الگوریتم استاندارد برای حل چنین مسائلی، پس از یافتن صفرهای تابع، تعیین نشانه های مشتق بر روی فواصل را فرض می کند. سپس محاسبه مقادیر در نقاط یافت شده از حداکثر (یا حداقل) و در مرز فاصله، بسته به اینکه چه سوالی در شرایط وجود دارد.

من به شما توصیه می کنم که این کار را کمی متفاوت انجام دهید. چرا؟ من در مورد آن نوشتم.

من برای حل چنین وظایفی به شرح زیر پیشنهاد می کنم:

1. مشتق را بیابید.
2. صفرهای مشتق را بیابید.
3. مشخص کنید که کدام یک از آنها به بازه داده شده تعلق دارند.
4. مقادیر تابع را در مرزهای بازه و نقاط مورد 3 محاسبه کنید.
5. نتیجه گیری می کنیم (به سوال مطرح شده پاسخ می دهیم).

در حل مثال های ارائه شده، حل معادلات درجه دوم به طور دقیق مورد توجه قرار نگرفت، شما باید بتوانید این کار را انجام دهید. شما نیز باید بدانید.

بیایید چند نمونه را در نظر بگیریم:

77422. بزرگترین مقدار تابع y = x را بیابید 3 –3х + 4 در بخش [–2; 0].

صفرهای مشتق را پیدا کنید:

نقطه x = –1 متعلق به بازه مشخص شده در شرط است.

ما مقادیر تابع را در نقاط -2، -1 و 0 محاسبه می کنیم:

بزرگترین مقدار تابع 6 است.

پاسخ: 6

77425. کوچکترین مقدار تابع y = x 3 - 3x 2 + 2 را در قسمت پیدا کنید.

بیایید مشتق تابع داده شده را پیدا کنیم:

صفرهای مشتق را پیدا کنید:

نقطه x = 2 متعلق به بازه مشخص شده در شرط است.

ما مقادیر تابع را در نقاط 1، 2 و 4 محاسبه می کنیم:

کوچکترین مقدار تابع -2 است.

پاسخ: -2

77426. بزرگترین مقدار تابع y = x 3 - 6x 2 را در بخش [–3; 3] بیابید.

بیایید مشتق تابع داده شده را پیدا کنیم:

صفرهای مشتق را پیدا کنید:

نقطه x = 0 متعلق به بازه مشخص شده در شرط است.

ما مقادیر تابع را در نقاط -3، 0 و 3 محاسبه می کنیم:

کوچکترین مقدار تابع 0 است.

پاسخ: 0

77429. کوچکترین مقدار تابع y = x 3 - 2x 2 + x +3 را در قسمت پیدا کنید.

بیایید مشتق تابع داده شده را پیدا کنیم:

3x 2 - 4x + 1 = 0

ما ریشه ها را بدست می آوریم: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

فقط x = 1 به بازه مشخص شده در شرط تعلق دارد.

بیایید مقادیر تابع را در نقاط 1 و 4 پیدا کنیم:

دریافتیم که کوچکترین مقدار تابع 3 است.

پاسخ: 3

77430. بزرگترین مقدار تابع y = x 3 + 2x 2 + x + 3 را در بخش [- 4; -1].

بیایید مشتق تابع داده شده را پیدا کنیم:

صفرهای مشتق را پیدا کنید، معادله درجه دوم را حل کنید:

3x 2 + 4x + 1 = 0

ما ریشه ها را می گیریم:

فاصله مشخص شده در شرط متعلق به ریشه x = –1 است.

مقادیر تابع را در نقاط -4، -1، -1/3 و 1 بیابید:

دریافتیم که بزرگترین مقدار تابع 3 است.

پاسخ: 3

77433. کوچکترین مقدار تابع y = x 3 - x 2 - 40x +3 را در قسمت پیدا کنید.

بیایید مشتق تابع داده شده را پیدا کنیم:

صفرهای مشتق را پیدا کنید، معادله درجه دوم را حل کنید:

3x 2 - 2x - 40 = 0

ما ریشه ها را می گیریم:

فاصله مشخص شده در شرط متعلق به ریشه x = 4 است.

مقادیر تابع را در نقاط 0 و 4 پیدا می کنیم:

دریافتیم که کوچکترین مقدار تابع 109- است.

پاسخ: -109

روشی را برای تعیین بزرگترین و کوچکترین مقادیر توابع بدون مشتق در نظر بگیرید. اگر در تعریف مشتق مشکل بزرگی دارید، می توان از این رویکرد استفاده کرد. اصل ساده است - ما همه مقادیر صحیح را از بازه به تابع جایگزین می کنیم (واقعیت این است که در همه نمونه های اولیه پاسخ یک عدد صحیح است).

77437. کوچکترین مقدار تابع y = 7 + 12x – x 3 را در بخش [–2; 2] بیابید.

امتیازات جایگزین از 2- تا 2: مشاهده راه حل

77434. بزرگترین مقدار تابع y = x 3 + 2x 2 - 4x + 4 را در بخش [–2; 0] بیابید.

همین. موفقیت برای شما!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی در مورد سایت به ما بگویید ممنون می شوم.

فرآیند یافتن کوچکترین و بزرگترین مقدار یک تابع در یک قطعه شبیه به پرواز جذاب یک شی (گراف تابع) در هلیکوپتر است که در نقاط خاصی از یک توپ دوربرد شلیک می کند و از این نقاط نقاط بسیار ویژه ای را برای کنترل انتخاب می کند. عکس ها امتیازها به روشی خاص و طبق قوانین خاصی انتخاب می شوند. قوانین چیست؟ در ادامه در این مورد صحبت خواهیم کرد.

اگر تابع y = f(ایکس) پیوسته در بخش [ آ, ب]، سپس به این بخش می رسد کوچکترین و بالاترین ارزش ها ... این می تواند در هر دو صورت اتفاق بیفتد نقاط افراطی، یا در انتهای بخش. بنابراین، برای پیدا کردن کوچکترین و حداکثر مقادیر تابع پیوسته در بخش [ آ, ب]، باید مقادیر آن را در کل محاسبه کنید نقاط بحرانیو در انتهای بخش، و سپس کوچکترین و بزرگترین آنها را انتخاب کنید.

اجازه دهید، برای مثال، برای تعیین بزرگترین مقدار تابع مورد نیاز است f(ایکس) در بخش [ آ, ب]. برای انجام این کار، تمام نقاط مهم آن را در [ آ, ب] .

نقطه بحرانی نقطه ای نامیده می شود که در آن تابع تعریف شده است، و او مشتقیا صفر است یا وجود ندارد. سپس باید مقادیر تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید. و در نهایت، باید مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و در انتهای بخش مقایسه کرد ( f(آ) و f(ب)). بزرگترین این اعداد خواهد بود بزرگترین مقدار تابع در بخش [آ, ب] .

مشکلات پیدا کردن کوچکترین مقادیر تابع .

به دنبال کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع با هم باشید

مثال 1. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش [-1, 2] .

راه حل. مشتق این تابع را پیدا کنید. اجازه دهید مشتق را با صفر () برابر کنیم و دو نقطه بحرانی بدست آوریم: و. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، کافی است مقادیر آن را در انتهای بخش و در یک نقطه محاسبه کنید، زیرا نقطه به بخش تعلق ندارد [-1، 2]. این مقادیر تابع به شرح زیر است:،،. نتیجه می شود که کوچکترین مقدار تابع(در نمودار زیر با رنگ قرمز مشخص شده است)، برابر با 7-، در انتهای سمت راست بخش - در نقطه، و بهترین(همچنین روی نمودار قرمز رنگ)، برابر با 9، - در نقطه بحرانی.

اگر تابعی در یک بازه پیوسته باشد و این بازه یک پاره نباشد (اما مثلاً یک بازه باشد؛ تفاوت بین بازه و پاره: نقاط مرزی بازه در بازه گنجانده نشده است و مرز نقاط بخش در بخش گنجانده شده است)، سپس در بین مقادیر تابع ممکن است کوچکترین و بزرگترین نباشد. بنابراین، برای مثال، تابع نشان داده شده در شکل زیر در] -∞، + ∞ [و بزرگترین مقدار را ندارد، پیوسته است.

با این حال، برای هر بازه (بسته، باز، یا نامتناهی)، ویژگی زیر از توابع پیوسته صادق است.

مثال 4. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش [-1, 3] .

راه حل. مشتق این تابع را به عنوان مشتق ضریب می یابیم:

.

مشتق را با صفر برابر می کنیم که یک نقطه بحرانی به ما می دهد:. متعلق به بخش [-1، 3] است. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می‌کنیم:

ما این مقادیر را با هم مقایسه می کنیم. نتیجه گیری: برابر با -5/13، در نقطه و بزرگترین ارزشبرابر با 1 در نقطه

ما به جستجوی کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع با هم ادامه می دهیم

معلمانی هستند که در مبحث یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع، به دانش آموزان مثال هایی پیچیده تر از نمونه هایی که قبلاً در نظر گرفته شده است، حل نمی کنند، یعنی نمونه هایی که در آنها تابع چند جمله ای یا کسری است. که صورت و مخرج آن چند جمله ای هستند. اما ما خود را به چنین نمونه هایی محدود نمی کنیم، زیرا در بین معلمان کسانی هستند که دوست دارند دانش آموزان را به طور کامل به تفکر وادار کنند (جدول مشتقات). بنابراین از تابع لگاریتم و مثلثاتی استفاده خواهد شد.

مثال 6. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش .

راه حل. مشتق این تابع را به عنوان پیدا کنید کار مشتق شده :

مشتق را برابر با صفر می کنیم که یک نقطه بحرانی به دست می دهد:. متعلق به بخش است. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می‌کنیم:

نتیجه همه اقدامات: تابع به کوچکترین مقدار خود می رسدبرابر 0 در نقطه و در نقطه و بزرگترین ارزشمساوی با ه²، در نقطه.

مثال 7. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش .

راه حل. مشتق این تابع را پیدا کنید:

معادل سازی مشتق با صفر:

تنها نقطه بحرانی متعلق به پاره خط است. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می‌کنیم:

خروجی: تابع به کوچکترین مقدار خود می رسدبرابر در نقطه و بزرگترین ارزش، برابر، در نقطه.

در مسائل شدید کاربردی، یافتن کوچکترین (بزرگترین) مقادیر یک تابع، به عنوان یک قاعده، به یافتن حداقل (حداکثر) کاهش می یابد. اما خود حداقل ها یا ماکزیمم ها از اهمیت بیشتری برخوردارند، بلکه ارزش های استدلالی هستند که به آنها رسیده اند. هنگام حل مسائل کاربردی، یک مشکل اضافی ایجاد می شود - تلفیقی توابع توصیف کننده پدیده یا فرآیند مورد بررسی.

مثال 8.مخزنی به ظرفیت 4 که به شکل موازی با پایه مربع است و در بالا باز است باید با قلع صید شود. اندازه مخزن چقدر باید باشد تا کمترین مقدار مواد را بپوشاند؟

راه حل. بگذار باشد ایکس- سمت پایه، ساعت- ارتفاع مخزن، اس- سطح آن بدون پوشش، V- حجم آن مساحت سطح مخزن با فرمول بیان می شود. تابعی از دو متغیر است. عنوان کردن اسبه عنوان تابعی از یک متغیر، از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که، Wherece. جایگزینی عبارت یافت شده ساعتبه فرمول برای اس:

اجازه دهید این تابع را برای یک اکستروم بررسی کنیم. در همه جا در] 0، + ∞ [ و قابل تمایز است

.

مشتق را با صفر () برابر کنید و نقطه بحرانی را پیدا کنید. علاوه بر این، برای مشتق وجود ندارد، اما این مقدار در محدوده تعریف قرار نمی گیرد و بنابراین نمی تواند یک نقطه افراطی باشد. بنابراین، این تنها نقطه بحرانی است. بیایید با استفاده از معیار کافی دوم آن را برای وجود یک اکستروم بررسی کنیم. بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم. وقتی مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد (). بنابراین، در، تابع به حداقل می رسد ... از آنجایی که این حداقل تنها منتهی این تابع است، همچنین کوچکترین مقدار آن است... بنابراین، ضلع پایه مخزن باید برابر با 2 متر و ارتفاع آن باشد.

مثال 9.از پاراگراف آواقع در خط راه آهن به نقطه بادر فاصله ای از او ل، محموله باید حمل شود. هزینه حمل یک واحد وزن به ازای هر واحد مسافت با راه آهن برابر و از طریق بزرگراه برابر است. به چه نقطه ای مخط راه آهن باید توسط بزرگراه کشیده شود تا حمل و نقل کالا از آ v بامقرون به صرفه ترین بود (بخش ABخط آهن مستقیم فرض می شود)؟

بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع

بیشترین مقدار یک تابع حداکثر فراخوانی می شود و کوچکترین مقدار کمترین مقدار آن است.

یک تابع می‌تواند تنها یک مقدار بزرگ‌تر و تنها یک کوچک‌ترین مقدار داشته باشد، یا ممکن است اصلاً آنها را نداشته باشد. یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر توابع پیوسته بر اساس ویژگی های زیر است:

1) اگر در بازه ای (متناهی یا نامتناهی) تابع y = f (x) پیوسته باشد و فقط یک انتها داشته باشد و اگر حداکثر (حداقل) باشد، بزرگترین (کوچکترین) مقدار تابع خواهد بود. در این فاصله

2) اگر تابع f (x) در قسمتی پیوسته باشد، لزوماً بزرگترین و کوچکترین مقادیر را در این بخش دارد. این مقادیر یا در نقاط انتهایی واقع در بخش یا در مرزهای این بخش به دست می‌آیند.

برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر در یک بخش، توصیه می شود از طرح زیر استفاده کنید:

1. مشتق را بیابید.

2. نقاط بحرانی تابعی را که در آن = 0 یا وجود ندارد پیدا کنید.

3. مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و در انتهای قطعه پیدا کنید و از بین آنها بزرگترین f naib و کوچکترین f naim را انتخاب کنید.

هنگام حل مسائل کاربردی، به ویژه مسائل بهینه سازی، مشکلات یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر (حداکثر جهانی و حداقل جهانی) یک تابع در بازه X مهم است. متغیر. سپس بزرگترین یا کوچکترین مقدار مورد نظر تابع حاصل را پیدا کنید. در این صورت فاصله تغییرات متغیر مستقل که می تواند متناهی یا نامتناهی باشد نیز از بیان مسئله مشخص می شود.

مثال.مخزن که به شکل یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل است که قسمت بالایی آن باز است، باید با قلع داخل آن ماهیگیری شود. ابعاد مخزن با ظرفیت 108 لیتر چقدر باید باشد. آب به طوری که هزینه قلع زنی آن تا حد امکان پایین باشد؟

راه حل.هزینه پوشش مخزن با قلع در صورتی که سطح آن برای ظرفیت معین حداقل باشد، کمترین هزینه را خواهد داشت. اجازه دهید با یک dm - سمت پایه، b dm - ارتفاع مخزن را نشان دهیم. سپس مساحت S سطح آن برابر است

و

رابطه حاصل رابطه بین سطح مخزن S (عملکرد) و سمت پایه a (برهان) را ایجاد می کند. اجازه دهید تابع S را برای یک امتداد بررسی کنیم. مشتق اول را پیدا کنید، آن را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید:

بنابراین a = 6. (a)> 0 برای a> 6، (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

مثال... بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع را بیابید در بین.

راه حل: تابع مشخص شده در کل محور اعداد پیوسته است. مشتق از یک تابع

مشتق در و در. بیایید مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنیم:

.

مقادیر تابع در انتهای بازه داده شده برابر است. در نتیجه، بزرگترین مقدار تابع در است، کوچکترین مقدار تابع در است.

سوالات خودآزمایی

1. قانون L'Hôpital را برای افشای عدم قطعیت های فرم فرموله کنید. انواع مختلف عدم قطعیت هایی را که قانون L'Hôpital می تواند برای رفع آنها استفاده کند، فهرست کنید.

2. علائم توابع افزایش و کاهش را فرموله کنید.

3. ماکزیمم و حداقل تابع را تعریف کنید.

4. شرط لازم برای وجود افراطی را فرموله کنید.

5. چه مقادیری از آرگومان (کدام نقاط) بحرانی نامیده می شود؟ چگونه این نکات را پیدا می کنید؟

6. معیارهای کافی برای وجود اکستروم یک تابع چیست؟ طرحی را برای مطالعه تابع برای یک اکستروم با استفاده از مشتق اول ترسیم کنید.

7. طرح مطالعه تابع برای یک اکستروم را با استفاده از مشتق دوم شرح دهید.

8. تحدب، تقعر منحنی را تعریف کنید.

9. نقطه عطف نمودار تابع به چه چیزی گفته می شود؟ راهی برای یافتن این نقاط نشان دهید.

10. معیارهای لازم و کافی برای تحدب و تقعر یک منحنی در یک قطعه معین را تدوین کنید.

11. تعریف مجانب منحنی را بیان کنید. چگونه مجانب عمودی، افقی و مایل نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟

12. طرح کلی مطالعه تابع و ساخت نمودار آن را مشخص کنید.

13. یک قاعده برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش مشخص فرموله کنید.

اکستروم تابع چیست و شرط لازم برای اکستروم چیست؟

حداکثر یک تابع حداکثر و حداقل یک تابع است.

شرط لازم برای ماکزیمم و مینیمم (اخر) تابع به شرح زیر است: اگر تابع f (x) در نقطه x = a یک انتها داشته باشد، در این نقطه مشتق یا صفر است، یا بینهایت، یا می کند. وجود ندارد.

این شرط لازم است، اما کافی نیست. مشتق در نقطه x = a می تواند تا بی نهایت ناپدید شود یا وجود نداشته باشد بدون اینکه تابع در این نقطه یک اکسترموم داشته باشد.

شرط کافی برای حداکثر بودن تابع (حداکثر یا حداقل) چیست؟

شرط اول:

اگر در مجاورت کافی به نقطه x = a مشتق f؟(X) در سمت چپ a مثبت و در سمت راست a منفی باشد، در همان نقطه x = a تابع f (x) است. بیشترین

اگر در مجاورت کافی به نقطه x = a مشتق f؟(X) در سمت چپ a منفی و در سمت راست a مثبت باشد، در همان نقطه x = a تابع f (x) است. کمترینبه شرطی که تابع f (x) در اینجا پیوسته باشد.

در عوض، می‌توانید از شرط کافی دوم برای حداکثر تابع استفاده کنید:

اجازه دهید در نقطه x = a اولین مشتق f؟(X) ناپدید شود. اگر در این حالت مشتق دوم f ?? (a) منفی باشد، تابع f (x) در نقطه x = a دارای حداکثر است، اگر مثبت باشد، حداقل است.

نقطه اوج یک تابع چیست و چگونه آن را پیدا می کنید؟

این مقدار آرگومان تابعی است که در آن تابع یک اکسترموم دارد (یعنی حداکثر یا حداقل). برای پیدا کردن آن، شما نیاز دارید مشتق را پیدا کنیدتابع f؟(x) و با برابر کردن آن با صفر، معادله را حل کنید f? (x) = 0. ریشه های این معادله، و همچنین نقاطی که مشتق این تابع در آنها وجود ندارد، نقاط بحرانی هستند، یعنی مقادیر آرگومان که می تواند در آن ها وجود داشته باشد. نقاط بحرانی. با نگاه کردن به راحتی می توان آنها را شناسایی کرد طرح مشتق: ما به مقادیری از آرگومان علاقه مندیم که در آن نمودار تابع از محور ابسیسا (محور Ox) عبور می کند و مقادیری که در آنها نمودار شکسته می شود.

مثلا پیدا کنیم حداکثر سهمی.

تابع y (x) = 3x2 + 2x - 50.

مشتق تابع: y؟ (X) = 6x + 2

حل معادله: y؟ (X) = 0

6x + 2 = 0.6x = -2، x = -2 / 6 = -1/3

در این مورد، نقطه بحرانی x0 = -1 / 3 است. برای این مقدار آرگومان است که تابع دارد نقاط بحرانی... به طوری که آن را پیدا کردن، عدد پیدا شده را به جای "x" در عبارت تابع قرار دهید:

y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

نحوه تعیین حداکثر و حداقل یک تابع، به عنوان مثال. بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن؟

اگر علامت مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی x0 از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، آنگاه x0 برابر است با حداکثر امتیاز; اگر علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر کند، x0 است حداقل امتیاز; اگر علامت تغییر نکند، در نقطه x0 حداکثر یا حداقل وجود ندارد.

برای مثال در نظر گرفته شده:

مقدار دلخواه آرگومان را در سمت چپ نقطه بحرانی می گیریم: x = -1

وقتی x = -1، مقدار مشتق y خواهد بود؟ (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (یعنی علامت "منهای" است).

حالا یک مقدار دلخواه آرگومان را در سمت راست نقطه بحرانی می گیریم: x = 1

وقتی x = 1، مقدار مشتق y خواهد بود (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (یعنی علامت "بعلاوه" است).

همانطور که می بینید، مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی علامت خود را از منفی به مثبت تغییر داد. این بدان معناست که در مقدار بحرانی x0 یک نقطه حداقل داریم.

بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در فاصله زمانی(روی یک قطعه) با استفاده از روش مشابه یافت می شوند، تنها با در نظر گرفتن این واقعیت که، شاید، همه نقاط بحرانی در بازه زمانی مشخص قرار نگیرند. آن نقاط بحرانی که خارج از فاصله زمانی هستند باید از بررسی حذف شوند. اگر فقط یک نقطه بحرانی در بازه وجود داشته باشد، شامل حداکثر یا حداقل خواهد بود. در این حالت برای تعیین بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع، مقادیر تابع در انتهای بازه را نیز در نظر می گیریم.

برای مثال، بیایید بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع را پیدا کنیم

y (x) = 3sin (x) - 0.5x

در فواصل زمانی:

بنابراین، مشتق تابع است

y؟ (x) = 3cos (x) - 0.5

حل معادله 3cos (x) - 0.5 = 0

cos (x) = 0.5 / 3 = 0.16667

x = ± آرکوس (0.16667) + 2πk.

نقاط بحرانی را در بازه [-9; نه]:

x = arccos (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (در بازه ذکر نشده است)

x = -arccos (0.16667) - 2π * 1 = -7.687

x = arccos (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

x = arccos (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = arccos (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (در فاصله لحاظ نشده است)

ما مقادیر تابع را در مقادیر بحرانی آرگومان می یابیم:

y (-7.687) = 3cos (7.687-) - 0.5 = 0.885

y (-4.88) = 3cos (-4.88) - 0.5 = 5.398

y (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = 0.885-

مشاهده می شود که در بازه [-9; 9]، تابع بیشترین مقدار را در x = -4.88 دارد:

x = -4.88، y = 5.398،

و کوچکترین - در x = 4.88:

x = 4.88، y = -5.398.

در بازه [-6; -3] ما فقط یک نقطه بحرانی داریم: x = -4.88. مقدار تابع در x = -4.88 برابر است با y = 5.398.

مقدار تابع را در انتهای بازه پیدا کنید:

y (-6) = 3cos (-6) - 0.5 = 3.838

y (-3) = 3cos (-3) - 0.5 = 1.077

در بازه [-6; -3] ما بالاترین مقدار تابع را داریم

y = 5.398 در x = -4.88

کوچکترین مقدار است

y = 1.077 در x = -3

چگونه می توان نقاط عطف نمودار یک تابع را پیدا کرد و اضلاع تحدب و تقعر را تعیین کرد؟

برای پیدا کردن تمام نقاط عطف خط y = f (x)، باید مشتق دوم را پیدا کنید، آن را با صفر برابر کنید (معادله را حل کنید) و تمام مقادیر x را آزمایش کنید که مشتق دوم برای آنها صفر است. ، بی نهایت است یا وجود ندارد. اگر در هنگام عبور از یکی از این مقادیر، مشتق دوم علامت آن را تغییر دهد، نمودار تابع در این نقطه دارای عطف است. اگر تغییر نکرد، عطف وجود ندارد.

ریشه های معادله f؟ (x) = 0، و همچنین نقاط ناپیوستگی احتمالی تابع و مشتق دوم، دامنه تابع را به تعدادی بازه تقسیم می کند. تحدب در هر یک از فواصل آنها با علامت مشتق دوم تعیین می شود. اگر مشتق دوم در نقطه‌ای از بازه مورد مطالعه مثبت باشد، خط y = f (x) در اینجا به سمت بالا مقعر و اگر منفی باشد، به سمت پایین است.

چگونه حداکثر یک تابع دو متغیر را پیدا کنیم؟

برای یافتن منتهی الیه تابع f (x, y)، قابل تفکیک در ناحیه تخصیص آن، به موارد زیر نیاز دارید:

1) نقاط بحرانی را پیدا کنید و برای این - سیستم معادلات را حل کنید

fx (x، y) = 0، fу؟ (x، y) = 0

2) برای هر نقطه بحرانی Р0 (الف؛ ب) بررسی کنید که آیا علامت تفاوت بدون تغییر باقی می ماند یا خیر

برای تمام نقاط (x; y) به اندازه کافی نزدیک به Po. اگر تفاوت یک علامت مثبت را حفظ کند، در نقطه P0 یک حداقل و اگر منفی است، یک حداکثر داریم. اگر تفاوت علامت را حفظ نکند، در نقطه P0 اکسترومی وجود ندارد.

حداکثر یک تابع به روشی مشابه برای تعداد بیشتری از آرگومان ها تعیین می شود.

بیایید ببینیم چگونه یک تابع را با استفاده از نمودار کاوش کنیم. به نظر می رسد، با نگاه کردن به نمودار، می توانید همه چیزهایی را که به ما علاقه دارد، پیدا کنید، یعنی:

• دامنه تابع
• محدوده عملکرد
• تابع صفر
• فواصل افزایش و کاهش
• حداکثر و حداقل امتیاز
• بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در بخش.

بیایید اصطلاحات را روشن کنیم:

اوکیسامختصات افقی نقطه است.
ترتیب دهیدمختصات عمودی است.
محور آبسیسا- یک محور افقی که اغلب محور نامیده می شود.
محور Y- محور عمودی، یا محور.

بحث و جدلمتغیر مستقلی است که مقادیر تابع به آن بستگی دارد. اغلب نشان داده شده است.
به عبارت دیگر، ما خودمان انتخاب می کنیم، توابع را در فرمول جایگزین می کنیم و می گیریم.

دامنهتوابع - مجموعه ای از آن (و فقط آن) مقادیر آرگومان که تابع برای آن وجود دارد.
با: یا نشان داده می شود.

در شکل ما دامنه تابع یک قطعه است. روی این قطعه است که نمودار تابع رسم می شود. فقط در اینجا این تابع وجود دارد.

محدوده عملکردمجموعه مقادیری است که یک متغیر می گیرد. در تصویر ما، این یک بخش است - از کمترین تا بالاترین مقدار.

تابع صفرها- نقاطی که مقدار تابع برابر با صفر است، یعنی. در شکل ما، اینها نقاط و.

مقادیر تابع مثبت هستندجایی که . در شکل ما، این شکاف ها و.
مقادیر تابع منفی استجایی که . ما این بازه (یا بازه) را از تا داریم.

مهمترین مفاهیم هستند عملکرد افزایش و کاهشدر برخی از مجموعه ها به عنوان یک مجموعه، می توانید یک قطعه، یک بازه، یک اتحادیه از بازه ها، یا کل خط اعداد را بگیرید.

عملکرد صعودی است

به عبارت دیگر، هر چه بیشتر، بیشتر، یعنی نمودار به سمت راست و بالا می رود.

عملکرد کاهش می دهددر یک مجموعه اگر، برای هر یک و متعلق به مجموعه، نابرابری از نابرابری حاصل شود.

برای یک تابع کاهشی، مقدار بزرگتر با مقدار کوچکتر مطابقت دارد. نمودار به سمت راست و پایین می رود.

در شکل ما تابع در بازه افزایش و در فواصل و کاهش می یابد.

بیایید تعریف کنیم که چیست حداکثر و حداقل امتیاز تابع.

حداکثر امتیازیک نقطه داخلی از دامنه تعریف است، به طوری که مقدار تابع در آن بیشتر از تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن است.
به عبارت دیگر، حداکثر نقطه چنین نقطه ای است، مقدار تابعی که در آن بیشترنسبت به همسایگان این یک "تپه" محلی در نمودار است.

در شکل ما - حداکثر امتیاز.

حداقل امتیاز- یک نقطه داخلی از دامنه تعریف، به طوری که مقدار تابع در آن کمتر از تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن باشد.
یعنی حداقل نقطه به اندازه ای است که مقدار تابع در آن کمتر از تابع های همسایه باشد. این یک "سوراخ" محلی در نمودار است.

در تصویر ما - حداقل امتیاز.

نقطه مرز است. این یک نقطه داخلی دامنه تعریف نیست و بنابراین با تعریف یک نقطه حداکثر مطابقت ندارد. از این گذشته ، او هیچ همسایه ای در سمت چپ ندارد. به همین ترتیب، نمی تواند یک نقطه حداقل در نمودار ما باشد.

حداکثر و حداقل امتیاز در مجموع نامیده می شوند نقاط انتهایی تابع... در مورد ما، این است و.

و اگر نیاز به پیدا کردن دارید، برای مثال، چه کاری باید انجام دهید، حداقل عملکرددر بخش؟ در این مورد، پاسخ این است. زیرا حداقل عملکردمقدار آن در حداقل نقطه است.

به همین ترتیب، حداکثر تابع ما است. در نقطه ای به آن می رسد.

می توانیم بگوییم که منتهی الیه تابع برابر است با و.

گاهی اوقات در وظایف باید پیدا کنید بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابعدر یک بخش داده شده آنها لزوماً با افراط منطبق نیستند.

در مورد ما کوچکترین مقدار تابعبر روی قطعه برابر و منطبق بر حداقل تابع است. اما بیشترین مقدار آن در این بخش برابر است با. در انتهای سمت چپ بخش خط به آن رسیده است.

در هر صورت، بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع پیوسته در یک بخش یا در نقاط انتهایی یا در انتهای قطعه به دست می آید.