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जीसीडी और एलसीएम खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एलओसी खोजें

जीसीडी और एलओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

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नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, अवधि या अल्पविराम से अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का GCD और LCM ज्ञात करना कठिन नहीं है

जीसीडी और एनओसी क्या हैं?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याएँ सबसे बड़ा प्राकृतिक पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़े सामान्य भाजक को संक्षिप्त रूप में कहा जाता है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तककई संख्या है सबसे छोटी संख्या, जो बिना किसी शेषफल के प्रत्येक मूल संख्या से विभाज्य है। लघुत्तम समापवर्त्य को इस प्रकार संक्षिप्त किया जाता है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

यह कैसे जांचें कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें संयोजित करके, आप उनमें से कुछ की विभाज्यता और उनके संयोजन की जांच कर सकते हैं।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या के लिए 2 से विभाज्यता परीक्षण
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखना पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 2 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:देखो पिछले अंक: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या का 3 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग तीन से विभाज्य हो। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा हो, आप उसी प्रक्रिया को दोबारा दोहरा सकते हैं।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 3 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या का 5 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच हो।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 5 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पाँच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या का 9 से विभाज्यता परीक्षण
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 9 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो नंबरों की जीसीडी कैसे पता करें

अधिकांश सरल तरीके सेदो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का अर्थ है इन संख्याओं के सभी संभावित भाजक ढूंढना और उनमें से सबसे बड़े का चयन करना।

आइए जीसीडी(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. हम सामान्य गुणनखंड ढूंढते हैं, अर्थात् वे जो दोनों संख्याओं में हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 = 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का लघुत्तम गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहली विधि यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणजों को लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की gcd ज्ञात करना है। आइए इस पर ही विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के उत्पाद की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले पाए गए जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28·36 = 1008
2. जीसीडी(28, 36), जैसा कि पहले से ज्ञात है, 4 के बराबर है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

कई संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक केवल दो नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाया जाता है। आप कई संख्याओं की जीसीडी ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का भी उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी(ए, बी, सी) = जीसीडी(जीसीडी(ए, बी), सी).

एक समान संबंध लघुत्तम समापवर्त्य पर लागू होता है: एलसीएम(ए, बी, सी) = एलसीएम(एलसीएम(ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद GCD देगा: 1·2·2 = 4
4. आइए अब एलसीएम ढूंढें: ऐसा करने के लिए, आइए पहले एलसीएम(12, 32): 12·32 / 4 = 96 ढूंढें।
5. सभी की एनओसी ढूंढ़ना तीन नंबर, आपको जीसीडी(96, 36) ढूंढना होगा: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , जीसीडी = 1·2·2·3 = 12 .
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य सीधे तौर पर उन संख्याओं के सबसे बड़े समापवर्तक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच संबंधनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय.

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ विभाजक द्वारा विभाजित a और b के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी).

सबूत।

होने देना M, संख्याओं a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k है जैसे कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M, b से भी विभाज्य है, तो a·k, b से विभाज्य है।

आइए gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएँ a=a 1 ·d और b=b 1 ·d लिख सकते हैं, और a 1 =a:d और b 1 =b:d अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ होंगी। नतीजतन, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त कि a · k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है: a 1 · d · k को b 1 · d से विभाजित किया गया है, और यह, विभाज्यता गुणों के कारण, स्थिति के बराबर है कि a 1 · k, b 1 से विभाज्य है।

आपको विचारित प्रमेय से दो महत्वपूर्ण परिणाम भी लिखने होंगे।

दो संख्याओं के सामान्य गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह वास्तव में मामला है, क्योंकि संख्याओं ए और बी के एम के किसी भी सामान्य गुणक को कुछ पूर्णांक मान टी के लिए समानता एम = एलएमके (ए, बी)·टी द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सहअभाज्य का लघुत्तम समापवर्त्य सकारात्मक संख्याए और बी उनके उत्पाद के बराबर हैं।

इस तथ्य का तर्क बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1, इसलिए, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने को क्रमिक रूप से दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने तक कम किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है। और चूँकि संख्या m k का सबसे छोटा धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो संख्याओं a 1, a 2, ..., a k का सबसे छोटा सामान्य गुणज m k है।

ग्रंथ सूची.

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• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल सिद्धांत.
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• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकी और गणित के छात्रों के लिए। शैक्षणिक संस्थानों की विशिष्टताएँ।

"एकाधिक" विषय का अध्ययन कक्षा 5 में किया जाता है माध्यमिक विद्यालय. इसका लक्ष्य लिखित और मौखिक गणितीय गणना कौशल में सुधार करना है। इस पाठ में, नई अवधारणाएँ पेश की जाती हैं - "एकाधिक संख्याएँ" और "भाजक", एक प्राकृतिक संख्या के भाजक और गुणज खोजने की तकनीक, और विभिन्न तरीकों से एलसीएम खोजने की क्षमता का अभ्यास किया जाता है।

यह विषय बहुत महत्वपूर्ण है. इसका ज्ञान भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करते समय लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको लघुत्तम समापवर्तक (LCM) की गणना करके उभयनिष्ठ हर को खोजना होगा।

A का गुणज एक पूर्णांक है जो बिना किसी शेषफल के A से विभाज्य है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में उसके गुणजों की अनंत संख्या होती है। यह स्वयं सबसे छोटा माना जाता है। गुणज स्वयं संख्या से कम नहीं हो सकता.

आपको यह सिद्ध करना होगा कि संख्या 125, 5 का गुणज है। ऐसा करने के लिए, आपको पहली संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करना होगा। यदि 125 बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य है, तो उत्तर हाँ है।

यह विधि छोटी संख्याओं के लिए लागू होती है।

एलओसी की गणना करते समय विशेष मामले होते हैं।

1. यदि आपको 2 संख्याओं (उदाहरण के लिए, 80 और 20) का एक सामान्य गुणज खोजने की आवश्यकता है, जहां उनमें से एक (80) दूसरे (20) से विभाज्य है, तो यह संख्या (80) इनमें से सबसे छोटी गुणज है दो नंबर.

एलसीएम(80, 20) = 80.

2. यदि दो में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि उनका एलसीएम इन दो संख्याओं का गुणनफल है।

एलसीएम(6, 7) = 42.

आइए आखिरी उदाहरण देखें. 42 के संबंध में 6 और 7 विभाजक हैं। वे किसी संख्या के गुणज को बिना किसी शेषफल के विभाजित करते हैं।

इस उदाहरण में, 6 और 7 युग्मित गुणनखंड हैं। उनका गुणनफल सबसे बड़ी संख्या (42) के बराबर है।

कोई संख्या अभाज्य कहलाती है यदि वह केवल स्वयं से या 1 (3:1=3; 3:3=1) से विभाज्य हो। शेष को मिश्रित कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण में यह निर्धारित करना शामिल है कि क्या 9, 42 का भाजक है।

42:9=4 (शेष 6)

उत्तर: 9, 42 का भाजक नहीं है क्योंकि उत्तर में शेषफल है।

एक भाजक एक गुणज से इस मायने में भिन्न होता है कि भाजक वह संख्या है जिससे प्राकृतिक संख्याएँ विभाजित होती हैं, और गुणज स्वयं इस संख्या से विभाज्य होता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बी, उनके लघुत्तम गुणज से गुणा करने पर संख्याओं का गुणनफल स्वयं प्राप्त हो जाएगा एऔर बी.

अर्थात्: जीसीडी (ए, बी) एक्स जीसीडी (ए, बी) = ए एक्स बी।

अधिक जटिल संख्याओं के लिए सामान्य गुणज निम्नलिखित तरीके से पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, 168, 180, 3024 का एलसीएम ज्ञात कीजिए।

हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं और उन्हें घातों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

एलसीएम(168, 180, 3024) = 15120।

गणितीय अभिव्यक्तियों और समस्याओं के लिए बहुत अधिक अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होती है। एनओसी मुख्य में से एक है, विशेष रूप से अक्सर इस विषय का अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है, और शक्तियों और गुणन तालिका से परिचित व्यक्ति को सामग्री को समझना विशेष रूप से कठिन नहीं होता है, उसे आवश्यक संख्याओं की पहचान करने और खोजने में कठिनाई नहीं होगी; परिणाम।

परिभाषा

एक सामान्य गुणक एक संख्या है जिसे एक ही समय में दो संख्याओं (ए और बी) में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है। प्रायः यह संख्या मूल संख्याओं a और b को गुणा करके प्राप्त की जाती है। संख्या बिना किसी विचलन के, एक ही बार में दोनों संख्याओं से विभाज्य होनी चाहिए।

एनओसी स्वीकृत पदनाम है संक्षिप्त नाम, पहले अक्षरों से एकत्र किया गया।

नंबर पाने के तरीके

संख्याओं को गुणा करने की विधि हमेशा एलसीएम खोजने के लिए उपयुक्त नहीं होती है; यह सरल एकल-अंकीय या दो-अंकीय संख्याओं के लिए अधिक उपयुक्त होती है। गुणनखंडों में विभाजित करने की प्रथा है; जितनी बड़ी संख्या होगी, उतने ही अधिक गुणनखंड होंगे।

उदाहरण 1

सबसे सरल उदाहरण के लिए, स्कूल आमतौर पर अभाज्य, एकल या दोहरे अंक वाली संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य को हल करने की आवश्यकता है, संख्याओं 7 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें, समाधान काफी सरल है, बस उन्हें गुणा करें। परिणामस्वरूप, एक संख्या 21 है, इससे छोटी कोई संख्या नहीं है।

उदाहरण संख्या 2

कार्य का दूसरा संस्करण अधिक कठिन है. संख्याएँ 300 और 1260 दी गई हैं, एलओसी ढूँढना अनिवार्य है। समस्या को हल करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाएं मानी जाती हैं:

पहली और दूसरी संख्याओं का सरल गुणनखंडों में अपघटन। 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. पहला चरण पूरा हो गया है.

दूसरे चरण में पहले से प्राप्त डेटा के साथ काम करना शामिल है। प्राप्त संख्याओं में से प्रत्येक को अंतिम परिणाम की गणना में भाग लेना चाहिए। प्रत्येक गुणक के लिए, सबसे अधिक बड़ी संख्याघटनाएँ एलसीएम एक सामान्य संख्या है, इसलिए संख्याओं के गुणनखंडों को इसमें दोहराया जाना चाहिए, हर एक, यहां तक ​​कि वे भी जो एक प्रति में मौजूद हैं। दोनों प्रारंभिक संख्याओं में संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं, विभिन्न घातों में 7 केवल एक मामले में मौजूद है;

अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए, आपको प्रत्येक संख्या को समीकरण में दर्शाई गई सबसे बड़ी शक्तियों में लेना होगा। जो कुछ बचा है उसे गुणा करना और उत्तर प्राप्त करना है यदि सही ढंग से भरा गया है, तो कार्य बिना स्पष्टीकरण के दो चरणों में फिट बैठता है:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) एनओसी = 6300.

यह पूरी समस्या है, यदि आप गुणा द्वारा आवश्यक संख्या की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो उत्तर निश्चित रूप से सही नहीं होगा, क्योंकि 300 * 1260 = 378,000।

इंतिहान:

6300/300 = 21 - सही;

6300/1260 = 5 - सही।

प्राप्त परिणाम की शुद्धता जाँच करके निर्धारित की जाती है - एलसीएम को दोनों मूल संख्याओं से विभाजित करना; यदि संख्या दोनों मामलों में पूर्णांक है, तो उत्तर सही है।

गणित में NOC का क्या अर्थ है?

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में एक भी बेकार फ़ंक्शन नहीं है, यह कोई अपवाद नहीं है। इस संख्या का सबसे सामान्य उद्देश्य भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना है। आमतौर पर कक्षा 5-6 में क्या अध्ययन किया जाता है हाई स्कूल. यदि समस्या में ऐसी स्थितियाँ मौजूद हैं, तो यह अतिरिक्त रूप से सभी गुणकों के लिए एक सामान्य भाजक भी है। इस तरह के व्यंजक से न केवल दो संख्याओं का, बल्कि बहुत बड़ी संख्या का भी गुणज खोजा जा सकता है - तीन, पाँच, इत्यादि। कैसे अधिक संख्या- कार्य में जितनी अधिक क्रियाएं होती हैं, लेकिन जटिलता नहीं बढ़ती।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 250, 600 और 1500 दी गई हैं, आपको उनका सामान्य एलसीएम ज्ञात करना होगा:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - यह उदाहरण बिना कटौती के विस्तार से गुणनखंड का वर्णन करता है।

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

एक अभिव्यक्ति बनाने के लिए, सभी कारकों का उल्लेख करना आवश्यक है, इस मामले में 2, 5, 3 दिए गए हैं - इन सभी संख्याओं के लिए अधिकतम डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है।

ध्यान दें: सभी कारकों को पूर्ण सरलीकरण के बिंदु पर लाया जाना चाहिए, यदि संभव हो तो, एकल अंकों के स्तर तक विघटित किया जाए।

इंतिहान:

1) 3000 / 250 = 12 - सही;

2) 3000 / 600 = 5 - सत्य;

3) 3000/1500 = 2 - सही।

इस विधि के लिए किसी तरकीब या प्रतिभा स्तर की क्षमताओं की आवश्यकता नहीं है, सब कुछ सरल और स्पष्ट है।

एक और तरीका

गणित में, कई चीजें जुड़ी हुई हैं, कई चीजों को दो या दो से अधिक तरीकों से हल किया जा सकता है, यही बात लघुत्तम समापवर्तक, एलसीएम को खोजने के लिए भी लागू होती है। सरल दो-अंकीय और एकल-अंकीय संख्याओं के मामले में निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है। एक तालिका संकलित की जाती है जिसमें गुणक को लंबवत रूप से, गुणक को क्षैतिज रूप से दर्ज किया जाता है, और उत्पाद को कॉलम की प्रतिच्छेदी कोशिकाओं में दर्शाया जाता है। आप एक पंक्ति का उपयोग करके तालिका को प्रतिबिंबित कर सकते हैं, एक संख्या ले सकते हैं और इस संख्या को 1 से अनंत तक पूर्णांकों से गुणा करने के परिणाम लिख सकते हैं, कभी-कभी 3-5 अंक पर्याप्त होते हैं, दूसरी और बाद की संख्याएं समान कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया से गुजरती हैं। सब कुछ तब तक होता है जब तक कि एक उभयनिष्ठ गुणज न मिल जाए।

संख्याओं 30, 35, 42 को देखते हुए, आपको सभी संख्याओं को जोड़ने वाला एलसीएम ढूंढना होगा:

1) 30 के गुणज: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, आदि।

2) 35 के गुणज: 70, 105, 140, 175, 210, 245, आदि।

3) 42 के गुणज: 84, 126, 168, 210, 252, आदि।

यह ध्यान देने योग्य है कि सभी संख्याएँ काफी भिन्न हैं, उनमें से एकमात्र सामान्य संख्या 210 है, इसलिए यह एनओसी होगी। इस गणना में शामिल प्रक्रियाओं में एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी है, जिसकी गणना समान सिद्धांतों के अनुसार की जाती है और अक्सर पड़ोसी समस्याओं में इसका सामना किया जाता है। अंतर छोटा है, लेकिन काफी महत्वपूर्ण है, एलसीएम में एक संख्या की गणना करना शामिल है जो सभी दिए गए प्रारंभिक मूल्यों से विभाजित है, और जीसीडी में गणना शामिल है उच्चतम मूल्यजिससे मूल संख्याओं को विभाजित किया जाता है।

स्कूली बच्चों को गणित में बहुत सारे कार्य दिए जाते हैं। उनमें से, अक्सर निम्नलिखित सूत्रीकरण के साथ समस्याएं होती हैं: दो अर्थ हैं। दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात करें? ऐसे कार्यों को करने में सक्षम होना आवश्यक है, क्योंकि अर्जित कौशल का उपयोग विभिन्न हर वाले भिन्नों के साथ काम करने के लिए किया जाता है। इस लेख में हम देखेंगे कि एलओसी और बुनियादी अवधारणाओं को कैसे खोजा जाए।

एलसीएम कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर खोजने से पहले, आपको एकाधिक शब्द को परिभाषित करने की आवश्यकता है. अक्सर, इस अवधारणा का सूत्रीकरण इस तरह लगता है: एक निश्चित मान A का गुणज एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के A से विभाज्य होगी, इसलिए, 4 के लिए, गुणज 8, 12, 16, 20 होंगे। और इसी तरह, आवश्यक सीमा तक।

इस मामले में, किसी विशिष्ट मान के लिए भाजक की संख्या सीमित हो सकती है, लेकिन गुणज अनंत रूप से अनेक होते हैं। प्राकृतिक मूल्यों का भी यही मूल्य है। यह एक सूचक है जो बिना किसी शेषफल के उनमें विभाजित है। कुछ संकेतकों के लिए सबसे छोटे मूल्य की अवधारणा को समझने के बाद, आइए आगे बढ़ें कि इसे कैसे खोजा जाए।

एनओसी ढूंढी जा रही है

दो या दो से अधिक घातांकों का सबसे छोटा गुणज सबसे छोटा होता है प्राकृतिक संख्या, जो सभी निर्दिष्ट संख्याओं से पूर्णतः विभाज्य है।

ऐसा मान ज्ञात करने के कई तरीके हैं, विचार करना निम्नलिखित विधियाँ:

1. यदि संख्याएँ छोटी हों तो उनसे विभाज्य सभी संख्याओं को एक रेखा पर लिख लें। ऐसा तब तक करते रहें जब तक आपको उनमें कुछ समानता न मिल जाए। लिखित रूप में, उन्हें K अक्षर से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 और 3 के लिए, सबसे छोटा गुणज 12 है।
2. यदि ये बड़े हैं या आपको 3 या अधिक मानों का गुणज खोजने की आवश्यकता है, तो आपको एक अन्य तकनीक का उपयोग करना चाहिए जिसमें संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना शामिल है। सबसे पहले, सूचीबद्ध सबसे बड़े को बाहर निकालें, फिर बाकी सभी को। उनमें से प्रत्येक के पास गुणकों की अपनी संख्या है। उदाहरण के तौर पर, आइए 20 (2*2*5) और 50 (5*5*2) को विघटित करें। छोटे वाले के लिए, कारकों को रेखांकित करें और उन्हें बड़े वाले में जोड़ें। परिणाम 100 होगा, जो उपरोक्त संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।
3. 3 संख्याएँ (16, 24 और 36) ढूँढ़ते समय सिद्धांत अन्य दो के समान ही होते हैं। आइए उनमें से प्रत्येक का विस्तार करें: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3। संख्या 16 के विस्तार में से केवल दो दो को सबसे बड़े विस्तार में शामिल नहीं किया गया था, हम उन्हें जोड़ते हैं और 144 प्राप्त करते हैं, जो पहले बताए गए संख्यात्मक मानों के लिए सबसे छोटा परिणाम है।

अब हम जानते हैं कि दो, तीन या अधिक मानों के लिए सबसे छोटा मान ज्ञात करने की सामान्य तकनीक क्या है। हालाँकि, निजी तरीके भी हैं, यदि पिछले वाले मदद नहीं करते हैं तो एनओसी खोजने में मदद करते हैं।

जीसीडी और एनओसी कैसे खोजें।

खोजने के निजी तरीके

किसी भी गणितीय अनुभाग की तरह, एलसीएम खोजने के विशेष मामले हैं जो विशिष्ट स्थितियों में मदद करते हैं:

• यदि कोई एक संख्या शेष के बिना अन्य से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा गुणज उसके बराबर है (60 और 15 का एलसीएम 15 है);
• परस्पर प्रमुख संख्याकोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं है। उनका सबसे छोटा मान इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है। इस प्रकार, संख्या 7 और 8 के लिए यह 56 होगा;
• यही नियम विशेष मामलों सहित अन्य मामलों के लिए भी काम करता है, जिनके बारे में विशेष साहित्य में पढ़ा जा सकता है। इसमें विघटन के मामले भी शामिल होने चाहिए समग्र संख्या, जो व्यक्तिगत लेखों और यहां तक ​​कि उम्मीदवार शोध प्रबंधों का विषय हैं।

विशेष मामले इससे कम आम हैं मानक उदाहरण. लेकिन उनके लिए धन्यवाद, आप जटिलता की अलग-अलग डिग्री के अंशों के साथ काम करना सीख सकते हैं। यह भिन्नों के लिए विशेष रूप से सत्य है, जहां असमान हर हैं।

कुछ उदाहरण

आइए कुछ उदाहरण देखें जो आपको लघुत्तम गुणज ज्ञात करने के सिद्धांत को समझने में मदद करेंगे:

1. एलओसी खोजें (35; 40)। हम पहले 35 = 5*7 को विघटित करते हैं, फिर 40 = 5*8 को। सबसे छोटी संख्या में 8 जोड़ें और LOC 280 प्राप्त करें।
2. एनओसी (45; 54)। हम उनमें से प्रत्येक को विघटित करते हैं: 45 = 3*3*5 और 54 = 3*3*6। हम संख्या 6 को 45 में जोड़ते हैं। हमें 270 के बराबर एलसीएम मिलता है।
3. खैर, आखिरी उदाहरण. 5 और 4 हैं। इनका कोई अभाज्य गुणज नहीं है, इसलिए इस मामले में सबसे छोटा सामान्य गुणज उनका गुणनफल होगा, जो 20 के बराबर है।

उदाहरणों के लिए धन्यवाद, आप समझ सकते हैं कि एनओसी कैसे स्थित है, बारीकियां क्या हैं और इस तरह के हेरफेर का अर्थ क्या है।

एनओसी ढूँढना शुरू में जितना आसान लगता है उससे कहीं अधिक आसान है। ऐसा करने के लिए, सरल विस्तार और सरल मानों को एक दूसरे से गुणा करने दोनों का उपयोग किया जाता है. गणित के इस खंड के साथ काम करने की क्षमता गणितीय विषयों, विशेष रूप से जटिलता की विभिन्न डिग्री के अंशों के आगे के अध्ययन में मदद करती है।

समय-समय पर उदाहरणों को हल करना न भूलें विभिन्न तरीके, यह तार्किक तंत्र विकसित करता है और आपको कई शब्दों को याद रखने की अनुमति देता है। जानें कि ऐसे घातांक को कैसे ढूंढें और आप गणित के बाकी अनुभागों में अच्छा प्रदर्शन करने में सक्षम होंगे। गणित सीखने में आनंद!

वीडियो

यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि लघुत्तम समापवर्त्य को कैसे खोजा जाए।