फंक्शन ग्राफ में कितने विभक्ति बिंदु होते हैं। कार्यों की उत्तलता
अंतराल (ए, सी) पर अवकलनीय। फिर किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा होती है 
यह ग्राफ ( 
), और स्पर्शरेखा ओए अक्ष के समानांतर नहीं है, क्योंकि इसका ढलान . के बराबर है 
, बेशक।
कार्यभार
on (a, b) में नीचे की ओर (ऊपर) रिलीज होता है, यदि यह (a, b) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के किसी स्पर्शरेखा के नीचे (ऊपर नहीं) स्थित है। 
(
) इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर, तो वक्र जो कि फलन का ग्राफ है, इस अंतराल पर उत्तल (अवतल) होता है।
फलन के ग्राफ का विभक्ति बिंदु कहलाता है, यदि बिंदु पर 
ग्राफ में एक स्पर्श रेखा है, और बिंदु का एक पड़ोस है 
, जिसके भीतर बिंदु के बाएँ और दाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ में उत्तलता की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं।
यह देखा जा सकता है कि विभक्ति बिंदु पर स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के ग्राफ को काटती है, क्योंकि इस बिंदु के एक तरफ ग्राफ़ स्पर्शरेखा के ऊपर होता है, और दूसरी तरफ - इसके नीचे, यानी विभक्ति बिंदु के आसपास। , फ़ंक्शन का ग्राफ़ ज्यामितीय रूप से स्पर्शरेखा के एक तरफ से दूसरी तरफ जाता है और उस पर "झुकता" है। यहीं से "विभक्ति बिंदु" नाम आता है।
निरंतर दूसरा व्युत्पन्न। फिर 
.
बिंदु (0, 0) पर कोई विभक्ति नहीं है, यद्यपि 
पर 
... इसलिए, दूसरे व्युत्पन्न के शून्य की समानता केवल एक आवश्यक विभक्ति शर्त है। 
बिंदु के बाएँ और दाएँ अलग-अलग चिह्न हैं, तो ग्राफ़ में बिंदु पर एक विभक्ति है। 
बिंदु के कुछ पड़ोस में एक दूसरा व्युत्पन्न है, बिंदु को छोड़कर, और बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा है 
... फिर, यदि निर्दिष्ट पड़ोस के भीतर इसके बाईं ओर और बिंदु के दाईं ओर अलग-अलग संकेत हैं, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदु पर एक विभक्ति बिंदु होता है। 
उत्तलता, उत्तलता, विभक्ति बिंदुओं पर। 
, 
=
के लिए मौजूद नहीं है 
)
)
या दूसरी तरह के असंततता बिंदुओं के पास, यह अक्सर पता चलता है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक या दूसरी सीधी रेखा के जितना करीब हो सके उतना करीब पहुंचता है। ऐसी सीधी रेखाओं को कहा जाता है।
परिभाषा 1.
वक्र L का स्पर्शोन्मुख कहा जाता है यदि वक्र के बिंदु से इस सीधी रेखा की दूरी शून्य हो जाती है क्योंकि बिंदु वक्र के साथ अनंत तक जाता है। स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज, तिरछा। 
फलन के ग्राफ का उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी कहा जाता है यदि कम से कम एक तरफा सीमा है 
, वह है, या 
एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है 
, चूंकि। 
, ए 
.
अगर 
.
.
(
) पर फ़ंक्शन के ग्राफ का तिरछा स्पर्शोन्मुख कहा जाता है 
अगर 
; 
.
; x = 0 - उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी
.
- तिरछा स्पर्शोन्मुख। 
और उसका शेड्यूल बनाएं। 
फलन न तो सम है और न ही विषम-
-
+
+
आप
-4
टी पी.
0
निष्कर्ष।
मानी गई पद्धति की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह मुख्य रूप से वक्र के व्यवहार में विशिष्ट विशेषताओं का पता लगाने और अध्ययन पर आधारित है। जिन स्थानों पर कार्य सुचारू रूप से बदलता है, उनका विशेष रूप से विस्तार से अध्ययन नहीं किया जाता है, और इस तरह के अध्ययन की कोई आवश्यकता नहीं है। लेकिन वे स्थान जहां फ़ंक्शन के व्यवहार में कोई ख़ासियत है, वे पूर्ण शोध और सबसे सटीक ग्राफिक प्रतिनिधित्व के अधीन हैं। ये विशेषताएं अधिकतम, न्यूनतम, फ़ंक्शन के विच्छेदन के बिंदु आदि के बिंदु हैं।
अवतलता और विभक्तियों की दिशा का निर्धारण, साथ ही स्पर्शोन्मुख खोजने की संकेतित विधि, कार्यों का और भी अधिक विस्तार से अध्ययन करना और उनके रेखांकन का अधिक सटीक विचार प्राप्त करना संभव बनाती है।
एक समारोह की उत्तलता
फ़ंक्शन \ (y = f \ बाएँ (x \ दाएँ), \) पर विचार करें जिसे खंड \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ] पर निरंतर माना जाता है। \) फ़ंक्शन \ (y = f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) कहा जाता है उत्तल नीचे (या केवल उत्तल) यदि किसी बिंदु के लिए \ ((x_1) \) और \ ((x_2) \) से \ (\ बाएं [(ए, बी) \ दाएं] \) \ यदि यह असमानता किसी भी \ (( x_1) के लिए सख्त है, (x_2) \ in \ बाएँ [(a, b) \ दाएँ], \) ऐसा है कि \ ((x_1) \ ne (x_2), \) तो फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) हैं बुलाया सख्ती से उत्तल नीचे की ओर
एक उर्ध्व उत्तल फलन को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) को कहा जाता है उत्तल ऊपर (या नतोदर) यदि खंड के किसी भी बिंदु \ ((x_1) \) और \ ((x_2) \) के लिए \ (\ बाएं [(ए, बी) \ दाएं] \) असमानता सत्य है \ यदि यह असमानता किसी के लिए सख्त है \ (( x_1), (x_2) \ में \ बाएँ [(a, b) \ दाएँ], \) ऐसा है कि \ ((x_1) \ ne (x_2), \) फिर फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x) \ दाएँ) \) कहलाते हैं सख्ती से उत्तल ऊपर की ओर खंड पर \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ]। \)
किसी फ़ंक्शन की उत्तलता की ज्यामितीय व्याख्या
उत्तल फलन की आरंभ की गई परिभाषाओं की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या होती है।
समारोह के लिए, उत्तल नीचे (आकृति \ (1 \)), किसी भी जीवा का मध्यबिंदु \ (B \) \ ((A_1) (A_2) \) निहित है ऊपर
इसी प्रकार, समारोह के लिए, उत्तल ऊपर (आकृति \ (2 \)), किसी भी जीवा का मध्यबिंदु \ (B \) \ ((A_1) (A_2) \) स्थित है नीचेफ़ंक्शन के ग्राफ़ का संगत बिंदु \ ((A_0) \) या इस बिंदु के साथ मेल खाता है।
उत्तल कार्यों में एक और दृश्य गुण होता है जो स्थान से संबंधित होता है स्पर्शरेखा समारोह के ग्राफ के लिए। \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) फ़ंक्शन है उत्तल नीचे खंड पर \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ] \) यदि और केवल अगर इसका ग्राफ खंड के किसी भी बिंदु \ ((x_0) \) पर खींची गई स्पर्शरेखा से कम नहीं है \ (\ बाएँ) [(ए, बी) \ दाएं] \) (तस्वीर \ (3 \))।
तदनुसार, फलन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) है उत्तल ऊपर खंड पर \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ] \) यदि और केवल यदि इसका ग्राफ खंड के किसी भी बिंदु \ ((x_0) \) पर खींची गई स्पर्शरेखा से अधिक नहीं है \ (\ बाएँ) [(ए, बी) \ दाएं] \) (आंकड़ा \ (4 \))। ये गुण एक प्रमेय का प्रतिनिधित्व करते हैं और किसी फ़ंक्शन की उत्तलता की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।
उत्तलता के लिए पर्याप्त शर्तें
मान लें कि फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) पहला व्युत्पन्न \ (f "\ बाएँ (x \ दाएँ) \) खंड पर मौजूद है \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ], \) और दूसरा व्युत्पन्न \ (f "" \ बाएँ (x \ दाएँ) \) - अंतराल पर \ (\ बाएँ ((a, b) \ दाएँ)। \) तब निम्नलिखित पर्याप्त उत्तलता मानदंड सत्य हैं:
यदि \ (f "" \ बाएँ (x \ दाएँ) \ ge 0 \) सभी के लिए \ (x \ in \ बाएँ ((a, b) \ दाएँ), \) तो फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \) दाएं) \) उत्तल नीचे खंड पर \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ]; \)
यदि \ (f "" \ बाएँ (x \ दाएँ) \ le 0 \) सभी के लिए \ (x \ in \ बाएँ ((a, b) \ दाएँ), \) तो फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \) दाएं) \) उत्तल ऊपर खंड पर \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ]। \)
आइए हम एक अधोमुखी उत्तल फलन की स्थिति के लिए उपरोक्त प्रमेय को सिद्ध करें। मान लें कि फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) के अंतराल पर एक गैर-ऋणात्मक दूसरा व्युत्पन्न है \ (\ बाएँ ((a, b) \ दाएँ): \) \ (f "" \ बाएँ (x \ दाएँ) ) \ ge 0. \) मान लीजिए \ ((x_0) \) खंड के मध्य बिंदु को दर्शाता है \ (\ बाएँ [((x_1), (x_2)) \ दाएँ]। \) मान लीजिए कि इस खंड की लंबाई \ है (2h. \) तब निर्देशांक \ ((x_1) \) और \ ((x_2) \) को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \ [(x_1) = (x_0) - h, \; \; (x_2) = (x_0 ) + h. \] एक टेलर श्रृंखला में लैग्रेंज रूप में शेष के साथ फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) को बिंदु \ ((x_0) \) पर विस्तृत करें। हमें निम्नलिखित भाव मिलते हैं: \ [(f \ बाएँ (((x_1)) \ दाएँ) = f \ बाएँ (((x_0) - h) \ दाएँ)) = (f \ बाएँ (((x_0)) \ दाएँ ) - f "\ बाएँ (((x_0)) \ दाएँ) h + \ frac ((f" "\ बाएँ ((\ xi _1)) \ दाएँ) (h ^ 2))) ((२},}
\]
\[
{f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) }
= {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}
\]
где \({x_0} - h !}
दोनों समानताएं जोड़ें: \ [(f \ बाएँ (((x_1)) \ दाएँ) + f \ बाएँ (((x_2)) \ दाएँ)) = (2f \ बाएँ (((x_0)) \ दाएँ) + \ frac (((एच ^ 2))) (2) \ बाएँ [(f "" \ बाएँ ((\ xi _1)) \ दाएँ) + f "" \ बाएँ ((\ xi _2)) \ दाएँ)) \ दाएँ]।) \] चूँकि \ ((\ xi _1), (\ xi _2) \ में \ बाएँ ((a, b) \ दाएँ), \) दाईं ओर दूसरा व्युत्पन्न गैर-ऋणात्मक है। इसलिए, \ या \ यानी परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) \) उत्तल नीचे
.
ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की उत्तलता के लिए आवश्यक शर्त (अर्थात, प्रत्यक्ष प्रमेय, जिसमें, उदाहरण के लिए, उत्तलता की स्थिति से नीचे की ओर यह इस प्रकार है कि \ (f "" \ बाएँ (x \ दाएँ) \ ge 0 \ )) केवल एक गैर-सख्त असमानता के लिए संतुष्ट है। सख्त उत्तलता के मामले में, आवश्यक शर्त आमतौर पर पूरी नहीं होती है। उदाहरण के लिए, फलन \ (f \ बाएँ (x \ दाएँ) = (x ^ 4) \) सख्ती से नीचे की ओर उत्तल है। हालाँकि, बिंदु \ (x = 0 \) पर, इसका दूसरा अवकलज शून्य के बराबर होता है, अर्थात्। सख्त असमानता \ (f "" \ बाएँ (x \ दाएँ) \ gt 0 \) इस मामले में पकड़ में नहीं आता है।
उत्तल कार्यों के गुण
हम उत्तल फलनों के कुछ गुणों को सूचीबद्ध करते हैं, यह मानते हुए कि सभी फलन परिभाषित हैं और खंड \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ] पर निरंतर हैं। \)
यदि फलन \ (f \) और \ (g \) उत्तल नीचे (ऊपर) हैं, तो उनमें से कोई भी रैखिक संयोजन \ (af + bg, \) जहाँ \ (a \), \ (b \) धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, उत्तल नीचे की ओर (ऊपर की ओर) भी हैं।
यदि फलन \ (u = g \ बाएँ (x \ दाएँ) \) उत्तल नीचे की ओर है, और फलन \ (y = f \ बाएँ (u \ दाएँ) \) उत्तल नीचे की ओर और गैर-घटता है, तो जटिल कार्य \ (y = f \ बाएँ ((g \ बाएँ (x \ दाएँ)) \ दाएँ) \) भी नीचे की ओर उत्तल होगा।
यदि फलन \ (u = g \ बाएँ (x \ दाएँ) \) उत्तल ऊपर की ओर है, और फलन \ (y = f \ बाएँ (u \ दाएँ) \) उत्तल नीचे और गैर-वृद्धि है, तो जटिल कार्य \ (y = f \ बाएँ ((g \ बाएँ (x \ दाएँ)) \ दाएँ) \) नीचे की ओर उत्तल होगा।
स्थानीय अधिकतम खंड \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ], \) पर परिभाषित उर्ध्व उत्तल फलन एक ही समय में इसका सबसे बड़ा मूल्य इस खंड पर।
स्थानीय न्यूनतम खंड पर परिभाषित नीचे की ओर उत्तल कार्य \ (\ बाएँ [(a, b) \ दाएँ], \) एक साथ इसका है सबसे छोटा मान इस खंड पर।
ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप पा सकते हैं फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु और उत्तलता अंतरालवर्ड में समाधान के डिजाइन के साथ। क्या दो चर f (x1, x2) का एक फलन उत्तल है, हेस्से मैट्रिक्स का उपयोग करके हल किया जाता है।
समारोह प्रवेश नियम:
फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उत्तलता की दिशा। विभक्ति बिंदु
परिभाषा: एक वक्र y = f (x) अंतराल में नीचे की ओर उत्तल कहलाता है (a; b) यदि वह इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित हो।परिभाषा: एक वक्र y = f (x) अंतराल में ऊपर की ओर उत्तल कहलाता है (a; b) यदि वह इस अंतराल के किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा के नीचे स्थित हो। 
परिभाषा: वे अंतराल जिनमें किसी फलन का ग्राफ ऊपर या नीचे उत्तल होता है, फलन ग्राफ की उत्तलता के अंतराल कहलाते हैं।
वक्र के नीचे या ऊपर की ओर उत्तलता, जो कि फंक्शन y = f (x) का ग्राफ है, को इसके दूसरे अवकलज के चिह्न द्वारा अभिलक्षित किया जाता है: यदि किसी अंतराल f' (x)> 0 में, तो वक्र है इस अंतराल में नीचे की ओर उत्तल; अगर एफ '' (एक्स)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
परिभाषा: फलन y = f (x) के ग्राफ का वह बिंदु जो इस ग्राफ की विपरीत दिशाओं के उत्तलता के अंतराल को अलग करता है, विभक्ति बिंदु कहलाता है। 
दूसरे प्रकार के केवल महत्वपूर्ण बिंदु ही विभक्ति बिंदुओं के रूप में कार्य कर सकते हैं, अर्थात। फ़ंक्शन y = f (x) के डोमेन से संबंधित बिंदु, जिस पर दूसरा व्युत्पन्न f '' (x) गायब हो जाता है या एक असंततता है।
फलन y = f (x) के ग्राफ के विभक्ति बिंदु ज्ञात करने का नियम
- दूसरा व्युत्पन्न f '' (x) खोजें।
- दूसरे प्रकार के फलन y = f (x) के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए, अर्थात्। जिस बिंदु पर f '' (x) गायब हो जाता है या टूट जाता है।
- अंतराल में दूसरे व्युत्पन्न f '' (x) के संकेत की जांच करें जिसमें पाया गया महत्वपूर्ण बिंदु फ़ंक्शन f (x) की परिभाषा के डोमेन को विभाजित करते हैं। यदि इस मामले में महत्वपूर्ण बिंदु x 0 विपरीत दिशाओं के उत्तलता के अंतराल को अलग करता है, तो x 0 फ़ंक्शन के ग्राफ के विभक्ति बिंदु का भुज है।
- विभक्ति बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें।
उदाहरण 1। निम्नलिखित वक्र के उत्तलता के अंतराल और विभक्ति के बिंदु खोजें: f (x) = 6x 2 -x 3.
हल: f '(x) = 12x - 3x 2, f' '(x) = 12 - 6x खोजें।
समीकरण 12-6x = 0 को हल करके द्वितीय अवकलज द्वारा क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए। एक्स = 2. 
च (2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
उत्तर: x∈ (2; + ∞) के लिए फलन उत्तल ऊपर की ओर है; फ़ंक्शन x∈ (-∞; 2) के लिए नीचे की ओर उत्तल है; विभक्ति बिंदु (2; 16)।
उदाहरण २। क्या फलन में विभक्ति बिंदु हैं: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1
उदाहरण 3. उन अंतरालों का पता लगाएं जिन पर फलन का ग्राफ उत्तल और घुमावदार है: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4
जब हम किसी फलन का ग्राफ बनाते हैं, तो उत्तल अंतराल और विभक्ति बिंदुओं को निर्धारित करना महत्वपूर्ण होता है। वे, घटते और बढ़ते अंतराल के साथ, हमारे लिए एक चित्रमय रूप में फ़ंक्शन का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हैं।
इस विषय को समझने के लिए यह जानना आवश्यक है कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है और इसे किसी क्रम तक कैसे गणना करना है, साथ ही विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल करने में सक्षम होना चाहिए।
लेख की शुरुआत में, बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषित किया गया है। फिर हम दिखाएंगे कि एक निश्चित अंतराल पर उत्तलता की दिशा और दूसरे व्युत्पन्न के मूल्य के बीच क्या संबंध है। इसके बाद, हम उन शर्तों को इंगित करेंगे जिनके तहत ग्राफ के विभक्ति बिंदु निर्धारित किए जा सकते हैं। समस्या समाधान के उदाहरणों के साथ सभी तर्कों को चित्रित किया जाएगा।
परिभाषा 1मामले में एक निश्चित अंतराल पर नीचे की ओर जब इसका ग्राफ इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा से कम नहीं स्थित होता है।
परिभाषा 2
विभेदित होने वाला कार्य उत्तल हैएक निश्चित अंतराल पर ऊपर की ओर यदि इस फ़ंक्शन का ग्राफ इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा से अधिक नहीं स्थित है।
एक अधोमुखी उत्तल फलन को अवतल भी कहा जा सकता है। दोनों परिभाषाएँ नीचे दिए गए ग्राफ़ में स्पष्ट रूप से दिखाई गई हैं:
परिभाषा 3
समारोह विभक्ति बिंदुक्या वह बिंदु M (x 0; f (x 0)) है, जिस पर फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा होती है, बशर्ते कि अवकलज बिंदु x 0 के आसपास मौजूद हो, जहां फलन का ग्राफ भिन्न होता है। बाएँ और दाएँ पक्षों पर उत्तलता की दिशाएँ।
सीधे शब्दों में कहें, एक विभक्ति बिंदु ग्राफ़ पर एक स्थान है जिसमें एक स्पर्शरेखा होती है, और वक्र के उभार की दिशा इस स्थान से गुजरने पर उभार की दिशा बदल देगी। यदि आपको याद नहीं है कि किन परिस्थितियों में एक ऊर्ध्वाधर और गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा का अस्तित्व संभव है, तो हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा पर अनुभाग को दोहराने की सलाह देते हैं।
नीचे एक फ़ंक्शन का एक ग्राफ है जिसमें कई विभक्ति बिंदु हैं, जिन्हें लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। आइए हम स्पष्ट करें कि विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति वैकल्पिक है। एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, एक, दो, अनेक, अपरिमित रूप से अनेक या कोई नहीं हो सकते हैं।
इस भाग में, हम एक प्रमेय के बारे में बात करेंगे जिसका उपयोग किसी विशिष्ट फलन के ग्राफ पर उत्तलता अंतरालों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।
परिभाषा 4
किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में नीचे या ऊपर की दिशा में उत्तलता होगी यदि संबंधित फ़ंक्शन y = f (x) में संकेतित अंतराल x पर दूसरा परिमित व्युत्पन्न है, बशर्ते कि असमानता f "" (x) ≥ 0 ∀ x एक्स (एफ "" (एक्स) 0 ∀ एक्स ∈ एक्स) सच होगा।
इस प्रमेय का उपयोग करके, कोई फ़ंक्शन के किसी भी ग्राफ़ पर अवतलता और उत्तलता के अंतराल का पता लगा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको संबंधित फ़ंक्शन के डोमेन पर असमानताओं f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) 0 को हल करने की आवश्यकता है।
आइए हम स्पष्ट करें कि वे बिंदु जिन पर दूसरा अवकलज मौजूद नहीं है, लेकिन फलन y = f (x) परिभाषित है, उत्तलता और अवतलता के अंतराल में शामिल किए जाएंगे।
आइए एक विशिष्ट समस्या का एक उदाहरण देखें कि इस प्रमेय को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए।
उदाहरण 1
शर्त:फलन y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 दिया गया है। निर्धारित करें कि किस अंतराल पर इसके ग्राफ में उभार और अवतलताएं होंगी।
समाधान
इस फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समूह है। आइए दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके शुरू करें।
y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
हम देखते हैं कि दूसरे अवकलज का प्रांत फलन के प्रांत के साथ मेल खाता है। इसलिए, उत्तल अंतरालों की पहचान करने के लिए, हमें असमानताओं f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) 0 को हल करना होगा। .
y "" 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 x 2 y "" 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
हमने पाया कि दिए गए फलन के ग्राफ में खंड [2; + ) और खंड पर उत्तलता (- ∞; 2]।
स्पष्टता के लिए, हम फ़ंक्शन के ग्राफ को चित्रित करेंगे और उस पर उत्तल भाग को नीले रंग में और अवतल भाग को लाल रंग में चिह्नित करेंगे।
उत्तर:दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में खंड [2] पर एक अंतराल होगा; + ) और खंड पर उत्तलता (- ∞; 2]।
लेकिन क्या करें यदि द्वितीय अवकलज का प्रांत फलन के प्रांत के साथ मेल नहीं खाता है? यहां ऊपर दी गई टिप्पणी उपयोगी है: वे बिंदु जहां अंतिम दूसरा व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, हम अवतलता और उत्तलता के खंडों में भी शामिल करेंगे।
उदाहरण 2
शर्त:फलन y = 8 x x - 1 दिया गया है। निर्धारित करें कि किस अंतराल में इसके ग्राफ में एक अंतराल होगा, और किस में - एक उत्तलता।
समाधान
सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन के दायरे का पता लगाएं।
x 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 x ∈ [0; 1) (1; + )
अब हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
y "= 8 xx - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 xx - 1 2 - (x + 1) xx - 1 2" x (x - 1) 4 = - 4 1 xx - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) xx - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3
दूसरे अवकलज का प्रांत समुच्चय x (0; 1) (1; + ) है। हम देखते हैं कि शून्य के बराबर x मूल फलन के प्रांत से संबंधित होगा, लेकिन दूसरे अवकलज के प्रांत से नहीं। इस बिंदु को अवतलता या उत्तलता खंड में शामिल किया जाना चाहिए।
उसके बाद, हमें दिए गए फलन के प्रांत पर f "" (x) 0 और f "" (x) 0 की असमानताओं को हल करना होगा। हम इसके लिए अंतराल की विधि का उपयोग करते हैं: x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 या x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 अंश 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 के लिए 3 x - 1 3 0 हो जाता है, और हर 0 होता है जब x शून्य या एक होता है।
आइए परिणामी बिंदुओं को ग्राफ़ पर रखें और उन सभी अंतरालों पर अभिव्यक्ति का संकेत निर्धारित करें जो मूल फ़ंक्शन के परिभाषा क्षेत्र में शामिल होंगे। इस क्षेत्र को ग्राफ पर हैचिंग द्वारा दर्शाया गया है। यदि मान सकारात्मक है, तो हम अंतराल को प्लस के साथ चिह्नित करते हैं, यदि यह ऋणात्मक है, तो ऋण के साथ।
अत,
एफ "" (एक्स) 0 एक्स ∈ [0; 1) (1; + ∞) x ∈ 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞), और f "" (x) 0 x ∈ [0; 1) (1; + ∞) x [- 1 + 2 3 3; 1)
पहले से चिह्नित बिंदु x = 0 को चालू करें और वांछित उत्तर प्राप्त करें। मूल फ़ंक्शन ग्राफ़ में 0 पर नीचे की ओर उभार होगा; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞), और ऊपर की ओर - x के लिए [- 1 + 2 3 3; 1)।
आइए एक ग्राफ़ बनाएं, उस पर उत्तल भाग को नीले रंग में और अवतल भाग को लाल रंग से चिह्नित करें। ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख एक काली बिंदीदार रेखा के साथ चिह्नित है।
उत्तर:मूल फ़ंक्शन ग्राफ़ में 0 पर नीचे की ओर उभार होगा; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞), और ऊपर की ओर - x के लिए [- 1 + 2 3 3; 1)।
फंक्शन ग्राफ की विभक्ति की स्थिति
आइए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के विभक्ति के लिए आवश्यक शर्त के निरूपण के साथ प्रारंभ करें।
परिभाषा 5
मान लीजिए कि हमारे पास एक फ़ंक्शन y = f (x) है, जिसके ग्राफ में एक विभक्ति बिंदु है। x = x 0 के लिए, इसका एक सतत द्वितीय अवकलज है, इसलिए समानता f "" (x 0) = 0 धारण करेगी।
इस स्थिति को देखते हुए, हमें उन विभक्ति बिंदुओं की तलाश करनी चाहिए जिनमें दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाएगा। यह शर्त पर्याप्त नहीं होगी: ऐसे सभी बिंदु हमारे अनुरूप नहीं होंगे।
यह भी ध्यान दें कि, सामान्य परिभाषा के अनुसार, हमें एक स्पर्शरेखा रेखा की आवश्यकता होगी, लंबवत या गैर-ऊर्ध्वाधर। व्यवहार में, इसका मतलब है कि विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, किसी को उन बिंदुओं को लेना चाहिए जिनमें इस फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाता है। इसलिए, विभक्ति बिंदुओं के भुजों को खोजने के लिए, हमें फलन के डोमेन से सभी x 0 लेने होंगे, जहां lim x → x 0 - 0 f "(x) = और lim x → x 0 + 0 f" (एक्स) = . अक्सर, ये ऐसे बिंदु होते हैं जिन पर पहले व्युत्पन्न का हर 0 हो जाता है।
किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के एक विभक्ति बिंदु के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त
हमने सभी x 0 मान पाए जिन्हें विभक्ति बिंदुओं के एब्सिसास के रूप में लिया जा सकता है। उसके बाद, हमें पहली पर्याप्त विभक्ति शर्त लागू करने की आवश्यकता है।
परिभाषा 6
मान लीजिए कि हमारे पास एक फ़ंक्शन y = f (x) है, जो बिंदु M (x 0; f (x 0)) पर निरंतर है। इसके अलावा, इस बिंदु पर इसकी एक स्पर्शरेखा रेखा होती है, और फ़ंक्शन का इस बिंदु x 0 के आसपास के क्षेत्र में दूसरा व्युत्पन्न होता है। इस मामले में, यदि बाईं और दाईं ओर दूसरा व्युत्पन्न विपरीत संकेत प्राप्त करता है, तो इस बिंदु को एक विभक्ति बिंदु माना जा सकता है।
हम देखते हैं कि इस स्थिति के लिए यह आवश्यक नहीं है कि इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न आवश्यक रूप से मौजूद हो; यह बिंदु x 0 के आसपास के क्षेत्र में होना पर्याप्त है।
ऊपर जो कुछ कहा गया है वह क्रियाओं के अनुक्रम के रूप में सुविधाजनक रूप से प्रस्तुत किया गया है।
- सबसे पहले, आपको संभावित विभक्ति बिंदुओं के सभी एब्सिसस x 0 खोजने होंगे, जहां f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f" (एक्स) = .
- आइए जानें कि किन बिंदुओं पर व्युत्पन्न चिह्न बदलेगा। ये मान विभक्ति बिंदुओं के भुज हैं, और उनके अनुरूप बिंदु M (x 0; f (x 0)) स्वयं विभक्ति बिंदु हैं।
स्पष्टता के लिए, हम दो कार्यों का विश्लेषण करेंगे।
उदाहरण 3
शर्त:फलन y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x दिया गया है। निर्धारित करें कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में विभक्ति और उभार बिंदु कहाँ होंगे।
समाधान
निर्दिष्ट फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर परिभाषित किया गया है। हम पहले व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 एक्स + 2
अब आइए पहले अवकलज का प्रांत ज्ञात करें। यह सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय भी है। इसलिए, समानताएँ lim x → x 0 - 0 f "(x) = और lim x → x 0 + 0 f" (x) = को x 0 के किसी भी मान के लिए संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।
हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 "= 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - २५ २ = - २, एक्स २ = १ + २५ २ = ३
हमें दो संभावित विभक्ति बिंदुओं - 2 और 3 के भुज मिले। हमें बस इतना करना है कि व्युत्पन्न किस बिंदु पर अपना चिन्ह बदलेगा। आइए संख्यात्मक अक्ष खींचते हैं और उस पर इन बिंदुओं को प्लॉट करते हैं, जिसके बाद हम दूसरे व्युत्पन्न के संकेतों को परिणामी अंतराल पर रखते हैं।
चाप प्रत्येक अंतराल में ग्राफ की उत्तलता की दिशा दिखाते हैं।
दूसरा व्युत्पन्न संकेत (प्लस से माइनस तक) एब्सिस्सा 3 के साथ बिंदु पर, बाएं से दाएं से गुजरता है, और यह भी करता है (माइनस से प्लस तक) एब्सिस्सा 3 के साथ बिंदु पर। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि x = - 2 और x = 3 फलन ग्राफ के विभक्ति बिंदुओं के भुज हैं। वे ग्राफ के बिंदुओं के अनुरूप होंगे - 2; - 4 3 और 3; - 15 8.
आइए अंतराल और उत्तलता के स्थानों के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए संख्या अक्ष की छवि और अंतराल पर परिणामी संकेतों को फिर से देखें। यह पता चला है कि उभार खंड - 2 पर स्थित होगा; 3, और खंडों पर अवतलता (- ; - 2] और [3; + ∞)।
समस्या का समाधान स्पष्ट रूप से ग्राफ में दिखाया गया है: नीला रंग - उत्तलता, लाल - अवतलता, काला रंग का अर्थ है विभक्ति बिंदु।
उत्तर:उभार खंड पर स्थित होगा - 2; 3, और खंडों पर अवतलता (- ; - 2] और [3; + ∞)।
उदाहरण 4
शर्त:फलन y = 1 8 x 2 + 3 x + 2 x - 3 3 5 के ग्राफ के विभक्ति के सभी बिंदुओं के भुज की गणना करें।
समाधान
किसी दिए गए फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है। हम व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
y "= 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5" = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 "· (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 "= = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (एक्स - 3) 2 5
किसी फ़ंक्शन के विपरीत, इसका पहला व्युत्पन्न परिभाषित नहीं किया जाएगा जब x 3 हो, लेकिन:
लिम x → 3 - 0 y "(x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + lim x → 3 + 0 y" (एक्स) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = +
इसका मतलब है कि ग्राफ के लिए एक लंबवत स्पर्शरेखा इस बिंदु से गुज़रेगी। इसलिए, 3 विभक्ति बिंदु का भुज हो सकता है।
हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं। हम इसकी परिभाषा का डोमेन और उन बिंदुओं को भी ढूंढते हैं जिन पर यह 0 हो जाता है:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 "= 1 40 13 x 2 - 6 x - 39" 39 x - 3 2 5 "(x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5, x (- ; 3) ∪ (3; + ∞ ) y "" (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 डी = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3.4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0.4675
हमारे पास दो और संभावित विभक्ति बिंदु हैं। आइए उन सभी को संख्या रेखा पर रखें और परिणामी अंतरालों को चिह्नों से चिह्नित करें:
प्रत्येक निर्दिष्ट बिंदु से गुजरते समय साइन रिवर्सल होगा, जिसका अर्थ है कि वे सभी विभक्ति बिंदु हैं।
उत्तर:आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं, लाल रंग में अंतराल को चिह्नित करें, नीले रंग में उभार, और काले रंग में विभक्ति बिंदु:
पहली पर्याप्त विभक्ति स्थिति जानने के बाद, हम उन आवश्यक बिंदुओं को निर्धारित कर सकते हैं जिन पर दूसरे व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक नहीं है। इसके आधार पर, पहली शर्त को सबसे सार्वभौमिक और विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए उपयुक्त माना जा सकता है।
ध्यान दें कि दो और विभक्ति स्थितियां हैं, लेकिन उन्हें केवल तभी लागू किया जा सकता है जब संकेतित बिंदु पर एक परिमित व्युत्पन्न हो।
यदि हमारे पास f "" (x 0) = 0 और f "" "(x 0) 0 है, तो x 0 ग्राफ y = f (x) के विभक्ति बिंदु का भुज होगा।
उदाहरण 5
शर्त:फलन y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 दिया गया है। निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदु 3 पर एक विभक्ति होगी; 4 5.
समाधान
पहली बात यह सुनिश्चित करना है कि दिया गया बिंदु इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित होगा।
वाई (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
निर्दिष्ट फ़ंक्शन उन सभी तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है जो वास्तविक संख्याएं हैं। आइए पहले और दूसरे डेरिवेटिव की गणना करें:
वाई "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 "= 1 १० एक्स - ३ १० = १ १० (एक्स - ३)
हमने पाया कि दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाएगा यदि x 0 के बराबर है। इसका मतलब है कि इस बिंदु के लिए आवश्यक विभक्ति शर्त पूरी की जाएगी। अब हम दूसरी शर्त का उपयोग करते हैं: तीसरा व्युत्पन्न खोजें और पता करें कि क्या यह 3 पर गायब हो जाएगा:
वाई "" "= 1 10 (एक्स - 3)" = 1 10
तीसरा व्युत्पन्न x के किसी भी मान के लिए लुप्त नहीं होगा। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह बिंदु फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु होगा।
उत्तर:आइए दृष्टांत में समाधान दिखाते हैं:
मान लीजिए कि f "(x 0) = 0, f" "(x 0) = 0,..., F (n) (x 0) = 0 और f (n + 1) (x 0) 0. में इस स्थिति में, सम n के लिए, हम पाते हैं कि x 0 ग्राफ y = f (x) के विभक्ति बिंदु का भुज है।
उदाहरण 6
शर्त:फलन y = (x - 3) 5 + 1 दिया गया है। उसके ग्राफ के विभक्ति बिंदुओं की गणना करें।
समाधान
यह फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर परिभाषित होता है। व्युत्पन्न का मूल्यांकन करें: y "= ((x - 3) 5 + 1)" = 5 · x - 3 4. चूंकि इसे तर्क के सभी मान्य मूल्यों के लिए भी परिभाषित किया जाएगा, इसलिए इसके ग्राफ में किसी भी बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा मौजूद होगी।
अब आइए गणना करें कि दूसरा व्युत्पन्न किन मूल्यों पर गायब हो जाएगा:
y "" = 5 (x - 3) 4 "= 20 x - 3 3 y" "= 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
हमने पाया कि x = 3 पर फलन के ग्राफ में एक विभक्ति बिंदु हो सकता है। आइए इसकी पुष्टि के लिए तीसरी शर्त का उपयोग करें:
y "" "= 20 · (x - 3) 3" = 60 · x - 3 2, y "" "(3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 "= 120 (x - 3), y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3)" = 120, y (5) (3) = 120 0
तीसरी पर्याप्त शर्त से हमारे पास n = 4 है। यह एक सम संख्या है, जिसका अर्थ है कि x = 3 विभक्ति बिंदु का भुज होगा और फलन के ग्राफ़ पर बिंदु (3; 1) इससे मेल खाता है।
उत्तर:यहाँ इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ है, जिसमें धक्कों, अंतरालों और विभक्ति बिंदुओं को चिह्नित किया गया है:
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