Piramida. Piramida terpotong

Piramida adalah polihedron yang salah satu wajahnya berbentuk poligon ( basis ), dan semua sisi lainnya adalah segitiga dengan titik sudut yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida itu disebut benar , jika alasnya berbentuk poligon beraturan dan bagian atas limas diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama panjang disebut segi empat .

Tulang rusuk samping piramida adalah sisi sisi muka yang tidak termasuk alasnya Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi lateral limas beraturan sama besar satu sama lain, semua sisi sisinya sama segitiga sama kaki. Tinggi sisi sisi limas beraturan yang ditarik dari puncaknya disebut apotema . Bagian diagonal disebut bagian piramida oleh sebuah bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Luas permukaan lateral piramida adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan total disebut jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah limas semua sisi lateralnya mempunyai kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya.

2. Jika semua sisi sisi sebuah limas mempunyai panjang yang sama, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi dekat alasnya.

3. Jika semua muka dalam sebuah limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan tepat pada pusat lingkaran yang terdapat pada alasnya.

Untuk menghitung volume limas sembarang, rumus yang benar adalah:

Di mana V- volume;

basis S– daerah pangkalan;

H– tinggi piramida.

Untuk piramida beraturan, rumus berikut ini benar:

Di mana P– keliling dasar;

ha– apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

basis S– daerah pangkalan;

V– volume piramida biasa.

Piramida terpotong disebut bagian piramida yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas (Gbr. 17). Piramida terpotong biasa disebut bagian dari limas beraturan yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas.

Alasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping – trapesium. Tinggi piramida terpotong adalah jarak antara alasnya. Diagonal piramida terpotong adalah ruas yang menghubungkan simpul-simpulnya yang tidak terletak pada satu sisi. Bagian diagonal adalah bagian dari piramida yang terpotong oleh sebuah bidang yang melalui dua rusuk lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Untuk piramida terpotong rumus berikut ini valid:

(4)

Di mana S 1 , S 2 – area alas atas dan bawah;

S penuh– total luas permukaan;

sisi S– luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V– volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong beraturan, rumusnya benar:

Di mana P 1 , P 2 – keliling alasnya;

ha– apotema dari piramida terpotong beraturan.

Contoh 1. Pada limas segitiga beraturan, sudut dihedral pada alasnya adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping terhadap bidang alasnya.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).

Piramida beraturan, artinya pada alasnya terdapat segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya merupakan segitiga sama kaki yang sama besar. Sudut dihedral pada alasnya adalah sudut kemiringan sisi sisi limas terhadap bidang alasnya. Sudut linier adalah sudut A antara dua garis tegak lurus: dll. Bagian atas piramida diproyeksikan di tengah-tengah segitiga (pusat lingkaran luar dan lingkaran tertulis segitiga ABC). Sudut kemiringan tepi samping (misalnya S.B.) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya pada bidang alasnya. Untuk tulang rusuk S.B. sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI Dan O.B.. Biarkan panjang segmennya BD sama dengan 3 A. Dot TENTANG segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita temukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2. Hitunglah volume limas segi empat beraturan terpotong jika diagonal-diagonal alasnya sama dengan cm dan cm, dan tingginya 4 cm.

Larutan. Untuk mencari volume limas terpotong, kita menggunakan rumus (4). Untuk mencari luas alasnya, Anda perlu mencari sisi-sisi persegi alasnya, dengan mengetahui diagonalnya. Panjang sisi alasnya masing-masing sama dengan 2 cm dan 8 cm. Artinya luas alasnya dan dengan memasukkan semua data ke dalam rumus, kita menghitung volume limas yang terpotong:

Menjawab: 112cm3.

Contoh 3. Hitunglah luas sisi sisi piramida terpotong berbentuk segitiga beraturan yang panjang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tinggi limasnya 2 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).

Sisi samping piramida ini berbentuk trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Alasnya diberikan sesuai syarat, hanya saja tingginya masih belum diketahui. Kami akan menemukannya dari mana A 1 E tegak lurus dari suatu titik A 1 pada bidang alas bawah, A 1 D– tegak lurus dari A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, karena ini adalah tinggi limas. Mencari DE Mari kita buat gambar tambahan yang menunjukkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot TENTANG– proyeksi pusat alas atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain OKE– jari-jari tertulis dalam lingkaran dan OM– jari-jari tertulis dalam lingkaran:

MK = DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:

Menjawab:

Contoh 4. Di dasar piramida terdapat trapesium sama kaki, yang alasnya A Dan B (A> B). Setiap sisi sisinya membentuk sudut yang sama dengan bidang alas limas J. Temukan total luas permukaan piramida.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Total luas permukaan piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua permukaan limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka titik sudutnya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat di alasnya. Dot TENTANG– proyeksi titik S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang pangkalan. Dengan teorema luas proyeksi ortogonal angka datar yang kita peroleh:

Demikian juga maksudnya Jadi, masalahnya direduksi menjadi mencari luas trapesium ABCD. Mari menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot TENTANG– pusat lingkaran pada trapesium.

Karena sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium, maka atau Dari teorema Pythagoras kita punya

• 09.10.2014

  Preamplifier yang ditunjukkan pada gambar dirancang untuk digunakan dengan 4 jenis sumber suara, misalnya mikrofon, pemutar CD, radio, dll. Dalam hal ini, preamplifier memiliki satu input, yang dapat mengubah sensitivitas dari 50 mV menjadi 500 mV. tegangan keluaran penguat 1000mV. Menghubungkan sumber yang berbeda sinyal saat berpindah saklar SA1, kita selalu mendapatkan ...

• 20.09.2014

  Catu daya dirancang untuk beban 15…20 W. Sumbernya dibuat sesuai dengan rangkaian konverter frekuensi tinggi pulsa satu siklus. Transistor digunakan untuk merakit osilator mandiri yang beroperasi pada frekuensi 20…40 kHz. Frekuensi disesuaikan dengan kapasitansi C5. Elemen VD5, VD6 dan C6 membentuk rangkaian awal osilator. Di dalam sirkuit sekunder Setelah penyearah jembatan, terdapat penstabil linier konvensional pada sirkuit mikro, yang memungkinkan Anda memiliki ...

• 28.09.2014

  Gambar tersebut menunjukkan generator berdasarkan sirkuit mikro K174XA11, yang frekuensinya dikontrol oleh tegangan. Dengan mengubah kapasitansi C1 dari 560 menjadi 4700 pF, rentang frekuensi yang luas dapat diperoleh, sedangkan frekuensi disesuaikan dengan mengubah resistansi R4. Jadi, misalnya penulis menemukan bahwa, dengan C1 = 560pF, frekuensi generator dapat diubah menggunakan R4 dari 600Hz menjadi 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Unit ini dirancang untuk memberi daya pada ULF yang kuat, dirancang untuk tegangan keluaran ±27V dan beban hingga 3A di setiap lengan. Catu dayanya dua kutub, dibuat dari transistor komposit lengkap KT825-KT827. Kedua lengan stabilizer dibuat menurut rangkaian yang sama, tetapi di lengan lainnya (tidak diperlihatkan) polaritas kapasitor diubah dan transistor dari jenis yang berbeda digunakan...

adalah polihedron yang dibentuk oleh alas limas dan bagian yang sejajar dengannya. Dapat dikatakan bahwa piramida terpotong adalah piramida yang bagian atasnya terpotong. Angka ini memiliki banyak sifat unik:

• Sisi samping piramida berbentuk trapesium;
• Tepi lateral piramida terpotong beraturan memiliki panjang yang sama dan miring ke alas dengan sudut yang sama;
• Basisnya adalah poligon serupa;
• Pada limas terpotong beraturan, muka-mukanya adalah trapesium sama kaki yang identik, yang luasnya sama. Mereka juga cenderung ke pangkalan pada satu sudut.

Rumus luas permukaan lateral limas terpotong adalah jumlah luas sisi-sisinya:

Karena sisi-sisi piramida terpotong adalah trapesium, untuk menghitung parameternya Anda harus menggunakan rumus daerah trapesium. Untuk piramida terpotong biasa, Anda dapat menerapkan rumus berbeda untuk menghitung luasnya. Karena semua sisi, sisi, dan sudut alasnya sama besar, kita dapat menerapkan keliling alas dan apotema, serta menurunkan luas melalui sudut alas.

Jika, menurut kondisi piramida terpotong beraturan, diberikan apotema (tinggi sisi) dan panjang sisi alasnya, maka luasnya dapat dihitung melalui setengah hasil kali jumlah keliling piramida. dasar dan apotema:

Mari kita lihat contoh penghitungan luas permukaan lateral limas terpotong.
Diberikan piramida segi lima beraturan. Apotema aku= 5 cm, panjang rusuk pada alas besar adalah A= 6 cm, dan rusuknya berada pada alas yang lebih kecil B= 4 cm Hitung luas limas yang terpotong.

Pertama, kita cari keliling alasnya. Karena kita diberi piramida segi lima, kita memahami bahwa alasnya adalah segi lima. Artinya di alasnya ada angka lima sisi yang identik. Mari kita cari keliling alas yang lebih besar:

Dengan cara yang sama kita mencari keliling alas yang lebih kecil:

Sekarang kita bisa menghitung luas limas terpotong beraturan. Substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

Jadi, kami menghitung luas piramida terpotong beraturan melalui keliling dan apotema.

Cara lain untuk menghitung luas permukaan lateral limas beraturan adalah dengan rumus melalui sudut-sudut alas dan luas alas-alas tersebut.

Mari kita lihat contoh perhitungannya. Kami ingat itu rumus ini hanya berlaku untuk piramida terpotong biasa.

Misalkan diberikan piramida segi empat beraturan. Panjang rusuk alas bawah a = 6 cm dan rusuk alas atas b = 4 cm Sudut dihedral alas adalah β = 60°. Temukan luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan.

Pertama, mari kita hitung luas alasnya. Karena piramida itu beraturan, semua rusuk alasnya sama besar. Mengingat alasnya berbentuk segi empat, kami memahami bahwa perlu dilakukan perhitungan luas alun-alun. Ini adalah hasil kali lebar dan panjang, tetapi jika dikuadratkan, nilainya sama. Mari kita cari luas alas yang lebih besar:


Sekarang kita menggunakan nilai yang ditemukan untuk menghitung luas permukaan lateral.

Mengetahui beberapa rumus sederhana, kita dengan mudah menghitung luas trapesium lateral limas terpotong menggunakan berbagai nilai.

Pada pelajaran ini kita akan melihat piramida terpotong, mengenal piramida terpotong biasa, dan mempelajari sifat-sifatnya.

Mari kita mengingat kembali konsep piramida n-gonal dengan menggunakan contoh piramida segitiga. Segitiga ABC diberikan. Di luar bidang segitiga, diambil titik P yang terhubung dengan titik-titik sudut segitiga. Permukaan polihedral yang dihasilkan disebut piramida (Gbr. 1).

Beras. 1. Piramida segitiga

Mari kita potong piramida dengan bidang yang sejajar dengan bidang alas piramida. Bentuk yang diperoleh di antara bidang-bidang ini disebut piramida terpotong (Gbr. 2).

Beras. 2. Piramida terpotong

Elemen penting:

Basis atas;

Basis bawah ABC;

Sisi wajah;

Jika PH adalah tinggi limas asal, maka PH adalah tinggi limas terpotong.

Sifat-sifat piramida terpotong muncul dari cara pembuatannya, yaitu dari kesejajaran bidang-bidang alasnya:

Semua sisi sisi piramida terpotong adalah trapesium. Misalnya saja pada bagian tepinya. Ia memiliki sifat bidang sejajar (karena bidang tersebut sejajar, bidang tersebut memotong sisi sisi piramida AVR asli sepanjang garis lurus sejajar), tetapi pada saat yang sama bidang tersebut tidak sejajar. Jelasnya, segi empat adalah trapesium, seperti semua sisi samping piramida terpotong.

Perbandingan alasnya sama untuk semua trapesium:

Kita mempunyai beberapa pasang segitiga sebangun dengan koefisien kemiripan yang sama. Misalnya segitiga dan RAB sebangun karena kesejajaran bidang-bidangnya dan , koefisien kemiripan:

Pada saat yang sama, segitiga dan RVS sebangun dengan koefisien kemiripan:

Jelasnya, koefisien kesebangunan ketiga pasang segitiga sebangun adalah sama, sehingga perbandingan alasnya sama untuk semua trapesium.

Piramida terpotong beraturan adalah limas terpotong yang diperoleh dengan memotong limas beraturan dengan bidang yang sejajar dengan alasnya (Gbr. 3).

Beras. 3. Piramida terpotong beraturan

Definisi.

Piramida disebut beraturan jika alasnya adalah n-gon beraturan, dan puncaknya diproyeksikan ke pusat n-gon ini (pusat lingkaran bertulis dan dibatasi).

DI DALAM pada kasus ini Di dasar piramida terdapat sebuah persegi, dan puncaknya diproyeksikan pada titik potong diagonal-diagonalnya. Piramida terpotong segi empat beraturan yang dihasilkan memiliki ABCD - dasar bawah, - alas atas. Ketinggian piramida asli adalah RO, piramida terpotong adalah (Gbr. 4).

Beras. 4. Piramida terpotong segi empat beraturan

Definisi.

Tinggi limas terpotong adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik mana pun pada alas yang satu ke bidang alas yang kedua.

Apotema piramida asal adalah RM (M adalah titik tengah AB), apotema piramida terpotong adalah (Gbr. 4).

Definisi.

Apotema piramida terpotong adalah tinggi sisi mana pun.

Jelas bahwa semua sisi sisi piramida terpotong sama besar satu sama lain, yaitu sisi-sisinya adalah trapesium sama kaki.

Luas permukaan lateral limas terpotong beraturan sama dengan hasil kali setengah jumlah keliling alas dan apotema.

Bukti (untuk piramida terpotong segi empat biasa - Gambar 4):

Jadi, kita perlu membuktikan:

Luas permukaan samping di sini akan terdiri dari jumlah luas permukaan samping - trapesium. Karena trapesiumnya sama, kita mempunyai:

Luas trapesium sama kaki adalah hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya; apotema adalah tinggi trapesium. Kita punya:

Q.E.D.

Untuk piramida n-gonal:

Dimana n adalah jumlah sisi sisi piramida, a dan b adalah alas trapesium, dan merupakan apotema.

Sisi dasar piramida segi empat terpotong beraturan sama dengan 3 cm dan 9 cm, tinggi - 4 cm. Tentukan luas permukaan lateral.

Beras. 5. Ilustrasi soal 1

Larutan. Mari kita ilustrasikan kondisinya:

Ditanyakan oleh: , ,

Melalui titik O kita tarik garis lurus MN yang sejajar dengan kedua sisi alas bawah, demikian pula melalui titik tersebut kita tarik garis lurus (Gbr. 6). Karena bujur sangkar dan konstruksi pada alas limas terpotong sejajar, kita memperoleh trapesium yang sama dengan sisi-sisinya. Selain itu, sisinya akan melewati titik tengah tepi atas dan bawah sisi sisinya dan akan menjadi apotema dari piramida terpotong.

Beras. 6. Konstruksi tambahan

Mari kita perhatikan trapesium yang dihasilkan (Gbr. 6). Pada trapesium ini diketahui alas atas, alas bawah, dan tingginya. Anda perlu menemukan sisi yang merupakan apotema dari piramida terpotong tertentu. Mari kita menggambar tegak lurus terhadap MN. Dari titik tersebut kita turunkan tegak lurus NQ. Kami menemukan bahwa alas yang lebih besar dibagi menjadi segmen-segmen berukuran tiga sentimeter (). Perhatikan sebuah segitiga siku-siku, kaki-kakinya diketahui, ini segitiga Mesir, dengan menggunakan teorema Pythagoras kita menentukan panjang sisi miring: 5 cm.

Sekarang ada semua elemen untuk menentukan luas permukaan lateral limas:

Piramida tersebut berpotongan dengan bidang yang sejajar dengan alasnya. Buktikan, dengan menggunakan contoh limas segitiga, bahwa rusuk-rusuk lateral dan tinggi limas dibagi oleh bidang tersebut menjadi bagian-bagian yang proporsional.

Bukti. Mari kita ilustrasikan:

Beras. 7. Ilustrasi soal 2

Piramida RABC diberikan. PO - tinggi piramida. Piramida dipotong oleh bidang, diperoleh piramida terpotong, dan. Titik – titik potong tinggi RO dengan bidang alas limas terpotong. Hal ini perlu dibuktikan:

Kunci penyelesaiannya adalah sifat bidang sejajar. Dua bidang sejajar memotong bidang ketiga mana pun sehingga garis potongnya sejajar. Dari sini: . Paralelisme garis-garis yang bersesuaian menyiratkan adanya empat pasang segitiga sebangun:

Kesamaan segitiga mengikuti proporsionalitas sisi-sisi yang bersesuaian. Fitur Penting adalah koefisien kemiripan segitiga-segitiga ini adalah sama:

Q.E.D.

Piramida segitiga beraturan RABC yang tinggi dan sisi alasnya dipotong oleh sebuah bidang yang melalui titik tengah tinggi PH sejajar alas ABC. Temukan luas permukaan lateral piramida terpotong yang dihasilkan.

Larutan. Mari kita ilustrasikan:

Beras. 8. Ilustrasi soal 3

ACB adalah segitiga beraturan, H adalah pusat segitiga tersebut (pusat lingkaran bertulisan dan dibatasi). RM adalah apotema dari piramida tertentu. - apotema piramida terpotong. Berdasarkan sifat bidang sejajar (dua bidang sejajar memotong bidang ketiga mana pun sehingga garis perpotongannya sejajar), kita mempunyai beberapa pasang segitiga sebangun dengan koefisien kemiripan yang sama. Secara khusus, kami tertarik pada hubungan:

Ayo temukan NM. Ini adalah jari-jari lingkaran yang tertulis di alasnya, kita mengetahui rumus yang sesuai:

Sekarang dari segitiga siku-siku RNM menggunakan teorema Pythagoras kita menemukan RM - apotema piramida asli:

Dari rasio awal:

Sekarang kita mengetahui semua elemen untuk mencari luas permukaan lateral limas terpotong:

Jadi, kita berkenalan dengan konsep piramida terpotong dan piramida terpotong beraturan, memberikan definisi dasar, memeriksa sifat-sifat, dan membuktikan teorema luas permukaan lateral. Pelajaran berikutnya akan fokus pada pemecahan masalah.

Bibliografi

1. I.M.Smirnova, V.A.Smirnov. Geometri. Kelas 10-11 : buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (dasar dan tingkat profil) / I.M.Smirnova, V.A.Smirnov. - Edisi ke-5, putaran. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit.
2. Sharygin I.F. Kelas 10-11: Buku teks untuk pendidikan umum lembaga pendidikan/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 hal.: sakit.
3. E.V.Potoskuev, L.I.Zvalich. Geometri. Kelas 10: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum dengan kajian matematika yang mendalam dan khusus /E. V.Potoskuev, L.I.Zvalich. - Edisi ke-6, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 hal.: sakit.

1. Uztest.ru().
2. Fmclass.ru().
3. Webmath.exponenta.ru().

Pekerjaan rumah