निर्देश

यदि ग्राफ एक सीधी रेखा है जो निर्देशांक की उत्पत्ति से होकर गुजरती है और OX अक्ष के साथ एक कोण α बनाती है (सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण)। इस पंक्ति का वर्णन करने वाले फ़ंक्शन का रूप y = kx होगा। आनुपातिकता गुणांक k tan α के बराबर है। यदि एक सीधी रेखा दूसरे और चौथे निर्देशांक क्वार्टर से होकर गुजरती है, तो k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 और फ़ंक्शन बढ़ता है। मान लीजिए कि यह निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष विभिन्न तरीकों से स्थित एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक रैखिक फ़ंक्शन है और इसका रूप y = kx + b है, जहां चर x और y पहली शक्ति के हैं, और k और b या तो सकारात्मक या नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकते हैं। रेखा y = kx के समानांतर है और अक्ष |b| पर कटती है इकाइयाँ। यदि रेखा भुज अक्ष के समानांतर है, तो k = 0, यदि कोटि अक्ष है, तो समीकरण का रूप x = const है।

एक वक्र जिसमें दो शाखाएं अलग-अलग तिमाहियों में स्थित होती हैं और निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष सममित होती हैं, एक हाइपरबोला है। यह ग्राफ़ x पर चर y की व्युत्क्रम निर्भरता है और इसे समीकरण y = k/x द्वारा वर्णित किया गया है। यहाँ k ≠ 0 आनुपातिकता गुणांक है। इसके अलावा, यदि k > 0, तो फलन घट जाता है; यदि के< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

द्विघात फ़ंक्शन का रूप y = ax2 + bx + c है, जहां a, b और c स्थिर मात्राएं हैं और a  0. यदि शर्त b = c = 0 पूरी होती है, तो फ़ंक्शन समीकरण y = ax2 जैसा दिखता है ( सबसे सरल मामला), और इसका ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला एक परवलय है। फ़ंक्शन y = ax2 + bx + c के ग्राफ़ का आकार फ़ंक्शन के सबसे सरल मामले के समान है, लेकिन इसका शीर्ष (OY अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु) मूल बिंदु पर नहीं है।

एक परवलय समीकरण y = xⁿ द्वारा व्यक्त पावर फ़ंक्शन का ग्राफ़ भी है, यदि n कोई सम संख्या है। यदि n कोई विषम संख्या है, तो ऐसे पावर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक घन परवलय जैसा दिखेगा।
यदि n कोई है, तो फ़ंक्शन समीकरण रूप लेता है। विषम n के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक हाइपरबोला होगा, और सम n के लिए उनकी शाखाएं ऑप अक्ष के संबंध में सममित होंगी।

मे भी स्कूल वर्षफ़ंक्शंस का विस्तार से अध्ययन किया जाता है और उनके ग्राफ़ बनाए जाते हैं। लेकिन, दुर्भाग्य से, वे व्यावहारिक रूप से यह नहीं सिखाते कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को कैसे पढ़ा जाए और प्रस्तुत ड्राइंग से उसका प्रकार कैसे खोजा जाए। यदि आप बुनियादी प्रकार के कार्यों को याद रखें तो यह वास्तव में काफी सरल है।

निर्देश

यदि प्रस्तुत ग्राफ है, जो निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से है और ओएक्स अक्ष के साथ कोण α है (जो कि सकारात्मक अर्ध-अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण है), तो ऐसी सीधी रेखा का वर्णन करने वाला फ़ंक्शन होगा y = kx के रूप में प्रस्तुत किया गया। इस मामले में, आनुपातिकता गुणांक k कोण α की स्पर्शरेखा के बराबर है।

यदि कोई दी गई रेखा दूसरे और चौथे निर्देशांक क्वार्टर से होकर गुजरती है, तो k 0 के बराबर है और फ़ंक्शन बढ़ जाता है। प्रस्तुत ग्राफ़ को निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष किसी भी तरह स्थित एक सीधी रेखा होने दें। फिर ऐसे का कार्य ललित कलाएंरैखिक होगा, जिसे फॉर्म y = kx + b द्वारा दर्शाया गया है, जहां चर y और x पहले हैं, और b और k नकारात्मक और दोनों ले सकते हैं सकारात्मक मूल्यया ।

यदि रेखा ग्राफ y = kx वाली रेखा के समानांतर है और कोटि अक्ष पर b इकाइयों को काटती है, तो समीकरण का रूप x = const है, यदि ग्राफ भुज अक्ष के समानांतर है, तो k = 0.

एक घुमावदार रेखा जिसमें दो शाखाएं होती हैं, जो मूल के बारे में सममित होती हैं और विभिन्न तिमाहियों में स्थित होती हैं, एक हाइपरबोला होती है। ऐसा ग्राफ चर x पर चर y की व्युत्क्रम निर्भरता को दर्शाता है और इसे y = k/x के रूप के समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, जहां k शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, क्योंकि यह व्युत्क्रम आनुपातिकता का गुणांक है। इसके अलावा, यदि k का मान शून्य से अधिक है, तो फ़ंक्शन घट जाता है; यदि के शून्य से भी कम- बढ़ती है।

यदि प्रस्तावित ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला एक परवलय है, तो इसका कार्य, इस शर्त के अधीन है कि b = c = 0, का रूप y = ax2 होगा। यह द्विघात फलन का सबसे सरल मामला है। फॉर्म y = ax2 + bx + c के फ़ंक्शन के ग्राफ़ का रूप सबसे सरल मामले के समान होगा, हालांकि, शीर्ष (वह बिंदु जहां ग्राफ़ कोर्डिनेट अक्ष को काटता है) मूल पर नहीं होगा। एक द्विघात फ़ंक्शन में, जिसे फॉर्म y = ax2 + bx + c द्वारा दर्शाया गया है, a, b और c के मान स्थिर हैं, जबकि a शून्य के बराबर नहीं है।

एक परवलय किसी शक्ति फलन का ग्राफ़ भी हो सकता है जिसे y = xⁿ रूप के समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है, केवल यदि n कोई सम संख्या हो। यदि n का मान एक विषम संख्या है, तो पावर फ़ंक्शन का ऐसा ग्राफ़ एक घन परवलय द्वारा दर्शाया जाएगा। यदि चर n कोई ऋणात्मक संख्या है, तो फ़ंक्शन समीकरण रूप लेता है।

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समतल पर किसी भी बिंदु का निर्देशांक उसकी दो मात्राओं द्वारा निर्धारित होता है: भुज अक्ष और कोटि अक्ष के अनुदिश। ऐसे कई बिंदुओं का संग्रह फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करता है। इससे आप देख सकते हैं कि X मान में परिवर्तन के आधार पर Y मान कैसे बदलता है। आप यह भी निर्धारित कर सकते हैं कि किस अनुभाग (अंतराल) में फ़ंक्शन बढ़ता है और किसमें घटता है।

निर्देश

यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है तो आप उसके बारे में क्या कह सकते हैं? देखें कि क्या यह रेखा निर्देशांक मूल बिंदु से होकर गुजरती है (अर्थात, वह जहां X और Y मान 0 के बराबर हैं)। यदि यह गुजरता है, तो ऐसे फ़ंक्शन को समीकरण y = kx द्वारा वर्णित किया जाता है। यह समझना आसान है कि k का मान जितना बड़ा होगा, यह सीधी रेखा कोटि अक्ष के उतना ही करीब स्थित होगी। और Y अक्ष वास्तव में अनंत रूप से मेल खाता है काफी महत्व कीक।

1) फ़ंक्शन डोमेन और फ़ंक्शन रेंज.

किसी फ़ंक्शन का डोमेन सभी वैध मान्य तर्क मानों का सेट है एक्स(चर एक्स), जिसके लिए फ़ंक्शन वाई = एफ(एक्स)दृढ़ निश्चय वाला। किसी फ़ंक्शन की सीमा सभी वास्तविक मानों का समुच्चय है य, जिसे फ़ंक्शन स्वीकार करता है।

प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के सेट पर किया जाता है।

2) फ़ंक्शन शून्य.

फ़ंक्शन शून्य उस तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर होता है।

3) किसी फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न का अंतराल.

किसी फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल तर्क मानों के सेट होते हैं जिन पर फ़ंक्शन मान केवल सकारात्मक या केवल नकारात्मक होते हैं।

4) फ़ंक्शन की एकरसता.

एक बढ़ता हुआ फ़ंक्शन (एक निश्चित अंतराल में) एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसमें इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

एक घटता हुआ फ़ंक्शन (एक निश्चित अंतराल में) एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसमें इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

5) सम (विषम) फ़ंक्शन.

एक सम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल और किसी के संबंध में सममित है एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता एफ(-एक्स) = एफ(एक्स). अनुसूची यहां तक ​​कि समारोहकोटि अक्ष के बारे में सममित।

एक विषम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल और किसी के संबंध में सममित है एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता सत्य है एफ(-एक्स) = - एफ(एक्स). अनुसूची पुराना फंक्शनउत्पत्ति के बारे में सममित.

6) सीमित एवं असीमित कार्य.

यदि ऐसा कोई फ़ंक्शन है तो उसे बाउंडेड कहा जाता है सकारात्मक संख्याएम ऐसा कि |f(x)| ≤ x के सभी मानों के लिए M. यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद नहीं है, तो फ़ंक्शन असीमित है।

7) समारोह की आवधिकता.

एक फ़ंक्शन f(x) आवधिक है यदि इसमें एक गैर-शून्य संख्या T है जैसे कि फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन से किसी भी x के लिए निम्नलिखित है: f(x+T) = f(x)। इस सबसे छोटी संख्या को फलन का आवर्त कहा जाता है। सभी त्रिकोणमितीय कार्यआवधिक हैं. (त्रिकोणमितीय सूत्र).

19. बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके गुण और ग्राफ़। अर्थशास्त्र में कार्यों का अनुप्रयोग.

बुनियादी प्राथमिक कार्य. उनके गुण और ग्राफ़

1. रैखिक कार्य.

रैखिक प्रकार्य फॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है, जहां x एक चर है, a और b वास्तविक संख्याएं हैं।

संख्या एइसे रेखा का ढलान कहा जाता है, यह x-अक्ष की धनात्मक दिशा पर इस रेखा के झुकाव कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है। एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। इसे दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है।

एक रैखिक फलन के गुण

1. परिभाषा का क्षेत्र सभी का समुच्चय है वास्तविक संख्या: डी(वाई)=आर

2. मानों का समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है: E(y)=R

3. फ़ंक्शन शून्य मान लेता है जब या।

4. परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में फ़ंक्शन बढ़ता (घटता) है।

5. रैखिक प्रकार्यपरिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में निरंतर, अवकलनीय और।

2. द्विघात फलन.

प्रपत्र का एक फ़ंक्शन, जहां x एक चर है, गुणांक a, b, c वास्तविक संख्याएं हैं, कहलाता है द्विघात.

"किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु"- महत्वपूर्ण बिंदु। महत्वपूर्ण बिंदुओं में चरम बिंदु भी हैं। शर्तचरम. उत्तर: 2. परिभाषा. लेकिन, यदि f" (x0) = 0 है, तो यह आवश्यक नहीं है कि बिंदु x0 एक चरम बिंदु होगा। चरम बिंदु (पुनरावृत्ति)। फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु। चरम बिंदु।

"समन्वय विमान ग्रेड 6"- गणित छठी कक्षा। 1. एक्स. 1. निर्देशांक खोजें और लिखें अंक ए, बी, सी,डी:-6. विमान का समन्वय। ओ.-3. 7. यू.

"कार्य और उनके ग्राफ़"- निरंतरता. सबसे महान और सबसे छोटा मूल्यकार्य. व्युत्क्रम फलन की अवधारणा. रैखिक. लघुगणक. मोनोटोन. यदि k > 0, तो बना हुआ कोण न्यून कोण है, यदि k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"नौवीं कक्षा के कार्य"- कार्यों पर मान्य अंकगणितीय संचालन। [+] - जोड़, [-] - घटाव, [*] - गुणा, [:] - भाग। ऐसे मामलों में, हम फ़ंक्शन को ग्राफ़िक रूप से निर्दिष्ट करने के बारे में बात करते हैं। प्राथमिक कार्यों के एक वर्ग का गठन। पावर फ़ंक्शन y=x0.5. इओवलेव मैक्सिम निकोलाइविच, आरएमओयू राडुज़स्काया माध्यमिक विद्यालय के 9वीं कक्षा के छात्र।

"पाठ स्पर्शरेखा समीकरण"- 1. किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा की अवधारणा को स्पष्ट करें। लीबनिज ने एक मनमाने वक्र पर स्पर्श रेखा खींचने की समस्या पर विचार किया। फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण विकसित करने के लिए एल्गोरिदम। पाठ का विषय: परीक्षण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। स्पर्शरेखा समीकरण. प्रवाह। ग्रेड 10। समझें कि आइजैक न्यूटन ने व्युत्पन्न फलन को क्या कहा है।

"किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट करें"- फ़ंक्शन y=3cosx दिया गया है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=m*sin x। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं. सामग्री: फ़ंक्शन को देखते हुए: y=sin (x+?/2)। ग्राफ y=cosx को y अक्ष के अनुदिश खींचना। जारी रखने के लिए, एल पर क्लिक करें। माउस बटन। फ़ंक्शन y=cosx+1 दिया गया है। ग्राफ़ विस्थापन y=sinx लंबवत। फलन y=3sinx दिया गया है। ग्राफ का क्षैतिज विस्थापन y=cosx.

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