पिछले पाठ में हमने एक एकपदी से एक बहुपद के गुणन का अध्ययन किया था। उदाहरण के लिए, एक एकपदी a और एक बहुपद b + c का गुणनफल इस प्रकार मिलता है:

ए (बी + सी) = एबी + बीसी

हालांकि, कुछ मामलों में उलटा ऑपरेशन करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसे सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना कहा जा सकता है:

एबी + बीसी = ए (बी + सी)

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमें बहुपद ab + bc के मान की गणना चर a = 15.6, b = 7.2, c = 2.8 के मानों के साथ करने की आवश्यकता है। यदि हम उन्हें सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

एबी + बीसी = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

एबी + बीसी = ए (बी + सी) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

इस मामले में, हमने बहुपद ab + bc को दो कारकों के गुणनफल के रूप में निरूपित किया है: a और b + c। इस क्रिया को बहुपद का गुणनखंडन कहते हैं।

इसके अलावा, प्रत्येक कारक जिसमें बहुपद विघटित होता है, बदले में, बहुपद या एकपदी हो सकता है।

बहुपद 14ab - 63b 2 पर विचार करें। इसके प्रत्येक घटक मोनोमियल को उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह देखा जा सकता है कि दोनों बहुपदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 7b है। तो, इसे कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

आप व्युत्क्रम ऑपरेशन का उपयोग करके कोष्ठक से कारक निकालने की शुद्धता की जांच कर सकते हैं - ब्रैकेट का विस्तार:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

यह समझना महत्वपूर्ण है कि बहुपद को अक्सर कई तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

आम तौर पर वे "महानतम" मोनोमियल बोलते हुए, सहने की कोशिश करते हैं। अर्थात्, बहुपद को इस प्रकार रखा गया है कि शेष बहुपद से अधिक कुछ नहीं निकाला जा सकता है। तो, बंटवारे के समय

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

एक सामान्य गुणनखंड वाले एकपदी का योग कोष्ठक में रहता है। यदि हम इसे भी निकाल लें, तो कोष्ठक में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होगा:

बी(5एसी + 6सीडी) = बीसी(5ए + 6डी)

आइए अधिक विस्तार से विश्लेषण करें कि एकपदी के लिए सामान्य कारक कैसे खोजें। आइए योग को विभाजित करें

8ए 3 बी 4 + 12ए 2 बी 5 वी + 16ए 4 बी 3 सी 10

इसमें तीन पद होते हैं। सबसे पहले, आइए उनके सामने संख्यात्मक गुणांक देखें। ये 8, 12 और 16 हैं। ग्रेड 6 के पाठ 3 में, जीसीडी के विषय और इसे खोजने के लिए एल्गोरिदम पर विचार किया गया था। यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। आप इसे लगभग हमेशा मौखिक रूप से उठा सकते हैं। उभयनिष्ठ गुणनखंड का संख्यात्मक गुणांक बहुपद के पदों के संख्यात्मक गुणांकों का केवल GCD होगा। इस मामले में, संख्या 4 है।

इसके बाद, हम इन चरों की डिग्री को देखते हैं। सामान्य कारक में, अक्षरों में न्यूनतम डिग्री होनी चाहिए जो शब्दों में होती है। तो, घात 3, 2, और 4 (न्यूनतम 2) वाले बहुपद में चर a, इसलिए उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 होगा। चर बी की न्यूनतम डिग्री 3 है, इसलिए सामान्य कारक बी 3 होगा:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

परिणामस्वरूप, शेष पद 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 में कोई उभयनिष्ठ वर्ण चर नहीं है, और उनके गुणांक 2, 3, और 4 में कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

आप कोष्ठक से न केवल एकपदी, बल्कि बहुपद भी निकाल सकते हैं। उदाहरण के लिए:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

एक और उदाहरण। अभिव्यक्ति का विस्तार करना आवश्यक है

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

समाधान। याद रखें कि ऋण चिह्न कोष्ठक में चिह्नों को उलट देता है, इसलिए

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

तो आप (3x - 8y) को - (8y - 3x) से बदल सकते हैं:

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

उत्तर: (8y - 3x) (5t - 2s)।

याद रखें कि कोष्ठक के सामने के चिन्ह को बदलकर घटाया और घटाया जा सकता है:

(ए - बी) = - (बी - ए)

इसके विपरीत भी सत्य है: यदि घटाए और घटाए गए एक ही समय में पुनर्व्यवस्थित किए जाते हैं, तो पहले से ही कोष्ठक के सामने माइनस को हटाया जा सकता है:

इस तकनीक का उपयोग अक्सर समस्या समाधान में किया जाता है।

समूहीकरण विधि

एक बहुपद का गुणनखंडन करने के दूसरे तरीके पर विचार करें, जो एक बहुपद को गुणनखंड बनाने में मदद करता है। एक अभिव्यक्ति होने दें

एबी - 5 ए + बीसी - 5 सी

एक गुणनखंड को निकालना संभव नहीं है जो सभी चार एकपदी के लिए उभयनिष्ठ हो। हालाँकि, आप इस बहुपद को दो बहुपदों के योग के रूप में निरूपित कर सकते हैं, और उनमें से प्रत्येक में चर को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं:

एबी - 5 ए + बीसी - 5 सी = (एबी - 5 ए) + (बीसी - 5 सी) = ए (बी - 5) + सी (बी - 5)

अब आप व्यंजक b - 5 निकाल सकते हैं:

ए (बी - 5) + सी (बी - 5) = (बी - 5) (ए + सी)

हमने पहले पद को दूसरे के साथ और तीसरे को चौथे के साथ "समूहीकृत" किया। इसलिए, वर्णित विधि को समूहन विधि कहा जाता है।

उदाहरण। आइए बहुपद 6xy + ab-2bx-3ay का विस्तार करें।

समाधान। पहली और दूसरी शर्तों को समूहीकृत करना असंभव है, क्योंकि उनके पास एक सामान्य कारक नहीं है। तो चलिए मोनोमियल की अदला-बदली करते हैं:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x (3y - b) + a (b - 3y)

अंतर 3y - b और b - 3y केवल चर के क्रम में भिन्न होते हैं। किसी एक कोष्ठक में, इसे कोष्ठक से ऋण चिह्न को हटाकर बदला जा सकता है:

(बी - 3y) = - (3y - बी)

हम इस प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

परिणाम एक पहचान है:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b) (2x - a)

उत्तर: (3y - b) (2x - a)

आप न केवल दो, बल्कि सामान्य रूप से कितनी भी संख्या में समूह बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद में

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

आप पहले तीन और अंतिम 3 मोनोमियल को समूहित कर सकते हैं:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x (x - 3y + z) + 2 (x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

अब आइए बढ़ी हुई जटिलता के कार्य को देखें

उदाहरण। वर्ग त्रिपद x 2 - 8x +15 का विस्तार कीजिए।

समाधान। इस बहुपद में केवल 3 एकपदी होते हैं, और इसलिए, जैसा लगता है, समूहीकरण नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, आप निम्नलिखित प्रतिस्थापन कर सकते हैं:

तब मूल त्रिपद को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

आइए शर्तों को समूहीकृत करें:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x (x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)

उत्तर: (एक्स - 5) (एक्स - 3)।

बेशक, उपरोक्त उदाहरण में प्रतिस्थापन - 8x = - 3x - 5x के बारे में अनुमान लगाना आसान नहीं है। आइए तर्क की एक अलग पंक्ति दिखाते हैं। हमें दूसरी डिग्री के बहुपद का विस्तार करने की आवश्यकता है। जैसा कि हमें याद है, बहुपदों को गुणा करते समय उनकी घातें जोड़ी जाती हैं। इसका अर्थ यह है कि यदि हम वर्ग त्रिपद को दो गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं, तो वे पहली डिग्री के दो बहुपद होंगे। आइए पहली डिग्री के दो बहुपदों का गुणनफल लिखें, जिनके प्रमुख गुणांक 1 के बराबर हैं:

(एक्स + ए) (एक्स + बी) = एक्स 2 + एक्सए + एक्सबी + एबी = एक्स 2 + (ए + बी) एक्स + एबी

यहाँ a और b कुछ मनमानी संख्याएँ हैं। इस उत्पाद के लिए मूल त्रिपद x 2 - 8x +15 के बराबर होने के लिए, चर के लिए उपयुक्त गुणांक चुनना आवश्यक है:

चयन की सहायता से, यह निर्धारित किया जा सकता है कि संख्याएँ a= - 3 और b = - 5 इस शर्त को पूरा करती हैं

(एक्स - 3) (एक्स - 5) = एक्स 2 * 8x + 15

जिसे कोष्ठक खोलकर सत्यापित किया जा सकता है।

सरलता के लिए, हमने केवल उस मामले पर विचार किया जब पहली डिग्री के गुणा बहुपदों में 1 के बराबर उच्चतम गुणांक होते हैं। हालांकि, वे बराबर हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, 0.5 और 2। इस मामले में, विस्तार कुछ अलग दिखाई देगा:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6) (0.5x - 2.5)

हालाँकि, पहले कोष्ठक से गुणनखंड 2 को निकालकर और इसे दूसरे से गुणा करने पर, हमें मूल विस्तार प्राप्त होगा:

(2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)

सुविचारित उदाहरण में, हमने वर्ग त्रिपद को प्रथम घात के दो बहुपदों में विघटित किया। भविष्य में, हमें अक्सर ऐसा करना होगा। हालांकि, यह ध्यान देने योग्य है कि कुछ वर्ग त्रिपद, उदाहरण के लिए,

इस प्रकार बहुपदों के गुणनफल में विघटित होना असंभव है। यह बाद में सिद्ध होगा।

बहुपदों के गुणनखंड का अनुप्रयोग

बहुपद का गुणनखंडन करना कुछ संक्रियाओं को सरल बना सकता है। अभिव्यक्ति के मूल्य का मूल्यांकन करना आवश्यक होने दें

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

हम संख्या 2 निकालते हैं, जबकि प्रत्येक पद की डिग्री एक से घट जाती है:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

योग को निरूपित करें

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

एक्स के लिए फिर उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

एक्स + 2 9 = 2(1 + एक्स)

हमें समीकरण मिला है, हम इसे हल करेंगे (समीकरण का पाठ देखें):

एक्स + 2 9 = 2(1 + एक्स)

एक्स + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

एक्स = 512 - 2 = 510

अब हम जिस राशि की तलाश कर रहे हैं उसे x के रूप में व्यक्त करते हैं:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

इस समस्या को हल करते समय, हमने संख्या 2 को केवल 9वीं शक्ति तक बढ़ाया, और हम बहुपद को फैक्टर करके अन्य सभी घातांक संचालन को गणना से बाहर करने में कामयाब रहे। इसी तरह, आप अन्य समान राशियों के लिए गणना सूत्र बना सकते हैं।

आइए अब व्यंजक के मान की गणना करें

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

73 से विभाज्य है। ध्यान दें कि संख्याएँ 9 और 81 तीन की घात हैं:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

यह जानने के बाद, हम मूल अभिव्यक्ति में एक प्रतिस्थापन करेंगे:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

आइए 3 12 निकालें:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

गुणनफल 3 12 .73 73 से विभाज्य है (चूंकि एक गुणनखंड इससे विभाज्य है), इसलिए व्यंजक 81 4 - 9 7 + 3 12 इस संख्या से विभाज्य है।

पहचान साबित करने के लिए फैक्टरिंग आउट का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए हम समानता की वैधता को सिद्ध करें

(ए 2 + 3 ए) 2 + 2 (ए 2 + 3 ए) = ए (ए + 1) (ए + 2) (ए + 3)

पहचान को हल करने के लिए, हम सामान्य कारक को निकालकर समानता के बाएँ पक्ष को बदल देते हैं:

(ए 2 + 3 ए) 2 + 2 (ए 2 + 3 ए) = (ए 2 + 3 ए) (ए 2 + 3 ए) + 2 (ए 2 + 3 ए) = (ए 2 + 3 ए) (ए 2 + 3 ए + 2 )

(ए 2 + 3 ए) (ए 2 + 3 ए + 2) = (ए 2 + 3 ए) (ए 2 + 2 ए + ए + 2) = (ए 2 + 3 ए) ((ए 2 + 2 ए) + (ए + 2 ) = (ए 2 + 3 ए) (ए (ए + 2) + (ए + 2)) = (ए 2 + 3 ए) (ए + 1) (ए + 2) = ए (ए + 3) (ए + जेड )(ए + 2) = ए(ए + 1)(ए + 2)(ए + 3)

एक और उदाहरण। आइए हम सिद्ध करें कि चर x और y के किसी भी मान के लिए व्यंजक

(एक्स - वाई) (एक्स + वाई) - 2x (एक्स - वाई)

एक सकारात्मक संख्या नहीं है।

समाधान। आइए सामान्य कारक x - y निकालें:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

ध्यान दें कि हमने दो समान द्विपदों का गुणनफल प्राप्त किया है जो केवल अक्षरों x और y के क्रम में भिन्न हैं। यदि हम किसी एक कोष्ठक में चरों की अदला-बदली करते हैं, तो हमें दो समान व्यंजकों, अर्थात् एक वर्ग का गुणनफल प्राप्त होता है। लेकिन x और y को स्वैप करने के लिए, आपको ब्रैकेट के सामने एक ऋण चिह्न लगाना होगा:

(एक्स - वाई) = - (वाई - एक्स)

तब आप लिख सकते हैं:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

जैसा कि आप जानते हैं कि किसी भी संख्या का वर्ग शून्य से बड़ा या उसके बराबर होता है। यह व्यंजक (y - x) 2 पर भी लागू होता है। यदि व्यंजक से पहले कोई ऋण है, तो वह शून्य से कम या उसके बराबर होना चाहिए, अर्थात यह कोई धनात्मक संख्या नहीं है।

बहुपद प्रसार कुछ समीकरणों को हल करने में मदद करता है। यह निम्नलिखित कथन का उपयोग करता है:

यदि समीकरण के एक भाग में शून्य है, और दूसरे में कारकों का उत्पाद है, तो उनमें से प्रत्येक को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए।

उदाहरण। समीकरण (s - 1)(s + 1) = 0 को हल करें।

समाधान। एकपदी s-1 और s + 1 का गुणनफल बाईं ओर लिखा जाता है, और शून्य दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, या तो s - 1 या s + 1 शून्य के बराबर होना चाहिए:

(एस - 1)(एस + 1) = 0

एस - 1 = 0 या एस + 1 = 0

एस = 1 या एस = -1

चर s के दो प्राप्त मानों में से प्रत्येक समीकरण का मूल है, अर्थात इसकी दो जड़ें हैं।

उत्तर 1; एक।

उदाहरण। समीकरण 5w 2 - 15w = 0 को हल करें।

समाधान। आइए 5w निकालते हैं:

फिर से, उत्पाद बाईं ओर लिखा गया है, और दाईं ओर शून्य है। आइए समाधान के साथ जारी रखें:

5w = 0 या (w - 3) = 0

डब्ल्यू = 0 या डब्ल्यू = 3

उत्तर: 0; 3.

उदाहरण। समीकरण k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए शर्तों को समूहीकृत करें:

कश्मीर 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(के 3 - 8k 2) + (3k - 24) = 0

के 2 (के - 8) + 3 (के - 8) = 0

(के 3 + 3) (के - 8) = 0

के 2 + 3 = 0 या के - 8 = 0

के 2 \u003d -3 या के \u003d 8

ध्यान दें कि समीकरण k 2 = - 3 का कोई हल नहीं है, क्योंकि कोई भी वर्ग संख्या शून्य से कम नहीं होती है। इसलिए, मूल समीकरण का एकमात्र मूल k = 8 है।

उदाहरण। समीकरण की जड़ें खोजें

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

हल: सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ, और फिर पदों को समूहित करें:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 या u + 3 = 0

यू=6 या यू=-3

उत्तर:- 3; 6.

उदाहरण। प्रश्न हल करें

(टी 2 - 5टी) 2 = 30टी - 6टी 2

(टी 2 - 5टी) 2 = 30टी - 6टी 2

(टी 2 - 5 टी) 2 - (30 टी - 6 टी 2) = 0

(टी 2 - 5 टी) (टी 2 - 5 टी) + 6 (टी 2 - 5 टी) = 0

(टी 2 - 5 टी) (टी 2 - 5 टी + 6) = 0

टी 2 - 5 टी = 0 या टी 2 - 5 टी + 6 = 0

टी = 0 या टी - 5 = 0

टी = 0 या टी = 5

अब दूसरे समीकरण पर एक नजर डालते हैं। हमारे सामने फिर से एक वर्ग त्रिपद है। समूहीकरण विधि द्वारा इसे गुणनखंडित करने के लिए, आपको इसे 4 पदों के योग के रूप में प्रस्तुत करना होगा। यदि हम प्रतिस्थापन - 5t = - 2t - 3t करते हैं, तो हम शर्तों को और समूहबद्ध कर सकते हैं:

टी 2 - 5टी + 6 = 0

टी 2 - 2 टी - 3 टी + 6 = 0

टी (टी - 2) - 3 (टी - 2) = 0

(टी - 3)(टी - 2) = 0

टी - 3 = 0 या टी - 2 = 0

टी=3 या टी=2

परिणामस्वरूप, हमने पाया कि मूल समीकरण के 4 मूल हैं।

सामान्य तौर पर, इस कार्य में एक रचनात्मक दृष्टिकोण शामिल होता है, क्योंकि इसे हल करने के लिए कोई सार्वभौमिक तरीका नहीं है। हालाँकि, आइए कुछ संकेत देने का प्रयास करें।

बहुसंख्यक मामलों में, बहुपद का कारकों में अपघटन बेज़आउट प्रमेय के परिणाम पर आधारित होता है, अर्थात, मूल पाया जाता है या चुना जाता है और बहुपद की डिग्री को विभाजित करके एक से कम किया जाता है। परिणामी बहुपद को मूल के लिए खोजा जाता है और प्रक्रिया पूर्ण विस्तार तक दोहराई जाती है।

यदि जड़ नहीं मिल सकती है, तो विशिष्ट अपघटन विधियों का उपयोग किया जाता है: समूहीकरण से लेकर अतिरिक्त परस्पर अनन्य शब्दों को पेश करने तक।

आगे की प्रस्तुति पूर्णांक गुणांकों के साथ उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के कौशल पर आधारित है।

सामान्य कारक को ब्रैकेट करना।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें, जब मुक्त पद शून्य के बराबर होता है, अर्थात बहुपद का रूप होता है।

जाहिर है, ऐसे बहुपद का मूल है, अर्थात बहुपद को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है।

यह तरीका और कुछ नहीं सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना.

उदाहरण।

तीसरी डिग्री के बहुपद को कारकों में विघटित करें।

समाधान।

यह स्पष्ट है कि बहुपद का मूल है, अर्थात्, एक्सब्रैकेट किया जा सकता है:

एक वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात कीजिए

इस तरह,

पृष्ठ के सबसे ऊपर

तर्कसंगत जड़ों वाले बहुपद का गुणनखंडन।

सबसे पहले, फॉर्म के पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के विस्तार की विधि पर विचार करें, उच्चतम डिग्री पर गुणांक एक के बराबर है।

इस स्थिति में, यदि बहुपद के पूर्णांक मूल हैं, तो वे मुक्त पद के भाजक हैं।

उदाहरण।

समाधान।

आइए देखें कि क्या पूर्णांक जड़ें हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या के भाजक लिखते हैं -18 : . अर्थात्, यदि बहुपद के पूर्णांक मूल हैं, तो वे लिखी गई संख्याओं में से हैं। आइए हॉर्नर की योजना के अनुसार इन नंबरों की क्रमिक रूप से जाँच करें। इसकी सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि अंत में हम बहुपद के विस्तार गुणांक भी प्राप्त करेंगे:

वह है, एक्स = 2तथा एक्स = -3मूल बहुपद की जड़ें हैं और इसे एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह वर्ग ट्रिनोमियल का विस्तार करने के लिए बनी हुई है।

इस त्रिपद का विभेदक ऋणात्मक है, इसलिए इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर:

टिप्पणी:

हॉर्नर की योजना के बजाय, कोई एक रूट के चयन और बहुपद के बाद के विभाजन को बहुपद द्वारा उपयोग कर सकता है।

अब फॉर्म के पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के विस्तार पर विचार करें, और उच्चतम डिग्री पर गुणांक एक के बराबर नहीं है।

इस मामले में, बहुपद में आंशिक रूप से तर्कसंगत जड़ें हो सकती हैं।

उदाहरण।

व्यंजक को गुणनखंड कीजिए।

समाधान।

चर बदलने से वाई = 2x, हम उच्चतम डिग्री पर एक के बराबर गुणांक वाले बहुपद को पास करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले व्यंजक को से गुणा करते हैं 4 .

यदि परिणामी फलन में पूर्णांक मूल हैं, तो वे मुक्त पद के भाजक हैं। आइए उन्हें लिख लें:

क्रमिक रूप से फ़ंक्शन के मानों की गणना करें जी (वाई)इन बिंदुओं पर शून्य तक पहुंचने तक।

वह है, वाई=-5जड़ है इसलिए, मूल कार्य का मूल है। आइए एक द्विपद द्वारा एक बहुपद के एक स्तंभ (कोने) से विभाजन करते हैं।

इस तरह,

शेष भाजक की जाँच जारी रखना उचित नहीं है, क्योंकि परिणामी वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना आसान है

फलस्वरूप,

अज्ञात बहुपद। डोबुटोक अनजाने में बहुपद के वितरण के बारे में प्रमेय। बहुपद का विहित लेआउट।

बहुपदों के गुणनखंडन के 8 उदाहरण दिए गए हैं। इनमें द्विघात और द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण, पुनरावर्ती बहुपद के उदाहरण और तीसरे और चौथे डिग्री बहुपद के पूर्णांक मूल खोजने के उदाहरण शामिल हैं।

विषय

यह सभी देखें: बहुपदों के गुणनखंडन के तरीके
द्विघात समीकरण की जड़ें
घन समीकरणों का हल

1. द्विघात समीकरण के हल के उदाहरण

उदाहरण 1.1

एक्स 4 + x 3 - 6 x 2.

एक्स निकालें 2 कोष्ठक के लिए:
.
2 + एक्स - 6 = 0:
.
समीकरण जड़ें:
, .

.

उदाहरण 1.2

तृतीय-डिग्री बहुपद का गुणनखंडन:
एक्स 3 + 6 x 2 + 9 x.

हम कोष्ठक से x निकालते हैं:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 + 6 x + 9 = 0:
इसका भेदक है।
चूँकि विवेचक शून्य के बराबर है, समीकरण के मूल गुणज हैं: ;
.

यहाँ से हम बहुपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:
.

उदाहरण 1.3

पांचवीं डिग्री बहुपद का गुणन:
एक्स 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

एक्स निकालें 3 कोष्ठक के लिए:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 - 2 x + 10 = 0.
इसका भेदक है।
चूंकि विवेचक शून्य से कम है, इसलिए समीकरण के मूल जटिल हैं: ;
, .

बहुपद के गुणनखंड का रूप है:
.

यदि हम वास्तविक गुणांकों के साथ गुणनखंड करने में रुचि रखते हैं, तो:
.

फ़ार्मुलों का उपयोग करके बहुपदों को फ़ैक्टर करने के उदाहरण

द्विघात बहुपद वाले उदाहरण

उदाहरण 2.1

द्विघात बहुपद का गुणनखंडन कीजिए:
एक्स 4 + x 2 - 20.

सूत्र लागू करें:
एक 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
एक 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी).

;
.

उदाहरण 2.2

एक बहुपद का गुणनखंड करना जो द्विघात को कम करता है:
एक्स 8 + x 4 + 1.

सूत्र लागू करें:
एक 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
एक 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी):

;

;
.

उदाहरण 2.3 पुनरावर्ती बहुपद के साथ

पुनरावर्ती बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

पुनरावर्ती बहुपद में एक विषम डिग्री होती है। अत: इसका मूल x = - 1 . हम बहुपद को x से भाग देते हैं - (-1) = एक्स + 1. परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
, ;
;


;
.

पूर्णांक मूलों वाले बहुपद गुणनखंडों के उदाहरण

उदाहरण 3.1

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

मान लीजिए समीकरण

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

तो, हमें तीन जड़ें मिली हैं:
एक्स 1 = 1 , एक्स 2 = 2 , एक्स 3 = 3 .
चूंकि मूल बहुपद तीसरी डिग्री का है, इसलिए इसकी तीन से अधिक जड़ें नहीं हैं। चूँकि हमें तीन मूल मिले हैं, वे सरल हैं। फिर
.

उदाहरण 3.2

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

मान लीजिए समीकरण

कम से कम एक पूर्णांक जड़ है। तब यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
-2, -1, 1, 2 .
इन मानों को एक-एक करके बदलें:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

तो, हमें एक जड़ मिली है:
एक्स 1 = -1 .
हम बहुपद को x - x . से विभाजित करते हैं 1 = एक्स - (-1) = एक्स + 1:


फिर,
.

अब हमें तीसरी डिग्री के समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
.
यदि हम यह मान लें कि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
1, 2, -1, -2 .
स्थानापन्न x = -1 :
.

तो हमें एक और मूल x . मिला है 2 = -1 . पिछले मामले की तरह, बहुपद को से विभाजित करना संभव होगा, लेकिन हम शर्तों को समूहित करेंगे:
.

एक बहुपद एक व्यंजक है जिसमें एकपदी का योग होता है। उत्तरार्द्ध एक स्थिर (संख्या) और अभिव्यक्ति की जड़ (या जड़ें) के गुणनफल हैं k। इस मामले में, एक डिग्री k के बहुपद की बात करता है। एक बहुपद के अपघटन में व्यंजक का रूपांतरण शामिल होता है, जिसमें पदों को कारकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए हम इस तरह के परिवर्तन को अंजाम देने के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर बहुपद के विस्तार की विधि

यह विधि वितरण कानून के नियमों पर आधारित है। तो, एमएन + एमके = एम * (एन + के)।

• उदाहरण: 7y 2 + 2uy और 2m 3 - 12m 2 + 4lm का विस्तार करें।

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l)।

हालांकि, प्रत्येक बहुपद में अनिवार्य रूप से मौजूद कारक हमेशा नहीं पाया जा सकता है, इसलिए यह विधि सार्वभौमिक नहीं है।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों पर आधारित बहुपद विस्तार विधि

संक्षिप्त गुणन सूत्र किसी भी डिग्री के बहुपद के लिए मान्य हैं। सामान्य तौर पर, परिवर्तन अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

यू के - एल के = (यू - एल) (यू के -1 + यू के -2 * एल + यू के -3 * एल 2 + … यू * एल के -2 + एल के -1), जहां के प्रतिनिधि है प्राकृतिक संख्याएँ।

सबसे अधिक बार, दूसरे और तीसरे क्रम के बहुपद के लिए सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

यू 2 - एल 2 \u003d (यू - एल) (यू + एल),

यू 3 - एल 3 \u003d (यू - एल) (यू 2 + उल + एल 2),

यू 3 + एल 3 = (यू + एल)(यू 2 - उल + एल 2)।

• उदाहरण: 25p 2 - 144b 2 और 64m 3 - 8l 3 का विस्तार करें।

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 )

बहुपद अपघटन विधि - व्यंजक के पदों को समूहीकृत करना

यह विधि एक तरह से एक सामान्य कारक प्राप्त करने की तकनीक को प्रतिध्वनित करती है, लेकिन इसमें कुछ अंतर हैं। विशेष रूप से, सामान्य कारक को अलग करने से पहले, किसी को एकपदी का समूह बनाना चाहिए। समूहीकरण साहचर्य और कम्यूटेटिव कानूनों के नियमों पर आधारित है।

व्यंजक में प्रस्तुत सभी एकपदी को समूहों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में एक समान मान निकाला जाता है ताकि सभी समूहों में दूसरा गुणनखंड समान हो। सामान्य तौर पर, ऐसी अपघटन विधि को एक अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

पीएल + केएस + केएल + पीएस = (पी + के) (एल + एस)।

• उदाहरण: 14mn + 16ln - 49m - 56l का विस्तार करें।

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7)।

बहुपद अपघटन विधि - पूर्ण वर्ग निर्माण

बहुपद अपघटन के दौरान यह विधि सबसे कुशल में से एक है। प्रारंभिक चरण में, उन मोनोमियल्स को निर्धारित करना आवश्यक है जिन्हें अंतर या योग के वर्ग में "मुड़ा" जा सकता है। इसके लिए, निम्नलिखित संबंधों में से एक का उपयोग किया जाता है:

(पी - बी) 2 \u003d पी 2 - 2पीबी + बी 2,

• उदाहरण:व्यंजक u 4 + 4u 2 - 1 का विस्तार कीजिए।

इसके एकपदी में, हम उन पदों को अलग करते हैं जो एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (यू 4 + 2 * 2यू 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (यू 4 + 2 * 2यू 2 + 4) - 5.

संक्षिप्त गुणन के नियमों का उपयोग करके परिवर्तन को पूरा करें: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - 5) (u 2 + 2 + 5)।

उस। यू 4 + 4यू 2 - 1 = (यू 2 + 2 - √5) (यू 2 + 2 + 5)।

गुणनखंड करने के लिए, भावों को सरल बनाना आवश्यक है। इसे और कम करने में सक्षम होने के लिए यह आवश्यक है। एक बहुपद का अपघटन तब समझ में आता है जब उसकी घात दूसरी से कम न हो। पहली डिग्री वाले बहुपद को रैखिक कहा जाता है।

लेख अपघटन की सभी अवधारणाओं, सैद्धांतिक नींव और बहुपद को फैक्टर करने के तरीकों को प्रकट करेगा।

लिखित

प्रमेय 1

जब घात n वाला कोई बहुपद, जिसका रूप P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो। . . + a 1 x + a 0, उच्चतम डिग्री a n और n रैखिक कारकों (x - x i), i = 1, 2 , … , n , फिर P n (x) = a n के साथ एक स्थिर कारक के साथ एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है। (एक्स - एक्स एन) (एक्स - एक्स एन -1) । . . · (x - x 1) , जहां x i , i = 1, 2 , … , n - ये बहुपद के मूल हैं।

प्रमेय जटिल प्रकार x i , i = 1 , 2 , … , n और जटिल गुणांक a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n के मूल के लिए अभिप्रेत है। यह किसी भी विघटन का आधार है।

जब a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n के रूप के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हों, तब संयुग्मी युग्मों में सम्मिश्र मूल उत्पन्न होंगे। उदाहरण के लिए, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के बहुपद से संबंधित मूल x 1 और x 2। . . + a 1 x + a 0 को सम्मिश्र संयुग्म माना जाता है, तो अन्य मूल वास्तविक होते हैं, इसलिए हम पाते हैं कि बहुपद P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · का रूप लेता है। . . (एक्स - एक्स 3) एक्स 2 + पी एक्स + क्यू, जहां एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2)।

टिप्पणी

बहुपद की जड़ों को दोहराया जा सकता है। बीजगणित के प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें, बेजआउट के प्रमेय के परिणाम।

बीजगणित का मौलिक प्रमेय

प्रमेय 2

घात n वाले किसी बहुपद का कम से कम एक मूल होता है।

बेज़ाउट का प्रमेय

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के बहुपद को विभाजित करने के बाद। . . + a 1 x + a 0 (x - s) पर, तो हमें शेषफल मिलता है, जो बिंदु s पर बहुपद के बराबर है, तो हम प्राप्त करते हैं

पी एन एक्स = ए एन एक्स एन + ए एन -1 एक्स एन -1 +। . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , जहाँ Q n - 1 (x) घात n-1 के साथ एक बहुपद है।

Bezout के प्रमेय से उपपत्ति

जब बहुपद P n (x) का मूल s माना जाता है, तो P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + । . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) । समाधान का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने पर यह कोरोलरी पर्याप्त है।

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड

a x 2 + b x + c के रूप का एक वर्ग त्रिपद को रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। तब हम पाते हैं कि a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , जहां x 1 और x 2 मूल (जटिल या वास्तविक) हैं।

इससे पता चलता है कि अपघटन स्वयं बाद में द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाता है।

उदाहरण 1

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

समीकरण 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र के अनुसार विवेचक का मान ज्ञात करना होगा, फिर हमें D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9 मिलता है। इसलिए हमारे पास है कि

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

यहाँ से हम पाते हैं कि 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1।

चेक करने के लिए, आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। तब हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

सत्यापन के बाद, हम मूल अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं। अर्थात्, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विस्तार सही है।

उदाहरण 2

3 x 2 - 7 x - 11 के रूप के एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

हम पाते हैं कि फॉर्म 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 के परिणामी द्विघात समीकरण की गणना करना आवश्यक है।

जड़ों को खोजने के लिए, आपको विवेचक का मूल्य निर्धारित करना होगा। हमें वह मिलता है

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

यहाँ से हम पाते हैं कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6।

उदाहरण 3

बहुपद 2 x 2 + 1 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

अब आपको द्विघात समीकरण 2 x 2 + 1 = 0 को हल करना है और इसके मूल ज्ञात करने हैं। हमें वह मिलता है

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

इन जड़ों को जटिल संयुग्म कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि अपघटन को स्वयं 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण 4

वर्ग त्रिपद x 2 + 1 3 x + 1 का विस्तार कीजिए।

समाधान

सबसे पहले आपको x 2 + 1 3 x + 1 = 0 के रूप का एक द्विघात समीकरण हल करना होगा और इसके मूल ज्ञात करने होंगे।

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 डी = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + डी 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 मैं

जड़ें प्राप्त करने के बाद, हम लिखते हैं

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 मैं

टिप्पणी

यदि विवेचक का मान ऋणात्मक है, तो बहुपद दूसरे क्रम के बहुपद बने रहेंगे। इसलिए यह इस प्रकार है कि हम उन्हें रैखिक कारकों में विघटित नहीं करेंगे।

दूसरे से अधिक घात वाले बहुपद के गुणनखंड करने की विधियाँ

अपघटन एक सार्वभौमिक विधि मानता है। अधिकांश मामले बेज़ाउट के प्रमेय के एक परिणाम पर आधारित होते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको मूल x 1 के मान का चयन करना होगा और (x - x 1) से विभाजित करके बहुपद को 1 से विभाजित करके इसकी डिग्री कम करनी होगी। परिणामी बहुपद को रूट x 2 खोजने की आवश्यकता होती है, और खोज प्रक्रिया चक्रीय होती है जब तक कि हम पूर्ण अपघटन प्राप्त नहीं कर लेते।

यदि जड़ नहीं मिलती है, तो गुणन के अन्य तरीकों का उपयोग किया जाता है: समूहीकरण, अतिरिक्त शर्तें। यह विषय उच्च शक्तियों और पूर्णांक गुणांक वाले समीकरणों के समाधान को मानता है।

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उस स्थिति पर विचार करें जब मुक्त पद शून्य के बराबर हो, तो बहुपद का रूप P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो जाता है। . . + ए 1 एक्स।

यह देखा जा सकता है कि इस तरह के बहुपद की जड़ x 1 \u003d 0 के बराबर होगी, फिर आप बहुपद को व्यंजक P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप में निरूपित कर सकते हैं। . . + ए 1 एक्स = = एक्स (ए एन एक्स एन -1 + ए एन -1 एक्स एन - 2 + ... + ए 1)

इस विधि को कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने वाला माना जाता है।

उदाहरण 5

तृतीय डिग्री बहुपद 4 x 3 + 8 x 2 - x का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

हम देखते हैं कि x 1 \u003d 0 दिए गए बहुपद का मूल है, तो हम x को संपूर्ण व्यंजक में से कोष्ठक में डाल सकते हैं। हम पाते हैं:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

आइए वर्ग त्रिपद 4 x 2 + 8 x - 1 के मूल ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए विवेचक और जड़ों को खोजें:

डी = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + डी 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - डी 2 4 = - 1 - 5 2

फिर यह इस प्रकार है

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

आरंभ करने के लिए, आइए एक अपघटन विधि पर विचार करें जिसमें P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के पूर्णांक गुणांक हों। . . + a 1 x + a 0 , जहां उच्चतम शक्ति का गुणांक 1 है।

जब बहुपद के पूर्णांक मूल होते हैं, तो उन्हें मुक्त पद का भाजक माना जाता है।

उदाहरण 6

व्यंजक f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 का विस्तार कीजिए।

समाधान

विचार करें कि क्या पूर्णांक जड़ें हैं। संख्या - 18 के भाजक को लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 । यह इस प्रकार है कि इस बहुपद की पूर्णांक जड़ें हैं। आप हॉर्नर स्कीम के अनुसार चेक कर सकते हैं। यह बहुत सुविधाजनक है और आपको बहुपद के विस्तार गुणांक शीघ्रता से प्राप्त करने की अनुमति देता है:

यह इस प्रकार है कि x \u003d 2 और x \u003d - 3 मूल बहुपद की जड़ें हैं, जिन्हें रूप के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एफ (एक्स) = एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 = (एक्स - 2) (एक्स 3 + 5 एक्स 2 + 9 एक्स + 9) = = (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)

हम x 2 + 2 x + 3 के रूप के एक वर्ग त्रिपद के अपघटन की ओर मुड़ते हैं।

चूंकि विवेचक नकारात्मक है, इसका मतलब है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर:एफ (एक्स) \u003d एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 \u003d (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)

टिप्पणी

इसे हॉर्नर की योजना के बजाय एक बहुपद द्वारा मूल चयन और बहुपद के विभाजन का उपयोग करने की अनुमति है। आइए हम P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के प्रसार पर विचार करें। . . + a 1 x + a 0 , जिनमें से उच्चतम एक के बराबर नहीं है।

यह मामला भिन्नात्मक परिमेय भिन्नों के लिए होता है।

उदाहरण 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

चर y = 2 x को बदलना आवश्यक है, किसी को उच्चतम डिग्री पर 1 के बराबर गुणांक वाले बहुपद में जाना चाहिए। आपको व्यंजक को 4 से गुणा करके प्रारंभ करना होगा। हमें वह मिलता है

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

जब फॉर्म का परिणामी फ़ंक्शन g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 में पूर्णांक जड़ें होती हैं, तो उनकी खोज मुक्त पद के भाजक के बीच होती है। प्रविष्टि इस तरह दिखेगी:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

आइए परिणाम के रूप में शून्य प्राप्त करने के लिए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन जी (वाई) की गणना के लिए आगे बढ़ें। हमें वह मिलता है

जी (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ग्राम (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ग्राम (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ग्राम (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ग्राम (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 ग्राम (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 ग्राम (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 ग्राम (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 ग्राम (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 ग्राम (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

हम पाते हैं कि y \u003d - 5 फॉर्म y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के समीकरण की जड़ है, जिसका अर्थ है कि x \u003d y 2 \u003d - 5 2 मूल फ़ंक्शन की जड़ है।

उदाहरण 8

कॉलम 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 को x + 5 2 से विभाजित करना आवश्यक है।

समाधान

हम लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

भाजक की जाँच में बहुत समय लगेगा, इसलिए x 2 + 7 x + 3 के रूप के परिणामी वर्ग त्रिपद का गुणनखंड लेना अधिक लाभदायक है। शून्य के बराबर करने पर, हम विवेचक पाते हैं।

x 2 + 7 x + 3 = 0 डी = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 एक्स + 7 2 + 37 2

इसलिए यह इस प्रकार है कि

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

बहुपद का गुणन करते समय कृत्रिम तरकीबें

सभी बहुपदों में परिमेय मूल निहित नहीं होते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कारकों को खोजने के लिए विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। लेकिन सभी बहुपदों को एक उत्पाद के रूप में विघटित या प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

समूहीकरण विधि

ऐसे मामले हैं जब आप एक बहुपद की शर्तों को एक सामान्य कारक खोजने के लिए समूहित कर सकते हैं और इसे कोष्ठक से निकाल सकते हैं।

उदाहरण 9

बहुपद x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

क्योंकि गुणांक पूर्णांक हैं, तो मूल रूप से पूर्णांक भी हो सकते हैं। जाँच करने के लिए, हम इन बिंदुओं पर बहुपद के मान की गणना करने के लिए मान 1 , - 1 , 2 और - 2 लेते हैं। हमें वह मिलता है

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

इससे पता चलता है कि जड़ें नहीं हैं, अपघटन और समाधान की एक अलग विधि का उपयोग करना आवश्यक है।

समूहीकरण की आवश्यकता है:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

मूल बहुपद को समूहीकृत करने के बाद, इसे दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में निरूपित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हमें कारक बनाने की जरूरत है। हमें वह मिलता है

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

टिप्पणी

समूहीकरण की सरलता का अर्थ यह नहीं है कि शब्दों का चयन करना काफी आसान है। इसे हल करने का कोई निश्चित तरीका नहीं है, इसलिए विशेष प्रमेयों और नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।

उदाहरण 10

बहुपद x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

दिए गए बहुपद का कोई पूर्णांक मूल नहीं है। शर्तों को समूहीकृत किया जाना चाहिए। हमें वह मिलता है

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

फैक्टरिंग के बाद, हमें वह मिलता है

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए संक्षिप्त गुणन और न्यूटन के द्विपद सूत्रों का उपयोग करना

उपस्थिति अक्सर यह स्पष्ट नहीं करती है कि अपघटन के दौरान किस तरह का उपयोग करना है। परिवर्तन किए जाने के बाद, आप पास्कल के त्रिभुज से मिलकर एक रेखा बना सकते हैं, अन्यथा उन्हें न्यूटन का द्विपद कहा जाता है।

उदाहरण 11

बहुपद x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

व्यंजक को रूप में बदलना आवश्यक है

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

कोष्ठक में योग के गुणांकों का क्रम व्यंजक x + 1 4 द्वारा दर्शाया गया है।

तो हमारे पास x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 है।

वर्गों के अंतर को लागू करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

दूसरे कोष्ठक में दिए गए व्यंजक पर विचार कीजिए। यह स्पष्ट है कि वहाँ घोड़े नहीं हैं, इसलिए वर्गों के अंतर का सूत्र फिर से लागू किया जाना चाहिए। हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जैसे

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

उदाहरण 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

आइए अभिव्यक्ति को बदलें। हमें वह मिलता है

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

घनों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 एक्स 2 + एक्स 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

एक बहुपद का गुणन करते समय एक चर को बदलने की एक विधि

एक चर बदलते समय, डिग्री कम हो जाती है और बहुपद का गुणनखंड हो जाता है।

उदाहरण 13

x 6 + 5 x 3 + 6 के रूप के एक बहुपद का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

शर्त से, यह स्पष्ट है कि y = x 3 को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

परिणामी द्विघात समीकरण के मूल y = - 2 और y = - 3 हैं, तो

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

घनों के योग के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हमें फॉर्म के भाव मिलते हैं:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

यानी हमें वांछित विस्तार मिल गया है।

ऊपर चर्चा किए गए मामले बहुपद पर विभिन्न तरीकों से विचार करने और फैक्टरिंग करने में मदद करेंगे।

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