Логический позитивизм Карнапа Логический позитивизм - это видоизмененная форма эмпиризма. Эмпиризм в чистом виде - это учение о том, что все знание мы получаем из чувственного опыта. Логический позитивизм выглядит слабее его в одном важном пункте, но зато сильнее в

2.9. Логический квадрат Отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками. Как видим, вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и

Что такое парадокс? Парадоксом называются два несовместимых и противоположных утверждения, имеющие убедительные аргументы каждый в свою сторону. Наиболее ярко выраженной формой парадокса является антиномия – рассуждение, которое доказывает равносильность утверждений, одно из которых представляет собой явное отрицание другого. И особого внимания заслуживают именно парадоксы в наиболее точных и строгих науках, таких как, например, логика.

Логика, как известно, является абстрактной наукой. В ней нет места экспериментам и каким-либо конкретным фактам в обычном их понимании; она всегда предполагает анализ реального мышления. Но расхождения в теории логики и практике реального мышления всё же имеют место быть. И самым явным подтверждением этому служат логические парадоксы, а иногда даже логическая антиномия, олицетворяющая собой противоречивость самой логической теории. Именно это и объясняет значение логических парадоксов и то внимание, которое уделяется этим парадоксам в логической науке. Ниже мы познакомим вас с самыми яркими примерами логических парадоксов. Эта информации будет непременно интересна как тем, кто углублённо изучает логику, так и тем, кто просто любит узнавать новую и интересную информацию.

Начнём же мы с парадоксов, составленных древнегреческим философом Зеноном Элейским, жившим в V веке до н.э. Его парадоксы получили название «Апории Зенона» и даже имеют свою трактовку.

Апории Зенона

Апории Зенона являются внешне парадоксальными рассуждениями о движении и множестве. Всего современниками Зенона было упомянуто свыше 40 апорий (кстати, слово «апория» с древнегреческого языка переводится как «трудность») его авторства, однако до нашего времени дошли только девять из них. При желании вы можете ознакомиться с ними в трудах Аристотеля, Диогена Лаэртского, Платона, Фемистия, Филопона, Элия и Сипмликия. Мы же приведём в пример три самые известные.

Ахиллес и черепаха

Представим, что Ахиллес бежит со скоростью, в десять раз превышающей скорость черепахи, и находится от неё на расстоянии в тысячу шагов позади. Пока Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха сделает только сто. Пока Ахиллес преодолеет ещё сотню, черепаха успеет сделать десять и т.д. И этот процесс будет продолжаться бесконечно долго и Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Дихотомия

Для того чтобы преодолеть определённый путь, нужно изначально преодолеть его половину, а чтобы преодолеть половину, нужно преодолеть половину этой половины и т.д. Исходя из этого, движение никогда так и не начнётся.

Летящая стрела

Летящая стрела всегда остаётся на месте, т.к. в любой момент времени она находится в состоянии покоя, а поскольку она в состоянии покоя в любой момент времени, она находится в состоянии покоя всегда.

Здесь же будет уместно привести ещё один парадокс.

Парадокс лжеца

Авторство этого парадокса приписывается древнегреческому жрецу и провидцу Эпимениду. Парадокс звучит так: «То, что я в данный момент говорю — ложь», т.е. выходит: либо «Я лгу», либо «Моё высказывание — ложно». Это значит, что если высказывание правдиво, то, основываясь на его содержании, оно является ложью, но если это высказывание изначально ложно, то его и утверждение — ложь. Получается, ложно, что это высказывание – ложь. Следовательно, высказывание правдиво – это вывод возвращает нас к началу наших рассуждений.

В наше время парадокс лжеца рассматривается в качестве одной из формулировок парадокса Рассела.

Парадокс Рассела

Парадокс Рассела был открыт в 1901 году британским философом Бертраном Расселом, а позже его независимо переоткрыл немецкий математик Эрнст Цермело (иногда этот парадокс называют «парадоксом Рассела-Цермело»). Данный парадокс демонстрирует противоречивость логической системы Фреге, в которой математика сводится к логике. У парадокса Рассела есть несколько формулировок:

• Парадокс всемогущества – способно ли всемогущее существо создать что-либо, что может ограничить его всемогущество?
• Допустим, какая-то библиотека поставила задачу составить один большой библиографический каталог, в который должны входить все и лишь те библиографические каталоги, в которых не содержится ссылок на самих себя. Вопрос: нужно ли включить в этот каталог ссылку на него?
• Например, в какой-то стране вышел закон о том, что мэрам всех городов запрещено жить в своём городе, и разрешено жить только в «Городе мэров». Где, в таком случае, будет жить мэр этого города?
• Парадокс брадобрея – в деревне только один брадобрей, и ему приказано брить всех, кто не бреется сам, и не брить тех, кто сам бреется. Вопрос: кто должен брить брадобрея?

Не менее интересны и занятны следующие парадоксы.

Парадокс Бурали-Форти

Предположение о том, что идея о возможности множества порядковых чисел может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет теория множеств, в которой возможно построение множества порядковых чисел.

Парадокс Кантора

Предположение о возможности множества всех множеств может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет и теория, согласно которой возможно построение такого множества.

Парадокс Гильберта

Идея о том, что если все номера в гостинице с бесконечным количеством номеров заняты, в неё в любом случае можно поселить ещё людей, и их число может быть бесконечным. В этом парадоксе объясняется, что законы логики абсолютно неприемлемы к свойствам бесконечности.

Ложный вывод Монте-Карло

Вывод о том, что, играя в рулетку, можно смело ставить на красный цвет, если чёрный выпал десять раз подряд. Данный вывод считается ложным по той причине, что, согласно теории вероятностей, на наступление любого последующего события не оказывает никакого влияния событие, ему предшествующее.

Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена

Вопрос о том, способны ли развивающиеся вдали друг от друга процессы и события оказывать друг на друга влияние? К примеру, воздействует ли каким-либо образом рождение в отдалённой галактике сверхновой звезды на погоду в Москве? В качестве ответа можно привести следующее: исходя из законов квантовой механики, такое влияние невозможно по причине того, что как скорость света, так и скорость переноса информации являются конечными величинами, а Вселенная является бесконечной.

Парадокс близнецов

Вопрос: будет ли близнец-путешественник, вернувшийся из космического странствия на сверхсветовом звездолёте моложе своего брата, остававшегося всё это время на Земле? Если исходить из теории относительности, то на Земле (по земному течению времени) прошло больше времени, чем в звездолёте, летящем со сверхсветовой скоростью, а значит, близнец-путешественник будет моложе.

Парадокс убитого дедушки

Представьте, что вы оказались в прошлом и убили своего дедушку до его знакомства с вашей бабушкой. Следует вывод, что вы не появитесь на свет и не сможете вернуться в прошлое, чтобы убить дедушку. Представленный парадокс наглядно демонстрирует невозможность путешествий в прошлое.

Парадокс предопределения

К примеру, человек оказывается в прошлом, имеет половой контакт со своей прабабушкой и зачинает её сына, т.е. своего деда. Это становится причиной череды потомков, включая родителей этого человека, а также его самого. Получается, что если бы этот человек не совершил путешествие в прошлое, он бы вообще никогда не появился на свет.

Это всего лишь несколько логических парадоксов, которые занимают сегодня умы многих людей. Пытливому уму не составит труда отыскать ещё не один десяток подобных (например, ). Изучению, опровержению или доказательству каждого из них можно посвятить немалое количество времени и сил. И, вполне вероятно, по поводу каждого парадокса у вас могут сформироваться свои личные оригинальные умозаключения. Но это и говорит нам о том, что, несмотря на преобладание в нашей жизни законов логики и причинно-следственных связей, не всё в нашей жизни зависит от них. Порой аналогичные логическим парадоксам противоречия возникают в повседневной жизни каждого человека. В любом случае, это прекрасная пища для ума и повод для размышлений.

Кстати, касаемо размышлений: на тему логических парадоксов есть очень интересная книга под названием «Гёдель, Ешер и Бах». Её автором является американский физик и информатик Даглас Хофштадтер.

Уважаемые читатели, было бы замечательно, если бы в своих комментариях вы привели несколько знакомых вам примеров логических парадоксов. А также нам будет интересно и ваше мнение по поводу значения логики в нашей жизни — Проголосуйте за одно из расположенных ниже утверждений.

Виды парадоксов

Существуют парадоксы, которые возникают в определенной области научного знания в процессе исторического развития науки, когда обнаруживается противоречие между определенной устоявшейся системой знания и новыми фактами, между закрепленной в определенных парадигмах направлениях исследований и новыми открытиями, что не укладываются в эти парадигмы. Так, научные открытия в космологии, квантовой физике, биологии, сделанные в XX в., противоречат классическим теориям в этих отраслях наук и трактуются как парадоксальные с точки зрения классических теорий.

В каждой отрасли научного познания появляются специфические парадоксы - физические, химические, биологические, математические и др.

Парадоксы, которые возникают в рамках определенной научной теории, обнаруживают противоречивость самого движения материальных объектов, которые изучает наука, "двойственность" природы самого объекта исследования, предопределяя переосмысление фундаментальных принципов и парадигм конкретной науки. Например, в теории квантовой химии обнаружено, что электрон вокруг ядра в любой момент находится в каждой элементарной точке пространства, хотя электрон - элементарная частица.

Типы парадоксов

Парадоксы по типам логики классифицировали на семантические и логические.

Семантические парадоксы возникают в рассуждениях:

В процессе связи выражений языка с их предметным значением, то есть денотатом;

Когда смешиваются два уровня символической репрезентации объектов соображений, а именно - уровень объектного языка и метамови;

Когда используют абстрактные, неопределенные сроки, под которые можно подвести любой объект;

Когда возникает проблема определения истинности или ложности высказываний в определенном контексте.

В семантических парадоксов относятся: парадокс "Лжец", гетерологічний парадокс, парадокс теории имен, парадокс (антиномия) отношение наименования.

Парадокс "Лжец" логики классифицируют как антиномию. Его впервые сформулировал древнегреческий философ Эвбулид из Милета, и он имеет два варианта выражения: 1. Кое-кто говорит "Я вру"; 2. Критянин Эпименид сказал: "Все критяне - - лжецы".

Смысл парадокса "Лжец" заключается в том, что нельзя однозначно определить истинность или ложность высказывания "Я вру". Так, если Эпименид не врет, то его высказывание истинно и, следовательно, Эпименид-лжец; если Эпименид лжет, то его высказывания - ложное, следовательно, Эпименид не лжец. Получаем антиномию - "Эпименид лжет и не лжет", или "Высказывания "Я вру" истинное, поскольку оно ложно, и ложное, поскольку оно верно".

Другую модификацию парадокса "Лжец" сформулировал английский логик П. Журден: "Высказывание, написанное на первом стороне этой карточки, - истинное; а на другой стороне той же карте написано: Высказывание, написанное на другой стороне этой карточки, - ложное". Если первое высказывание истинно, то второе высказывание также истинно, поскольку в первом высказывании утверждается, что второе высказывание - истинно. Но если второе высказывание истинно, то "первое высказывание - ложное" - ошибочное. Итак, из двух возможных предположений истинности этих двух высказываний возникает противоречие.

Ученые предлагали много способов решения парадокса "Лжец". Например, польский логик А. Тарский предложил четко различать уровни языка - объектной и метамови. Именно высказывания "Я вру" сформулировано объектным языком, а то, что оно является парадоксальным, определяется на уровне его металогічного анализа средствами метамови. Для этого стоит создать формализованную язык, который содержит высказывания А, предикат истины Г. Формула Р1 (А) г А (высказывание А-истинно, если и только если А). Это значит: высказывание А истинно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, то есть фиксирует (отражает) существование предмета, о котором идет речь в высказывании.

Высказывание критянина Епіменіда "Все критяне - - лжецы" также выражено объектным языком. Согласно металогічним анализом, Эпименид также является лжецом, поскольку он, как критянин, входит к классу жителей острова Крит. Если бы Эпименид не был критянином, то высказывания " Все критяне - лжецы" не было бы парадоксальным.

Гетерологічний парадокс сформулировал К. Греллінг (1886 - 1941 гг.). Это парадокс, который возникает в результате выделения таких выражений речи, как прилагательные, значением которых являются свойства, например, "красное", "новое", "старое", "украинский". Слово, которое имеет свойство Р, именем которого оно является, называется автологічним. Слово, которое не является автологічним, называют гетерологічним. Если слово (прилагательное) обозначает свойство, присущее ему самому, то его называют автологічним. Это, например, слово "украинский", а слова "белое", "черное" не являются словами автологічними, следовательно, они - гетерологічні. К какому виду слов - автологічних или гетерологичных принадлежит именно слово "гетерологічне"? Получаем антиномию: "Если слово "гетерологічне" - гетерологічне, то оно не гетерологічне, а если оно не гетерологічне, то оно гетерологічне".

Парадокс теории имен - семантический парадокс, который возник в рамках теории логической семантики, что разработали Г. Фреге, Б. Рассел, Г. Карнап и другие логики, заменяя собственное имя дескрипцией и наоборот, дескрипцію собственным именем (см. 2.2.4). Собственное имя - простой знак, которым обозначается единичный (индивидуальный) предмет. Дескрипція - сложный знак, в котором определяют свойства предмета или отношения между классами. Если в определенном контексте подменить собственное имя дескрипцией, то возникает семантический парадокс. Например, за Бы. Расселом, имя собственное "Вальтер Скотт" и дескрипція "автор "Веверлея" указывают на один предмет, соответственно, утверждение. "Король Генрих IV желает знать, является ли Вальтер Скотт автором "Веверлея" не содержит парадокса, но, если заменить имя собственное "Вальтер Скотт" дескрипцией "автор "Веверлея", то получаем утверждение: "Король Генрих IV желает знать, является ли Вальтер Скотт Вальтером Скоттом", которое парадоксальное.

Логические парадоксы - парадоксы, возникшие в пределах определенной логической теории в процессе развития науки логики. В логических парадоксов относятся парадоксы материальной импликации, парадоксы строгой импликации, парадоксы епістемічної логики, парадоксы логики существования и др. (содержание этих парадоксов будет определен в контексте анализа конкретной логической теории, где возникли эти парадоксы).

Парадокс теории классов (множеств). В логико-математической теории классов (множеств) английский логик и математик Б. Рассел обнаружил логическую противоречивость, которая получила название парадокса (антиномии) классов (множеств). Все множества можно разделить на следующие виды: 1. Множества, которые не являются элементами самих себя. Такие множества называют собственными. Например, множество всех государств, всех натуральных чисел, всех книг в научной библиотеке университета города Н. и др. 2. Множества, которые являются элементами самих себя. Такие множества называют несобственными. Первый вид множеств обозначается символом М., а второй - символом М2. Далее предполагаем, что можно образовать множество М тех и только тех множеств, которые являются собственными, то есть всех тех множеств, которые не содержат самих себя как элементы. Это множественное число - - противоречива, поскольку, по определению, она принадлежит к числу своих элементов тогда и только тогда, когда она не принадлежит к их числу.

Для решения парадокса теории множеств Бы. Рассел разработал теорию типов, сущность которой заключается вот в чем. Все множества можно разделить на типы, каждый из которых отделяет элементы, принадлежащие только к одному типу и не относятся к другому. Так создается иерархия типов множеств: нулевой тип содержит только элементы, имеющие свойство Р, первый тип содержит элементы, имеющие свойства Г.; второй тип - имеет свойства Р2 и под. Каждый тип означает определенный уровень абстрагирования и обобщения множеств: а) обычное множество; б) необычная множество (множество всех множеств), т.е. множество, которое содержит само себя в качестве элемента. К которой множества отнести множество всех обычных множеств? По мнению Б. Рассела и теория типов позволяет выделить иерархию множеств и тем самым преодолеть парадокс теории множеств.

Популярными вариантами парадокса теории множеств есть парадоксы "Мэр муниципалитета" и "Парикмахер".

Парадокс "Мэр муниципалитета" сформулировал американский логик С. Клини (1909-1994 гг.) как популярный вариант парадокса теории множеств. "Каждый муниципалитет в Голландии должен иметь мэра, и два разные муниципалитеты не могут иметь одного и того же мэра. Иногда оказывается, что мэр не живет в своем муниципалитете. Предполагаем, что издан закон, согласно которому определенную территорию выделяют только для таких мэров, которые не живут в своих муниципалитетах, и он обязывает всех мэров поселиться на этой территории. Еще допустим, что этих мэров оказалось столько, что эта территория Н. образует муниципалитет. Где должен жить мэр муниципалитета Я.?"

Парадокс "Парикмахер" - второй популярный вариант парадокса теории множеств. "Парикмахер бреет тех и только тех мужчин одного поселка, которые не бреются сами. Или парикмахер бреет самого себя?"

Аристотель. Сочинения: В 4 т. - М., 1978. Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. - М., 1981. Войшвилло Е. Понятие как форма мышления. - М., 1989. Г. фон Вригт. Гетерологический парадокс // Логико-философские исследования. - М., 1986.

Жоль К. Вступление к современной логики. - К., 1992.

Ивин А. Искусство правильно мыслить. - М., 1986.

Ивин А. Логика. - К., 1996.

Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. - М., 1978. Кант И. Сочинения: В 6 т. - М., 1964. Конверский А. Логика (традиционная и современная). - К., 2004. Кондаков Н. Логический словарь-справочник. - М., 1975. Лейбниц Г. Сочинения: В 4 т. - М., 1984. Логический словарь "Дефорт". - М., 1994. Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика. - С.-Пб., 1995.

Фреге Г. Логика и логическая семантика. - М., 2000. Хоменко И. Логика для юристов. - К., 2001. Шуман А. Современная логика: Теория и практика. - М., 2004.

Kotarbinski Т. Kurs logiki. - Warszawa, 1955.

Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.

Рассмотренные парадоксы - это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.

«Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания», - пишет австрийский математик и логик К.Гедель. «Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов», - утверждает математик Д.Бочвар. Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под логическим парадоксом.

Своеобразие логических парадоксов

Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь.

Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и нелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и нелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.

Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.

На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Б.Расселом принцип порочного круга. Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.

Все парадоксы имеют одно общее свойство - самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек. И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.

Во всех парадоксах имеет место самоприменимость понятий, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.

Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома железа» и т.п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.

Простая ссылка на использование самоприменяемых понятий недостаточна, таким образом, для дискредитации парадоксов. Необходим еще какой-то дополнительный критерий, отделяющий самоприменимость, ведущую к парадоксу, от всех иных ее случаев.

Было много предложений на этот счет, но удачного уточнения циркулярности так и не было найдено. Невозможным оказалось охарактеризовать циркулярность таким образом, чтобы каждое циркулярное рассуждение вело к парадоксу, а каждый парадокс был итогом некоторого циркулярного рассуждения.

Попытка найти какой-то специфический принцип логики, нарушение которого было бы отличительной особенностью всех логических парадоксов, ни к чему определенному не привела.

Несомненно полезной была бы какая-то классификация парадоксов, подразделяющая их на типы и виды, группирующая одни парадоксы и противопоставляющая их другим. Однако и в этом деле ничего устойчивого не было достигнуто.

Английский логик Ф.Рамсей, умерший в 1930 г., когда ему еще не исполнилось и двадцати семи лет, предложил разделить все парадоксы на синтаксические и семантические. К первым относится, например, парадокс Рассела, ко вторым - парадоксы «Лжеца», Греллинга и др.

По мнению Рамсея, парадоксы первой группы содержат только понятия, принадлежащие логике или математике. Вторые включают такие понятия, как «истина», «определимость», «именование», «язык», не являющиеся строго математическими, а относящиеся скорее к лингвистике или даже теории познания. Семантические парадоксы обязаны, как кажется, своим возникновением не какой-то ошибке в логике, а смутности или двусмысленности некоторых нелогических понятий, поэтому поставленные ими проблемы касаются языка и должны решаться лингвистикой.

Рамсею казалось, что математикам и логикам незачем интересоваться семантическими парадоксами. В дальнейшем оказалось, однако, что некоторые из наиболее значительных результатов современной логики были получены как раз в связи с более глубоким изучением именно этих нелогических парадоксов.

Предложенное Рамсеем деление парадоксов широко использовалось на первых порах и сохраняет некоторое значение и теперь. Вместе с тем становится все яснее, что это деление довольно-таки расплывчато и опирается по преимуществу на примеры, а не на углубленный сопоставительный анализ двух групп парадоксов. Семантические понятия сейчас получили точные определения, и трудно не признать, что эти понятия действительно относятся к логике. С развитием семантики, определяющей свои основные понятия в терминах теории множеств, различие, проведенное Рамсеем, все более стирается.

Парадоксы и современная логика

Какие выводы для логики следуют из су ществования парадоксов?

Прежде всего наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться.

Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.

Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.

Средневековым логикам не были известны понятия «множество» и «элемент множества», введенные в науку только зо второй половине XIX в. Но чутье на парадоксы было отточено в средние века настолько, что уже в то давнее время высказывались определенные опасения по поводу самоприменимых понятий. Простейшим их примером является понятие «быть собственным элементом», фигурирующее во многих нынешних парадоксах.

Однако такие опасения, как и вообще все предостережения, касающиеся парадоксов, не были до нашего века в должной мере систематическими и определенными. Они не вели к каким-либо четким предложениям о пересмотре привычных способов мышления и выражения.

Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.

Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.

Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.

Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в ее наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.

Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого ее можно было бы и проглядеть.

Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и ее в конце концов удается раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.

Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.

«За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями», - пишет А.Френкель. «Похоже на то, - заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, - что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы».

Устранение и объяснение парадоксов

Следует обратить внимание на одно важное различие.

Устранение парадоксов и их разрешение - это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории - значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое ее звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.

Но это еще не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.

Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуиция-ми. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.

Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.

Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, «мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых».

И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.

Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?

Логическая грамматика

Один путь - это выделение наряду с истинными и ложными предложениями также бессмысленных предложений. Этот путь был принят Б.Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены им бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования логической грамматики. Не всякое предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным - оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.

Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.

Основная идея теории типов - выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, т.е. индивидов; ко второму - множества множеств индивидов и т.д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т.д. При этом вводятся определенные ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств - свойствам и т.д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.

Возьмем серию предложений:

Этот дом - красный.

Красное - это цвет.

Цвет - это оптическое явление.

В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определенный предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» - на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» - указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.

Все три предложения из приведенной серии являются, конечно, осмысленными. Они построены в соответствии с требованиями теории типов. А скажем, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. Аналогичное нарушение содержится и в предложении «Этот дом является оптическим явлением». Оба эти предложения должны быть отнесены к бессмысленным.

Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «Лжеца» и Берри простое разделение рассматриваемых объектов на типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.

Исключение парадоксов может быть достигнуто также на пути отказа от использования слишком больших множеств, подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен немецким математиком Е.Цермело, связавшим появление парадоксов с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированных так, чтобы из них не выводились известные парадоксы. Вместе с тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода из них обычных рассуждений классической математики, но без парадоксов.

Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.

Будущее парадоксов

У Г.Фреге, величайшего логика прошлого века, был, к сожалению, очень скверный характер. Кроме того, он был безоговорочен и даже жесток к своей критике современников.

Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получал признания. И вот когда известность начала приходить к нему, молодой английский логик Б.Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, и Фреге смог лишь добавить к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (позднее названное «парадоксом Рассела») и признал, что он не способен его устранить.

Однако последствия этого признания были для Фреге трагическими. Он испытал сильнейшее потрясение. И хотя ему тогда было всего 55 лет, он не опубликовал больше ни одной значительной работы по логике, хотя прожил еще более двадцати лет. Он не откликнулся даже на оживленную дискуссию, вызванную парадоксом Рассела, и никак не прореагировал на многочисленные предлагавшиеся решения этого парадокса.

Впечатление, произведенное на математиков и логиков только что открытыми парадоксами, хорошо выразил Д.Гильберт: «...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?»

Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что абсолютная строгость, достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика - в том интуитивном виде, какой она имела на рубеже веков, - нуждается в глубоком пересмотре.

Прошло около века с тех пор, как началось оживленное обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.

И вместе с тем такое состояние вряд ли кого волнует сегодня. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели свое определенное, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, - это в принципе недостижимый идеал.

Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ науки логики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами логики. Продолжая сравнение парадоксов с особо отчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.

Есть такая наука, она называется логикой, которая учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связным, последовательным, доказательным и непротиворечивым. Как человек, не знающий правил арифметики и грамматики, не знающий правил логики, не может без ошибок рассуждать и действовать.

Человеку, занимающемуся математикой, очень часто приходится определять понятия, выяснять связи между ними, рассматривать, на какие группы (виды) могут быть подразделены фигуры, числа, уравнения функции. Но особенно часто в математике приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, правила и доказывать теоремы. Не случайно находились такие математики, которые думали, что математика – это наука «о производстве необходимых умозаключений». Такой взгляд на математику односторонен, но верно то, что без логики не может быть математики. А это значит, что для успешного изучения математики надо настойчиво учиться правильно рассуждать. Это значит также, что само изучение математики очень полезно для овладения правилами и законами мышления. Не без оснований называют иногда математику «оселком для ума».

Логика – абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.

Исследование всевозможных логических цепочек (силлогизмов) привело к обнаружению знаменитых парадоксов и софизмов. Парадокс – ситуация, когда в теории доказываются два взаимно исключающие друг друга суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами.

Простой категорический силлогизм – рассуждение, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения. Посылки силлогизма разделяются на большую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения).

Пример силлогизма:

Всякий человек смертен (большая посылка)

Сократ – человек (меньшая посылка)

Сократ смертен (заключение)

Цель работы: в этой работе я продолжу развивать мысль своей прошлой работы. Я рассмотрю более подробно софизмы, познакомлю вас с логическими цепочками и с великим человекам, открывшие нам их законы. Изучу несколько новых парадоксов. А также опровергну или найду подтверждения своей гипотезе.

Гипотеза: при решении софизмов и парадоксов используется логика.

Логика ведет своё происхождение от ораторского искусства. Убедить собеседника невозможно, если оратор сам себе противоречит (уж если ты сказал, что снег белый, не следует ссылаться на его черноту). В Древней Греции, где важнейшие вопросы решались на советах, всякий уважающий себя философ, политический деятель или литератор старался строить речь так, чтобы она была доходчива и разумна. В античном мире чрезвычайно ценилось умение высказываться точно, кратко и остроумно.

Любовь к точной фразе привела древнегреческих философов к логике. Что из чего следует и почему? Можно ли, например, утверждать, что Сократ смертен, если дано, что все люди смертны и Сократ человек? Можно. А если дано, что все люди смертны и Сократ тоже смертен, верно ли, что Сократ человек? Неверно: вдруг Сократом зовут не только греческого мудреца, но и, скажем, его собаку?

Законы логики, правила вывода верных утверждений из заданных посылок наиболее полно исследовал великий древнегреческий философ Аристотель.

АРИСТОТЕЛЬ (384-322 до н. э.)

В 366 году до нашей эры в Академии Платона появился новый ученик. Он был родом из Стагира, и было ему 18 лет. Ученика звали Аристотель.

Почти 20 лет провел Аристотель в Академии. Из ученика он превратился в мудреца-философа, соперничавшего в знаниях и глубокомыслии с самим Платоном. Это соперничество подчас становилось весьма острым, но ни разу научные споры Платона с Аристотелем не переросли в личную вражду.

Вскоре после смерти Платона Аристотель покинул Академию. Македонский царь Филипп пригласил его воспитывать царевича Александра. В 335г. до н. э. Аристотель вернулся из Македонии в Афины, где основал собственную школу. Её название – Ликей – вошло впоследствии в латинский и во многие другие языки, изменившись на одну букву: лицей.

Вслед за Платоном, Аристотель считал, что достоверное знание может и должно быть выведено из исходных, несомненных истин – аксиом – при помощи логических рассуждений. Но Аристотель пошел дальше Платона: он описал законы логики, которые позволяют переходить от одного истинного суждения к другому без риска совершить ошибку.

Вот несколько законов, сформулированных Аристотелем. Сякое суждение либо истинно, либо ложно. Ни одно суждение не может быть истинным и ложным одновременно. Из общих утверждений следуют частные (например, из того, что все люди смертны, следует, что Сократ тоже смертен). В течение многих веков научный авторитет Аристотеля был непререкаем.

«ИЛИ», «И», «ЕСЛИ» И «НЕ»

Всякое высказывание может быть истинным или ложным. Третий вариант трудно себе представить, поэтому древнегреческие философы и пользовались «принципом исключенного третьего» - считали, что не может утверждение быть и не истинным, и не ложным. Вслед за ними так считаем и мы. Логика без принципа «исключенного третьего» упоминается разве лишь в фантастических романах, да и то в шутку

А теперь попробуем собрать одно высказывание из двух частей. Как мы часто это делаем, соединим две фразы словечком «или». «В углу шуршит мышь или крокодил». Верно ли это высказывание? Зависит от того, кто на самом деле шуршит в углу. Если это и вправду мышь, фраза верна. Если (как ни трудно себе такое представить) это крокодил, опять же высказывание верно. Если в углу дружно шуршат мышь с крокодилом, она верна снова! И лишь если в углу нет ни мыши, ни крокодила, а шуршит сбежавший из клетки хомяк, высказывание оказывается ложным. Это – свойство, присущее именно «или»: два утверждения, связанные этим словом, составляют верное высказывание, если хотя бы одно из утверждений справедливо, и ложное, если оба утверждения неверны. А теперь составим маленькую табличку (здесь И – «истинное утверждение», Л – «ложное»):

И или И = И,

И или Л = И,

Л или И = И.

Л или Л = Л.

Сравним теперь, как себя ведет связка «и». Разберем пример: «Мимо окна летят воробей и летающая тарелка». Если за окном нет ни воробья, ни тарелки, это высказывание ложно. Если воробей есть, а тарелки нет – оно все равно ложно. Если есть тарелка, но нет воробья – то же самое. И лишь одновременное присутствие обоих означает. Что фраза истинна. Вот таблица истинности для словечка «и»:

Фраза, связанная этим словом, верна в том единственном случае, когда верна в том единственном случае, когда верны обе части!

В этом тексте несколько раз употреблялась конструкция фразы «если так, то будет эдак». Посмотрим, когда верно утверждение такого типа? Оно верно, если верна первая часть (посылка) и одновременно верна вторая (заключение). Оно неверно, если верна посылка, но неверен вывод: несомненно ложным является высказывание «если разбить чашку, то будет землетрясение». А если посылка неверна? Может показаться невероятным, но в этом случае высказывание истинно. Из ложной посылки следует что угодно! На самом деле ничего удивительного в этом нет: вам самим случалось, и не раз, употреблять фразы вроде «если 2х2=5, то я папа римский». Попробуйте доказать, что такое утверждение ложно! Оно означает лишь, что 2х2 не равно пяти, и вы не папа римский, следовательно, оно истинно. Получим такую таблицу истинности:

«И» и «или» - это элементарные действия логики, так же как сложение и умножение – это действия арифметики. Между логическими и арифметическими операциями есть некоторое сходство, и сейчас мы его продемонстрируем. Пусть у нас только две цифры, 0 и 1. Будем обозначать истину единицей, а ложь – нулем. Тогда наша табличка истинности для «или» напоминает таблицу двоичного сложения: 0+0=0; 1+0=1; 0+1=1, и только для «сложения» двух истин (1+1=1) мы получим не тот ответ, который дает нам двоичная арифметика (там 1+1=10), но по большому счету он не слишком сильно отличается от арифметического, ибо нуля мы не получим все равно. Результат же логического умножения – «и» - полностью совпадает с арифметическим: 0х0=0, 1х0=0, 0х1=0, 1х1=1.

Аналога операции «если» на первый взгляд в арифметике нет. Но если ввести ещё одно логическое действие, не рассмотренное нами подробно – «не», отрицание, устроенное чрезвычайно просто (не истина есть ложь, не ложь есть истина, т. е. в чистом виде закон исключенного третьего), - оказывается, можно выразить «если» через «или», «и» и «не». Самом деле, конструкция «А и В, или не А» ведет себя точно так же, как «если А, то В». Если А истинно, то не А ложно, и истинность всего высказывания зависит от истинности В; если же А ложно, то не А истинно, и независимо от истинности или ложности В высказывание будет верным.

Мы не зря упомянули здесь арифметическую аналогию логических операций. Поскольку можно (с некоторыми поправками) выразить цифрами и арифметическими знаками истинность или ложность высказываний, то можно научить логике вычислительную машину. Ей будут доступны все логические рассуждения, сколь угодно сложные – нужно лишь выразить их через «и», «или» и «не».

ПАРАДОКСЫ.

Парадокс (от греческого para – протии и doxa – мнение) – противоречивое высказывание.

В широком смысле парадокс – неочевидное высказывание, истинность которого устанавливается трудно; в этом смысле парадоксальными принято называть любые неожиданные противоречивые высказывания, особенно если неожиданность их смысла выражена в остроумной форме.

В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами, т. е. парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истина, и как ложь.

Парадоксы, как правило, свидетельствуют о недостатках рассматриваемой теории, о её внутренней противоречивости. В науке очень часто обнаружение парадокса в рамках данной теории приводило к существенной перестройке всей теории и служило стимулом для дальнейших более глубоких исследований. В математике анализ парадоксов способствовал как пересмотру взглядов на проблему обоснования, так и развитию многих современных идей и методов. Этими вопросами занимается наука, называемая математической логикой.

СОБАКА И ЗАЯЦ

На охоте собака погналась за зайцем, находившимся от неё на расстоянии 100 сажен, но не догнала его. Охотники были весьма огорчены подобной неудачей, но вот один из них и говорит: «Эх, господа, стоит ли расстраиваться из-за такого пустяка? Да и стоит ли вообще гонять собак за зайцами? Всё равно собака его никогда догнать не сможет, даже в том случае, если побежит со скоростью в 10 раз большею. »

Как так?! – изумились охотники. – Что за вздор?

Какой там вздор, господа! Вовсе не вздор! И я вас уверяю, что всегда так будет!

Ну, что за чепуха! - сказали слушавшие. – Объясните, пожалуйста, как это может случиться?

А вот как1 Положим, например, что собаку вначале отделяет от зайца расстояние в 100 сажен. Если даже собака будет бежать в 10 раз скорее зайца, то когда она пробежит эти 100 сажен, заяц успеет пробежать ещё 10 сажен. Когда собака пробежит и эти 10 сажен, заяц пробежит ещё 1 сажень, и все-таки будет впереди собаки; когда собака пробежит и эту сажень, то заяц пробежит снова 1/10 сажени и т. д. Таким образом, заяц всегда будет впереди собаки, хотя бы на небольшое расстояние. Следовательно, собака никогда не догонит зайца. Этот парадокс известен очень давно и носит название «парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе».

КУЧА ПЕСКА

Два приятеля однажды вели такой разговор. «Видишь кучу песка?» - спросил первый. «Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле». Первый удивился: «Почему?» -Очень просто,- ответил второй. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет. Этот парадокс носит название «парадокс кучи».

ПАРАДОКС «ЛЖЕЦ»

Наиболее известным и самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс «Лжец». «Я – лжец» - говорит некто и впадает в неразрешимое противоречие! Ведь если он действительно лжец, он солгал, говоря, что он лжец, и, следовательно, он не лжец; но если он не лжец, он сказал правду и, следовательно, он лжец.

Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.

Ходит даже легенда, что некий Филлит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.

Софизмом называется умышленное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику?

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. Рассмотрим некоторые софизмы.

СОФИЗМ «РОГАТЫЙ»

То, что ты не потерял, ты имеешь; ты не потерял рога, следовательно, ты их имеешь.

Ошибка здесь состоит в неправильном переходе от общего правила к частному случаю, который этим правилом не предусмотрен. Действительно, начало первой фразы: «То, что ты не потерял» подразумевает под словом «то» - всё, что ты имеешь, и ясно, что в него не включены «рога». Поэтому заключение «ты имеешь рога» неправомерно.

РАВЕН ЛИ ПОЛНЫЙ СТАКАН ПУСТОМУ?

Оказывается, что да. Действительно, проведем следующее рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно написать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно.

ПОСЛЕДНИЕ ГОДЫ НАШЕЙ ЖИЗНИ КОРОЧЕ, ЧЕМ ПЕРВЫЕ.

Известно старое изречение: в молодости время идёт медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Действительно, человек в течение тридцатого года проживает 1/30 часть своей жизни, в течение сорокового года – 1/40 часть, в течение пятидесятого – 1/50 часть, в течение шестидесятого – 1/60 часть. Совершенно очевидно, что

1/30>1/40>1/50>1/60, откуда ясно, что последние годы нашей жизни короче первых.

Не подвела ли математика?

Действительно, верно, что 1/30>1/40>1/50>1/60. Но неверно утверждение, что в течение тридцатого года человек проживает 1/30 часть своей жизни, он проживает 1/30 только той части жизни, которую он к этому моменту прожил, но именно части, а не всей жизни. Нельзя сравнивать между собой части различных отрезков времени.

ДВАЖДЫ ДВА РАВНО ПЯТИ.

Напишем тождество 4:4=5:5. Вынеся их каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4∙ (1:1) = 5∙ (1:1) или (2 ∙2) ∙ (1:1) = 5∙ (1:1).

Так как 1:1=1, то 2∙2=5.

Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой части. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4 ≠ 4∙(1:1).

ЛЮБОЕ ЧИСЛО РАВНО НУЛЮ.

Пусть a – любое фиксированное число. Рассмотрим уравнение 3х2-3ах+а2=0. Перепишем его следующим образом: 3х2-3ах=-а2. Умножая обе части его на –а, получим уравнение -3х2а+3а2х=а3. Прибавляя к обеим частям этого уравнения х3-а3, получаем уравнение х3-3ах2+3а2х-а3=х3 или (х-а)3=х3, откуда х-а=х, т. е. а=0.

При а≠0 не существует числа х, удовлетворяющего уравнению 3х2-3ах+а2=0. Это следует из того, что дискриминант этого квадратного уравнения D= -3а2

В ходе работы моя гипотеза подтвердилась: софизмы и парадоксы строятся исключительно по законам логики.

Рассмотренные парадоксы и софизмы – это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы.

С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И не в том, что с ними смирились. Поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались локализованными. Они обрели своё определенное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость – это в принципе недостижимый идеал.

О многом шла речь в этой работе. Ещё больше интересных и важных тем осталось за её пределами. Логика – это особый, самобытный мир со своими законами, условностями, традициями, спорами. То, о чем говорит эта наука, знакомо и близко каждому. Но войти в её мир, почувствовать его внутреннюю согласованность и динамику, проникнуться его своеобразным духом непросто.