkan dari bujur sangkar awal, kita dapatkan

10. Solusi persamaan menggunakan teorema Bezout.

Teorema Bezout. Sisanya setelah membagi polinomial P(x) dengan binomial x - α sama dengan P(α) (yaitu, nilai P(x) pada x = α).

Jika bilangan α adalah akar dari polinomial P(x), maka polinomial ini habis dibagi x -α tanpa sisa.

Contoh.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Bagilah P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; Jawaban: x1 =2, x2 =3.

Kesimpulan: Kemampuan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan rasional sangat diperlukan untuk menyelesaikan lebih banyak persamaan yang kompleks, misalnya, persamaan pecahan-rasional, persamaan derajat yang lebih tinggi, persamaan bikuadrat, dan in SMA persamaan trigonometri, eksponensial dan logaritmik. Setelah mempelajari semua cara yang ditemukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kami dapat menyarankan teman sekelas, kecuali cara standar, solusi dengan metode transfer (6) dan solusi persamaan dengan properti koefisien (7), karena lebih mudah diakses untuk dipahami.

Literatur:

  1. Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
  2. Aljabar kelas 8: buku teks untuk kelas 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B.ed. S. A. Telyakovsky edisi ke-15, direvisi. - M.: Pencerahan, 2015
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Panduan untuk guru. / Red. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.

persamaan kuadrat. Diskriminan. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Jenis persamaan kuadrat

Apa itu persamaan kuadrat? Seperti apa bentuknya? Dalam ketentuan persamaan kuadrat kata kunci adalah "kotak". Artinya dalam persamaan perlu harus ada x kuadrat. Selain itu, dalam persamaan mungkin ada (atau mungkin tidak!) Hanya x (sampai tingkat pertama) dan hanya angka (anggota bebas). Dan tidak boleh ada x dalam derajat yang lebih besar dari dua.

Dalam istilah matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk:

Di Sini a, b dan c- beberapa angka. b dan c- benar-benar apapun, tapi sebuah- apa pun kecuali nol. Sebagai contoh:

Di Sini sebuah =1; b = 3; c = -4

Di Sini sebuah =2; b = -0,5; c = 2,2

Di Sini sebuah =-3; b = 6; c = -18

Nah, Anda mendapatkan ide ...

Dalam persamaan kuadrat ini, di sebelah kiri, ada set lengkap anggota. x kuadrat dengan koefisien sebuah, x pangkat pertama dengan koefisien b dan anggota bebas dari

Persamaan kuadrat seperti itu disebut menyelesaikan.

Bagaimana jika b= 0, apa yang akan kita dapatkan? Kita punya X akan hilang pada derajat pertama. Ini terjadi dari mengalikan dengan nol.) Ternyata, misalnya:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dll. Dan jika kedua koefisien b dan c sama dengan nol, maka lebih sederhana lagi:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Persamaan seperti itu, di mana ada sesuatu yang hilang, disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang cukup logis.) Harap dicatat bahwa x kuadrat ada di semua persamaan.

Ngomong-ngomong kenapa sebuah tidak bisa nol? Dan Anda menggantinya sebuah nol.) X di kotak akan hilang! Persamaan akan menjadi linier. Dan itu dilakukan secara berbeda...

Itu semua jenis utama persamaan kuadrat. Lengkap dan tidak lengkap.

Solusi persamaan kuadrat.

Solusi persamaan kuadrat lengkap.

Persamaan kuadrat mudah dipecahkan. Menurut rumus dan aturan sederhana yang jelas. Pada tahap pertama, persamaan yang diberikan perlu dibawa ke bentuk standar, yaitu. ke tampilan:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama.) Yang utama adalah menentukan semua koefisien dengan benar, sebuah, b dan c.

Rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminatif. Tetapi lebih banyak tentang dia di bawah ini. Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan x, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti saja nilainya dengan hati-hati a, b dan c ke dalam rumus ini dan hitung. Pengganti dengan tanda-tanda Anda! Misalnya, dalam persamaan:

sebuah =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulis:

Contoh hampir terpecahkan:

Inilah jawabannya.

Semuanya sangat sederhana. Dan bagaimana menurut Anda, Anda tidak bisa salah? Ya, bagaimana ...

Kesalahan paling umum adalah kebingungan dengan tanda-tanda nilai a, b dan c. Atau lebih tepatnya, bukan dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), Tetapi dengan substitusi nilai negatif ke dalam rumus menghitung akar. Di sini, catatan terperinci dari rumus dengan nomor tertentu disimpan. Jika ada masalah dengan perhitungan, jadi lakukanlah!

Misalkan kita perlu memecahkan contoh berikut:

Di Sini sebuah = -6; b = -5; c = -1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapat jawaban pertama kali.

Yah, jangan malas. Butuh 30 detik untuk menulis baris tambahan dan jumlah kesalahan akan merosot tajam. Jadi kami menulis secara detail, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk melukis dengan sangat hati-hati. Tapi sepertinya. Cobalah. Nah, atau pilih. Mana yang lebih baik, cepat, atau benar? Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu mengecat semuanya dengan hati-hati. Itu hanya akan menjadi benar. Apalagi jika Anda menerapkan teknik praktis yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak kekurangan ini akan diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Namun, seringkali, persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya, seperti ini:

Tahukah kamu?) Ya! dia persamaan kuadrat tidak lengkap.

Solusi persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mereka juga dapat diselesaikan dengan rumus umum. Anda hanya perlu mencari tahu dengan benar apa yang sama di sini a, b dan c.

Diwujudkan? Pada contoh pertama a = 1; b = -4; sebuah c? Itu tidak ada sama sekali! Ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Gantikan nol ke dalam rumus alih-alih c, dan semuanya akan berhasil bagi kita. Begitu pula dengan contoh kedua. Hanya nol yang tidak kita miliki di sini Dengan, sebuah b !

Tetapi persamaan kuadrat yang tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa formula apapun. Pertimbangkan yang pertama persamaan yang tidak lengkap. Apa yang bisa dilakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.

Dan bagaimana dengan itu? Dan fakta bahwa produknya sama dengan nol jika, dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya? Nah, kemudian munculkan dua angka bukan nol yang, jika dikalikan, akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Sesuatu...
Oleh karena itu, kami dapat dengan percaya diri menulis: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semuanya. Ini akan menjadi akar dari persamaan kita. Keduanya cocok. Saat mensubstitusi salah satu dari mereka ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, solusinya jauh lebih sederhana daripada rumus umum. Saya perhatikan, ngomong-ngomong, X mana yang akan menjadi yang pertama, dan mana yang kedua - sama sekali tidak peduli. Mudah ditulis secara berurutan x 1- mana yang kurang x 2- yang lebih.

Persamaan kedua juga dapat dengan mudah dipecahkan. Kami memindahkan 9 ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Tetap mengekstrak root dari 9, dan hanya itu. Mendapatkan:

juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Baik dengan menghilangkan X dari tanda kurung, atau dengan hanya memindahkan angkanya ke kanan, diikuti dengan mengekstrak akarnya.
Sangat sulit untuk membingungkan metode ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root dari X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang dapat diambil dari tanda kurung ...

Diskriminan. Formula diskriminan.

Kata ajaib diskriminatif ! Seorang siswa sekolah menengah yang langka belum pernah mendengar kata ini! Ungkapan "memutuskan melalui diskriminan" meyakinkan dan meyakinkan. Karena tidak perlu menunggu trik dari diskriminan! Ini sederhana dan bebas masalah dalam penanganannya.) Saya paling mengingatkan Anda rumus umum untuk solusi setiap persamaan kuadrat:

Ungkapan di bawah tanda akar disebut diskriminan. Diskriminan biasanya dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminan:

D = b 2 - 4ac

Dan apa yang istimewa dari ungkapan ini? Mengapa itu pantas diberi nama khusus? Apa yang dimaksud dengan diskriminan? Lagipula -b, atau 2a dalam rumus ini mereka tidak secara khusus menyebutkan ... Huruf dan huruf.

Intinya adalah ini. Saat memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini, itu mungkin hanya tiga kasus.

1. Diskriminan positif. Ini berarti Anda dapat mengekstrak root darinya. Apakah root diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Penting apa yang diekstrak pada prinsipnya. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi berbeda.

2. Diskriminan adalah nol. Maka Anda punya satu solusi. Karena penjumlahan atau pengurangan nol pada pembilangnya tidak mengubah apapun. Sebenarnya, ini bukan akar tunggal, tapi dua identik. Tapi, dalam versi yang disederhanakan, sudah biasa dibicarakan satu solusi.

3. Diskriminan adalah negatif. Angka negatif tidak mengambil akar kuadrat. Baiklah. Ini berarti tidak ada solusi.

Sejujurnya, di solusi sederhana persamaan kuadrat, konsep diskriminan tidak terlalu diperlukan. Kami mengganti nilai koefisien dalam rumus, dan kami mempertimbangkan. Di sana semuanya berubah dengan sendirinya, dan dua akar, dan satu, dan bukan satu pun. Namun, saat menyelesaikan tugas yang lebih kompleks, tanpa sepengetahuan makna dan rumus diskriminan tidak cukup. Terutama - dalam persamaan dengan parameter. Persamaan seperti itu adalah aerobatik untuk GIA dan Ujian Negara Bersatu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan yang Anda ingat. Atau dipelajari, yang juga lumayan.) Anda tahu cara mengidentifikasi dengan benar a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya dengan hati-hati substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan hati-hati menghitung hasilnya. Apakah Anda mengerti bahwa kata kuncinya di sini adalah - dengan hati-hati?

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara dramatis mengurangi jumlah kesalahan. Hal-hal yang disebabkan oleh kurangnya perhatian ... Yang kemudian menyakitkan dan menghina ...

Penerimaan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat untuk membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Misalkan, setelah transformasi apa pun, Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan buru-buru menuliskan rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mengacaukan peluang a, b dan c. Bangun contoh dengan benar. Pertama, x kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu anggota bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Minus sebelum x kuadrat bisa membuat Anda sangat kesal. Lupa itu gampang... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan di topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Dan sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus akar, menghitung diskriminan dan menyelesaikan contohnya. Putuskan sendiri. Anda harus berakhir dengan akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akar Anda! Menurut teorema Vieta. Jangan khawatir, saya akan menjelaskan semuanya! Memeriksa hal terakhir persamaan. Itu. yang dengannya kami menuliskan rumus akarnya. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien a = 1, periksa akarnya dengan mudah. Cukup dengan memperbanyaknya. Anda harus mendapatkan istilah gratis, mis. dalam kasus kami -2. Perhatikan, bukan 2, tapi -2! anggota bebas dengan tandamu . Jika tidak berhasil, itu berarti mereka sudah mengacau di suatu tempat. Cari kesalahan.

Jika berhasil, Anda perlu melipat akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Harus rasio b Dengan di depan tanda. Dalam kasus kami -1+2 = +1. Koefisien b, yang sebelum x, sama dengan -1. Jadi, semuanya benar!
Sangat disayangkan bahwa ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien a = 1. Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Akan ada lebih sedikit kesalahan.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, singkirkan pecahannya! Kalikan persamaan dengan penyebut yang sama seperti yang dijelaskan dalam pelajaran "Bagaimana menyelesaikan persamaan? Transformasi identitas". Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan, karena alasan tertentu, naik ...

Ngomong-ngomong, saya menjanjikan contoh jahat dengan banyak kekurangan untuk disederhanakan. Silahkan! Ini dia.

Agar tidak bingung dengan minusnya, kita kalikan persamaannya dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Memutuskan itu menyenangkan!

Jadi mari kita rekap topiknya.

Kiat Praktis:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, membangunnya Baik.

2. Jika ada koefisien negatif di depan x di dalam kotak, kita hilangkan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahannya dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang bersesuaian.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diperiksa dengan teorema Vieta. Lakukan!

Sekarang Anda dapat memutuskan.)

Selesaikan Persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawaban (berantakan):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - nomor apa pun

x 1 = -3
x 2 = 3

tidak ada solusi

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Apakah semuanya cocok? Bagus sekali! Persamaan kuadrat bukan milik Anda sakit kepala. Tiga yang pertama berhasil, tetapi sisanya tidak? Maka masalahnya bukan pada persamaan kuadrat. Masalahnya ada pada transformasi persamaan yang identik. Coba lihat linknya, semoga bermanfaat.

Tidak cukup berhasil? Atau tidak bekerja sama sekali? Maka Bagian 555 akan membantu Anda Di sana, semua contoh ini diurutkan berdasarkan tulang. Menampilkan utama kesalahan dalam penyelesaian. Tentu saja, penerapan transformasi identik dalam menyelesaikan berbagai persamaan juga dijelaskan. Sangat membantu!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Melanjutkan topik “Menyelesaikan Persamaan”, materi dalam artikel ini akan memperkenalkan Anda pada persamaan kuadrat.

Mari pertimbangkan semuanya secara mendetail: esensi dan notasi persamaan kuadrat, tentukan suku-suku terkait, analisis skema untuk menyelesaikan persamaan tidak lengkap dan lengkap, berkenalan dengan rumus akar dan diskriminan, membangun hubungan antara akar dan koefisien, dan tentu saja kami akan memberikan solusi visual dari contoh-contoh praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan kuadrat, tipe-tipenya

Definisi 1

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang ditulis sebagai a x 2 + b x + c = 0, di mana x– variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, sementara sebuah tidak nol.

Seringkali, persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sebenarnya persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat kedua.

Mari berikan contoh untuk mengilustrasikan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi 2

Bilangan a , b dan c adalah koefisien dari persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, sedangkan koefisien sebuah disebut yang pertama, atau senior, atau koefisien di x 2, b - koefisien kedua, atau koefisien di x, sebuah c disebut anggota bebas.

Misalnya pada persamaan kuadrat 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 koefisien tertinggi adalah 6 , koefisien kedua adalah − 2 , dan suku bebasnya sama dengan − 11 . Mari kita perhatikan fakta bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, maka bentuk pendek catatan formulir 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, tapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Mari kita perjelas juga aspek ini: jika koefisiennya sebuah dan/atau b setara 1 atau − 1 , maka mereka tidak boleh mengambil bagian eksplisit dalam penulisan persamaan kuadrat, yang dijelaskan dengan kekhasan penulisan koefisien numerik yang ditunjukkan. Misalnya pada persamaan kuadrat y 2 − y + 7 = 0 koefisien senior adalah 1 dan koefisien kedua adalah − 1 .

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Menurut nilai koefisien pertama, persamaan kuadrat dibagi menjadi tereduksi dan tidak tereduksi.

Definisi 3

Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan kuadrat dengan koefisien utamanya adalah 1 . Untuk nilai koefisien utama lainnya, persamaan kuadrat tidak direduksi.

Berikut beberapa contohnya: persamaan kuadrat x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 dikurangi, yang masing-masing koefisien utamanya adalah 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- persamaan kuadrat tak tereduksi, di mana koefisien pertama berbeda dari 1 .

Persamaan kuadrat apa pun yang tidak tereduksi dapat diubah menjadi persamaan tereduksi dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien pertama (transformasi ekuivalen). Persamaan yang diubah akan memiliki akar yang sama dengan persamaan tak tereduksi yang diberikan atau juga tidak memiliki akar sama sekali.

Pertimbangan studi kasus akan memungkinkan kita mendemonstrasikan secara visual transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi.

Contoh 1

Diketahui persamaan 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Penting untuk mengubah persamaan asli menjadi bentuk tereduksi.

Larutan

Menurut skema di atas, kami membagi kedua bagian persamaan asli dengan koefisien utama 6 . Kemudian kita mendapatkan: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, dan ini sama dengan: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 dan selanjutnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Dengan demikian, persamaan yang setara dengan yang diberikan diperoleh.

Menjawab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih ke definisi persamaan kuadrat. Di dalamnya, kami menentukan itu a ≠ 0. Kondisi serupa diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c = 0 persis persegi, karena a = 0 itu pada dasarnya berubah menjadi persamaan linier bx + c = 0.

Dalam kasus di mana koefisien b dan c sama dengan nol (yang dimungkinkan, baik secara individu maupun bersama-sama), persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0, di mana setidaknya salah satu koefisien b dan c(atau keduanya) adalah nol.

Selesaikan persamaan kuadrat adalah persamaan kuadrat yang semua koefisien numeriknya tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas mengapa jenis persamaan kuadrat diberi nama seperti itu.

Untuk b = 0, persamaan kuadrat mengambil bentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadrat ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 = 0, yang setara a x 2 + b x = 0. Pada b = 0 dan c = 0 persamaan akan mengambil bentuk a x 2 = 0. Persamaan yang kita peroleh berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya sekaligus. Sebenarnya, fakta ini memberi nama pada jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Misalnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 adalah persamaan kuadrat lengkap; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 adalah persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Definisi yang diberikan di atas memungkinkan untuk membedakan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap berikut:

  • a x 2 = 0, koefisien sesuai dengan persamaan tersebut b = 0 dan c = 0 ;
  • ax 2 + c \u003d 0 untuk b \u003d 0;
  • a x 2 + b x = 0 untuk c = 0 .

Pertimbangkan secara berturut-turut solusi dari setiap jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.

Solusi persamaan a x 2 \u003d 0

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan seperti itu sesuai dengan koefisiennya b dan c, sama dengan nol. Persamaan a x 2 = 0 dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen x2 = 0, yang kita dapatkan dengan membagi kedua sisi persamaan awal dengan angka sebuah, tidak sama dengan nol. Fakta yang jelas adalah bahwa akar dari persamaan x2 = 0 adalah nol karena 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dijelaskan oleh sifat-sifat derajat: untuk bilangan berapa pun p , tidak sama dengan nol, pertidaksamaan itu benar p2 > 0, dari mana ia mengikuti kapan p ≠ 0 persamaan p2 = 0 tidak akan pernah tercapai.

Definisi 5

Jadi, untuk persamaan kuadrat tidak lengkap ax 2 = 0, ada akar tunggal x=0.

Contoh 2

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap − 3 x 2 = 0. Ini setara dengan persamaan x2 = 0, satu-satunya akar adalah x=0, maka persamaan aslinya memiliki akar tunggal - nol.

Solusinya diringkas sebagai berikut:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusi persamaan ax 2 + c \u003d 0

Baris berikutnya adalah solusi persamaan kuadrat tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c ≠ 0, yaitu persamaan dalam bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita ubah persamaan ini dengan memindahkan suku dari satu sisi persamaan ke sisi lainnya, mengubah tandanya menjadi berlawanan dan membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang tidak sama dengan nol:

  • menderita c ke sisi kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = − c;
  • membagi kedua ruas persamaan dengan sebuah, kita dapatkan sebagai hasilnya x = - c a .

Transformasi kami masing-masing setara, persamaan yang dihasilkan juga setara dengan yang asli, dan fakta ini memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang akar persamaan. Dari apa nilai-nilainya sebuah dan c tergantung pada nilai ekspresi - c a: dapat memiliki tanda minus (misalnya, jika a = 1 dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (misalnya jika a = -2 dan c=6, lalu - c a = - 6 - 2 = 3); itu tidak sama dengan nol karena c ≠ 0. Mari kita membahas lebih detail tentang situasi ketika - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kasus ketika - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p persamaan p 2 = - c a tidak mungkin benar.

Semuanya berbeda ketika - c a > 0: ingat akar kuadratnya, dan akan menjadi jelas bahwa akar persamaan x 2 \u003d - c a akan menjadi bilangan - c a, karena - c a 2 \u003d - c a. Mudah dipahami bahwa bilangan - - c a - juga merupakan akar dari persamaan x 2 = - c a: memang, - - c a 2 = - ca a .

Persamaan tidak akan memiliki akar lain. Kami dapat mendemonstrasikan ini menggunakan metode yang berlawanan. Pertama, mari kita atur notasi akar yang ditemukan di atas sebagai x 1 dan −x 1. Misalkan persamaan x 2 = - c a juga memiliki akar x2, yang berbeda dari akarnya x 1 dan −x 1. Kita tahu bahwa dengan mensubstitusi ke persamaan, bukan x akarnya, kami mengubah persamaan menjadi persamaan numerik yang adil.

Untuk x 1 dan −x 1 tulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x2- x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat persamaan numerik, kita kurangi satu persamaan sejati dari suku lain dengan suku, yang akan memberi kita: x 1 2 − x 2 2 = 0. Gunakan properti operasi bilangan untuk menulis ulang persamaan terakhir sebagai (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Diketahui bahwa perkalian dua bilangan adalah nol jika dan hanya jika sekurang-kurangnya salah satu bilangan adalah nol. Dari apa yang telah dikatakan, berikut ini x1 − x2 = 0 dan/atau x1 + x2 = 0, yang sama x2 = x1 dan/atau x 2 = − x 1. Kontradiksi yang jelas muncul, karena pada awalnya disepakati bahwa akar dari persamaan tersebut x2 berbeda dari x 1 dan −x 1. Jadi, kita telah membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar lain selain x = - ca a dan x = - - ca .

Kami meringkas semua argumen di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + c = 0 setara dengan persamaan x 2 = - c a , yang:

  • tidak akan berakar di - c a< 0 ;
  • akan memiliki dua akar x = - c a dan x = - - c a ketika - c a > 0 .

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberikan persamaan kuadrat 9 x 2 + 7 = 0 . Perlu untuk menemukan solusinya.

Larutan

Kami mentransfer suku bebas ke sisi kanan persamaan, maka persamaan akan berbentuk 9 x 2 \u003d - 7.
Kami membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai pada x 2 = - 7 9 . Di sisi kanan kita melihat angka dengan tanda minus, artinya: persamaan yang diberikan tidak memiliki akar. Kemudian persamaan kuadrat asli tidak lengkap 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan memiliki akar.

Menjawab: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak memiliki akar.

Contoh 4

Perlu untuk memecahkan persamaan −x2 + 36 = 0.

Larutan

Mari pindahkan 36 ke sisi kanan: − x 2 = − 36.
Mari kita bagi kedua bagian menjadi − 1 , kita mendapatkan x2 = 36. Di sisi kanan adalah angka positif, dari situ kita dapat menyimpulkannya x = 36 atau x = - 36 .
Kami mengekstrak akarnya dan menulis hasil akhirnya: persamaan kuadrat yang tidak lengkap −x2 + 36 = 0 memiliki dua akar x=6 atau x = -6.

Menjawab: x=6 atau x = -6.

Solusi persamaan a x 2 + b x=0

Mari kita menganalisis jenis ketiga dari persamaan kuadrat tidak lengkap, kapan c = 0. Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat yang tidak lengkap a x 2 + b x = 0, kami menggunakan metode faktorisasi. Mari kita memfaktorkan polinomial, yang berada di sisi kiri persamaan, mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung x. Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadrat asli yang tidak lengkap menjadi ekuivalennya x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan himpunan persamaan x=0 dan a x + b = 0. Persamaan a x + b = 0 linier, dan akarnya: x = −b a.

Definisi 7

Dengan demikian, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + b x = 0 akan memiliki dua akar x=0 dan x = −b a.

Mari kita konsolidasi materi dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Solusi persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 harus dicari.

Larutan

Mari kita keluarkan x di luar tanda kurung dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini setara dengan persamaan x=0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Secara singkat, kami menulis solusi persamaan sebagai berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Menjawab: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminan, rumus akar persamaan kuadrat

Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat, ada rumus root:

Definisi 8

x = - b ± D 2 a, dimana D = b 2 − 4 a c adalah apa yang disebut diskriminan dari persamaan kuadrat.

Penulisan x \u003d - b ± D 2 a pada dasarnya berarti x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Akan bermanfaat untuk memahami bagaimana rumus yang ditunjukkan diturunkan dan bagaimana menerapkannya.

Penurunan rumus akar persamaan kuadrat

Misalkan kita dihadapkan pada tugas memecahkan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0. Mari kita lakukan sejumlah transformasi yang setara:

  • membagi kedua sisi persamaan dengan angka sebuah, berbeda dari nol, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
  • pilih kuadrat penuh di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:
    x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca a
    Setelah itu, persamaan akan berbentuk: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
  • sekarang dimungkinkan untuk memindahkan dua suku terakhir ke sisi kanan, mengubah tandanya menjadi kebalikannya, setelah itu kita mendapatkan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • akhirnya, kami mengubah ekspresi yang ditulis di sisi kanan persamaan terakhir:
    b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Jadi, kita sampai pada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang setara dengan persamaan awal a x 2 + b x + c = 0.

Kami membahas solusi persamaan tersebut di paragraf sebelumnya (solusi persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang didapat memungkinkan untuk menarik kesimpulan mengenai akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

  • untuk b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, persamaannya berbentuk x + b 2 · a 2 = 0, lalu x + b 2 · a = 0.

Dari sini, satu-satunya akar x = - b 2 · a menjadi jelas;

  • untuk b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, yang benar adalah: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yaitu sama dengan x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yaitu persamaan memiliki dua akar.

Dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa ada atau tidak adanya akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dan karenanya persamaan aslinya) bergantung pada tanda ekspresi b 2 - 4 a c 4 · a 2 ditulis di sisi kanan. Dan tanda dari ungkapan ini diberikan oleh tanda pembilangnya, (penyebut 4 sebuah 2 akan selalu positif), yaitu tanda ekspresi b 2 − 4 a c. Ekspresi ini b 2 − 4 a c sebuah nama diberikan - diskriminan dari persamaan kuadrat dan huruf D didefinisikan sebagai penunjukannya. Di sini Anda dapat menuliskan esensi diskriminan - dengan nilai dan tandanya, mereka menyimpulkan apakah persamaan kuadrat akan memiliki akar nyata, dan, jika demikian, berapa banyak akar - satu atau dua.

Mari kembali ke persamaan x + b 2 a 2 = b 2-4 a c 4 a 2 . Mari kita tulis ulang menggunakan notasi diskriminan: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita rekap kesimpulannya:

Definisi 9

  • pada D< 0 persamaan tidak memiliki akar nyata;
  • pada D=0 persamaan memiliki akar tunggal x = - b 2 · a ;
  • pada D > 0 persamaan memiliki dua akar: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Berdasarkan sifat-sifat akar, akar ini dapat ditulis sebagai: x \u003d - b 2 a + D 2 a atau - b 2 a - D 2 a. Dan ketika kita membuka modul dan mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Jadi, hasil penalaran kami adalah turunan dari rumus akar persamaan kuadrat:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminan D dihitung dengan rumus D = b 2 − 4 a c.

Rumus ini memungkinkan, ketika diskriminan lebih besar dari nol, untuk menentukan kedua akar real. Ketika diskriminan adalah nol, menerapkan kedua rumus akan memberikan akar yang sama sebagai satu-satunya solusi persamaan kuadrat. Jika diskriminan negatif, mencoba menggunakan rumus akar kuadrat, kita akan dihadapkan pada kebutuhan untuk mengekstrak Akar pangkat dua dari angka negatif, yang akan membawa kita lebih jauh bilangan asli. Pada diskriminan negatif persamaan kuadrat tidak akan memiliki akar nyata, tetapi sepasang akar konjugasi kompleks dimungkinkan, ditentukan oleh rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan segera menggunakan rumus akar, tetapi pada dasarnya ini dilakukan jika perlu untuk menemukannya akar kompleks.

Dalam sebagian besar kasus, pencarian biasanya dimaksudkan bukan untuk kompleks, tetapi untuk akar nyata dari persamaan kuadrat. Maka optimal, sebelum menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, pertama-tama tentukan diskriminan dan pastikan tidak negatif (jika tidak, kita akan menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar nyata), lalu lanjutkan menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan suatu algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Definisi 10

Untuk memecahkan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, diperlukan:

  • sesuai dengan rumus D = b 2 − 4 a c menemukan nilai diskriminan;
  • di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • untuk D = 0 temukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - b 2 · a ;
  • untuk D > 0, tentukan dua akar real dari persamaan kuadrat dengan rumus x = - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahwa ketika diskriminan adalah nol, Anda dapat menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a , hasilnya akan sama dengan rumus x = - b 2 · a .

Pertimbangkan contoh.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Mari kita berikan contoh solusi untuk nilai yang berbeda diskriminatif.

Contoh 6

Perlu untuk menemukan akar persamaan x 2 + 2 x - 6 = 0.

Larutan

Kami menulis koefisien numerik dari persamaan kuadrat: a \u003d 1, b \u003d 2 dan c = − 6. Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, mis. Mari kita mulai menghitung diskriminan, yang kita gantikan dengan koefisien a , b dan c ke dalam rumus diskriminan: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi, kita mendapatkan D > 0, yang berarti bahwa persamaan awalnya akan memiliki dua akar real.
Untuk menemukannya, kami menggunakan rumus root x \u003d - b ± D 2 · a dan, mengganti nilai yang sesuai, kami mendapatkan: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Kami menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan mengeluarkan faktor dari tanda akar, diikuti dengan pengurangan fraksi:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Menjawab: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Perlu untuk memecahkan persamaan kuadrat − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Larutan

Mari kita tentukan diskriminan: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Dengan nilai diskriminan ini, persamaan awal hanya akan memiliki satu akar, ditentukan dengan rumus x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Menjawab: x = 3, 5.

Contoh 8

Perlu untuk memecahkan persamaan 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Larutan

Koefisien numerik dari persamaan ini adalah: a = 5 , b = 6 dan c = 2 . Kami menggunakan nilai-nilai ini untuk menemukan diskriminan: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminan yang dihitung adalah negatif, sehingga persamaan kuadrat asli tidak memiliki akar real.

Jika tugasnya adalah menunjukkan akar kompleks, kami menerapkan rumus akar dengan melakukan operasi dengan bilangan kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 atau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i atau x = - 3 5 - 1 5 i .

Menjawab: tidak ada akar nyata; akar kompleksnya adalah: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

PADA kurikulum sekolah secara default, tidak ada persyaratan untuk mencari akar kompleks, oleh karena itu, jika diskriminan ditentukan negatif selama penyelesaian, jawabannya segera dicatat bahwa tidak ada akar nyata.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) memungkinkan untuk mendapatkan rumus lain, lebih padat, memungkinkan Anda menemukan solusi untuk persamaan kuadrat dengan koefisien genap pada x (atau dengan koefisien dari bentuk 2 a n, misalnya, 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana rumus ini diturunkan.

Misalkan kita dihadapkan pada tugas mencari solusi persamaan kuadrat a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kami bertindak sesuai dengan algoritme: kami menentukan diskriminan D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , lalu menggunakan rumus root:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Biarkan ekspresi n 2 − a c dilambangkan sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan dengan D "). Maka rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n akan berbentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, di mana D 1 \u003d n 2 - a c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D = 4 · D 1 , atau D 1 = D 4 . Dengan kata lain, D 1 adalah seperempat dari diskriminan. Tentunya tanda D 1 sama dengan tanda D, artinya tanda D 1 juga bisa dijadikan sebagai indikator ada tidaknya akar persamaan kuadrat.

Definisi 11

Jadi, untuk menemukan solusi persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, diperlukan:

  • cari D 1 = n 2 − a c ;
  • di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • untuk D 1 = 0, tentukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - n a ;
  • untuk D 1 > 0, tentukan dua akar real menggunakan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Persamaan kuadrat 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 harus diselesaikan.

Larutan

Koefisien kedua dari persamaan yang diberikan dapat direpresentasikan sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita menulis ulang persamaan kuadrat yang diberikan sebagai 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , di mana a = 5 , n = − 3 dan c = − 32 .

Hitunglah bagian keempat dari diskriminan: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Nilai yang dihasilkan adalah positif, artinya persamaan tersebut memiliki dua akar real. Kami mendefinisikannya dengan rumus akar yang sesuai:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Dimungkinkan untuk melakukan perhitungan menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini solusinya akan lebih rumit.

Menjawab: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang dimungkinkan untuk mengoptimalkan bentuk persamaan awal, yang akan menyederhanakan proses penghitungan akar.

Misalnya, persamaan kuadrat 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jelas lebih mudah untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Lebih sering, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua bagiannya dengan angka tertentu. Misalnya, di atas kami menunjukkan representasi sederhana dari persamaan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, diperoleh dengan membagi kedua bagiannya dengan 100.

Transformasi seperti itu dimungkinkan ketika koefisien persamaan kuadrat tidak saling menguntungkan bilangan prima. Maka umum untuk membagi kedua sisi persamaan dengan yang terbesar pembagi bersama nilai absolut dari koefisiennya.

Sebagai contoh, kami menggunakan persamaan kuadrat 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Mari kita tentukan gcd dari nilai absolut dari koefisiennya: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Mari kita membagi kedua bagian persamaan kuadrat awal dengan 6 dan mendapatkan persamaan kuadrat yang setara 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan kuadrat, koefisien pecahan biasanya dihilangkan. Dalam hal ini, kalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisiennya. Misalnya, jika setiap bagian dari persamaan kuadrat 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 dikalikan dengan KPK (6, 3, 1) \u003d 6, maka akan ditulis lebih bentuk sederhana x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Terakhir, kami mencatat bahwa hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien pertama persamaan kuadrat, mengubah tanda setiap suku persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan − 1. Misalnya, dari persamaan kuadrat - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, Anda dapat beralih ke versi sederhananya 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Rumus yang sudah diketahui untuk akar persamaan kuadrat x = - b ± D 2 · a mengungkapkan akar persamaan dalam bentuk koefisien numeriknya. Bergantung pada rumus ini, kami memiliki kesempatan untuk menentukan ketergantungan lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan dapat diterapkan adalah rumus teorema Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Secara khusus, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akarnya adalah koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akarnya sama dengan suku bebasnya. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, Anda dapat segera menentukan bahwa jumlah akarnya adalah 7 3, dan hasil kali akarnya adalah 22 3.

Anda juga dapat menemukan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, jumlah kuadrat dari akar persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam koefisien:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter