संख्या एक अमूर्तता है जिसका उपयोग वस्तुओं को मापने के लिए किया जाता है। वस्तुओं को गिनने की लोगों की आवश्यकता के संबंध में आदिम समाज में संख्याएँ उत्पन्न हुईं। समय के साथ, जैसे-जैसे विज्ञान विकसित हुआ, संख्या सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा में बदल गई।

समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि संख्याएँ किस प्रकार की होती हैं। संख्याओं के मुख्य प्रकारों में शामिल हैं: पूर्णांकों, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ।

पूर्णांकों- ये वस्तुओं की प्राकृतिक गिनती से, या यूं कहें कि उन्हें क्रमांकित करके ("पहला", "दूसरा", "तीसरा"...) प्राप्त संख्याएँ हैं। प्राकृत संख्याओं का समुच्चय निरूपित किया जाता है लैटिन अक्षर एन (आप इसके आधार पर याद कर सकते हैं अंग्रेज़ी शब्दप्राकृतिक)। ऐसा कहा जा सकता है की एन ={1,2,3,....}

पूर्ण संख्याएं- ये सेट (0, 1, -1, 2, -2, ....) से संख्याएँ हैं। इस सेट में तीन भाग होते हैं - प्राकृतिक संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) और संख्या 0 (शून्य)। पूर्णांकों को लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है जेड . ऐसा कहा जा सकता है की जेड ={1,2,3,....}.

भिन्नात्मक संख्याएंसंख्याएँ भिन्न के रूप में दर्शायी जाती हैं, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है। संकेत करना भिन्नात्मक संख्याएंलैटिन अक्षर का प्रयोग किया जाता है क्यू . सभी प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्णांक परिमेय हैं। इसके अलावा, तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरणों में शामिल हैं: ,,।

वास्तविक संख्या- ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग निरंतर मात्राएँ मापने के लिए किया जाता है। गुच्छा वास्तविक संख्यालैटिन अक्षर R द्वारा निरूपित। वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याओं के साथ विभिन्न संक्रियाएँ करके (उदाहरण के लिए, मूल निकालना, लघुगणक की गणना करना) प्राप्त की जाती हैं, लेकिन परिमेय नहीं होती हैं। अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं,,।

किसी भी वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है:

ऊपर सूचीबद्ध संख्याओं के सेट के लिए, निम्नलिखित कथन सत्य है:

अर्थात् पूर्णांकों के समुच्चय में प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सम्मिलित होता है। पूर्णांकों का समुच्चय परिमेय संख्याओं के समुच्चय में शामिल होता है। और परिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल होता है। इस कथन को यूलर सर्कल का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है।

गुच्छाकिसी ऑब्जेक्ट का एक सेट है जिसे इस सेट के तत्व कहा जाता है।

उदाहरण के लिए: अनेक स्कूली बच्चे, अनेक गाड़ियाँ, अनेक संख्याएँ .

गणित में समुच्चय को अधिक व्यापक रूप से माना जाता है। हम इस विषय पर अधिक गहराई से विचार नहीं करेंगे, क्योंकि यह उच्च गणित से संबंधित है और सबसे पहले सीखने में कठिनाइयाँ पैदा कर सकता है। हम विषय के केवल उस भाग पर विचार करेंगे जिस पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं।

पाठ सामग्री

पदनाम

एक सेट को अक्सर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और इसके तत्वों को छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। इस मामले में, तत्व घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हमारे मित्र का नाम है टॉम, जॉन और लियो , तो हम मित्रों के एक समूह को परिभाषित कर सकते हैं जिनके तत्व होंगे टॉम, जॉन और लियो।

आइए हम अपने कई मित्रों को बड़े लैटिन अक्षर से निरूपित करें एफ(दोस्त), फिर एक समान चिह्न लगाएं और हमारे मित्रों को घुंघराले कोष्ठक में सूचीबद्ध करें:

एफ = (टॉम, जॉन, लियो)

उदाहरण 2. आइए संख्या 6 के विभाजकों का समुच्चय लिखें।

आइए इस सेट को किसी बड़े लैटिन अक्षर से निरूपित करें, उदाहरण के लिए, अक्षर से डी

फिर हम एक समान चिन्ह लगाते हैं और इस सेट के तत्वों को घुंघराले कोष्ठक में सूचीबद्ध करते हैं, अर्थात हम संख्या 6 के विभाजकों को सूचीबद्ध करते हैं

डी = (1, 2, 3, 6)

यदि कोई तत्व किसी दिए गए सेट से संबंधित है, तो इस सदस्यता को सदस्यता चिह्न ∈ का उपयोग करके दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, भाजक 2 संख्या 6 के भाजक के समुच्चय (समुच्चय) से संबंधित है डी). इसे इस प्रकार लिखा गया है:

ऐसे पढ़ता है: "2 संख्या 6 के भाजक के समुच्चय से संबंधित है"

यदि कोई तत्व किसी दिए गए सेट से संबंधित नहीं है, तो इस गैर-सदस्यता को एक क्रॉस आउट सदस्यता चिह्न का उपयोग करके दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, भाजक 5 समुच्चय से संबंधित नहीं है डी. इसे इस प्रकार लिखा गया है:

ऐसे पढ़ता है: "5 इससे संबद्ध न होवेंसंख्या 6″ के विभाजक का सेट

इसके अलावा, बड़े अक्षरों के बिना, तत्वों को सीधे सूचीबद्ध करके एक सेट लिखा जा सकता है। यह सुविधाजनक हो सकता है यदि सेट में कम संख्या में तत्व हों। उदाहरण के लिए, आइए एक तत्व के एक सेट को परिभाषित करें। यह तत्व हमारा मित्र बने आयतन:

( आयतन )

आइए एक ऐसे समुच्चय को परिभाषित करें जिसमें एक संख्या 2 हो

{ 2 }

आइए एक ऐसे समुच्चय को परिभाषित करें जिसमें दो संख्याएँ हों: 2 और 5

{ 2, 5 }

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय

यह पहला सेट है जिसके साथ हमने काम करना शुरू किया है। प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3 आदि संख्याएँ हैं।

लोगों द्वारा उन अन्य वस्तुओं को गिनने की आवश्यकता के कारण प्राकृतिक संख्याएँ प्रकट हुईं। उदाहरण के लिए, मुर्गियों, गायों, घोड़ों की संख्या गिनें। गिनती करते समय प्राकृतिक संख्याएँ स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं।

पिछले पाठों में, जब हमने इस शब्द का प्रयोग किया था "संख्या", अक्सर यह एक प्राकृतिक संख्या होती थी जिसका अभिप्राय होता था।

गणित में, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है एन.

उदाहरण के लिए, आइए बताते हैं कि संख्या 1 प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 1 लिखते हैं, फिर सदस्यता चिह्न का उपयोग करके हम इंगित करते हैं कि इकाई सेट से संबंधित है एन

1 ∈ एन

ऐसे पढ़ता है: "एक प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है"

पूर्णांकों का समुच्चय

पूर्णांकों के सेट में सभी सकारात्मक और, साथ ही संख्या 0 भी शामिल है।

पूर्णांकों के एक समूह को बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है जेड .

उदाहरण के लिए, आइए बताते हैं कि संख्या −5 पूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित है:

−5 ∈ जेड

आइए हम बताते हैं कि 10 पूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित है:

10 ∈ जेड

आइए हम बताते हैं कि 0 पूर्णांकों के समूह से संबंधित है:

भविष्य में, हम सभी सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को एक वाक्यांश कहेंगे - पूर्ण संख्याएं.

परिमेय संख्याओं का समुच्चय

परिमेय संख्याएँ वही होती हैं सामान्य भिन्नजिसे हम आज भी पढ़ रहे हैं.

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है ए- भिन्न का अंश, बी- हर.

अंश और हर पूर्णांक सहित कोई भी संख्या हो सकते हैं (शून्य के अपवाद के साथ, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं)।

उदाहरण के लिए, इसके बजाय इसकी कल्पना करें एसंख्या 10 है, लेकिन इसके बजाय बी- नंबर 2

10 को 2 से विभाजित करने पर 5 आता है। हम देखते हैं कि संख्या 5 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि संख्या 5 तर्कसंगत संख्याओं के सेट में शामिल है।

यह देखना आसान है कि संख्या 5 पूर्णांकों के समुच्चय पर भी लागू होती है। इसलिए, पूर्णांकों का समुच्चय परिमेय संख्याओं के समुच्चय में शामिल होता है। इसका मतलब यह है कि परिमेय संख्याओं के सेट में न केवल सामान्य भिन्न शामिल हैं, बल्कि −2, −1, 0, 1, 2 के रूप के पूर्णांक भी शामिल हैं।

आइए अब इसके बजाय इसकी कल्पना करें एसंख्या 12 है, लेकिन इसके बजाय बी- नंबर 5।

12 को 5 से विभाजित करने पर 2.4 आता है। हम देखते हैं कि दशमलव अंश 2.4 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह तर्कसंगत संख्याओं के सेट में शामिल है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में न केवल साधारण भिन्न और पूर्णांक, बल्कि दशमलव भिन्न भी शामिल होते हैं।

हमने भिन्न की गणना की और उत्तर 2.4 प्राप्त किया। लेकिन हम इस अंश के पूरे भाग को उजागर कर सकते हैं:

जब आप भिन्न के पूरे भाग को अलग करते हैं, तो आपको एक मिश्रित संख्या प्राप्त होती है। हम देखते हैं कि एक मिश्रित संख्या को भिन्न के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। इसका अर्थ यह है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में मिश्रित संख्याएँ भी शामिल होती हैं।

परिणामस्वरूप, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में शामिल हैं:

• पूर्ण संख्याएं
• सामान्य भिन्न
• दशमलव
• मिश्रित संख्याएँ

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है क्यू.

उदाहरण के लिए, हम बताते हैं कि एक भिन्न परिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित है। ऐसा करने के लिए, हम अंश को स्वयं लिखते हैं, फिर सदस्यता चिह्न का उपयोग करके हम इंगित करते हैं कि अंश तर्कसंगत संख्याओं के सेट से संबंधित है:

∈ क्यू

आइए हम बताते हैं कि दशमलव भिन्न 4.5 परिमेय संख्याओं के समूह से संबंधित है:

4,5 ∈ क्यू

आइए हम बताएं कि एक मिश्रित संख्या तर्कसंगत संख्याओं के समूह से संबंधित है:

∈ क्यू

सेट पर परिचयात्मक पाठ पूरा हो गया है। भविष्य में हम सेटों पर बहुत बेहतर विचार करेंगे, लेकिन अभी हमने जो चर्चा की है यह सबकपर्याप्त होगा.

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सभी प्रकार की विशाल विविधता से सेटविशेष रुचि तथाकथित हैं संख्या सेट, अर्थात् वे समुच्चय जिनके अवयव संख्याएँ हैं। यह स्पष्ट है कि उनके साथ आराम से काम करने के लिए आपको उन्हें लिखने में सक्षम होना होगा। हम इस लेख की शुरुआत संख्यात्मक सेट लिखने के संकेतन और सिद्धांतों से करेंगे। इसके बाद, आइए देखें कि समन्वय रेखा पर संख्यात्मक सेट कैसे दर्शाए जाते हैं।

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संख्यात्मक सेट लिखना

आइए स्वीकृत संकेतन से शुरू करें। जैसा कि आप जानते हैं, लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों का उपयोग सेट को दर्शाने के लिए किया जाता है। समुच्चयों के विशेष मामले के रूप में संख्यात्मक समुच्चयों को भी निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम संख्या समुच्चय A, H, W आदि के बारे में बात कर सकते हैं। प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक, के सेट विशेष महत्व के हैं जटिल आंकड़ेआदि, उनके लिए उनके स्वयं के पदनाम अपनाए गए:

• एन - सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट;
• Z - पूर्णांकों का समुच्चय;
• क्यू - तर्कसंगत संख्याओं का सेट;
• जे - अपरिमेय संख्याओं का सेट;
• आर - वास्तविक संख्याओं का सेट;
• C सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

यहां से यह स्पष्ट है कि आपको उदाहरण के लिए, दो संख्याओं 5 और −7 वाले समुच्चय को Q के रूप में निरूपित नहीं करना चाहिए, यह पदनाम भ्रामक होगा, क्योंकि अक्षर Q आमतौर पर सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। निर्दिष्ट संख्यात्मक सेट को दर्शाने के लिए, किसी अन्य "तटस्थ" अक्षर का उपयोग करना बेहतर है, उदाहरण के लिए, ए।

चूंकि हम अंकन के बारे में बात कर रहे हैं, आइए यहां एक खाली सेट के अंकन के बारे में भी याद रखें, यानी एक ऐसा सेट जिसमें तत्व शामिल नहीं हैं। इसे ∅ चिन्ह से दर्शाया जाता है।

आइए हम इस पदनाम को भी याद करें कि कोई तत्व किसी सेट से संबंधित है या नहीं। ऐसा करने के लिए, संकेतों का उपयोग करें ∈ - संबंधित है और ∉ - संबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, अंकन 5∈N का अर्थ है कि संख्या 5 प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित है, और 5.7∉Z - दशमलव अंश 5.7 पूर्णांकों के सेट से संबंधित नहीं है।

और आइए हम एक सेट को दूसरे सेट में शामिल करने के लिए अपनाए गए नोटेशन को भी याद करें। यह स्पष्ट है कि सेट N के सभी तत्व सेट Z में शामिल हैं, इस प्रकार संख्या सेट N Z में शामिल है, इसे N⊂Z के रूप में दर्शाया गया है। आप नोटेशन Z⊃N का भी उपयोग कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि सभी पूर्णांक Z के सेट में सेट N शामिल है। शामिल नहीं किए गए और शामिल नहीं किए गए संबंध क्रमशः ⊄ और द्वारा दर्शाए गए हैं। फॉर्म ⊆ और ⊇ के गैर-सख्त समावेशन संकेतों का भी उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ क्रमशः शामिल या मेल खाता है और शामिल या मेल खाता है।

हमने अंकन के बारे में बात की है, आइए संख्यात्मक सेटों के विवरण पर आगे बढ़ें। इस मामले में, हम केवल उन मुख्य मामलों पर बात करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

आइए तत्वों की एक सीमित और छोटी संख्या वाले संख्यात्मक सेट से शुरू करें। तत्वों की एक सीमित संख्या से युक्त संख्यात्मक सेटों का उनके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके वर्णन करना सुविधाजनक है। सभी संख्या तत्वों को अल्पविराम से अलग करके लिखा गया है और संलग्न किया गया है, जो सामान्य के अनुरूप है सेट का वर्णन करने के नियम. उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं 0, −0.25 और 4/7 से युक्त एक सेट को (0, −0.25, 4/7) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

कभी-कभी, जब संख्यात्मक सेट के तत्वों की संख्या काफी बड़ी होती है, लेकिन तत्व एक निश्चित पैटर्न का पालन करते हैं, तो विवरण के लिए दीर्घवृत्त का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 से 99 तक की सभी विषम संख्याओं के समुच्चय को (3, 5, 7, ..., 99) के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए हमने आसानी से संख्यात्मक सेटों का वर्णन किया, जिनमें से तत्वों की संख्या अनंत है। कभी-कभी उन्हें सभी समान दीर्घवृत्तों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट का वर्णन करें: N=(1, 2. 3,…) ।

वे इसके तत्वों के गुणों को इंगित करके संख्यात्मक सेटों के विवरण का भी उपयोग करते हैं। इस मामले में, अंकन (x| गुण) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, नोटेशन (n| 8·n+3, n∈N) प्राकृतिक संख्याओं के सेट को निर्दिष्ट करता है, जिन्हें 8 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है। इसी सेट को (11,19, 27,...) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

विशेष मामलों में, तत्वों की अनंत संख्या वाले संख्यात्मक सेट ज्ञात सेट N, Z, R, आदि होते हैं। या संख्या अंतराल. मूल रूप से, संख्यात्मक सेटों को इस प्रकार दर्शाया जाता है मिलनउनके घटक व्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल और तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ संख्यात्मक सेट (जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी)।

चलिए एक उदाहरण दिखाते हैं. मान लें कि संख्या सेट में संख्याएँ −10, −9, −8.56, 0, खंड की सभी संख्याएँ [−5, −1,3] और खुली संख्या रेखा (7, +∞) की संख्याएँ शामिल हैं। समुच्चयों के संघ की परिभाषा के कारण निर्दिष्ट संख्यात्मक समुच्चय को इस प्रकार लिखा जा सकता है {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . इस अंकन का वास्तव में मतलब एक सेट है जिसमें सेट के सभी तत्व (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] और (7, +∞) शामिल हैं।

इसी प्रकार, विभिन्न संख्या अंतरालों और व्यक्तिगत संख्याओं के सेटों को मिलाकर, किसी भी संख्या सेट (वास्तविक संख्याओं से युक्त) का वर्णन किया जा सकता है। यहां यह स्पष्ट हो जाता है कि अंतराल, अर्ध-अंतराल, खंड, खुली संख्यात्मक किरण और संख्यात्मक किरण जैसे संख्यात्मक अंतराल क्यों पेश किए गए थे: ये सभी, व्यक्तिगत संख्याओं के सेट के लिए नोटेशन के साथ मिलकर, किसी भी संख्यात्मक सेट का वर्णन करना संभव बनाते हैं उनका मिलन.

कृपया ध्यान दें कि किसी संख्या समूह को लिखते समय, उसके घटक संख्याओं और संख्यात्मक अंतरालों को आरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। यह एक आवश्यक लेकिन वांछनीय शर्त नहीं है, क्योंकि एक क्रमबद्ध संख्यात्मक सेट की कल्पना करना और समन्वय रेखा पर चित्रित करना आसान है। यह भी ध्यान दें कि ऐसे रिकॉर्ड में संख्यात्मक अंतराल का उपयोग नहीं किया जाता है सामान्य तत्व, क्योंकि ऐसे रिकॉर्ड को सामान्य तत्वों के बिना संख्यात्मक अंतरालों के संयोजन से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य तत्वों [−10, 0] और (−5, 3) के साथ संख्यात्मक सेटों का मिलन अर्ध-अंतराल [−10, 3) है। यही बात समान सीमा संख्याओं के साथ संख्यात्मक अंतरालों के मिलन पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, संघ (3, 5]∪(5, 7] एक समुच्चय (3, 7] है, जब हम सीखेंगे तो हम इस पर अलग से ध्यान देंगे। संख्यात्मक सेटों का प्रतिच्छेदन और संघ खोजें

एक समन्वय रेखा पर संख्या सेटों का प्रतिनिधित्व

व्यवहार में, संख्यात्मक सेटों की ज्यामितीय छवियों का उपयोग करना सुविधाजनक है - उनकी छवियां। उदाहरण के लिए, जब असमानताओं को हल करना, जिसमें ODZ को ध्यान में रखना आवश्यक है, उनके प्रतिच्छेदन और/या संघ को खोजने के लिए संख्यात्मक सेटों को चित्रित करना आवश्यक है। इसलिए एक समन्वय रेखा पर संख्यात्मक सेटों को चित्रित करने की सभी बारीकियों की अच्छी समझ होना उपयोगी होगा।

यह ज्ञात है कि निर्देशांक रेखा के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, जिसका अर्थ है कि समन्वय रेखा स्वयं सभी वास्तविक संख्याओं आर के सेट का एक ज्यामितीय मॉडल है। इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को चित्रित करने के लिए, आपको इसकी पूरी लंबाई के साथ छायांकन के साथ एक समन्वय रेखा खींचने की आवश्यकता है:

और अक्सर वे मूल और इकाई खंड का भी संकेत नहीं देते हैं:

अब बात करते हैं संख्यात्मक सेटों की छवि के बारे में, जो व्यक्तिगत संख्याओं की एक निश्चित सीमित संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, आइए संख्या सेट (−2, −0.5, 1.2) को चित्रित करें। इस सेट की ज्यामितीय छवि, जिसमें तीन संख्याएं -2, -0.5 और 1.2 शामिल हैं, संबंधित निर्देशांक के साथ समन्वय रेखा के तीन बिंदु होंगे:

ध्यान दें कि आमतौर पर व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए ड्राइंग को सटीक रूप से पूरा करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर एक योजनाबद्ध चित्रण पर्याप्त होता है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में पैमाने को बनाए रखना आवश्यक नहीं है, केवल एक-दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति को बनाए रखना महत्वपूर्ण है: छोटे समन्वय वाला कोई भी बिंदु होना चाहिए; बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर। पिछली ड्राइंग योजनाबद्ध रूप से इस तरह दिखेगी:

अलग-अलग, सभी प्रकार के संख्यात्मक सेटों से, संख्यात्मक अंतराल (अंतराल, अर्ध-अंतराल, किरणें, आदि) प्रतिष्ठित हैं, जो उनकी ज्यामितीय छवियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, हमने अनुभाग में उनकी विस्तार से जांच की है; हम यहां खुद को नहीं दोहराएंगे.

और यह केवल संख्यात्मक सेटों की छवि पर ध्यान केंद्रित करने के लिए बना हुआ है, जो कई संख्यात्मक अंतरालों और व्यक्तिगत संख्याओं से युक्त सेटों का एक संघ है। यहां कुछ भी मुश्किल नहीं है: इन मामलों में संघ के अर्थ के अनुसार, समन्वय रेखा पर किसी दिए गए संख्यात्मक सेट के सभी घटकों को चित्रित करना आवश्यक है। उदाहरण के तौर पर, आइए एक संख्या सेट की एक छवि दिखाएं (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (लॉग 2 5, 5)∪(17, +∞) :

और आइए हम काफी सामान्य मामलों पर ध्यान दें जब दर्शाया गया संख्यात्मक सेट एक या कई बिंदुओं को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है। ऐसे सेट अक्सर x≠5 या x≠−1, x≠2, x≠3.7, आदि जैसी शर्तों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं। इन मामलों में, ज्यामितीय रूप से वे संबंधित बिंदुओं को छोड़कर, संपूर्ण समन्वय रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरे शब्दों में, इन बिंदुओं को समन्वय रेखा से "बाहर निकालने" की आवश्यकता है। उन्हें एक खाली केंद्र वाले वृत्तों के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टता के लिए, आइए हम शर्तों के अनुरूप एक संख्यात्मक सेट चित्रित करें (यह सेट अनिवार्य रूप से मौजूद है):

संक्षेप। आदर्श रूप से, पिछले पैराग्राफ की जानकारी को व्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल के दृश्य के रूप में संख्यात्मक सेटों की रिकॉर्डिंग और चित्रण का एक ही दृश्य बनाना चाहिए: एक संख्यात्मक सेट की रिकॉर्डिंग को तुरंत समन्वय रेखा पर अपनी छवि देनी चाहिए, और छवि से समन्वय रेखा में हमें अलग-अलग अंतरालों और अलग-अलग संख्याओं से युक्त सेटों के संयोजन के माध्यम से संबंधित संख्यात्मक सेट का आसानी से वर्णन करने के लिए तैयार होना चाहिए।

ग्रंथ सूची.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक आठवीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. 9 वां दर्जा। 2 घंटे में। भाग 1. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 13वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2011. - 222 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01752-3।

संख्याओं को समझना, विशेषकर प्राकृतिक संख्याओं को, सबसे पुराने गणित "कौशलों" में से एक है। कई सभ्यताओं, यहाँ तक कि आधुनिक सभ्यताओं ने, प्रकृति का वर्णन करने में उनके अत्यधिक महत्व के कारण संख्याओं में कुछ रहस्यमय गुणों को जिम्मेदार ठहराया है। हालांकि आधुनिक विज्ञानऔर गणित इन "जादुई" गुणों की पुष्टि नहीं करता है, संख्या सिद्धांत का महत्व निर्विवाद है।

ऐतिहासिक रूप से, सबसे पहले विभिन्न प्रकार की प्राकृतिक संख्याएँ सामने आईं, फिर उनमें काफी तेजी से भिन्न और सकारात्मक अपरिमेय संख्याएँ जुड़ गईं। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के इन उपसमुच्चयों के बाद शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ प्रस्तुत की गईं। अंतिम सेट, सम्मिश्र संख्याओं का सेट, आधुनिक विज्ञान के विकास के साथ ही सामने आया।

आधुनिक गणित में, संख्याओं को ऐतिहासिक क्रम में प्रस्तुत नहीं किया जाता है, हालाँकि यह इसके काफी करीब है।

प्राकृतिक संख्याएँ $\mathbb(N)$

प्राकृतिक संख्याओं के सेट को अक्सर $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ के रूप में दर्शाया जाता है, और अक्सर $\mathbb(N)_0$ को दर्शाने के लिए इसे शून्य से जोड़ा जाता है।

$\mathbb(N)$ किसी भी $a,b,c\in \mathbb(N)$ के लिए निम्नलिखित गुणों के साथ जोड़ (+) और गुणा ($\cdot$) के संचालन को परिभाषित करता है:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ सेट $\mathbb(N)$ जोड़ और गुणा के संचालन के तहत बंद है
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ कम्यूटेटिविटी
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ साहचर्य
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ वितरण
5. $a\cdot 1=a$ गुणन के लिए एक तटस्थ तत्व है

चूँकि सेट $\mathbb(N)$ में गुणन के लिए एक तटस्थ तत्व शामिल है लेकिन जोड़ के लिए नहीं, इस सेट में एक शून्य जोड़ने से यह सुनिश्चित होता है कि इसमें जोड़ के लिए एक तटस्थ तत्व शामिल है।

इन दो परिचालनों के अलावा, "से कम" संबंध ($

1. $a b$ ट्राइकोटॉमी
2. यदि $a\leq b$ और $b\leq a$, तो $a=b$ एंटीसिममेट्री
3. यदि $a\leq b$ और $b\leq c$, तो $a\leq c$ सकर्मक है
4. यदि $a\leq b$ तो $a+c\leq b+c$
5. यदि $a\leq b$ तो $a\cdot c\leq b\cdot c$

पूर्णांक $\mathbb(Z)$

पूर्णांकों के उदाहरण:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

समीकरण $a+x=b$ को हल करने के लिए, जहां $a$ और $b$ ज्ञात प्राकृतिक संख्याएं हैं और $x$ एक अज्ञात प्राकृतिक संख्या है, परिचय की आवश्यकता है नया ऑपरेशन- घटाव(-). यदि कोई प्राकृतिक संख्या $x$ है जो इस समीकरण को संतुष्ट करती है, तो $x=b-a$। हालाँकि, इस विशेष समीकरण का आवश्यक रूप से सेट $\mathbb(N)$ पर कोई समाधान नहीं है, इसलिए व्यावहारिक विचारों के लिए ऐसे समीकरण के समाधान को शामिल करने के लिए प्राकृतिक संख्याओं के सेट का विस्तार करने की आवश्यकता होती है। इससे पूर्णांकों के एक सेट का परिचय मिलता है: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ के बाद से, यह मान लेना तर्कसंगत है कि पहले शुरू किए गए ऑपरेशन $+$ और $\cdot$ और संबंध $ 1. $0+a=a+0=a$ जोड़ के लिए एक तटस्थ तत्व है
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ के लिए एक विपरीत संख्या $-a$ है

संपत्ति 5.:
5. यदि $0\leq a$ और $0\leq b$, तो $0\leq a\cdot b$

सेट $\mathbb(Z)$ को घटाव ऑपरेशन के तहत भी बंद किया जाता है, यानी, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$।

परिमेय संख्याएँ $\mathbb(Q)$

परिमेय संख्याओं के उदाहरण:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

अब $a\cdot x=b$ के रूप के समीकरणों पर विचार करें, जहां $a$ और $b$ ज्ञात पूर्णांक हैं, और $x$ अज्ञात है। समाधान संभव होने के लिए, डिवीज़न ऑपरेशन ($:$) को प्रस्तुत करना आवश्यक है, और समाधान $x=b:a$ का रूप लेता है, अर्थात, $x=\frac(b)(a)$ . फिर से समस्या उत्पन्न होती है कि $x$ हमेशा $\mathbb(Z)$ से संबंधित नहीं होता है, इसलिए पूर्णांकों के सेट को विस्तारित करने की आवश्यकता है। यह तत्वों $\frac(p)(q)$ के साथ तर्कसंगत संख्याओं $\mathbb(Q)$ के सेट का परिचय देता है, जहां $p\in \mathbb(Z)$ और $q\in \mathbb(N)$। सेट $\mathbb(Z)$ एक उपसमुच्चय है जिसमें प्रत्येक तत्व $q=1$ है, इसलिए $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ और जोड़ और गुणा के संचालन इस सेट तक विस्तारित होते हैं नियमों का पालन, जो सेट $\mathbb(Q)$ पर उपरोक्त सभी गुणों को संरक्षित करता है:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

विभाजन इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

सेट $\mathbb(Q)$ पर, समीकरण $a\cdot x=b$ में प्रत्येक $a\neq 0$ के लिए एक अद्वितीय समाधान है (शून्य से विभाजन अपरिभाषित है)। इसका मतलब है कि एक उलटा तत्व $\frac(1)(a)$ या $a^(-1)$ है:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (ए)\cdot a=a)$

सेट $\mathbb(Q)$ का क्रम निम्नानुसार विस्तारित किया जा सकता है:
$\frac(p_1)(q_1)

सेट $\mathbb(Q)$ में एक महत्वपूर्ण गुण है: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत रूप से कई अन्य परिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए, प्राकृतिक संख्याओं और पूर्णांकों के सेट के विपरीत, कोई भी दो आसन्न परिमेय संख्याएँ नहीं होती हैं।

अपरिमेय संख्याएँ $\mathbb(I)$

अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण:
$\sqrt(2) \लगभग 1.41422135...$
$\pi\लगभग 3.1415926535...$

चूँकि किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से कई अन्य परिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए ग़लती से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय इतना सघन है कि इसे और विस्तारित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पाइथागोरस ने भी अपने समय में ऐसी गलती की थी। हालाँकि, उनके समकालीनों ने तर्कसंगत संख्याओं के सेट पर समीकरण $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) के समाधान का अध्ययन करते समय पहले ही इस निष्कर्ष का खंडन कर दिया था। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, वर्गमूल की अवधारणा को प्रस्तुत करना आवश्यक है, और फिर इस समीकरण के समाधान का रूप $x=\sqrt(2)$ होता है। $x^2=a$ जैसा समीकरण, जहां $a$ एक ज्ञात परिमेय संख्या है और $x$ एक अज्ञात है, हमेशा परिमेय संख्याओं के सेट पर कोई समाधान नहीं होता है, और फिर से इसका विस्तार करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है तय करना। अपरिमेय संख्याओं का एक सेट उत्पन्न होता है, और $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... जैसी संख्याएँ इस सेट से संबंधित होती हैं।

वास्तविक संख्याएँ $\mathbb(R)$

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का मिलन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ के बाद से, यह मान लेना फिर से तर्कसंगत है कि शुरू किए गए अंकगणितीय संचालन और संबंध नए सेट पर अपने गुणों को बनाए रखते हैं। इसका औपचारिक प्रमाण बहुत कठिन है, इसलिए वास्तविक संख्याओं के सेट पर अंकगणितीय संक्रियाओं और संबंधों के उपर्युक्त गुणों को स्वयंसिद्धों के रूप में पेश किया जाता है। बीजगणित में, ऐसी वस्तु को फ़ील्ड कहा जाता है, इसलिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को एक क्रमित फ़ील्ड कहा जाता है।

वास्तविक संख्याओं के सेट की परिभाषा पूरी होने के लिए, एक अतिरिक्त सिद्धांत प्रस्तुत करना आवश्यक है जो सेट $\mathbb(Q)$ और $\mathbb(R)$ को अलग करता है। मान लीजिए कि $S$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है। एक तत्व $b\in \mathbb(R)$ को सेट $S$ की ऊपरी सीमा कहा जाता है यदि $\forall x\in S$ $x\leq b$ रखता है। तब हम कहते हैं कि समुच्चय $S$ ऊपर परिबद्ध है। सेट $S$ की सबसे छोटी ऊपरी सीमा को सुप्रीम कहा जाता है और इसे $\sup S$ से दर्शाया जाता है। निचली सीमा, नीचे सीमाबद्ध सेट और अनंत $\inf S$ की अवधारणाओं को इसी तरह पेश किया गया है। अब लुप्त अभिगृहीत इस प्रकार तैयार किया गया है:

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के किसी भी गैर-रिक्त और ऊपरी सीमा वाले उपसमुच्चय में सर्वोच्चता होती है।
यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि उपरोक्त तरीके से परिभाषित वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र अद्वितीय है।

सम्मिश्र संख्याएँ$\mathbb(C)$

सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ जहां $i = \sqrt(-1)$ या $i^2 = -1$

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के सभी क्रमित युग्मों का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात्, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, जिस पर संक्रियाएँ जोड़ और गुणा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$(ए,बी)+(सी,डी)=(ए+बी,सी+डी)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

जटिल संख्याएँ लिखने के कई रूप हैं, जिनमें से सबसे आम $z=a+ib$ है, जहाँ $(a,b)$ वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी है, और संख्या $i=(0,1)$ काल्पनिक इकाई कहलाती है.

यह दिखाना आसान है कि $i^2=-1$। सेट $\mathbb(R)$ को सेट $\mathbb(C)$ तक विस्तारित करने से हमें परिभाषित करने की अनुमति मिलती है वर्गमूलऋणात्मक संख्याओं का, जो सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय की शुरुआत का कारण था। यह दिखाना भी आसान है कि $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ द्वारा दिए गए सेट $\mathbb(C)$ का एक उपसमुच्चय, वास्तविक संख्याओं के लिए सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करता है, इसलिए $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, या $R\subset\mathbb(C)$।

जोड़ और गुणा के संचालन के संबंध में सेट $\mathbb(C)$ की बीजगणितीय संरचना में निम्नलिखित गुण हैं:
1. जोड़ और गुणा की क्रमपरिवर्तनशीलता
2. जोड़ और गुणा की साहचर्यता
3. $0+i0$ - जोड़ के लिए तटस्थ तत्व
4. $1+i0$ - गुणन के लिए तटस्थ तत्व
5. जोड़ के संबंध में गुणन वितरणात्मक है
6. जोड़ और गुणा दोनों के लिए एक ही व्युत्क्रम है।

राज्य शैक्षिक संस्था

औसत व्यावसायिक शिक्षा

तुला क्षेत्र

"अलेक्सिंस्की मैकेनिकल इंजीनियरिंग कॉलेज"

न्यूमेरिकल

सेट

द्वारा डिज़ाइन किया गया

अध्यापक

गणितज्ञों

ख्रीस्तोफोरोवा एम.यू.

संख्या - मूल अवधारणा , के लिए इस्तेमाल होता है विशेषताएं, तुलना, और उनके हिस्से. संख्याओं को दर्शाने के लिए लिखित संकेत हैं , और गणितीय .

संख्या की अवधारणा प्राचीन काल में लोगों की व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न हुई और मानव विकास की प्रक्रिया में विकसित हुई। क्षेत्र मानवीय गतिविधिविस्तार हुआ और तदनुसार, मात्रात्मक विवरण और अनुसंधान की आवश्यकता बढ़ गई। सबसे पहले, संख्या की अवधारणा मानव व्यावहारिक गतिविधि में उत्पन्न होने वाली गिनती और माप की आवश्यकताओं से निर्धारित होती थी, जो और अधिक जटिल होती जा रही थी। बाद में, संख्या गणित की मूल अवधारणा बन जाती है, और इस विज्ञान की आवश्यकताएं निर्धारित होती हैं इससे आगे का विकासयह अवधारणा.

वे समुच्चय जिनके अवयव संख्याएँ होते हैं, संख्यात्मक कहलाते हैं।

संख्या सेट के उदाहरण हैं:

एन=(1; 2; 3; ...; एन; ... ) - प्राकृतिक संख्याओं का सेट;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का सेट;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - पूर्णांकों का समुच्चय;

क्यू=(एम/एन: एम जेड,एन N) परिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

वास्तविक संख्याओं का आर-सेट।

इन सेटों के बीच एक संबंध है

एन ज़ो जेड क्यू आर।

फॉर्म के नंबरएन = (1, 2, 3, ....) कहा जाता हैप्राकृतिक . वस्तुओं को गिनने की आवश्यकता के संबंध में प्राकृतिक संख्याएँ प्रकट हुईं।

कोई , एकता से भी बड़ा, शक्तियों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है प्रमुख संख्या, और एक ही रास्ताकारकों के क्रम तक. उदाहरण के लिए, 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

अगरएम, एन, के - प्राकृतिक संख्याएँ, फिर कबएम - एन = के वे कहते हैं किएम - मीनूएंड, एन - सबट्रेंड, के - अंतर; परएम: एन = के वे कहते हैं किएम - लाभांश, एन - भाजक, के - भागफल, संख्याएम यह भी कहा जाता हैगुणकों नंबरएन, और संख्याn - भाजक नंबरएम, यदि संख्याएम- एक संख्या का एकाधिकएन, तो वहाँ एक प्राकृतिक संख्या हैक, ऐसा है किएम = केएन.

अंकगणित चिन्हों और कोष्ठकों का उपयोग करके संख्याओं से उनकी रचना की जाती हैसंख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. यदि आप स्वीकृत क्रम का पालन करते हुए संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संकेतित क्रियाएं करते हैं, तो आपको एक नंबर प्राप्त होगाअभिव्यक्ति का मूल्य .

अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम: कोष्ठक में क्रियाएँ पहले की जाती हैं; किसी भी कोष्ठक के अंदर पहले गुणा और भाग किया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

यदि एक प्राकृतिक संख्याएम प्राकृतिक संख्या से विभाज्य नहीं हैएन, वे। ऐसी कोई चीज नहीं हैप्राकृत संख्या k, क्याएम = केएन, फिर वे विचार करते हैंशेषफल के साथ विभाजन: m = np + r, कहाँएम - लाभांश, एन - भाजक (एम>एन), पी - भागफल, आर - शेष .

यदि किसी संख्या में केवल दो भाजक (संख्या स्वयं और एक) हों, तो वह कहलाती हैसरल : यदि किसी संख्या में दो से अधिक भाजक हों तो वह कहलाती हैसमग्र.

कोई भी समग्र प्राकृत संख्या हो सकती हैखंड करना , और केवल एक ही रास्ता. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते समय, उपयोग करेंविभाज्यता के लक्षण .

ए औरबी पाया जा सकता हैमहत्तम सामान्य भाजक। यह नामित हैडी(ए,बी). यदि संख्याएँए औरबी ऐसे हैंडी(ए,बी) = 1, फिर संख्याएँए औरबी कहा जाता हैपरस्पर सरल.

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिएए औरबी पाया जा सकता हैन्यूनतम समापवर्तक। यह नामित हैके(ए,बी). संख्याओं का कोई भी सामान्य गुणजए औरबी द्वारा विभाजितके(ए,बी).

यदि संख्याएँए औरबी अपेक्षाकृत प्रधान , अर्थात।डी(ए,बी) = 1, वहके(ए,बी) = एबी।

फॉर्म के नंबर:जेड = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) कहा जाता है पूर्णांकों , वे। पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत और संख्या 0।

प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5.... को धनात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है। प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ -1, -2, -3, -4, -5, ..., ऋणात्मक पूर्णांक कहलाती हैं।

महत्वपूर्ण संख्याएँ एक संख्या में अग्रणी शून्य को छोड़कर उसके सभी अंक होते हैं।

किसी संख्या के दशमलव अंकन में दशमलव बिंदु के बाद क्रमिक रूप से दोहराए जाने वाले अंकों के समूह को कहा जाता हैअवधि, और एक अनंत दशमलव भिन्न जिसके अंकन में ऐसी अवधि होती है, कहलाती हैआवधिक . यदि अवधि दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होती है, तो भिन्न कहलाती हैशुद्ध आवधिक ; यदि दशमलव बिंदु और आवर्त के बीच अन्य दशमलव स्थान हों, तो भिन्न कहलाती हैमिश्रित आवधिक .

वे संख्याएँ जो पूर्णांक या भिन्न नहीं हैं, कहलाती हैंतर्कहीन .

प्रत्येक अपरिमेय संख्या को एक गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाता है।

सभी सीमित और अनंत का समुच्चय दशमलवबुलायाअनेक वास्तविक संख्या : तर्कसंगत और तर्कहीन.

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में निम्नलिखित गुण हैं।

1. यह आदेश दिया गया है: किन्हीं दो अलग-अलग संख्याओं α और b के लिए, दो संबंधों में से एक मान्य है: a

2. समुच्चय R सघन है: किन्हीं दो के बीच अलग-अलग नंबरए और बी में वास्तविक संख्याओं x का एक अनंत सेट होता है, यानी असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्याएं<х

तो, यदि ए

(ए 2ए< ए+बीए+बी<2b  2 ए ए<(a+b)/2

वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक संख्या रेखा को परिभाषित करने के लिए, आपको रेखा पर एक बिंदु चिह्नित करना होगा, जो संख्या 0 - मूल के अनुरूप होगा, और फिर एक इकाई खंड का चयन करें और सकारात्मक दिशा इंगित करें।

समन्वय रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक संख्या से मेल खाता है, जिसे मूल से संबंधित बिंदु तक खंड की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें एक इकाई खंड को माप की इकाई के रूप में लिया जाता है। यह संख्या बिंदु का निर्देशांक है. यदि किसी बिंदु को मूल बिंदु के दाईं ओर ले जाया जाता है, तो इसका निर्देशांक सकारात्मक होता है, और यदि बाईं ओर ले जाया जाता है, तो यह नकारात्मक होता है। उदाहरण के लिए, बिंदु O और A के निर्देशांक क्रमशः 0 और 2 हैं, जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है: 0(0), A(2)।