هر فرد مدرن باید بداند که یک سیستم مختصات چیست. هر روز با چنین سیستم هایی مواجه می شویم بدون اینکه حتی به چیستی آنها فکر کنیم. زمانی در مدرسه مفاهیم اولیه را یاد گرفتیم، تقریباً می دانیم که یک محور X، یک محور Y و یک نقطه مرجع برابر با صفر وجود دارد. در واقع، همه چیز بسیار پیچیده تر است؛ انواع مختلفی از سیستم مختصات وجود دارد. در مقاله ما به هر یک از آنها به طور مفصل نگاه خواهیم کرد و همچنین توضیح مفصلی در مورد مکان و دلیل استفاده از آنها خواهیم داد.

تعریف و دامنه

سیستم مختصات مجموعه ای از تعاریف است که موقعیت یک جسم یا نقطه را با استفاده از اعداد یا نمادهای دیگر مشخص می کند. به مجموعه اعدادی که محل یک نقطه خاص را مشخص می کنند مختصات آن نقطه می گویند. سیستم های مختصات در بسیاری از زمینه های علوم استفاده می شود، به عنوان مثال، در ریاضیات، مختصات مجموعه ای از اعداد هستند که با نقاطی در برخی از نقشه های یک اطلس از پیش تعیین شده مرتبط هستند. در هندسه، مختصات، کمیت هایی هستند که مکان یک نقطه در فضا و در یک صفحه را تعیین می کنند. در جغرافیا، مختصات نشان دهنده عرض، طول و ارتفاع بالاتر از سطح عمومی دریا، اقیانوس یا سایر مقادیر از پیش تعیین شده است. در نجوم مختصات کمیتی هستند که تعیین موقعیت یک ستاره مانند انحراف و معراج راست را ممکن می سازند. این لیست کاملی از مکان های استفاده از سیستم های مختصات نیست. اگر فکر می کنید که این مفاهیم از افرادی که به علم علاقه ندارند دور است، پس باور کنید که در زندگی روزمره بسیار بیشتر از آنچه فکر می کنید یافت می شوند. حداقل یک نقشه از شهر بگیرید، چرا یک سیستم مختصات نه؟

پس از پرداختن به تعریف، بیایید ببینیم که چه نوع سیستم های مختصاتی وجود دارد و چه هستند.

سیستم مختصات منطقه ای

این سیستم مختصات عمدتاً برای بررسی های مختلف افقی و ترسیم نقشه های زمین قابل اعتماد استفاده می شود. این بر اساس طرح گاوسی استوانه ای متساوی الاضلاع است. در این طرح، کل سطح ژئوئید زمین توسط نصف النهارها به مناطق 6 درجه تقسیم شده و از 1 تا 60 شرق نصف النهار گرینویچ شماره گذاری شده است. در این حالت نصف النهار میانی این ناحیه شش ضلعی را نصف النهار محوری می گویند. مرسوم است که آن را با سطح داخلی استوانه ترکیب می کنند و آن را محور آبسیسا می دانند. برای جلوگیری از مقادیر ارتین منفی (y)، اردیت روی نصف النهار محوری (نقطه مرجع اولیه) نه به عنوان صفر، بلکه به عنوان 500 کیلومتر در نظر گرفته می شود، یعنی 500 کیلومتر به سمت غرب منتقل می شود. شماره منطقه باید قبل از دستور مشخص شود.

سیستم مختصات گاوس کروگر

این سیستم مختصات بر اساس طرح ریزی است که توسط دانشمند مشهور آلمانی گاوس پیشنهاد شده و برای استفاده در ژئودزی توسط کروگر توسعه داده شده است. ماهیت این طرح این است که کره زمین به طور معمول توسط نصف النهارها به مناطق شش درجه تقسیم می شود. مناطق از نصف النهار گرینویچ از غرب به شرق شماره گذاری می شوند. با دانستن شماره منطقه، می توانید به راحتی نصف النهار میانی را که محوری نامیده می شود، با استفاده از فرمول Z = 60(n) – 3 تعیین کنید، که در آن (n) عدد ناحیه است. برای هر زون، با پرتاب کردن آن بر روی سطح جانبی استوانه‌ای که محور آن بر محور زمین عمود است، یک تصویر مسطح ساخته می‌شود. سپس این استوانه به تدریج بر روی هواپیما باز می شود. خط استوا و نصف النهار محوری با خطوط مستقیم نشان داده می شوند. محور آبسیسا در هر زون نصف النهار محوری است و استوا به عنوان محور ارتین عمل می کند. نقطه شروع تقاطع خط استوا و نصف النهار محوری است. آبسیساها در شمال استوا فقط با علامت مثبت و جنوب استوا فقط با علامت منفی شمارش می شوند.

سیستم مختصات قطبی در هواپیما

این یک سیستم مختصات دو بعدی است که هر نقطه در آن با دو عدد - شعاع قطبی و زاویه قطبی - در صفحه مشخص می شود. سیستم مختصات قطبی در مواردی که نشان دادن رابطه بین نقاط به شکل زاویه و شعاع آسانتر است مفید است. سیستم مختصات قطبی توسط پرتویی به نام محور قطبی یا صفر تعریف می شود. نقطه ای که یک پرتو معین از آن خارج می شود قطب یا مبدا نامیده می شود. یک نقطه دلخواه در یک صفحه تنها با دو مختصات قطبی تعیین می شود: زاویه ای و شعاعی. مختصات شعاعی برابر است با فاصله نقطه تا مبدا دستگاه مختصات. مختصات زاویه ای برابر با زاویه ای است که محور قطبی باید در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخد تا به نقطه برسد.

سیستم مختصات مستطیلی

احتمالاً از مدرسه می‌دانید که یک سیستم مختصات مستطیلی چیست، اما با این حال، اجازه دهید یک بار دیگر به یاد بیاوریم. سیستم مختصات مستطیلی یک سیستم مستطیلی است که در آن محورها در فضا یا روی یک صفحه قرار دارند و متقابلاً بر یکدیگر عمود هستند. این ساده ترین و رایج ترین سیستم مختصات است. به طور مستقیم و کاملاً آسان به فضاهایی با هر ابعادی تعمیم داده می شود که به گسترده ترین کاربرد آن نیز کمک می کند. موقعیت یک نقطه در یک صفحه با دو مختصات تعیین می شود - به ترتیب x و y، یک محور آبسیسا و یک محور وجود دارد.

سیستم مختصات دکارتی

در توضیح اینکه سیستم مختصات دکارتی چیست، ابتدا باید گفت که این یک مورد خاص از یک سیستم مختصات مستطیلی است که در آن محورها دارای مقیاسهای یکسان هستند. در ریاضیات، اغلب یک سیستم مختصات دکارتی دو بعدی یا سه بعدی را در نظر می گیریم. مختصات با حروف لاتین x، y، z نشان داده می شوند و به ترتیب abscissa، ordinate و applicate نامیده می شوند. محور مختصات (OX) معمولاً محور آبسیسا، محور (OY) محور مختصات و محور (OZ) محور کاربردی است.

اکنون می دانید که سیستم مختصات چیست، چیست و کجا استفاده می شود.

مطالعه توپوگرافی سطح زمین شامل تعیین موقعیت موقعیت و تسکین نسبت به سطح ریاضی زمین است. در تعیین مختصات مکانی نقاط مشخصه لازم و کافی برای مدلسازی زمین. یک مدل زمین را می توان در قالب نقشه های ژئودتیک ارائه کرد که تولید آن را نقشه برداری می نامند و به صورت تحلیلی - در قالب مجموعه ای از مختصات نقاط مشخصه. برای ساخت مدل های زمین در ژئودزی از روش طرح ریزی و سیستم های مختصات مختلف استفاده می شود.

روش طرح افقی به این صورت است که نقاط مورد مطالعه ( الف، ب، ج، د، ای) زمین ها با استفاده از خطوط عمودی (شقق) بر روی یک سطح صاف قرار می گیرند U(شکل 5)، که منجر به برآمدگی افقی این نقاط می شود ( الف، ب، ج، د، ه). بخش ها Aa، Bb، Cc، Dd، Eeارتفاع نقاط و مقادیر عددی آنها علامت نامیده می شوند.

ارتفاع یک نقطه یکی از مختصات مکانی آن است. اگر ژئوئید به عنوان یک سطح تراز در نظر گرفته شود، ارتفاع مطلق نامیده می شود و اگر یک سطح تراز دلخواه برای این منظور در نظر گرفته شود، نسبی یا مشروط نامیده می شود.

برنج. 5. طراحی نقاط زمین بر روی سطح زمین

دو مختصات گمشده دیگر نقطه با استفاده از یک سیستم مختصات ساخته شده بر روی سطح ریاضی زمین تعیین می شوند (شکل 6).

از طریق هر نقطه از سطح بیضی مرجع، دو صفحه عمود بر هم رسم می شود:

صفحه نصف النهار ژئودزیکی- صفحه ای که از محور چرخش زمین می گذرد PP";

صفحه عرض جغرافیایی، که عمود بر صفحه نصف النهار ژئودزیکی است.

آثار مقطع سطح بیضی مرجع توسط این صفحات نامیده می شود نصف النهار (م)وموازی .

نصف النهارعبور از رصدخانه نجوم گرینویچ نامیده می شود اولیهیا صفر(م 0 ).

موازی، که صفحه آن از مرکز زمین می گذرد O، تماس گرفت استوا(E).

سطحعبور از مرکز زمین Oعمود بر محور چرخش آن PP"، تماس گرفت استوایی.

اساس همه سیستم های مختصات، صفحات نصف النهار و استوا هستند.

برنج. 6. سیستم مختصات جغرافیایی شکل. 7. سیستم مختصات ژئودزیکی

سیستم های مختصات به زاویه ای، خطی و خطی-زاویه ای تقسیم می شوند.

نمونه ای از مختصات زاویه ای مختصات جغرافیایی هستند (شکل 6): عرض جغرافیایی  و طول جغرافیایی  . در امتداد موازی و نصف النهار متناظر، عرض و طول جغرافیایی نقاط ثابت است.

سیستم مختصات زیر در ژئودزی استفاده می شود:

ژئودتیک؛

نجومی؛

جغرافیایی؛

ژئودزیک مستطیلی مسطح (زونال)؛

قطبی؛

مختصات ژئودتیکی

مختصات ژئودتیکی موقعیت یک نقطه از سطح زمین را بر روی بیضی مرجع تعیین می کند (شکل 7).

عرض جغرافیایی ژئودتیک ب - زاویه تشکیل شده توسط نرمال به سطح بیضی در یک نقطه معین و صفحه استوای آن. عرض جغرافیایی از استوای شمالی یا جنوبی از 0 درجه تا 90 درجه اندازه گیری می شود و بر این اساس عرض جغرافیایی شمالی یا جنوبی نامیده می شود.

طول جغرافیایی ژئودتیک L - زاویه دو وجهی بین صفحات نصف النهار ژئودزیکی یک نقطه معین و نصف النهار ژئودزیکی اولیه گرینویچ.

طول جغرافیایی نقاط واقع در شرق نصف النهار اول شرقی و به سمت غرب - غربی نامیده می شود.

مختصات نجومی (برای ژئودزی)

عرض جغرافیایی نجومی  و طول جغرافیایی  موقعیت یک نقطه در سطح زمین را نسبت به صفحه استوایی و صفحه نصف النهار نجومی اول تعیین کنید (شکل 8).

برنج. 8. سیستم مختصات نجومی شکل. 9. سیستم مختصات جغرافیایی

عرض جغرافیایی نجومی 

طول جغرافیایی نجومی  - زاویه دو وجهی بین صفحات نصف النهار نجومی یک نقطه معین و نصف النهار نجومی اول.

صفحه نصف النهار نجومی صفحه ای است که از خط شاقول در یک نقطه معین و موازی با محور چرخش زمین می گذرد.

عرض جغرافیایی نجومی  و طول جغرافیایی  توسط مشاهدات نجومی تعیین می شود.

مختصات ژئودتیکی و نجومی به دلیل انحراف خط شاقول از حالت عادی به سطح بیضی متفاوت است (اختلاف دارد). هنگام تدوین نقشه های جغرافیایی از این انحراف غفلت می شود.

مختصات جغرافیایی

مختصات جغرافیایی کمیت هایی هستند که دو سیستم مختصات ژئودتیک و نجومی را تعمیم می دهند و در مواردی که انحراف شاقول از حالت عادی به سطح در نظر گرفته نمی شود استفاده می شود (شکل 9).

عرض جغرافیایی  - زاویه تشکیل شده توسط یک شاقول در یک نقطه معین و صفحه استوایی.

طول جغرافیایی  - زاویه دو وجهی بین صفحات نصف النهار یک نقطه معین با صفحه نصف النهار اول.

مختصات ژئودزی مستطیلی مسطح (زونال).

هنگام حل مسائل مهندسی و ژئودزی، عمدتاً از سیستم های مختصات ژئودتیک مستطیلی مسطح و قطبی استفاده می شود.

برای تعیین موقعیت نقاط در یک سیستم مختصات ژئودتیک مستطیلی مسطح، از صفحه مختصات افقی استفاده کنید. HOU (شکل 10)، که توسط دو خط مستقیم عمود بر یکدیگر تشکیل شده است. یکی از آنها به عنوان محور آبسیسا در نظر گرفته شده است ایکس ، دیگری - پشت محور ترتیب Y ، نقطه تقاطع محورها در باره - برای مبدا مختصات.

برنج. 10. سیستم مختصات مستطیلی صفحه

و
نقاط مورد مطالعه از سطح ریاضی زمین بر روی صفحه مختصات پیش بینی می شوند HOU . از آنجایی که یک سطح کروی را نمی توان بدون اعوجاج (بدون گسست و چین) بر روی صفحه پرتاب کرد، در هنگام ساختن یک برآمدگی صاف از سطح ریاضی زمین، اجتناب ناپذیر بودن این اعوجاج پذیرفته می شود، اما در عین حال بزرگی آنها به درستی محدود می شود. . برای این کار، از پیش‌بینی نقشه منسجم گاوس-کروگر استفاده می‌شود (این طرح به نام دانشمندان آلمانی که این طرح را پیشنهاد کردند و فرمول‌هایی را برای استفاده از آن در ژئودزی ایجاد کردند نام‌گذاری شده است)، که در آن سطح ریاضی زمین به صورت مقطعی بر روی صفحه نمایش داده می‌شود. - مناطقی که کل سطح زمین توسط نصف النهارهای 6 یا 3 درجه به آنها تقسیم می شود که از نصف النهار اصلی شروع می شود (شکل 11).

برنج. 11. تقسیم سطح ریاضی زمین به مناطق شش درجه

در داخل هر منطقه، سیستم مختصات مستطیلی خود را ساخته شده است. برای این منظور تمام نقاط این ناحیه بر روی سطح استوانه ای (شکل 12، الف) که محور آن در صفحه استوای زمین قرار دارد و سطح آن در امتداد وسط سطح زمین را لمس می کند، قرار می گیرد. نصف النهار منطقه که نصف النهار محوری نامیده می شود. در این حالت شرط حفظ شباهت فیگورهای روی زمین و در برآمدگی زمانی رعایت می شود که اندازه این فیگورها کوچک باشد.

برنج. 12. طرح ریزی نقشه منسجم گاوس-کروگر (a) و سیستم مختصات ناحیه ای (b):

1 – زون، 2 – شبکه مختصات، 3 – نصف النهار محوری، 4 – برآمدگی خط استوا بر روی سطح استوانه، 5 – استوا،

6 – محور آبسیسا – برآمدگی نصف النهار محوری، 7 – محور ارتین – برآمدگی خط استوا

پس از پرتاب کردن نقاط زون بر روی استوانه، روی صفحه ای مستقر می شود که بر روی آن تصویر برآمدگی نصف النهار محوری و بخش مربوطه از استوا به شکل دو خط مستقیم عمود بر یکدیگر ارائه می شود (شکل 12، ب). نقطه تقاطع آنها به عنوان ابتدای سیستم مختصات مستطیلی مسطح ناحیه ای، تصویر جهت شمالی نصف النهار محوری به عنوان محور مثبت آبسیسا و تصویر جهت شرقی خط استوا به عنوان تصویر گرفته شده است. جهت مثبت محور ارتین.

برای تمام نقاط در خاک کشور ما، آبسیسا دارای ارزش مثبت است. برای اطمینان از اینکه مختصات نقاط نیز فقط مثبت هستند، در هر ناحیه اردیت مبدا مختصات برابر با 500 کیلومتر در نظر گرفته می شود (شکل 12، ب). بنابراین، نقاطی که در غرب نصف النهار محوری قرار دارند دارای مسافت کمتر از 500 کیلومتر و در شرق - بیش از 500 کیلومتر هستند. به این دستورات تبدیل شده می گویند.

در مرزهای مناطق در عرض های جغرافیایی از 30 درجه تا 70 درجه، خطاهای نسبی ناشی از اعوجاج طول خطوط در این طرح ریزی از 1: 1000 تا 1: 6000 متغیر است. هنگامی که چنین خطاهایی غیرقابل قبول باشد، به مناطق سه درجه متوسل می شود.

در نقشه‌های گردآوری‌شده در طرح نقشه‌های هم‌نقل گاوس-کروگر، اعوجاج‌های طول در نقاط مختلف طرح متفاوت است، اما در جهات مختلف که از یک نقطه بیرون می‌آیند، این اعوجاج‌ها یکسان خواهند بود. دایره ای با شعاع بسیار کوچک که روی یک سطح هموار گرفته شده است نیز به صورت دایره ای در این طرح نمایش داده می شود. بنابراین می گویند که برجستگی مورد نظر مطابق است، یعنی شباهت فیگورهای کره و برجستگی را حتی با اندازه های بسیار کوچک این فیگورها حفظ می کند. بنابراین، تصاویر خطوط سطح زمین در این برجستگی بسیار نزدیک به تصاویر به دست آمده است.

ربع های سیستم مختصات مستطیلی شماره گذاری شده اند. آنها در جهت فلش از جهت مثبت محور آبسیسا شمارش می شوند (شکل 13).

برنج. 13. سیستم مختصات ربع مستطیلی

اگر یک نقطه دلخواه را به عنوان مبدا یک سیستم مختصات مستطیلی مسطح در نظر بگیریم، آن را نسبی یا شرطی می نامیم.

مختصات قطبی

هنگام انجام نقشه برداری و علامت گذاری کار ژئودتیک، اغلب از یک سیستم مختصات قطبی استفاده می شود (شکل 14). از یک قطب تشکیل شده است در باره و محور قطبی یا ، که خطی مستقیم با شروع و جهت مشخص در نظر گرفته می شود.

برنج. 14. سیستم مختصات قطبی

برای تعیین موقعیت نقاط در یک سیستم معین، از مختصات خطی-زاویه ای استفاده می شود: زاویه β ، در جهت عقربه های ساعت از محور قطبی شمارش می شود یا به جهت برآمدگی افقی نقطه آ" ، و فاصله قطبی r از قطب سیستم در باره قبل از فرافکنی آ" .

سیستم های ارتفاع

ارتفاع یک نقطه سومین مختصاتی است که موقعیت آن را در فضا مشخص می کند.

در ژئودزی، از سیستم های ارتفاعی زیر برای تعیین ارتفاعات استفاده می شود (شکل 15):

ارتومتریک (مطلق)؛

ژئودتیک؛

عادی (تعمیم شده)؛

نسبی (مشروط).

برنج. 15. سیستم های ارتفاع در ژئودزی

ارتفاع ارتومتریک (مطلق).اچ O- فاصله اندازه گیری شده در جهت شاقول از سطح زمین تا یک نقطه معین.

ارتفاع ژئودتیکاچ جی - فاصله اندازه گیری شده در امتداد جهت عادی از سطح بیضی مرجع تا یک نقطه معین.

که در سیستم ارتفاع معمولیعلامت نقطه اچ nدر جهت شاقول از سطح اندازه گیری می شود شبه ژئوئید، نزدیک به سطح ژئوئید.

شبه ژئوئید("ظاهرا ژئوئید") - رقمی که در دهه 1950 پیشنهاد شد. دانشمند شوروی M.S. مولودنسکی به عنوان یک راه حل دقیق برای مشکل تعیین شکل زمین. شبه ژئوئيد از مقادير اندازه گيري شده پتانسيل هاي گرانشي طبق مفاد نظريه M.S تعيين مي شود. مولودنسکی.

در کشور ما تمامی ارتفاعات معیارهای شبکه تسطیح ایالتی در سیستم ارتفاع معمولی تعیین می شود. این به این دلیل است که تعیین موقعیت ژئوئید در زیر قاره ها دشوار است. بنابراین، از اواخر دهه 40 در اتحاد جماهیر شوروی، تصمیم گرفته شد که از سیستم ارتفاع ارتومتری استفاده نشود.

در روسیه، ارتفاع مطلق نقاط در تعیین می شود سیستم ارتفاع بالتیک (BAS)به طور نسبی صفر پایه کرونشتات- یک خط افقی روی یک صفحه مسی متصل به تکیه گاه یک پل از طریق کانال کنارگذر در شهر کرونشتات.

قد نسبیاچ در- از هر سطحی غیر از سطح اصلی اندازه گیری می شود.

سیستم ارتفاع محلی - صلح جو،سطح تراز آن 1873 میلی متر زیر صفر پایه کرونشتات است.

شکل و اندازه زمین. دستگاه های مختصات. ارتفاعات.

2.1. شکل و اندازه زمین

مطالعه شکل و اندازه زمین شامل حل دو مسئله است. این استقرار یک شکل نظری هموار، تعمیم یافته از زمین و تعیین انحرافات سطح فیزیکی واقعی از آن است.

با توجه به اینکه سطح اقیانوس ها و دریاها 71 درصد از سطح زمین را تشکیل می دهد و سطح خشکی - فقط 29 درصد، شکل نظری زمین را جسمی محدود به سطح اقیانوس ها در نظر می گیرند. حالت آرام، در زیر قاره ها ادامه یافت و فراخواند ژئوئید.

سطحی در هر نقطه عمود بر یک شاقول (جهت گرانش) نامیده می شود سطح تراز. از بسیاری از سطوح تراز، یکی با سطح زمین منطبق است.

به دلیل توزیع ناهموار جرم ها در پوسته زمین، ژئوئید شکل هندسی نامنظمی دارد و سطح آن را نمی توان به صورت ریاضی بیان کرد که برای حل مسائل ژئودتیک ضروری است. هنگام حل مسائل ژئودتیکی، ژئوئید با سطوح هندسی منظم نزدیک به آن جایگزین می شود.

بنابراین، برای محاسبات تقریبی، زمین به صورت کره ای با شعاع 6371 کیلومتر در نظر گرفته می شود.

یک بیضی به شکل یک ژئوئید نزدیکتر می شود - شکلی که با چرخش یک بیضی (شکل 2.1) حول محور کوچک آن به دست می آید. ابعاد بیضی زمین با پارامترهای اساسی زیر مشخص می شود: آ- محور نیمه اصلی، ب- محور نیمه جزئی، a - فشار قطبی و هاولین خروج از مرکز بیضی نصف النهار است، که در آن و .

بین یک بیضی معمولی زمینی و یک بیضی مرجع تمایز قائل می شود.

مرکز بیضی زمین معمولیمحور چرخش در مرکز جرم زمین قرار می گیرد، محور چرخش با محور چرخش متوسط ​​زمین همسو می شود و ابعادی به گونه ای در نظر گرفته می شود که بیشترین نزدیکی سطح بیضی به سطح ژئوئید را تضمین کند. بیضی جهانی در حل مسائل ژئودتیک جهانی و به ویژه در پردازش اندازه گیری های ماهواره ای استفاده می شود. در حال حاضر، دو بیضی جهانی به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند: PZ-90 (پارامترهای زمین 1990، روسیه) و WGS-84 (سیستم ژئودتیک جهانی 1984، ایالات متحده).

بیضی مرجع- یک بیضی که برای کارهای زمین شناسی در یک کشور خاص به کار گرفته شده است. سیستم مختصات اتخاذ شده در کشور با بیضی مرجع همراه است. پارامترهای بیضی مرجع تحت شرایط بهترین تقریب قسمت معینی از سطح زمین انتخاب می شوند. در این حالت، مراکز بیضی و زمین در یک راستا نیستند.

در روسیه، از سال 1946، بیضی مرجع استفاده شده است بیضی کراسوفسکیبا پارامترهای: آ= 6،378،245 متر، a = 1/298.3.

2.2. سیستم های مختصات مورد استفاده در ژئودزی

برای تعیین موقعیت نقاط در ژئودزی از مختصات مستطیل فضایی، ژئودتیک و مستطیل مسطح استفاده می شود.

مختصات مستطیلی فضایی. مبدا سیستم مختصات در مرکز قرار دارد Oبیضی زمین (شکل 2.2).

محور زدر امتداد محور چرخش بیضی به سمت شمال هدایت می شود. محور ایکسدر تقاطع صفحه استوایی با نصف النهار اولیه گرینویچ قرار دارد. محور Yعمود بر محورها هدایت می شود زو ایکسبه شرق.

مختصات ژئودتیکی. مختصات ژئودزی یک نقطه عرض جغرافیایی، طول و ارتفاع آن است (شکل 2.2).

عرض جغرافیایی ژئودتیکنکته ها مزاویه نامیده می شود که در، از حالت عادی به سطح بیضی که از یک نقطه معین و صفحه استوایی عبور می کند تشکیل می شود.

عرض جغرافیایی از استوای شمالی و جنوبی از 0 درجه تا 90 درجه اندازه گیری می شود و به آن شمال یا جنوب می گویند. عرض شمالی مثبت و عرض جنوبی منفی در نظر گرفته می شود.

صفحات مقطعی یک بیضی که از محور عبور می کند OZ، نامیده می شوند نصف النهارهای ژئودتیکی.

طول جغرافیایی ژئودتیکنکته ها مزاویه دو وجهی نامیده می شود L، که توسط صفحات نصف النهار ژئودزیکی اولیه (گرینویچ) و نصف النهار ژئودزیکی یک نقطه معین تشکیل می شود.

طول جغرافیایی از نصف النهار اصلی در محدوده 0 تا 360 درجه شرقی یا از 0 تا 180 درجه شرقی (مثبت) و از 0 تا 180 درجه غربی (منفی) اندازه گیری می شود.

ارتفاع ژئودتیکنکته ها مارتفاع آن است نبالای سطح بیضی زمین.

مختصات ژئودتیکی و مختصات مستطیلی فضایی با فرمول ها به هم مرتبط هستند

X =(N+H) cos ب cos L,

Y=(N+H) cos بگناه L,

Z=[(1 - ه 2 )N+H] گناه ب,

جایی که ه- اولین خروج از مرکز بیضی نصف النهار و ن- شعاع انحنای عمود اول. که در آن N=a/(1 - ه 2 گناه 2 ب) 1/2 .

مختصات مستطیلی ژئودتیکی و مکانی نقاط با استفاده از اندازه‌گیری‌های ماهواره‌ای و همچنین با پیوند دادن آنها با اندازه‌گیری‌های ژئودزیکی به نقاطی با مختصات شناخته شده تعیین می‌شوند.

توجه داشته باشید که در کنار علم ژئودزیک، طول و عرض جغرافیایی نجومی نیز وجود دارد. عرض جغرافیایی نجومی j زاویه ایجاد شده توسط شاقول در یک نقطه معین با صفحه استوا است. طول جغرافیایی نجومی l زاویه بین صفحات نصف النهار گرینویچ و نصف النهار نجومی است که از خط شاقول در یک نقطه مشخص می گذرد. مختصات نجومی بر روی زمین از مشاهدات نجومی تعیین می شود.

مختصات نجومی با مختصات ژئودتیکی متفاوت است زیرا جهت خطوط شاقول با جهت های نرمال به سطح بیضی منطبق نیست. زاویه بین جهت نرمال به سطح بیضی و شاقول در یک نقطه معین از سطح زمین نامیده می شود. انحراف خط شاقول.

تعمیم مختصات ژئودزیکی و نجومی عبارت است - مختصات جغرافیایی.

مختصات مستطیلی صفحه. برای حل مشکلات ژئودزی مهندسی، آنها از مختصات فضایی و ژئودتیکی به مختصات ساده تر حرکت می کنند - مختصات مسطح، که به تصویر کشیدن زمین در یک هواپیما و تعیین موقعیت نقاط با استفاده از دو مختصات امکان پذیر می شود. ایکسو در.

از آنجایی که سطح محدب زمین را نمی توان در یک صفحه بدون اعوجاج به تصویر کشید، معرفی مختصات مسطح فقط در مناطق محدودی امکان پذیر است که اعوجاج ها آنقدر کوچک هستند که می توان از آنها چشم پوشی کرد. در روسیه، یک سیستم مختصات مستطیلی اتخاذ شده است که اساس آن برآمدگی گاوسی استوانه ای متساوی الاضلاع است. سطح یک بیضی بر روی یک صفحه در قسمت هایی به نام زون نشان داده می شود. زون ها مثلث های کروی هستند که توسط نصف النهارها محدود شده و از قطب شمال به سمت جنوب امتداد دارند (شکل 2.3). اندازه منطقه در طول جغرافیایی 6 درجه است. نصف النهار مرکزی هر زون را نصف النهار محوری می گویند. مناطق از گرینویچ به شرق شماره گذاری شده اند.

طول نصف النهار محوری منطقه با عدد N برابر است با:

L 0 = 6°× N - 3°.

نصف النهار محوری منطقه و استوا بر روی صفحه با خطوط مستقیم نشان داده شده است (شکل 2.4). نصف النهار محوری به عنوان محور آبسیسا در نظر گرفته می شود ایکس، و استوا در پشت محور رده بندی قرار دارد yتقاطع آنها (نقطه O) به عنوان مبدأ مختصات این ناحیه عمل می کند.

برای اجتناب از مقادیر ارتین منفی، مختصات تقاطع در نظر گرفته می شود ایکس 0 = 0, y 0 = 500 کیلومتر که معادل جابجایی محور است ایکس 500 کیلومتری غرب.

به طوری که با مختصات مستطیلی یک نقطه می توان قضاوت کرد که در کدام ناحیه قرار دارد، به ترتیب. yشماره منطقه مختصات به سمت چپ اختصاص داده می شود.

مثلاً مختصات یک نقطه را بگذارید آدارای فرم:

ایکسآ = 6276427 متر

yآ= 12,428,566 متر

این مختصات نشان می دهد که نقطه آدر فاصله 6276427 متری از خط استوا، در قسمت غربی ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.

برای مختصات مستطیلی مستطیلی، ژئودزیکی و مستطیلی مسطح در روسیه، یک سیستم مختصات یکپارچه SK-95 اتخاذ شده است که توسط نقاط شبکه ژئودتیک دولتی بر روی زمین ثابت شده و براساس اندازه‌گیری‌های ماهواره‌ای و زمینی از سال 1995 ساخته شده است.

سیستم های مختصات مستطیلی محلیدر طول ساخت اشیاء مختلف سیستم های مختصات محلی (شرطی) اغلب مورد استفاده قرار می گیرند که در آن جهت محورها و مبدا مختصات بر اساس راحتی استفاده از آنها در طول ساخت و ساز و عملیات بعدی تأسیسات تعیین می شود.

بنابراین، هنگام عکاسی از یک ایستگاه راه آهن، محور دردر امتداد محور راه آهن اصلی در جهت افزایش پیکتاژ هدایت می شوند و محور ایکس– در امتداد محور ساختمان ایستگاه مسافربری.

در حین ساخت گذرگاه های پل، محور ایکسمعمولاً با محور پل و محور ترکیب می شود yدر جهت عمود می رود

در طول ساخت تاسیسات بزرگ صنعتی و عمرانی، محورها ایکسو yبه موازات محورهای ساختمان های در حال ساخت هدایت می شود.

2.3. سیستم های ارتفاع

ارتفاع در ژئودزی مهندسی از یکی از سطوح تراز محاسبه می شود.

ارتفاعنقاط فاصله در امتداد یک شاقول از یک نقطه تا یک سطح تراز است که به عنوان شروع محاسبه ارتفاع در نظر گرفته می شود.

اگر ارتفاعات از سطح تراز اصلی، یعنی از سطح ژئوئید اندازه گیری شوند، نامیده می شوند ارتفاعات مطلق آهانو Vv- ارتفاع مطلق نقاط آو که در.

اگر سطح دیگری به عنوان نقطه شروع برای محاسبه ارتفاع انتخاب شود، ارتفاعات نامیده می شوند مشروط. در شکل 2.5 بخش خط شاقول آهان¢ و Vv¢ - ارتفاع مشروط نقاط آو که در.

در روسیه پذیرفته شده است سیستم ارتفاع بالتیکارتفاع مطلق از سطح تراز عبوری محاسبه می شود صفر پایه کرونشتات.

مقدار عددی ارتفاع معمولا نامیده می شود علامت گذاری.مثلاً اگر ارتفاع یک نقطه آمساوی با اچآ= 15.378 متر، سپس می گوییم ارتفاع نقطه 15.378 متر است.

اختلاف ارتفاع دو نقطه نامیده می شود بیش از حد. بنابراین، فراتر از نقطه که دربالاتر از نقطه آبرابر است

ساعتAB= اچکه در - اچآ.

دانستن ارتفاع نقطه آ، برای تعیین ارتفاع یک نقطه که درمازاد بر روی زمین اندازه گیری می شود ساعتAB. ارتفاع نقطه که دربا فرمول محاسبه می شود

اچکه در= اچآ+hAB.

اندازه گیری ارتفاعات و سپس محاسبه ارتفاع نقاط را تسطیح می گویند.

ارتفاع مطلق یک نقطه باید از آن متمایز شود ژئودتیکارتفاع، یعنی ارتفاع اندازه گیری شده از سطح بیضی زمین (به بخش 2.2 مراجعه کنید). ارتفاع ژئودتیک با میزان انحراف سطح زمین از سطح بیضی با ارتفاع مطلق تفاوت دارد.

در نتیجه، ما متذکر می شویم که تعیین دقیق موقعیت سطح زمین در منطقه قاره غیرممکن است. بنابراین، در روسیه مرسوم است که ارتفاعات را از یک سطح کمکی نزدیک به ژئوئید شمارش کنند، اما برای تعیین دقیق قابل دسترسی است، به نام شبه ژئوئید. ارتفاعات اندازه گیری شده از سطح ژئوئید نامیده می شود ارتومتریکارتفاعات، و اندازه گیری از سطح شبه ژئوئید - طبیعیارتفاعات نتایج اندازه‌گیری‌های انجام‌شده در ژئودزی مهندسی تحت‌تاثیر تفاوت‌های دو سیستم ارتفاعی نام‌گذاری‌شده قرار نمی‌گیرد، و در آینده ما بین آنها تمایز قائل نخواهیم شد، اما از مفهوم کلی معرفی شده در بالا استفاده خواهیم کرد - مطلقارتفاع

آخرین مواد

• اصول اولیه تغییر شکل استاتیک خاک

  در طی 15 تا 20 سال گذشته، در نتیجه مطالعات تجربی متعدد با استفاده از طرح‌های آزمایشی مورد بحث در بالا، داده‌های گسترده‌ای در مورد رفتار خاک‌ها تحت شرایط تنش پیچیده به‌دست آمده است. از آنجایی که در حال حاضر ...

• تغییر شکل الاستوپلاستیک محیط و سطح بارگذاری

  تغییر شکل مواد الاستوپلاستیک، از جمله خاک، شامل الاستیک (برگشت پذیر) و باقیمانده (پلاستیک) است. برای تدوین کلی ترین ایده ها در مورد رفتار خاک ها تحت بارگذاری دلخواه، لازم است الگوهای ...

• شرح طرح‌ها و نتایج آزمایش‌های خاک با استفاده از متغیرهای تنش و حالت‌های تغییر شکل

  هنگام مطالعه خاکها و همچنین مصالح ساختاری، در تئوری پلاستیسیته مرسوم است که بین بارگیری و تخلیه تمایز قائل شود. بارگذاری فرآیندی است که در آن افزایش تغییر شکل های پلاستیکی (باقیمانده) رخ می دهد و فرآیندی همراه با تغییر (کاهش) ...

• متغیرهای شرایط تنش و تغییر شکل محیط خاک

  استفاده از متغیرهای تنش و حالت‌های تغییر شکل در مکانیک خاک با ظهور و توسعه مطالعات خاک در دستگاه‌هایی آغاز شد که امکان تغییر شکل دو و سه محوری نمونه‌ها را در شرایط تنش پیچیده فراهم می‌کرد.

• درباره ضرایب پایداری و مقایسه با نتایج تجربی

  از آنجایی که در تمام مسائل در نظر گرفته شده در این فصل، خاک در وضعیت تنش نهایی در نظر گرفته می شود، تمام نتایج محاسباتی مطابق با حالتی است که ضریب ایمنی k3 = 1. برای ...

• فشار زمین بر سازه ها

  روش های تئوری تعادل حدی به ویژه در مسائل تعیین فشار خاک بر سازه ها به ویژه دیوارهای حائل مؤثر است. در این حالت معمولاً بار روی سطح خاک را به عنوان مثال فشار معمولی p(x) و ... فرض می شود.

• ظرفیت باربری پی ها

  معمولی ترین مشکل تعادل محدود کننده محیط خاک تعیین ظرفیت باربری پی تحت تأثیر بارهای معمولی یا شیبدار است. به عنوان مثال در مورد بارهای عمودی روی فونداسیون، مشکل به ...

• فرآیند بلند کردن سازه ها از پایه آنها

  وظیفه ارزیابی شرایط جداسازی و تعیین نیروی مورد نیاز برای این امر هنگام بلند کردن کشتی ها، محاسبه نیروی نگهدارنده لنگرهای "مرده"، برداشتن تکیه گاه های حفاری گرانشی دریایی از روی زمین هنگام چیدمان مجدد آنها و...

• حل مسائل تلفیق صفحه و فضایی و کاربردهای آنها

  تعداد بسیار محدودی راه حل برای مسائل مسطح و مخصوصاً یکپارچه سازی فضایی در قالب وابستگی های ساده، جداول یا نمودارها وجود دارد. راه حل هایی برای اعمال نیروی متمرکز به سطح خاک دو فاز وجود دارد (B...

برای حل اکثر مسائل در علوم کاربردی، دانستن محل یک شی یا نقطه ضروری است که با استفاده از یکی از سیستم های مختصات پذیرفته شده تعیین می شود. علاوه بر این، سیستم های ارتفاعی وجود دارند که موقعیت ارتفاع یک نقطه را نیز تعیین می کنند

مختصات چیست

مختصات مقادیر عددی یا الفبایی هستند که می توانند برای تعیین مکان یک نقطه روی زمین استفاده شوند. در نتیجه، یک سیستم مختصات مجموعه ای از مقادیر از همان نوع است که اصل یکسانی برای یافتن یک نقطه یا شی دارد.

یافتن محل یک نقطه برای حل بسیاری از مسائل عملی مورد نیاز است. در علمی مانند ژئودزی، تعیین مکان یک نقطه در یک فضای معین هدف اصلی است که تمام کارهای بعدی بر اساس دستیابی به آن است.

اکثر سیستم های مختصات معمولاً مکان یک نقطه را روی صفحه ای که فقط با دو محور محدود شده است، تعیین می کنند. برای تعیین موقعیت یک نقطه در فضای سه بعدی از سیستم ارتفاع نیز استفاده می شود. با کمک آن می توانید مکان دقیق شی مورد نظر را پیدا کنید.

مختصری در مورد سیستم های مختصات مورد استفاده در ژئودزی

سیستم های مختصات با دادن سه مقدار مکان یک نقطه را در یک قلمرو تعیین می کنند. اصول محاسبه آنها برای هر سیستم مختصات متفاوت است.

سیستم های مختصات مکانی اصلی مورد استفاده در ژئودزی:

1. ژئودتیک.
2. جغرافیایی.
3. قطبی.
4. مستطیل شکل.
5. مختصات منطقه ای گاوس کروگر.

همه سیستم ها نقطه شروع، مقادیر برای مکان شی و منطقه کاربرد خود را دارند.

مختصات ژئودتیکی

شکل اصلی مورد استفاده برای اندازه گیری مختصات ژئودتیک بیضی زمین است.

بیضی شکلی فشرده سه بعدی است که شکل کره زمین را به بهترین شکل نشان می دهد. با توجه به این واقعیت که کره از نظر ریاضی یک شکل نامنظم است، به جای آن از یک بیضی برای تعیین مختصات ژئودتیک استفاده می شود. این امر انجام بسیاری از محاسبات برای تعیین موقعیت جسم روی سطح را آسان تر می کند.

مختصات ژئودتیکی با سه مقدار تعریف می شود: عرض جغرافیایی، طول جغرافیایی و ارتفاع.

1. عرض جغرافیایی به زاویه ای گفته می شود که ابتدای آن بر روی صفحه استوا و انتهای آن در عمود بر نقطه مورد نظر قرار دارد.
2. طول ژئودتیکی زاویه ای است که از نصف النهار اول تا نصف النهاری که نقطه مورد نظر روی آن قرار دارد اندازه گیری می شود.
3. ارتفاع ژئودتیکی مقدار نرمال کشیده شده به سطح بیضی چرخش زمین از یک نقطه معین است.

مختصات جغرافیایی

برای حل مسائل ژئودزی با دقت بالا، لازم است بین مختصات ژئودزی و جغرافیایی تمایز قائل شد. در سیستم مورد استفاده در ژئودزی مهندسی، معمولاً به دلیل فضای کم تحت پوشش کار، چنین تفاوت هایی ایجاد نمی شود.

برای تعیین مختصات ژئودتیکی از یک بیضی به عنوان صفحه مرجع و از یک ژئوئید برای تعیین مختصات جغرافیایی استفاده می شود. ژئوئید یک شکل ریاضی نامنظم است که به شکل واقعی زمین نزدیکتر است. سطح هموار آن سطحی در نظر گرفته می شود که در حالت آرام در زیر سطح دریا ادامه دارد.

سیستم مختصات جغرافیایی مورد استفاده در ژئودزی موقعیت یک نقطه در فضا را با سه مقدار توصیف می کند. طول جغرافیایی با ژئودتیک منطبق است، زیرا نقطه مرجع نیز گرینویچ نامیده می شود. از رصدخانه ای به همین نام در لندن می گذرد. از استوای ترسیم شده روی سطح ژئوئید تعیین می شود.

ارتفاع در سیستم مختصات محلی مورد استفاده در ژئودزی از سطح دریا در حالت آرام اندازه گیری می شود. در قلمرو روسیه و کشورهای اتحادیه سابق، علامتی که ارتفاعات از آن تعیین می شود، پایه کرونشتات است. در سطح دریای بالتیک واقع شده است.

مختصات قطبی

سیستم مختصات قطبی مورد استفاده در ژئودزی دارای تفاوت های ظریف دیگری برای اندازه گیری است. در مناطق کوچکی از زمین برای تعیین موقعیت نسبی یک نقطه استفاده می شود. مبدأ می تواند هر شیئی باشد که به عنوان اولیه مشخص شده است. بنابراین، با استفاده از مختصات قطبی، تعیین مکان بدون ابهام یک نقطه در قلمرو کره زمین غیرممکن است.

مختصات قطبی توسط دو کمیت تعیین می شود: زاویه و فاصله. زاویه از جهت شمالی نصف النهار تا یک نقطه مشخص اندازه گیری می شود و موقعیت آن را در فضا تعیین می کند. اما یک زاویه کافی نخواهد بود، بنابراین یک بردار شعاع معرفی می شود - فاصله از نقطه ایستاده تا جسم مورد نظر. با استفاده از این دو پارامتر می توانید مکان نقطه را در سیستم محلی تعیین کنید.

به عنوان یک قاعده، این سیستم مختصات برای انجام کارهای مهندسی انجام شده در یک منطقه کوچک از زمین استفاده می شود.

مختصات مستطیلی

سیستم مختصات مستطیلی مورد استفاده در ژئودزی نیز در مناطق کوچکی از زمین استفاده می شود. عنصر اصلی سیستم، محور مختصاتی است که شمارش از آن انجام می شود. مختصات یک نقطه به صورت طول عمودهای کشیده شده از ابسیسا و محورهای مختص به نقطه مورد نظر یافت می شود.

جهت شمالی محور X و جهت شرقی محور Y مثبت و جهت جنوبی و غربی منفی در نظر گرفته می شود. بسته به نشانه ها و ربع ها، مکان یک نقطه در فضا مشخص می شود.

مختصات گاوس کروگر

سیستم ناحیه ای مختصات گاوس کروگر شبیه به مستطیل است. تفاوت این است که می توان آن را در کل کره زمین اعمال کرد، نه فقط در مناطق کوچک.

مختصات مستطیلی نواحی گاوس-کروگر اساساً تصویری از کره زمین بر روی یک صفحه است. برای اهداف عملی برای به تصویر کشیدن مناطق وسیعی از زمین بر روی کاغذ بوجود آمد. تحریف های ناشی از انتقال ناچیز در نظر گرفته می شود.

بر اساس این سیستم، کره زمین بر اساس طول جغرافیایی به مناطق شش درجه با نصف النهار محوری در وسط تقسیم می شود. خط استوا در مرکز در امتداد یک خط افقی قرار دارد. در نتیجه، 60 چنین منطقه وجود دارد.

هر یک از شصت ناحیه دارای سیستم مختصات مستطیلی خود هستند که در امتداد محور مختصات از X، و در امتداد محور آبسیسا از بخش استوای زمین Y اندازه‌گیری می‌شوند. عدد در مقابل مقادیر X و Y قرار می گیرد.

مقادیر محور X در قلمرو روسیه، به عنوان یک قاعده، مثبت هستند، در حالی که مقادیر Y می توانند منفی باشند. به منظور اجتناب از علامت منفی در مقادیر محور x، نصف النهار محوری هر زون به طور مشروط 500 متر به سمت غرب منتقل می شود. سپس همه مختصات مثبت می شوند.

سیستم مختصات به عنوان یک امکان توسط گاوس پیشنهاد شد و توسط کروگر در اواسط قرن بیستم به صورت ریاضی محاسبه شد. از آن زمان به عنوان یکی از اصلی ترین آنها در ژئودزی استفاده می شود.

سیستم ارتفاع

سیستم های مختصات و ارتفاع مورد استفاده در ژئودزی برای تعیین دقیق موقعیت یک نقطه بر روی زمین استفاده می شود. ارتفاع مطلق از سطح دریا یا سطح دیگری که به عنوان منبع گرفته می شود اندازه گیری می شود. علاوه بر این، ارتفاعات نسبی نیز وجود دارد. دومی به عنوان مازاد از نقطه مورد نظر به هر نقطه دیگر محاسبه می شود. استفاده از آنها برای کار در یک سیستم مختصات محلی به منظور ساده سازی پردازش بعدی نتایج راحت است.

کاربرد سیستم مختصات در ژئودزی

علاوه بر موارد فوق، سیستم مختصات دیگری نیز در ژئودزی مورد استفاده قرار می گیرد. هر کدام از آنها مزایا و معایب خاص خود را دارند. همچنین زمینه هایی از کار وجود دارد که یک یا روش دیگری برای تعیین مکان مرتبط است.

این هدف کار است که تعیین می کند کدام سیستم مختصاتی که در ژئودزی استفاده می شود بهتر است استفاده شود. برای کار در مناطق کوچک، استفاده از سیستم های مختصات مستطیلی و قطبی راحت است، اما برای حل مشکلات در مقیاس بزرگ، سیستم هایی مورد نیاز است که اجازه می دهد کل قلمرو سطح زمین را پوشش دهد.

دستگاه مختصات- راهی برای تعیین نقاط در فضا با استفاده از اعداد. تعداد اعداد مورد نیاز برای تعیین منحصر به فرد هر نقطه در فضا، ابعاد آن را تعیین می کند. یک عنصر اجباری سیستم مختصات است اصل و نسب- نقطه ای که از آن فاصله شمارش می شود. یکی دیگر از عناصر مورد نیاز واحد طول است که به شما امکان می دهد فاصله ها را اندازه گیری کنید. تمام نقاط فضای یک بعدی را می توان با یک مبدا انتخاب شده با استفاده از یک عدد مشخص کرد. برای فضای دو بعدی، دو عدد، برای فضای سه بعدی، سه عدد مورد نیاز است. این اعداد نامیده می شوند مختصات

1. تاریخچه

توسعه سیستم های مختصات در تاریخ بشر با مسائل ریاضی و مسائل عملی در هنر ناوبری بر اساس نقشه برداری و نجوم همراه است. سیستم مختصات معروف مستطیل شکل توسط رنه دکارت در سال پیشنهاد شد. مفهوم سیستم مختصات قطبی در ریاضیات اروپایی در همین زمان ها توسعه یافت، اما اولین ایده ها در مورد آن در یونان باستان در ریاضیدانان عرب قرون وسطی وجود داشت که روش هایی را برای محاسبه جهت کعبه توسعه دادند.

ظهور مفهوم سیستم های مختصات منجر به توسعه بخش های جدیدی از هندسه شد: تحلیلی، تصویری، توصیفی.

2. دستگاه مختصات دکارتی

رایج ترین سیستم مختصات در ریاضیات، سیستم مختصات دکارتی است که به نام رنه دکارت نامگذاری شده است. سیستم مختصات دکارتی با مبدا و سه بردار مشخص می شود که جهت محورهای مختصات را تعیین می کنند. هر نقطه در فضا با اعداد مشخص می شود که نشان دهنده فاصله این نقطه تا صفحات مختصات است.

مختصات سیستم دکارتی روی یک توخالی معمولاً با In space نشان داده می شود.

سیستم‌های مختصات دکارتی مختلف با تبدیل‌های افینی به هم مرتبط هستند: جابجایی و چرخش.

3. سیستم مختصات منحنی

بر اساس سیستم مختصات دکارتی، می توان یک سیستم مختصات منحنی را تعریف کرد، به عنوان مثال، برای یک فضای سه بعدی از اعداد مرتبط با مختصات دکارتی:

,

که در آن همه توابع تک مقداری هستند و به طور پیوسته متمایز می شوند و ژاکوبین عبارت است از:

.

نمونه ای از سیستم مختصات منحنی در یک صفحه، سیستم مختصات قطبی است که در آن موقعیت یک نقطه با دو عدد مشخص می شود: فاصله بین نقطه و مبدأ، و زاویه بین پرتوی که مبدا را به منشا متصل می کند. نقطه و محور انتخاب شده مختصات دکارتی و قطبی یک نقطه با فرمول های زیر به یکدیگر مرتبط می شوند:

, ,

برای فضای سه بعدی، سیستم های مختصات استوانه ای و کروی محبوب هستند. بنابراین، موقعیت یک هواپیما در فضا را می توان با سه عدد مشخص کرد: ارتفاع، فاصله تا نقطه ای از سطح زمین که بر فراز آن پرواز می کند، و زاویه بین جهت به سمت هواپیما و جهت به سمت شمال. این وظیفه مربوط به یک سیستم مختصات استوانه ای است.به طور متناوب، موقعیت هواپیما را می توان با فاصله تا آن و دو زاویه مشخص کرد: قطبی و ازیموتال. این وظیفه مربوط به یک سیستم مختصات کروی است.

تنوع سیستم های مختصات به موارد ذکر شده محدود نمی شود. سیستم های مختصات منحنی بسیاری وجود دارند که برای حل یک مسئله ریاضی خاص برای استفاده راحت هستند.

3.1. خواص

هر کدام از معادلات مشخص می کند هواپیمای مختصاتتقاطع دو صفحه مختصات با متفاوت منمجموعه ها خط مختصاتهر نقطه در فضا با تقاطع سه صفحه مختصات تعریف می شود.

ویژگی های مهم سیستم های مختصات منحنی طول عنصر قوس و عنصر حجم در آنها است. این مقادیر در یکپارچه سازی استفاده می شود. طول عنصر قوس به صورت درجه دوم داده می شود:

,

آنها اجزای تانسور متریک هستند.

عنصر حجم در سیستم مختصات منحنی برابر است

.

مربع ژاکوبین برابر با تعیین کننده تانسور متریک است:

.

سیستم مختصات نامیده می شود درست،اگر خطوط مختصات را لمس کنند، در جهت رشد مختصات مربوطه هدایت شوند، یک سه بردار سمت راست را تشکیل می دهند.

هنگام توصیف بردارها در یک سیستم مختصات منحنی، استفاده از یک مبنای محلی تعریف شده در هر نقطه راحت است.

4. در جغرافیا

6. در فیزیک

برای توصیف حرکت اجسام فیزیکی، فیزیک از این مفهوم استفاده می کند