एक जटिल चर के कार्य.
एक जटिल चर के कार्यों का विभेदन।

यह लेख पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता है जिसमें मैं देखूंगा विशिष्ट कार्य, एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत से संबंधित। उदाहरणों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपके पास होना चाहिए बुनियादी ज्ञानसम्मिश्र संख्याओं के बारे में. सामग्री को समेकित करने और दोहराने के लिए, बस पृष्ठ पर जाएँ। आपको खोजने के कौशल की भी आवश्यकता होगी दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न. यहाँ वे हैं, ये आंशिक व्युत्पन्न... अब भी मैं थोड़ा आश्चर्यचकित था कि वे कितनी बार घटित होते हैं...

जिस विषय की हम जांच करना शुरू कर रहे हैं, उसमें कोई विशेष कठिनाई नहीं है, और एक जटिल चर के कार्यों में, सिद्धांत रूप में, सब कुछ स्पष्ट और सुलभ है। मुख्य बात मूल नियम का पालन करना है, जिसे मैंने प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त किया है। पढ़ते रहिये!

एक जटिल चर के एक फलन की अवधारणा

सबसे पहले, आइए एक चर के स्कूल फ़ंक्शन के बारे में अपने ज्ञान को ताज़ा करें:

एकल चर फ़ंक्शनएक नियम है जिसके अनुसार स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान (परिभाषा के क्षेत्र से) फ़ंक्शन के एक और केवल एक मान से मेल खाता है। स्वाभाविक रूप से, "x" और "y" वास्तविक संख्याएँ हैं।

जटिल मामले में, कार्यात्मक निर्भरता इसी प्रकार निर्दिष्ट की गई है:

एक जटिल चर का एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन- यह वह नियम है जिसके अनुसार हर कोई विस्तृतस्वतंत्र चर का मान (परिभाषा के क्षेत्र से) एक और केवल एक से मेल खाता है विस्तृतफ़ंक्शन मान. सिद्धांत बहु-मूल्यवान और कुछ अन्य प्रकार के कार्यों पर भी विचार करता है, लेकिन सरलता के लिए मैं एक परिभाषा पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

जटिल चर फ़ंक्शन के बीच क्या अंतर है?

मुख्य अंतर: सम्मिश्र संख्याएँ। मैं व्यंग्य नहीं कर रहा हूँ. ऐसे सवाल अक्सर लोगों को स्तब्ध कर देते हैं; लेख के अंत में मैं आपको एक मजेदार कहानी बताऊंगा। सबक पर नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँहमने रूप में एक सम्मिश्र संख्या पर विचार किया। चूँकि अब “z” अक्षर बन गया है चर, तो हम इसे इस प्रकार निरूपित करेंगे: , जबकि "x" और "y" अलग-अलग हो सकते हैं वैधअर्थ. मोटे तौर पर कहें तो, एक जटिल चर का कार्य चर और पर निर्भर करता है, जो "सामान्य" मान लेते हैं। इस तथ्य से निम्नलिखित बिंदु तार्किक रूप से निकलता है:

एक जटिल चर के कार्य को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
, कहां और दो के दो कार्य हैं वैधचर।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है असली हिस्साकार्य
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है काल्पनिक भागकार्य

अर्थात्, एक जटिल चर का कार्य दो वास्तविक कार्यों और पर निर्भर करता है। अंततः सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, आइए व्यावहारिक उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

समाधान:स्वतंत्र चर "ज़ेट", जैसा कि आपको याद है, इस रूप में लिखा गया है, इसलिए:

(1) हमने प्रतिस्थापित किया।

(2) प्रथम पद के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र का प्रयोग किया गया। पद में कोष्ठक खोल दिये गये हैं।

(3) सावधानी से चुकता करें, यह न भूलें

(4) पदों की पुनर्व्यवस्था: सबसे पहले हम पदों को फिर से लिखते हैं , जिसमें कोई काल्पनिक इकाई नहीं है(पहला समूह), फिर वे पद जहाँ हैं (दूसरा समूह)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शर्तों में फेरबदल करना आवश्यक नहीं है, और इस चरण को छोड़ा जा सकता है (वास्तव में इसे मौखिक रूप से करके)।

(5) दूसरे समूह के लिए हम इसे कोष्ठक से बाहर निकालते हैं।

परिणामस्वरूप, हमारा कार्य प्रपत्र में प्रस्तुत किया गया

उत्तर:
- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग.
– समारोह का काल्पनिक भाग.

ये किस प्रकार के कार्य निकले? दो वेरिएबल्स के सबसे सामान्य फ़ंक्शन जिनसे आप इतने लोकप्रिय पा सकते हैं आंशिक अवकलज. दया के बिना, हम इसे पा लेंगे। लेकिन थोड़ी देर बाद.

संक्षेप में, हल की गई समस्या के लिए एल्गोरिथ्म को इस प्रकार लिखा जा सकता है: हम मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं, सरलीकरण करते हैं और सभी शब्दों को दो समूहों में विभाजित करते हैं - एक काल्पनिक इकाई (वास्तविक भाग) के बिना और एक काल्पनिक इकाई (काल्पनिक भाग) के साथ। .

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का वास्तविक और काल्पनिक भाग ढूंढें

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. इससे पहले कि आप अपने चेकर्स के साथ जटिल विमान पर युद्ध में भाग लें, मैं आपको सबसे अधिक जानकारी देता हूँ महत्वपूर्ण सलाहइस टॉपिक पर:

ध्यान से!बेशक, आपको हर जगह सावधान रहने की ज़रूरत है, लेकिन जटिल संख्याओं में आपको पहले से कहीं अधिक सावधान रहना चाहिए! याद रखें, कोष्ठक को ध्यान से खोलें, कुछ भी न खोएं। मेरी टिप्पणियों के अनुसार, सबसे आम गलती एक संकेत का खो जाना है। जल्दी न करो!

संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

अब घन. संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
.

व्यवहार में सूत्रों का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि वे समाधान प्रक्रिया को काफी तेज कर देते हैं।

एक जटिल चर के कार्यों का विभेदन।

मेरे पास दो ख़बरें हैं: अच्छी और बुरी। मैं अच्छे से शुरुआत करूंगा. एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के लिए, विभेदन के नियम और प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका मान्य है। इस प्रकार, व्युत्पन्न को ठीक उसी तरह से लिया जाता है जैसे किसी वास्तविक चर के फ़ंक्शन के मामले में।

बुरी खबर यह है कि कई जटिल परिवर्तनीय कार्यों के लिए कोई व्युत्पन्न नहीं है, और आपको इसका पता लगाना होगा क्या यह भिन्न है?एक फ़ंक्शन या दूसरा। और "पता लगाना" कि आपका दिल कैसा महसूस करता है, अतिरिक्त समस्याओं से जुड़ा है।

आइए एक जटिल चर के कार्य पर विचार करें। इस फ़ंक्शन को भिन्न बनाने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है:

1) ताकि प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न मौजूद रहे। इन नोटेशनों को तुरंत भूल जाइए, क्योंकि एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत में पारंपरिक रूप से एक अलग नोटेशन का उपयोग किया जाता है: .

2) तथाकथित को क्रियान्वित करना कॉची-रीमैन स्थितियाँ:

केवल इस मामले में ही व्युत्पन्न अस्तित्व में रहेगा!

उदाहरण 3

समाधानको तीन क्रमिक चरणों में विभाजित किया गया है:

1) आइए फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को ढूंढें। इस कार्य पर पिछले उदाहरणों में चर्चा की गई थी, इसलिए मैं इसे बिना किसी टिप्पणी के लिखूंगा:

के बाद से:

इस प्रकार:

– समारोह का काल्पनिक भाग.

मुझे एक और तकनीकी बिंदु पर बात करने दीजिए: किस क्रम मेपदों को वास्तविक और काल्पनिक भागों में लिखें? हां, सिद्धांत रूप में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, वास्तविक भाग को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और काल्पनिक एक - इस तरह: .

2) आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। उनमें से दो.

आइए स्थिति की जाँच करके शुरुआत करें। हम देखतें है आंशिक अवकलज:

इस प्रकार, शर्त संतुष्ट है.

बेशक, अच्छी खबर यह है कि आंशिक व्युत्पन्न लगभग हमेशा बहुत सरल होते हैं।

हम दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करते हैं:

परिणाम वही होता है, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ यानी शर्त भी पूरी होती है।

कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं, इसलिए फ़ंक्शन भिन्न है।

3) आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न भी बहुत सरल है और सामान्य नियमों के अनुसार पाया जाता है:

विभेदीकरण के दौरान काल्पनिक इकाई को एक स्थिरांक माना जाता है।

उत्तर: - वास्तविक भाग, – काल्पनिक भाग.
कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

व्युत्पन्न खोजने के दो और तरीके हैं, बेशक, उनका उपयोग कम बार किया जाता है, लेकिन जानकारी दूसरे पाठ को समझने के लिए उपयोगी होगी - एक जटिल चर का फ़ंक्शन कैसे खोजें?

सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया जा सकता है:

में इस मामले में:

इस प्रकार

हमें व्युत्क्रम समस्या को हल करना होगा - परिणामी अभिव्यक्ति में हमें अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शर्तों में और कोष्ठक के बाहर यह आवश्यक है:

जैसा कि कई लोगों ने देखा है, विपरीत क्रिया को निष्पादित करना कुछ अधिक कठिन है; जांचने के लिए, अभिव्यक्ति को ड्राफ्ट पर लेना या मौखिक रूप से कोष्ठक को वापस खोलना हमेशा बेहतर होता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि परिणाम बिल्कुल सही है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए दर्पण सूत्र:

इस मामले में: , इसीलिए:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। यदि कॉची-रीमैन शर्तें पूरी होती हैं, तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना।

क्या कॉची-रीमैन स्थितियाँ सदैव संतुष्ट रहती हैं? सैद्धांतिक रूप से, वे जितने पूरे होते हैं उससे अधिक बार पूरे नहीं होते। लेकिन में व्यावहारिक उदाहरणमुझे ऐसा कोई मामला याद नहीं है जहां वे पूरे नहीं हुए हों =) इस प्रकार, यदि आपका आंशिक व्युत्पन्न "अभिसरण नहीं करता है", तो बहुत अधिक संभावना के साथ आप कह सकते हैं कि आपने कहीं गलती की है।

आइए अपने कार्यों को जटिल बनाएं:

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। गणना

समाधान:समाधान एल्गोरिथ्म पूरी तरह से संरक्षित है, लेकिन अंत में एक नया बिंदु जोड़ा जाएगा: एक बिंदु पर व्युत्पन्न ढूँढना। घन के लिए, आवश्यक सूत्र पहले ही निकाला जा चुका है:

आइए इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को परिभाषित करें:

ध्यान और ध्यान फिर से!

के बाद से:


इस प्रकार:
- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग;
– समारोह का काल्पनिक भाग.

दूसरी शर्त की जाँच करना:

परिणाम वही होता है, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ यानी शर्त भी पूरी होती है।

कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं, इसलिए फ़ंक्शन भिन्न है:

आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें:

उत्तर:, , कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं,

क्यूब्स के साथ फ़ंक्शन आम हैं, इसलिए इसे सुदृढ़ करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। गणना करें.

पाठ के अंत में समाधान और समापन का उदाहरण।

सिद्धांत में व्यापक विश्लेषणएक जटिल तर्क के अन्य कार्यों को भी परिभाषित किया गया है: घातांक, साइन, कोसाइन, आदि। इन कार्यों में असामान्य और यहां तक ​​कि विचित्र गुण हैं - और यह वास्तव में दिलचस्प है! मैं वास्तव में आपको बताना चाहता हूं, लेकिन यहां, जैसा कि होता है, एक संदर्भ पुस्तक या पाठ्यपुस्तक नहीं है, बल्कि एक समाधान पुस्तक है, इसलिए मैं कुछ सामान्य कार्यों के साथ उसी समस्या पर विचार करूंगा।

सबसे पहले तथाकथित के बारे में यूलर के सूत्र:

किसी के लिए भी वैधसंख्याएँ, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

आप इसे संदर्भ सामग्री के रूप में अपनी नोटबुक में भी कॉपी कर सकते हैं।

कड़ाई से कहें तो, केवल एक ही सूत्र है, लेकिन आमतौर पर सुविधा के लिए वे घातांक में ऋण के साथ एक विशेष मामला भी लिखते हैं। पैरामीटर में एक अक्षर होना आवश्यक नहीं है; यह एक जटिल अभिव्यक्ति या फ़ंक्शन हो सकता है, केवल यह महत्वपूर्ण है कि वे स्वीकार करें केवल वैधअर्थ. दरअसल, हम इसे अभी देखेंगे:

उदाहरण 7

व्युत्पन्न खोजें.

समाधान:पार्टी की सामान्य लाइन अटल बनी हुई है - समारोह के वास्तविक और काल्पनिक हिस्सों को अलग करना आवश्यक है। मैं एक विस्तृत समाधान दूंगा और नीचे प्रत्येक चरण पर टिप्पणी करूंगा:

के बाद से:

(1) इसके स्थान पर "z" रखें।

(2) प्रतिस्थापन के बाद, आपको वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करना होगा सूचक में सबसे पहलेप्रदर्शक. ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलें।

(3) हम संकेतक के काल्पनिक भाग को समूहीकृत करते हैं, काल्पनिक इकाई को कोष्ठक से बाहर रखते हैं।

(4) हम डिग्रियों के साथ स्कूल कार्रवाई का उपयोग करते हैं।

(5) गुणक के लिए हम यूलर के सूत्र का उपयोग करते हैं, और।

(6) कोष्ठक खोलें, जिसके परिणामस्वरूप:

- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग;
– समारोह का काल्पनिक भाग.

आगे की कार्रवाइयां मानक हैं; आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जांच करें:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। ऐसा ही हो, हमें व्युत्पन्न नहीं मिलेगा।

समाधान:समाधान एल्गोरिथ्म पिछले दो उदाहरणों के समान है, लेकिन बहुत सारे हैं महत्वपूर्ण बिंदु, इसीलिए प्रथम चरणमैं चरण दर चरण फिर से टिप्पणी करूंगा:

के बाद से:

1) इसके स्थान पर "z" रखें।

(2) सबसे पहले, हम वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करते हैं साइनस के अंदर. इन उद्देश्यों के लिए, हम कोष्ठक खोलते हैं।

(3) हम सूत्र का उपयोग करते हैं, और .

(4) प्रयोग हाइपरबोलिक कोसाइन की समता: और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या की विषमता: . हाइपरबोलिक्स, हालांकि इस दुनिया से बाहर हैं, कई मायनों में समान त्रिकोणमितीय कार्यों की याद दिलाते हैं।

अंततः:
- फ़ंक्शन का वास्तविक भाग;
– समारोह का काल्पनिक भाग.

ध्यान!ऋण चिह्न काल्पनिक भाग को संदर्भित करता है, और किसी भी परिस्थिति में हमें इसे खोना नहीं चाहिए! के लिए दृश्य चित्रणउपरोक्त परिणाम को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें:

कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

उत्तर:, , कॉची-रीमैन स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

देवियो और सज्जनो, आइए इसे स्वयं समझें:

उदाहरण 10

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें। कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें।

मैंने जानबूझकर अधिक कठिन उदाहरण चुने, क्योंकि ऐसा लगता है कि हर कोई छिलके वाली मूंगफली जैसी किसी न किसी चीज़ से निपटने में सक्षम है। साथ ही, आप अपना ध्यान प्रशिक्षित करेंगे! पाठ के अंत में नट क्रैकर।

खैर, निष्कर्ष में, मैं एक और पर विचार करूंगा दिलचस्प उदाहरण, जब जटिल तर्क हर में हो। व्यवहार में ऐसा कुछ बार हुआ है, आइए कुछ सरल पर नजर डालें। एह, मैं बूढ़ा हो रहा हूँ...

उदाहरण 11

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग निर्धारित करें। कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें।

समाधान:फिर से फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों में अंतर करना आवश्यक है।
तो अगर

सवाल उठता है कि जब हर में "Z" हो तो क्या करें?

सब कुछ सरल है - मानक मदद करेगा अंश और हर को संयुग्मी व्यंजक से गुणा करने की विधि, इसका उपयोग पहले ही पाठ के उदाहरणों में किया जा चुका है नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँ. चलो याद करते हैं स्कूल फार्मूला. हमारे पास पहले से ही हर है, जिसका अर्थ है कि संयुग्मी अभिव्यक्ति होगी। इस प्रकार, आपको अंश और हर को इससे गुणा करना होगा: