कहाँ
वास्तविक संख्याएँ हैं, और - एक विशेष पात्र कहा जाता है काल्पनिक इकाई . एक काल्पनिक इकाई के लिए, परिभाषा के अनुसार यह माना जाता है
.

(4.1) – बीजगणितीय रूप जटिल संख्या, और
बुलाया असली हिस्सा जटिल संख्या, और
-काल्पनिक भाग .

संख्या
बुलाया जटिल सन्युग्म संख्या के लिए
.

मान लीजिए कि दो सम्मिश्र संख्याएँ दी गई हैं
,
.

1. मात्रा
जटिल आंकड़े और सम्मिश्र संख्या कहलाती है

2. अंतर से
जटिल आंकड़े और सम्मिश्र संख्या कहलाती है

3. काम
जटिल आंकड़े और सम्मिश्र संख्या कहलाती है

4. निजी किसी सम्मिश्र संख्या को विभाजित करने से एक जटिल संख्या के लिए
सम्मिश्र संख्या कहलाती है

.

टिप्पणी 4.1. अर्थात्, बीजगणित में शाब्दिक अभिव्यक्तियों पर अंकगणितीय संक्रियाओं के सामान्य नियमों के अनुसार सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ प्रस्तुत की जाती हैं।

उदाहरण 4.1.सम्मिश्र संख्याएँ दी गई हैं। खोजो

.

समाधान। 1) .

4) अंश और हर को हर के सम्मिश्र संयुग्म से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

त्रिकोणमितीय रूप जटिल संख्या:

कहाँ
- सम्मिश्र संख्या का मापांक,
एक सम्मिश्र संख्या का तर्क है. कोना एक शब्द तक, विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं
:

,
.

- तर्क का मुख्य मूल्य, शर्त द्वारा निर्धारित

, (या
).

प्रदर्शनात्मक रूप जटिल संख्या:

.

जड़
संख्या की वां शक्ति यह है विभिन्न मान, जो सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

,

कहाँ
.

मूल्यों के अनुरूप अंक
, सही के शीर्ष हैं
त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग
मूल पर केंद्र के साथ.

उदाहरण 4.2.सभी मूल मान ज्ञात करें
.

समाधान।आइए एक सम्मिश्र संख्या की कल्पना करें
त्रिकोणमितीय रूप में:

,

, कहाँ
.

तब
. इसलिए, सूत्र (4.2) के अनुसार
इसके चार अर्थ हैं:

,
.

विश्वास
, हम देखतें है

,
,

, .

यहां हमने तर्क के मानों को उसके मुख्य मान में बदल दिया।

जटिल तल पर सेट करता है

जटिल संख्या
एक विमान पर दर्शाया गया है
डॉट
निर्देशांक के साथ
. मापांक
और तर्क
बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक के अनुरूप
.

उस असमानता को याद रखना उपयोगी है
एक बिंदु पर केंद्र के साथ एक वृत्त को परिभाषित करता है RADIUS . असमानता
सीधी रेखा के दाईं ओर स्थित अर्ध-तल को परिभाषित करता है
, और असमानता
- सीधी रेखा के ऊपर स्थित आधा तल
. इसके अलावा, असमानताओं की व्यवस्था
किरणों के बीच का कोण निर्धारित करता है
और
, निर्देशांक की उत्पत्ति को छोड़कर।

उदाहरण 4.3.असमानताओं द्वारा परिभाषित क्षेत्र बनाएं:
.

समाधान।पहली असमानता बिंदु पर केंद्र के साथ एक अंगूठी से मेल खाती है
और दो त्रिज्याएँ 1 और 2, वृत्त क्षेत्र में शामिल नहीं हैं (चित्र 4.1)।

दूसरी असमानता किरणों के बीच के कोण से मेल खाती है
(चौथे निर्देशांक कोण का समद्विभाजक) और
(सकारात्मक अक्ष दिशा
). किरणें स्वयं इस क्षेत्र में प्रवेश नहीं करती हैं (चित्र 4.2)।

वांछित क्षेत्र दो प्राप्त क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है (चित्र 4.3)

4.2. एक जटिल चर के कार्य

एकल-मूल्यवान कार्य करें
क्षेत्र में परिभाषित और निरंतर
, ए - टुकड़ों में चिकना बंद या गैर-बंद उन्मुख वक्र पड़ा हुआ
. चलो, हमेशा की तरह,
,, कहाँ
,
- चर के वास्तविक कार्य और .

किसी फ़ंक्शन के अभिन्न अंग की गणना करना
जटिल चर अर्थात्, सामान्य वक्ररेखीय इंटीग्रल्स की गणना करना कम कर देता है

.

यदि फ़ंक्शन
सरलता से जुड़े डोमेन में विश्लेषणात्मक
, जिसमें अंक शामिल हैं और , तो न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र मानता है:

,

कहाँ
- फ़ंक्शन के लिए कुछ एंटीडेरिवेटिव
, वह है
क्षेत्र में
.

एक जटिल चर के कार्यों के अभिन्न अंग में, कोई चर का परिवर्तन कर सकता है, और भागों द्वारा एकीकरण उसी तरह होता है जैसे किसी वास्तविक चर के कार्यों के अभिन्न अंग की गणना करते समय किया जाता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि एकीकरण का पथ एक बिंदु से निकलने वाली रेखा का हिस्सा है , या किसी बिंदु पर केन्द्रित वृत्त का भाग , तो प्रपत्र का परिवर्तनशील प्रतिस्थापन करना उपयोगी है
. पहले मामले में
, ए - वास्तविक एकीकरण चर; दूसरे मामले में
, ए - वास्तविक एकीकरण चर।

उदाहरण 4.4.गणना
परवलय द्वारा
बिंदु से
मुद्दे पर
(चित्र 4.4)।

समाधान।आइए इंटीग्रैंड को फॉर्म में फिर से लिखें तब , . आइए सूत्र लागू करें (4.3): क्योंकि , वह , . इसीलिए

उदाहरण 4.5.अभिन्न की गणना करें
, कहाँ - एक वृत्त का चाप
,
(चित्र 4.5) .

समाधान।हम कहते हैं , तब , , . हम पाते हैं:

समारोह
, रिंग में एकल-मूल्यवान और विश्लेषणात्मक
, इस रिंग में विघटित हो जाता है लॉरेंट श्रृंखला

सूत्र (4.5) में श्रृंखला
बुलाया मुख्य हिस्सा लॉरेंट की श्रृंखला, और श्रृंखला
बुलाया सही भाग लॉरेंट श्रृंखला.

परिभाषा 4.1. डॉट बुलायापृथक एकवचन बिंदु कार्य
, यदि इस बिंदु का कोई पड़ोस है जिसमें फ़ंक्शन है
बिंदु को छोड़कर हर जगह विश्लेषणात्मक .

समारोह
एक बिंदु के आसपास लॉरेंट श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। इस मामले में, लॉरेंट श्रृंखला होने पर तीन अलग-अलग मामले संभव हैं:

1) इसमें अंतर की नकारात्मक शक्तियों वाले शब्द शामिल नहीं हैं
, वह है

(लॉरेंट की श्रृंखला में मुख्य भाग शामिल नहीं है)। इस मामले में बुलाया हटाने योग्य एकवचन बिंदु कार्य
;

2) इसमें अंतर की नकारात्मक शक्तियों वाले शब्दों की एक सीमित संख्या शामिल है
, वह है

,

और
. इस मामले में, बात बुलाया आदेश का ध्रुव कार्य
;

3) इसमें नकारात्मक शक्तियों वाले अनंत संख्या में शब्द शामिल हैं:

.

इस मामले में, बात बुलाया मूलतः एक विशेष बिंदु कार्य
.

किसी पृथक एकवचन बिंदु के चरित्र का निर्धारण करते समय, लॉरेंट श्रृंखला विस्तार की तलाश करना आवश्यक नहीं है। आप पृथक एकवचन बिंदुओं के विभिन्न गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

1) फ़ंक्शन का एक हटाने योग्य एकवचन बिंदु है
, यदि फ़ंक्शन की कोई सीमित सीमा है
बिंदु पर :

.

2) फ़ंक्शन का ध्रुव है
, अगर

.

3) फ़ंक्शन का अनिवार्य रूप से एकवचन बिंदु है
, मैं मोटा
किसी फ़ंक्शन की कोई सीमा नहीं होती, न तो परिमित और न ही अनंत।

परिभाषा 4.2. डॉट बुलायाशून्य
पहले के आदेश (या बहुलता ) कार्य
, यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

…,

.

टिप्पणी 4.2. डॉट यदि और केवल यदि शून्य है
पहले के आदेश कार्य
, जब इस बिंदु के कुछ पड़ोस में समानता कायम रहती है

,

फ़ंक्शन कहां है
एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक और

4) बिंदु व्यवस्था का ध्रुव है (
) कार्य
, यदि यह बिंदु शून्य क्रम है समारोह के लिए
.

5) चलो - किसी फ़ंक्शन का पृथक एकल बिंदु
, कहाँ
- एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक कार्य . और बात बताइये शून्य क्रम है कार्य
और शून्य आदेश कार्य
.

पर
डॉट व्यवस्था का ध्रुव है
कार्य
.

पर
डॉट फ़ंक्शन का एक हटाने योग्य एकवचन बिंदु है
.

उदाहरण 4.6.किसी फ़ंक्शन के लिए अलग-अलग बिंदु ढूंढें और उनका प्रकार निर्धारित करें
.

समाधान।कार्य
और
- संपूर्ण जटिल तल में विश्लेषणात्मक। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन के एकवचन बिंदु
हर के शून्य हैं, अर्थात् वे बिंदु जहाँ
. ऐसे अनगिनत बिंदु हैं। सबसे पहले तो बात ये है
, साथ ही समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदु भी
. यहाँ से
और
.

मुद्दे पर गौर करें
. इस बिंदु पर हमें मिलता है:

,
,

,
.

शून्य का क्रम है
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

तो, अवधि
दूसरे क्रम का ध्रुव है (
).

. तब

,
.

शून्य अंश का क्रम है
.

,
,
.

हर के शून्य का क्रम है
. इसलिए, अंक
पर
प्रथम क्रम के ध्रुव हैं ( साधारण डंडे ).

प्रमेय 4.1. (अवशेषों पर कॉची का प्रमेय ). यदि फ़ंक्शन
सीमा पर विश्लेषणात्मक है क्षेत्र
और क्षेत्र के अंदर हर जगह, एक सीमित संख्या में एकवचन बिंदुओं को छोड़कर
, वह

.

इंटीग्रल्स की गणना करते समय, फ़ंक्शन के सभी एकवचन बिंदुओं को ध्यान से ढूंढना उचित है
, फिर समोच्च और एकवचन बिंदु बनाएं, और उसके बाद केवल उन बिंदुओं का चयन करें जो एकीकरण समोच्च के अंदर आते हैं। तस्वीर के बिना सही चुनाव करना अक्सर मुश्किल होता है।

कटौती की गणना करने की विधि
एकवचन बिंदु के प्रकार पर निर्भर करता है. इसलिए, अवशेष की गणना करने से पहले, आपको एकवचन बिंदु का प्रकार निर्धारित करना होगा।

1) एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अवशेष लॉरेंट विस्तार में शून्य से पहली डिग्री के गुणांक के बराबर
एक बिंदु के आसपास :

.

यह कथन सभी प्रकार के पृथक बिंदुओं के लिए सत्य है, और इसलिए इस मामले में एकवचन बिंदु के प्रकार को निर्धारित करना आवश्यक नहीं है।

2) हटाने योग्य एकवचन बिंदु पर अवशेष शून्य के बराबर है।

3) यदि एक साधारण ध्रुव (प्रथम क्रम का ध्रुव), और कार्य है
रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है
, कहाँ
,
(ध्यान दें कि इस मामले में
), फिर बिंदु पर अवशेष के बराबर होती है

.

विशेषकर, यदि
, वह
.

4) यदि - साधारण पोल, फिर

5) यदि - पोल
वें क्रम का कार्य
, वह

उदाहरण 4.7.अभिन्न की गणना करें
.

समाधान।इंटीग्रैंड के एकवचन बिंदु ढूँढना . समारोह दो विलक्षण बिंदु हैं और समोच्च के अंदर केवल एक बिंदु आता है (चित्र 4.6)। डॉट - दूसरे क्रम का ध्रुव, चूँकि फ़ंक्शन के लिए एकाधिक 2 का शून्य है .

फिर, सूत्र (4.7) का उपयोग करके, हम इस बिंदु पर अवशेष पाते हैं:

प्रमेय 4.1 से हम पाते हैं

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

___________________________________

सेंट पीटर्सबर्ग राज्य

इलेक्ट्रोटेक्निकल यूनिवर्सिटी "LETI"

_______________________________________

एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत

दिशा-निर्देश

व्यावहारिक कक्षाओं के लिए

उच्च गणित में

सेंट पीटर्सबर्ग

प्रकाशन गृह SPbSETU "LETI"

यूडीसी 512.64(07)

टीएफकेपी: समस्याओं को हल करने के लिए पद्धति संबंधी निर्देश / संकलित: वी.जी. ड्युमिन, ए.एम. कोटोचिगोव, एन.एन. सोस्नोव्स्की: सेंट पीटर्सबर्ग स्टेट इलेक्ट्रोटेक्निकल यूनिवर्सिटी का प्रकाशन गृह, 2010. 32 पी।

अनुमत

विश्वविद्यालय की संपादकीय एवं प्रकाशन परिषद

जैसा पद्धति संबंधी निर्देश

© SPbSETU "LETI", 2010

एक जटिल चर के कार्य, सामान्य स्थिति में, वास्तविक तल के मानचित्रण से भिन्न होते हैं
अपने आप में केवल रिकॉर्डिंग के रूप में। एक महत्वपूर्ण और अत्यंत उपयोगी वस्तु एक जटिल चर के कार्यों का वर्ग है,

एक चर के कार्यों के समान व्युत्पन्न होना। यह ज्ञात है कि कई चर के कार्यों में आंशिक व्युत्पन्न और दिशात्मक व्युत्पन्न हो सकते हैं, लेकिन, एक नियम के रूप में, व्युत्पन्न के संबंध में अलग-अलग दिशाएँमेल नहीं खाते, और एक बिंदु पर व्युत्पन्न के बारे में बात करना संभव नहीं है। हालाँकि, एक जटिल चर के कार्यों के लिए उन स्थितियों का वर्णन करना संभव है जिनके तहत वे भेदभाव की अनुमति देते हैं। एक जटिल चर के भिन्न-भिन्न कार्यों के गुणों का अध्ययन पद्धति संबंधी निर्देशों की सामग्री है। निर्देशों का उद्देश्य यह प्रदर्शित करना है कि विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए ऐसे कार्यों के गुणों का उपयोग कैसे किया जा सकता है। जटिल संख्याओं के साथ गणना में बुनियादी कौशल और जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ने वाली असमानताओं के संदर्भ में परिभाषित सरलतम ज्यामितीय वस्तुओं के साथ-साथ इसके मापांक और तर्क के साथ परिचित होने के बिना प्रस्तुत सामग्री की सफल महारत असंभव है। इसके लिए आवश्यक सभी जानकारी का सारांश दिशानिर्देशों में पाया जा सकता है।

गणितीय विश्लेषण के मानक उपकरण: सीमाएँ, व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला का व्यापक रूप से दिशानिर्देशों के पाठ में उपयोग किया जाता है। जहां इन अवधारणाओं की अपनी विशिष्टताएं होती हैं, वहां एक चर के कार्यों की तुलना में उचित स्पष्टीकरण दिए जाते हैं, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने और उन पर वास्तविक विश्लेषण के मानक तंत्र को लागू करने के लिए पर्याप्त है।

1. एक जटिल चर के प्राथमिक कार्य

किसी जटिल चर के कार्यों की भिन्नता की स्थितियों की चर्चा यह पता लगाकर शुरू करना स्वाभाविक है कि किन प्राथमिक कार्यों में यह गुण है। स्पष्ट संबंध से

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी बहुपद अवकलनीय होता है। और, चूंकि एक शक्ति श्रृंखला को उसके अभिसरण के दायरे में शब्द दर शब्द विभेदित किया जा सकता है,

तब कोई भी फ़ंक्शन उन बिंदुओं पर भिन्न होता है जिनके आसपास इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। यह पर्याप्त शर्त है, लेकिन, जैसा कि जल्द ही स्पष्ट हो जाएगा, यह आवश्यक भी है। फ़ंक्शन ग्राफ़ के व्यवहार की निगरानी करके उनके व्युत्पन्न के संबंध में एक चर के कार्यों के अध्ययन का समर्थन करना सुविधाजनक है। जटिल चर के कार्यों के लिए यह संभव नहीं है। ग्राफ बिंदु आयाम 4 के स्थान पर स्थित हैं।

हालाँकि, जटिल तल में काफी सरल सेटों की छवियों पर विचार करके फ़ंक्शन का कुछ ग्राफिकल प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है
, किसी दिए गए फ़ंक्शन के प्रभाव में उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, आइए इस दृष्टिकोण से कई सरल कार्यों पर विचार करें।

रैखिक प्रकार्य

यह सरल फलन बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि कोई भी अवकलनीय फलन स्थानीय रूप से एक रैखिक फलन के समान होता है। आइए फ़ंक्शन की क्रिया पर अधिकतम विस्तार से विचार करें

यहाँ
-- एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और -- उसका तर्क. इस प्रकार, रैखिक कार्य खिंचाव, घूर्णन और अनुवाद करता है। इसलिए, एक रेखीय मानचित्रण किसी भी सेट को एक समान सेट पर ले जाता है। विशेष रूप से, रैखिक मानचित्रण के प्रभाव में, सीधी रेखाएँ सीधी रेखाओं में बदल जाती हैं, और वृत्त वृत्तों में बदल जाते हैं।

समारोह

यह फ़ंक्शन रैखिक के बाद अगला सबसे जटिल है। यह उम्मीद करना मुश्किल है कि यह किसी भी रेखा को एक सीधी रेखा में बदल देगा, और एक वृत्त को एक वृत्त में बदल देगा; सरल उदाहरण दिखाते हैं कि ऐसा नहीं होता है, हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि यह फ़ंक्शन सभी रेखाओं और वृत्तों के सेट को बदल देता है अपने आप। इसे सत्यापित करने के लिए, मैपिंग के वास्तविक (समन्वित) विवरण पर जाना सुविधाजनक है

प्रमाण के लिए व्युत्क्रम मानचित्रण का विवरण आवश्यक है

यदि समीकरण पर विचार करें
, तो हमें रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है। अगर
, वह

इसलिए, जब
एक मनमाना वृत्त का समीकरण प्राप्त होता है।

ध्यान दें कि यदि
और
, फिर वृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है। अगर
और
, तो आपको मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा मिलती है।

व्युत्क्रमण की क्रिया के अंतर्गत विचाराधीन समीकरण को पुनः प्रपत्र में लिखा जाएगा

, (
)

या । यह देखा जा सकता है कि यह भी एक समीकरण है जो या तो वृत्तों या सीधी रेखाओं का वर्णन करता है। तथ्य यह है कि समीकरण में गुणांक और
स्थानों की अदला-बदली का मतलब है कि व्युत्क्रमण के दौरान, 0 से गुजरने वाली सीधी रेखाएं वृत्त में बदल जाएंगी, और 0 से गुजरने वाले वृत्त सीधी रेखाओं में बदल जाएंगे।

शक्ति कार्य

इन कार्यों और पहले चर्चा किए गए कार्यों के बीच मुख्य अंतर यह है कि वे एक-से-एक नहीं हैं (
). हम कह सकते हैं कि function
एक जटिल विमान को एक ही विमान की दो प्रतियों में बदल देता है। इस विषय के सटीक उपचार के लिए रीमैन सतहों के बोझिल उपकरण के उपयोग की आवश्यकता होती है और यह यहां विचार किए गए मुद्दों के दायरे से परे है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि जटिल तल को सेक्टरों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक को जटिल तल पर एक-से-एक मैप किया जाता है। यह फ़ंक्शन के लिए ब्रेकडाउन है
इस तरह दिखता है। उदाहरण के लिए, ऊपरी आधे तल को फ़ंक्शन द्वारा जटिल तल पर एक-से-एक मैप किया जाता है
. ऐसी छवियों के लिए ज्यामितीय विकृतियों का वर्णन व्युत्क्रमण की तुलना में अधिक कठिन होता है। एक अभ्यास के रूप में, आप पता लगा सकते हैं कि ऊपरी आधे तल के आयताकार निर्देशांक का ग्रिड प्रदर्शित होने पर क्या रूपांतरित होता है

यह देखा जा सकता है कि आयताकार निर्देशांक का ग्रिड परवलय के एक परिवार में बदल जाता है जो समतल में वक्रीय निर्देशांक की एक प्रणाली बनाता है
. ऊपर वर्णित समतल का विभाजन इस प्रकार है कि कार्य
प्रत्येक को प्रदर्शित करता है पूरे विमान पर सेक्टर। फॉरवर्ड और रिवर्स मैपिंग का विवरण इस तरह दिखता है

तो समारोह
यह है विभिन्न व्युत्क्रम कार्य,

विमान के विभिन्न क्षेत्रों में निर्दिष्ट

ऐसे मामलों में मैपिंग को मल्टी-शीट कहा जाता है।

ज़ुकोवस्की समारोह

फ़ंक्शन का अपना नाम है, क्योंकि इसने ज़ुकोवस्की द्वारा बनाए गए विमान विंग के सिद्धांत का आधार बनाया (इस डिज़ाइन का विवरण पुस्तक में पाया जा सकता है)। फ़ंक्शन में कई दिलचस्प गुण हैं, आइए उनमें से एक पर ध्यान केंद्रित करें - पता लगाएं कि यह फ़ंक्शन किन सेटों पर एक-से-एक कार्य करता है। समानता पर विचार करें

, कहाँ
.

नतीजतन, ज़ुकोवस्की फ़ंक्शन किसी भी डोमेन में किसी के लिए भी एक-से-एक है और उनका उत्पाद एक के बराबर नहीं है. उदाहरण के लिए, ये ओपन यूनिट सर्कल हैं
और बंद इकाई वृत्त का पूरक
.

फिर, एक वृत्त पर ज़ुकोवस्की फ़ंक्शन की कार्रवाई पर विचार करें

वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर, हमें दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होता है

,
.

अगर
, तो ये दीर्घवृत्त पूरे तल को भर देते हैं। इसे इसी प्रकार सत्यापित किया जा सकता है कि खंडों की छवियाँ अतिपरवलय हैं

.

घातांक प्रकार्य

फ़ंक्शन को एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है जो संपूर्ण जटिल विमान में बिल्कुल अभिसरण है, इसलिए, यह हर जगह भिन्न है; आइए हम उन सेटों का वर्णन करें जिन पर फ़ंक्शन एक-से-एक है। स्पष्ट समानता
दर्शाता है कि विमान को पट्टियों के एक परिवार में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक को पूरे जटिल विमान पर एक फ़ंक्शन द्वारा एक-से-एक मैप किया जाता है। यह विभाजन यह समझने के लिए आवश्यक है कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन अधिक सटीक रूप से कैसे काम करता है उलटा कार्य. प्रत्येक धारियों पर स्वाभाविक रूप से परिभाषित उलटा मानचित्रण होता है

इस मामले में व्युत्क्रम फलन भी बहुसंयोजक है, और व्युत्क्रम फलनों की संख्या अनंत है।

मानचित्रण का ज्यामितीय विवरण काफी सरल है: सीधी रेखाएँ
किरणों में बदलो
, खंड

वृत्तों में बदलो
.

एक जटिल चर के कार्य.
एक जटिल चर के कार्यों का विभेदन।

यह लेख पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता है जिसमें मैं देखूंगा विशिष्ट कार्य, एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत से संबंधित। उदाहरणों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपके पास होना चाहिए बुनियादी ज्ञानसम्मिश्र संख्याओं के बारे में. सामग्री को समेकित करने और दोहराने के लिए, बस पृष्ठ पर जाएँ। आपको खोजने के कौशल की भी आवश्यकता होगी दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न. यहाँ वे हैं, ये आंशिक व्युत्पन्न... अब भी मैं थोड़ा आश्चर्यचकित था कि वे कितनी बार घटित होते हैं...

जिस विषय की हम जांच करना शुरू कर रहे हैं, उसमें कोई विशेष कठिनाई नहीं है, और एक जटिल चर के कार्यों में, सिद्धांत रूप में, सब कुछ स्पष्ट और सुलभ है। मुख्य बात मूल नियम का पालन करना है, जिसे मैंने प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त किया है। पढ़ते रहिये!

एक जटिल चर के एक फलन की अवधारणा

सबसे पहले, आइए एक चर के स्कूल फ़ंक्शन के बारे में अपने ज्ञान को ताज़ा करें:

एकल चर फ़ंक्शनएक नियम है जिसके अनुसार स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान (परिभाषा के क्षेत्र से) फ़ंक्शन के एक और केवल एक मान से मेल खाता है। स्वाभाविक रूप से, "x" और "y" वास्तविक संख्याएँ हैं।

जटिल मामले में, कार्यात्मक निर्भरता इसी प्रकार निर्दिष्ट की गई है:

एक जटिल चर का एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन- यह वह नियम है जिसके अनुसार हर कोई विस्तृतस्वतंत्र चर का मान (परिभाषा के क्षेत्र से) एक और केवल एक से मेल खाता है विस्तृतफ़ंक्शन मान. सिद्धांत बहु-मूल्यवान और कुछ अन्य प्रकार के कार्यों पर भी विचार करता है, लेकिन सरलता के लिए मैं एक परिभाषा पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

जटिल चर फ़ंक्शन के बीच क्या अंतर है?

मुख्य अंतर: सम्मिश्र संख्याएँ। मैं व्यंग्य नहीं कर रहा हूँ. ऐसे सवाल अक्सर लोगों को स्तब्ध कर देते हैं; लेख के अंत में मैं आपको एक मजेदार कहानी बताऊंगा। सबक पर नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँहमने रूप में एक सम्मिश्र संख्या पर विचार किया। चूँकि अब “z” अक्षर बन गया है चर, तो हम इसे इस प्रकार निरूपित करेंगे: , जबकि "x" और "y" अलग-अलग हो सकते हैं वैधअर्थ. मोटे तौर पर कहें तो, एक जटिल चर का कार्य चर और पर निर्भर करता है, जो "सामान्य" मान लेते हैं। इस तथ्य से निम्नलिखित बिंदु तार्किक रूप से निकलता है:

एक जटिल चर के कार्य को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
, कहां और दो के दो कार्य हैं वैधचर।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है असली हिस्साकार्य
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है काल्पनिक भागकार्य

अर्थात्, एक जटिल चर का कार्य दो वास्तविक कार्यों और पर निर्भर करता है। अंततः सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, आइए व्यावहारिक उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

समाधान:स्वतंत्र चर "ज़ेट", जैसा कि आपको याद है, इस रूप में लिखा गया है, इसलिए:

(1) हमने प्रतिस्थापित किया।

(2) प्रथम पद के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र का प्रयोग किया गया। पद में कोष्ठक खोल दिये गये हैं।

(3) सावधानी से चुकता करें, यह न भूलें

(4) पदों की पुनर्व्यवस्था: सबसे पहले हम पदों को फिर से लिखते हैं , जिसमें कोई काल्पनिक इकाई नहीं है(पहला समूह), फिर वे पद जहाँ हैं (दूसरा समूह)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शर्तों में फेरबदल करना आवश्यक नहीं है, और इस चरण को छोड़ा जा सकता है (वास्तव में इसे मौखिक रूप से करके)।

(5) दूसरे समूह के लिए हम इसे कोष्ठक से बाहर निकालते हैं।

परिणामस्वरूप, हमारा कार्य प्रपत्र में प्रस्तुत किया गया

उत्तर:
- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग.
– समारोह का काल्पनिक भाग.

ये किस प्रकार के कार्य निकले? दो वेरिएबल्स के सबसे सामान्य फ़ंक्शन जिनसे आप इतने लोकप्रिय पा सकते हैं आंशिक अवकलज. दया के बिना, हम इसे पा लेंगे। लेकिन थोड़ी देर बाद.

संक्षेप में, हल की गई समस्या के लिए एल्गोरिथ्म को इस प्रकार लिखा जा सकता है: हम मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं, सरलीकरण करते हैं और सभी शब्दों को दो समूहों में विभाजित करते हैं - एक काल्पनिक इकाई (वास्तविक भाग) के बिना और एक काल्पनिक इकाई (काल्पनिक भाग) के साथ। .

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का वास्तविक और काल्पनिक भाग ढूंढें

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. इससे पहले कि आप अपने चेकर्स के साथ जटिल विमान पर युद्ध में भाग लें, मैं आपको सबसे अधिक जानकारी देता हूँ महत्वपूर्ण सलाहइस टॉपिक पर:

ध्यान से!बेशक, आपको हर जगह सावधान रहने की ज़रूरत है, लेकिन जटिल संख्याओं में आपको पहले से कहीं अधिक सावधान रहना चाहिए! याद रखें, कोष्ठक को ध्यान से खोलें, कुछ भी न खोएं। मेरी टिप्पणियों के अनुसार, सबसे आम गलती एक संकेत का खो जाना है। जल्दी न करो!

संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

अब घन. संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
.

व्यवहार में सूत्रों का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि वे समाधान प्रक्रिया को काफी तेज कर देते हैं।

एक जटिल चर के कार्यों का विभेदन।

मेरे पास दो ख़बरें हैं: अच्छी और बुरी। मैं अच्छे से शुरुआत करूंगा. एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के लिए, विभेदन के नियम और प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका मान्य है। इस प्रकार, व्युत्पन्न को ठीक उसी तरह से लिया जाता है जैसे किसी वास्तविक चर के फ़ंक्शन के मामले में।

बुरी खबर यह है कि कई जटिल परिवर्तनीय कार्यों के लिए कोई व्युत्पन्न नहीं है, और आपको इसका पता लगाना होगा क्या यह भिन्न है?एक फ़ंक्शन या दूसरा। और "पता लगाना" कि आपका दिल कैसा महसूस करता है, अतिरिक्त समस्याओं से जुड़ा है।

आइए एक जटिल चर के कार्य पर विचार करें। इस फ़ंक्शन को भिन्न बनाने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है:

1) ताकि प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न मौजूद रहे। इन नोटेशनों को तुरंत भूल जाइए, क्योंकि एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत में पारंपरिक रूप से एक अलग नोटेशन का उपयोग किया जाता है: .

2) तथाकथित को क्रियान्वित करना कॉची-रीमैन स्थितियाँ:

केवल इस मामले में ही व्युत्पन्न अस्तित्व में रहेगा!

उदाहरण 3

समाधानको तीन क्रमिक चरणों में विभाजित किया गया है:

1) आइए फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को ढूंढें। इस कार्य पर पिछले उदाहरणों में चर्चा की गई थी, इसलिए मैं इसे बिना किसी टिप्पणी के लिखूंगा:

के बाद से:

इस प्रकार:

– समारोह का काल्पनिक भाग.

मुझे एक और तकनीकी बिंदु पर बात करने दीजिए: किस क्रम मेपदों को वास्तविक और काल्पनिक भागों में लिखें? हां, सिद्धांत रूप में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, वास्तविक भाग को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और काल्पनिक एक - इस तरह: .

2) आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। उनमें से दो.

आइए स्थिति की जाँच करके शुरुआत करें। हम देखतें है आंशिक अवकलज:

इस प्रकार, शर्त संतुष्ट है.

बेशक, अच्छी खबर यह है कि आंशिक व्युत्पन्न लगभग हमेशा बहुत सरल होते हैं।

हम दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करते हैं:

परिणाम वही होता है, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ यानी शर्त भी पूरी होती है।

कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं, इसलिए फ़ंक्शन भिन्न है।

3) आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न भी बहुत सरल है और सामान्य नियमों के अनुसार पाया जाता है:

विभेदीकरण के दौरान काल्पनिक इकाई को एक स्थिरांक माना जाता है।

उत्तर: - वास्तविक भाग, – काल्पनिक भाग.
कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

व्युत्पन्न खोजने के दो और तरीके हैं, बेशक, उनका उपयोग कम बार किया जाता है, लेकिन जानकारी दूसरे पाठ को समझने के लिए उपयोगी होगी - एक जटिल चर का फ़ंक्शन कैसे खोजें?

सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया जा सकता है:

में इस मामले में:

इस प्रकार

हमें व्युत्क्रम समस्या को हल करना होगा - परिणामी अभिव्यक्ति में हमें अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शर्तों में और कोष्ठक के बाहर यह आवश्यक है:

जैसा कि कई लोगों ने देखा है, विपरीत क्रिया को निष्पादित करना कुछ अधिक कठिन है; जांच करने के लिए, अभिव्यक्ति को ड्राफ्ट पर लेना या मौखिक रूप से कोष्ठक को वापस खोलना हमेशा बेहतर होता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि परिणाम बिल्कुल सही है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए दर्पण सूत्र:

इस मामले में: , इसीलिए:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। यदि कॉची-रीमैन शर्तें पूरी होती हैं, तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना।

क्या कॉची-रीमैन स्थितियाँ सदैव संतुष्ट रहती हैं? सैद्धांतिक रूप से, वे जितने पूरे होते हैं उससे अधिक बार पूरे नहीं होते। लेकिन में व्यावहारिक उदाहरणमुझे ऐसा कोई मामला याद नहीं है जहां वे पूरे नहीं हुए हों =) इस प्रकार, यदि आपका आंशिक व्युत्पन्न "अभिसरण नहीं करता है", तो बहुत अधिक संभावना के साथ आप कह सकते हैं कि आपने कहीं गलती की है।

आइए अपने कार्यों को जटिल बनाएं:

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। गणना

समाधान:समाधान एल्गोरिथ्म पूरी तरह से संरक्षित है, लेकिन अंत में एक नया बिंदु जोड़ा जाएगा: एक बिंदु पर व्युत्पन्न ढूँढना। घन के लिए, आवश्यक सूत्र पहले ही निकाला जा चुका है:

आइए इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को परिभाषित करें:

ध्यान और ध्यान फिर से!

के बाद से:


इस प्रकार:
- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग;
– समारोह का काल्पनिक भाग.

दूसरी शर्त की जाँच करना:

परिणाम वही होता है, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ यानी शर्त भी पूरी होती है।

कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं, इसलिए फ़ंक्शन भिन्न है:

आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें:

उत्तर:, , कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं,

क्यूब्स के साथ फ़ंक्शन आम हैं, इसलिए इसे सुदृढ़ करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। गणना करें.

पाठ के अंत में समाधान और समापन का उदाहरण।

सिद्धांत में व्यापक विश्लेषणएक जटिल तर्क के अन्य कार्यों को भी परिभाषित किया गया है: घातांक, साइन, कोसाइन, आदि। इन कार्यों में असामान्य और यहां तक ​​कि विचित्र गुण हैं - और यह वास्तव में दिलचस्प है! मैं वास्तव में आपको बताना चाहता हूं, लेकिन यहां, जैसा कि होता है, एक संदर्भ पुस्तक या पाठ्यपुस्तक नहीं है, बल्कि एक समाधान पुस्तक है, इसलिए मैं कुछ सामान्य कार्यों के साथ उसी समस्या पर विचार करूंगा।

सबसे पहले तथाकथित के बारे में यूलर के सूत्र:

किसी के लिए भी वैधसंख्याएँ, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

आप इसे संदर्भ सामग्री के रूप में अपनी नोटबुक में भी कॉपी कर सकते हैं।

कड़ाई से कहें तो, केवल एक ही सूत्र है, लेकिन आमतौर पर सुविधा के लिए वे घातांक में ऋण के साथ एक विशेष मामला भी लिखते हैं। पैरामीटर में एक अक्षर होना आवश्यक नहीं है; यह एक जटिल अभिव्यक्ति या फ़ंक्शन हो सकता है, केवल यह महत्वपूर्ण है कि वे स्वीकार करें केवल वैधअर्थ. दरअसल, हम इसे अभी देखेंगे:

उदाहरण 7

व्युत्पन्न खोजें.

समाधान:पार्टी की सामान्य लाइन अटल बनी हुई है - समारोह के वास्तविक और काल्पनिक हिस्सों को अलग करना आवश्यक है। मैं एक विस्तृत समाधान दूंगा और नीचे प्रत्येक चरण पर टिप्पणी करूंगा:

के बाद से:

(1) इसके स्थान पर "z" रखें।

(2) प्रतिस्थापन के बाद, आपको वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करना होगा सूचक में सबसे पहलेप्रदर्शक. ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलें।

(3) हम संकेतक के काल्पनिक भाग को समूहीकृत करते हैं, काल्पनिक इकाई को कोष्ठक से बाहर रखते हैं।

(4) हम डिग्रियों के साथ स्कूल कार्रवाई का उपयोग करते हैं।

(5) गुणक के लिए हम यूलर के सूत्र का उपयोग करते हैं, और।

(6) कोष्ठक खोलें, जिसके परिणामस्वरूप:

- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग;
– समारोह का काल्पनिक भाग.

आगे की कार्रवाइयां मानक हैं; आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जांच करें:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। ऐसा ही हो, हमें व्युत्पन्न नहीं मिलेगा।

समाधान:समाधान एल्गोरिथ्म पिछले दो उदाहरणों के समान है, लेकिन बहुत सारे हैं महत्वपूर्ण बिंदु, इसीलिए प्रथम चरणमैं चरण दर चरण फिर से टिप्पणी करूंगा:

के बाद से:

1) इसके स्थान पर "z" रखें।

(2) सबसे पहले, हम वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करते हैं साइनस के अंदर. इन उद्देश्यों के लिए, हम कोष्ठक खोलते हैं।

(3) हम सूत्र का उपयोग करते हैं, और .

(4) प्रयोग हाइपरबोलिक कोसाइन की समता: और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या की विषमता: . हाइपरबोलिक्स, हालांकि इस दुनिया से बाहर हैं, कई मायनों में समान त्रिकोणमितीय कार्यों की याद दिलाते हैं।

अंततः:
- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग;
– समारोह का काल्पनिक भाग.

ध्यान!ऋण चिह्न काल्पनिक भाग को संदर्भित करता है, और किसी भी परिस्थिति में हमें इसे खोना नहीं चाहिए! के लिए दृश्य चित्रणउपरोक्त परिणाम को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें:

कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

उत्तर:, , कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

देवियो और सज्जनो, आइए इसे स्वयं समझें:

उदाहरण 10

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें। कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें।

मैंने जानबूझकर अधिक कठिन उदाहरण चुने, क्योंकि ऐसा लगता है कि हर कोई छिलके वाली मूंगफली जैसी किसी न किसी चीज़ का सामना करने में सक्षम है। साथ ही, आप अपना ध्यान प्रशिक्षित करेंगे! पाठ के अंत में नट क्रैकर।

खैर, निष्कर्ष में, मैं एक और पर विचार करूंगा दिलचस्प उदाहरण, जब जटिल तर्क हर में हो। व्यवहार में ऐसा कुछ बार हुआ है, आइए कुछ सरल पर नजर डालें। एह, मैं बूढ़ा हो रहा हूँ...

उदाहरण 11

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें। कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें।

समाधान:फिर से फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों में अंतर करना आवश्यक है।
तो अगर

सवाल उठता है कि जब हर में "Z" हो तो क्या करें?

सब कुछ सरल है - मानक मदद करेगा अंश और हर को संयुग्मी व्यंजक से गुणा करने की विधि, इसका उपयोग पहले ही पाठ के उदाहरणों में किया जा चुका है नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँ. चलो याद करते हैं स्कूल फार्मूला. हमारे पास पहले से ही हर है, जिसका अर्थ है कि संयुग्मी अभिव्यक्ति होगी। इस प्रकार, आपको अंश और हर को इससे गुणा करना होगा:

व्याख्यान संख्या 4.

ज्यामितीय रूप से, एक जटिल चर का एक फलन डब्ल्यू=एफ(जेड) एक निश्चित सेट का प्रदर्शन निर्दिष्ट करता है जेड- एक निश्चित सेट के लिए विमान डब्ल्यू-विमान। डॉट डब्ल्यूÎ जीबुलाया रास्ता अंक जेडप्रदर्शित होने पर डब्ल्यू=एफ(जेड), बिंदु जेडÎ डी – प्रोटोटाइप अंक डब्ल्यू.

अगर हर कोई जेडकेवल एक मान मेल खाता है डब्ल्यू=एफ(जेड), फिर फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है स्पष्ट (w=|z|,डब्ल्यू=,डब्ल्यू=दोबारा जेडआदि) यदि कुछ जेडएक से अधिक मान से मेल खाता है डब्ल्यू, फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है बहुअर्थी (डब्ल्यू=आर्ग जेड).

यदि (अर्थात क्षेत्र के विभिन्न बिंदुओं पर डीफ़ंक्शन लेता है विभिन्न अर्थ), फिर फ़ंक्शन डब्ल्यू=एफ(जेड) कहा जाता है एकपर्णीय करना क्षेत्र में डी.

दूसरे शब्दों में, असमान कार्य डब्ल्यू=एफ(जेड) एक-से-एक क्षेत्र का मानचित्रण करता है डीपर जी. सिंगल-शीट डिस्प्ले के साथ डब्ल्यू=एफ(जेड) किसी भी बिंदु की उलटी छवि डब्ल्यूÎ जीएक ही तत्व से मिलकर बना है: : . इसीलिए जेडइसे एक चर का एक फलन माना जा सकता है डब्ल्यू, पर परिभाषित जी. इसे नामित और बुलाया गया है उलटा काम करना .

यदि क्षेत्र में डीके अनुसार मौजूद है कम से कम, बिंदुओं का एक जोड़ा, फिर फ़ंक्शन एफ(जेड) कहा जाता है बहुपत्ती क्षेत्र में डी.

यदि प्रदर्शित करें डब्ल्यू=एफ(जेड) मल्टीलीफ़ पर है डी(उदाहरण के लिए, डब्ल्यू=जेड एन), तो इस मामले में कुछ मान डब्ल्यूÎ जीएक से अधिक बिंदु से मेल खाता है जेडÎ डी:एफ(जेड)=डब्ल्यू. इसलिए, व्युत्क्रम मानचित्रण एकल-मूल्यवान नहीं है, यह एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन है।

क्षेत्रफल पर एकल अंक डीसमारोह डब्ल्यू=एफ(जेड) कहा जाता है एक बहुमूल्यवान फ़ंक्शन की शाखाएफ, यदि मूल्य एफकिसी भी बिंदु पर जेडÎ डीमानों में से एक से मेल खाता है एफइस समय।

बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन की एकल-मूल्यवान शाखाओं को अलग करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें: क्षेत्र डीफ़ंक्शंस को एकरूपता के डोमेन में विभाजित करें डब्ल्यू=एफ(जेड) ताकि किसी भी दो क्षेत्रों में समान आंतरिक बिंदु न हों और ऐसा हो कि प्रत्येक बिंदु जेडÎ डीइनमें से किसी एक क्षेत्र या उनमें से कुछ की सीमा से संबंधित थे। एकरूपता के इन प्रत्येक डोमेन में एक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम परिभाषित होता है डब्ल्यू=एफ(जेड). यह बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन की एकल-मूल्यवान शाखा है।

अनुरूप मानचित्रण की अवधारणा

उदाहरण।एक बिंदु पर खिंचाव गुणांक और घूर्णन कोण ज्ञात करें जेड=2मैंप्रदर्शित करते समय.

■ व्युत्पत्ति ढूँढना और किसी दिए गए बिंदु पर इसका मान .

खिंचाव अनुपात कव्युत्पन्न के मापांक के बराबर: .

घूर्णन का कोण जेव्युत्पन्न के तर्क के बराबर है. बात चौथी तिमाही में है, इसलिए, . ■

उदाहरण 3.5.प्रदर्शित होने पर विमान का कौन सा भाग निर्धारित करें डब्ल्यू=जेड 2 फैला हुआ है और कौन सा दबा हुआ है।

■ व्युत्पत्ति ढूँढना डब्ल्यू¢=2 जेड. किसी भी बिंदु पर तनाव कारक जेडके बराबर होती है क=|डब्ल्यू¢( जेड)|=2|जेड|. जिसके लिए जटिल तल में बिंदुओं का समुच्चय क>1, यानी 2| जेड|>1 या , विमान का हिस्सा बनता है, जो प्रदर्शित होने पर खिंच जाता है। इसलिए, प्रदर्शित करते समय डब्ल्यू=जेड 2, वृत्त का बाहरी भाग फैला हुआ है, और भीतरी भाग संकुचित है। ■

प्रदर्शन डब्ल्यू=एफ(जेड) कहा जाता है कोन्फोर्मल (अर्थात्, अपने आकार को सुरक्षित रखता है) एक बिंदु पर यदि यह वक्रों के बीच के कोणों को संरक्षित करता है और इसमें बिंदु के पड़ोस के निरंतर विस्तार की संपत्ति होती है।

किसी विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के माध्यम से स्थापित कोई भी मानचित्रण एफ(जेड) सभी बिंदुओं पर अनुरूप है जहां।

मैपिंग को कहा जाता है क्षेत्र में अनुरूप , यदि यह इस क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर अनुरूप है।

एक अनुरूप मानचित्रण जिसमें कोणों के संदर्भ की दिशा संरक्षित होती है, कहलाती है प्रथम प्रकार की अनुरूप मानचित्रण . अनुरूप मानचित्रण जिसमें कोणों की दिशा उलट दी जाती है, कहलाती है ΙΙ जीनस का अनुरूप मानचित्रण (उदाहरण के लिए, )।

अनुरूप मानचित्रण के सिद्धांत और व्यवहार में, दो समस्याएं उत्पन्न और हल की जाती हैं।

पहला कार्य किसी दिए गए मानचित्रण के अंतर्गत दी गई रेखा या क्षेत्र की छवि को ढूंढना है - प्रत्यक्ष कार्य .

दूसरा एक फ़ंक्शन ढूंढना है जो किसी दी गई रेखा या क्षेत्र को किसी अन्य दी गई रेखा या क्षेत्र पर मैप करता है - उलटी समस्या .

किसी प्रत्यक्ष समस्या को हल करते समय किसी बिंदु की छवि को ध्यान में रखा जाता है जेडप्रदर्शित होने पर 0 डब्ल्यू=एफ(जेड) एक बिंदु है डब्ल्यू 0 , ऐसा कि डब्ल्यू 0 =एफ(जेड 0), अर्थात्, प्रतिस्थापन का परिणाम जेड 0 इंच एफ(जेड). इसलिए, किसी सेट की छवि ढूंढने के लिए, आपको दो संबंधों से युक्त सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है। उनमें से एक मैपिंग फ़ंक्शन निर्दिष्ट करता है डब्ल्यू=एफ(जेड), दूसरा रेखा का समीकरण है, यदि रेखा की छवि खोजने की समस्या हल की जा रही है, या असमानता जो प्रीइमेज के बिंदुओं के सेट को निर्धारित करती है, यदि मानचित्रण क्षेत्रों की समस्या हल की जा रही है। दोनों ही मामलों में, समाधान प्रक्रिया को चर को समाप्त करने तक सीमित कर दिया गया है जेडदो दिए गए अनुपातों से.

नियम 3.3.समीकरण द्वारा दी गई रेखा की छवि खोजने के लिए एफ(एक्स,य)=0 (या स्पष्ट रूप से य=जे(एक्स)), प्रदर्शित करते समय डब्ल्यू=एफ(जेड) ज़रूरी:

1. फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करें एफ(जेड): यू=रे एफ(जेड), वी=मैं एफ(जेड).

2. सिस्टम से बहिष्कृत करें एक्सऔर यूपरिणामी संबंध इस रेखा की छवि का समीकरण है।

नियम 3.4.प्रदर्शित करते समय किसी दी गई पंक्ति की छवि ढूँढ़ने के लिए डब्ल्यू=एफ(जेड) ज़रूरी:

1. रेखा के समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखें जेड=जेड(टी) या में जटिल रूप .

2. रेखा समीकरण के प्रकार के आधार पर, संबंधित मामले पर विचार करें:

यदि रेखा पैरामीट्रिक रूप में दी गई है, तो अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें जेड(टी) वी डब्ल्यू=एफ(जेड);

यदि रेखा जटिल रूप में दी गई है तो व्यक्त करें जेडसे डब्ल्यू=एफ(जेड), वह है, और। फिर आपको स्थानापन्न करना चाहिए जेडऔर रेखा के समीकरण में. परिणामी संबंध इस रेखा की छवि का समीकरण है।

नियम 3.5.किसी दिए गए क्षेत्र की छवि ढूंढने के लिए, आपको दो तरीकों में से एक का उपयोग करना चाहिए।

पहला तरीका.

1. इस क्षेत्र की सीमा का समीकरण लिखिए। नियम 3.3 या 3.4 का उपयोग करके किसी दिए गए क्षेत्र की सीमा की छवि ढूंढें।

2. किसी दिए गए क्षेत्र का एक मनमाना आंतरिक बिंदु चुनें और दिए गए मानचित्रण के तहत उसकी छवि ढूंढें। परिणामी बिंदु जिस क्षेत्र से संबंधित है वह दिए गए क्षेत्र की वांछित छवि है।

दूसरा तरीका.

1. एक्सप्रेस जेडअनुपात से डब्ल्यू=एफ(जेड).

2. चरण 1 में आपको जो प्राप्त हुआ उसे प्रतिस्थापित करें। असमानता में एक अभिव्यक्ति जो किसी दिए गए क्षेत्र को परिभाषित करती है। परिणामी अनुपात वांछित छवि है.

उदाहरण।एक वृत्त की छवि खोजें | जेड|=1 जब किसी फ़ंक्शन का उपयोग करके प्रदर्शित किया जाता है डब्ल्यू=जेड 2 .

■ 1 रास्ता(नियम 3.3 के अनुसार).

1. चलो z=x+iy, w=u+iv. तब उ+iv =एक्स 2 -य 2 +मैं 2xy. हम पाते हैं:

2. आइए बहिष्कृत करें एक्सऔर परइन समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, आइए पहले और दूसरे समीकरण का वर्ग करें और जोड़ें:

यू 2 +वी 2 =एक्स 4 -2एक्स 2 य 2 +य 4 +2एक्स 2 य 2 =एक्स 4 +2एक्स 2 य 2 +य 4 =(एक्स 2 +य 2) 2 .

सिस्टम के तीसरे समीकरण को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं: यू 2 +वी 2 =1 या | डब्ल्यू| 2 =1, अर्थात् | डब्ल्यू|=1. तो, वृत्त की छवि | जेड|=1 एक वृत्त है | डब्ल्यू|=1, दो बार ट्रैवर्सेबल। यह इस तथ्य से पता चलता है कि तब से डब्ल्यू=जेड 2 फिर आर्ग डब्ल्यू=2Arg जेड+2पी. तो जब बात जेडएक पूर्ण वृत्त का वर्णन करता है | जेड|=1, तो इसकी छवि वृत्त का वर्णन करती है | डब्ल्यू|=1 दो बार।

विधि 2(नियम 3.4 के अनुसार).

1. आइए यूनिट सर्कल के समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखें: जेड=ई यह (0£ टी£2 पी).

2. आइए स्थानापन्न करें जेड=ई यहअनुपात में डब्ल्यू=जेड 2: w=e मैं 2 टी=cos2 टी+मैंपाप2 टी. इसलिए, | डब्ल्यू| 2 = क्योंकि 2 2 टी+पाप 2 2 टी=1, अर्थात | डब्ल्यू|=1 – छवि समीकरण. ■

उदाहरण।एक रेखा की छवि का समीकरण ज्ञात कीजिए y=xप्रदर्शित होने पर डब्ल्यू=जेड 3 .

■ चूंकि वक्र स्पष्ट रूप से दिया गया है, हम नियम 3.3 लागू करते हैं।

1. डब्ल्यू=जेड 3 =(एक्स+iy) 3 =एक्स 3 +3एक्स 2 iy+3एक्स(iy) 2 +(iy) 3 =एक्स 3 - 3xy 2 +मैं(3एक्स 2 Y y 3).

मतलब,

2. परिणामी प्रणाली में हम स्थानापन्न करते हैं y=x: छोड़कर एक्सइन समीकरणों से, हम पाते हैं v=-u.

तो, सिस्टम के I और III समन्वय कोणों के समद्विभाजक की छवि xOyप्रणाली के II और IV समन्वय कोणों का समद्विभाजक है उओव. ■

1. रैखिक कार्य

रैखिक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है

डब्ल्यू=अज़+बी, (4.1)

कहाँ ए, बी- जटिल स्थिरांक.

यह फ़ंक्शन परिभाषित है . इसलिए, यदि, तो रैखिक प्रकार्यएक जटिल चर के संपूर्ण तल का एक अनुरूप मानचित्रण तैयार करता है। इस मामले में, सभी वक्रों की स्पर्शरेखाएँ एक ही कोण Arg द्वारा घूमती हैं ए, और सभी बिंदुओं पर तनाव बराबर है। अगर ए= 1, फिर , जिसका अर्थ है कि कोई खिंचाव या घुमाव नहीं है। इस मामले में हमें मिलता है w=z+b. यह मैपिंग एक वेक्टर द्वारा पूरे विमान को बदल देती है।

सामान्य स्थिति में, एक सम्मिश्र संख्या लिखने के घातांकीय रूप की ओर बढ़ने पर, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, एक रैखिक मानचित्रण तीन ज्यामितीय परिवर्तनों की एक संरचना है:

डब्ल्यू 1 =आरजेड- गुणांक के साथ समानता आर=|ए|;

डब्ल्यू 2 =ई आई जे डब्ल्यू 1 =आरज़े आई जे- एक कोण पर मुड़ें जे=तर्क एबिंदु के आसपास के बारे में;

डब्ल्यू=डब्ल्यू 2 +बी=पुनः मैं ज z+बी- एक वेक्टर के समानांतर स्थानांतरण।

इसलिए, मानचित्रण डब्ल्यू=अज़+बीकिसी भी समतल आकृति के रैखिक आयामों को | में बदल देता है ए| एक बार इस आकृति को एक कोण से घुमाएं जे=तर्क एमूल के चारों ओर और इसे इसके मान से वेक्टर की दिशा में स्थानांतरित कर देता है।

एक रेखीय मानचित्रण में एक वृत्ताकार गुण होता है, अर्थात यह वृत्तों का मानचित्रण करता है जेड-एक घेरे में विमान डब्ल्यू-प्लेन (और इसके विपरीत); सीधी रेखाओं को सीधी रेखाओं में परिवर्तित करता है।

उदाहरण।अक्ष की छवि ढूंढें कहांप्रदर्शित होने पर डब्ल्यू=2iz-3i.

■ 1 रास्ता(नियम 3.4 के अनुसार). हम अक्ष समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में चुनते हैं।

1. चूँकि वास्तविक रूप में अक्ष का समीकरण है ओए: एक्स=0, -¥<य<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<य<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран पर.

2. आइए स्थानापन्न करें z=iyअभिव्यक्ति में डब्ल्यू=2iz-3i: डब्ल्यू=-2य-3मैं, -¥<य<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (पर- पैरामीटर). वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने के बाद, हम वास्तविक रूप में छवि समीकरण प्राप्त करते हैं: यू=-2य, वी=-3 या वी=-3, -¥<यू<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости उओव, वास्तविक अक्ष के समानांतर।

विधि 2. हम रैखिक परिवर्तन के वृत्ताकार गुण का उपयोग करते हैं - एक सीधी रेखा की छवि एक सीधी रेखा होती है। चूँकि एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जाता है, यह अक्ष पर पर्याप्त है कहांकिन्हीं दो बिंदुओं का चयन करें और उनकी छवियां ढूंढें। पाए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा आवश्यक होगी। आइए अंक चुनें जेड 1 =0, जेड 2 =मैं, उनकी छवियां डब्ल्यू 1 =-3मैं, डब्ल्यू 2 =-2-3मैंजब मैप किया जाए, तो Im लाइन पर लेट जाएं डब्ल्यू= -3, अत: अक्ष का प्रतिबिम्ब कहांएक सीधी रेखा है वी=-3.

3 रास्ता(ज्यामितीय)। रिश्ते से डब्ल्यू=2iz-3iउसका अनुसरण करता है ए=2मैं, बी=-3मैं, |ए|=2, . इसका मतलब है कि दी गई सीधी रेखा (अक्ष) कहां) को मूल बिंदु के सापेक्ष एक कोण द्वारा घुमाया जाना चाहिए, और फिर 3 इकाइयों को नीचे स्थानांतरित किया जाना चाहिए। 2 बार खींचने से मूल रेखा का ज्यामितीय स्वरूप नहीं बदलता, क्योंकि यह मूल बिंदु से होकर गुजरती है। ■

उदाहरण।किसी वृत्त का प्रतिनिधित्व करने वाला कोई रैखिक फलन खोजें | z-i|=1 प्रति परिधि | डब्ल्यू 3|=2.

■ प्रस्तुत समस्या मैपिंग के सिद्धांत की उलटी समस्या है - किसी दी गई छवि और पूर्वछवि को देखते हुए, संबंधित मैपिंग ढूंढें। अतिरिक्त शर्तों के बिना, समस्या का कोई अद्वितीय समाधान नहीं है। आइए हम एक ज्यामितीय समाधान प्रस्तुत करें।

1. वृत्त के केंद्र को मूल बिंदु पर ले जाएं। ऐसा करने के लिए, हम मैपिंग लागू करते हैं डब्ल्यू 1 =z-i.

2. विमान में डब्ल्यू 1 आइए हम एक मैपिंग लागू करें जो 2 गुना खिंचाव देता है, यानी डब्ल्यू 2 =2डब्ल्यू 1 .

3. वृत्त को 3 इकाई दाईं ओर खिसकाएँ: डब्ल्यू=डब्ल्यू 2+3. अंततः हमें मिलता है: डब्ल्यू=2(z-i)+3, डब्ल्यू= 2जेड+3-2मैं– आवश्यक कार्य.

आप ज्यामितीय संचालन करने के लिए एक अलग क्रम चुन सकते हैं - पहले शिफ्ट न करें, बल्कि घुमाएँ या फैलाएँ। ■

2. भिन्नात्मक रैखिक फलन

आंशिक रैखिकफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है

, (4.2)

कहाँ ए, बी,सी,डी-सम्मिश्र संख्याएँ जैसे कि , .

भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तन के गुण

1°अनुपालन

प्रदर्शन डब्ल्यू=एल(जेड) को छोड़कर जटिल तल के सभी अंतिम बिंदुओं पर अनुरूप है।

2° वृत्ताकार संपत्ति

भिन्नात्मक रैखिक मानचित्रण में एक सीधी रेखा या वृत्त की छवि डब्ल्यू=एल(जेड) एक सीधी रेखा या एक वृत्त है (और एक सीधी रेखा की छवि या तो एक वृत्त या एक सीधी रेखा हो सकती है, और एक वृत्त की छवि एक सीधी रेखा और एक वृत्त दोनों हो सकती है)। प्रदर्शित करते समय इसे स्थापित करना आसान है डब्ल्यू=एल(जेड) बिंदु से गुजरने वाली सभी सीधी रेखाएं और वृत्त सीधे तल में जाते हैं ( डब्ल्यू), और सभी सीधी रेखाएं या वृत्त जो बिंदु से नहीं गुजरते हैं डी, - समतल की परिधि में ( डब्ल्यू).

3°दोहरा संबंध अपरिवर्तनीयता

नज़रिया इसे फ्रैक्शनल लीनियर मैपिंग के तहत संरक्षित किया जाता है, यानी यह इसका अपरिवर्तनीय है। ये रिश्ता कहलाता है चार अंकों का दोहरा अनुपात. इस प्रकार, आंशिक रैखिक परिवर्तन विशिष्ट रूप से तीन बिंदुओं और उनकी छवियों को निर्दिष्ट करके निर्धारित किया जाता है:। इन जोड़ियों का उपयोग करके, आप सूत्र का उपयोग करके एक भिन्नात्मक रैखिक फ़ंक्शन पा सकते हैं:

. (4.3)

यह सूत्र उस स्थिति में भी लागू किया जा सकता है जब कुछ संख्याएँ ज़ेड केऔर डब्ल्यू केयदि आप नियम का उपयोग करते हैं, तो ¥ में बदलें: जिस अंतर में प्रतीक ¥ आता है उसे 1 से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

4°समरूपता बनाए रखना

यदि अंक जेड 1 और जेड 2 किसी रेखा या वृत्त के प्रति सममित हैं जी, फिर किसी भिन्नात्मक रैखिक मानचित्रण के लिए डब्ल्यू=एल(जेड) उनकी छवियाँ डब्ल्यू 1 और डब्ल्यू 2 छवि के सापेक्ष सममित होगा जी: .

एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता को सामान्य अर्थ में समझा जाता है।

अंक जेडऔर ज़*कहा जाता है वृत्त के बारे में सममित |z-z 0 |=आर, यदि वे वृत्त के केंद्र से निकलने वाली एक ही किरण पर स्थित हैं, और वृत्त के केंद्र से उनकी दूरी का गुणनफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के बराबर है, अर्थात

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=आर 2 . (4.4)

एक बिंदु के सममित बिंदु जेड 0 - वृत्त का केंद्र स्पष्ट रूप से अनंत पर बिंदु है।

5°सीमा पारगमन मिलान सिद्धांत (रेखाओं या वृत्तों से घिरे क्षेत्रों को प्रदर्शित करना)

यदि, भिन्नात्मक रैखिक मानचित्रण में, एक सीधी रेखा या एक वृत्त जीएक सीधी रेखा या वृत्त में बदल जाता है जी¢, फिर क्षेत्र डी, जो सीमित है जी, दो क्षेत्रों में से एक में तब्दील हो गया है जो कि सीमाबद्ध हैं जी¢. इस मामले में, सीमा बाईपास के पत्राचार का सिद्धांत होता है: यदि कुछ लाइन बाईपास के दौरान जीक्षेत्र डीबाईं ओर (दाएं) निकलता है, फिर रेखा के संगत ट्रैवर्सल के साथ जी¢क्षेत्र डी¢बाएँ (दाएँ) पर भी होना चाहिए।

उदाहरण।भिन्नात्मक रैखिक फलन ज्ञात कीजिए डब्ल्यू=एल(जेड), ऐसा है कि डब्ल्यू(मैं)=2मैं, डब्ल्यू(¥)=1, डब्ल्यू(-1)=¥.

■ आइए निरूपित करें जेड 1 =मैं, जेड 2=¥, जेड 3=-1 और डब्ल्यू 1 =2मैं, डब्ल्यू 2 =1, डब्ल्यू 3=¥. आइए हम अंतरों को प्रतिस्थापित करते हुए सूत्र (4.3) लागू करें जेड 2 और डब्ल्यू 3 से ¥:

या .

आइए परिवर्तित करें:- w-wi+ 2मैं- 2=wz-wi-z+i Û डब्ल्यू(जेड+1)=जेड-2+मैंÛ आवश्यक कार्य है. ■