Berikut definisinya. Begitu pula dengan logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A didefinisikan sebagai eksponen yang suatu bilangan harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan tersebut berikut perhitungannya x=log ab, setara dengan menyelesaikan persamaan ax =b. Misalnya, catatan 2 8 = 3 Karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, lalu logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma erat kaitannya dengan topik tersebut kekuatan sejumlah.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda bisa melakukannya operasi penambahan, pengurangan dan bertransformasi dengan segala cara yang mungkin. Tetapi karena logaritma bukan bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut properti utama.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Mari kita ambil dua logaritma dengan alasan yang sama: mencatat x Dan log ay. Maka dimungkinkan untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

catatan a(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = mencatat x 1 + mencatat x 2 + mencatat x 3 + ... + log axk.

Dari teorema hasil bagi logaritma Satu lagi sifat logaritma dapat diperoleh. Sudah menjadi rahasia umum bahwa log A 1= 0, oleh karena itu

catatan A 1 /B=log A 1 - catatan sebuah b= - catatan sebuah b.

Artinya ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dua bilangan timbal balik karena alasan yang sama akan berbeda satu sama lain hanya berdasarkan tandanya. Jadi:

Catatan 3 9= - catatan 3 1 / 9 ; catatan 5 1/125 = -catatan 5 125.

Ekspresi logaritma, contoh penyelesaian. Pada artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menanyakan pertanyaan tentang menemukan makna suatu ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maknanya sangatlah penting. Sedangkan untuk UN Unified State, logaritma digunakan saat menyelesaikan persamaan, dalam masalah terapan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Mari kita berikan contoh untuk memahami arti logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu diingat :

*Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

* * *

*Logaritma suatu hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih antara logaritma faktor-faktornya.

* * *

*Logaritma suatu eksponen sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke yayasan baru

* * *

Properti lainnya:

* * *

Perhitungan logaritma erat kaitannya dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Mari kita daftar beberapa di antaranya:

Inti dari sifat ini adalah ketika pembilangnya dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponennya berubah menjadi kebalikannya. Misalnya:

Akibat wajar dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sendiri sederhana. Yang utama adalah apa yang dibutuhkan praktik yang baik, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja diperlukan pengetahuan tentang rumus. Jika keterampilan dalam mengkonversi logaritma dasar belum berkembang, maka saat menyelesaikannya tugas-tugas sederhana Sangat mudah untuk membuat kesalahan.

Latihan, selesaikan dulu contoh paling sederhana dari mata pelajaran matematika, lalu lanjutkan ke contoh yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma yang "menakutkan" diselesaikan; logaritma tersebut tidak akan muncul di Unified State Examination, tetapi menarik, jangan sampai ketinggalan!

Itu saja! Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Definisi logaritma

Logaritma dari b ke basis a adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan b.

Nomor e dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menunjukkan batas yang ingin dicapai oleh suatu ekspresi

Nomor e adalah bilangan irasional - bilangan yang tidak dapat dibandingkan dengan satu, tidak dapat dinyatakan secara akurat sebagai bilangan bulat atau pecahan rasional nomor.

Surat e- surat pertama kata Latin eksponere- untuk pamer, itulah namanya dalam matematika eksponensial- Fungsi eksponensial.

Nomor e banyak digunakan dalam matematika, dan dalam semua ilmu yang dalam satu atau lain cara menggunakan perhitungan matematis untuk kebutuhannya.

Logaritma. Sifat-sifat logaritma

Definisi: Logaritma nomor positif Basis b adalah eksponen c yang harus dipangkatkan bilangan a untuk memperoleh bilangan b.

Identitas logaritma dasar:

7) Rumus pindah ke markas baru:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Soal dan tes dengan topik “Logaritma. Sifat-sifat logaritma"

• Logaritma - Topik penting untuk review UN Unified State dalam matematika

Agar berhasil menyelesaikan tugas pada topik ini, Anda harus mengetahui pengertian logaritma, sifat-sifat logaritma, identitas dasar logaritma, definisi desimal dan logaritma natural. Jenis soal utama pada topik ini adalah soal yang melibatkan perhitungan dan transformasi ekspresi logaritma. Mari kita pertimbangkan solusinya menggunakan contoh berikut.

Larutan: Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh

Larutan: Dengan menggunakan sifat-sifat derajat, kita peroleh

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Sifat-sifat logaritma, rumusan dan pembuktiannya.

Logaritma memiliki sejumlah sifat karakteristik. Pada artikel ini kita akan melihat yang utama sifat-sifat logaritma. Disini kami akan memberikan rumusannya, menuliskan sifat-sifat logaritma dalam bentuk rumus, menunjukkan contoh penerapannya, dan juga memberikan bukti sifat-sifat logaritma.

Navigasi halaman.

Sifat dasar logaritma, rumus

Untuk memudahkan mengingat dan menggunakan, mari kita bayangkan sifat dasar logaritma dalam bentuk daftar rumus. Pada paragraf selanjutnya kami akan memberikan rumusan, bukti, contoh penggunaan dan penjelasan yang diperlukan.

Sifat logaritma kesatuan: log a 1=0 untuk sembarang a>0, a≠1.

Logaritma suatu bilangan sama dengan basis: log a a=1 untuk a>0, a≠1.

Sifat logaritma pangkat basis: log a a p =p, dimana a>0, a≠1 dan p – any bilangan real.

Logaritma hasil kali dua bilangan positif: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
dan sifat logaritma hasil kali n bilangan positif: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 .

Properti logaritma hasil bagi: , dimana a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritma pangkat suatu bilangan: log a b p =p·log a |b| , dimana a>0, a≠1, b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0.

Konsekuensi: , dimana a>0, a≠1, n – bilangan asli, lebih besar dari satu, b>0.

Akibat wajar 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Akibat wajar 2: , a>0, a≠1, b>0, p dan q adalah bilangan real, q≠0, khususnya untuk b=a kita mempunyai .

Formulasi dan pembuktian sifat

Kita lanjutkan ke perumusan dan pembuktian sifat-sifat tertulis logaritma. Semua sifat logaritma dibuktikan berdasarkan definisi logaritma dan identitas dasar logaritma yang mengikutinya, serta sifat-sifat derajatnya.

Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma satu. Rumusannya sebagai berikut: logaritma kesatuan sama dengan nol, yaitu mencatat 1=0 untuk setiap a>0, a≠1. Pembuktiannya tidak sulit: karena a 0 =1 untuk sembarang a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1, maka persamaan log a 1=0 yang harus dibuktikan langsung mengikuti definisi logaritma.

Mari kita beri contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0, log1=0 dan .

Mari beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis sama dengan satu, itu adalah, log a a = 1 untuk a>0, a≠1. Memang, karena a 1 =a untuk sembarang a, maka menurut definisi logaritma log a a=1.

Contoh penggunaan sifat logaritma ini adalah persamaan log 5 5=1, log 5.6 5.6 dan lne=1.

Logaritma pangkat suatu bilangan yang sama dengan basis logaritma sama dengan eksponen. Properti logaritma ini sesuai dengan rumus formulir log a ap =p, di mana a>0, a≠1 dan p – bilangan real apa pun. Properti ini mengikuti langsung dari definisi logaritma. Perhatikan bahwa ini memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma, jika memungkinkan untuk mewakili angka di bawah tanda logaritma sebagai pangkat basis; kita akan membicarakan hal ini lebih lanjut di artikel menghitung logaritma.

Misalnya log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 dan .

Logaritma hasil kali dua bilangan positif x dan y sama dengan hasil kali logaritma bilangan-bilangan berikut: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma suatu produk. Karena sifat-sifat derajat a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, dan karena berdasarkan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y, maka a log a x ·a log a y =x· kamu. Jadi, log a x+log a y =x·y, yang berdasarkan definisi logaritma, persamaannya harus dibuktikan.

Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma suatu produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Sifat logaritma suatu hasil kali dapat digeneralisasikan ke hasil kali suatu bilangan berhingga n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Kesetaraan ini dapat dibuktikan tanpa masalah dengan menggunakan metode induksi matematika.

Misalnya, logaritma natural suatu hasil kali dapat diganti dengan penjumlahan tiga logaritma natural dari bilangan 4, e, dan.

Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan selisih logaritma bilangan-bilangan tersebut. Sifat logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuknya , dimana a>0, a≠1, x dan y adalah beberapa bilangan positif. Validitas rumus ini dibuktikan begitu pula dengan rumus logaritma suatu hasil kali: sejak , lalu menurut definisi logaritma .

Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

Mari kita lanjutkan ke milik logaritma pangkat. Logaritma suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma modulus dasar derajat tersebut. Mari kita tuliskan sifat logaritma suatu pangkat sebagai rumus: log a b p =p·log a |b|, dimana a>0, a≠1, b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0.

Pertama kita buktikan sifat ini positif b. Identitas logaritmik dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p·log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p·log a b, yang darinya, berdasarkan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p·log a b.

Tetap membuktikan sifat ini untuk negatif b. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk negatif b hanya masuk akal untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam hal ini b p =|b| P. Maka bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , dari mana log a b p =p·log a |b| .

Misalnya, dan ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari akar: logaritma akar ke-n sama dengan hasil kali pecahan 1/n dengan logaritma ekspresi radikal, yaitu jika a>0, a≠1, n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .

Pembuktiannya didasarkan pada persamaan (lihat definisi eksponen dengan eksponen pecahan), yang berlaku untuk sembarang b positif, dan sifat logaritma eksponen: .

Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

Sekarang mari kita buktikan rumus untuk pindah ke basis logaritma baru baik . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b·log c a. Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b =log a b·log c a . Hal ini membuktikan persamaan log c b=log a b·log c a, yang berarti rumus transisi ke basis logaritma baru juga terbukti .

Mari kita tunjukkan beberapa contoh penggunaan properti logaritma ini: dan .

Rumus untuk berpindah ke basis baru memungkinkan Anda melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis “nyaman”. Misalnya, dapat digunakan untuk mengubah logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru juga memungkinkan, dalam beberapa kasus, untuk menemukan nilai logaritma tertentu ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

Kasus khusus dari rumus transisi ke basis logaritma baru untuk bentuk c=b sering digunakan. Hal ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a merupakan bilangan yang saling berbanding terbalik. Misalnya, .

Rumusnya juga sering digunakan, yang memudahkan untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana hal itu dapat digunakan untuk menghitung nilai logaritma dalam bentuk . Kita punya . Untuk membuktikan rumusnya cukup menggunakan rumus pindah ke basis baru logaritma a: .

Masih membuktikan sifat-sifat perbandingan logaritma.

Mari kita gunakan metode sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 2 dan untuk 0 1, log a 1 b≤log a 2 b benar. Berdasarkan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi Dan masing-masing, dan darinya masing-masing log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2. Kemudian, menurut sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 harus berlaku, yaitu a 1 ≥a 2 . Jadi kita sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1 2. Ini melengkapi buktinya.

Sifat dasar logaritma

• Bahan untuk pelajaran
• Unduh semua rumus

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Perhatikan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap diperhatikan: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritmik bahkan ketika bagian-bagiannya tidak dihitung (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 6 4 + log 6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak yang dibangun berdasarkan fakta ini kertas ujian. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

[Keterangan untuk gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kita punya:

[Keterangan untuk gambar]

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan itu diberikan catatan logaritma kapak. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

[Keterangan untuk gambar]

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

[Keterangan untuk gambar]

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

[Keterangan untuk gambar]

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

[Keterangan untuk gambar]

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

[Keterangan untuk gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

1. n = log a dan n

2. Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

   Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: identitas logaritma dasar.

   Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

   Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

   [Keterangan untuk gambar]

   Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - kita cukup mengambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

   [Keterangan untuk gambar]

   Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

   Satuan logaritma dan logaritma nol

   Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

   1. log a a = 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
   2. log a 1 = 0 adalah logaritma nol. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena 0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

   Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma (penjumlahan dan pengurangan).

   Sifat-sifat logaritma ikuti definisinya. Begitu pula dengan logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A didefinisikan sebagai eksponen yang suatu bilangan harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

   Dari rumusan tersebut berikut perhitungannya x=log ab, setara dengan menyelesaikan persamaan ax =b. Misalnya, catatan 2 8 = 3 Karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, lalu logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma erat kaitannya dengan topik pangkat.

   Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda bisa melakukannya operasi penjumlahan, pengurangan dan bertransformasi dengan segala cara yang mungkin. Tetapi karena logaritma bukan bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut properti utama.

   Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

   Mari kita ambil dua logaritma dengan basis yang sama: mencatat x Dan log ay. Maka dimungkinkan untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan:

   Seperti yang kita lihat, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan perbedaan logaritma- logaritma hasil bagi. Apalagi ini benar jika jumlahnya A, X Dan pada positif dan sebuah ≠ 1.

   Penting untuk dicatat bahwa aspek utama dalam rumus ini adalah dasar yang sama. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

   Aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma dengan basis yang sama dibaca tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya. Hasilnya, kita memiliki teorema untuk logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi.

   Logaritma produk dua bilangan positif sama dengan jumlah logaritmanya ; memparafrasekan teorema ini kita mendapatkan bilangan berikut ini A, X Dan pada positif dan sebuah ≠ 1, Itu:

   Logaritma hasil bagi dua bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembagi dan pembagi. Dengan kata lain, jika angkanya A, X Dan pada positif dan sebuah ≠ 1, Itu:

   Mari kita terapkan teorema di atas untuk menyelesaikannya contoh:

   Jika angkanya X Dan pada kalau begitu, itu negatif rumus logaritma produk menjadi tidak berarti. Oleh karena itu, dilarang menulis:

   karena ekspresi log 2 (-8) dan log 2 (-4) tidak terdefinisi sama sekali ( fungsi logaritma pada= catatan 2 X didefinisikan hanya untuk nilai-nilai positif argumen X).

   Teorema produk berlaku tidak hanya untuk dua faktor, tetapi juga untuk sejumlah faktor yang tidak terbatas. Artinya untuk setiap alam k dan bilangan positif apa pun X 1 , X 2 , . . . ,xn ada identitas:

   Dari teorema hasil bagi logaritma Satu lagi sifat logaritma dapat diperoleh. Sudah menjadi rahasia umum bahwa log A 1= 0, oleh karena itu

   Artinya ada persamaan:

   Logaritma dua bilangan timbal balik karena alasan yang sama akan berbeda satu sama lain hanya berdasarkan tandanya. Jadi:

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma

   Mari kita pertimbangkan kesetaraan. Beri tahu kami nilai dan dan kami ingin mencari nilai .

   Yaitu, kita mencari eksponen yang kita perlukan untuk mengokangnya untuk mendapatkan .

   Membiarkan suatu variabel dapat mengambil nilai riil apa pun, maka batasan berikut diberlakukan pada variabel tersebut: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   Jika kita mengetahui nilai dan , dan kita dihadapkan pada tugas mencari yang tidak diketahui, maka untuk tujuan ini diperkenalkan operasi matematika, yang disebut logaritma.

   Untuk menemukan nilai yang kita ambil logaritma suatu bilangan Oleh dasar :

   Logaritma suatu bilangan terhadap basisnya adalah eksponen yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan .

   Itu adalah identitas logaritmik dasar:

   o» judul=»a>o»/> , 1″ judul=»a1″/>, 0″ judul=»b>0″/>

   pada dasarnya adalah notasi matematika definisi logaritma.

   Operasi matematika logaritma merupakan kebalikan dari operasi eksponensial, jadi sifat-sifat logaritma berkaitan erat dengan sifat-sifat derajat.

   Mari kita daftar yang utama sifat-sifat logaritma:

   (o" title="a>o"/> , 1″ judul=»a1″/>, 0″ judul=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ judul=”d1″/>

   4.

   5.

   Kelompok properti berikut memungkinkan Anda untuk merepresentasikan eksponen suatu ekspresi di bawah tanda logaritma, atau berdiri di dasar logaritma sebagai koefisien di depan tanda logaritma:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Kelompok rumus berikutnya memungkinkan Anda berpindah dari logaritma dengan basis tertentu ke logaritma dengan basis arbitrer, dan disebut formula untuk pindah ke basis baru:

   10.

   12. (akibat wajar dari properti 11)

   

   Tiga sifat berikut ini tidak banyak diketahui, namun sering digunakan saat menyelesaikan persamaan logaritma, atau saat menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma:

   13.

   14.

   15.

   Kasus khusus:

   — logaritma desimal

   — logaritma natural

   Saat menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma, pendekatan umum digunakan:

   1. Memperkenalkan desimal dalam bentuk yang biasa.

   2. Kami menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa.

   3. Kita menguraikan bilangan-bilangan pada dasar logaritma dan di bawah tanda logaritma menjadi faktor-faktor sederhana.

   4. Kami mencoba mengurangi semua logaritma ke basis yang sama.

   5. Menerapkan sifat-sifat logaritma.

   Mari kita lihat contoh penyederhanaan ekspresi yang mengandung logaritma.

   Contoh 1.

   Menghitung:

   Mari kita sederhanakan semua eksponen: tugas kita adalah mereduksinya menjadi logaritma, yang basisnya sama dengan basis eksponen.

   ==(menurut properti 7)=(menurut properti 6) =

   Mari kita substitusikan indikator yang kita dapatkan ke dalam ekspresi aslinya. Kita mendapatkan:

   Jawaban: 5.25

   Contoh 2. Hitung:

   

   Mari kita turunkan semua logaritma ke basis 6 (dalam hal ini, logaritma dari penyebut pecahan akan “bermigrasi” ke pembilang):

   Mari kita menguraikan bilangan-bilangan di bawah tanda logaritma menjadi faktor-faktor sederhana:

   Mari terapkan properti 4 dan 6:

   Mari kita perkenalkan penggantinya

   Kita mendapatkan:

   Jawaban 1

   Logaritma . Identitas logaritma dasar.

   Sifat-sifat logaritma. Logaritma desimal. Logaritma natural.

   Logaritma bilangan positif N ke basis (B > 0, B 1) adalah eksponen x yang harus dipangkatkan b untuk mendapatkan N .

   Entri ini setara dengan yang berikut ini: bx = N .

   Contoh: log 3 81 = 4, karena 3 4 = 81;

   catatan 1/3 27 = – 3, karena (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Definisi logaritma di atas dapat dituliskan sebagai identitas:

   

   Sifat dasar logaritma.

   2) log 1 = 0, karena B 0 = 1 .

   3) Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor:

   4) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih antara logaritma pembagian dan pembagi:

   5) Logaritma suatu pangkat sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma basisnya:

   Konsekuensi dari properti ini adalah sebagai berikut: logaritma akar sama dengan logaritma bilangan radikal dibagi pangkat akar:

   

   6) Jika basis logaritmanya adalah derajat, maka nilainya kebalikan dari eksponen dapat dikeluarkan dari tanda log sajak:

   

   Dua properti terbaru dapat digabungkan menjadi satu:

   

   7) Rumus modulus transisi (yaitu transisi dari satu basis logaritma ke basis lainnya):

   

   Dalam kasus khusus kapan Tidak=sebuah kita punya:

   

   Logaritma desimal ditelepon logaritma dasar 10. Dilambangkan dengan lg, yaitu. catatan 10 N= mencatat N. Logaritma angka 10, 100, 1000, . p masing-masing adalah 1, 2, 3,…, mis. punya banyak hal positif

   satuan, berapa banyak angka nol pada suatu bilangan logaritma setelah satu. Logaritma angka 0,1, 0,01, 0,001, . p berturut-turut adalah –1, –2, –3, …, yaitu mempunyai bilangan negatif sebanyak bilangan logaritma sebelum satu (termasuk bilangan bulat nol). Logaritma bilangan lain mempunyai bagian pecahan yang disebut mantissa. Bagian bilangan bulat dari logaritma disebut ciri. Untuk penggunaan praktis, logaritma desimal adalah yang paling nyaman.

   Logaritma natural ditelepon logaritma dasar e. Ini dilambangkan dengan ln, yaitu. catatan e N= mencatat N. Nomor e tidak rasional, nilai perkiraannya adalah 2,718281828. Ini adalah batas kecenderungan bilangan (1 + 1 / N) N dengan peningkatan yang tidak terbatas N(cm. batas indah pertama pada halaman "Batas Urutan Angka").
   Anehnya, logaritma natural ternyata sangat nyaman saat dibawa berbagai macam operasi yang berkaitan dengan analisis fungsi. Menghitung logaritma ke basis e dilakukan jauh lebih cepat dibandingkan alasan lainnya.

• Apa yang dibutuhkan saat ini untuk mengadopsi anak di Rusia? Adopsi di Rusia, selain keputusan pribadi yang bertanggung jawab, melibatkan sejumlah prosedur untuk verifikasi kandidat oleh negara. Seleksi yang sulit untuk tahap persiapan berkontribusi pada lebih banyak […]
• Informasi gratis tentang TIN atau OGRN dari daftar pajak di seluruh Rusia - online Di Portal Layanan Pajak Terpadu Anda dapat memperoleh informasi tentang pendaftaran negara badan hukum, pengusaha perorangan, […]
• Hukuman untuk mengemudi tanpa dokumen ( SIM, asuransi, STS) Terkadang, karena kelupaan, pengemudi mengemudi tanpa SIM dan dikenakan denda karena mengemudi tanpa dokumen. Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa penggila mobil sedang mengemudi bersamanya wajib […]
• Bunga untuk pria. Bunga apa yang bisa kamu berikan kepada pria? Bunga apa yang bisa kamu berikan kepada pria? Bunga “jantan” tidak banyak, namun ada juga yang diberikan kepada laki-laki. Daftar bunga kecil di depan Anda: Krisan. mawar. anyelir. […]
• Memo resmi adalah suatu bentuk dokumen khusus yang digunakan di lingkungan internal suatu perusahaan dan berfungsi untuk solusi cepat permasalahan produksi saat ini. Biasanya dokumen ini dibuat dengan tujuan untuk memperkenalkan beberapa […]
• Kapan dan bagaimana menerima bagian dana pensiun Anda dari Bank Tabungan? Bank Tabungan adalah bank mitra dana pensiun negara. Berdasarkan hal tersebut, warga negara yang mendaftar untuk dana pensiun dapat mentransfer bagian yang didanai […]
• Tunjangan anak di Ulyanovsk dan wilayah Ulyanovsk pada tahun 2018 Selain itu, program yang disetujui oleh undang-undang federal berlaku di semua wilayah. Mari kita lihat siapa yang dapat mengandalkan manfaat apa. Bagaimana otoritas regional […]
• Panduan Lengkap cara membuat surat kuasa untuk mewakili kepentingan individu di pengadilan Dalam gugatan perdata atau arbitrase, dalam perkara administratif atau pidana, kepentingan penggugat dan tergugat dapat diwakili oleh kuasa hukum: […]