Algoritma standar untuk memecahkan masalah seperti itu mengasumsikan, setelah menemukan nol dari fungsi, penentuan tanda-tanda turunan pada interval. Kemudian perhitungan nilai-nilai pada titik-titik yang ditemukan dari maksimum (atau minimum) dan pada batas interval, tergantung pada pertanyaan apa yang ada dalam kondisinya.

Saya menyarankan Anda untuk melakukannya sedikit berbeda. Mengapa? Saya menulis tentang itu.

Saya mengusulkan untuk menyelesaikan tugas-tugas seperti berikut:

1. Temukan turunannya.
2. Temukan nol dari turunannya.
3. Tentukan mana dari mereka yang termasuk dalam interval yang diberikan.
4. Hitung nilai fungsi pada batas interval dan titik butir 3.
5. Kami menarik kesimpulan (kami menjawab pertanyaan yang diajukan).

Selama menyelesaikan contoh yang disajikan, solusi persamaan kuadrat tidak dipertimbangkan secara rinci, Anda harus dapat melakukan ini. Anda juga harus tahu.

Mari kita pertimbangkan beberapa contoh:

77422. Carilah nilai terbesar dari fungsi y = x 3 –3х + 4 pada segmen [–2; 0].

Temukan nol dari turunan:

Titik x = -1 termasuk dalam interval yang ditunjukkan dalam kondisi.

Kami menghitung nilai fungsi pada titik -2, -1 dan 0:

Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 6.

Jawaban: 6

77425. Carilah nilai terkecil dari fungsi y = x 3 - 3x 2 + 2 pada ruas tersebut.

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Temukan nol dari turunan:

Titik x = 2 termasuk dalam interval yang ditunjukkan dalam kondisi.

Kami menghitung nilai fungsi pada poin 1, 2 dan 4:

Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah –2.

Jawaban: -2

77426. Temukan nilai terbesar dari fungsi y = x 3 - 6x 2 pada ruas [–3; 3].

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Temukan nol dari turunan:

Titik x = 0 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.

Kami menghitung nilai fungsi pada titik –3, 0 dan 3:

Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah 0.

Jawaban: 0

77429. Carilah nilai terkecil dari fungsi y = x 3 - 2x 2 + x +3 pada ruas tersebut.

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Kami mendapatkan akar: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Hanya x = 1 yang termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.

Mari kita cari nilai fungsi di titik 1 dan 4:

Kami mendapatkan bahwa nilai terkecil dari fungsi adalah 3.

Jawaban: 3

77430. Carilah nilai terbesar dari fungsi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pada ruas [- 4; -1].

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Temukan nol dari turunan, selesaikan persamaan kuadrat:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Kami mendapatkan akarnya:

Interval yang ditunjukkan dalam kondisi termasuk ke dalam akar x = -1.

Tentukan nilai fungsi di titik –4, -1, -1/3 dan 1:

Kami mendapatkan bahwa nilai terbesar dari fungsi adalah 3.

Jawaban: 3

77433. Carilah nilai terkecil dari fungsi y = x 3 - x 2 - 40x +3 pada ruas tersebut.

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Temukan nol dari turunan, selesaikan persamaan kuadrat:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Kami mendapatkan akarnya:

Interval yang ditunjukkan dalam kondisi termasuk ke dalam akar x = 4.

Kami menemukan nilai fungsi di titik 0 dan 4:

Kami mendapatkan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah –109.

Jawaban: –109

Pertimbangkan metode untuk menentukan nilai fungsi terbesar dan terkecil tanpa turunan. Pendekatan ini dapat digunakan jika Anda memiliki masalah besar dalam mendefinisikan turunan. Prinsipnya sederhana - kami mengganti semua nilai bilangan bulat dari interval ke dalam fungsi (faktanya adalah bahwa dalam semua prototipe seperti itu jawabannya adalah bilangan bulat).

77437. Carilah nilai terkecil dari fungsi y = 7 + 12x – x 3 pada ruas [–2; 2].

Ganti poin dari –2 ke 2: Lihat Solusi

77434. Carilah nilai terbesar dari fungsi y = x 3 + 2x 2 - 4x + 4 pada ruas [–2; 0].

Itu saja. Sukses untuk Anda!

Salam hormat, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda dapat memberi tahu kami tentang situs tersebut di jejaring sosial.

Proses menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen menyerupai terbang lintas yang menarik dari suatu objek (grafik fungsi) dalam sebuah helikopter dengan menembakkan meriam jarak jauh pada titik-titik tertentu dan memilih dari titik-titik ini titik-titik yang sangat khusus untuk dikendalikan tembakan. Poin dipilih dengan cara tertentu dan menurut aturan tertentu. Apa aturannya? Kami akan membicarakan ini lebih lanjut.

Jika fungsi kamu = F(x) kontinu pada segmen [ A, B], lalu mencapai segmen ini Terkecil dan nilai tertinggi ... Hal ini dapat terjadi baik di titik ekstrim, atau di ujung segmen. Oleh karena itu, untuk menemukan Terkecil dan nilai fungsi maksimum kontinu pada segmen [ A, B], Anda perlu menghitung nilainya secara keseluruhan titik kritis dan di ujung segmen, lalu pilih yang terkecil dan terbesar.

Biarkan, misalnya, diperlukan untuk menentukan nilai terbesar dari fungsi F(x) pada segmen [ A, B]. Untuk melakukan ini, temukan semua titik kritisnya terletak di [ A, B] .

Titik kritis disebut titik dimana fungsi didefinisikan, dan dia turunan adalah nol atau tidak ada. Maka Anda harus menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis. Dan, akhirnya, kita harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritis dan di ujung segmen ( F(A) dan F(B)). Yang terbesar dari angka-angka ini adalah nilai terbesar dari fungsi pada segmen [A, B] .

Masalah menemukan nilai fungsi terkecil .

Mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi bersama-sama

Contoh 1. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 2] .

Larutan. Temukan turunan dari fungsi ini. Mari kita samakan turunannya dengan nol () dan dapatkan dua titik kritis: dan. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, cukup menghitung nilainya di ujung segmen dan pada suatu titik, karena titik tersebut bukan milik segmen [-1, 2]. Nilai fungsi tersebut adalah sebagai berikut :,,. Berikut ini nilai fungsi terkecil(dalam grafik di bawah ini ditandai dengan warna merah), sama dengan -7, dicapai di ujung kanan segmen - di titik, dan terbesar(juga merah pada grafik), sama dengan 9, - pada titik kritis.

Jika suatu fungsi kontinu dalam beberapa interval dan interval ini bukan segmen (tetapi, misalnya, interval; perbedaan antara interval dan segmen: titik batas interval tidak termasuk dalam interval, dan batas titik-titik segmen termasuk dalam segmen), maka di antara nilai-nilai fungsi itu tidak boleh yang terkecil dan terbesar. Jadi, misalnya, fungsi yang ditunjukkan pada gambar di bawah kontinu di] -∞, + [dan tidak memiliki nilai terbesar.

Namun, untuk sembarang interval (tertutup, terbuka, atau tak terhingga), sifat fungsi kontinu berikut ini benar.

Contoh 4. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 3] .

Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari hasil bagi:

.

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberi kami satu titik kritis:. Itu milik segmen [-1, 3]. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Kami membandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai terbesar sama dengan 1 pada titik tersebut.

Kami terus mencari nilai fungsi terkecil dan terbesar bersama-sama

Ada guru yang, pada topik menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi, tidak memberikan siswa untuk memecahkan contoh yang lebih rumit daripada yang baru saja dipertimbangkan, yaitu yang fungsinya adalah polinomial atau pecahan, pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kami tidak akan membatasi diri pada contoh-contoh seperti itu, karena di antara guru ada yang suka membuat siswa berpikir secara utuh (tabel turunan). Oleh karena itu, fungsi logaritma dan trigonometri akan digunakan.

Contoh 6. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Larutan. Tentukan turunan dari fungsi ini sebagai karya turunan :

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberikan satu titik kritis:. Itu milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Hasil dari semua tindakan: fungsi mencapai nilai terkecilnya sama dengan 0 di titik dan di titik dan nilai terbesar sama dengan e², pada intinya.

Contoh 7. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Larutan. Temukan turunan dari fungsi ini:

Menyamakan turunan dengan nol:

Satu-satunya titik kritis milik segmen garis. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Keluaran: fungsi mencapai nilai terkecilnya sama dengan di titik dan nilai terbesar, sama, pada titik.

Dalam masalah ekstrem yang diterapkan, menemukan nilai terkecil (terbesar) dari suatu fungsi, sebagai suatu peraturan, direduksi menjadi menemukan minimum (maksimum). Tetapi kepentingan praktis yang lebih besar bukanlah minima atau maksima itu sendiri, tetapi nilai-nilai argumen di mana mereka tercapai. Saat memecahkan masalah yang diterapkan, kesulitan tambahan muncul - kompilasi fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 8. Tangki berkapasitas 4 orang yang berbentuk parallelepiped dengan alas bujur sangkar dan bagian atasnya terbuka harus digali dengan timah. Berapa besar tangki yang seharusnya untuk menutupi jumlah bahan yang paling sedikit?

Larutan. Biarlah x- sisi dasar, H- tinggi tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- volumenya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan rumus, mis. adalah fungsi dari dua variabel. Untuk mengekspresikan S sebagai fungsi dari satu variabel, kita akan menggunakan fakta bahwa, dari mana. Mengganti ekspresi yang ditemukan H ke dalam rumus untuk S:

Mari kita periksa fungsi ini untuk ekstrem. Itu didefinisikan dan terdiferensiasi di mana-mana di] 0, + [, dan

.

Samakan turunannya dengan nol () dan cari titik kritisnya. Selain itu, untuk turunannya tidak ada, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan karenanya tidak dapat menjadi titik ekstrem. Jadi, ini adalah satu-satunya titik kritis. Mari kita periksa keberadaan ekstrem menggunakan kriteria cukup kedua. Mari kita cari turunan kedua. Ketika turunan kedua lebih besar dari nol (). Oleh karena itu, pada, fungsi mencapai minimum ... Sejak ini minimum adalah satu-satunya ekstrem dari fungsi ini, itu juga merupakan nilai terkecilnya... Jadi, sisi alas tangki harus sama dengan 2 m, dan tingginya.

Contoh 9. Dari paragraf A terletak di jalur kereta api ke titik DENGAN jauh darinya aku, kargo harus diangkut. Biaya pengangkutan satuan berat per satuan jarak dengan kereta api adalah sama, dan melalui jalan raya itu sama. Untuk titik apa? M jalur kereta api harus ditarik oleh jalan raya sehingga transportasi barang dari A v DENGAN adalah yang paling ekonomis (bagian AB relnya diasumsikan lurus)?

Nilai Fungsi Terbesar dan Terkecil

Nilai terbesar dari suatu fungsi disebut paling banyak, nilai terkecil adalah yang terkecil dari semua nilainya.

Suatu fungsi hanya dapat memiliki satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak memilikinya sama sekali. Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu didasarkan pada sifat-sifat berikut dari fungsi-fungsi ini:

1) Jika dalam beberapa interval (terhingga atau tak terbatas) fungsi y = f (x) kontinu dan hanya memiliki satu ekstrem, dan jika ini adalah maksimum (minimum), maka itu akan menjadi nilai terbesar (terkecil) dari fungsi dalam interval ini.

2) Jika fungsi f(x) kontinu pada suatu ruas, maka fungsi tersebut tentu memiliki nilai terbesar dan terkecil pada ruas tersebut. Nilai-nilai ini dicapai baik pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau pada batas segmen ini.

Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil pada suatu segmen, disarankan untuk menggunakan skema berikut:

1. Temukan turunannya.

2. Temukan titik kritis dari fungsi di mana = 0 atau tidak ada.

3. Temukan nilai fungsi di titik kritis dan di ujung segmen dan pilih dari mereka f naib terbesar dan f naim terkecil.

Ketika memecahkan masalah yang diterapkan, khususnya masalah optimasi, penting untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) dari suatu fungsi pada variabel interval X. Kemudian cari nilai terbesar atau terkecil yang diinginkan dari fungsi yang dihasilkan. Dalam hal ini, interval variasi variabel bebas, yang dapat berhingga atau tak terhingga, juga ditentukan dari rumusan masalah.

Contoh. Tangki, yang memiliki bentuk parallelepiped persegi panjang dengan bagian bawah persegi terbuka di bagian atas, perlu digali dengan timah di dalamnya. Berapa dimensi tangki dengan kapasitas 108 liter. air sehingga biaya tinning serendah mungkin?

Larutan. Biaya melapisi tangki dengan timah akan menjadi yang paling murah jika permukaannya minimal untuk kapasitas tertentu. Mari kita tunjukkan dengan a dm - sisi alas, b dm - ketinggian tangki. Maka luas S permukaannya sama dengan

DAN

Hubungan yang dihasilkan menetapkan hubungan antara luas permukaan tangki S (fungsi) dan sisi dasar a (argumen). Mari kita periksa fungsi S untuk ekstrem. Temukan turunan pertama, samakan dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

Jadi a = 6. (a)> 0 untuk a> 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh... Temukan Nilai Fungsi Terbesar dan Terkecil diantara.

Larutan: Fungsi yang ditentukan kontinu pada seluruh sumbu bilangan. Turunan dari suatu fungsi

Turunan di dan di. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik ini:

.

Nilai fungsi di ujung interval yang diberikan adalah sama. Akibatnya, nilai terbesar dari fungsi di, nilai terkecil dari fungsi di.

Soal tes mandiri

1. Merumuskan aturan L'Hôpital untuk mengungkapkan ketidakpastian bentuk. Buat daftar berbagai jenis ketidakpastian yang dapat digunakan untuk mengatasi aturan L'Hôpital.

2. Merumuskan tanda-tanda fungsi naik dan turun.

3. Berikan definisi maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

4. Merumuskan kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem.

5. Nilai argumen apa (poin mana) yang disebut kritis? Bagaimana Anda menemukan titik-titik ini?

6. Apa sajakah kriteria yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem dari suatu fungsi? Buat garis besar skema untuk mempelajari fungsi ekstrem menggunakan turunan pertama.

7. Jelaskan skema untuk mempelajari fungsi untuk ekstrem menggunakan turunan kedua.

8. Berikan definisi kecembungan, kecekungan suatu kurva.

9. Apa yang disebut titik belok dari grafik fungsi? Tunjukkan cara untuk menemukan titik-titik ini.

10. Merumuskan kriteria perlu dan cukup untuk kecembungan dan kecekungan suatu kurva pada suatu ruas tertentu.

11. Berikan definisi asimtot kurva. Bagaimana cara menemukan asimtot vertikal, horizontal, dan miring dari grafik suatu fungsi?

12. Menguraikan skema umum studi fungsi dan konstruksi grafiknya.

13. Rumuskan aturan untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen tertentu.

Apa yang dimaksud dengan ekstrem dari suatu fungsi dan apa syarat yang diperlukan untuk sebuah ekstrem?

Ekstrem dari suatu fungsi adalah maksimum dan minimum suatu fungsi.

Kondisi yang diperlukan untuk maksimum dan minimum (ekstrim) fungsi adalah sebagai berikut: jika fungsi f (x) memiliki ekstrem di titik x = a, maka pada titik ini turunannya adalah nol, atau tak hingga, atau tidak tidak ada.

Kondisi ini perlu, tetapi tidak cukup. Turunan di titik x = a dapat menghilang, hingga tak terhingga, atau tidak ada tanpa fungsi yang memiliki ekstrem pada titik ini.

Apa kondisi yang cukup untuk ekstrem dari fungsi (maksimum atau minimum)?

Kondisi pertama:

Jika cukup dekat dengan titik x = a turunan f? (X) positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a fungsi f (x) memiliki maksimum

Jika cukup dekat dengan titik x = a turunan f? (X) negatif di sebelah kiri a dan positif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a fungsi f (x) memiliki minimum asalkan fungsi f (x) kontinu di sini.

Sebagai gantinya, Anda dapat menggunakan kondisi cukup kedua untuk ekstrem fungsi:

Misalkan pada titik x = a turunan pertama f? (X) hilang; jika dalam hal ini turunan kedua f ??(a) negatif, maka fungsi f(x) memiliki maksimum di titik x = a, jika positif, maka minimum.

Apa titik kritis dari suatu fungsi dan bagaimana Anda menemukannya?

Ini adalah nilai argumen fungsi di mana fungsi memiliki ekstrem (yaitu, maksimum atau minimum). Untuk menemukannya, Anda perlu cari turunannya fungsi f? (x) dan, menyamakannya dengan nol, selesaikan persamaannya f? (x) = 0. Akar persamaan ini, serta titik-titik di mana turunan dari fungsi ini tidak ada, adalah titik kritis, yaitu nilai argumen di mana ada ekstrim. Mereka dapat dengan mudah diidentifikasi dengan melihat plot turunan: kami tertarik pada nilai-nilai argumen di mana grafik fungsi melintasi sumbu absis (sumbu Ox) dan di mana grafik rusak.

Sebagai contoh, mari kita cari ekstrem parabola.

Fungsi y (x) = 3x2 + 2x - 50.

Turunan dari fungsi: y? (X) = 6x + 2

Memecahkan persamaan: y? (X) = 0

6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

Dalam hal ini, titik kritisnya adalah x0 = -1 / 3. Untuk nilai argumen inilah fungsi memiliki ekstrim... Jadi itu Temukan, gantikan angka yang ditemukan ke dalam ekspresi fungsi alih-alih "x":

y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cara menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi, mis. nilai terbesar dan terkecilnya?

Jika tanda turunan ketika melewati titik kritis x0 berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka x0 adalah titik maksimum; jika tanda turunannya berubah dari minus ke plus, maka x0 adalah titik minimum; jika tanda tidak berubah, maka pada titik x0 tidak ada maksimum atau minimum.

Untuk contoh yang dipertimbangkan:

Kami mengambil nilai sewenang-wenang dari argumen di sebelah kiri titik kritis: x = -1

Ketika x = -1, nilai turunannya adalah y? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yaitu, tandanya adalah "minus").

Sekarang kita ambil nilai arbitrer dari argumen di sebelah kanan titik kritis: x = 1

Ketika x = 1, nilai turunannya adalah y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yaitu, tandanya "plus").

Seperti yang Anda lihat, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati titik kritis. Ini berarti bahwa pada nilai kritis x0 kita memiliki titik minimum.

Nilai Fungsi Terbesar dan Terkecil pada interval(pada segmen) ditemukan menggunakan prosedur yang sama, hanya dengan mempertimbangkan fakta bahwa, mungkin, tidak semua titik kritis akan terletak dalam interval yang ditentukan. Poin-poin kritis yang berada di luar interval harus dikeluarkan dari pertimbangan. Jika hanya ada satu titik kritis dalam interval, itu akan berisi maksimum atau minimum. Dalam hal ini, untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, kami juga memperhitungkan nilai fungsi di ujung interval.

Misalnya, mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

pada interval:

Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah

y? (x) = 3cos (x) - 0,5

Memecahkan persamaan 3cos (x) - 0,5 = 0

cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667

x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Temukan titik kritis pada interval [-9; sembilan]:

x = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (tidak termasuk dalam interval)

x = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7.687

x = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

x = -arccos (0,16667) + 2π * 0 = -1.403

x = arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x = -arccos (0,16667) + 2π * 1 = 4,88

x = arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x = -arccos (0,16667) + 2π * 2 = 11,163 (tidak termasuk dalam interval)

Kami menemukan nilai fungsi pada nilai kritis argumen:

y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885

y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398

y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2.256

y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256

y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5.398

y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885

Terlihat bahwa pada interval [-9; 9], fungsi memiliki nilai terbesar pada x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

dan terkecil - pada x = 4,88:

x = 4,88, y = -5.398.

Pada interval [-6; -3] kita hanya memiliki satu titik kritis: x = -4,88. Nilai fungsi pada x = -4,88 sama dengan y = 5,398.

Tentukan nilai fungsi di ujung interval:

y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077

Pada interval [-6; -3] kami memiliki nilai fungsi tertinggi

y = 5,398 pada x = -4,88

nilai terkecil adalah

y = 1,077 pada x = -3

Bagaimana menemukan titik belok dari grafik suatu fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?

Untuk menemukan semua titik belok garis y = f (x), Anda perlu menemukan turunan kedua, menyamakannya dengan nol (menyelesaikan persamaan) dan menguji semua nilai x yang turunan kedua adalah nol , tak terbatas atau tidak ada. Jika, ketika melewati salah satu dari nilai-nilai ini, turunan kedua berubah tanda, maka grafik fungsi memiliki infleksi pada titik ini. Jika tidak berubah, maka tidak ada infleksi.

Akar persamaan f? (x) = 0, serta titik-titik diskontinuitas yang mungkin dari fungsi dan turunan kedua, bagi domain fungsi menjadi beberapa interval. Konveksitas pada setiap intervalnya ditentukan oleh tanda turunan kedua. Jika turunan kedua pada suatu titik pada selang yang diteliti adalah positif, maka garis y = f (x) cekung ke atas di sini, dan jika negatif, maka ke bawah.

Bagaimana cara mencari nilai ekstrem dari fungsi dua variabel?

Untuk menemukan ekstrem dari fungsi f (x, y), yang dapat diturunkan di wilayah penugasannya, Anda perlu:

1) temukan titik kritis, dan untuk ini - selesaikan sistem persamaan

fx? (x, y) = 0, fу? (x, y) = 0

2) untuk setiap titik kritis 0 (a; b) selidiki apakah tanda perbedaannya tetap tidak berubah

untuk semua titik (x; y) cukup dekat dengan Po. Jika perbedaan mempertahankan tanda positif, maka pada titik P0 kita memiliki minimum, jika negatif, maka maksimum. Jika perbedaan tidak mempertahankan tanda, maka tidak ada titik ekstrem di titik P0.

Ekstrem suatu fungsi ditentukan dengan cara yang sama untuk sejumlah besar argumen.

Mari kita lihat bagaimana menjelajahi suatu fungsi menggunakan grafik. Ternyata, dengan melihat grafik, Anda dapat menemukan semua yang menarik bagi kami, yaitu:

• domain fungsi
• rentang fungsi
• fungsi nol
• interval naik dan turun
• poin maksimum dan minimum
• nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen tersebut.

Mari kita perjelas terminologinya:

Absis adalah koordinat horizontal titik tersebut.
Ordinat adalah koordinat vertikal.
sumbu absis- sumbu horizontal, paling sering disebut sumbu.
sumbu Y- sumbu vertikal, atau sumbu.

Argumen adalah variabel bebas di mana nilai-nilai fungsi bergantung. Paling sering ditunjukkan.
Dengan kata lain, kita sendiri yang memilih, menggantikan fungsi dalam rumus dan mendapatkan.

Domain fungsi - himpunan nilai-nilai (dan hanya itu) dari argumen yang fungsi itu ada.
Ditandai dengan: atau.

Dalam gambar kami, domain fungsi adalah segmen. Pada segmen inilah grafik fungsi digambar. Hanya di sini fungsi ini ada.

Rentang fungsi: adalah kumpulan nilai yang diambil oleh variabel. Dalam gambar kami, ini adalah segmen - dari nilai terendah hingga tertinggi.

fungsi nol- poin di mana nilai fungsi sama dengan nol, yaitu. Dalam gambar kami, ini adalah poin dan.

Nilai fungsi positif di mana . Dalam gambar kami, ini adalah celah dan.
Nilai fungsi negatif di mana . Kami memiliki interval ini (atau interval) dari ke.

Konsep yang paling penting adalah fungsi naik dan turun pada beberapa set. Sebagai satu set, Anda dapat mengambil segmen, interval, gabungan interval, atau seluruh garis bilangan.

Fungsi meningkat

Dengan kata lain, semakin banyak, semakin banyak, yaitu grafik bergerak ke kanan dan ke atas.

Fungsi berkurang pada suatu himpunan jika, untuk sembarang dan milik himpunan, pertidaksamaan mengikuti dari pertidaksamaan.

Untuk fungsi menurun, nilai yang lebih besar sesuai dengan nilai yang lebih kecil. Grafik bergerak ke kanan dan ke bawah.

Dalam gambar kami, fungsi meningkat dalam interval dan menurun dalam interval dan.

Mari kita definisikan apa itu titik maksimum dan minimum dari fungsi.

Poin maksimum adalah titik internal dari domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih besar daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Dengan kata lain, titik maksimum adalah titik tersebut, nilai fungsi di mana lagi daripada di tetangga. Ini adalah "gundukan" lokal pada grafik.

Dalam gambar kami - titik maksimum.

Poin minimum- titik interior domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya kurang dari pada semua titik yang cukup dekat dengannya.
Artinya, titik minimum sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di tetangganya. Ini adalah "lubang" lokal pada grafik.

Dalam gambar kami - titik minimum.

Intinya adalah batas. Ini bukan titik internal dari domain definisi dan karena itu tidak sesuai dengan definisi titik maksimum. Lagi pula, dia tidak memiliki tetangga di sebelah kiri. Dengan cara yang sama, itu tidak bisa menjadi titik minimum pada grafik kami.

Poin maksimum dan minimum secara kolektif disebut titik ekstrem dari fungsi... Dalam kasus kami, ini adalah dan.

Dan apa yang harus dilakukan jika Anda perlu menemukan, misalnya, fungsi minimal pada segmen? Dalam hal ini, jawabannya adalah. karena fungsi minimal adalah nilainya pada titik minimum.

Demikian juga, maksimum fungsi kami adalah. Itu tercapai pada suatu titik.

Kita dapat mengatakan bahwa ekstrem dari fungsi tersebut sama dengan dan.

Terkadang dalam tugas Anda perlu menemukan nilai fungsi terbesar dan terkecil pada segmen tertentu. Mereka tidak selalu bertepatan dengan ekstrem.

Dalam kasus kami nilai fungsi terkecil pada segmen sama dengan dan bertepatan dengan fungsi minimum. Tetapi nilai terbesarnya pada segmen ini sama dengan. Itu dicapai di ujung kiri segmen garis.

Bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen dicapai baik pada titik ekstrem atau di ujung segmen.