امیدوارم پس از مطالعه این مقاله نحوه یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم را بیاموزید.

با استفاده از ممیز، فقط معادلات درجه دوم کامل برای حل معادلات ناقص حل می شوند معادلات درجه دوماز روش های دیگری که در مقاله حل معادلات درجه دوم ناقص خواهید یافت استفاده کنید.

به کدام معادلات درجه دوم کامل می گویند؟ این معادلات شکل ax 2 + b x + c = 0، که در آن ضرایب a، b و c برابر با صفر نیستند. بنابراین، برای حل یک معادله درجه دوم کامل، باید تفکیک کننده D را محاسبه کنیم.

D = b 2 - 4ac.

بسته به ارزش ممیز، پاسخ را یادداشت می کنیم.

اگر ممیز یک عدد منفی باشد (D< 0),то корней нет.

اگر ممیز صفر باشد، x = (-b)/2a. وقتی ممیز عدد مثبت(D > 0)

سپس x 1 = (-b - √D)/2a، و x 2 = (-b + √D)/2a.

مثلا. معادله را حل کنید x 2- 4x + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

پاسخ: 2.

حل معادله 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

پاسخ: بدون ریشه.

حل معادله 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 - 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= - 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

پاسخ: – 3.5; 1.

پس بیایید حل معادلات درجه دوم کامل را با استفاده از نمودار شکل 1 تصور کنیم.

با استفاده از این فرمول ها می توانید هر معادله درجه دوم کامل را حل کنید. فقط باید مراقب باشید معادله به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته شد

آ x 2 + bx + c،در غیر این صورت ممکن است اشتباه کنید به عنوان مثال، در نوشتن معادله x + 3 + 2x 2 = 0، می توانید به اشتباه تصمیم بگیرید که

a = 1، b = 3 و c = 2. سپس

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 و سپس معادله دو ریشه دارد. و این درست نیست. (راه حل مثال 2 در بالا را ببینید).

بنابراین، اگر معادله به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته نشود، ابتدا باید معادله درجه دوم کامل به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته شود (تک جمله ای با بزرگترین توان باید اول باشد، یعنی آ x 2 ، سپس با کمتر – bxو سپس یک عضو رایگان با.

هنگام حل معادله درجه دوم کاهش یافته و معادله درجه دوم با ضریب زوج در ترم دوم، می توانید از فرمول های دیگر استفاده کنید. بیایید با این فرمول ها آشنا شویم. اگر در یک معادله درجه دوم کامل جمله دوم دارای ضریب زوج باشد (b = 2k)، می توانید معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار در شکل 2 حل کنید.

یک معادله درجه دوم کامل را کاهش می گویند اگر ضریب در x 2 برابر یک است و معادله شکل می گیرد x 2 + px + q = 0. چنین معادله ای را می توان برای حل ارائه کرد، یا می توان آن را با تقسیم تمام ضرایب معادله بر ضریب به دست آورد. آ، ایستاده در x 2 .

شکل 3 نموداری را برای حل مربع کاهش یافته نشان می دهد
معادلات بیایید نمونه ای از کاربرد فرمول های مورد بحث در این مقاله را بررسی کنیم.

مثال. معادله را حل کنید

3x 2 + 6x – 6 = 0.

بیایید این معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار در شکل 1 حل کنیم.

D = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

پاسخ: –1 – √3; –1 + √3

می توانید متوجه شوید که ضریب x در این معادله یک عدد زوج است، یعنی b = 6 یا b = 2k، از آنجا k = 3. سپس با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل D سعی می کنیم معادله را حل کنیم. 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

پاسخ: –1 – √3; –1 + √3. با توجه به اینکه همه ضرایب در این معادله درجه دوم بر 3 بخش پذیر هستند و با انجام تقسیم، معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست می آوریم x 2 + 2x – 2 = 0 این معادله را با استفاده از فرمول های درجه دوم کاهش یافته حل کنید.
معادلات شکل 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

پاسخ: –1 – √3; –1 + √3.

همانطور که می بینید، هنگام حل این معادله با استفاده از فرمول های مختلف، پاسخ یکسانی دریافت کردیم. بنابراین، با تسلط کامل بر فرمول های نشان داده شده در نمودار در شکل 1، همیشه قادر خواهید بود هر معادله درجه دوم کامل را حل کنید.

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

در این مقاله به حل معادلات درجه دوم ناقص خواهیم پرداخت.

اما ابتدا بیایید تکرار کنیم که چه معادلاتی درجه دوم نامیده می شوند. معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 که x یک متغیر است و ضرایب a، b و c برخی از اعداد و a ≠ 0 نامیده می شود. مربع. همانطور که می بینیم ضریب x 2 برابر با صفر نیست و بنابراین ضرایب x یا جمله آزاد می تواند برابر با صفر باشد که در این صورت یک معادله درجه دوم ناقص بدست می آید.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:

1) اگر b = 0، c ≠ 0، سپس ax 2 + c = 0.

2) اگر b ≠ 0، c = 0، سپس ax 2 + bx = 0.

3) اگر b = 0، c = 0، سپس ax 2 = 0.

• بیایید بفهمیم که چگونه حل کنیم معادلات شکل ax 2 + c = 0.

برای حل معادله، عبارت آزاد c را به سمت راست معادله منتقل می کنیم، به دست می آوریم

تبر 2 = ‒s. از آنجایی که a ≠ 0 است، هر دو طرف معادله را بر a تقسیم می کنیم، سپس x 2 = ‒c/a.

اگر ‒с/а > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد

x = ±√(–c/a) .

اگر ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

بیایید سعی کنیم با مثال هایی بفهمیم که چگونه چنین معادلاتی را حل کنیم.

مثال 1. معادله 2 x 2 ‒ 32 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1 = - 4، x 2 = 4.

مثال 2. معادله 2 x 2 + 8 = 0 را حل کنید.

پاسخ: معادله هیچ راه حلی ندارد.

• بیایید دریابیم که چگونه آن را حل کنیم معادلات شکل ax 2 + bx = 0.

برای حل معادله ax 2 + bx = 0، آن را فاکتورگیری می کنیم، یعنی x را از پرانتز خارج می کنیم، x(ax + b) = 0 به دست می آید. اگر حداقل یکی از عوامل مساوی باشد حاصلضرب برابر با صفر است. به صفر سپس یا x = 0، یا ax + b = 0. با حل معادله ax + b = 0، ما ax = - b، که از آن x = - b/a. معادله ای به شکل ax 2 + bx = 0 همیشه دو ریشه x 1 = 0 و x 2 = ‒ b/a دارد. حل معادلات از این نوع را در نمودار ببینید.

بیایید دانش خود را با یک مثال خاص تثبیت کنیم.

مثال 3. معادله 3x 2 ‒ 12x = 0 را حل کنید.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 یا 3x – 12 = 0

پاسخ: x 1 = 0، x 2 = 4.

• معادلات نوع سوم تبر 2 = 0خیلی ساده حل می شوند

اگر ax 2 = 0، آنگاه x 2 = 0. معادله دارای دو ریشه مساوی x 1 = 0، x 2 = 0 است.

برای وضوح، بیایید به نمودار نگاه کنیم.

هنگام حل مثال 4، مطمئن شویم که معادلات از این نوع را می توان خیلی ساده حل کرد.

مثال 4.معادله 7×2 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1، 2 = 0.

همیشه بلافاصله مشخص نیست که چه نوع معادله درجه دوم ناقصی را باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال 5.معادله را حل کنید

بیایید هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنیم، یعنی در 30

بیایید آن را کاهش دهیم

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

بیایید پرانتزها را باز کنیم

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

بیایید مشابه بدهیم

بیایید 99 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهیم و علامت را به عکس تغییر دهیم

پاسخ: بدون ریشه.

ما به چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کردیم. امیدوارم در حال حاضر با چنین کارهایی مشکلی نداشته باشید. در تعیین نوع معادله درجه دوم ناقص دقت کنید، آنگاه موفق خواهید شد.

اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، در درس های من ثبت نام کنید، ما با هم مشکلات پیش آمده را حل خواهیم کرد.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

شرح کتابشناختی: Gasanov A. R.، Kuramshin A. A.، Elkov A. A.، Shilnenkov N. V.، Ulanov D. D.، Shmeleva O. V. روشهای حل معادلات درجه دوم // دانشمند جوان. 2016. شماره 6.1. ص 17-20.. 2019).



پروژه ما در مورد راه هایی برای حل معادلات درجه دوم است. هدف پروژه: یادگیری حل معادلات درجه دوم به روش هایی که در برنامه درسی مدرسه گنجانده نشده است. وظیفه: همه چیز را پیدا کنید راه های ممکنحل معادلات درجه دوم و یادگیری نحوه استفاده از آنها و معرفی این روش ها به همکلاسی های خود.

"معادلات درجه دوم" چیست؟

معادله درجه دوم- معادله فرم تبر2 + bx + c = 0، جایی که آ, ب, ج- تعدادی اعداد ( a ≠ 0), ایکس- ناشناخته.

اعداد a، b، c را ضرایب معادله درجه دوم می نامند.

• a ضریب اول نامیده می شود.
• b ضریب دوم نامیده می شود.
• ج - عضو رایگان.

اولین کسی که معادلات درجه دوم را "اختراع" کرد، چه کسی بود؟

برخی از تکنیک های جبری برای حل معادلات خطی و درجه دوم 4000 سال پیش در بابل باستان شناخته شده بود. کشف الواح گلی بابلی باستان که مربوط به حدود 1800 تا 1600 قبل از میلاد است، اولین شواهد از مطالعه معادلات درجه دوم را ارائه می دهد. همین لوح ها حاوی روش هایی برای حل انواع خاصی از معادلات درجه دوم هستند.

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دوم در دوران باستان ناشی از نیاز به حل مسائل مربوط به یافتن مناطق بود. قطعات زمینو با کارهای خاکیماهیت نظامی و همچنین با توسعه خود نجوم و ریاضیات.

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها. با وجود سطح بالاتوسعه جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های عمومیحل معادلات درجه دوم

ریاضیدانان بابلی از حدود قرن چهارم قبل از میلاد. از روش متمم مربع برای حل معادلات با ریشه مثبت استفاده کرد. حدود 300 ق.م اقلیدس روش حل هندسی کلی تری ارائه کرد. اولین ریاضیدانی که راه حل معادلات با ریشه های منفی را در فرم پیدا کرد فرمول جبری، دانشمند هندی بود برهماگوپتا(هند، قرن هفتم میلادی).

براهماگوپتا یک قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم که به یک شکل متعارف منفرد کاهش یافته است، ارائه کرد:

ax2 + bx = c، a>0

ضرایب در این معادله نیز می تواند منفی باشد. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

مسابقات عمومی برای حل مسائل دشوار در هند رایج بود. یکی از کتاب های قدیمی هندی در مورد چنین مسابقاتی چنین می گوید: «همانطور که خورشید با درخشندگی خود ستاره ها را می گیرد، بنابراین انسان آموختهشکوه و جلال را در خود تحت الشعاع قرار خواهد داد مجامع مردمی، پیشنهاد و حل مسائل جبری." مشکلات غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

در یک رساله جبری خوارزمیطبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم داده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع برابر با ریشه است"، یعنی ax2 = bx.

2) "مربع ها مساوی اعداد هستند" یعنی ax2 = c.

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند" یعنی ax2 = c.

4) "مربع و اعداد مساوی ریشه هستند" یعنی ax2 + c = bx.

5) "مربع و ریشه مساوی عدد هستند" یعنی ax2 + bx = c.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی bx + c == ax2.

برای خوارزمی که از به کار بردن اعداد منفی اجتناب می کرد، اصطلاحات هر یک از این معادلات جمع هستند نه تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المکبل ارائه می دهد. البته تصمیم او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً در حل یک معادله درجه دوم ناقص از نوع اول، الخوارزمی مانند همه ریاضیدانان تا قرن هفدهم، جواب صفر را در نظر نمی گیرد. احتمالاً به این دلیل که در عملی خاص در کارها اهمیتی ندارد. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قواعد حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی آنها را تعیین می کند.

اشکال برای حل معادلات درجه دوم به پیروی از مدل خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 نوشته شده است، ارائه شد. ریاضیدان ایتالیایی لئونارد فیبوناچی. نویسنده به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد.

این کتاب به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از این کتاب تقریباً در تمام کتاب های درسی اروپایی قرن 14 تا 17 به کار رفته است. قانون کلیحل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد x2 + bх = с برای همه ترکیبات ممکن از علائم و ضرایب b, c در اروپا در سال 1544 فرموله شد. ام. استیفل.

استخراج فرمول حل معادله درجه دوم در نمای کلیویت آن را دارد، اما ویت فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلیاز جمله اولین ها در قرن شانزدهم. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. با تشکر از تلاش ژیرار، دکارت، نیوتنو سایر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم شکل مدرن به خود می گیرد.

بیایید به چندین روش برای حل معادلات درجه دوم نگاه کنیم.

روشهای استاندارد برای حل معادلات درجه دوم از برنامه درسی مدرسه:

1. فاکتورگیری سمت چپ معادله.
2. روش انتخاب مربع کامل
3. حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول
4. حل گرافیکی معادله درجه دوم.
5. حل معادلات با استفاده از قضیه ویتا.

اجازه دهید با جزئیات بیشتر در مورد حل معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته با استفاده از قضیه ویتا صحبت کنیم.

به یاد بیاورید که برای حل معادلات درجه دوم بالا، کافی است دو عدد را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد و مجموع آنها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است.

مثال.ایکس 2 -5x+6=0

شما باید اعدادی را پیدا کنید که حاصلضرب آنها 6 و مجموع آنها 5 باشد. این اعداد 3 و 2 خواهند بود.

پاسخ: x 1 = 2، x 2 =3.

اما می توانید از این روش برای معادلاتی که ضریب اول آنها برابر با یک نیست نیز استفاده کنید.

مثال.3 برابر 2 +2x-5=0

ضریب اول را بگیرید و آن را در جمله آزاد ضرب کنید: x 2 +2x-15=0

ریشه های این معادله اعدادی خواهند بود که حاصلضرب آنها برابر با - 15 و حاصل جمع آنها برابر با - 2 است. این اعداد 5 و 3 هستند. برای یافتن ریشه های معادله اصلی، ریشه های حاصل را بر ضریب اول تقسیم کنید.

پاسخ: x 1 =-5/3، x 2 =1

6. حل معادلات به روش «پرتاب».

معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 را در نظر بگیرید که a≠0.

با ضرب هر دو طرف در a، معادله a 2 x 2 + abx + ac = 0 را بدست می آوریم.

اجازه دهید ax = y، از آنجا x = y/a; سپس به معادله y 2 + by + ac = 0 می رسیم که معادل معادله داده شده است. ما ریشه های آن را برای 1 و 2 با استفاده از قضیه Vieta پیدا می کنیم.

در نهایت x 1 = y 1 /a و x 2 = y 2 /a بدست می آوریم.

با این روش، ضریب a در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن «پرتاب» می شود، به همین دلیل به آن روش «پرتاب» می گویند. این روش زمانی استفاده می شود که بتوانید به راحتی ریشه های معادله را با استفاده از قضیه ویتا بیابید و مهمتر از همه، زمانی که تفکیک کننده یک مربع دقیق باشد.

مثال.2 برابر 2 - 11x + 15 = 0.

بیایید ضریب 2 را به عبارت آزاد "پرتاب" کنیم و یک جایگزین انجام دهیم و معادله y 2 - 11y + 30 = 0 را بدست آوریم.

طبق قضیه معکوس ویتا

y 1 = 5، x 1 = 5/2، x 1 = 2.5 y 2 = 6، x 2 = 6/2، x 2 = 3.

پاسخ: x 1 =2.5; ایکس 2 = 3.

7. خواص ضرایب یک معادله درجه دوم.

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0، a ≠ 0 داده شود.

1. اگر a+ b + c = 0 (یعنی مجموع ضرایب معادله صفر باشد)، آنگاه x 1 = 1.

2. اگر a - b + c = 0، یا b = a + c، آنگاه x 1 = - 1.

مثال.345x 2 - 137x - 208 = 0.

از آنجایی که a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)، پس x 1 = 1، x 2 = -208/345.

پاسخ: x 1 =1; ایکس 2 = -208/345 .

مثال.132x 2 + 247x + 115 = 0

زیرا a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0)، سپس x 1 = - 1، x 2 = - 115/132

پاسخ: x 1 = - 1; ایکس 2 =- 115/132

خواص دیگری از ضرایب یک معادله درجه دوم وجود دارد. اما استفاده از آنها پیچیده تر است.

8. حل معادلات درجه دوم با استفاده از نوموگرام.

شکل 1. نوموگرام

این یک روش قدیمی و فراموش شده برای حل معادلات درجه دوم است که در ص 83 مجموعه: Bradis V.M. جداول ریاضی چهار رقمی - م.، آموزش و پرورش، 1369.

جدول XXII. نوموگرام برای حل معادله z 2 + pz + q = 0. این نوموگرام اجازه می دهد تا بدون حل معادله درجه دوم، ریشه های معادله را از روی ضرایب آن تعیین کنیم.

مقیاس منحنی نوموگرام بر اساس فرمول (شکل 1) ساخته شده است:

باور کردن OS = p، ED = q، OE = a(همه بر حسب سانتی متر)، از شکل 1 شباهت های مثلث ها SANو CDFنسبت را می گیریم

که پس از تعویض و ساده سازی، معادله به دست می آید z 2 + pz + q = 0،و نامه zبه معنی علامت هر نقطه در مقیاس منحنی است.

برنج. 2 حل معادلات درجه دوم با استفاده از نوموگرام

مثال ها.

1) برای معادله z 2 - 9z + 8 = 0نوموگرام ریشه های z 1 = 8.0 و z 2 = 1.0 را می دهد

پاسخ: 8.0; 1.0.

2) با استفاده از نوموگرام معادله را حل می کنیم

2z 2 - 9z + 2 = 0.

ضرایب این معادله را بر 2 تقسیم کنید، معادله z 2 - 4.5z + 1 = 0 به دست می آید.

نوموگرام ریشه های z 1 = 4 و z 2 = 0.5 را می دهد.

پاسخ: 4; 0.5.

9. روش هندسی برای حل معادلات درجه دوم.

مثال.ایکس 2 + 10x = 39.

در اصل، این مشکل به صورت زیر است: "مربع و ده ریشه برابر با 39 است."

مربعی را با ضلع x در نظر بگیرید، در اضلاع آن مستطیل هایی ساخته شده است که ضلع دیگر هر یک از آنها 2.5 باشد، بنابراین مساحت هر یک 2.5x است. سپس شکل به دست آمده با یک مربع جدید ABCD تکمیل می شود، چهار مربع مساوی در گوشه ها ساخته می شود، ضلع هر یک از آنها 2.5 و مساحت 6.25 است.

برنج. 3 روش گرافیکی برای حل معادله x 2 + 10x = 39

مساحت S مربع ABCD را می توان به صورت مجموع مساحت های زیر نشان داد: مربع اصلی x 2، چهار مستطیل (4∙2.5x = 10x) و چهار مربع اضافی (6.25∙4 = 25)، یعنی. S = x 2 + 10x = 25. با جایگزینی x 2 + 10x با عدد 39، دریافت می کنیم که S = 39 + 25 = 64، به این معنی که ضلع مربع ABCD است، یعنی. قطعه AB = 8. برای ضلع x مورد نیاز مربع اصلی بدست می آوریم

10. حل معادلات با استفاده از قضیه بزوت.

قضیه بزوت. باقیمانده تقسیم چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای x - α برابر است با P(α) (یعنی مقدار P(x) در x = α).

اگر عدد α ریشه چند جمله ای P(x) باشد، این چند جمله ای بدون باقیمانده بر x-α بخش پذیر است.

مثال.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3، α: ±1،±3، α =1، 1-4+3=0. P(x) را بر (x-1) تقسیم کنید: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3)، (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1، یا x-3=0، x=3; پاسخ: x1 = 2، x2 =3.

نتیجه:توانایی حل سریع و منطقی معادلات درجه دوم به سادگی برای حل بیشتر ضروری است معادلات پیچیدهبه عنوان مثال، معادلات گویا کسری، معادلات درجات بالاتر، معادلات دو درجه ای و در دبیرستانمعادلات مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی. با مطالعه تمام راه های یافت شده برای حل معادلات درجه دوم، می توانیم به همکلاسی های خود توصیه کنیم، به جز روش های استانداردحل معادلات با روش انتقال (6) و حل معادلات با خواص ضرایب (7) از آنجایی که قابل فهم تر هستند.

ادبیات:

1. بردیس وی.ام. جداول ریاضی چهار رقمی - م.، آموزش و پرورش، 1369.
2. جبر پایه هشتم: کتاب درسی پایه هشتم. آموزش عمومی مؤسسات Makarychev Yu.، Mindyuk N. G.، Neshkov K. I.، Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ویرایش 15، تجدید نظر شده. - م.: آموزش و پرورش، 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه کتابچه راهنمای معلمان. / اد. V.N. جوان تر. - م.: آموزش و پرورش، 1964.

معادلات درجه دوم. ممیز. راه حل، مثال

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

انواع معادلات درجه دوم

معادله درجه دوم چیست؟ چه شکلی است؟ در مدت معادله درجه دومکلمه کلیدی است "مربع".این بدان معنی است که در معادله لزوماباید یک x مربع وجود داشته باشد. علاوه بر آن، معادله ممکن است (یا نه!) فقط شامل X (به توان اول) و فقط یک عدد باشد. (عضو آزاد).و هیچ X برای توان بیشتر از دو نباید وجود داشته باشد.

از نظر ریاضی، یک معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

اینجا الف، ب و ج- تعدادی اعداد ب و ج- مطلقاً، اما آ- هر چیزی غیر از صفر مثلا:

اینجا آ =1; ب = 3; ج = -4

اینجا آ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا آ =-3; ب = 6; ج = -18

خوب فهمیدی...

در این معادلات درجه دوم سمت چپ وجود دارد مجموعه کاملاعضا. X مجذور ضریب آ، x به توان اول با ضریب بو عضو رایگان s.

چنین معادلات درجه دوم نامیده می شوند پر شده.

و اگر ب= 0، چه چیزی به دست می آوریم؟ ما داریم X به توان اول گم می شود.وقتی در صفر ضرب می شود این اتفاق می افتد.) مثلاً معلوم می شود:

5x 2 -25 = 0،

2x 2 -6x=0،

-x 2 +4x=0

و غیره. و اگر هر دو ضریب بو جبرابر با صفر هستند، سپس ساده تر است:

2x2 =0،

-0.3x 2 =0

چنین معادلاتی که در آن چیزی کم است نامیده می شود معادلات درجه دوم ناقصکه کاملاً منطقی است.) لطفاً توجه داشته باشید که x مربع در همه معادلات وجود دارد.

اتفاقا چرا آنمی تواند برابر با صفر باشد؟ و شما به جای آن جایگزین می کنید آصفر.) مربع X ما ناپدید می شود! معادله خطی خواهد شد. و راه حل کاملا متفاوت است ...

این همه انواع اصلی معادلات درجه دوم است. کامل و ناقص.

حل معادلات درجه دوم.

حل معادلات درجه دوم کامل

حل معادلات درجه دوم آسان است. طبق فرمول ها و قوانین واضح و ساده. در مرحله اول، لازم است معادله داده شده را به یک فرم استاندارد برسانیم، یعنی. به فرم:

اگر معادله قبلاً به این شکل به شما داده شده است، لازم نیست مرحله اول را انجام دهید.) نکته اصلی این است که همه ضرایب را به درستی تعیین کنید. آ, بو ج.

فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

عبارت زیر علامت ریشه نامیده می شود ممیز. اما بیشتر در مورد او در زیر. همانطور که می بینید، برای یافتن X از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از یک معادله درجه دوم فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جما با این فرمول محاسبه می کنیم. جایگزین کنیم با نشانه های خودت! به عنوان مثال، در معادله:

آ =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا ما آن را یادداشت می کنیم:

مثال تقریباً حل شده است:

این پاسخ است.

همه چیز بسیار ساده است. و چه، به نظر شما اشتباه کردن غیرممکن است؟ خب آره چطوری...

رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا گیج شویم؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. آنچه در اینجا کمک می کند، ضبط دقیق فرمول با اعداد خاص است. اگر در محاسبات مشکلی وجود دارد، انجام این کار!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1

فرض کنید می دانید که به ندرت در اولین بار پاسخ ها را دریافت می کنید.

خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها حدود 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:

به نظر می رسد نوشتن با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن چه چیزی بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی نیست همه چیز را با دقت بنویسید. به خودی خود درست کار خواهد کرد. به خصوص اگر از تکنیک های عملی استفاده کنید که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانی با یکسری معایب را می توان به راحتی و بدون خطا حل کرد!

اما، اغلب، معادلات درجه دوم کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

آیا آن را تشخیص دادید؟) بله! این معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص.

آنها همچنین می توانند با استفاده از یک فرمول کلی حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که آنها در اینجا با چه چیزی برابر هستند الف، ب و ج.

آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1; b = -4;آ ج? اصلا اونجا نیست! خوب بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین. به جای آن صفر را به فرمول جایگزین کنید جو ما موفق خواهیم شد. مثال دوم هم همینطور. فقط ما اینجا صفر نداریم با، آ ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ فرمولی بیایید اولی را در نظر بگیریم معادله ناقص. در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم

و از این چی؟ و این که حاصل برابر صفر است اگر و فقط اگر هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب، پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ خودشه...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x 1 = 0, x 2 = 4.

همه. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از استفاده از فرمول کلی است. اجازه دهید توجه کنم، اتفاقا، کدام X اولین و کدام دوم خواهد بود - کاملاً بی تفاوت. نوشتن به ترتیب راحت است، x 1- چه چیزی کوچکتر است و x 2- آنچه بزرگتر است

معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت دهید. ما گرفتیم:

تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از 9 است و تمام. معلوم خواهد شد:

همچنین دو ریشه . x 1 = -3, x 2 = 3.

به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن X خارج از براکت، یا با حرکت دادن عدد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این تکنیک ها بسیار دشوار است. صرفاً به این دلیل که در حالت اول باید ریشه X را استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...

ممیز. فرمول تشخیصی

واژه جادویی ممیز ! به ندرت دانش آموز دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "ما از طریق یک متمایز حل می کنیم" اعتماد و اطمینان را القا می کند. چون نیازی به حیله از ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است.) بیشتر از همه به شما یادآوری می کنم فرمول کلیبرای راه حل ها هرمعادلات درجه دوم:

به عبارتی که در زیر علامت ریشه قرار دارد، ممیز می گویند. معمولاً متمایز کننده با حرف مشخص می شود D. فرمول تفکیک:

D = b 2 - 4ac

و چه چیزی در این بیان قابل توجه است؟ چرا سزاوار یک نام خاص بود؟ چی معنی ممیز؟گذشته از همه اینها -ب،یا 2aدر این فرمول آنها به طور خاص آن را چیزی نمی نامند ... حروف و حروف.

موضوع اینجاست. هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، امکان پذیر است فقط سه مورد

1. ممیز مثبت است.این بدان معنی است که ریشه را می توان از آن استخراج کرد. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا ضعیف، سوال دیگری است. مهم این است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. ممیز صفر است.سپس شما یک راه حل خواهید داشت. از آنجایی که با جمع یا تفریق صفر در صورت، چیزی تغییر نمی کند. به بیان دقیق، این یک ریشه نیست، بلکه دو تا یکسان. اما، در یک نسخه ساده شده، مرسوم است که در مورد آن صحبت شود یک راه حل

3. ممیز منفی است.جذر یک عدد منفی را نمی توان گرفت. بسیار خوب. این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

صادقانه بگویم، وقتی راه حل سادهمعادلات درجه دوم، مفهوم تمایز به ویژه مورد نیاز نیست. مقادیر ضرایب را جایگزین فرمول می کنیم و شمارش می کنیم. همه چیز آنجا به خودی خود اتفاق می افتد، دو ریشه، یکی و هیچ. با این حال، هنگام حل وظایف پیچیده تر، بدون دانش معنی و فرمول ممیزکافی نیست. به خصوص در معادلات با پارامترها. چنین معادلاتی برای آزمون دولتی و آزمون دولتی واحد هوازی هستند!)

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردی یا یاد گرفتید، که بد نیست.) می دانید که چگونه به درستی تعیین کنید الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه؟ با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار می فهمید که کلمه کلیدی اینجاست با دقت؟

اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که به طور چشمگیری تعداد خطاها را کاهش می دهد. همان هایی که ناشی از بی توجهی است... که بعداً دردناک و توهین آمیز می شود...

اولین قرار . قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبل نباشید و آن را به شکل استاندارد بیاورید. این یعنی چی؟
بیایید بگوییم که پس از همه تبدیل ها، معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

و باز هم عجله نکنید! یک منهای جلوی یک مربع X می تواند واقعا شما را ناراحت کند. فراموش کردن آسان است... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را یادداشت کنید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید. خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

پذیرایی دوم. ریشه ها را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نترس، من همه چیز را توضیح می دهم! چک کردن آخرین چیزمعادله. آن ها همانی که برای نوشتن فرمول ریشه استفاده کردیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه ها آسان است. کافی است آنها را ضرب کنیم. نتیجه باید یک عضو رایگان باشد، یعنی. در مورد ما -2. لطفا توجه داشته باشید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که آنها قبلاً جایی را خراب کرده اند. به دنبال خطا باشید

اگر کار کرد، باید ریشه ها را اضافه کنید. آخرین و آخرین بررسی. ضریب باید باشد ببا مقابل آشنا در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب ب، که قبل از X است برابر با -1 است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف که این فقط برای نمونه هایی که x مجذور خالص است، با ضریب بسیار ساده است. a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! خطاهای کمتر و کمتری وجود خواهد داشت.

پذیرایی سوم . اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید همانطور که در درس "چگونه معادلات را حل کنیم؟ تبدیل هویت". هنگام کار با کسرها، به دلایلی خطاها همچنان به وجود می آیند...

اتفاقا من قول دادم مثال شیطانی را با یک سری موارد منفی ساده کنم. لطفا! او اینجا است.

برای اینکه با منفی ها اشتباه نگیریم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

همین! حل کردن یک لذت است!

بنابراین، اجازه دهید موضوع را خلاصه کنیم.

توصیه عملی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و آن را می سازیم درست.

2. اگر جلوی مجذور X ضریب منفی باشد، با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، با استفاده از قضیه ویتا می توان جواب را به راحتی تأیید کرد. انجام دهید!

حالا می توانیم تصمیم بگیریم.)

حل معادلات:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

پاسخ ها (به هم ریخته):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - هر عدد

x 1 = -3
x 2 = 3

بدون راه حل

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

آیا همه چیز مناسب است؟ عالی! معادلات درجه دوم کار شما نیست سردرد. سه مورد اول کار کردند، اما بقیه کار نکردند؟ پس مشکل از معادلات درجه دوم نیست. مشکل در تبدیل معادلات یکسان است. به لینک نگاه کنید مفید است

آیا کاملا کار نمی کند؟ یا اصلا درست نمیشه؟ سپس بخش 555 به شما کمک می کند که همه این مثال ها در آنجا تفکیک شوند. نشان داده شده اصلیاشتباهات در راه حل البته در مورد استفاده از تبدیل های یکسان در حل معادلات مختلف نیز صحبت می کنیم. کمک زیادی می کند!

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در ادامه مبحث حل معادلات، مطالب این مقاله شما را با معادلات درجه دوم آشنا می کند.

بیایید همه چیز را با جزئیات بررسی کنیم: ماهیت و نماد یک معادله درجه دوم، تعریف اصطلاحات همراه، تجزیه و تحلیل طرح برای حل معادلات ناقص و کامل، آشنایی با فرمول ریشه ها و ممیز، برقراری ارتباط بین ریشه ها و ضرایب، و البته به مثال های کاربردی راه حل تصویری خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله درجه دوم، انواع آن

تعریف 1

معادله درجه دوممعادله ای است که به صورت نوشته می شود a x 2 + b x + c = 0، جایی که ایکس– متغیر، a، b و ج- برخی از اعداد، در حالی که آصفر نیست

اغلب، معادلات درجه دوم را معادلات درجه دوم نیز می نامند، زیرا در اصل یک معادله درجه دوم یک معادله جبری درجه دوم است.

بیایید برای توضیح تعریف داده شده مثالی بیاوریم: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 x 2 + 3، 1 x + 0، 11 = 0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف 2

اعداد a، b و جضرایب معادله درجه دوم هستند a x 2 + b x + c = 0، در حالی که ضریب آبه نام اول، یا ارشد، یا ضریب در x 2، b - ضریب دوم، یا ضریب در ایکس، آ جبه نام یک عضو رایگان

مثلا در معادله درجه دوم 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ضریب پیشرو 6 است، ضریب دوم است − 2 ، و عبارت آزاد برابر است با − 11 . به این نکته توجه کنیم که وقتی ضرایب بو/یا c منفی هستند، سپس استفاده کنید شکل مختصررکوردهایی مانند 6 x 2 − 2 x − 11 = 0، اما نه 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

اجازه دهید این جنبه را نیز روشن کنیم: اگر ضرایب آو/یا ببرابر 1 یا − 1 ، در این صورت ممکن است در نوشتن معادله درجه دوم که با ویژگی های نوشتن ضرایب عددی نشان داده شده توضیح داده می شود ، مشارکت صریحی نداشته باشند. مثلا در معادله درجه دوم y 2 − y + 7 = 0ضریب پیشرو 1 و ضریب دوم است − 1 .

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بر اساس مقدار ضریب اول، معادلات درجه دوم به دو دسته کاهش یافته و کاهش نیافته تقسیم می شوند.

تعریف 3

معادله درجه دوم کاهش یافته استمعادله درجه دومی است که ضریب اصلی آن 1 است. برای سایر مقادیر ضریب پیشرو، معادله درجه دوم کاهش نمی یابد.

بیایید مثال هایی بزنیم: معادلات درجه دوم x 2 − 4 · x + 3 = 0، x 2 − x − 4 5 = 0 کاهش می یابند که در هر یک از آنها ضریب پیشرو 1 است.

9 x 2 − x − 2 = 0- معادله درجه دوم کاهش نیافته که ضریب اول با آن متفاوت است 1 .

هر معادله درجه دوم کاهش یافته را می توان با تقسیم هر دو طرف بر ضریب اول (تبدیل معادل) به یک معادله کاهش یافته تبدیل کرد. معادله تبدیل شده دارای همان ریشه معادل معادله تقلیل نشده خواهد بود یا اصلاً ریشه نخواهد داشت.

توجه مثال ملموسبه ما این امکان را می دهد که انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش یافته به یک معادله کاهش یافته را به وضوح نشان دهیم.

مثال 1

با توجه به معادله 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . لازم است معادله اصلی را به شکل کاهش یافته تبدیل کنید.

راه حل

طبق طرح فوق، دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 6 تقسیم می کنیم. سپس دریافت می کنیم: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3، و این همان است که: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0و بیشتر: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.از اینجا: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . بنابراین، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید.

پاسخ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

اجازه دهید به تعریف معادله درجه دوم بپردازیم. در آن مشخص کردیم که a ≠ 0. یک شرط مشابه برای معادله لازم است a x 2 + b x + c = 0دقیقا مربع بود، از زمانی که در a = 0اساساً تبدیل می شود معادله خطی b x + c = 0.

در صورتی که ضرایب بو جبرابر با صفر (که هم به صورت مجزا و هم به صورت مشترک امکان پذیر است)، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف 4

معادله درجه دوم ناقص- چنین معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0،که در آن حداقل یکی از ضرایب بو ج(یا هر دو) صفر است.

معادله درجه دوم کامل- یک معادله درجه دوم که در آن تمام ضرایب عددی برابر با صفر نیستند.

بیایید بحث کنیم که چرا به انواع معادلات درجه دوم دقیقاً این نام ها داده شده است.

وقتی b = 0، معادله درجه دوم شکل می گیرد a x 2 + 0 x + c = 0، که همان است a x 2 + c = 0. در c = 0معادله درجه دوم به صورت نوشته شده است a x 2 + b x + 0 = 0، که معادل است a x 2 + b x = 0. در b = 0و c = 0معادله شکل خواهد گرفت a x 2 = 0. معادلاتی که ما به دست آوردیم با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. در واقع، این واقعیت نام این نوع معادله را داده است - ناقص.

برای مثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و - 7 x 2 - 2 x + 1، 3 = 0 معادلات درجه دوم کامل هستند. x 2 = 0، − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0، - x 2 - 6 x = 0 - معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص

تعریفی که در بالا داده شد، تشخیص انواع معادلات درجه دوم ناقص زیر را ممکن می سازد:

• a x 2 = 0، این معادله با ضرایب مطابقت دارد b = 0و c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 در b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 در c = 0.

اجازه دهید حل هر نوع معادله درجه دوم ناقص را به ترتیب در نظر بگیریم.

حل معادله a x 2 = 0

همانطور که در بالا ذکر شد، این معادله با ضرایب مطابقت دارد بو ج، برابر با صفر است. معادله a x 2 = 0را می توان به یک معادله معادل تبدیل کرد x 2 = 0که با تقسیم دو طرف معادله اصلی بر عدد بدست می آوریم آ، برابر با صفر نیست. واقعیت آشکار این است که ریشه معادله x 2 = 0این صفر است زیرا 0 2 = 0 . این معادله ریشه دیگری ندارد، که می توان آن را با ویژگی های درجه توضیح داد: برای هر عدد پ،برابر با صفر نیست، نابرابری درست است p 2 > 0، که از آن نتیجه می شود که وقتی p ≠ 0برابری p 2 = 0هرگز محقق نخواهد شد.

تعریف 5

بنابراین، برای معادله درجه دوم ناقص a x 2 = 0 یک ریشه وجود دارد x = 0.

مثال 2

به عنوان مثال، اجازه دهید یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم − 3 x 2 = 0. معادل معادله است x 2 = 0، تنها ریشه آن است x = 0، سپس معادله اصلی یک ریشه دارد - صفر.

به طور خلاصه راه حل به صورت زیر نوشته شده است:

− 3 x 2 = 0، x 2 = 0، x = 0.

حل معادله a x 2 + c = 0

در خط بعدی، حل معادلات درجه دوم ناقص است، که در آن b = 0، c ≠ 0، یعنی معادلات شکل a x 2 + c = 0. بیایید این معادله را با انتقال یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر، تغییر علامت به طرف مقابل و تقسیم هر دو طرف معادله بر عددی که برابر با صفر نیست، تبدیل کنیم:

• انتقال جدر سمت راست، که معادله را نشان می دهد a x 2 = - c;
• دو طرف معادله را بر تقسیم کنید آ، در نهایت به x = - c a می رسیم.

بر این اساس، تبدیل های ما معادل هستند، معادله به دست آمده نیز معادل معادله اصلی است، و این واقعیت باعث می شود که در مورد ریشه های معادله نتیجه گیری کنیم. از آنچه ارزش ها هستند آو جمقدار عبارت - c a بستگی دارد: می تواند علامت منفی داشته باشد (مثلاً اگر a = 1و c = 2، سپس - c a = - 2 1 = - 2) یا علامت مثبت (مثلاً اگر a = - 2و c = 6، سپس - c a = - 6 - 2 = 3); صفر نیست چون c ≠ 0. اجازه دهید با جزئیات بیشتر در موقعیت هایی صحبت کنیم که - c a< 0 и - c a > 0 .

در صورتی که - ج الف< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа پبرابری p 2 = - c a نمی تواند درست باشد.

همه چیز متفاوت است وقتی - c a > 0: جذر را به خاطر بسپارید، و آشکار خواهد شد که ریشه معادله x 2 = - c a عدد - c a خواهد بود، زیرا - c a 2 = - c a. درک اینکه عدد - - c a نیز ریشه معادله x 2 = - c a است دشوار نیست: در واقع، - - c a 2 = - c a.

معادله هیچ ریشه دیگری نخواهد داشت. ما می توانیم این را با استفاده از روش تضاد نشان دهیم. برای شروع، اجازه دهید نمادهای ریشه های موجود در بالا را به صورت تعریف کنیم x 1و - x 1. فرض کنید معادله x 2 = - c a نیز یک ریشه دارد x 2، که با ریشه متفاوت است x 1و - x 1. ما می دانیم که با جایگزینی در معادله ایکسریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی منصفانه تبدیل می کنیم.

برای x 1و - x 1می نویسیم: x 1 2 = - c a و برای x 2- x 2 2 = - c a . بر اساس ویژگی های تساوی های عددی، یک عبارت برابری صحیح را به صورت ترم از دیگری کم می کنیم که به ما می دهد: x 1 2 - x 2 2 = 0. ما از خصوصیات عملیات با اعداد برای بازنویسی آخرین برابری به عنوان استفاده می کنیم (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. معلوم است که حاصل ضرب دو عدد صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از اعداد صفر باشد. از مطالب فوق چنین بر می آید که x 1 - x 2 = 0و/یا x 1 + x 2 = 0، که همان است x 2 = x 1و/یا x 2 = - x 1. یک تناقض آشکار به وجود آمد، زیرا در ابتدا توافق شد که ریشه معادله است x 2متفاوت است x 1و - x 1. بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله هیچ ریشه ای جز x = - c a و x = - - c a ندارد.

اجازه دهید همه استدلال های بالا را خلاصه کنیم.

تعریف 6

معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0معادل معادله x 2 = - c a است که:

• هیچ ریشه ای در - c a نخواهد داشت< 0 ;
• دارای دو ریشه x = - c a و x = - - c a برای - c a > 0 خواهد بود.

اجازه دهید مثال هایی از حل معادلات ارائه دهیم a x 2 + c = 0.

مثال 3

با یک معادله درجه دوم 9 x 2 + 7 = 0.باید راه حلی پیدا کرد.

راه حل

بیایید عبارت آزاد را به سمت راست معادله منتقل کنیم، سپس معادله شکل خواهد گرفت 9 x 2 = − 7.
اجازه دهید هر دو طرف معادله حاصل را بر تقسیم کنیم 9 ، به x 2 = - 7 9 می رسیم. در سمت راست عددی با علامت منفی می بینیم که به این معنی است: معادله داده شده ریشه ندارد. سپس معادله درجه دوم ناقص اصلی 9 x 2 + 7 = 0هیچ ریشه ای نخواهد داشت

پاسخ:معادله 9 x 2 + 7 = 0ریشه ندارد

مثال 4

معادله باید حل شود − x 2 + 36 = 0.

راه حل

بیایید عدد 36 را به سمت راست حرکت دهیم: − x 2 = − 36.
بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم − 1 ، ما گرفتیم x 2 = 36. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم x = 36 یا x = - 36 .
بیایید ریشه را استخراج کنیم و نتیجه نهایی را بنویسیم: معادله درجه دوم ناقص − x 2 + 36 = 0دو ریشه دارد x = 6یا x = - 6.

پاسخ: x = 6یا x = - 6.

حل معادله a x 2 +b x=0

اجازه دهید نوع سوم معادلات درجه دوم ناقص را تجزیه و تحلیل کنیم c = 0. برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0، از روش فاکتورسازی استفاده خواهیم کرد. اجازه دهید چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد فاکتورسازی کنیم و عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم. ایکس. این مرحله تبدیل معادله درجه دوم ناقص اولیه را به معادل آن ممکن می سازد x (a x + b) = 0. و این معادله نیز به نوبه خود معادل مجموعه ای از معادلات است x = 0و a x + b = 0. معادله a x + b = 0خطی و ریشه آن: x = - b a.

تعریف 7

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص است a x 2 + b x = 0دو ریشه خواهد داشت x = 0و x = - b a.

بیایید مطالب را با یک مثال تقویت کنیم.

مثال 5

لازم است برای معادله 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 راه حلی پیدا کنید.

راه حل

ما آن را بیرون می آوریم ایکسخارج از پرانتز معادله x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 را دریافت می کنیم. این معادله معادل معادلات است x = 0و 2 3 x - 2 2 7 = 0. اکنون باید معادله خطی حاصل را حل کنید: 2 3 · x = 2 2 7، x = 2 2 7 2 3.

به طور خلاصه جواب معادله را به صورت زیر بنویسید:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا x = 3 3 7

پاسخ: x = 0، x = 3 3 7.

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای یافتن جواب معادلات درجه دوم، یک فرمول ریشه وجود دارد:

تعریف 8

x = - b ± D 2 · a، که در آن D = b 2 − 4 a c- به اصطلاح متمایز کننده یک معادله درجه دوم.

نوشتن x = - b ± D 2 · a اساساً به این معنی است که x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

درک این که چگونه این فرمول مشتق شده و چگونه آن را اعمال کنیم مفید خواهد بود.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید با کار حل یک معادله درجه دوم روبرو شویم a x 2 + b x + c = 0. اجازه دهید تعدادی تبدیل معادل را انجام دهیم:

• دو طرف معادله را بر یک عدد تقسیم کنید آ، متفاوت از صفر، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• بیایید مربع کامل در سمت چپ معادله حاصل را انتخاب کنیم:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ج الف
  پس از این، معادله به شکل زیر در می آید: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• اکنون می توان دو عبارت آخر را به سمت راست منتقل کرد، علامت را به سمت مخالف تغییر داد، پس از آن به دست می آوریم: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• در نهایت، عبارت نوشته شده در سمت راست آخرین برابری را تبدیل می کنیم:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

بنابراین، به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 می رسیم که معادل معادله اصلی است. a x 2 + b x + c = 0.

حل این گونه معادلات را در پاراگراف های قبل (حل معادلات درجه دوم ناقص) بررسی کردیم. تجربه‌ای که قبلاً به‌دست آمده، نتیجه‌گیری در مورد ریشه‌های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 را ممکن می‌سازد:

• با b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• وقتی b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 معادله x + b 2 · a 2 = 0 است، سپس x + b 2 · a = 0 است.

از اینجا تنها ریشه x = - b 2 · a آشکار است.

• برای b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 موارد زیر درست خواهد بود: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 که همان x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - b 2 - 4 است. · a · c 4 · a 2 , i.e. معادله دو ریشه دارد

می توان نتیجه گرفت که وجود یا عدم وجود ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (و بنابراین معادله اصلی) به علامت عبارت b بستگی دارد. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 در سمت راست نوشته شده است. و علامت این عبارت با علامت صورت، ( مخرج 4 a 2همیشه مثبت خواهد بود)، یعنی نشانه بیان b 2 − 4 a c. این بیان b 2 − 4 a cنام داده شده است - ممیز معادله درجه دوم و حرف D به عنوان نام آن تعریف می شود. در اینجا می توانید ماهیت ممیز را بنویسید - بر اساس مقدار و علامت آن ، آنها می توانند نتیجه بگیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی خواهد داشت یا خیر ، و اگر چنین است ، تعداد ریشه ها چقدر است - یک یا دو.

اجازه دهید به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 برگردیم. بیایید آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

اجازه دهید نتایج خود را دوباره فرموله کنیم:

تعریف 9

• در D< 0 معادله هیچ ریشه واقعی ندارد.
• در D=0معادله یک ریشه دارد x = - b 2 · a ;
• در D > 0معادله دو ریشه دارد: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بر اساس خواص رادیکال ها، این ریشه ها را می توان به شکل زیر نوشت: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. و وقتی ماژول ها را باز می کنیم و کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم، به دست می آوریم: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

بنابراین، نتیجه استدلال ما استخراج فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم بود:

x = - b + D 2 a، x = - b - D 2 a، ممیز Dبا فرمول محاسبه می شود D = b 2 − 4 a c.

این فرمول ها تعیین هر دو ریشه واقعی را در زمانی که تفکیک کننده بزرگتر از صفر است ممکن می سازد. هنگامی که ممیز صفر است، با اعمال هر دو فرمول، ریشه یکسانی به عنوان تنها راه حل معادله درجه دوم به دست می آید. در مواردی که ممیز منفی باشد، اگر بخواهیم از فرمول ریشه یک معادله درجه دوم استفاده کنیم، با نیاز به استخراج مواجه خواهیم شد. ریشه دوماز یک عدد منفی، که ما را فراتر خواهد برد اعداد واقعی. در تمایز منفیمعادله درجه دوم ریشه واقعی نخواهد داشت، اما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده امکان پذیر است که با همان فرمول های ریشه ای که ما به دست آوردیم تعیین می شود.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

حل یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه امکان پذیر است، اما اساساً این کار زمانی انجام می شود که شما نیاز به پیدا کردن آن دارید. ریشه های پیچیده.

در اکثر موارد، معمولاً به معنای جستجوی نه پیچیده، بلکه برای ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم است. سپس بهتر است قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا ممیز را مشخص کرده و از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنیم (در غیر این صورت به این نتیجه می رسیم که معادله ریشه واقعی ندارد) و سپس اقدام به محاسبه می کنیم. ارزش ریشه ها

استدلال بالا امکان فرموله کردن یک الگوریتم برای حل یک معادله درجه دوم را فراهم می کند.

تعریف 10

برای حل یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، لازم:

• طبق فرمول D = b 2 − 4 a cمقدار متمایز را بیابید.
• در D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• برای D = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - b 2 · a بیابید.
• برای D > 0، دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول x = - b ± D 2 · a تعیین کنید.

توجه داشته باشید که وقتی تفکیک کننده صفر است، می توانید از فرمول x = - b ± D 2 · a استفاده کنید، نتیجه مشابه فرمول x = - b 2 · a خواهد بود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

اجازه دهید برای مثال ها راه حلی ارائه دهیم معانی مختلفمتمایز کننده

مثال 6

ما باید ریشه های معادله را پیدا کنیم x 2 + 2 x − 6 = 0.

راه حل

بیایید ضرایب عددی معادله درجه دوم را بنویسیم: a = 1، b = 2 و c = - 6. بعد طبق الگوریتم پیش می رویم، i.e. بیایید شروع به محاسبه ممیز کنیم که ضرایب a، b را جایگزین آن می کنیم و جبه فرمول تمایز: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

بنابراین D > 0 بدست می آوریم، به این معنی که معادله اصلی دو ریشه واقعی خواهد داشت.
برای یافتن آنها، از فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a استفاده می کنیم و با جایگزینی مقادیر مربوطه، به دست می آوریم: x = - 2 ± 28 2 · 1. اجازه دهید عبارت حاصل را با خارج کردن عامل از علامت ریشه و سپس کاهش کسر ساده کنیم:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 یا x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 یا x = - 1 - 7

پاسخ: x = - 1 + 7، x = - 1 - 7.

مثال 7

نیاز به حل یک معادله درجه دوم − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

راه حل

بیایید تفکیک کننده را تعریف کنیم: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. با این مقدار ممیز، معادله اصلی تنها یک ریشه خواهد داشت که با فرمول x = - b 2 · a تعیین می شود.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

پاسخ: x = 3.5.

مثال 8

معادله باید حل شود 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

راه حل

ضرایب عددی این معادله عبارتند از: a = 5، b = 6 و c = 2. ما از این مقادیر برای یافتن متمایز استفاده می کنیم: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . تفکیک محاسبه شده منفی است، بنابراین معادله درجه دوم اصلی ریشه واقعی ندارد.

در موردی که وظیفه نشان دادن ریشه های پیچیده است، فرمول ریشه را اعمال می کنیم و اقداماتی را با اعداد مختلط انجام می دهیم:

x = - 6 ± - 4 2 5،

x = - 6 + 2 i 10 یا x = - 6 - 2 i 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i یا x = - 3 5 - 1 5 · i.

پاسخ:هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های مختلط به شرح زیر است: - 3 5 + 1 5 · i، - 3 5 - 1 5 · i.

که در برنامه آموزشی مدرسههیچ الزام استانداردی برای جستجوی ریشه های پیچیده وجود ندارد، بنابراین، اگر در حین حل، تشخیص دهنده منفی باشد، بلافاصله پاسخ نوشته می شود که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) به دست آوردن فرمول دیگری، فشرده تر را ممکن می کند، به فرد اجازه می دهد برای معادلات درجه دوم راه حل هایی با ضریب زوج برای x پیدا کند. یا با ضریب شکل 2 · n، به عنوان مثال، 2 3 یا 14 ln 5 = 2 7 ln 5). اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این فرمول مشتق شده است.

اجازه دهید با کار پیدا کردن یک راه حل برای معادله درجه دوم a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 روبرو شویم. طبق الگوریتم پیش می رویم: متمایز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) را تعیین می کنیم و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

x = - 2 n ± D 2 a، x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a، x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a، x = - - n ± n 2 - a · c a .

بگذارید عبارت n 2 − a · c با D 1 نشان داده شود (گاهی اوقات با D نشان داده می شود). سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 · n به شکل زیر در می آید:

x = - n ± D 1 a، که در آن D 1 = n 2 - a · c.

به راحتی می توان فهمید که D = 4 · D 1، یا D 1 = D 4. به عبارت دیگر، D 1 یک چهارم ممیز است. بدیهی است که علامت D 1 همان علامت D است ، به این معنی که علامت D 1 می تواند به عنوان نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم نیز باشد.

تعریف 11

بنابراین، برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، لازم است:

• پیدا کردن D 1 = n 2 − a · c ;
• در D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• وقتی D 1 = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - n a تعیین کنید.
• برای D 1 > 0، دو ریشه واقعی را با استفاده از فرمول x = - n ± D 1 a تعیین کنید.

مثال 9

حل معادله درجه دوم 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ضروری است.

راه حل

می توانیم ضریب دوم معادله داده شده را به صورت 2 · (- 3) نشان دهیم. سپس معادله درجه دوم داده شده را به صورت 5 x 2 + 2 (- 3) x − 32 = 0 بازنویسی می کنیم که a = 5، n = − 3 و c = − 32.

بیایید قسمت چهارم ممیز را محاسبه کنیم: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. مقدار حاصل مثبت است، به این معنی که معادله دو ریشه واقعی دارد. اجازه دهید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه تعیین کنیم:

x = - n ± D 1 a، x = - - 3 ± 169 5، x = 3 ± 13 5،

x = 3 + 13 5 یا x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 یا x = - 2

می توان محاسبات را با استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم انجام داد، اما در این مورد راه حل دشوارتر خواهد بود.

پاسخ: x = 3 1 5 یا x = - 2 .

ساده سازی فرم معادلات درجه دوم

گاهی اوقات می توان شکل معادله اصلی را بهینه کرد که روند محاسبه ریشه ها را ساده می کند.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 به وضوح راحت‌تر از 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 است.

بیشتر اوقات، ساده سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم دو طرف آن در یک عدد مشخص انجام می شود. به عنوان مثال، در بالا یک نمایش ساده از معادله 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 را نشان دادیم که با تقسیم هر دو طرف بر 100 به دست می‌آید.

چنین تبدیلی زمانی امکان پذیر است که ضرایب معادله درجه دوم متقابل نباشند اعداد اول. سپس معمولاً هر دو طرف معادله را بر بزرگترین تقسیم می کنیم مقسوم علیه مشترکمقادیر مطلق ضرایب آن

به عنوان مثال، از معادله درجه دوم 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 استفاده می کنیم. اجازه دهید GCD مقادیر مطلق ضرایب آن را تعیین کنیم: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. اجازه دهید هر دو طرف معادله درجه دوم اصلی را بر 6 تقسیم کنیم و معادله درجه دوم معادل 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 را به دست آوریم.

با ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم، معمولاً از شر ضرایب کسری خلاص می شوید. در این حالت آنها در حداقل مضرب مشترک مخرج ضرایب آن ضرب می شوند. به عنوان مثال، اگر هر قسمت از معادله درجه دوم 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 با LCM (6، 3، 1) = 6 ضرب شود، آنگاه به صورت بیشتر نوشته می شود. به شکل ساده x 2 + 4 x − 18 = 0.

در نهایت، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم هر جمله معادله، که با ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در - 1 به دست می‌آید، از منهای اولین ضریب معادله درجه دوم خلاص می‌شویم. به عنوان مثال، از معادله درجه دوم − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، می توانید به نسخه ساده شده آن 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 بروید.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب

فرمول ریشه های معادلات درجه دوم که قبلاً برای ما شناخته شده است، x = - b ± D 2 · a، ریشه های معادله را از طریق ضرایب عددی آن بیان می کند. با تکیه بر این فرمول، ما این فرصت را داریم که وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب را مشخص کنیم.

معروف ترین و کاربردی ترین فرمول ها قضیه Vieta است:

x 1 + x 2 = - b a و x 2 = c a.

به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، می توان بلافاصله تعیین کرد که مجموع ریشه های آن 7 3 و حاصل ضرب ریشه ها 22 3 است.

همچنین می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم پیدا کنید. به عنوان مثال، مجموع مجذورات ریشه های یک معادله درجه دوم را می توان بر حسب ضرایب بیان کرد:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید