مماس معکوس توابع مثلثاتی معکوس و نمودارهای آنها

توابع مثلثاتی معکوس- اینها آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت هستند.

ابتدا اجازه دهید تعاریفی ارائه دهیم.

آرکسینیا می توان گفت که این زاویه ای است متعلق به قطعه ای که سینوس آن است برابر عددآ.

کسینوس قوسیعدد a به عددی گفته می شود که

Arctangentعدد a به عددی گفته می شود که

Arccotangentعدد a به عددی گفته می شود که

بیایید در مورد این چهار تابع جدید - مثلثاتی معکوس - با جزئیات صحبت کنیم.

به یاد داشته باشید، ما قبلاً ملاقات کرده ایم.

مثلاً حسابی ریشه دوماز یک عدد a یک عدد غیر منفی است که مربع آن برابر با a است.

لگاریتم عدد b به مبنای a عددی c است به طوری که

که در آن

ما درک می کنیم که چرا ریاضیدانان مجبور به "اختراع" توابع جدید شدند. به عنوان مثال، راه حل های یک معادله هستند و ما نمی توانیم آنها را بدون علامت خاص ریشه دوم حسابی بنویسیم.

مفهوم لگاریتم برای نوشتن راه‌حل‌ها، به عنوان مثال، برای چنین معادله‌ای ضروری است: راه‌حل این معادله عدد گنگاین توانی است که برای بدست آوردن 7 باید 2 را به آن افزایش داد.

معادلات مثلثاتی هم همینطور است. مثلاً می خواهیم معادله را حل کنیم

واضح است که جواب های آن با نقاطی از دایره مثلثاتی مطابقت دارد که مختصات آنها برابر است و مشخص است که این مقدار جدولی سینوس نیست. چگونه راه حل ها را یادداشت کنیم؟

در اینجا نمی‌توانیم بدون تابع جدید، زاویه‌ای را که سینوس آن برابر است، انجام دهیم شماره داده شدهآ. بله، همه قبلا حدس زده اند. این آرکسین است.

زاویه متعلق به قطعه ای که سینوس آن برابر است، یک چهارم قوس است. و این بدان معنی است که مجموعه ای از جواب های معادله ما مربوط به نقطه سمت راست در دایره مثلثاتی است.

و سری دوم از راه حل های معادله ما است

بیشتر در مورد راه حل معادلات مثلثاتی - .

باید دید - چرا تعریف آرکسین نشان می دهد که این یک زاویه متعلق به بخش است؟

واقعیت این است که بی نهایت زوایای وجود دارد که سینوس آنها برای مثال برابر است. ما باید یکی از آنها را انتخاب کنیم. ما یکی را انتخاب می کنیم که در قسمت قرار دارد.

به دایره مثلثاتی نگاه کنید. خواهید دید که در قطعه، هر زاویه با یک مقدار سینوس خاص مطابقت دارد و فقط یک. و بالعکس، هر مقدار سینوس از بخش مربوط به یک معنی واحدزاویه روی قطعه این به این معنی است که در یک سگمنت می توانید تابعی را با مقادیر از به تعریف کنید

بیایید دوباره تعریف را تکرار کنیم:

آرکسینوس یک عدد عدد است , به طوری که

نامگذاری: ناحیه تعریف آرکسین یک بخش است.

می توانید عبارت "آرکسین ها در سمت راست زندگی می کنند" را به خاطر بسپارید. فقط فراموش نکنید که نه تنها در سمت راست، بلکه در بخش نیز قرار دارد.

ما آماده ایم که تابع را نمودار کنیم

طبق معمول، مقادیر x را در محور افقی و مقادیر y را در محور عمودی رسم می کنیم.

زیرا، بنابراین، x در محدوده 1- تا 1 قرار دارد.

این بدان معنی است که دامنه تعریف تابع y = arcsin x قطعه است

گفتیم که y متعلق به بخش است. این بدان معنی است که محدوده مقادیر تابع y = arcsin x قطعه است.

توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arcsinx کاملاً در ناحیه محدود شده توسط خطوط و

مثل همیشه هنگام ترسیم نمودار یک تابع ناآشنا، بیایید با یک جدول شروع کنیم.

طبق تعریف، آرکسینوس صفر عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر با صفر است. این عدد چیست؟ - معلوم است که این صفر است.

به همین ترتیب، آرکسینوس یک عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر با یک است. بدیهی است که این

ادامه می دهیم: - این عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر است با . بله آن

			0
			0

ساختن نمودار یک تابع

ویژگی های تابع

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. یعنی این تابع فرد است. نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.

4. تابع به صورت یکنواخت افزایش می یابد. او کوچکترین ارزش، برابر با - ، در به دست می آید ، و بزرگترین مقدار ، برابر با ، در

5. نمودار توابع و چیست؟ آیا فکر نمی کنید که آنها "بر اساس یک الگو" ساخته شده اند - درست مانند شاخه سمت راست یک تابع و نمودار یک تابع، یا مانند نمودارهای توابع نمایی و لگاریتمی؟

تصور کنید که ما یک قطعه کوچک را از یک موج سینوسی معمولی به سمت دیگر برش می دهیم، و سپس آن را به صورت عمودی می چرخانیم - و یک نمودار آرکسین به دست خواهیم آورد.

برای یک تابع در این بازه مقادیر آرگومان چیست، سپس برای آرکسین مقادیر تابع وجود خواهد داشت. این طوری باید باشد! از این گذشته، سینوس و آرکسین توابع معکوس متقابل هستند. نمونه های دیگر از جفت توابع معکوس متقابل در و و همچنین توابع نمایی و لگاریتمی هستند.

به یاد بیاورید که نمودارهای توابع معکوس متقابل با توجه به خط مستقیم متقارن هستند.

به طور مشابه، ما فقط به یک قطعه نیاز داریم که در آن مقدار هر زاویه با مقدار کسینوس خودش مطابقت داشته باشد و با دانستن کسینوس، می‌توانیم به طور منحصر به فرد آن زاویه را پیدا کنیم. یک بخش برای ما مناسب است

کسینوس قوس یک عدد عدد است ، به طوری که

یادآوری آسان است: "کسینوس های قوسی از بالا زندگی می کنند" و نه فقط از بالا، بلکه در بخش

تعیین: ناحیه تعریف کسینوس قوس یک بخش است.

بدیهی است که بخش انتخاب شده است زیرا هر مقدار کسینوس روی آن فقط یک بار گرفته می شود. به عبارت دیگر، هر مقدار کسینوس، از -1 تا 1، مربوط به یک مقدار زاویه منفرد از بازه است.

کسینوس قوسی نه زوج است و نه زوج تابع فرد. اما می توانیم از رابطه آشکار زیر استفاده کنیم:

بیایید تابع را رسم کنیم

ما به بخشی از تابع نیاز داریم که در آن یکنواخت باشد، یعنی هر مقدار را دقیقاً یک بار می گیرد.

بیایید یک بخش را انتخاب کنیم. در این بخش تابع به طور یکنواخت کاهش می یابد، یعنی مطابقت بین مجموعه ها یک به یک است. هر مقدار x یک مقدار y متناظر دارد. در این قطعه تابعی معکوس کسینوس وجود دارد، یعنی تابع y = arccosx.

بیایید جدول را با استفاده از تعریف کسینوس قوس پر کنیم.

کسینوس قوس عدد x متعلق به بازه، عدد y متعلق به بازه خواهد بود به طوری که

این بدان معناست که از آنجایی که؛

زیرا ؛

زیرا ،

			0
					0

این نمودار کسینوس قوس است:

ویژگی های تابع

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

این تابع نمای کلی- نه زوج است و نه فرد.

4. عملکرد به شدت در حال کاهش است. بالاترین ارزش، برابر است با، تابع y = arccosx برابر است و کوچکترین مقدار، برابر با صفر، در

5. توابع و متقابل معکوس هستند.

موارد بعدی آرکتانژانت و آرکوتانژانت هستند.

متقاطع یک عدد عدد است ، به طوری که

تعیین: . ناحیه تعریف قوس، بازه است.

چرا انتهای بازه-نقاط- در تعریف قطبی مستثنی شده است؟ البته چون مماس در این نقاط تعریف نشده است. هیچ عدد a برابر با مماس هیچ یک از این زوایا وجود ندارد.

بیایید یک نمودار از قطب متقاطع بسازیم. طبق تعریف، مماس یک عدد x عددی است که متعلق به بازه‌ای است که

نحوه ساخت یک نمودار از قبل مشخص است. از آنجایی که تانژانت تابع معکوس مماس است، به صورت زیر عمل می کنیم:

بخشی از نمودار تابع را انتخاب می کنیم که مطابقت بین x و y یک به یک باشد. این بازه C است. در این بخش تابع مقادیر از تا را می گیرد

سپس تابع معکوس، یعنی تابع، یک دامنه تعریف دارد که کل خط اعداد، از تا، و محدوده مقادیر، بازه خواهد بود.

به معنای،

اما برای مقادیر بی نهایت بزرگ x چه اتفاقی می افتد؟ به عبارت دیگر، این تابع چگونه رفتار می کند که x تمایل به اضافه بی نهایت دارد؟

می توانیم این سوال را از خود بپرسیم: مماس برای کدام عدد در بازه به بی نهایت میل می کند؟ - معلومه که این

این بدان معنی است که برای مقادیر بی نهایت بزرگ x، نمودار متقاطع به مجانب افقی نزدیک می شود.

به طور مشابه، اگر x به منهای بی‌نهایت نزدیک شود، نمودار تانژانت به مجانب افقی نزدیک می‌شود.

شکل یک نمودار از تابع را نشان می دهد

ویژگی های تابع

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. تابع فرد است.

4. عملکرد به شدت در حال افزایش است.

6. توابع و متقابل معکوس هستند - البته، زمانی که تابع در بازه در نظر گرفته شود

به طور مشابه، تابع مماس معکوس را تعریف کرده و نمودار آن را رسم می کنیم.

مماس قوسی یک عدد عدد است ، به طوری که

نمودار تابع:

ویژگی های تابع

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. تابع به صورت کلی است، یعنی نه زوج و نه فرد.

4. عملکرد به شدت در حال کاهش است.

5. مجانب مستقیم و - افقی این تابع.

6. اگر در بازه در نظر گرفته شود، توابع و متقابلا معکوس هستند

توابع مثلثاتی معکوس(توابع دایره ای، توابع قوس) - توابع ریاضی که معکوس به توابع مثلثاتی هستند.

اینها معمولاً شامل 6 عملکرد هستند:

آرکسین(تعیین: arcsin x; arcsin x- این زاویه است گناهکه برابر است با ایکس),
کسینوس قوسی(تعیین: arccos x; arccos xزاویه ای است که کسینوس آن برابر است ایکسو غیره)
متقاطع(تعیین: arctan xیا arctan x),
آرکوتانژانت(تعیین: arcctg xیا arccot xیا arccotan x),
قوس دار(تعیین: arcsec x),
آرکوسکانت(تعیین: arccosec xیا arccsc x).

آرکسین (y = arcsin x) - تابع معکوس به گناه (x = گناه y . به عبارت دیگر، زاویه را با مقدار آن برمی گرداند گناه.

کسینوس قوسی (y = arccos x) - تابع معکوس به cos (x = cos y cos.

Arctangent (y = آرکتان x) - تابع معکوس به tg (x = قهوهای مایل به زرد y) که دارای دامنه تعریف و مجموعه ای از مقادیر است . به عبارت دیگر، زاویه را با مقدار آن برمی گرداند tg.

Arccotangent (y = arcctg x) - تابع معکوس به ctg (x = cotg y) که دارای دامنه تعریف و مجموعه ای از مقادیر است. به عبارت دیگر، زاویه را با مقدار آن برمی گرداند ctg.

arcsec- arcscant، زاویه را با توجه به مقدار سکنت آن برمی گرداند.

arccosec- arccosecant، یک زاویه را بر اساس مقدار cosecant آن برمی گرداند.

وقتی تابع مثلثاتی معکوس در یک نقطه مشخص تعریف نشده باشد، مقدار آن در جدول نهایی ظاهر نخواهد شد. کارکرد arcsecو arccosecدر بخش (-1،1) تعیین نمی شوند، اما آرکسینو آرکوسفقط در بازه [-1،1] تعیین می شوند.

نام تابع مثلثاتی معکوس از نام تابع مثلثاتی مربوطه با اضافه کردن پیشوند "arc-" (از Lat. قوس ما- قوس). این به دلیل این واقعیت است که از نظر هندسی، مقدار تابع مثلثاتی معکوس با طول قوس دایره واحد (یا زاویه ای که این کمان را تحت تأثیر قرار می دهد) مرتبط است که با یک یا قسمت دیگر مطابقت دارد.

گاهی اوقات در ادبیات خارجیمانند ماشین حساب های علمی/مهندسی، از نمادهایی مانند استفاده کنید sin-1, cos-1برای آرکسین، آرکوزین و مانند آن، این کاملاً دقیق نیست، زیرا احتمالاً با بالا بردن یک تابع به یک قدرت سردرگمی وجود دارد −1 (« −1 » (منهای توان اول) تابع را تعریف می کند x = f -1 (y), تابع معکوس y = f(x)).

روابط اساسی توابع مثلثاتی معکوس.

در اینجا مهم است که به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه کنید.

فرمول های مربوط به توابع مثلثاتی معکوس

اجازه دهید هر یک از مقادیر توابع مثلثاتی معکوس را با نشان دهیم Arcsin x, آرکوس ایکس, آرکتان ایکس, Arccot xو علامت گذاری را حفظ کنید: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot xبرای ارزش های اصلی آنها، سپس ارتباط بین آنها با چنین روابطی بیان می شود.

مسائل مربوط به توابع مثلثاتی معکوس اغلب در امتحانات نهایی مدارس و در کنکور برخی از دانشگاه ها ارائه می شود. مطالعه دقیق این موضوع فقط در کلاس های انتخابی یا دروس انتخابی. دوره پیشنهادی برای توسعه هر چه بیشتر توانایی های هر دانش آموز و بهبود آمادگی ریاضی او طراحی شده است.

مدت دوره 10 ساعت:

1. توابع arcsin x، arccos x، arctg x، arcctg x (4 ساعت).

2. عملیات بر روی توابع مثلثاتی معکوس (4 ساعت).

3. عملیات مثلثاتی معکوس روی توابع مثلثاتی (2 ساعت).

درس 1 (2 ساعت) موضوع: توابع y = arcsin x، y = arccos x، y = arctan x، y = arcctg x.

هدف: پوشش کامل این موضوع.

1. تابع y = arcsin x.

الف) برای تابع y = sin x روی قطعه یک تابع معکوس (تک ارزشی) وجود دارد که توافق کردیم آن را arcsine بنامیم و آن را به صورت زیر نشان دهیم: y = arcsin x. نمودار تابع معکوس با نمودار تابع اصلی با توجه به نیمساز زوایای مختصات I - III متقارن است.

ویژگی های تابع y = arcsin x.

1) دامنه تعریف: بخش [-1; 1]؛

2) منطقه تغییر: بخش.

3) تابع y = arcsin x odd: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) تابع y = arcsin x بطور یکنواخت در حال افزایش است.

5) نمودار محورهای Ox، Oy را در مبدا قطع می کند.

مثال 1. a = arcsin را پیدا کنید. این مثالرا می توان با جزئیات به صورت زیر فرمول بندی کرد: آرگومان a را پیدا کنید که در محدوده از تا قرار دارد و سینوس آن برابر است.

راه حل. استدلال های بی شماری وجود دارد که سینوس آنها برابر است، به عنوان مثال: و غیره. اما ما فقط به استدلالی علاقه مندیم که در بخش است. این بحث خواهد بود. بنابراین، .

مثال 2. پیدا کنید .راه حل.با استدلال به همان روشی که در مثال 1 آمده است، می گیریم .

ب) تمرینات دهانی یافتن: arcsin 1، arcsin (-1)، arcsin، arcsin()، arcsin، arcsin()، arcsin، arcsin()، arcsin 0. پاسخ نمونه: ، زیرا . آیا عبارات معنی دارند: ; arcsin 1.5; ?

ج) به ترتیب صعودی ترتیب دهید: arcsin، arcsin (-0.3)، arcsin 0.9.

II. توابع y = arccos x، y = arctg x، y = arcctg x (مشابه).

درس 2 (2 ساعت) موضوع: توابع مثلثاتی معکوس، نمودارهای آنها.

هدف: روشن این درستوسعه مهارت در تعیین مقادیر توابع مثلثاتی، در ساخت نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس با استفاده از D (y)، E (y) و تبدیل های لازم ضروری است.

در این درس تمریناتی را کامل کنید که شامل یافتن دامنه تعریف، دامنه مقدار توابع از نوع: y = arcsin، y = arccos (x-2)، y = arctg (tg x)، y = arccos است.

شما باید نمودارهایی از توابع بسازید: a) y = arcsin 2x; ب) y = 2 arcsin 2x; ج) y = arcsin;

د) y = arcsin; ه) y = arcsin; ه) y = arcsin; g) y = | آرکسین | .

مثال.بیایید نمودار y = arccos را ترسیم کنیم

می توانید تمرین های زیر را در تکالیف خود بگنجانید: نمودارهایی از توابع بسازید: y = arccos، y = 2 arcctg x، y = arccos | x | .

نمودارهای توابع معکوس

درس شماره 3 (2 ساعت) موضوع:
عملیات روی توابع مثلثاتی معکوس

هدف: گسترش دانش ریاضی (این برای کسانی که وارد تخصص‌هایی می‌شوند که نیازهای بیشتری برای آموزش ریاضی دارند مهم است) با معرفی روابط پایه برای توابع مثلثاتی معکوس.

مواد برای درس.

چند عملیات ساده مثلثاتی روی توابع مثلثاتی معکوس: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1 cos (arсcos x) = x، i xi؟ 1 tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x، x I R.

تمرینات

الف) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

ب) cos ( + arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). اجازه دهید arcsin 0.6 = a، sin a = 0.6;

cos (arcsin x) = ; گناه (arccos x) = .

توجه: علامت + را جلوی ریشه می گیریم زیرا a = arcsin x را برآورده می کند.

ج) گناه (1.5 + arcsin) پاسخ: ;

د) ctg ( + arctg 3 ) .

ه) tg ( – arcctg 4) پاسخ: .

ه) cos (0.5 + arccos). پاسخ: .

محاسبه:

الف) گناه (2 arctan 5) .

اجازه دهید arctan 5 = a، سپس sin 2 a = یا گناه (2 arctan 5) = ;

ب) cos ( + 2 arcsin 0.8 پاسخ: 0.28).

ج) arctg + arctg.

بگذارید a = arctg، b = arctg،

سپس tg(a + b) = .

د) گناه (arcsin + arcsin).

ه) ثابت کنید که برای همه x I [-1; 1] arcsin واقعی x + arccos x = .

اثبات:

arcsin x = – arccos x

گناه (arcsin x) = گناه ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

برای اینکه خودتان آن را حل کنید: sin (arccos)، cos (arcsin)، cos (arcsin ())، sin (arctg (- 3))، tg (arccos)، ctg (arccos).

برای راه حل خانگی: 1) sin (arcsin 0.6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg (- arccos 0.6)؛ 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) گناه (1.5 - arcsin 0.8)؛ 6) arctg 0.5 – arctg 3.

درس شماره 4 (2 ساعت) موضوع: عملیات روی توابع مثلثاتی معکوس.

هدف: در این درس، استفاده از نسبت ها را در تبدیل عبارات پیچیده تر نشان دهید.

مواد برای درس.

شفاهی:

الف) گناه (arccos 0.6)، cos (arcsin 0.8)؛

ب) tg (arcсtg 5)، ctg (arctg 5)؛

ج) sin (arctg -3)، cos (arcсtg());

د) tg (arccos)، ctg (arccos()).

به صورت مکتوب:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

کار مستقل به شناسایی سطح تسلط بر مطالب کمک می کند.

1) tg (arctg 2 - arctg)

2) cos(- arctan2)

3) آرکسین + آرکوس

1) cos (arcsin + arcsin)

2) گناه (1.5 - arctan 3)

3) arcctg3 – arctg 2

برای مشق شبمی توانیم پیشنهاد کنیم:

1) ctg (arctg + arctg + arctg)؛ 2) گناه 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan (arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ((arcsin))

درس شماره 5 (2 ساعت) موضوع: عملیات مثلثاتی معکوس روی توابع مثلثاتی.

هدف: ایجاد درک دانش آموزان از عملیات مثلثاتی معکوس بر روی توابع مثلثاتی، با تمرکز بر افزایش درک نظریه مورد مطالعه.

هنگام مطالعه این مبحث، فرض بر این است که حجم مطالب نظری برای حفظ محدود است.

مواد درسی:

می توانید با مطالعه تابع y = arcsin (sin x) و رسم نمودار آن، یادگیری مطالب جدید را شروع کنید.

3. هر x I R با y I مرتبط است، i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. تابع فرد است: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. نمودار y = arcsin (sin x) روی:

الف) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ب)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = گناه ( – x) = گناه x , 0<= - x <= .

بنابراین،

پس از ساختن y = arcsin (sin x) در، به طور متقارن در مورد مبدا در [-; 0]، با توجه به عجیب بودن این تابع. با استفاده از تناوب، تمام خط اعداد را ادامه می دهیم.

سپس چند رابطه را یادداشت کنید: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos آ ) = a اگر 0 باشد<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

و تمرینات زیر را انجام دهید: الف) arccos(sin 2).پاسخ: 2 - ; ب) arcsin (cos 0.6) پاسخ: - 0.1. ج) arctg (tg 2) پاسخ: 2 - ;

د) arcctg(tg 0.6).پاسخ: 0.9; e) arccos (cos ( - 2) ) . ه) آرکسین (سین (- 0.6)). پاسخ: - 0.6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). پاسخ: 2 - ; h) аrcctg (tg 0.6). پاسخ: - 0.6; - arctan x; ه) آرکوس + آرکوس

از آنجایی که توابع مثلثاتی تناوبی هستند، توابع معکوس آنها منحصر به فرد نیستند. بنابراین، معادله y = گناه x، برای یک معین، ریشه های بی نهایت زیادی دارد. در واقع، به دلیل تناوب بودن سینوس، اگر x چنین ریشه ای باشد، پس چنین است x + 2πn(که در آن n یک عدد صحیح است) نیز ریشه معادله خواهد بود. بدین ترتیب، توابع مثلثاتی معکوس چند ارزشی هستند. برای سهولت کار با آنها، مفهوم معانی اصلی آنها معرفی شده است. برای مثال سینوس را در نظر بگیرید: y = گناه x. اگر آرگومان x را به بازه محدود کنیم، تابع y = روی آن است گناه xیکنواخت افزایش می یابد. بنابراین یک تابع معکوس منحصر به فرد دارد که به آن آرکسین می گویند: x = arcsin y.

منظور ما از توابع مثلثاتی معکوس مقادیر اصلی آنهاست که با تعاریف زیر مشخص می شود مگر اینکه خلاف آن بیان شود.

آرکسین ( y = arcsin x) تابع معکوس سینوس است ( x = گناه آلود
کسینوس قوسی ( y = arccos x) تابع معکوس کسینوس است ( x = cos y) داشتن یک دامنه تعریف و مجموعه ای از ارزش ها.
آرکتانژانت ( y = arctan x) تابع معکوس مماس است ( x = tg y) داشتن یک دامنه تعریف و مجموعه ای از ارزش ها.
آرکوتانژانت ( y = arcctg x) تابع معکوس کوتانژانت است ( x = ctg y) داشتن یک دامنه تعریف و مجموعه ای از ارزش ها.

نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس

نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس از نمودارهای توابع مثلثاتی با انعکاس آینه ای نسبت به خط مستقیم y = x به دست می آیند. بخش های سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت را ببینید.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

فرمول های پایه

در اینجا باید به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه ویژه ای داشته باشید.

arcsin(sin x) = xدر
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xدر
cos(arccos x) = x

آرکتان (tg x) = xدر
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xدر
ctg(arcctg x) = x

فرمول های مربوط به توابع مثلثاتی معکوس

همچنین ببینید: استخراج فرمول برای توابع مثلثاتی معکوس

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در

در

در

در

در

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

درس 32-33. توابع مثلثاتی معکوس

09.07.2015 8936 0

هدف: توابع مثلثاتی معکوس و استفاده از آنها برای نوشتن جواب معادلات مثلثاتی را در نظر بگیرید.

I. ارتباط با موضوع و هدف دروس

II. یادگیری مطالب جدید

1. توابع مثلثاتی معکوس

بیایید بحث خود را در مورد این موضوع با مثال زیر آغاز کنیم.

مثال 1

بیایید معادله را حل کنیم:الف) گناه x = 1/2; ب) گناه x = a.

الف) روی محور ارتین مقدار 1/2 را رسم می کنیم و زوایا را می سازیم x 1 و x2 که برای آنگناه x = 1/2. در این مورد x1 + x2 = π، از آنجا x2 = π - x 1 . با استفاده از جدول مقادیر توابع مثلثاتی، مقدار x1 = π/6 را پیدا می کنیم، سپسبیایید تناوب تابع سینوس را در نظر بگیریم و جواب های این معادله را بنویسیم:جایی که k ∈ Z.

ب) بدیهی است که الگوریتم حل معادلهگناه x = a مانند پاراگراف قبل است. البته اکنون مقدار a در امتداد محور ارتین رسم می شود. نیاز به تعیین زاویه x1 وجود دارد. ما موافقت کردیم که این زاویه را با نماد نشان دهیمآرکسین آ. سپس جواب های این معادله را می توان به شکل نوشتاری کرداین دو فرمول را می توان در یک فرمول ترکیب کرد:که در آن

توابع مثلثاتی معکوس باقی مانده به روشی مشابه معرفی می شوند.

اغلب اوقات لازم است که بزرگی یک زاویه را از مقدار شناخته شده تابع مثلثاتی آن تعیین کنیم. چنین مشکلی چند ارزشی است - زوایای بی شماری وجود دارد که توابع مثلثاتی آنها برابر با یک مقدار است. بنابراین، بر اساس یکنواختی توابع مثلثاتی، توابع مثلثاتی معکوس زیر برای تعیین منحصر به فرد زوایا معرفی می شوند.

آرکسین عدد a (arcsin ، که سینوس آن برابر با a است، i.e.

کسینوس قوسی یک عدد a (آرکوس الف) یک زاویه a از بازه ای است که کسینوس آن برابر با a است، یعنی.

مماس یک عدد a (arctg الف) - چنین زاویه ای از فاصلهکه مماس آن برابر با a است، یعنی.tg a = a.

Arccotangent یک عدد a (arcctg الف) یک زاویه a از بازه (0؛ π) است که کوتانژانت آن برابر با a است، یعنی. ctg a = a.

مثال 2

بیایید پیدا کنیم:

با در نظر گرفتن تعاریف توابع مثلثاتی معکوس، به دست می آوریم:

مثال 3

بیایید محاسبه کنیم

اجازه دهید زاویه a = arcsin 3/5، سپس طبق تعریف sin a = 3/5 و . بنابراین، ما باید پیدا کنیم cos آ. با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه، به دست می آوریم:در نظر گرفته می شود که cos ≥ 0. بنابراین،

ویژگی های تابع	تابع
ویژگی های تابع	y = arcsin x	y = arccos x	y = آرکتان x	y = arcctg x
دامنه	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞؛ +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
محدوده ارزش ها	y ∈ [ -π/2 ; π / 2 ]	y∈	y ∈ (-π/2؛ π /2)	y ∈ (0;π)
برابری	فرد	نه زوج و نه فرد	فرد	نه زوج و نه فرد
تابع صفر (y = 0)	در x = 0	در x = 1	در x = 0	y ≠ 0
فواصل پایداری علامت	y > 0 برای x ∈ (0; 1]، در< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 برای x ∈ [-1; 1)	y > 0 برای x ∈ (0; +∞)، در< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 برای x ∈ (-∞؛ +∞)
یکنواخت	در حال افزایش است	نزولی	در حال افزایش است	نزولی
رابطه با تابع مثلثاتی	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
برنامه

اجازه دهید تعدادی مثال معمولی در رابطه با تعاریف و ویژگی های اساسی توابع مثلثاتی معکوس ارائه دهیم.

مثال 4

بیایید دامنه تعریف تابع را پیدا کنیم

برای اینکه تابع y تعریف شود، باید نابرابری را برآورده کردکه معادل سیستم نابرابری هاستراه حل نابرابری اول بازه x است∈ (-∞؛ +∞)، دوم -این فاصله و راه حلی برای سیستم نابرابری ها و در نتیجه حوزه تعریف تابع است

مثال 5

بیایید ناحیه تغییر تابع را پیدا کنیم

بیایید رفتار تابع را در نظر بگیریم z = 2x - x2 (تصویر را ببینید).

واضح است که z ∈ (-∞؛ 1]. با توجه به اینکه برهان z تابع کتانژانت قوس در محدوده های مشخص شده، از داده های جدولی که ما به دست می آوریم، تغییر می کندبنابراین منطقه تغییر

مثال 6

اجازه دهید ثابت کنیم که تابع y = arctg x فرد اجازه دهیدسپس tg a = -x یا x = - tg a = tg (- a)، و بنابراین، - a = arctg x یا a = - arctg ایکس. بنابراین، ما آن را می بینیمیعنی y(x) یک تابع فرد است.

مثال 7

اجازه دهید از طریق تمام توابع مثلثاتی معکوس بیان کنیم

اجازه دهید بدیهی است که سپس از آن زمان

بیایید زاویه را معرفی کنیم زیرا که

به همین ترتیب بنابراین و

بنابراین،

مثال 8

بیایید یک نمودار از تابع y = بسازیم cos (arcsin x).

اجازه دهید a = arcsin x را نشان دهیم، سپس بیایید در نظر بگیریم که x = sin a و y = cos a، یعنی x 2 + y2 = 1 و محدودیت در x (x∈ [-1; 1]) و y (y ≥ 0). سپس نمودار تابع y = cos(arcsin x) یک نیم دایره است.

مثال 9

بیایید یک نمودار از تابع y = بسازیم arccos (cos x).

از آنجایی که تابع cos است x در بازه [-1; 1]، سپس تابع y در کل محور عددی تعریف می شود و در قطعه تغییر می کند. بیایید در نظر داشته باشیم که y = arccos (cosx) = x در بخش. تابع y زوج و تناوبی با دوره 2π است. با توجه به اینکه تابع این ویژگی ها را دارد cos x اکنون ایجاد یک نمودار آسان است.

اجازه دهید به چند برابری مفید توجه کنیم:

مثال 10

بیایید کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع را پیدا کنیمبیایید نشان دهیم سپس بیایید تابع را دریافت کنیم این تابع در نقطه حداقلی دارد z = π/4 و برابر است با بیشترین مقدار تابع در نقطه به دست می آید z = -π/2، و برابر است بنابراین، و

مثال 11

بیایید معادله را حل کنیم

بیایید آن را در نظر بگیریم سپس معادله به نظر می رسد:یا جایی که با تعریف آرکتانژانت دریافت می کنیم:

2. حل معادلات مثلثاتی ساده

مشابه مثال 1، می توانید جواب ساده ترین معادلات مثلثاتی را بدست آورید.

معادله	راه حل


tgx = a
ctg x = a

مثال 12

بیایید معادله را حل کنیم

از آنجایی که تابع سینوس فرد است، معادله را به شکل می نویسیمراه حل های این معادله:از کجا پیداش کنیم

مثال 13

بیایید معادله را حل کنیم

با استفاده از فرمول داده شده، جواب های معادله را یادداشت می کنیم:و ما پیدا خواهیم کرد

توجه داشته باشید که در موارد خاص (a = 0; ±1) هنگام حل معادلات sin x = a و cos x = و استفاده از فرمول‌های عمومی ساده‌تر و راحت‌تر است، بلکه نوشتن راه‌حل‌ها بر اساس دایره واحد است:

برای معادله sin x = 1 راه حل

برای معادله sin x = 0 راه حل x = π k;

برای معادله sin x = -1 راه حل