सांख्यिकीय समुच्चय की इकाइयों की विशेषताएं उनके अर्थ में भिन्न होती हैं, उदाहरण के लिए, किसी भी उद्यम के एक ही पेशे के श्रमिकों की मजदूरी समान अवधि के लिए समान नहीं होती है, समान उत्पादों के लिए बाजार पर कीमतें अलग-अलग होती हैं। , जिले के खेतों में कृषि फसलों की उपज, आदि। इसलिए, इकाइयों के पूरे अध्ययन किए गए सेट की विशेषता विशेषता के मूल्य को निर्धारित करने के लिए, औसत मूल्यों की गणना की जाती है।
औसत मूल्य – यह एक निश्चित मात्रात्मक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के समुच्चय की एक सामान्यीकरण विशेषता है।

एक मात्रात्मक मानदंड द्वारा अध्ययन किए गए समुच्चय में व्यक्तिगत मूल्य होते हैं; वे सामान्य कारणों और व्यक्तिगत स्थितियों दोनों से प्रभावित होते हैं। इस बीच, व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन की विशेषता बुझ जाती है। औसत, व्यक्तिगत मूल्यों के एक समूह का एक कार्य होने के नाते, पूरे सेट को एक मान के रूप में दर्शाता है और उस सामान्य को दर्शाता है जो इसकी सभी इकाइयों में निहित है।

गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों वाली आबादी के लिए गणना की गई औसत को कहा जाता है ठेठ माध्यमिक... उदाहरण के लिए, आप किसी विशेष पेशेवर समूह (खनिक, लाइब्रेरियन डॉक्टर) के कर्मचारी के औसत मासिक वेतन की गणना कर सकते हैं। बेशक, खनिकों के मासिक वेतन के स्तर, उनकी योग्यता, सेवा की लंबाई, प्रति माह काम करने के घंटे और कई अन्य कारकों में अंतर के कारण, एक दूसरे से और औसत मजदूरी के स्तर से भिन्न होते हैं। हालांकि, औसत स्तर मुख्य कारकों को दर्शाता है जो मजदूरी के स्तर को प्रभावित करते हैं, और कर्मचारी की व्यक्तिगत विशेषताओं के कारण उत्पन्न होने वाले अंतर पारस्परिक रूप से ऑफसेट होते हैं। औसत वेतन किसी दिए गए प्रकार के कार्यकर्ता के लिए विशिष्ट मजदूरी स्तर को दर्शाता है। एक विशिष्ट औसत प्राप्त करने से पहले इस बात का विश्लेषण किया जाना चाहिए कि दी गई जनसंख्या गुणात्मक रूप से सजातीय कैसे है। यदि समुच्चय में अलग-अलग भाग होते हैं, तो इसे विशिष्ट समूहों (अस्पताल में औसत तापमान) में विभाजित किया जाना चाहिए।

विषम समष्टि के लिए विशेषताओं के रूप में उपयोग किए जाने वाले साधन कहलाते हैं सिस्टम औसत... उदाहरण के लिए, प्रति व्यक्ति औसत सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी), प्रति व्यक्ति वस्तुओं के विभिन्न समूहों की औसत खपत, और अन्य समान मूल्य जो एक एकल आर्थिक प्रणाली के रूप में राज्य की सामान्यीकरण विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

औसत की गणना पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में इकाइयों वाली आबादी के लिए की जानी चाहिए। बड़ी संख्या के कानून को लागू करने के लिए इस शर्त का अनुपालन आवश्यक है, जिसके परिणामस्वरूप सामान्य प्रवृत्ति से व्यक्तिगत मूल्यों के यादृच्छिक विचलन पारस्परिक रूप से रद्द कर दिए जाते हैं।

औसत के प्रकार और उनकी गणना कैसे करें

औसत के प्रकार का चुनाव एक निश्चित संकेतक की आर्थिक सामग्री और प्रारंभिक डेटा द्वारा निर्धारित किया जाता है। हालांकि, किसी भी औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए ताकि जब यह औसत विशेषता के प्रत्येक संस्करण को बदल दे, तो अंतिम, सामान्यीकरण, या, जैसा कि आमतौर पर कहा जाता है, परिभाषित संकेतक, जो औसत संकेतक से संबंधित है। उदाहरण के लिए, पथ के अलग-अलग हिस्सों पर वास्तविक गति को उनकी औसत गति से बदलते समय, एक ही समय में वाहन द्वारा तय की गई कुल दूरी नहीं बदलनी चाहिए; जब उद्यम के व्यक्तिगत कर्मचारियों के वास्तविक वेतन को औसत वेतन से बदल दिया जाता है, तो वेतन निधि में परिवर्तन नहीं होना चाहिए। नतीजतन, प्रत्येक विशिष्ट मामले में, उपलब्ध आंकड़ों की प्रकृति के आधार पर, संकेतक का केवल एक वास्तविक औसत मूल्य होता है, जो अध्ययन की गई सामाजिक-आर्थिक घटना के गुणों और सार के लिए पर्याप्त होता है।
सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले अंकगणित माध्य, हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य, मूल-माध्य-वर्ग और घन माध्य हैं।
सूचीबद्ध औसत वर्ग के हैं शक्ति नियमऔसत और सामान्य सूत्र द्वारा संयुक्त हैं:
,
अध्ययन के तहत विशेषता का औसत मूल्य कहां है;
मी - औसत की डिग्री का सूचक;
- औसत विशेषता का वर्तमान मान (वैरिएंट);
n सुविधाओं की संख्या है।
घातांक m के मान के आधार पर, निम्न प्रकार के शक्ति साधनों को प्रतिष्ठित किया जाता है:
एम = -1 पर - औसत हार्मोनिक;
एम = 0 पर - ज्यामितीय माध्य;
एम = 1 के लिए - अंकगणितीय माध्य;
m = 2 के लिए - मूल-माध्य-वर्ग;
एम = 3 के साथ - औसत घन।
समान प्रारंभिक डेटा का उपयोग करते हुए, उपरोक्त सूत्र में घातांक m जितना बड़ा होगा, माध्य मान उतना ही बड़ा होगा:
.
निर्धारक फलन के घातांक में वृद्धि के साथ घात औसत के बढ़ने के इस गुण को कहते हैं साधनों के प्रमुखीकरण का नियम.
प्रत्येक चिह्नित औसत दो रूप ले सकता है: सरलतथा भारित.
साधारण मध्यम आकारइसका उपयोग तब किया जाता है जब औसत की गणना प्राथमिक (अवर्गीकृत) डेटा से की जाती है। भारित रूप- माध्यमिक (समूहीकृत) डेटा के लिए औसत की गणना करते समय।

अंकगणित औसत

अंकगणित माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब जनसंख्या का आयतन चर विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों का योग होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि औसत का प्रकार इंगित नहीं किया गया है, तो अंकगणितीय माध्य निहित है। इसका तार्किक सूत्र है:

सरल अंकगणित माध्यगणना असमूहीकृत डेटा द्वारा सूत्र के अनुसार:
या ,
विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य कहां हैं;
j प्रेक्षण इकाई की क्रमिक संख्या है, जिसे मान द्वारा अभिलक्षित किया जाता है;
एन अवलोकन इकाइयों (जनसंख्या आकार) की संख्या है।
उदाहरण।व्याख्यान में "सांख्यिकीय डेटा का सारांश और समूहीकरण" 10 लोगों की एक टीम के कार्य अनुभव के अवलोकन के परिणामों पर विचार किया गया। आइए ब्रिगेड के कर्मचारियों की औसत सेवा अवधि की गणना करें। ५, ३, ५, ४, ३, ४, ५, ४, २, ४.

अंकगणित माध्य अभाज्य के सूत्र के अनुसार, निम्नलिखित की भी गणना की जाती है कालानुक्रमिक औसतयदि समय अंतराल जिसके लिए विशेषता मान प्रस्तुत किए जाते हैं, समान हैं।
उदाहरण।पहली तिमाही में बेचे गए उत्पादों की मात्रा 47 डेन थी। इकाइयाँ, दूसरे 54 के लिए, तीसरे 65 के लिए और चौथे 58 दिनों के लिए। इकाइयों औसत तिमाही कारोबार (४७ + ५४ + ६५ + ५८) / ४ = ५६ डेन है। इकाइयों
यदि कालानुक्रमिक श्रृंखला में क्षण संकेतक दिए गए हैं, तो औसत की गणना करते समय, उन्हें अवधि की शुरुआत और अंत में आधे-अधूरे मूल्यों से बदल दिया जाता है।
यदि दो से अधिक क्षण हैं और उनके बीच का अंतराल समान है, तो औसत कालक्रम के लिए सूत्र का उपयोग करके औसत की गणना की जाती है

,
जहां n बार की संख्या है
मामले में जब डेटा को विशिष्ट मूल्यों द्वारा समूहीकृत किया जाता है (यानी, एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला का निर्माण किया गया है) के साथ माध्य अंकगणित भारितया तो आवृत्ति या विशेषता के विशिष्ट मूल्यों के अवलोकन की आवृत्तियों का उपयोग करके गणना की जाती है, जिसकी संख्या (के) टिप्पणियों की संख्या (एन) से काफी कम है।
,
,
जहां k भिन्नता श्रृंखला के समूहों की संख्या है,
i - विविधता श्रृंखला के समूह की संख्या।
चूंकि, ए, हमें व्यावहारिक गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्र मिलते हैं:
तथा
उदाहरण।आइए समूहबद्ध पंक्ति के लिए कार्य करने वाली टीमों की औसत वरिष्ठता की गणना करें।
ए) आवृत्तियों का उपयोग करना:

बी) आवृत्तियों का उपयोग करना:

उस स्थिति में जब डेटा को अंतराल द्वारा समूहीकृत किया जाता है , अर्थात। वितरण की अंतराल श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय, अंतराल के मध्य को इस अंतराल में जनसंख्या इकाइयों के समान वितरण की धारणा के आधार पर विशेषता मान के रूप में लिया जाता है। गणना सूत्रों के अनुसार की जाती है:
तथा
अंतराल के बीच कहाँ है :,
जहां और अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं (बशर्ते कि इस अंतराल की ऊपरी सीमा अगले अंतराल की निचली सीमा के साथ मेल खाती हो)।

उदाहरण।आइए 30 श्रमिकों के वार्षिक वेतन के अध्ययन के परिणामों के आधार पर निर्मित अंतराल भिन्नता श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य की गणना करें (व्याख्यान "सांख्यिकीय डेटा का सारांश और समूहीकरण" देखें)।
तालिका 1 - वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला।

अंतराल, UAH	आवृत्ति, लोग	आवृत्ति,	अंतराल के बीच में,
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

एच.आर.एन. या एच.आर.एन.
प्रारंभिक डेटा और अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधार पर गणना किए गए अंकगणितीय साधन अंतराल के भीतर सुविधा मूल्यों के असमान वितरण के कारण मेल नहीं खा सकते हैं। इस मामले में, अंकगणितीय भारित औसत की अधिक सटीक गणना के लिए, अंतराल के मध्य बिंदुओं का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए, लेकिन प्रत्येक समूह के लिए गणना किए गए सरल अंकगणितीय साधन ( समूह औसत) भारित गणना सूत्र का उपयोग करके समूह औसत से परिकलित औसत कहलाता है सामान्य औसत.
अंकगणित माध्य में कई गुण होते हैं।
1. माध्य से भिन्न के विचलन का योग शून्य के बराबर है:
.
2. यदि वैरिएंट के सभी मान A के मान से बढ़ते या घटते हैं, तो औसत मान भी उसी मान A से बढ़ता या घटता है:

3. यदि प्रत्येक विकल्प को B गुना बढ़ाया या घटाया जाता है, तो औसत मान भी उतने ही गुणा से बढ़ेगा या घटेगा:
या
4. आवृत्तियों द्वारा प्रकार के उत्पादों का योग औसत मूल्य के उत्पाद के बराबर आवृत्तियों के योग के बराबर होता है:

5. यदि सभी आवृत्तियों को किसी संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा:

६) यदि सभी अंतरालों में आवृत्तियाँ एक दूसरे के बराबर हों, तो भारित अंकगणितीय माध्य सरल अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है:
,
जहां k भिन्नता श्रृंखला के समूहों की संख्या है।

माध्य के गुणों का उपयोग करने से गणना करना आसान हो जाता है।
मान लीजिए कि सभी विकल्प (x) को पहले समान संख्या A से घटाया जाता है, और फिर B गुना कम किया जाता है। सबसे बड़ा सरलीकरण तब प्राप्त होता है जब उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य के मान को A के रूप में चुना जाता है, और अंतराल के मान (समान अंतराल वाली पंक्तियों के लिए) को B के रूप में चुना जाता है। मात्रा A को मूल कहा जाता है, इसलिए औसत की गणना करने की यह विधि कहलाती है रास्ताबी सशर्त शून्य से ओम की गिनतीया पलों का रास्ता.
इस तरह के परिवर्तन के बाद, हम एक नई विविधता वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं, जिसके रूप समान होते हैं। उनका अंकगणित माध्य कहा जाता है पहले आदेश का क्षण,सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है और अंकगणित माध्य के दूसरे और तीसरे गुणों के अनुसार मूल विकल्पों के औसत के बराबर होता है, पहले ए से घटाया जाता है, और फिर बी गुना, यानी।
प्राप्त करना वास्तविक औसत(प्रारंभिक श्रृंखला का औसत), आपको पहले क्रम के क्षण को B से गुणा करना होगा और A जोड़ना होगा:

आघूर्णों की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना तालिका में दिए गए डेटा द्वारा सचित्र है। 2.
तालिका 2 - उद्यम की दुकान के श्रमिकों की सेवा की लंबाई के अनुसार वितरण

कार्य अनुभव, वर्ष	श्रमिकों की राशि	अंतराल के बीच
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

पहले आदेश का क्षण ज्ञात कीजिए ... फिर, यह जानते हुए कि A = 17.5, और B = 5, हम दुकान के कर्मचारियों की औसत सेवा अवधि की गणना करते हैं:
वर्षों

औसत हार्मोनिक
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, अंकगणितीय माध्य का उपयोग किसी विशेषता के औसत मूल्य की गणना के लिए किया जाता है, जहां इसके वेरिएंट x और उनकी आवृत्ति f ज्ञात हैं।
यदि सांख्यिकीय जानकारी में जनसंख्या के अलग-अलग वेरिएंट x के लिए आवृत्तियों f शामिल नहीं हैं, लेकिन उनके उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो सूत्र लागू किया जाता है औसत हार्मोनिक भारित... औसत की गणना करने के लिए, आइए हम इंगित करें कि कहाँ है। इन भावों को अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम हार्मोनिक भारित औसत के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:
,
संख्या i (i = 1,2, ..., k) के साथ अंतराल में संकेतक विशेषता के मानों का आयतन (वजन) कहाँ है।

इस प्रकार, औसत हार्मोनिक का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां विकल्प स्वयं योग के अधीन नहीं होते हैं, लेकिन उनके पारस्परिक मूल्य: .
ऐसे मामलों में जहां प्रत्येक विकल्प का भार एक के बराबर है, अर्थात। व्युत्क्रम विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य एक बार होते हैं, इसे लागू किया जाता है औसत हार्मोनिक सरल:
,
जहां एक समय में एक बार होने वाले विपरीत चिन्ह के अलग-अलग रूप हैं;
एन विकल्पों की संख्या है।
यदि जनसंख्या के दो भागों के लिए हार्मोनिक औसत हैं और हार्मोनिक औसत हैं, तो पूरी आबादी के लिए कुल औसत की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और बुलाया समूह से भारित हार्मोनिक माध्य का अर्थ है.

उदाहरण।मुद्रा विनिमय पर व्यापार के दौरान, काम के पहले घंटे में तीन लेनदेन संपन्न हुए। रिव्निया बिक्री की राशि और अमेरिकी डॉलर के संबंध में रिव्निया विनिमय दर पर डेटा तालिका में दिया गया है। 3 (कॉलम 2 और 3)। व्यापार के पहले घंटे के लिए अमेरिकी डॉलर के मुकाबले रिव्निया की औसत विनिमय दर निर्धारित करें।
तालिका 3 - मुद्रा विनिमय पर व्यापार के दौरान डेटा

औसत डॉलर की दर सभी लेन-देन के दौरान बेची गई रिव्निया की राशि के अनुपात से निर्धारित होती है, उसी लेनदेन के परिणामस्वरूप अर्जित डॉलर की राशि से। रिव्निया बिक्री की कुल राशि तालिका के कॉलम 2 से जानी जाती है, और प्रत्येक लेनदेन में खरीदे गए डॉलर की संख्या रिव्निया बिक्री की राशि को उसकी दर (कॉलम 4) से विभाजित करके निर्धारित की जाती है। कुल मिलाकर, तीन लेनदेन के दौरान, 22 मिलियन डॉलर खरीदे गए। इसका मतलब है कि एक डॉलर के लिए रिव्निया की औसत विनिमय दर थी
.
परिणामी मान वास्तविक है, क्योंकि लेनदेन में वास्तविक रिव्निया विनिमय दरों के साथ इसे बदलने से रिव्निया बिक्री की कुल राशि नहीं बदलेगी, जो इस प्रकार कार्य करती है परिभाषित संकेतक: UAH एमएलएन।
यदि अंकगणित माध्य का उपयोग गणना के लिए किया गया था, अर्थात। रिव्निया, फिर 22 मिलियन डॉलर की खरीद के लिए विनिमय दर पर। 110.66 मिलियन hryvnyas खर्च करना आवश्यक होगा, जो वास्तविकता के अनुरूप नहीं है।

जियोमेट्रिक माध्य
ज्यामितीय माध्य का उपयोग घटना की गतिशीलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है और आपको औसत विकास दर निर्धारित करने की अनुमति देता है। ज्यामितीय माध्य की गणना करते समय, सुविधा के अलग-अलग मान गतिकी के सापेक्ष संकेतकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो श्रृंखला मात्रा के रूप में निर्मित होते हैं, प्रत्येक स्तर के पिछले स्तर के अनुपात के रूप में।
ज्यामितीय माध्य सरल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
,
काम की निशानी कहाँ है,
एन औसत मूल्यों की संख्या है।
उदाहरण। 4 वर्षों में पंजीकृत अपराधों की संख्या में 1.57 गुना वृद्धि हुई, जिसमें पहली - 1.08 गुना, दूसरी - 1.1 गुना, तीसरी - 1.18 गुना और चौथी - 1.12 गुना शामिल हैं। फिर अपराधों की संख्या की औसत वार्षिक वृद्धि दर है:, अर्थात। पंजीकृत अपराधों की संख्या में सालाना औसतन 12% की वृद्धि हुई।

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

भारित माध्य वर्ग की गणना करने के लिए, हम निर्धारित करते हैं और तालिका में दर्ज करते हैं। फिर किसी दिए गए मानदंड से उत्पादों की लंबाई के विचलन का औसत मूल्य इसके बराबर है:

इस मामले में अंकगणितीय माध्य अनुपयुक्त होगा, क्योंकि परिणाम शून्य विचलन होगा।
मूल माध्य वर्ग के अनुप्रयोग पर बाद में भिन्नता के संदर्भ में चर्चा की जाएगी।

सामाजिक-आर्थिक अनुसंधान में उपयोग किए जाने वाले सांख्यिकीय संकेतकों का सबसे सामान्य रूप औसत मूल्य है, जो एक सांख्यिकीय आबादी की विशेषता की सामान्यीकृत मात्रात्मक विशेषता है। औसत मूल्य हैं, जैसा कि वे थे, टिप्पणियों की पूरी श्रृंखला के "प्रतिनिधि"। कई मामलों में औसत के प्रारंभिक अनुपात (आईएससी) या उसके तार्किक सूत्र के माध्यम से औसत निर्धारित करना संभव है:। इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी उद्यम के कर्मचारियों के औसत वेतन की गणना करने के लिए, कुल वेतन निधि को कर्मचारियों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है: औसत के प्रारंभिक अनुपात का अंश इसका परिभाषित संकेतक है। औसत वेतन के लिए, ऐसा परिभाषित संकेतक पेरोल है। सामाजिक आर्थिक विश्लेषण में प्रयुक्त प्रत्येक संकेतक के लिए, औसत की गणना के लिए केवल एक वास्तविक आधारभूत अनुपात संकलित किया जा सकता है। यह भी जोड़ा जाना चाहिए कि छोटे नमूनों (30 से कम तत्वों की संख्या के साथ) के लिए मानक विचलन का अधिक सटीक अनुमान लगाने के लिए, रूट के नीचे अभिव्यक्ति के हर में इसका उपयोग करना आवश्यक है एन, ए एन- 1.

औसत मूल्यों की अवधारणा और प्रकार

औसत मूल्यएक सांख्यिकीय आबादी का एक सामान्यीकरण संकेतक है, जो सांख्यिकीय मात्राओं के मूल्यों में व्यक्तिगत अंतर को बुझाता है, जिससे आप एक दूसरे के साथ विभिन्न आबादी की तुलना कर सकते हैं। मौजूद 2 वर्गऔसत: शक्ति-कानून और संरचनात्मक। संरचनात्मक औसत में शामिल हैं पहनावा तथा मंझला , लेकिन अक्सर इस्तेमाल किया जाता है बिजली औसतकई तरह का।

बिजली औसत

शक्ति साधन हो सकता है सरलतथा भारित.

साधारण औसत की गणना दो या दो से अधिक अवर्गीकृत सांख्यिकीय मात्राओं की उपस्थिति में की जाती है, जिन्हें निम्न सामान्य शक्ति-कानून औसत सूत्र (k (m) के विभिन्न मूल्यों के लिए) के अनुसार एक मनमाना क्रम में व्यवस्थित किया जाता है:

भारित औसत की गणना निम्न सामान्य सूत्र का उपयोग करके समूहीकृत आँकड़ों से की जाती है:

जहां x - अध्ययन की गई घटना का औसत मूल्य; x i - i -th औसत विशेषता का संस्करण;

f i, i-वें विकल्प का भार है।

जहाँ X - व्यक्तिगत सांख्यिकीय मात्राओं का मान या समूह अंतरालों के मध्य;
मी एक घातांक है, जिसके मान पर निम्न प्रकार के शक्ति-कानून माध्य मान निर्भर करते हैं:
एम = -1 औसत हार्मोनिक पर;
एम = 0 के लिए, ज्यामितीय माध्य;
एम = 1 के लिए, समांतर माध्य;
m = 2 मूल माध्य वर्ग के लिए;
एम = 3 के लिए, औसत घन है।

m के विभिन्न घातांकों के लिए सरल और भारित औसत के सामान्य सूत्रों का उपयोग करके, हम प्रत्येक प्रकार के विशेष सूत्र प्राप्त करते हैं, जिन पर आगे विस्तार से विचार किया जाएगा।

अंकगणित औसत

अंकगणित माध्य - पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण, बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की गणितीय अपेक्षा;

अंकगणितीय माध्य सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला औसत है, जो सामान्य सूत्र में m = 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। अंकगणित औसत सरलइस तरह दिखता है:

या

जहां एक्स - मात्राओं का मान जिसके लिए औसत मूल्य की गणना करना आवश्यक है; N, X मानों की कुल संख्या है (अध्ययन की गई जनसंख्या में इकाइयों की संख्या)।

उदाहरण के लिए, एक छात्र ने 4 परीक्षा उत्तीर्ण की और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5। साधारण अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके औसत स्कोर की गणना करें: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 = 16/4 = 4 .अंकगणित औसत भारितइस तरह दिखता है:

जहाँ f समान X मान (आवृत्ति) वाली मात्राओं की संख्या है। > उदाहरण के लिए, एक छात्र ने 4 परीक्षा उत्तीर्ण की और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5। अंकगणितीय भारित औसत सूत्र का उपयोग करके औसत स्कोर की गणना करें: (3 * 1 + 4 * 2 + 5 * 1) / 4 = 16/4 = 4 ...यदि एक्स मानों को अंतराल के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, तो एक्स अंतराल के मध्य बिंदुओं का उपयोग गणना के लिए किया जाता है, जो अंतराल की ऊपरी और निचली सीमाओं के आधे योग के रूप में निर्धारित होते हैं। और यदि एक्स अंतराल में निचली या ऊपरी सीमा (खुला अंतराल) नहीं है, तो इसे खोजने के लिए पड़ोसी एक्स अंतराल की सीमा (ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच का अंतर) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कंपनी के पास ३ साल तक के अनुभव के साथ १० कर्मचारी, ३ से ५ साल के अनुभव के साथ २० कर्मचारी, ५ साल से अधिक के अनुभव वाले ५ कर्मचारी हैं। फिर हम अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र के अनुसार कर्मचारियों की सेवा की औसत लंबाई की गणना करते हैं, अनुभव के अंतराल (2, 4 और 6 वर्ष) के मध्य के रूप में एक्स लेते हैं: (२ * १० + ४ * २० + ६ * ५) / (१० + २० + ५) = ३.७१ वर्ष।

औसत समारोह

यह फ़ंक्शन अपने तर्कों के औसत (अंकगणित) की गणना करता है।

औसत (नंबर 1, नंबर 2, ...)

संख्या 1, संख्या 2, ... 1 से 30 तर्क हैं जिनके लिए औसत की गणना की जाती है।

तर्क संख्या या नाम, सरणियाँ या संख्या वाले संदर्भ होने चाहिए। यदि तर्क, जो एक सरणी या संदर्भ है, में पाठ, बूलियन मान या रिक्त कक्ष हैं, तो उन मानों को अनदेखा कर दिया जाता है; हालांकि, शून्य मान वाले कक्षों की गणना की जाती है।

औसत समारोह

तर्क सूची में निर्दिष्ट मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करता है। संख्याओं के अलावा, गणना में टेक्स्ट और लॉजिकल वैल्यू जैसे TRUE और FALSE का उपयोग किया जा सकता है।

औसत (मान1, मान2,...)

Value1, value2, ... 1 से 30 सेल, सेल रेंज या वे मान हैं जिनके लिए औसत की गणना की जाती है।

तर्क संख्या, नाम, सरणियाँ या संदर्भ होने चाहिए। टेक्स्ट वाले ऐरे और लिंक की व्याख्या 0 (शून्य) के रूप में की जाती है। खाली टेक्स्ट ("") की व्याख्या 0 (शून्य) के रूप में की जाती है। TRUE मान वाले तर्कों की व्याख्या 1 के रूप में की जाती है, FALSE मान वाले तर्कों की व्याख्या 0 (शून्य) के रूप में की जाती है।

अंकगणित माध्य का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है, लेकिन ऐसे मामले हैं जब अन्य प्रकार के औसत का उपयोग करना आवश्यक होता है। हम आगे ऐसे मामलों पर विचार करेंगे।

औसत हार्मोनिक

पारस्परिक का औसत योग निर्धारित करने के लिए हार्मोनिक माध्य;

औसत हार्मोनिकइसका उपयोग तब किया जाता है जब मूल डेटा में X के व्यक्तिगत मानों के लिए आवृत्तियाँ f नहीं होती हैं, लेकिन उनके उत्पाद Xf के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं। Xf = w को निरूपित करते हुए, हम f = w / X व्यक्त करते हैं, और इन पदनामों को अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम हार्मोनिक भारित औसत के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, भारित औसत हार्मोनिक का उपयोग तब किया जाता है जब आवृत्तियाँ f अज्ञात होती हैं, लेकिन w = Xf ज्ञात होता है। उन मामलों में जब सभी w = 1, यानी X के व्यक्तिगत मान 1 बार आते हैं, औसत हार्मोनिक सरल का सूत्र लागू होता है: या उदाहरण के लिए, एक कार 90 किमी / घंटा की गति से बिंदु A से बिंदु B तक जाती है, और 110 किमी / घंटा की गति से वापस आती है। औसत गति निर्धारित करने के लिए, हम सरल हार्मोनिक औसत सूत्र लागू करते हैं, क्योंकि उदाहरण में दूरी w 1 = w 2 दी गई है (बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी B से A के समान है), जो कि के बराबर है गति (X) और समय (f) का गुणनफल। औसत गति = (1 + 1) / (1/90 + 1/110) = 99 किमी / घंटा।

एसआरजीएआरएम समारोह

डेटा सेट का हार्मोनिक माध्य लौटाता है। हार्मोनिक माध्य व्युत्क्रम के अंकगणितीय माध्य का व्युत्क्रम है।

एसआरजीएआरएम (नंबर 1; नंबर 2; ...)

संख्या 1, संख्या 2, ... 1 से 30 तर्क हैं जिनके लिए औसत की गणना की जाती है। आप अर्धविराम द्वारा अलग किए गए तर्कों के बजाय किसी सरणी या सरणी संदर्भ का उपयोग कर सकते हैं।

हार्मोनिक माध्य हमेशा ज्यामितीय माध्य से कम होता है, जो हमेशा अंकगणित माध्य से कम होता है।

जियोमेट्रिक माध्य

यादृच्छिक चर की औसत वृद्धि दर का आकलन करने के लिए ज्यामितीय माध्य, न्यूनतम और अधिकतम मानों से समान दूरी पर एक विशेषता का मान ज्ञात करना;

जियोमेट्रिक माध्यऔसत सापेक्ष परिवर्तनों को निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है। ज्यामितीय माध्य सबसे सटीक औसत परिणाम देता है यदि कार्य X का ऐसा मान ज्ञात करना है जो X के अधिकतम और न्यूनतम दोनों मानों से समान दूरी पर होगा। उदाहरण के लिए, 2005 और 2008 के बीचमुद्रास्फीति सूचकांक रूस में यह था: 2005 में - 1.109; 2006 में - 1,090; २००७ में - १,११९; 2008 में - 1.133। चूंकि मुद्रास्फीति सूचकांक एक सापेक्ष परिवर्तन (गतिशीलता सूचकांक) है, औसत मूल्य की गणना ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके की जानी चाहिए: (1.109 * 1.090 * 1.119 * 1.133) ^ (1/4) = 1.1126, यानी 2005 की अवधि के लिए 2008 तक कीमतों में सालाना औसतन 11.26% की वृद्धि हुई। अंकगणित माध्य का उपयोग करते हुए एक गलत गणना 11.28% का गलत परिणाम देगी।

SRGEOM फ़ंक्शन

किसी सरणी का ज्यामितीय माध्य या धनात्मक संख्याओं का अंतराल देता है। उदाहरण के लिए, जब आप एक परिवर्तनीय दर चक्रवृद्धि आय निर्दिष्ट करते हैं, तो आप औसत वृद्धि दर की गणना करने के लिए SRGEOM फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं।

SRGEOM (नंबर 1; नंबर 2; ...)

संख्या 1, संख्या 2, ... 1 और 30 तर्कों के बीच हैं जिनके लिए ज्यामितीय माध्य की गणना की जाती है। आप अर्धविराम द्वारा अलग किए गए तर्कों के बजाय किसी सरणी या सरणी संदर्भ का उपयोग कर सकते हैं।

वर्गमूल औसत का वर्ग

मूल माध्य वर्ग दूसरे क्रम का प्रारंभिक क्षण है।

वर्गमूल औसत का वर्गइसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां एक्स के प्रारंभिक मान सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, औसत विचलन की गणना करते समय। द्विघात माध्य का मुख्य अनुप्रयोग X मानों में भिन्नता को मापना है।

औसत घन

औसत घन - तीसरे क्रम का प्रारंभिक क्षण।

औसत घनइसका उपयोग बहुत कम ही किया जाता है, उदाहरण के लिए, विकासशील देशों (INN-1) और विकसित देशों (INN-2) के लिए जनसंख्या के गरीबी सूचकांकों की गणना करते समय, संयुक्त राष्ट्र द्वारा प्रस्तावित और गणना की जाती है।

सांख्यिकी में विभिन्न प्रकार के औसतों का प्रयोग किया जाता है, जिन्हें दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जाता है:

शक्ति औसत (हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य, अंकगणित माध्य, माध्य वर्ग, घन माध्य);

संरचनात्मक साधन (फैशन, माध्यिका)।

हिसाब करना बिजली औसतसभी उपलब्ध विशेषता मूल्यों का उपयोग किया जाना चाहिए। पहनावातथा मंझलाकेवल वितरण संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है, इसलिए उन्हें संरचनात्मक, स्थितीय औसत कहा जाता है। माध्यिका और विधा का उपयोग अक्सर उन आबादी में औसत विशेषता के रूप में किया जाता है जहां शक्ति माध्य की गणना असंभव या अव्यवहारिक होती है।

औसत का सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय माध्य है। अंतर्गत अंकगणित औसतएक विशेषता का अर्थ समझा जाता है कि जनसंख्या की प्रत्येक इकाई के पास होगा यदि सुविधा के सभी मूल्यों का कुल जनसंख्या की सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित किया गया हो। इस मूल्य की गणना अलग-अलग विशेषता के सभी मूल्यों के योग के लिए कम हो जाती है और परिणामी योग को जनसंख्या में इकाइयों की कुल संख्या से विभाजित करती है। उदाहरण के लिए, पांच श्रमिकों ने भागों के निर्माण के लिए एक आदेश पूरा किया, जबकि पहले ने 5 भागों को बनाया, दूसरा - 7, तीसरा - 4, चौथा - 10, पांचवां - 12. चूंकि प्रारंभिक आंकड़ों में प्रत्येक का मूल्य विकल्प केवल एक बार सामने आया था, निर्धारित करने के लिए

एक कार्यकर्ता का औसत उत्पादन निर्धारित करने के लिए, एक साधारण अंकगणितीय माध्य सूत्र लागू किया जाना चाहिए:

अर्थात्, हमारे उदाहरण में, एक कार्यकर्ता का औसत उत्पादन बराबर है

वे सरल अंकगणितीय माध्य के साथ अध्ययन करते हैं भारित अंकगणितीय माध्य।उदाहरण के लिए, आइए 20 के समूह में छात्रों की औसत आयु की गणना करें, जिनकी आयु 18 से 22 के बीच है, जहां ग्यारहवीं- औसत सुविधा के वेरिएंट, फाई- आवृत्ति, जो दर्शाती है कि यह कितनी बार होता है i-वेंकुल मूल्य (सारणी 5.1)।

तालिका 5.1

छात्रों की औसत आयु

अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

भारित अंकगणितीय माध्य चुनने के लिए एक निश्चित नियम है: यदि दो संकेतकों पर डेटा की एक श्रृंखला है, जिनमें से एक के लिए गणना करना आवश्यक है

औसत मूल्य, और साथ ही इसके तार्किक सूत्र के हर के संख्यात्मक मान ज्ञात होते हैं, और अंश के मान अज्ञात होते हैं, लेकिन इन संकेतकों के उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है, फिर औसत मूल्य भारित अंकगणितीय माध्य के सूत्र के अनुसार गणना की जानी चाहिए।

कुछ मामलों में, प्रारंभिक सांख्यिकीय डेटा की प्रकृति ऐसी है कि अंकगणितीय माध्य की गणना अपना अर्थ खो देती है और केवल सामान्यीकरण संकेतक केवल एक अन्य प्रकार का औसत हो सकता है - औसत हार्मोनिक।वर्तमान में, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकी के व्यापक परिचय के संबंध में अंकगणितीय माध्य के कम्प्यूटेशनल गुणों ने सांख्यिकीय संकेतकों के सामान्यीकरण की गणना में अपनी प्रासंगिकता खो दी है। औसत हार्मोनिक मूल्य, जो सरल और भारित भी हो सकता है, ने बहुत व्यावहारिक महत्व प्राप्त कर लिया है। यदि एक तार्किक सूत्र के अंश के संख्यात्मक मान ज्ञात हैं, और हर के मान अज्ञात हैं, लेकिन एक संकेतक के दूसरे द्वारा भागफल विभाजन के रूप में पाया जा सकता है, तो औसत मूल्य की गणना हार्मोनिक का उपयोग करके की जाती है भारित औसत सूत्र।

उदाहरण के तौर पर बता दें कि कार ने पहले 210 किमी की दूरी 70 किमी/घंटा की रफ्तार से तय की, और बाकी 150 किमी की दूरी 75 किमी/घंटा की रफ्तार से तय की। समांतर माध्य सूत्र का उपयोग करके 360 किमी की पूरी यात्रा के दौरान कार की औसत गति निर्धारित करना असंभव है। चूंकि विकल्प अलग-अलग वर्गों में गति हैं एक्सजे= 70 किमी / घंटा और X2= 75 किमी / घंटा, और वजन (एफ) पथ के संबंधित खंड हैं, तो वजन के विकल्पों के उत्पादों का न तो भौतिक और न ही आर्थिक अर्थ होगा। इस मामले में, पथ के वर्गों को संबंधित गति (विकल्प xi) में विभाजित करने से भागफल, यानी पथ के अलग-अलग वर्गों के पारित होने में लगने वाला समय (फाई) / xi). यदि पथ के खंडों को फाई द्वारा निरूपित किया जाता है, तो पूरे पथ को फाई के रूप में व्यक्त किया जाएगा, और पूरे पथ पर बिताया गया समय - कैसे? फाई / ग्यारहवीं , तब औसत गति को पूरे पथ को कुल खर्च किए गए समय से विभाजित करने के भागफल के रूप में पाया जा सकता है:

हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है:

यदि, सभी विकल्पों के औसत हार्मोनिक भार का उपयोग करते समय (एफ) बराबर हैं, तो भारित के बजाय, आप उपयोग कर सकते हैं सरल (बिना भारित) हार्मोनिक माध्य:

जहां xi व्यक्तिगत विकल्प हैं; एन- औसत फीचर के वेरिएंट की संख्या। गति उदाहरण में, सरल हार्मोनिक औसत लागू किया जा सकता है यदि पथ खंड अलग-अलग गति से यात्रा करते हैं तो समान होते हैं।

किसी भी औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए ताकि जब यह औसत विशेषता के प्रत्येक प्रकार को प्रतिस्थापित करे, तो कुछ अंतिम, सामान्यीकरण संकेतक का मान, जो औसत संकेतक से जुड़ा होता है, परिवर्तित नहीं होता है। इसलिए, पथ के अलग-अलग हिस्सों पर वास्तविक गति को उनके औसत मूल्य (औसत गति) से बदलते समय, कुल दूरी में परिवर्तन नहीं होना चाहिए।

औसत मूल्य का रूप (सूत्र) औसत के साथ इस अंतिम संकेतक के संबंध की प्रकृति (तंत्र) द्वारा निर्धारित किया जाता है, इसलिए अंतिम संकेतक, जिसका मूल्य उनके औसत मूल्य के साथ विकल्पों को प्रतिस्थापित करते समय नहीं बदलना चाहिए, है बुलाया परिभाषित संकेतक।औसत के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको निर्धारित करने वाले के साथ औसत संकेतक के संबंध का उपयोग करके एक समीकरण बनाने और हल करने की आवश्यकता है। इस समीकरण का निर्माण औसत विशेषता (संकेतक) के वेरिएंट को उनके औसत मान से बदलकर किया गया है।

अंकगणित माध्य और हार्मोनिक माध्य के अलावा, माध्य के अन्य प्रकार (रूपों) का भी सांख्यिकी में उपयोग किया जाता है। वे सभी विशेष मामले हैं। शक्ति-कानून औसत।यदि हम समान डेटा के लिए सभी प्रकार के पावर-लॉ औसत की गणना करते हैं, तो मान

वे वही निकलेंगे, यहाँ नियम लागू होता है प्रमुख रैंकमाध्यम। औसत के घातांक में वृद्धि के साथ, माध्य मान भी स्वयं बढ़ जाता है। विभिन्न प्रकार के शक्ति-कानून माध्य मानों की गणना के लिए व्यावहारिक अनुसंधान में अक्सर उपयोग किए जाने वाले सूत्र तालिका में प्रस्तुत किए जाते हैं। ५.२.

तालिका 5.2

बिजली औसत के प्रकार

उपलब्ध होने पर ज्यामितीय माध्य लागू किया जाता है। एनविकास कारक, जबकि सुविधा के व्यक्तिगत मूल्य, एक नियम के रूप में, गतिशीलता के सापेक्ष मूल्य, श्रृंखला मात्रा के रूप में निर्मित, गतिशीलता की श्रृंखला में प्रत्येक स्तर के पिछले स्तर के संबंध के रूप में . औसत इस प्रकार औसत विकास दर की विशेषता है। औसत ज्यामितीय सरलसूत्र द्वारा गणना

सूत्र ज्यामितीय भारित माध्यइस तरह दिखता है:

दिए गए सूत्र समान हैं, लेकिन एक वर्तमान दरों या विकास दर पर लागू होता है, और दूसरा - श्रृंखला स्तरों के निरपेक्ष मूल्यों पर।

वर्गमूल औसत का वर्गवर्ग कार्यों के मूल्यों के साथ गणना करते समय उपयोग किया जाता है, वितरण श्रृंखला में अंकगणितीय माध्य के आसपास एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की परिवर्तनशीलता की डिग्री को मापने के लिए उपयोग किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

भारित माध्य वर्गएक अलग सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

औसत घनघन कार्यों के मूल्यों के साथ गणना करते समय उपयोग किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

भारित औसत घन:

उपरोक्त सभी औसत मूल्यों को एक सामान्य सूत्र के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

औसत मूल्य कहां है; - व्यक्तिगत मूल्य; एन- अध्ययन की गई जनसंख्या की इकाइयों की संख्या; कएक घातांक है जो औसत के प्रकार को निर्धारित करता है।

समान प्रारंभिक डेटा का उपयोग करते समय, अधिक कशक्ति-कानून औसत के सामान्य सूत्र में, औसत मूल्य जितना बड़ा होगा। इससे यह पता चलता है कि शक्ति औसत के मूल्यों के बीच एक नियमित संबंध है:

ऊपर वर्णित औसत मूल्य अध्ययन किए गए समुच्चय का एक सामान्यीकृत विचार देते हैं, और इस दृष्टिकोण से, उनका सैद्धांतिक, व्यावहारिक और संज्ञानात्मक मूल्य निर्विवाद है। लेकिन ऐसा होता है कि औसत का मूल्य वास्तव में मौजूदा विकल्पों में से किसी के साथ मेल नहीं खाता है, इसलिए, सांख्यिकीय विश्लेषण में विचार किए गए औसत के अलावा, विशिष्ट विकल्पों के मूल्यों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, जो काफी हद तक कब्जा कर लेते हैं एक सुविधा के मूल्यों की एक क्रमबद्ध (रैंकिंग) श्रृंखला में निश्चित स्थिति। इन मूल्यों में, सबसे आम हैं संरचनात्मक,या वर्णनात्मक, मध्यम- मोड (मो) और माध्यिका (मी)।

पहनावा- विशेषता का मूल्य, जो किसी दी गई आबादी में सबसे अधिक बार पाया जाता है। विविधता श्रृंखला के संबंध में, बहुलक श्रेणीबद्ध श्रृंखला का सबसे लगातार मूल्य है, यानी उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण। फैशन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कौन से स्टोर पर अधिक बार दौरा किया जाता है और किसी उत्पाद के लिए सबसे आम कीमत है। यह आबादी के एक महत्वपूर्ण हिस्से की विशेषता के आकार को दर्शाता है, और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जहां x0 अंतराल की निचली सीमा है; एच- अंतराल का आकार; एफएम- अंतराल आवृत्ति; एफएम_ 1 - पिछले अंतराल की आवृत्ति; एफएम + 1 - अगले अंतराल की आवृत्ति।

मंझलाको रैंक की गई पंक्ति के केंद्र में स्थित वैरिएंट कहा जाता है। माध्यिका पंक्ति को दो बराबर भागों में इस प्रकार विभाजित करती है कि उसके दोनों ओर समान संख्या में जनसंख्या इकाइयाँ स्थित हों। इसी समय, जनसंख्या की एक आधी इकाइयों में, भिन्न विशेषता का मान माध्यिका से कम होता है, दूसरे में - इससे अधिक। माध्यिका का उपयोग किसी ऐसे तत्व का अध्ययन करते समय किया जाता है, जिसका मान वितरण श्रृंखला के तत्वों के आधे से अधिक या उसके बराबर या एक साथ कम या बराबर होता है। माध्यिका एक सामान्य विचार देती है कि विशेषता के मूल्य कहाँ केंद्रित हैं, दूसरे शब्दों में, जहाँ उनका केंद्र स्थित है।

माध्यिका की वर्णनात्मक प्रकृति इस तथ्य में प्रकट होती है कि यह भिन्न विशेषता के मूल्यों की मात्रात्मक सीमा की विशेषता है, जो कि आधी जनसंख्या इकाइयों के पास है। असतत भिन्नता श्रृंखला के लिए माध्यिका खोजने की समस्या को हल करना आसान है। यदि हम श्रृंखला की सभी इकाइयों को क्रमसूचक संख्याएँ निर्दिष्ट करते हैं, तो माध्यिका संस्करण की क्रमिक संख्या (n +1) / 2 के रूप में निर्धारित की जाती है, जिसमें विषम संख्या में सदस्य n होते हैं। यदि श्रृंखला के सदस्यों की संख्या एक सम संख्या है , तो माध्यिका क्रमांक संख्या वाले दो विकल्पों का औसत होगा एन/ 2 और एन/ 2 + 1.

अंतराल भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका का निर्धारण करते समय, वह अंतराल जिसमें यह स्थित है (माध्यिका अंतराल) पहले निर्धारित किया जाता है। इस अंतराल को इस तथ्य की विशेषता है कि इसकी संचित आवृत्तियों का योग श्रृंखला की सभी आवृत्तियों के आधे योग के बराबर या उससे अधिक है। अंतराल भिन्नता श्रृंखला के माध्यिका की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

कहां X 0- अंतराल की निचली सीमा; एच- अंतराल का आकार; एफएम- अंतराल आवृत्ति; एफ- श्रृंखला के सदस्यों की संख्या;

एम -1 - इससे पहले की श्रृंखला के संचित सदस्यों का योग।

माध्यिका के साथ, अध्ययन की गई जनसंख्या की संरचना के अधिक पूर्ण लक्षण वर्णन के लिए, विकल्पों के अन्य मूल्यों का उपयोग किया जाता है, जो क्रमबद्ध श्रृंखला में एक निश्चित स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं। इसमे शामिल है चतुर्थकोंतथा दशमांशचतुर्थक श्रेणी को आवृत्तियों के योग से 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, और दशमांश को 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। इसमें तीन चतुर्थक और नौ दशमांश होते हैं।

माध्यिका और बहुलक, अंकगणित माध्य के विपरीत, भिन्न विशेषता के मूल्यों में व्यक्तिगत अंतर को समाप्त नहीं करते हैं और इसलिए सांख्यिकीय आबादी की अतिरिक्त और बहुत महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं। व्यवहार में, उनका उपयोग अक्सर औसत के बजाय या उसके साथ किया जाता है। उन मामलों में औसत और मोड की गणना करना विशेष रूप से उचित है जब अध्ययन की गई आबादी में एक निश्चित संख्या में इकाइयां होती हैं जिनमें चर विशेषता के बहुत बड़े या बहुत छोटे मूल्य होते हैं। ये, विकल्पों के कुल मूल्यों के लिए बहुत विशिष्ट नहीं हैं, अंकगणितीय माध्य के मूल्य को प्रभावित करते हैं, माध्यिका और मोड के मूल्यों को प्रभावित नहीं करते हैं, जो बाद वाले को आर्थिक और सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए बहुत मूल्यवान संकेतक बनाता है।

गणित में, संख्याओं का अंकगणितीय माध्य (या केवल औसत) किसी दिए गए सेट में सभी संख्याओं का योग होता है, जो उनकी संख्या से विभाजित होता है। यह औसत की सबसे सामान्यीकृत और व्यापक अवधारणा है। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, औसत मान ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई सभी संख्याओं का योग करना होगा, और परिणाम को पदों की संख्या से विभाजित करना होगा।

अंकगणित माध्य क्या है?

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1... दी गई संख्याएँ: 6, 7, 11. आपको उनका औसत मान ज्ञात करना होगा।

समाधान।

सबसे पहले, आइए इन सभी संख्याओं का योग ज्ञात करें।

अब परिणामी योग को पदों की संख्या से विभाजित करते हैं। चूँकि हमारे पास क्रमशः तीन पद हैं, हम तीन से भाग देंगे।

इसलिए, संख्या 6, 7 और 11 का औसत 8 है। ठीक 8 क्यों? क्योंकि 6, 7 और 11 का योग तीन आठ के बराबर होगा। यह दृष्टांत में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

औसत कुछ हद तक संख्याओं की एक श्रृंखला के "संरेखण" के समान है। जैसा कि आप देख सकते हैं, पेंसिलों के ढेर एक स्तर के हो गए हैं।

आइए प्राप्त ज्ञान को समेकित करने के लिए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण २।दी गई संख्याएँ: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29। आपको उनका समांतर माध्य ज्ञात करना होगा।

समाधान।

हम राशि पाते हैं।

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

पदों की संख्या से विभाजित करें (इस मामले में - 15)।

इसलिए, संख्याओं की इस श्रृंखला का औसत मान 22 है।

अब आइए नकारात्मक संख्याओं को देखें। आइए याद करें कि उन्हें कैसे संक्षेप में प्रस्तुत किया जाए। उदाहरण के लिए, आपके पास दो नंबर 1 और -4 हैं। आइए उनकी राशि ज्ञात करें।

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

इसे ध्यान में रखते हुए, एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3.संख्याओं की एक श्रृंखला का औसत मान ज्ञात कीजिए: 3, -7, 5, 13, -2।

समाधान।

संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

चूंकि 5 पद हैं, हम परिणामी योग को 5 से विभाजित करते हैं।

अतः संख्याओं 3, -7, 5, 13, -2 का समांतर माध्य 2.4 है।

तकनीकी प्रगति के हमारे समय में, औसत मूल्य खोजने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना कहीं अधिक सुविधाजनक है। माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल उनमें से एक है। एक्सेल में औसत ढूँढना त्वरित और आसान है। इसके अलावा, यह प्रोग्राम माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस सॉफ्टवेयर पैकेज में शामिल है। आइए इस प्रोग्राम का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य को खोजने के तरीके के बारे में एक संक्षिप्त निर्देश देखें।

संख्याओं की एक श्रृंखला के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको औसत फ़ंक्शन का उपयोग करने की आवश्यकता है। इस फ़ंक्शन का सिंटैक्स है:
= औसत (तर्क1, तर्क2, ... तर्क255)
जहां तर्क1, तर्क2, ... तर्क255 या तो संख्याएं या सेल संदर्भ हैं (कोशिकाओं का मतलब श्रेणियां और सरणियाँ हैं)।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए प्राप्त ज्ञान का परीक्षण करें।

1. सेल C1 - C6 में नंबर 11, 12, 13, 14, 15, 16 दर्ज करें।
2. सेल C7 पर क्लिक करके इसे चुनें। इस सेल में, हम औसत मूल्य प्रदर्शित करेंगे।
3. फॉर्मूला टैब पर क्लिक करें।
4. ड्रॉप-डाउन सूची खोलने के लिए अधिक कार्य> सांख्यिकीय चुनें।
5. औसत चुनें। उसके बाद, एक डायलॉग बॉक्स खुल जाना चाहिए।
6. डायलॉग बॉक्स में रेंज सेट करने के लिए सेल C1 - C6 को चुनें और खींचें।
7. "ओके" कुंजी के साथ अपने कार्यों की पुष्टि करें।
8. यदि आपने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो सेल C7 में आपके पास उत्तर होना चाहिए - 13.7. जब आप सेल C7 पर क्लिक करते हैं, तो फंक्शन (= औसत (C1: C6)) फॉर्मूला बार में प्रदर्शित होगा।

इस फ़ंक्शन का उपयोग लेखांकन, चालान-प्रक्रिया के लिए करना बहुत सुविधाजनक है, या जब आपको संख्याओं की एक बहुत लंबी श्रृंखला का औसत निकालने की आवश्यकता होती है। इसलिए, इसका उपयोग अक्सर कार्यालयों और बड़ी कंपनियों में किया जाता है। यह आपको रिकॉर्ड को क्रम में रखने की अनुमति देता है और किसी चीज़ की जल्दी से गणना करना संभव बनाता है (उदाहरण के लिए, प्रति माह औसत आय)। इसके अलावा, एक्सेल का उपयोग करके, आप फ़ंक्शन का औसत मान प्राप्त कर सकते हैं।

औसत

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, माध्य देखें।

औसत(गणित और सांख्यिकी में) संख्याओं का एक समूह उनकी संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग होता है। यह केंद्रीय प्रवृत्ति के सबसे सामान्य उपायों में से एक है।

यह पाइथागोरस द्वारा प्रस्तावित किया गया था (ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य के साथ)।

अंकगणित माध्य के विशेष मामले माध्य (सामान्य जनसंख्या का) और नमूना माध्य (नमूने) हैं।

परिचय

आइए हम डेटा सेट को निरूपित करें एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), तो नमूना माध्य आमतौर पर चर (x (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (x))) के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी द्वारा इंगित किया जाता है, जिसका उच्चारण " एक्सएक पंक्ति के साथ ")।

ग्रीक अक्षर μ का प्रयोग संपूर्ण जनसंख्या के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के लिए जिसके लिए माध्य मान निर्धारित किया जाता है, μ is संभाव्य माध्यया एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। अगर सेट एक्सएक संभाव्य माध्य μ के साथ यादृच्छिक संख्याओं का एक संग्रह है, फिर किसी भी नमूने के लिए एक्स मैंइस संग्रह से μ = ई ( एक्स मैं) इस नमूने की गणितीय अपेक्षा है।

व्यवहार में, μ और x (\ displaystyle (\ bar (x))) के बीच का अंतर यह है कि μ एक विशिष्ट चर है क्योंकि आप पूरी आबादी के बजाय नमूना देख सकते हैं। इसलिए, यदि नमूना यादृच्छिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है (संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में), तो x (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (x))) (लेकिन μ नहीं) को एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है जिसमें नमूने पर संभाव्यता वितरण होता है (माध्य का प्रायिकता वितरण)।

इन दोनों राशियों की गणना एक ही तरह से की जाती है:

एक्स ¯ = 1 एन ∑ आई = 1 एन एक्स आई = 1 एन (एक्स 1 + ⋯ + एक्स एन)। (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (एक्स)) = (\ फ्रैक (1) (एन)) \ योग _ (i = 1) ^ (एन) x_ (i) = (\ फ्रैक (1) (एन)) (x_ (१) + \ cdots + x_ (n))।)

अगर एक्सएक यादृच्छिक चर है, तो गणितीय अपेक्षा एक्सएक मात्रा के बार-बार माप में मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के रूप में माना जा सकता है एक्स... यह बड़ी संख्या के कानून की अभिव्यक्ति है। इसलिए, अज्ञात गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए नमूना माध्य का उपयोग किया जाता है।

प्रारंभिक बीजगणित में यह सिद्ध होता है कि माध्य एन+ 1 संख्या औसत से ऊपर एनसंख्याएँ यदि और केवल यदि नई संख्या पुराने औसत से अधिक है, कम और केवल यदि नई संख्या औसत से कम है, और यदि और केवल यदि नई संख्या औसत के बराबर है तो नहीं बदलती है। अधिक एन, नए और पुराने औसत के बीच का अंतर जितना छोटा होगा।

ध्यान दें कि पावर माध्य, कोलमोगोरोव माध्य, हार्मोनिक माध्य, अंकगणित-ज्यामितीय माध्य और विभिन्न भारित औसत (जैसे, भारित अंकगणितीय माध्य, भारित ज्यामितीय माध्य, भारित हार्मोनिक माध्य) सहित कई अन्य "माध्य" मान हैं।

के उदाहरण

• तीन संख्याओं के लिए, उन्हें जोड़ें और 3 से विभाजित करें:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 3. (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3))।)

• चार संख्याओं के लिए, उन्हें जोड़ें और 4 से विभाजित करें:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 4. (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4))।)

या अधिक सरलता से ५ + ५ = १०, १०: २। क्योंकि हमने 2 संख्याएँ जोड़ी हैं, जिसका अर्थ है कि हम कितनी संख्याएँ जोड़ते हैं, हम इतने से विभाजित करते हैं।

सतत यादृच्छिक चर

निरंतर वितरित मात्रा f (x) (\ displaystyle f (x)) के लिए, खंड पर अंकगणितीय माध्य [a; बी] (\ डिस्प्लेस्टाइल) निश्चित अभिन्न के संदर्भ में परिभाषित किया गया है:

एफ (एक्स) ¯ [ए; बी] = 1 बी - ए एबीएफ (एक्स) डीएक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ ओवरलाइन (एफ (एक्स))) _ () = (\ फ्रैक (1) (बीए)) \ int _ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स)

माध्य का उपयोग करने की कुछ समस्याएं

मजबूती की कमी

मुख्य लेख: आंकड़ों में मजबूती

यद्यपि अंकगणितीय माध्य का उपयोग अक्सर औसत या केंद्रीय प्रवृत्तियों के रूप में किया जाता है, यह एक मजबूत आँकड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि अंकगणितीय माध्य "बड़े विचलन" से बहुत प्रभावित होता है। यह उल्लेखनीय है कि बड़े तिरछेपन गुणांक वाले वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य "माध्य" की अवधारणा के अनुरूप नहीं हो सकता है, और मजबूत आँकड़ों से माध्य मान (उदाहरण के लिए, माध्यिका) केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर वर्णन कर सकते हैं।

एक उत्कृष्ट उदाहरण औसत आय की गणना कर रहा है। अंकगणितीय माध्य की माध्यिका के रूप में गलत व्याख्या की जा सकती है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तव में जितने लोग हैं, उससे अधिक आय वाले लोग हैं। "औसत" आय की व्याख्या इस तरह से की जाती है कि अधिकांश लोगों की आय इस संख्या के करीब हो। यह "औसत" (अंकगणितीय माध्य के अर्थ में) आय अधिकांश लोगों की आय से अधिक है, क्योंकि माध्य से एक बड़े विचलन के साथ एक उच्च आय अंकगणितीय माध्य को अत्यधिक विषम बनाती है (इसके विपरीत, औसत आय "प्रतिरोध" करती है। ऐसा पूर्वाग्रह)। हालांकि, यह "औसत" आय औसत आय के पास लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है (और मोडल आय के पास लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है)। फिर भी, यदि आप "औसत" और "अधिकांश लोगों" की अवधारणाओं को हल्के में लेते हैं, तो आप गलत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अधिकांश लोगों की आय वास्तव में उनकी आय से अधिक है। उदाहरण के लिए, मदीना, वाशिंगटन में "औसत" शुद्ध आय पर एक रिपोर्ट, जिसकी गणना सभी निवासियों की वार्षिक शुद्ध आय के अंकगणितीय औसत के रूप में की जाती है, बिल गेट्स की वजह से आश्चर्यजनक रूप से बड़ी संख्या देगी। नमूने (1, 2, 2, 2, 3, 9) पर विचार करें। अंकगणितीय माध्य 3.17 है, लेकिन छह में से पांच मान इस औसत से नीचे हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज

मुख्य लेख: निवेश पर प्रतिफल

अगर संख्या गुणा, लेकिन नहीं तह, आपको ज्यामितीय माध्य का उपयोग करने की आवश्यकता है, न कि अंकगणितीय माध्य का। ज्यादातर, यह घटना तब होती है जब वित्त में निवेश पर रिटर्न की गणना की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक पहले वर्ष में 10% गिर गया और दूसरे वर्ष में 30% की वृद्धि हुई, तो इन दो वर्षों में "औसत" वृद्धि को अंकगणितीय माध्य (-10% + 30%) के रूप में गणना करना गलत है। / 2 = 10%; इस मामले में सही औसत मूल्य संचयी वार्षिक वृद्धि दर द्वारा दिया गया है, जिस पर वार्षिक वृद्धि केवल 8.16653826392% 8.2% है।

इसका कारण यह है कि हर बार प्रतिशत में एक नया प्रारंभिक बिंदु होता है: 30% 30% है। पहले वर्ष की शुरुआत में कीमत से कम संख्या से:यदि स्टॉक शुरुआत में $30 पर था और 10% गिर गया, तो यह दूसरे वर्ष की शुरुआत में $27 पर है। यदि स्टॉक 30% ऊपर है, तो यह दूसरे वर्ष के अंत में $ 35.1 के लायक है। इस वृद्धि का अंकगणितीय औसत 10% है, लेकिन चूंकि 2 वर्षों में स्टॉक केवल $ 5.1 है, औसत 8.2% वृद्धि $ 35.1 का अंतिम परिणाम देती है:

[$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]। यदि हम 10% के अंकगणितीय माध्य का समान रूप से उपयोग करते हैं, तो हमें वास्तविक मान नहीं मिलेगा: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3]।

वर्ष 2 के अंत में कंपाउंड: 90% * 130% = 117% की कुल वृद्धि के लिए 17% और औसत चक्रवृद्धि दर 117% 108.2% (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ sqrt (117 \%)) \ लगभग 108.2 \ %), यानी 8.2% की औसत वार्षिक वृद्धि।

दिशा-निर्देश

मुख्य लेख: गंतव्य आँकड़े

किसी चर के अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय जो चक्रीय रूप से बदलता है (उदाहरण के लिए, चरण या कोण), विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 1 ° और 359 ° का औसत 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 ° होगा। यह संख्या दो कारणों से गलत है।

• सबसे पहले, कोणीय मानकों को केवल 0 ° से 360 ° (या 0 से 2π जब रेडियन में मापा जाता है) की सीमा के लिए परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, संख्याओं के समान युग्म को (1 ° और -1 °) या (1 ° और 719 °) के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक जोड़ी का औसत अलग होगा: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ़्रेक (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
• दूसरा, इस मामले में, 0 ° (360 ° के बराबर) ज्यामितीय रूप से बेहतर माध्य होगा क्योंकि संख्याएँ किसी भी अन्य मान (0 ° में सबसे कम विचरण) की तुलना में 0 ° से कम विचलित होती हैं। तुलना करना:
  • संख्या 1 ° 0 ° से केवल 1 ° से विचलित होती है;
  • संख्या 1 ° 180 ° की गणना औसत से 179 ° से विचलित होती है।

चक्रीय चर के लिए औसत मूल्य, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, कृत्रिम रूप से वास्तविक औसत से संख्यात्मक सीमा के मध्य में स्थानांतरित कर दिया जाएगा। इस वजह से, माध्य की गणना एक अलग तरीके से की जाती है, अर्थात् सबसे कम विचरण (केंद्र बिंदु) वाली संख्या को माध्य के रूप में चुना जाता है। साथ ही, घटाने के बजाय, मॉड्यूलर दूरी (अर्थात परिधि दूरी) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1 ° और 359 ° के बीच की मॉड्यूलर दूरी 2 ° है, न कि 358 ° (359 ° और 360 ° == 0 ° के बीच एक वृत्त पर - एक डिग्री, 0 ° और 1 ° के बीच - कुल मिलाकर 1 ° भी)। - 2 डिग्री)।

भारित औसत - यह क्या है और इसकी गणना कैसे करें?

गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में स्कूली बच्चे अंकगणित माध्य की अवधारणा से परिचित हो जाते हैं। बाद में सांख्यिकी और कुछ अन्य विज्ञानों में, छात्रों को अन्य माध्य मानों की गणना का सामना करना पड़ता है। वे क्या हो सकते हैं और वे एक दूसरे से कैसे भिन्न होते हैं?

औसत मान: अर्थ और अंतर

हमेशा सटीक संकेतक स्थिति की समझ नहीं देते हैं। किसी विशेष स्थिति का आकलन करने के लिए, कभी-कभी बड़ी संख्या में आंकड़ों का विश्लेषण करना आवश्यक होता है। और फिर औसत बचाव के लिए आते हैं। वे समग्र रूप से स्थिति का आकलन करना संभव बनाते हैं।

स्कूल के समय से, कई वयस्क अंकगणितीय माध्य के अस्तित्व को याद करते हैं। गणना करना बहुत आसान है - n सदस्यों के अनुक्रम का योग n से विभाज्य है। यही है, यदि आपको 27, 22, 34 और 37 के मूल्यों के अनुक्रम में अंकगणितीय माध्य की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको 4 मानों के बाद से अभिव्यक्ति (27 + 22 + 34 + 37) / 4 को हल करने की आवश्यकता है। गणना में उपयोग किया जाता है। इस मामले में, आवश्यक मान 30 के बराबर होगा।

अक्सर, स्कूली पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर, ज्यामितीय माध्य का भी अध्ययन किया जाता है। इस मान की गणना n-पदों के गुणनफल के nवें मूल को निकालने पर आधारित है। यदि हम समान संख्याएँ लेते हैं: 27, 22, 34 और 37, तो गणना का परिणाम 29.4 होगा।

सामान्य शिक्षा स्कूल में हार्मोनिक माध्य आमतौर पर अध्ययन का विषय नहीं होता है। फिर भी, यह काफी बार प्रयोग किया जाता है। यह मान अंकगणित माध्य का व्युत्क्रम है और इसकी गणना n के भागफल के रूप में की जाती है - मानों की संख्या और योग 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n। यदि हम फिर से गणना के लिए संख्याओं की समान श्रृंखला लेते हैं, तो हार्मोनिक 29.6 होगा।

भारित औसत: विशेषताएं

हालाँकि, उपरोक्त सभी मानों का उपयोग हर जगह नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आंकड़ों में, कुछ औसत मूल्यों की गणना करते समय, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या का "वजन" एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। परिणाम अधिक सांकेतिक और सही हैं क्योंकि वे अधिक जानकारी को ध्यान में रखते हैं। मूल्यों के इस समूह को सामूहिक रूप से "भारित औसत" कहा जाता है। वे स्कूल में पास नहीं होते हैं, इसलिए यह उन पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

सबसे पहले, यह बताने योग्य है कि इस या उस मूल्य के "वजन" का क्या अर्थ है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है। अस्पताल में हर मरीज के शरीर का तापमान दिन में दो बार मापा जाता है। अस्पताल के विभिन्न विभागों के 100 मरीजों में से 44 का सामान्य तापमान 36.6 डिग्री रहेगा. अन्य 30 का बढ़ा हुआ मान होगा - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, और अन्य दो - 40। और यदि हम अंकगणितीय माध्य लेते हैं, तो अस्पताल के लिए सामान्य रूप से यह मान 38 से अधिक होगा। डिग्री! लेकिन लगभग आधे रोगियों का तापमान पूरी तरह से सामान्य है। और यहां भारित औसत मूल्य का उपयोग करना अधिक सही होगा, और प्रत्येक मूल्य का "वजन" लोगों की संख्या होगी। इस मामले में, गणना का परिणाम 37.25 डिग्री होगा। अंतर स्पष्ट है।

भारित औसत गणना के मामले में, "वजन" को शिपमेंट की संख्या के रूप में लिया जा सकता है, किसी दिए गए दिन पर काम करने वाले लोगों की संख्या, सामान्य तौर पर, कुछ भी जिसे मापा जा सकता है और अंतिम परिणाम को प्रभावित कर सकता है।

किस्मों

भारित औसत लेख की शुरुआत में चर्चा किए गए अंकगणितीय औसत से मेल खाता है। हालाँकि, पहला मान, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या के वजन को भी ध्यान में रखता है। इसके अलावा, ज्यामितीय और हार्मोनिक भारित माध्य मान भी हैं।

संख्याओं की श्रृंखला में उपयोग की जाने वाली एक और दिलचस्प भिन्नता है। यह एक भारित चलती औसत है। इसके आधार पर प्रवृत्तियों की गणना की जाती है। स्वयं के मूल्यों और उनके वजन के अलावा, वहाँ आवधिकता का भी उपयोग किया जाता है। और किसी समय औसत मूल्य की गणना करते समय, पिछले समय अंतराल के मूल्यों को भी ध्यान में रखा जाता है।

इन सभी मूल्यों की गणना करना इतना मुश्किल नहीं है, लेकिन व्यवहार में आमतौर पर केवल सामान्य भारित औसत का उपयोग किया जाता है।

गणना के तरीके

बड़े पैमाने पर कम्प्यूटरीकरण के युग में, भारित औसत की मैन्युअल रूप से गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। हालांकि, गणना सूत्र को जानना उपयोगी होगा ताकि आप जांच कर सकें और यदि आवश्यक हो, तो प्राप्त परिणामों को सही कर सकें।

गणना पर विचार करने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है।

इस या उस कमाई को प्राप्त करने वाले श्रमिकों की संख्या को ध्यान में रखते हुए, यह पता लगाना आवश्यक है कि इस उद्यम में औसत मजदूरी क्या है।

तो, भारित औसत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एक्स = (ए 1 * डब्ल्यू 1 + ए 2 * डब्ल्यू 2 + ... + ए एन * डब्ल्यू एन) / (डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 2 + ... + डब्ल्यू एन)

उदाहरण के लिए, गणना इस प्रकार होगी:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33.48

जाहिर है, भारित औसत की मैन्युअल रूप से गणना करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है। सूत्रों के साथ सबसे लोकप्रिय अनुप्रयोगों में से एक में इस मान की गणना करने का सूत्र - एक्सेल - SUMPRODUCT (संख्याओं की श्रृंखला; भार की श्रृंखला) / SUM (वजन की श्रृंखला) फ़ंक्शन जैसा दिखता है।

एक्सेल में औसत कैसे पता करें?

एक्सेल में अंकगणित माध्य कैसे खोजें?

व्लादिमीर09854

पाई के रूप में आसान। एक्सेल में औसत खोजने में केवल 3 सेल लगते हैं। पहले में हम एक नंबर लिखेंगे, दूसरे में - दूसरा। और तीसरे सेल में, हम एक सूत्र में हथौड़ा मारेंगे जो हमें पहली और दूसरी कोशिकाओं से इन दो संख्याओं के बीच का औसत मान देगा। यदि सेल नंबर 1 को ए 1 कहा जाता है, तो सेल नंबर 2 को बी 1 कहा जाता है, तो सेल में सूत्र के साथ आपको निम्नानुसार लिखना होगा:

यह सूत्र दो संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना करता है।

हमारी गणना की सुंदरता के लिए, आप एक प्लेट के रूप में, लाइनों के साथ कोशिकाओं का चयन कर सकते हैं।

एक्सेल में ही औसत मूल्य निर्धारित करने के लिए एक फ़ंक्शन भी है, लेकिन मैं पुराने जमाने की पद्धति का उपयोग करता हूं और मुझे आवश्यक सूत्र दर्ज करता हूं। इस प्रकार, मुझे यकीन है कि एक्सेल ठीक उसी तरह गणना करेगा जैसा मुझे इसकी आवश्यकता है, और अपने स्वयं के किसी प्रकार के गोलाई के साथ नहीं आएगा।

एम3सर्गेई

यह बहुत आसान है अगर डेटा पहले से ही कोशिकाओं में दर्ज किया गया है। यदि आप केवल एक संख्या में रुचि रखते हैं, तो यह आवश्यक श्रेणी / श्रेणियों का चयन करने के लिए पर्याप्त है, और इन संख्याओं के योग का मान, उनका अंकगणितीय माध्य और उनकी संख्या स्थिति पट्टी के नीचे दाईं ओर दिखाई देगी।

आप एक खाली सेल का चयन कर सकते हैं, त्रिकोण (ड्रॉप-डाउन सूची) "ऑटोसम" पर क्लिक कर सकते हैं और वहां "औसत" का चयन कर सकते हैं, और फिर गणना के लिए प्रस्तावित सीमा से सहमत हो सकते हैं, या अपना खुद का चयन कर सकते हैं।

अंत में, आप फॉर्मूला बार और सेल एड्रेस के आगे इंसर्ट फंक्शन पर क्लिक करके सीधे फ़ार्मुलों का उपयोग कर सकते हैं। AVERAGE फ़ंक्शन "सांख्यिकीय" श्रेणी में स्थित है, और संख्याओं और सेल संदर्भों, आदि दोनों के तर्कों के रूप में स्वीकार करता है। वहां आप अधिक जटिल विकल्प भी चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, AVERAGEIF - स्थिति के अनुसार औसत की गणना।

एक्सेल में औसत खोजेंकाफी सीधा काम है। यहां आपको यह समझने की जरूरत है कि क्या आप इस औसत मूल्य का उपयोग कुछ सूत्रों में करना चाहते हैं या नहीं।

यदि आपको केवल मान प्राप्त करने की आवश्यकता है, तो संख्याओं की आवश्यक श्रेणी का चयन करने के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद एक्सेल स्वचालित रूप से औसत मूल्य की गणना करेगा - इसे "औसत" शीर्षक, स्टेटस बार में प्रदर्शित किया जाएगा।

उस स्थिति में जब आप प्राप्त परिणाम को सूत्रों में उपयोग करना चाहते हैं, तो आप यह कर सकते हैं:

1) SUM फ़ंक्शन का उपयोग करके कक्षों का योग करें और सभी को संख्याओं की संख्या से विभाजित करें।

2) एक अधिक सही विकल्प औसत नामक एक विशेष फ़ंक्शन का उपयोग करना है। इस फ़ंक्शन के तर्क क्रमिक रूप से निर्दिष्ट संख्याएँ या संख्याओं की श्रेणी हो सकते हैं।

व्लादिमीर तिखोनोव

गणना में भाग लेने वाले मानों को सर्कल करें, "सूत्र" टैब पर क्लिक करें, वहां आपको बाईं ओर "ऑटोसम" दिखाई देगा और उसके बगल में एक त्रिकोण नीचे की ओर इशारा करेगा। इस त्रिभुज पर क्लिक करें और "औसत" चुनें। वोइला, किया गया) बार के निचले भाग में आपको औसत मूल्य दिखाई देगा :)

एकातेरिना मुतालापोवा

आइए शुरुआत में और क्रम से शुरू करें। मतलब क्या होता है?

औसत वह मान है जो अंकगणितीय माध्य है, अर्थात। संख्याओं का एक सेट जोड़कर और फिर संख्याओं के पूरे योग को उनकी संख्या से विभाजित करके गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, संख्या २, ३, ६, ७, २ के लिए ४ होगा (संख्या २० का योग उनकी संख्या ५ से विभाजित है)

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से एक्सेल स्प्रेडशीट में, फॉर्मूला = औसत का उपयोग करना सबसे आसान तरीका था। औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको तालिका में डेटा दर्ज करना होगा, डेटा कॉलम के तहत फ़ंक्शन = औसत () लिखना होगा, और कोष्ठक में डेटा कॉलम को हाइलाइट करते हुए, कोशिकाओं में संख्याओं की श्रेणी को इंगित करना होगा। उसके बाद, ENTER दबाएँ, या बस किसी भी सेल पर बायाँ-क्लिक करें। परिणाम कॉलम के नीचे सेल में प्रदर्शित होगा। यह समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में यह मिनटों की बात है।

साहसी 2000

एक्सेल का कार्यक्रम विविध है, इसलिए कई विकल्प हैं जो आपको औसत मूल्य खोजने की अनुमति देंगे:

पहला विकल्प। आप बस सभी कोशिकाओं को जोड़ते हैं और उनकी संख्या से विभाजित करते हैं;

दूसरा विकल्प। एक विशेष कमांड का उपयोग करें, आवश्यक सेल में सूत्र लिखें "= औसत (और फिर कक्षों की श्रेणी निर्दिष्ट करें)";

तीसरा विकल्प। यदि आप आवश्यक श्रेणी का चयन करते हैं, तो ध्यान दें कि नीचे दिए गए पृष्ठ पर, इन कक्षों में औसत मान भी प्रदर्शित होता है।

इस प्रकार, औसत मूल्य खोजने के कई तरीके हैं, आपको बस अपने लिए सबसे अच्छा चुनने और इसे लगातार उपयोग करने की आवश्यकता है।

एक्सेल में, औसत फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप अंकगणितीय प्रमुख माध्य की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कई मानों में ड्राइव करने की आवश्यकता है। बराबर दबाएं और सांख्यिकीय श्रेणी में चयन करें, जिनमें से औसत फ़ंक्शन का चयन करें

साथ ही, सांख्यिकीय सूत्रों का उपयोग करके, आप भारित अंकगणितीय माध्य की गणना कर सकते हैं, जिसे अधिक सटीक माना जाता है। इसकी गणना करने के लिए, हमें संकेतक मूल्यों और आवृत्ति की आवश्यकता होती है।

एक्सेल में औसत कैसे खोजें?

स्थिति इस प्रकार है। निम्न तालिका है:

लाल रंग में छायांकित बार में विषयों के ग्रेड के संख्यात्मक मान होते हैं। कॉलम "औसत" में आप उनके औसत की गणना करना चाहते हैं।
समस्या यह है: कुल 60-70 आइटम हैं और उनमें से कुछ दूसरी शीट पर हैं।
मैंने दूसरे दस्तावेज़ में देखा, औसत की गणना पहले ही कर ली गई थी, और सेल में एक सूत्र है जैसे
= "शीट का नाम"! | E12
लेकिन यह कुछ प्रोग्रामर द्वारा किया गया था जिन्हें निकाल दिया गया था।
कृपया मुझे बताएं कि इसे कौन समझता है।

हेक्टर

कार्यों की पंक्ति में आप प्रस्तावित कार्यों "औसत" से सम्मिलित करते हैं और उदाहरण के लिए, इवानोव के लिए उनकी गणना करने की आवश्यकता होती है (बी 6: एन 6) से चुनें। मैं पड़ोसी शीट के बारे में ठीक से नहीं जानता, लेकिन निश्चित रूप से यह मानक विंडोज हेल्प में निहित है

मुझे बताएं कि किसी वर्ड में औसत मूल्य की गणना कैसे करें

कृपया मुझे बताएं कि वर्ड में औसत मूल्य की गणना कैसे करें। अर्थात्, रेटिंग का औसत, रेटिंग प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या नहीं।

जूलिया पावलोवा

मैक्रोज़ के साथ वर्ड बहुत कुछ कर सकता है। ALT + F11 दबाएं और मैक्रो प्रोग्राम लिखें।
इसके अलावा, इन्सर्ट-ऑब्जेक्ट ... आपको वर्ड डॉक्यूमेंट के अंदर टेबल के साथ शीट बनाने के लिए अन्य प्रोग्राम, यहां तक ​​​​कि एक्सेल का उपयोग करने की अनुमति देगा।
लेकिन इस मामले में, आपको तालिका के कॉलम में अपनी संख्या लिखनी होगी, और उसी कॉलम के निचले सेल में औसत दर्ज करना होगा, है ना?
ऐसा करने के लिए, निचले सेल में एक फ़ील्ड डालें।
इंसर्ट-फील्ड ... -फॉर्मूला
क्षेत्र सामग्री
[= औसत (ऊपर)]
उपरोक्त पड़ी कोशिकाओं के योग का औसत देता है।
यदि फ़ील्ड का चयन किया जाता है और दायां माउस बटन दबाया जाता है, तो संख्याएं बदल जाने पर इसे रीफ्रेश किया जा सकता है,
फ़ील्ड का कोड या मान देखें, कोड को सीधे फ़ील्ड में बदलें।
अगर कुछ गलत हो जाता है, तो सेल की पूरी फ़ील्ड को हटा दें और उसे फिर से बनाएँ।
AVERAGE का अर्थ है औसत, ABOVE का अर्थ है के बारे में, यानी ऊपर की कोशिकाओं की एक पंक्ति।
मुझे यह सब स्वयं नहीं पता था, लेकिन मैंने इसे आसानी से HELP में पाया, निश्चित रूप से, थोड़ा सोचकर।

औसत का सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय माध्य है।

सरल अंकगणित माध्य

एक साधारण अंकगणितीय माध्य एक औसत शब्द है, जो यह निर्धारित करता है कि डेटा में दी गई विशेषता की कुल मात्रा इस सेट में शामिल सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित की जाती है। तो, प्रति कर्मचारी औसत वार्षिक आउटपुट आउटपुट की मात्रा है जो प्रत्येक कर्मचारी पर गिरती है यदि आउटपुट की पूरी मात्रा संगठन के सभी कर्मचारियों के बीच समान रूप से वितरित की जाती है। अंकगणितीय औसत साधारण मूल्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

सरल अंकगणित माध्य- एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के योग के अनुपात के बराबर, कुल में सुविधाओं की संख्या के बराबर

उदाहरण 1 ... 6 श्रमिकों की एक टीम को प्रति माह 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 हजार रूबल मिलते हैं।

औसत वेतन खोजें
समाधान: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 हजार रूबल।

भारित अंकगणित माध्य

यदि डेटा सेट का आयतन बड़ा है और एक वितरण श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक भारित अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है। इस प्रकार उत्पादन की प्रति इकाई भारित औसत मूल्य निर्धारित किया जाता है: उत्पादन की कुल लागत (उत्पादन की एक इकाई की कीमत से इसकी मात्रा के उत्पादों का योग) उत्पादन की कुल मात्रा से विभाजित होती है।

हम इसे निम्नलिखित सूत्र के रूप में निरूपित करते हैं:

भारित अंकगणित माध्य- के अनुपात के बराबर है (किसी दिए गए फीचर की पुनरावृत्ति की आवृत्ति के लिए एक विशेषता के मूल्य के उत्पादों का योग) और (सभी सुविधाओं की आवृत्तियों का योग)। इसका उपयोग तब किया जाता है जब अध्ययन के वेरिएंट का उपयोग किया जाता है जनसंख्या असमान संख्या में घटित होती है।

उदाहरण 2 ... एक कार्यशाला कार्यकर्ता का औसत मासिक वेतन ज्ञात कीजिए

श्रमिकों की कुल संख्या से कुल मजदूरी को विभाजित करके औसत मजदूरी प्राप्त की जा सकती है:

उत्तर: 3.35 हजार रूबल।

अंतराल श्रृंखला के लिए अंकगणित माध्य

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय, पहले प्रत्येक अंतराल के लिए औसत, ऊपरी और निचली सीमाओं के आधे योग के रूप में, और फिर पूरी श्रृंखला के औसत के रूप में निर्धारित करें। खुले अंतराल के मामले में, निचले या ऊपरी अंतराल का मान उनके आसन्न अंतराल के आकार से निर्धारित होता है।

अंतराल श्रृंखला से परिकलित औसत अनुमानित हैं।

उदाहरण 3... शाम के छात्रों की औसत आयु निर्धारित करें।

अंतराल श्रृंखला से परिकलित औसत अनुमानित हैं। उनके सन्निकटन की डिग्री इस बात पर निर्भर करती है कि अंतराल के भीतर जनसंख्या इकाइयों का वास्तविक वितरण किस हद तक एक समान होता है।

औसत की गणना करते समय, न केवल निरपेक्ष, बल्कि सापेक्ष मूल्यों (आवृत्ति) का उपयोग वजन के रूप में किया जा सकता है:

अंकगणित माध्य में कई गुण होते हैं जो इसके सार को पूरी तरह से प्रकट करते हैं और गणना को सरल बनाते हैं:

1. बारंबारताओं के योग से औसत का गुणनफल हमेशा बारंबारता के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात।

2. भिन्न मात्राओं के योग का समांतर माध्य इन राशियों के समांतर माध्य के योग के बराबर होता है:

3. माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है:

4. माध्य से विकल्पों के विचलन के वर्गों का योग किसी अन्य मनमाना मान से विचलन के वर्गों के योग से कम होता है, अर्थात।