Apa yang memberi kita nilai tambah. Tanda tangani aturan perkalian dan penjumlahan

1) Mengapa minus satu dikalikan dikurangi satu sama dengan ditambah satu?
2) Mengapa dikurangi satu dikalikan ditambah satu sama dengan dikurangi satu?

"Musuh dari musuhku adalah temanku."

Jawaban termudah adalah: “Karena ini adalah aturan pengoperasian bilangan negatif.” Aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku pelajaran tidak menjelaskan mengapa peraturan tersebut berlaku demikian. Pertama-tama kita akan mencoba memahaminya berdasarkan sejarah perkembangan aritmatika, dan kemudian kita akan menjawab pertanyaan ini dari sudut pandang matematika modern.

Dahulu kala, orang hanya mengetahui bilangan asli: 1, 2, 3, ... Bilangan tersebut digunakan untuk menghitung peralatan, jarahan, musuh, dll. Namun bilangan itu sendiri tidak berguna - Anda harus mampu menanganinya. Penjumlahan jelas dan dapat dimengerti, dan selain itu, penjumlahan dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli ditutup pada operasi penjumlahan). Perkalian pada dasarnya sama dengan penjumlahan jika kita berbicara tentang bilangan asli. Dalam kehidupan, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan kedua operasi ini (misalnya, saat berbelanja, kita menjumlahkan dan mengalikan), dan aneh jika kita berpikir bahwa nenek moyang kita lebih jarang menjumpainya - penjumlahan dan perkalian sudah dikuasai umat manusia sejak lama. yang lalu. Seringkali Anda harus membagi beberapa besaran dengan besaran lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan asli - begitulah bilangan pecahan muncul.

Tentu saja, pengurangan juga tidak dapat dilakukan. Namun dalam praktiknya, kita biasanya mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar, dan tidak perlu menggunakan bilangan negatif. (Jika saya mempunyai 5 permen dan memberikan 3 permen kepada saudara perempuan saya, maka saya akan mempunyai 5 – 3 = 2 permen yang tersisa, namun saya tidak dapat memberikan 7 permen kepadanya meskipun saya ingin.) Hal ini dapat menjelaskan mengapa orang tidak menggunakan bilangan negatif untuk a lama.

Angka negatif telah muncul dalam dokumen India sejak abad ke-7 M; Orang Cina rupanya mulai menggunakannya lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau perhitungan perantara untuk menyederhanakan solusi persamaan - itu hanya alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak menunjukkan keberadaan entitas apa pun menyebabkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang benar-benar menghindari angka negatif: jika suatu soal memiliki jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes - salah satu "pendiri" matematika modern - menyebutnya "salah" (pada abad ke-17!).

Misalnya saja persamaannya 7x – 17 = 2x – 2. Hal ini dapat diselesaikan dengan cara ini: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya ke kanan, maka akan diperoleh 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3. Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Tetapi ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: pindahkan suku-suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Untuk menemukan bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: x = (–15)/(–5). Tapi jawaban yang benar sudah diketahui, dan masih bisa disimpulkan (–15)/(–5) = 3 .

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan pengoperasian bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara lain, tanpa angka negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan bilangan membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah yang besar istilah) mencari jalur solusi di mana semua operasi dilakukan hanya pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Aturan pengoperasian bilangan negatif tidak serta merta dibentuk, tetapi menjadi generalisasi dari berbagai contoh yang muncul dalam penyelesaian masalah terapan. Secara umum perkembangan matematika dapat dibagi menjadi beberapa tahap: setiap tahap berikutnya berbeda dari tahap sebelumnya dalam tingkat abstraksi baru dalam mempelajari objek. Jadi, pada abad ke-19, para ahli matematika menyadari bahwa bilangan bulat dan polinomial, terlepas dari semua perbedaan eksternalnya, memiliki banyak kesamaan: keduanya dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Operasi-operasi ini tunduk pada hukum yang sama - baik dalam hal bilangan maupun polinomial. Namun membagi bilangan bulat satu sama lain sehingga hasilnya menjadi bilangan bulat lagi tidak selalu memungkinkan. Sama halnya dengan polinomial.

Kemudian kumpulan objek matematika lain ditemukan di mana operasi serupa dapat dilakukan: deret pangkat formal, fungsi kontinu... Akhirnya, muncul pemahaman bahwa jika Anda mempelajari sifat-sifat operasi itu sendiri, maka hasilnya kemudian dapat diterapkan ke semua kumpulan objek ini (pendekatan ini umum untuk semua matematika modern).

Hasilnya, muncul konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Aturan mendasar di sini adalah aturan (disebut aksioma), yang tunduk pada tindakan, dan bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat baru abstraksi!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Kita akan merumuskan aksioma-aksioma ring (yang tentunya serupa dengan aturan pengoperasian bilangan bulat), dan kemudian membuktikan bahwa pada ring mana pun, mengalikan minus dengan minus akan menghasilkan plus.

Cincin adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

penjumlahan elemen gelanggang bersifat komutatif ( SEBUAH + B = B + SEBUAH untuk elemen apa pun A Dan B) dan asosiatif ( SEBUAH + (B + C) = (A + B) + C) hukum; pada ring terdapat elemen khusus 0 (elemen netral dengan penjumlahan) sedemikian rupa sehingga SEBUAH+0=SEBUAH, dan untuk elemen apa pun A ada elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)), Apa SEBUAH + (–SEBUAH) = 0 ;
perkalian mematuhi hukum kombinasional: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan tanda kurung buka sebagai berikut: (A + B) C = AC + B C Dan A (B + C) = A B + AC .

Perhatikan bahwa cincinnya paling banyak desain umum, tidak memerlukan komutabilitas perkalian, atau reversibilitasnya (yaitu, Anda tidak selalu dapat membagi), atau keberadaan unit - elemen netral dalam perkalian. Jika kita memperkenalkan aksioma ini, kita mendapatkan struktur aljabar yang berbeda, tetapi di dalamnya semua teorema yang dibuktikan untuk gelanggang akan benar.

Sekarang kami membuktikannya untuk elemen apa pun A Dan B dari cincin sembarang adalah benar, pertama, (–A) B = –(A B), dan kedua (–(–A)) = SEBUAH. Pernyataan tentang unit dengan mudah mengikuti dari ini: (–1) 1 = –(1 1) = –1 Dan (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Bahkan, biarkan elemennya A ada dua hal yang berlawanan: B Dan DENGAN. Itu adalah A + B = 0 = A + C. Mari kita pertimbangkan jumlahnya A+B+C. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita memperoleh bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan di sisi lain, itu sama C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Cara, B=C .

Sekarang mari kita perhatikan hal itu A, Dan (-(-A)) merupakan kebalikan dari unsur yang sama (-A), jadi keduanya harus setara.

Fakta pertama seperti ini: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, itu adalah (–A)·B di depan A·B, yang artinya sama –(AB) .

Agar lebih teliti secara matematis, mari kita jelaskan alasannya 0·B = 0 untuk elemen apa pun B. Memang, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Artinya, penambahan 0·B tidak mengubah jumlahnya. Artinya hasil kali ini sama dengan nol.

Dan fakta bahwa ada tepat satu angka nol di dalam ring (bagaimanapun juga, aksioma mengatakan bahwa elemen seperti itu ada, tetapi tidak ada yang dikatakan tentang keunikannya!), akan kami serahkan kepada pembaca sebagai latihan sederhana.

Dijawab: Evgeniy Epifanov

Tampilkan komentar (37)

Ciutkan komentar (37)

Jawaban yang bagus. Tapi untuk level siswa baru SMA. Menurut saya hal ini dapat dijelaskan dengan lebih sederhana dan jelas dengan menggunakan contoh rumus “jarak = kecepatan * waktu” (kelas 2).

Katakanlah kita sedang berjalan di sepanjang jalan, sebuah mobil menyusul kita dan mulai menjauh. Waktu semakin bertambah - dan jarak ke sana semakin bertambah. Kami akan menganggap kecepatan mesin tersebut positif; misalnya, 10 meter per detik. Ngomong-ngomong, berapa kilometer per jamnya? 10/1000(km)*60(detik)*60(menit)= 10*3,6 = 36 km/jam. Sedikit. Mungkin jalannya buruk...

Namun mobil yang datang ke arah kami tidak menjauh, melainkan mendekat. Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk menganggap kecepatannya negatif. Misalnya -10 m/detik. Jaraknya berkurang: 30, 20, 10 meter ke mobil yang melaju. Setiap detik minus 10 meter. Sekarang jelas kenapa kecepatannya minus? Jadi dia terbang melewatinya. Berapa jaraknya dalam satu detik? Benar, -10 meter, mis. "10 meter di belakang."

Di sini kami telah menerima pernyataan pertama. (-10 m/detik) * (1 detik) = -10 m.
Minus (kecepatan negatif) ditambah (waktu positif) menghasilkan minus (jarak negatif, mobil di belakang saya).

Dan sekarang perhatian - minus ke minus. Di manakah mobil yang melaju sedetik SEBELUM lewat? (-10 m/detik) * (- 1 detik) = 10 m.
Minus (kecepatan negatif) dikurangi (waktu negatif) = plus (jarak positif, mobil berada 10 meter di depan hidung saya).

Apakah ini jelas, atau adakah yang tahu contoh yang lebih sederhana?

Menjawab

Ya, Anda bisa membuktikannya dengan lebih mudah! 5*2 diplot dua kali pada garis bilangan, in sisi positif, angka 5, lalu kita dapatkan angka 10. jika 2*(-5), maka kita hitung dua kali sesuai angka 5, tetapi sudah masuk sisi negatif, dan dapatkan angka (-10), sekarang bayangkan 2*(-5) sebagai
2*5*(-1)=-10, jawabannya ditulis ulang dari perhitungan sebelumnya, dan tidak diperoleh pada perhitungan ini. Artinya, jika suatu bilangan dikalikan (-1), terjadi inversi sumbu dua kutub numerik, mis. membalikkan polaritas. Apa yang kita anggap positif menjadi negatif dan sebaliknya. Sekarang (-2)*(-5), kita tuliskan sebagai (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), kesampingkan angka (-10), dan ubah polaritasnya dari sumbu, karena . kalikan dengan (-1), kita mendapat +10, saya tidak tahu apakah itu lebih mudah?

Menjawab

Saya pikir kamu benar. Saya hanya akan mencoba menunjukkan sudut pandang Anda lebih detail, karena... Saya melihat bahwa tidak semua orang memahami hal ini.
Minus artinya diambil. Jika 5 buah apel diambil dari Anda satu kali, maka pada akhirnya diambil 5 buah apel dari Anda, yang secara konvensional ditunjukkan dengan minus, yaitu. – (+5). Lagi pula, Anda perlu menunjukkan tindakannya. Jika 1 apel dipilih sebanyak 5 kali, maka pada akhirnya yang terpilih sama: – (+5). Pada saat yang sama, apel yang dipilih tidak menjadi imajiner, karena Hukum kekekalan materi belum dicabut. Apel yang positif akan diberikan kepada siapa pun yang mengambilnya. Artinya tidak ada bilangan imajiner, yang ada adalah gerak relatif suatu materi dengan tanda + atau -. Namun jika demikian, maka notasi: (-5) * (+1) = -5 atau (+5) * (-1) = -5 tidak mencerminkan kenyataan secara akurat, tetapi hanya menunjukkannya secara kondisional. Karena tidak ada bilangan imajiner, seluruh hasil kali selalu positif → “+” (5*1). Selanjutnya hasil perkalian positifnya dinegasikan artinya pengurangan → “- +” (5*1). Di sini minus tidak mengimbangi plus, namun meniadakannya dan menggantikannya. Kemudian pada akhirnya kita mendapatkan: -(5*1) = -(+5).
Untuk dua minus, Anda dapat menulis: “- -” (5*1) = 5. Tanda “- -” berarti “+”, yaitu. pengambilalihan para pengambil alih. Pertama-tama apel itu diambil dari Anda, dan kemudian Anda mengambilnya dari pelaku Anda. Hasilnya, semua apel tetap positif, tetapi seleksi tidak dilakukan karena revolusi sosial terjadi.
Secara umum, fakta bahwa negasi dari negasi menghilangkan negasi dan segala sesuatu yang dirujuk oleh negasi tersebut jelas bagi anak-anak dan tanpa penjelasan, karena Hal ini jelas. Anda hanya perlu menjelaskan kepada anak-anak apa yang telah dibingungkan oleh orang dewasa, sedemikian rupa sehingga mereka sendiri tidak dapat memahaminya. Dan kebingungannya terletak pada kenyataan bahwa alih-alih meniadakan tindakan tersebut, angka negatif malah diperkenalkan, yaitu. hal negatif. Jadi anak-anak bingung kenapa kalau dijumlahkan materi negatif ternyata jumlahnya negatif, yang cukup logis: (-5) + (-3) = -8, dan jika dikalikan materi negatif yang sama: (-5) * (-3) = 15 , tiba-tiba menjadi positif, yang tidak logis! Memang dengan materi negatif segala sesuatunya seharusnya terjadi sama seperti materi positif, hanya saja dengan tanda yang berbeda. Oleh karena itu, tampaknya lebih logis bagi anak-anak bahwa ketika materi negatif dikalikan, justru materi negatif yang harus dikalikan.
Namun di sini juga tidak semuanya lancar, karena untuk mengalikan materi negatif cukup satu bilangan saja yang menjadi negatif. Dalam hal ini salah satu faktor yang menunjukkan bukan kandungan materi, melainkan waktu pengulangan materi yang dipilih, selalu positif, karena kali tidak boleh negatif meskipun materi negatif (yang dipilih) diulangi. Oleh karena itu, pada saat mengali (membagi), lebih tepat meletakkan tanda di depan seluruh hasil perkalian (pembagian), yang telah kami tunjukkan di atas: “- +” (5*1) atau “- -” (5*1).
Dan agar tanda minus dianggap bukan sebagai tanda bilangan imajiner, yaitu. materi negatif, dan sebagai suatu tindakan, orang dewasa harus terlebih dahulu sepakat di antara mereka sendiri bahwa jika ada tanda minus di depan suatu bilangan, maka itu berarti tindakan negatif dengan suatu bilangan, yang selalu positif, dan bukan imajiner. Jika tanda minus berada di depan tanda yang lain, maka itu berarti tindakan negatif dengan tanda pertama, yaitu. mengubahnya menjadi sebaliknya. Maka semuanya akan terjadi secara alami. Kemudian Anda perlu menjelaskan hal ini kepada anak-anak dan mereka akan memahami dan mempelajarinya dengan sempurna. aturan yang jelas orang dewasa. Toh, kini seluruh peserta diskusi dewasa sebenarnya mencoba menjelaskan hal yang tak bisa dijelaskan, karena... Tidak ada penjelasan fisik untuk masalah ini, ini hanya sebuah konvensi, sebuah aturan. Namun menjelaskan abstraksi dengan abstraksi adalah sebuah tautologi.
Jika tanda minus meniadakan bilangan tersebut, maka itu adalah tindakan fisik, tetapi jika tanda tersebut meniadakan tindakan itu sendiri, maka itu hanyalah aturan bersyarat. Artinya, orang dewasa hanya sepakat bahwa jika seleksi ditolak, seperti dalam persoalan yang sedang dibahas, maka tidak ada seleksi, berapa kali pun! Pada saat yang sama, segala sesuatu yang Anda miliki tetap ada pada Anda, baik itu sekedar angka, baik itu hasil kali angka, mis. banyak upaya seleksi. Itu saja.
Jika ada yang tidak sependapat, maka dengan tenang pikirkan kembali. Lagi pula, contoh mobil yang memiliki kecepatan negatif dan waktu negatif satu detik sebelum pertemuan hanyalah aturan bersyarat yang terkait dengan sistem referensi. Dalam kerangka acuan lain, kecepatan dan waktu yang sama akan menjadi positif. Dan contoh kaca tampak dihubungkan dengan aturan dongeng, di mana nilai minus yang terpantul di cermin hanya bersyarat, tetapi tidak secara fisik sama sekali, menjadi nilai tambah.

Menjawab

Semuanya tampak jelas dengan kelemahan matematisnya. Namun secara bahasa, ketika ditanya pertanyaan negatif, bagaimana menjawabnya? Misalnya, saya selalu bingung dengan pertanyaan ini: “Apakah Anda mau teh?” Bagaimana saya bisa menjawab ini jika saya ingin teh? Tampaknya jika Anda mengatakan "Ya", maka mereka tidak akan memberi Anda teh (seperti + dan -), jika tidak, maka mereka harus memberi Anda (- dan -), dan jika "Tidak, saya tidak mau ”???

Menjawab

Untuk menjawab pertanyaan kekanak-kanakan seperti itu, pertama-tama Anda perlu menjawab beberapa pertanyaan orang dewasa: “Apa yang dimaksud dengan minus dalam matematika?” dan "Apa itu perkalian dan pembagian?" Sejauh yang saya pahami, di sinilah masalah dimulai, yang pada akhirnya mengarah pada dering dan omong kosong lainnya ketika menjawab pertanyaan kekanak-kanakan yang sederhana.

Menjawab

Jawabannya jelas bukan untuk anak sekolah biasa!
Di sekolah dasar, saya membaca buku yang bagus - tentang Dwarfisme dan Al-Jebra, dan mungkin di lingkaran matematika mereka memberi contoh - mereka memakainya sisi yang berbeda tanda sama dengan dua orang dengan apel yang berbeda warna dan menawarkan untuk saling memberi apel. Kemudian tanda-tanda lain ditempatkan di antara para peserta permainan - plus, minus, lebih banyak, lebih sedikit.

Menjawab

Jawabannya kekanak-kanakan ya??))
Mungkin terdengar kejam, tapi penulis sendiri tidak mengerti kenapa minus di atas minus memberi nilai plus :-)
Segala sesuatu di dunia ini dapat dijelaskan secara visual, karena abstraksi diperlukan hanya untuk menjelaskan dunia. Mereka terikat pada kenyataan, dan tidak hidup sendiri dalam buku-buku delusi.
Meskipun untuk penjelasannya Anda setidaknya perlu mengetahui fisika dan terkadang biologi, ditambah dengan dasar-dasar neurofisiologi manusia.

Namun demikian, bagian pertama memberi harapan untuk dipahami, dan dengan jelas menjelaskan perlunya bilangan negatif.
Tapi yang kedua secara tradisional terjerumus ke dalam skizofrenia. A dan B - ini pasti benda nyata! jadi mengapa memanggil mereka dengan huruf-huruf ini ketika Anda dapat mengambil, misalnya, sepotong roti atau apel
Jika.. jika itu mungkin... ya?))))))

Dan... bahkan menggunakan dasar yang tepat dari bagian pertama (perkalian itu sama dengan penjumlahan) - dengan minus kita mendapatkan kontradiksi))
-2 + -2 = -4
Tetapi
-2 * -2 =+4))))
dan kalaupun kita anggap ini minus dua, diambil minus dua kali, ternyata
-2 -(-2) -(-2) = +2

Patut diakui secara sederhana bahwa karena angka-angka tersebut bersifat maya, maka untuk penghitungan yang relatif benar kita harus membuat aturan virtual.
Dan ini akan menjadi KEBENARAN, dan bukan omong kosong.

Menjawab

Dalam contohnya, Academon membuat kesalahan:
Faktanya, (-2)+(-2) = (-4) adalah 2 kali (-2), yaitu (-2) * 2 = (-4).
Sedangkan untuk mengalikan dua bilangan negatif, tanpa pertentangan, merupakan penjumlahan yang sama, hanya saja di sisi lain “0” pada garis bilangan. Yaitu:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Jadi semuanya dijumlahkan.
Nah, mengenai realitas bilangan negatif, bagaimana Anda menyukai contoh ini?
Jika saya mempunyai, katakanlah, $1000 di saku saya, suasana hati saya bisa disebut “positif.”
Jika $0, maka keadaannya adalah “tidak ada”.
Bagaimana jika (-1000)$ adalah hutang yang harus dilunasi, tetapi tidak ada uang...?

Menjawab

Minus untuk minus - akan selalu ada nilai tambah,
Mengapa ini terjadi, saya tidak bisa mengatakannya.

Mengapa -na-=+ membingungkan saya di sekolah, di kelas 7 (1961). Saya mencoba menemukan aljabar lain yang lebih “adil”, di mana +na+=+, dan -na-=-. Bagiku itu akan lebih jujur. Lalu apa yang harus dilakukan dengan +na- dan -na+? Saya tidak ingin kehilangan komutatifitas xy=yx, tetapi tidak ada cara lain.
Bagaimana jika yang diambil bukan 2 tanda melainkan tiga, misalnya +, - dan *. Sama dan simetris.

TAMBAHAN
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) tidak dijumlahkan(!), seperti bagian real dan imajiner suatu bilangan kompleks.
Tapi untuk itu (+a)+(-a)+(*a)=0.

Misalnya, (+6)+(-4)+(*2) sama dengan apa?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Memang tidak mudah, tapi Anda bisa membiasakannya.

Sekarang MULTIPLIKASI.
Mari kita mempostulatkan:
+na+=+ -na-=- *na*=* (adil?)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (adil!)
Tampaknya semuanya baik-baik saja, tetapi perkalian tidak bersifat asosiatif, mis.
a(bc) tidak sama dengan (ab)c.

Dan jika demikian
+pada+=+ -pada-=* *pada*=-
+na-=-na+=- +na*=*na+=* -na*=*na-=+
Sekali lagi tidak adil, + dianggap istimewa. TAPI ALJABAR BARU dengan tiga tanda telah lahir. Komutatif, asosiatif dan distributif. Ini memiliki interpretasi geometris. Itu isomorfik Bilangan kompleks. Itu dapat diperluas lebih jauh: empat karakter, lima...
Ini belum pernah terjadi sebelumnya. Ambillah, teman-teman, gunakanlah.

Menjawab

Pertanyaan seorang anak pada umumnya adalah jawaban seorang anak.
Ada dunia kita di mana segala sesuatunya “plus”: apel, mainan, kucing dan anjing, semuanya nyata. Anda bisa makan apel, Anda bisa memelihara kucing. Dan ada juga dunia khayalan, sebuah cermin. Ada juga apel dan mainan di sana, melalui kaca kita bisa membayangkannya, tapi kita tidak bisa menyentuhnya - semuanya dibuat-buat. Kita bisa berpindah dari satu dunia ke dunia lain menggunakan tanda minus. Jika kita memiliki dua apel asli (2 apel), dan kita memberi tanda minus (-2 apel), kita akan mendapatkan dua apel imajiner melalui kaca mata. Tanda minus membawa kita dari satu dunia ke dunia lain, bolak-balik. Tidak ada apel cermin di dunia kita. Kita bisa membayangkan jumlahnya sangat banyak, bahkan satu juta (dikurangi satu juta apel). Tapi Anda tidak akan bisa memakannya, karena kami tidak punya apel minus, semua apel di toko kami adalah apel plus.
Mengalikan artinya menyusun beberapa benda menjadi persegi panjang. Mari kita ambil dua titik ":" dan mengalikannya dengan tiga, kita mendapatkan: ": : :" - total enam titik. Anda dapat mengambil apel asli (+I) dan mengalikannya dengan tiga, kita mendapatkan: “+YAYA” - tiga apel asli.
Sekarang mari kita kalikan apelnya dengan minus tiga. Kita akan kembali mendapatkan tiga apel "+YAYA", tetapi tanda minus akan membawa kita ke kaca tampak, dan kita akan mendapatkan tiga apel kaca (dikurangi tiga apel -YAYA).
Sekarang mari kalikan minus apel (-I) dengan minus tiga. Artinya, kita ambil sebuah apel, dan jika di depannya ada minus, kita pindahkan ke kaca tampak. Di sana kita mengalikannya dengan tiga. Sekarang kita punya tiga buah apel kaca! Namun ada satu kelemahan lagi. Dia akan memindahkan apel yang diterima kembali ke dunia kita. Hasilnya, kami mendapatkan tiga nyata apel yang lezat+YAYA yang bisa ditelan.

Menjawab

Semuanya baik-baik saja sampai langkah terakhir. Jika dikalikan dengan minus satu dari tiga apel cermin, kita harus memantulkan apel tersebut di cermin lain. Lokasinya akan sama dengan lokasi aslinya, tetapi lokasinya sama imajinernya dengan cermin pertama dan sama tidak dapat dimakannya. Yaitu (-1)*(-1)= --1<> 1.
Sebenarnya saya bingung dengan poin lain terkait perkalian bilangan negatif, yaitu:
Apakah persamaannya benar:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Pertanyaan ini muncul dari upaya memahami perilaku grafik fungsi y=x^n, di mana x dan n adalah bilangan real.
Ternyata grafik fungsi tersebut akan selalu terletak pada kuarter ke-1 dan ke-3, kecuali jika n genap. Dalam hal ini, hanya kelengkungan grafik yang berubah. Tetapi paritas n adalah nilai relatif, karena kita dapat mengambil sistem referensi lain, dimana n = 1,1*k, maka kita peroleh
kamu = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
dan paritas di sini akan berbeda...
Dan sebagai tambahan, saya mengusulkan untuk menambahkan argumen apa yang terjadi pada grafik fungsi y = x^(1/n). Saya berasumsi, bukan tanpa alasan, bahwa grafik fungsi tersebut harus simetris terhadap grafik y = x^n relatif terhadap grafik fungsi y = x.

Menjawab

Ada beberapa cara untuk menjelaskan aturan “minus untuk minus memberi plus.” Perkalian secara alami. bilangan n adalah regangan ruas (terletak pada sumbu bilangan) sebanyak n kali. Perkalian dengan -1 mencerminkan ruas tersebut relatif terhadap titik asal. Sebagai penjelasan singkat mengapa (-1)*(-1) = +1, metode ini cocok. Hambatan dari pendekatan ini adalah perlunya menentukan jumlah operator tersebut secara terpisah.

Menjawab

Anda bisa menjelaskannya dari bilangan kompleks
sebagai bentuk representasi angka yang lebih umum
Bentuk trigonometri bilangan kompleks
rumus Euler
Tanda dalam hal ini hanyalah argumen (sudut putaran)
Saat mengalikan, sudut ditambahkan
0 derajat sama dengan +
180 derajat sama dengan -
Mengalikan - dengan - setara dengan 180+180=360=0

Menjawab

Akankah ini berhasil?

Penyangkalan adalah kebalikannya. Untuk mempermudah, untuk sementara waktu menjauh dari minus, kami akan mengganti pernyataan dan membuat titik awalnya lebih besar. Mari kita mulai menghitung bukan dari nol, tapi dari 1000.

Katakanlah dua orang berhutang dua rubel kepada saya: 2_orang*2_rubel=4_rubel berhutang total kepada saya. (saldo saya 1004)

Sekarang inversnya (bilangan negatif, tetapi pernyataan invers/positif):

minus 2 orang = artinya mereka tidak berhutang padaku, tapi aku berhutang (aku berhutang lebih banyak pada orang daripada mereka berhutang padaku). Misalnya, saya berhutang pada 10 orang, tetapi saya hanya berhutang 8. Perhitungan timbal balik dapat dikurangi dan tidak diperhitungkan, tetapi Anda dapat mengingat hal ini jika lebih nyaman bekerja dengan bilangan positif. Artinya, setiap orang saling memberi uang.

dikurangi 2 rubel = prinsip serupa - Anda harus mengambil lebih dari yang Anda berikan. Jadi saya berhutang dua rubel kepada semua orang.

-(2_orang)*2_rubel=I_ow_2_ke masing-masing_=-4 dari saya. Saldo saya adalah 996 rubel.

2_orang*(-2_rubel) = dua_harus_mengambil_2_rubel_dari_saya=- 4 dari saya. Saldo saya adalah 996 rubel.

-(2_orang)*(-2_rubel) = semua orang_harus_mengambil_dari_saya_kurang_than_harus_memberi_oleh_2_rubel

Secara umum, jika Anda membayangkan semuanya berputar bukan di sekitar 0, tetapi di sekitar, misalnya, 1000, dan mereka membagikan uang dalam 10 kelipatan, mengambil 8 kelipatan, maka Anda dapat secara konsisten melakukan semua operasi pemberian uang kepada seseorang atau mengambilnya, dan sampai pada kesimpulan bahwa jika dua tambahan (kami akan mengurangi sisanya dengan saling mengimbangi) akan mengambil dua rubel lebih sedikit dari saya daripada pengembaliannya, maka kesejahteraan saya akan meningkat dengan angka positif 4.

Menjawab

Untuk mencari jawaban SEDERHANA (dapat dimengerti oleh seorang anak) atas pertanyaan yang diajukan (“Mengapa minus pada minus memberi nilai plus”), saya dengan cermat membaca artikel yang diajukan oleh penulis dan semua komentar. Saya menganggap jawaban yang paling sukses adalah jawaban yang disertakan dalam prasasti: “Musuh dari musuhku adalah temanku.” Jauh lebih jelas! Sederhana dan brilian!

Seorang pengelana tiba di sebuah pulau, yang penduduknya hanya mengetahui satu hal: beberapa dari mereka hanya mengatakan kebenaran, yang lain hanya berbohong. Secara lahiriah, tidak mungkin membedakannya. Pelancong mendarat di pantai dan melihat jalan. Dia ingin tahu apakah jalan ini menuju ke kota. Melihat di jalan penduduk setempat, dia menanyakan SATU pertanyaan kepadanya, memungkinkan dia mengetahui bahwa jalan itu mengarah ke kota. Bagaimana dia menanyakan hal ini?

Solusinya ada tiga baris di bawah ini (hanya untuk berhenti sejenak dan memberi Anda orang dewasa kesempatan untuk berhenti sejenak dan memikirkan tentang masalah yang luar biasa ini!) Cucu lelaki saya yang duduk di kelas tiga menganggap masalahnya agak terlalu berat baginya, tetapi memahami jawabannya pasti membawanya. lebih dekat untuk memahami kebijaksanaan matematika masa depan seperti “minus untuk minus memberi plus.”

Jadi jawabannya adalah:

“Jika saya bertanya apakah jalan ini mengarah ke kota, apa yang akan Anda katakan kepada saya?”

Penjelasan “aljabar” tidak dapat menggoyahkan kecintaan saya yang besar kepada ayah saya atau rasa hormat saya yang mendalam terhadap ilmu pengetahuannya. Tapi saya selamanya membenci metode aksiomatik dengan definisinya yang tidak termotivasi.

Menariknya, jawaban I.V. Arnold terhadap pertanyaan seorang anak ini secara praktis bertepatan dengan penerbitan bukunya “Bilangan Negatif dalam Kursus Aljabar”. Di sana (di Bab 7) diberikan jawaban yang sama sekali berbeda, menurut saya, sangat jelas. Buku tersedia di dalam format elektronik http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Menjawab

Jika ada paradoks, Anda perlu mencari kesalahan fundamentalnya. Ada tiga kesalahan dalam perumusan perkalian. Dari sinilah “paradoks” itu berasal. Anda hanya perlu menambahkan angka nol.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Perkalian adalah penjumlahan (atau pengurangan) nol secara berulang-ulang.

Pengali (4) menunjukkan banyaknya operasi penjumlahan atau pengurangan (jumlah tanda minus atau plus saat menguraikan perkalian menjadi penjumlahan).

Tanda minus dan plus untuk pengali (4) menunjukkan pengurangan pengali dari nol atau menjumlahkan pengali ke nol.

Dalam contoh khusus ini, (-4) menunjukkan bahwa Anda perlu mengurangi ("-") dari nol perkalian (-3) empat kali (4).

Perbaiki kata-katanya (tiga kesalahan logis). Tambahkan saja angka nol. Aturan aritmatika tidak akan berubah karena hal ini.

Detail lebih lanjut tentang topik ini di sini:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Apa kebiasaan mempercayai buku teks secara mekanis? Anda juga harus memiliki otak Anda sendiri. Apalagi jika ada paradoks, titik buta, kontradiksi yang nyata-nyata. Semua ini merupakan konsekuensi dari kesalahan teori.

Tidak mungkin menguraikan hasil kali dua bilangan negatif menjadi suku-suku, menurut rumusan perkalian saat ini (tanpa nol). Apakah ini tidak mengganggu siapa pun?

Rumus perkalian macam apa yang membuat perkalian tidak mungkin dilakukan? :)

Masalahnya juga murni psikologis. Kepercayaan buta pada pihak berwenang, keengganan untuk berpikir sendiri. Jika buku teks mengatakan demikian, jika mereka mengajarkan demikian di sekolah, maka inilah kebenaran hakiki. Segalanya berubah, termasuk sains. Kalau tidak, tidak akan ada perkembangan peradaban.

Perbaiki susunan kata perkalian pada semua buku pelajaran! Aturan aritmatika tidak akan berubah karena hal ini.

Selain itu, sebagai berikut dari artikel terkait di atas, rumusan perkalian yang dikoreksi akan serupa dengan rumusan pangkat. Di sana juga, mereka tidak menuliskan satuannya jika dipangkatkan positif. Namun, satu ditulis ketika suatu bilangan dipangkatkan negatif.

Tuan-tuan matematika ibumu, kalian harus selalu menuliskan angka nol dan satu, meskipun hasilnya tidak berubah karena ketidakhadirannya.

Arti entri yang disingkat berubah (atau bahkan hilang). Dan anak-anak sekolah memiliki masalah dalam pemahaman.

Menjawab

Tulis komen

Minus dan plus merupakan tanda bilangan negatif dan positif dalam matematika. Mereka berinteraksi dengan diri mereka sendiri secara berbeda, jadi ketika melakukan operasi apa pun dengan angka, misalnya pembagian, perkalian, pengurangan, penjumlahan, dll., perlu diperhitungkan aturan tanda tangan. Tanpa aturan-aturan ini, Anda tidak akan pernah bisa menyelesaikan masalah aljabar atau geometri yang paling sederhana sekalipun. Tanpa mengetahui aturan-aturan ini, Anda tidak hanya dapat mempelajari matematika, tetapi juga fisika, kimia, biologi, dan bahkan geografi.

Mari kita lihat lebih dekat aturan dasar tanda.

Divisi.

Jika kita membagi “plus” dengan “minus”, kita selalu mendapatkan “minus”. Jika kita membagi “minus” dengan “plus”, kita selalu mendapat “minus” juga. Jika kita membagi “plus” dengan “plus”, kita mendapatkan “plus”. Jika kita membagi “minus” dengan “minus”, maka anehnya kita juga mendapatkan “plus”.

Perkalian.

Jika kita mengalikan “minus” dengan “plus”, kita selalu mendapatkan “minus”. Jika kita mengalikan “plus” dengan “minus”, kita selalu mendapatkan “minus” juga. Jika kita mengalikan “plus” dengan “plus”, kita mendapatkan bilangan positif, yaitu “plus”. Hal yang sama berlaku untuk dua bilangan negatif. Jika kita mengalikan "minus" dengan "minus", kita mendapatkan "plus".

Pengurangan dan penambahan.

Mereka didasarkan pada prinsip-prinsip yang berbeda. Jika suatu bilangan negatif lebih besar nilai absolutnya daripada bilangan positif kita, maka hasilnya tentu saja negatif. Pasti Anda bertanya-tanya apa itu modul dan mengapa modul itu ada di sini. Semuanya sangat sederhana. Modulus adalah nilai suatu bilangan, tetapi tanpa tanda. Misalnya -7 dan 3. Modulo -7 akan menjadi 7, dan 3 akan tetap menjadi 3. Hasilnya, kita melihat bahwa 7 lebih besar, yaitu ternyata bilangan negatif kita lebih besar. Jadi hasilnya -7+3 = -4. Ini bisa dibuat lebih sederhana. Taruh saja dulu nomor positif, dan akan keluar 3-7 = -4, mungkin ini lebih jelas bagi seseorang. Pengurangan bekerja dengan prinsip yang persis sama.

Mengapa minus dikali minus menghasilkan plus?

- (1 batang) - (2 batang) = ((1 batang)+(2 batang))= 2 batang (Dan dua batang sama + karena ada 2 batang pada satu tiang)))

Minus on minus memberi nilai plus karena ini peraturan sekolah. Pada saat ini Menurut saya, tidak ada jawaban pasti kenapa. Ini adalah aturannya dan sudah ada selama bertahun-tahun. Anda hanya perlu mengingat bahwa sliver demi sliver memberikan jepitan.

Dari pelajaran matematika sekolah kita mengetahui bahwa minus dikalikan minus menghasilkan plus. Ada juga penjelasan yang disederhanakan dan lucu tentang aturan ini: minus adalah satu baris, dua minus adalah dua baris, plus terdiri dari dua baris. Oleh karena itu, minus demi minus memberikan tanda plus.

Saya kira seperti ini: minus adalah tongkat - tambahkan tongkat minus lainnya - maka Anda mendapatkan dua tongkat, dan jika Anda menghubungkannya secara melintang, Anda mendapatkan tanda +, inilah yang saya katakan tentang pendapat saya tentang pertanyaan: minus demi minus plus .

Minus untuk minus tidak selalu menghasilkan nilai plus, bahkan dalam matematika. Namun pada dasarnya saya membandingkan pernyataan ini dengan matematika, yang paling sering muncul. Mereka juga mengatakan mereka menjatuhkannya dengan linggis - Saya juga mengaitkan ini dengan kerugian.

Bayangkan Anda meminjam 100 rubel. Sekarang skor Anda: -100 rubel. Kemudian Anda melunasi hutang ini. Jadi ternyata Anda sudah mengurangi (-) hutang Anda (-100) dengan jumlah uang yang sama. Kita peroleh: -100-(-100)=0

Tanda minus menunjukkan kebalikannya: kebalikan dari 5 adalah -5. Tapi -(-5) adalah kebalikan dari bilangan yang berlawanan, yaitu 5.

Seperti dalam lelucon:

1 -Di mana kamu di sini? sisi yang berlawanan jalanan?

ke-2 - di sisi lain

1 - dan mereka mengatakan itu pada ini...

Bayangkan sebuah timbangan dengan dua mangkuk. Yang selalu ada tanda plus di mangkuk kanannya, selalu ada tanda minus di mangkuk kirinya. Nah, mengalikan dengan angka yang bertanda plus berarti terjadi pada mangkuk yang sama, dan mengalikan dengan angka yang bertanda minus berarti hasilnya dipindahkan ke mangkuk lain. Contoh. Kita kalikan 5 apel dengan 2. Kita mendapat 10 apel di mangkuk kanan. Kita kalikan - 5 apel dengan 2, dan dapatkan 10 apel di mangkuk kiri, yaitu -10. Sekarang kalikan -5 dengan -2. Artinya 5 buah apel di mangkuk kiri dikalikan 2 dan dipindahkan ke mangkuk kanan, jadi jawabannya 10. Menariknya, mengalikan plus dengan minus, yaitu apel di mangkuk kanan, hasilnya negatif. , yaitu apel bergerak ke kiri. Dan mengalikan apel kiri minus dengan plus akan menyisakan minus, di mangkuk kiri.

Menurut saya hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut. Jika lima buah apel dimasukkan ke dalam lima keranjang, maka jumlah buahnya adalah 25 buah apel. Di keranjang. Dan minus lima buah apel berarti saya tidak melaporkannya, tetapi mengeluarkannya dari masing-masing lima keranjang. dan ternyata 25 apel sama, tapi tidak di keranjang. Oleh karena itu, keranjang menjadi minus.

Hal ini juga dapat ditunjukkan secara sempurna dengan contoh berikut. Jika kebakaran mulai terjadi di rumah Anda, ini adalah kerugiannya. Namun jika Anda juga lupa mematikan keran di bak mandi, dan terjadi banjir, maka ini juga minusnya. Tapi ini terpisah. Namun jika semuanya terjadi dalam waktu bersamaan, maka minus demi minus memberi nilai plus, dan apartemen Anda berpeluang bertahan.

instruksi

Ada empat jenis operasi matematika: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Oleh karena itu, akan ada empat jenis contoh. Angka negatif dalam contoh disorot agar tidak membingungkan operasi matematika. Misalnya, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) atau 34:(-17).

Tambahan. Tindakan ini dapat terlihat seperti: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Tindakan penggantian: pertama, tanda kurung dibuka, tanda “+” diubah menjadi sebaliknya, kemudian dari angka (modulo) yang lebih besar “6” dikurangi angka yang lebih kecil, “3”, setelah itu jawabannya diberikan tanda yang lebih besar, yaitu “-”.
2) -3+6=3. Ini dapat ditulis menurut prinsip ("6-3") atau menurut prinsip "kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar dan berikan tanda yang lebih besar pada jawabannya."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Saat pembukaan, tindakan penjumlahan diganti dengan pengurangan, kemudian modul-modul dijumlahkan dan hasilnya diberi tanda minus.

Pengurangan.1) 8-(-5)=8+5=13. Tanda kurung dibuka, tanda tindakan dibalik, dan diperoleh contoh penjumlahan.
2) -9-3=-12. Elemen contoh ditambahkan dan diperoleh tanda umum "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Saat membuka tanda kurung, tandanya berubah lagi menjadi “+”, lalu bilangan yang lebih kecil dikurangkan dari bilangan yang lebih besar dan tanda bilangan yang lebih besar dihilangkan dari jawabannya.

Perkalian dan pembagian: Saat melakukan perkalian atau pembagian, tanda tidak mempengaruhi operasi itu sendiri. Saat mengalikan atau membagi angka dengan jawabannya, diberi tanda “minus”; jika angka-angka tersebut memiliki tanda yang sama, hasilnya selalu memiliki tanda “plus” 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Sumber:

meja dengan kontra

Bagaimana cara memutuskan contoh? Anak-anak sering bertanya kepada orang tuanya dengan pertanyaan ini apakah pekerjaan rumah perlu dikerjakan di rumah. Bagaimana cara menjelaskan dengan benar kepada seorang anak penyelesaian contoh penjumlahan dan pengurangan bilangan multi-digit? Mari kita coba mencari tahu.

Anda akan perlu

1. Buku teks matematika.
2. Kertas.
3. Menangani.

instruksi

Baca contohnya. Untuk melakukan ini, bagilah setiap multinilai ke dalam kelas-kelas. Mulai dari akhir bilangan, hitung tiga angka sekaligus dan beri titik (23.867.567). Mari kita ingat bahwa tiga digit pertama dari akhir bilangan adalah satuan, tiga digit berikutnya adalah kelas, lalu jutaan. Kita membaca nomornya: dua puluh tiga delapan ratus enam puluh tujuh ribu enam puluh tujuh.

Tuliskan sebuah contoh. Harap dicatat bahwa satuan setiap digit ditulis tepat di bawah satu sama lain: satuan di bawah satuan, puluhan di bawah puluhan, ratusan di bawah ratusan, dll.

Lakukan penjumlahan atau pengurangan. Mulailah melakukan aksi dengan unit. Tuliskan hasilnya di bawah kategori yang Anda gunakan untuk melakukan tindakan tersebut. Jika hasilnya adalah bilangan(), maka kita tuliskan satuan sebagai pengganti jawabannya, dan tambahkan bilangan puluhan pada satuan digit tersebut. Jika jumlah satuan digit mana pun di minuend lebih kecil daripada di pengurang, kita ambil 10 satuan digit berikutnya dan melakukan tindakan.

Baca jawabannya.

Video tentang topik tersebut

catatan

Larang anak Anda menggunakan kalkulator bahkan untuk memeriksa penyelesaian dengan sebuah contoh. Penjumlahan diuji dengan pengurangan, dan pengurangan diuji dengan penjumlahan.

Saran yang bermanfaat

Jika seorang anak menguasai teknik perhitungan tertulis dalam 1000, maka operasi dengan bilangan multi-digit yang dilakukan dengan cara analog tidak akan menimbulkan kesulitan.
Berikan anak Anda kompetisi untuk melihat berapa banyak contoh yang bisa dia pecahkan dalam 10 menit. Pelatihan semacam itu akan membantu mengotomatiskan teknik komputasi.

Perkalian adalah salah satu dari empat operasi matematika dasar yang mendasari banyak operasi lainnya fungsi yang kompleks. Faktanya, perkalian didasarkan pada operasi penjumlahan: pengetahuan tentang hal ini memungkinkan Anda menyelesaikan contoh apa pun dengan benar.

Untuk memahami esensi operasi perkalian, perlu diperhatikan bahwa ada tiga komponen utama yang terlibat di dalamnya. Salah satunya disebut faktor pertama dan merupakan bilangan yang dilakukan operasi perkalian. Karena alasan ini, ia memiliki nama kedua yang kurang umum - “dapat dikalikan”. Komponen kedua dari operasi perkalian biasanya disebut faktor kedua: komponen ini mewakili bilangan yang digunakan untuk mengalikan perkalian. Jadi, kedua komponen ini disebut pengganda, yang menekankan status kesetaraannya, serta fakta bahwa keduanya dapat ditukar: hasil perkaliannya tidak akan berubah. Terakhir, komponen ketiga dari operasi perkalian, yang dihasilkan dari hasilnya, disebut hasil kali.

Urutan operasi perkalian

Inti dari operasi perkalian didasarkan pada operasi aritmatika yang lebih sederhana -. Faktanya, perkalian adalah jumlah dari faktor pertama, atau perkalian, beberapa kali yang sesuai dengan faktor kedua. Misalnya, untuk mengalikan 8 dengan 4, Anda perlu menjumlahkan angka 8 sebanyak 4 kali sehingga menghasilkan 32. Cara ini selain memberikan pemahaman tentang esensi operasi perkalian, juga dapat digunakan untuk memeriksa hasil yang diperoleh. saat menghitung produk yang diinginkan. Harus diingat bahwa verifikasi tentu mengasumsikan bahwa istilah-istilah yang terlibat dalam penjumlahan adalah identik dan sesuai dengan faktor pertama.

Memecahkan contoh perkalian

Jadi, untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perlunya melakukan perkalian, mungkin cukup dengan menjumlahkan jumlah faktor pertama yang diperlukan beberapa kali. Metode ini nyaman untuk melakukan hampir semua perhitungan yang terkait dengan operasi ini. Pada saat yang sama, dalam matematika sering kali terdapat bilangan standar yang melibatkan bilangan bulat satu digit standar. Untuk memudahkan penghitungannya, apa yang disebut sistem perkalian telah dibuat, yang mencakup daftar lengkap produk bilangan bulat positif satu digit, yaitu bilangan dari 1 hingga 9. Jadi, setelah Anda mempelajarinya, Anda dapat secara signifikan memudahkan proses penyelesaian contoh perkalian, berdasarkan penggunaan bilangan tersebut. Namun, untuk opsi yang lebih kompleks, operasi matematika ini perlu dilakukan sendiri.

Video tentang topik tersebut

Sumber:

Perkalian pada tahun 2019

Perkalian adalah salah satu dari empat operasi aritmatika dasar yang sering digunakan baik di sekolah maupun di sekolah Kehidupan sehari-hari. Bagaimana cara mengalikan dua angka dengan cepat?

Dasar dari perhitungan matematika yang paling rumit adalah empat operasi aritmatika dasar: pengurangan, penjumlahan, perkalian dan pembagian. Selain itu, meskipun independen, operasi-operasi ini, jika diteliti lebih dekat, ternyata saling berhubungan. Ada hubungan seperti itu, misalnya, antara penjumlahan dan perkalian.

Operasi perkalian angka

Ada tiga elemen utama yang terlibat dalam operasi perkalian. Yang pertama, biasa disebut faktor pertama atau perkalian, adalah bilangan yang akan dilakukan operasi perkalian. Faktor kedua, disebut faktor kedua, adalah bilangan yang akan digunakan untuk mengalikan faktor pertama. Terakhir, hasil operasi perkalian yang dilakukan paling sering disebut perkalian.

Perlu diingat bahwa hakikat operasi perkalian sebenarnya didasarkan pada penjumlahan: untuk melaksanakannya, perlu menjumlahkan sejumlah faktor pertama, dan jumlah suku dari jumlah tersebut harus sama dengan yang kedua. faktor. Selain menghitung hasil perkalian kedua faktor tersebut, algoritma ini juga dapat digunakan untuk memeriksa hasil yang dihasilkan.

Contoh penyelesaian soal perkalian

Mari kita lihat solusi soal perkalian. Misalkan, menurut ketentuan soal, perlu menghitung hasil kali dua bilangan, yang faktor pertamanya adalah 8, dan faktor kedua adalah 4. Sesuai dengan definisi operasi perkalian, ini sebenarnya berarti Anda perlu menjumlahkan angka 8 sebanyak 4 kali. Hasilnya adalah 32 - ini adalah hasil kali dari angka-angka yang dimaksud, yaitu hasil perkaliannya.

Selain itu, harus diingat bahwa apa yang disebut hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian, yang menyatakan bahwa mengubah tempat faktor-faktor pada contoh awal tidak akan mengubah hasilnya. Jadi, Anda dapat menjumlahkan angka 4 sebanyak 8 kali, sehingga menghasilkan hasil kali yang sama - 32.

Tabel perkalian

Jelas untuk menyelesaikannya dengan cara ini sejumlah besar menggambar contoh dari jenis yang sama adalah tugas yang agak membosankan. Untuk memudahkan tugas ini, apa yang disebut perkalian diciptakan. Faktanya, ini adalah daftar produk bilangan bulat positif satu digit. Sederhananya, tabel perkalian adalah kumpulan hasil perkalian satu sama lain dari 1 sampai 9. Setelah Anda mempelajari tabel ini, Anda tidak perlu lagi menggunakan perkalian setiap kali Anda perlu menyelesaikan contohnya. bilangan prima, tapi ingat saja hasilnya.

Video tentang topik tersebut

1) Mengapa minus satu dikalikan dikurangi satu sama dengan ditambah satu?

2) Mengapa dikurangi satu dikalikan ditambah satu sama dengan dikurangi satu?

Musuh dari musuhku adalah temanku

Misalnya saja persamaannya 7x – 17 = 2x – 2. Hal ini dapat diselesaikan dengan cara ini: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya ke kanan, maka akan diperoleh 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan pengoperasian bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara lain, tanpa angka negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan pencarian solusi yang membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah suku yang banyak) di mana semua tindakan hanya dilakukan pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Hasilnya, muncul konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Aturan mendasar di sini adalah aturan (disebut aksioma), yang tunduk pada tindakan, dan bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat abstraksi baru!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Cincin adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

penjumlahan elemen gelanggang bersifat komutatif ( SEBUAH + B = B + SEBUAH untuk elemen apa pun A Dan B) dan asosiatif ( SEBUAH + (B + C) = (A + B) + C) hukum; ada elemen khusus di dalam ring 0 (elemen penjumlahan netral) sedemikian rupa SEBUAH+0=SEBUAH, dan untuk elemen apa pun A ada elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)), Apa SEBUAH + (–SEBUAH) = 0;
perkalian mematuhi hukum kombinasional: A·(B·C) = (A·B)·C;
Penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan tanda kurung buka sebagai berikut: (A + B) C = AC + B C Dan A (B + C) = A B + AC.

Perhatikan bahwa gelanggang, dalam konstruksi paling umum, tidak memerlukan komutabilitas perkalian, atau invertibilitasnya (yaitu, pembagian tidak selalu dapat dilakukan), atau keberadaan satuan - elemen netral dalam perkalian. Jika kita memperkenalkan aksioma ini, kita mendapatkan struktur aljabar yang berbeda, tetapi di dalamnya semua teorema yang dibuktikan untuk gelanggang akan benar.

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Bahkan, biarkan elemennya A ada dua hal yang berlawanan: B Dan DENGAN. Itu adalah A + B = 0 = A + C. Mari kita pertimbangkan jumlahnya A+B+C. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita memperoleh bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan di sisi lain, itu sama C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Cara, B=C.

Sekarang mari kita perhatikan hal itu A, Dan (-(-A)) merupakan kebalikan dari unsur yang sama (-A), jadi keduanya harus setara.

Fakta pertama seperti ini: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, itu adalah (–A)·B di depan A·B, yang artinya sama –(AB).