نمونه ای از حل چند کار از کار استاندارد "هندسه تحلیلی در یک هواپیما"

رئوس داده شده است،
,
مثلث ABC پیدا کردن:

معادلات تمام اضلاع یک مثلث؛

سیستم نامساوی خطی که یک مثلث را تعریف می کند ABC;

معادلات ارتفاع، میانه و نیمساز مثلثی که از راس گرفته شده است آ;

نقطه تقاطع ارتفاعات مثلث؛

نقطه تقاطع وسط مثلث؛

طول ارتفاع به پهلو کاهش یافته است AB;

گوشه آ;

یک نقاشی بکشید.

بگذارید رئوس مثلث دارای مختصات باشند: آ (1; 4), که در (5; 3), با(3؛ 6). بیایید بلافاصله یک نقاشی بکشیم:

1. برای نوشتن معادلات تمام اضلاع مثلث، از معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده با مختصات می گذرد استفاده می کنیم. ایکس 0 , y 0 ) و ( ایکس 1 , y 1 ):

=

بنابراین، جایگزین کردن به جای ( ایکس 0 , y 0 ) مختصات نقطه آو به جای ( ایکس 1 , y 1 ) مختصات نقطه که در، معادله خط را بدست می آوریم AB:

معادله حاصل معادله خط مستقیم خواهد بود AB، به شکل کلی نوشته شده است. به همین ترتیب، معادله خط مستقیم را پیدا می کنیم AC:

و همچنین معادله خط مستقیم آفتاب:

2. توجه داشته باشید که مجموعه نقاط مثلث ABCنشان دهنده تقاطع سه نیم صفحه است و هر نیم صفحه را می توان با استفاده از یک نابرابری خطی تعریف کرد. اگر معادله دو طرف ∆ را بگیریم ABC، مثلا AB، سپس نابرابری ها

و

نقاطی را که در طرف مقابل یک خط قرار دارند تعریف کنید AB. ما باید نیم صفحه ای را انتخاب کنیم که نقطه C در آن قرار دارد. بیایید مختصات آن را با هر دو نامساوی جایگزین کنیم:

نابرابری دوم صحیح خواهد بود، به این معنی که امتیازات مورد نیاز توسط نابرابری تعیین می شود

.

ما همین کار را با خط مستقیم BC، معادله آن انجام می دهیم
. ما از نقطه A (1، 1) به عنوان نقطه آزمایش استفاده می کنیم:

این بدان معنی است که نابرابری مورد نیاز به شکل زیر است:

.

اگر خط مستقیم AC (نقطه آزمایش B) را بررسی کنیم، دریافت می کنیم:

به این معنی که نابرابری مورد نیاز شکل خواهد داشت

در نهایت سیستمی از نابرابری ها را به دست می آوریم:

علائم "≤"، "≥" به این معنی است که نقاطی که در اضلاع مثلث قرار دارند نیز در مجموعه نقاط تشکیل دهنده مثلث گنجانده شده است. ABC.

3. الف) به منظور یافتن معادله ارتفاع افت شده از راس آبه کنار آفتاب، معادله ضلع را در نظر بگیرید آفتاب:
. وکتور با مختصات
عمود بر ضلع آفتابو بنابراین به موازات ارتفاع. اجازه دهید معادله خط مستقیمی را که از یک نقطه می گذرد بنویسیم آبه موازات بردار
:

این معادله ارتفاع حذف شده از t است. آبه کنار آفتاب.

ب) مختصات وسط ضلع را بیابید آفتابطبق فرمول های:

اینجا
- اینها مختصات t هستند. که در، آ
- مختصات t. با. بیایید جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

خط مستقیمی که از این نقطه و نقطه می گذرد آمیانه مورد نظر است:

ج) معادله نیمساز را بر این اساس جستجو می کنیم که در یک مثلث متساوی الساقین ارتفاع، میانه و نیمساز نزولی از یک راس به قاعده مثلث برابر است. بیایید دو بردار را پیدا کنیم
و
و طول آنها:

سپس بردار
همان جهت بردار را دارد
، و طول آن
به همین ترتیب، بردار واحد
در جهت با بردار منطبق است
جمع برداری

برداری وجود دارد که در جهت با نیمساز زاویه منطبق است آ. بنابراین، معادله نیمساز مورد نظر را می توان به صورت زیر نوشت:

4) ما قبلا معادله یکی از ارتفاعات را ساخته ایم. بیایید یک معادله برای ارتفاع دیگر مثلاً از راس بسازیم که در. سمت ACتوسط معادله داده شده است
بنابراین بردار
عمود بر AC، و در نتیجه موازی با ارتفاع مورد نظر. سپس معادله خطی که از راس می گذرد که دردر جهت بردار
(یعنی عمود بر AC) دارای شکل:

مشخص است که ارتفاعات یک مثلث در یک نقطه قطع می شود. به ویژه، این نقطه تقاطع ارتفاعات پیدا شده است، یعنی. حل سیستم معادلات:

- مختصات این نقطه

5. وسط ABمختصات دارد
. اجازه دهید معادله میانه را به سمت بنویسیم ABاین خط از نقاطی با مختصات (3، 2) و (3، 6) می گذرد، یعنی معادله آن به شکل زیر است:

توجه داشته باشید که صفر در مخرج یک کسری در معادله یک خط مستقیم به این معنی است که این خط مستقیم به موازات محور ارتجاعی است.

برای یافتن نقطه تقاطع میانه ها کافی است سیستم معادلات را حل کنیم:

نقطه تلاقی وسط یک مثلث دارای مختصاتی است
.

6. طول ارتفاع به پهلو کاهش یافته است AB،برابر فاصله از نقطه بابه یک خط مستقیم ABبا معادله
و با فرمول پیدا می شود:

7. کسینوس زاویه آرا می توان با استفاده از فرمول کسینوس زاویه بین بردارها یافت و ، که برابر است با نسبت حاصل ضرب اسکالر این بردارها به حاصل ضرب طول آنها:

.

در مسائل 1 - 20 رئوس مثلث ABC آورده شده است.
پیدا کنید: 1) طول ضلع AB. 2) معادلات اضلاع AB و AC و ضرایب زاویه ای آنها. 3) زاویه داخلی A بر حسب رادیان با دقت 0.01. 4) معادله ارتفاع CD و طول آن. 5) معادله دایره ای که ارتفاع CD آن قطر است. 6) سیستمی از نابرابری های خطی که مثلث ABC را تعریف می کند.

طول اضلاع مثلث:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|پیش از میلاد| = 14.14
فاصله d از نقطه M: d = 10
مختصات رئوس مثلث داده شده است: A(-5،2)، B(7،-7)، C(5،7).
2) طول اضلاع مثلث
فاصله d بین نقاط M 1 (x 1 ; y 1) و M 2 (x 2 ; y 2) با فرمول تعیین می شود:

8) معادله یک خط
یک خط مستقیم که از نقاط A 1 (x 1 ; y 1) و A 2 (x 2 ; y 2) می گذرد با معادلات نشان داده می شود:

معادله خط AB


یا

یا
y = -3 / 4 x -7 / 4 یا 4y + 3x +7 = 0
معادله خط AC
معادله متعارف خط:

یا

یا
y = 1/2 x + 9/2 یا 2y -x - 9 = 0
معادله خط BC
معادله متعارف خط:

یا

یا
y = -7x + 42 یا y + 7x - 42 = 0
3) زاویه بین خطوط مستقیم
معادله خط مستقیم AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
معادله خط AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
زاویه φ بین دو خط مستقیم که توسط معادلات با ضرایب زاویه ای y = k 1 x + b 1 و y 2 = k 2 x + b 2 به دست می آید، با فرمول محاسبه می شود:

شیب این خطوط -3/4 و 1/2 است. بیایید از فرمول استفاده کنیم و مدول سمت راست آن را بگیریم:

tg φ = 2
φ = آرکتان (2) = 63.44 0 یا 1.107 راد.
9) معادله ارتفاع از طریق راس C
خط مستقیمی که از نقطه N 0 (x 0 ;y 0) و عمود بر خط مستقیم Ax + By + C = 0 می گذرد دارای بردار جهت (A;B) است و بنابراین با معادلات نشان داده می شود:



این معادله را می توان به شکل دیگری نیز یافت. برای انجام این کار، بیایید شیب k 1 خط مستقیم AB را پیدا کنیم.
معادله AB: y = -3 / 4 x -7 / 4، یعنی. k 1 = -3 / 4
بیایید ضریب زاویه ای k عمود را از شرط عمود بودن دو خط مستقیم پیدا کنیم: k 1 *k = -1.
با جایگزینی شیب این خط به جای k 1، به دست می آید:
-3 / 4 k = -1، از آنجا k = 4/3
از آنجایی که عمود از نقطه C(5,7) می گذرد و k = 4 / 3 دارد، معادله آن را به شکل: y-y 0 = k(x-x 0) جستجو خواهیم کرد.
با جایگزینی x 0 = 5، k = 4 / 3، y 0 = 7 به دست می آوریم:
y-7 = 4/3 (x-5)
یا
y = 4 / 3 x + 1 / 3 یا 3y -4x - 1 = 0
بیایید نقطه تقاطع با خط AB را پیدا کنیم:
ما یک سیستم از دو معادله داریم:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
از معادله اول y را بیان می کنیم و آن را جایگزین معادله دوم می کنیم.
ما گرفتیم:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) طول ارتفاع مثلث رسم شده از راس C
فاصله d از نقطه M 1 (x 1 ;y 1) تا خط مستقیم Ax + By + C = 0 برابر قدر مطلق کمیت است:

فاصله بین نقطه C(5;7) و خط AB را بیابید (4y + 3x +7 = 0)


طول ارتفاع را می توان با استفاده از فرمول دیگری، به عنوان فاصله بین نقطه C(5;7) و نقطه D(-1;-1) محاسبه کرد.
فاصله بین دو نقطه بر حسب مختصات با فرمول بیان می شود:

5) معادله دایره ای که ارتفاع CD آن قطر است.
معادله دایره ای به شعاع R با مرکز در نقطه E(a;b) به شکل زیر است:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R2
از آنجایی که CD قطر دایره مورد نظر است، مرکز آن E نقطه وسط قطعه CD است. با استفاده از فرمول های تقسیم یک بخش به نصف، به دست می آوریم:


بنابراین، E(2;3) و R = CD / 2 = 5. با استفاده از فرمول، معادله دایره مورد نظر را به دست می آوریم: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) سیستمی از نابرابری های خطی که مثلث ABC را تعریف می کند.
معادله خط AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
معادله خط AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
معادله خط BC: y = -7x + 42

چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟
مشکل معمولی مثلث در هواپیما

این درس در مورد رویکرد به استوا بین هندسه صفحه و هندسه فضا ایجاد شده است. در حال حاضر، نیاز به سیستماتیک کردن اطلاعات انباشته شده و پاسخ به یک سوال بسیار مهم وجود دارد: چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟مشکل این است که شما می توانید با بی نهایت مسئله در هندسه مواجه شوید و هیچ کتاب درسی شامل نمونه های متعدد و متنوع نخواهد بود. نیست مشتق از یک تابعبا پنج قانون تمایز، یک جدول و چندین تکنیک….

راه حلی وجود دارد! من با صدای بلند در مورد این واقعیت صحبت نمی کنم که نوعی تکنیک بزرگ را توسعه داده ام، با این حال، به نظر من، یک رویکرد موثر برای مشکل در نظر گرفته شده وجود دارد، که اجازه می دهد حتی یک ساختگی کامل به نتایج خوب و عالی برسد. حداقل، الگوریتم کلی برای حل مسائل هندسی به وضوح در ذهن من شکل گرفت.

آنچه شما باید بدانید و بتوانید انجام دهید
برای حل موفقیت آمیز مسائل هندسه؟

هیچ فراری از این وجود ندارد - برای اینکه به طور تصادفی دکمه ها را با بینی خود فشار ندهید، باید بر اصول هندسه تحلیلی تسلط داشته باشید. بنابراین، اگر به تازگی مطالعه هندسه را شروع کرده اید یا به طور کامل آن را فراموش کرده اید، لطفاً از درس شروع کنید. وکتور برای آدمک. علاوه بر بردارها و اقدامات با آنها، شما باید مفاهیم اساسی هندسه صفحه را بدانید، به ویژه، معادله یک خط در یک صفحهو . هندسه فضا در مقالات ارائه شده است معادله صفحه, معادلات یک خط در فضا، مسائل اساسی در خط مستقیم و صفحه و چند درس دیگر. خطوط منحنی و سطوح فضایی مرتبه دوم تا حدودی از هم جدا هستند و مشکلات خاصی در آنها وجود ندارد.

فرض کنید دانش آموز در حل ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی دانش و مهارت های اولیه را دارد. اما اینطوری می شود: بیان مسئله را می خوانی و... می خواهی کلاً همه چیز را ببندی، به گوشه ای دور بیندازی و فراموشش کنی، مثل خواب بد. علاوه بر این، این اساساً به سطح صلاحیت شما بستگی ندارد؛ من خودم هر از گاهی با کارهایی روبرو می شوم که راه حل آنها واضح نیست. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ نیازی نیست از کاری که نمی فهمی بترسی!

اولا، باید نصب شود - آیا این یک مشکل "مسطح" یا فضایی است؟به عنوان مثال، اگر شرط شامل بردارهایی با دو مختصات باشد، البته این هندسه یک صفحه است. و اگر معلم شنونده سپاسگزار را با یک هرم بارگذاری کند، هندسه فضا به وضوح وجود دارد. نتایج مرحله اول در حال حاضر بسیار خوب است، زیرا ما موفق شدیم حجم عظیمی از اطلاعات غیر ضروری را برای این کار قطع کنیم!

دومین. این وضعیت معمولاً شما را با برخی از اشکال هندسی نگران می کند. در واقع، در راهروهای دانشگاه بومی خود قدم بزنید، چهره های نگران زیادی خواهید دید.

در مسائل "مسطح"، بدون ذکر نقاط و خطوط واضح، محبوب ترین شکل یک مثلث است. ما آن را با جزئیات زیاد تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بعد متوازی الاضلاع می آید و مستطیل، مربع، لوزی، دایره و اشکال دیگر بسیار کمتر رایج هستند.

در مسائل فضایی، همان شکل های مسطح + خود هواپیماها و اهرام مثلثی معمولی با موازی پا می توانند پرواز کنند.

سوال دوم - آیا همه چیز را در مورد این چهره می دانید؟فرض کنید شرط در مورد مثلث متساوی الساقین صحبت می کند، و شما به طور مبهم به یاد می آورید که این مثلث چه نوع مثلثی است. کتاب درسی مدرسه را باز می کنیم و در مورد مثلث متساوی الساقین می خوانیم. چیکار کنم... دکتر گفت لوزی یعنی لوزی. هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی است، اما مشکل با ویژگی های هندسی خود شکل ها حل خواهد شد، از برنامه درسی مدرسه برای ما شناخته شده است. اگر ندانید مجموع زوایای یک مثلث چقدر است، ممکن است برای مدت طولانی رنج بکشید.

سوم. همیشه سعی کنید نقاشی را دنبال کنید(در یک نسخه پیش نویس/پایان کپی/به صورت ذهنی)، حتی اگر این شرط مورد نیاز نباشد. در مسائل "مسطح"، اقلیدس خود دستور داد که یک خط کش و یک مداد بردارید - و نه تنها برای درک شرایط، بلکه برای هدف خودآزمایی. در این مورد، راحت ترین مقیاس 1 واحد = 1 سانتی متر (2 سلول نوت بوک) است. بیایید در مورد دانش آموزان و ریاضیدانان بی دقت که در قبر خود می چرخند صحبت نکنیم - اشتباه کردن در چنین مسائلی تقریبا غیرممکن است. برای کارهای فضایی، ما یک نقشه شماتیک انجام می دهیم که به تجزیه و تحلیل شرایط نیز کمک می کند.

یک طراحی یا نقشه شماتیک اغلب به شما امکان می دهد فوراً راه حل یک مشکل را ببینید. البته برای این کار باید پایه هندسه را بدانید و خواص اشکال هندسی را بدانید (به پاراگراف قبلی مراجعه کنید).

چهارم. توسعه یک الگوریتم حل. بسیاری از مسائل هندسی چند مرحله ای هستند، بنابراین راه حل و طراحی آن برای تجزیه به نقاط بسیار راحت است. اغلب پس از خواندن شرط یا تکمیل نقشه، الگوریتم بلافاصله به ذهن خطور می کند. در صورت مشکل، با QUESTION کار شروع می کنیم. به عنوان مثال، با توجه به شرط "شما نیاز به ساخت یک خط مستقیم ...". در اینجا منطقی ترین سوال این است: "چه چیزی برای ساختن این خط مستقیم کافی است؟" فرض کنید، "ما نقطه را می دانیم، باید بردار جهت را بدانیم." ما این سوال را مطرح می کنیم: "چگونه این بردار جهت را پیدا کنیم؟ جایی که؟" و غیره.

گاهی اوقات یک "اشکال" وجود دارد - مشکل حل نمی شود و همین. دلایل توقف ممکن است موارد زیر باشد:

- شکاف جدی در دانش پایه. به عبارت دیگر، شما چیز بسیار ساده ای را نمی دانید و/یا نمی بینید.

– ناآگاهی از خصوصیات اشکال هندسی.

- کار سخت بود. بله، این اتفاق می افتد. ساعت ها بخار دادن و اشک جمع کردن در دستمال فایده ای ندارد. از معلم، دانش‌آموزان خود راهنمایی بخواهید یا در انجمن سؤال بپرسید. علاوه بر این، بهتر است بیانیه آن را ملموس کنید - در مورد آن قسمت از راه حل که نمی فهمید. فریادی به شکل "چگونه مشکل را حل کنیم؟" خیلی خوب به نظر نمی رسد... و مهمتر از همه، برای شهرت خودتان.

مرحله پنجم. ما تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، پاسخ می دهیم. بررسی هر نقطه از کار مفید است بلافاصله پس از تکمیل آن. این به شما کمک می کند تا بلافاصله خطا را تشخیص دهید. به طور طبیعی، هیچ کس حل سریع کل مشکل را منع نمی کند، اما خطر بازنویسی مجدد همه چیز (اغلب چندین صفحه) وجود دارد.

اینها، شاید، تمام ملاحظات اصلی است که باید در هنگام حل مشکلات رعایت شود.

بخش عملی درس در هندسه صفحه ارائه شده است. فقط دو مثال وجود خواهد داشت، اما کافی به نظر نمی رسد =)

بیایید از طریق رشته الگوریتمی که من در کار علمی کوچک خود به آن نگاه کردم، بپردازیم:

مثال 1

سه رأس متوازی الاضلاع آورده شده است. بالا را پیدا کنید.

بیایید شروع به درک کنیم:

گام یک: واضح است که ما در مورد یک مشکل "تخت" صحبت می کنیم.

مرحله دو: مسئله با متوازی الاضلاع سروکار دارد. آیا همه این شکل متوازی الاضلاع را به خاطر دارند؟ نیازی به لبخند نیست، بسیاری از افراد در سنین 30-40-50 یا بیشتر تحصیلات خود را دریافت می کنند، بنابراین حتی حقایق ساده را می توان از حافظه پاک کرد. تعریف متوازی الاضلاع در مثال شماره 3 درس آمده است وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها.

مرحله سوم: یک نقاشی بکشیم که روی آن سه رأس شناخته شده را مشخص کنیم. خنده دار است که ساختن سریع نقطه مورد نظر دشوار نیست:

البته ساخت آن خوب است، اما راه حل باید تحلیلی باشد.

مرحله چهارم: توسعه یک الگوریتم حل. اولین چیزی که به ذهن می رسد این است که یک نقطه را می توان به عنوان محل تلاقی خطوط پیدا کرد. ما معادلات آنها را نمی دانیم، بنابراین باید به این موضوع بپردازیم:

1) اضلاع مقابل موازی هستند. با امتیاز بیایید بردار جهت این اضلاع را پیدا کنیم. این ساده ترین مشکلی است که در کلاس مطرح شد. وکتور برای آدمک.

توجه داشته باشید: درست تر است که بگوییم «معادله یک خط حاوی یک ضلع»، اما در اینجا و بیشتر برای اختصار از عبارات «معادله یک ضلع»، «بردار جهت یک ضلع» و غیره استفاده خواهم کرد.

3) اضلاع مقابل موازی هستند. با استفاده از نقاط، بردار جهت این اضلاع را پیدا می کنیم.

4) با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله ای از یک خط مستقیم ایجاد می کنیم

در پاراگراف های 1-2 و 3-4 در واقع یک مشکل را دو بار حل کردیم؛ اتفاقاً در مثال شماره 3 درس مطرح شد. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. می توان مسیر طولانی تری را طی کرد - ابتدا معادلات خطوط را پیدا کنید و تنها پس از آن بردارهای جهت را از آنها "بیرون بکشید".

5) اکنون معادلات خطوط مشخص است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که سیستم معادلات خطی مربوطه را بسازید و حل کنید (به مثال های شماره 4 و 5 همان درس مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما).

نکته پیدا شده است.

کار بسیار ساده است و راه حل آن واضح است، اما راه کوتاه تری وجود دارد!

راه حل دوم:

قطرهای متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع آنها نصف می شوند. من نقطه را مشخص کردم، اما برای اینکه نقاشی به هم نریزد، خود مورب ها را نکشیدم.

بیایید معادله ضلع را نقطه به نقطه بسازیم :

برای بررسی، باید به صورت ذهنی یا روی پیش نویس مختصات هر نقطه را در معادله حاصل جایگزین کنید. حالا بیایید شیب را پیدا کنیم. برای انجام این کار، معادله کلی را به شکل یک معادله با ضریب شیب بازنویسی می کنیم:

بنابراین، شیب عبارت است از:

به همین ترتیب، معادلات اضلاع را پیدا می کنیم. من چندان فایده ای در توصیف یک چیز نمی بینم، بنابراین بلافاصله نتیجه نهایی را ارائه می دهم:

2) طول ضلع را پیدا کنید. این ساده ترین مشکلی است که در کلاس مطرح می شود. وکتور برای آدمک. برای امتیاز ما از فرمول استفاده می کنیم:

با استفاده از همین فرمول، به راحتی می توان طول اضلاع دیگر را پیدا کرد. چک را می توان خیلی سریع با یک خط کش معمولی انجام داد.

ما از فرمول استفاده می کنیم .

بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بدین ترتیب:

به هر حال، در طول مسیر ما طول اضلاع را پیدا کردیم.

در نتیجه:

خب، به نظر می رسد درست باشد؛ برای قانع کننده بودن، می توانید یک نقاله را به گوشه وصل کنید.

توجه! زاویه مثلث را با زاویه بین خطوط مستقیم اشتباه نگیرید. زاویه یک مثلث می تواند مبهم باشد، اما زاویه بین خطوط مستقیم نمی تواند (به آخرین پاراگراف مقاله مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما). با این حال، برای پیدا کردن زاویه یک مثلث، می توانید از فرمول های درس بالا نیز استفاده کنید، اما ناهمواری این است که آن فرمول ها همیشه یک زاویه تند می دهند. با کمک آنها این مشکل را به صورت پیش نویس حل کردم و به نتیجه رسیدم. و در نسخه نهایی باید بهانه های اضافی را بنویسم، که .

4) برای خطی که از نقطه ای موازی با خط می گذرد معادله بنویسید.

تکلیف استاندارد که در مثال شماره 2 درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله کلی خط بیایید بردار راهنما را برداریم. بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت معادله یک خط مستقیم ایجاد کنیم:

چگونه ارتفاع مثلث را پیدا کنیم؟

5) یک معادله برای ارتفاع ایجاد می کنیم و طول آن را پیدا می کنیم.

هیچ راه فراری از تعاریف دقیق وجود ندارد، بنابراین باید از کتاب درسی مدرسه سرقت کنید:

ارتفاع مثلث عمودی است که از راس مثلث به خط حاوی ضلع مقابل کشیده شده است.

یعنی باید برای یک عمود رسم شده از راس به ضلع معادله ایجاد کرد. این کار در مثال های شماره 6، 7 درس مورد بحث قرار گرفته است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله بردار معمولی را حذف کنید بیایید معادله ارتفاع را با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت بسازیم:

لطفا توجه داشته باشید که ما مختصات نقطه را نمی دانیم.

گاهی معادله ارتفاع از نسبت ضرایب زاویه ای خطوط عمود بر هم بدست می آید: . در این صورت، پس: . بیایید معادله ارتفاع را با استفاده از یک نقطه و یک ضریب زاویه ای بسازیم (به ابتدای درس مراجعه کنید معادله یک خط مستقیم در یک صفحه):

طول ارتفاع را می توان به دو صورت یافت.

یک راه دور وجود دارد:

الف) پیدا کردن - نقطه تقاطع ارتفاع و سمت.
ب) طول پاره را با استفاده از دو نقطه شناخته شده بیابید.

اما در کلاس ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیمایک فرمول مناسب برای فاصله از یک نقطه تا یک خط در نظر گرفته شد. نقطه مشخص است: ، معادله خط نیز شناخته شده است: ، بدین ترتیب:

6) مساحت مثلث را محاسبه کنید. در فضا، مساحت یک مثلث به طور سنتی با استفاده از محاسبه می شود حاصلضرب برداری بردارها، اما در اینجا یک مثلث در یک هواپیما به ما داده می شود. ما از فرمول مدرسه استفاده می کنیم:
- مساحت مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع آن است.

در این مورد:

چگونه میانه یک مثلث را پیدا کنیم؟

7) یک معادله برای میانه ایجاد می کنیم.

میانه یک مثلث قطعه ای نامیده می شود که راس یک مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند.

الف) نقطه - وسط ضلع را پیدا کنید. ما استفاده می کنیم فرمول مختصات نقطه وسط یک قطعه. مختصات انتهای بخش مشخص است: ، سپس مختصات وسط:

بدین ترتیب:

بیایید نقطه به نقطه معادله میانه را بسازیم :

برای بررسی معادله، باید مختصات نقاط را در آن جایگزین کنید.

8) نقطه تقاطع ارتفاع و میانه را پیدا کنید. من فکر می کنم همه قبلاً یاد گرفته اند که چگونه این عنصر اسکیت بازی را بدون افتادن انجام دهند:

1. معادله اضلاع AB و BC و ضرایب زاویه ای آنها.
انتساب مختصات نقاطی را که این خطوط از آنها می گذرد به دست می دهد، بنابراین از معادله خطی استفاده می کنیم که از دو نقطه داده شده می گذرد $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ را جایگزین کنید و معادلات را بدست آورید
معادله خط AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ شیب خط مستقیم AB برابر است با \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
معادله خط BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ شیب خط BC برابر است با \ (k_( BC) = -7\)

2. زاویه B بر حسب رادیان با دقت دو رقمی
زاویه B زاویه بین خطوط AB و BC است که با فرمول $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$جایگزین مقادیر ضرایب زاویه ای است. از این خطوط و $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \تقریبا 0.79$$
3. طول ضلع AB
طول ضلع AB به عنوان فاصله بین نقاط محاسبه می شود و برابر است با \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. معادله ارتفاع CD و طول آن.
معادله ارتفاع را با استفاده از فرمول یک خط مستقیم که از نقطه مشخصی C(4;13) در یک جهت معین می گذرد - عمود بر خط مستقیم AB با استفاده از فرمول \(y-y_0=k(x-x_0) پیدا می کنیم. \). بیایید ضریب زاویه ای ارتفاع \(k_(CD)\) را با استفاده از ویژگی خطوط عمود بر هم پیدا کنیم \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) $k_(CD)= -\frac(1) بدست می آوریم. )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ یک خط مستقیم را در معادله جایگزین می کنیم، $y به دست می آوریم - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ طول ارتفاع را به عنوان فاصله از نقطه C(4;13) تا خط مستقیم AB با استفاده از فرمول $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ در صورتگر معادله است. از خط مستقیم AB، بیایید آن را به این شکل کاهش دهیم \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) ، به دست آمده را جایگزین کنیم معادله و مختصات نقطه در فرمول $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt(4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 دلار

5. معادله میانه AE و مختصات نقطه K، تقاطع این میانه با ارتفاع CD.
معادله میانه را به عنوان معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده A(-6;8) و E می گذرد، جستجو می کنیم، جایی که نقطه E نقطه وسط بین نقاط B و C است و مختصات آن مطابق با فرمول \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) جایگزین مختصات نقاط \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\)، سپس معادله میانه AE برابر $$\frac(x+6)(5+) خواهد بود 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$ بیایید مختصات نقطه تقاطع را پیدا کنیم ارتفاعات و میانه، یعنی. بیایید نقطه مشترک آنها را پیدا کنیم برای این کار معادله سیستمی $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac ایجاد می کنیم. (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(موارد)=>\شروع(موارد)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(موارد)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ مختصات نقطه تقاطع \(K(-\frac(1)(2);7 )\)

6. معادله خطی که از نقطه K موازی با ضلع AB می گذرد.
اگر خط مستقیم موازی باشد، ضرایب زاویه ای آنها برابر است، یعنی. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\)، مختصات نقطه \(K(-\frac(1)(2);7)\) نیز مشخص است. ، یعنی . برای یافتن معادله یک خط مستقیم، از فرمول معادله یک خط مستقیم که از نقطه معینی در جهت معین می گذرد، استفاده می کنیم \(y - y_0=k(x-x_0)\)، داده ها را جایگزین می کنیم و $ بدست می آوریم. $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. مختصات نقطه M که متقارن با نقطه A نسبت به خط مستقیم CD است.
نقطه M روی خط AB قرار دارد، زیرا سی دی ارتفاع این سمت است. بیایید نقطه تقاطع CD و AB را پیدا کنیم؛ برای این کار، سیستم معادلات $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - را حل کنید. \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(موارد) =>\شروع(موارد)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\پایان(موارد) => $$$$\begin(cases)12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(موارد)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(موارد) => $$$$\شروع(موارد)x=-2\\y=5 \end(موارد)$$ مختصات نقطه D(-2;5). با توجه به شرط AD=DK، این فاصله بین نقاط با فرمول فیثاغورث \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) که AD و DK عبارتند از فرضیه های مثلث قائم الزاویه مساوی، و \(Δx =x_2-x_1\) و \(Δy=y_2-y_1\) پاهای این مثلث ها هستند، یعنی. بیایید پاها را پیدا کنیم و مختصات نقطه M را پیدا کنیم. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), و \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\)، سپس مختصات نقطه M برابر خواهد بود \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \) و \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \) متوجه شدیم که مختصات نقطه \(M(2;2)\)

مشکل 1. مختصات رئوس مثلث ABC آورده شده است: A(4; 3)، B(16;-6)، C(20; 16). پیدا کنید: 1) طول ضلع AB. 2) معادلات اضلاع AB و BC و ضرایب زاویه ای آنها. 3) زاویه B بر حسب رادیان با دقت دو رقمی. 4) معادله ارتفاع CD و طول آن. 5) معادله میانه AE و مختصات نقطه K تقاطع این میانه با ارتفاع CD. 6) معادله یک خط مستقیم که از نقطه K موازی با ضلع AB می گذرد. 7) مختصات نقطه M که به طور متقارن به نقطه A نسبت به خط مستقیم CD قرار دارد.

راه حل:

1. فاصله d بین نقاط A(x 1,y 1) و B(x2,y 2) با فرمول تعیین می شود.

با اعمال (1)، طول ضلع AB را پیدا می کنیم:

2. معادله خطی که از نقاط A(x 1 ,y 1) و B(x 2 ,y 2) می گذرد شکل دارد.

(2)

با جایگزینی مختصات نقاط A و B به (2)، معادله ضلع AB را بدست می آوریم:

پس از حل آخرین معادله برای y، معادله ضلع AB را به صورت یک معادله خط مستقیم با ضریب زاویه ای پیدا می کنیم:

جایی که

با جایگزینی مختصات نقاط B و C به (2)، معادله خط مستقیم BC را بدست می آوریم:

یا

3. معلوم است که مماس زاویه بین دو خط مستقیم که ضرایب زاویه ای آنها به ترتیب برابر است با فرمول محاسبه می شود.

(3)

زاویه مورد نظر B توسط خطوط مستقیم AB و BC تشکیل می شود که ضرایب زاویه ای آنها پیدا می شود: با اعمال (3) به دست می آوریم.

یا خوشحالم

4. معادله خط مستقیمی که از نقطه معینی در یک جهت معین می گذرد شکل دارد

(4)

ارتفاع CD بر ضلع AB عمود است. برای یافتن شیب ارتفاع CD از شرط عمود بودن خطوط استفاده می کنیم. از آن به بعد با جایگزینی (4) مختصات نقطه C و ضریب زاویه ای پیدا شده ارتفاع، به دست می آوریم

برای یافتن طول CD ارتفاع، ابتدا مختصات نقطه D - نقطه تقاطع خطوط مستقیم AB و CD را تعیین می کنیم. حل سیستم با هم:

پیدا می کنیم یعنی D (8; 0).

با استفاده از فرمول (1) طول CD ارتفاع را پیدا می کنیم:

5. برای یافتن معادله میانه AE ابتدا مختصات نقطه E را که وسط ضلع BC است با استفاده از فرمول های تقسیم یک پاره به دو قسمت مساوی تعیین می کنیم:

(5)

از این رو،

با جایگزینی مختصات نقاط A و E به (2)، معادله میانه را پیدا می کنیم:

برای یافتن مختصات نقطه تقاطع ارتفاع CD و میانه AE، سیستم معادلات را با هم حل می کنیم.

ما پیدا می کنیم.

6. از آنجایی که خط مستقیم مورد نظر موازی با ضلع AB است، ضریب زاویه ای آن برابر با ضریب زاویه ای خط مستقیم AB خواهد بود. با (4) مختصات نقطه پیدا شده K و ضریب زاویه ای را جایگزین می کنیم

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. از آنجایی که خط مستقیم AB بر خط مستقیم CD عمود است، نقطه M مورد نظر که به طور متقارن نسبت به نقطه A نسبت به خط مستقیم CD قرار دارد، روی خط مستقیم AB قرار دارد. علاوه بر این، نقطه D نقطه وسط قطعه AM است. با استفاده از فرمول (5)، مختصات نقطه مورد نظر M را پیدا می کنیم:

مثلث ABC، ارتفاع CD، میانه AE، خط مستقیم KF و نقطه M در سیستم مختصات xOy در شکل 1 ساخته شده است. 1.

وظیفه 2. معادله ای برای مکان نقاطی ایجاد کنید که فاصله آنها تا نقطه معین A(4; 0) و یک خط معین x=1 برابر با 2 است.

راه حل:

در سیستم مختصات xOy، نقطه A(4;0) و خط مستقیم x = 1 را می سازیم. اجازه دهید M(x;y) یک نقطه دلخواه از مکان هندسی مورد نظر نقاط باشد. اجازه دهید عمود MB را به خط داده شده x = 1 پایین بیاوریم و مختصات نقطه B را تعیین کنیم. از آنجایی که نقطه B روی خط داده شده قرار دارد، ابسیسا آن برابر با 1 است. مختصات نقطه B برابر است با مختصات نقطه M. بنابراین، B(1;y) (شکل 2).

با توجه به شرایط مسئله |MA|: |MV| = 2. فاصله ها |MA| و |MB| از فرمول (1) مسئله 1 پیدا می کنیم:

دو طرف چپ و راست را مربع می کنیم

معادله به دست آمده هذلولی است که در آن نیم محور واقعی a = 2 و نیم محور فرضی برابر است با

بیایید کانون های هذلولی را تعریف کنیم. برای یک هذلولی، برابری برآورده می شود - ترفندهای ابربولی همانطور که می بینید، نقطه داده شده A(4;0) کانون درست هذلولی است.

اجازه دهید خروج از مرکز هذلولی حاصل را تعیین کنیم:

معادلات مجانب هذلولی شکل و . بنابراین، یا و مجانبی از هذلولی هستند. قبل از ساخت هذلولی، مجانب آن را می سازیم.

مشکل 3. معادله ای برای مکان نقاط با فاصله یکسان از نقطه A(4; 3) و خط مستقیم y = 1 ایجاد کنید. معادله حاصل را به ساده ترین شکل آن کاهش دهید.

راه حل:فرض کنید M(x; y) یکی از نقاط مکان هندسی نقاط مورد نظر باشد. اجازه دهید MB عمود بر نقطه M را به این خط مستقیم y = 1 رها کنیم (شکل 3). اجازه دهید مختصات نقطه B را تعیین کنیم. بدیهی است که ابسیسا نقطه B برابر با ابسیسا نقطه M است و مختصات نقطه B برابر با 1 است، یعنی B(x; 1). با توجه به شرایط مسئله |MA|=|MV|. در نتیجه، برای هر نقطه M(x;y) متعلق به مکان هندسی مورد نظر، برابری زیر صادق است:

معادله به دست آمده یک سهمی را با یک راس در نقطه تعریف می کند. برای اینکه معادله سهمی را به ساده ترین شکل آن برسانیم، اجازه دهید y + 2 = Y را تنظیم کنیم، سپس معادله سهمی به شکل زیر در می آید: