هرم. هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی نامیده می شود که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن با هم برابر هستند نامیده می شود چهار وجهی .

دنده کناریهرم به طرف وجه جانبی گفته می شود که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های کناری هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی با هم برابرند مثلث های متساوی الساقین. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود آپوتما . بخش مورب قسمتی از هرم به صفحه ای گفته می شود که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.

مساحت سطح جانبیهرم به مجموع مساحت تمام وجوه جانبی گفته می شود. سطح کامل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده است.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محصور نزدیک پایه کشیده می شود.

2. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محصور نزدیک قاعده بیرون زده می شود.

3. اگر در هرم همه وجوه به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره حک شده در پایه بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح است:

جایی که V- جلد؛

S اصلی- مساحت پایه؛

اچارتفاع هرم است.

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر درست است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

S اصلی- مساحت پایه؛

Vحجم یک هرم منظم است.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم کوتاه شده را اصلاح کنید بخشی از یک هرم منظم نامیده می شود که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

پایه هاهرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ارتفاع هرم ناقص فاصله بین قاعده های آن نامیده می شود. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را به هم متصل می کند که روی یک صورت قرار ندارند. بخش مورب قسمتی از هرم بریده به صفحه ای گفته می شود که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.

برای یک هرم کوتاه، فرمول ها معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2 - نواحی پایه های بالا و پایین;

اس پرمساحت کل است؛

سمت Sمساحت سطح جانبی است.

اچ- ارتفاع؛

Vحجم هرم کوتاه شده است.

برای یک هرم کوتاه معمولی، فرمول زیر صادق است:

جایی که پ 1 , پ 2 - محیط های پایه;

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1در یک هرم مثلثی منظم، زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم منظم است، به این معنی که قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع است و تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه خواهد بود آبین دو عمود: i.e. بالای هرم در مرکز مثلث (مرکز دایره محصور شده و دایره محاط شده در مثلث بیرون زده شده است. ABC). زاویه شیب دنده جانبی (به عنوان مثال SB) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده SBاین زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو OB. طول قطعه را بگذارید BD 3 است آ. نقطه Oبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2اگر قطرهای قاعده های آن سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد، حجم هرم چهار گوش منقطع را بیابید.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است، یعنی مساحت پایه ها و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم:

پاسخ: 112 سانتی متر مکعب.

مثال 3مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منظم را که اضلاع قاعده آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است، پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه ها و ارتفاع را بدانید. پایه ها با شرط داده شده است، فقط ارتفاع ناشناخته باقی مانده است. از کجا پیداش کن ولی 1 Eعمود بر یک نقطه ولی 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D- عمود بر ولی 1 در AC. ولی 1 E\u003d 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای یافتن DEما یک نقاشی اضافی ایجاد می کنیم که در آن نمای بالایی را به تصویر می کشیم (شکل 20). نقطه O- پیش بینی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوبشعاع دایره محاطی است و OMشعاع دایره محاطی است:

MK=DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر است با مجموع مساحت ها و مساحت ذوزنقه آ ب پ ت.

ما از این جمله استفاده می کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده بیرون زده می شود. نقطه O- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایه با قضیه مساحت طرح ریزی متعامدشکل هواپیما به دست می آید:

به همین ترتیب، به معنای بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. یک ذوزنقه بکشید آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه Oمرکز دایره ای است که در ذوزنقه ای محاط شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در یک ذوزنقه حک کرد، پس یا توسط قضیه فیثاغورث داریم

• 09.10.2014

  پیش تقویت کننده نشان داده شده در شکل برای استفاده با 4 نوع منبع صدا مانند میکروفون، پخش کننده سی دی، ضبط رادیو و غیره طراحی شده است. در عین حال، پیش تقویت کننده دارای یک ورودی است که می تواند حساسیت را از 50 میلی ولت به 50 میلی ولت تغییر دهد. 500 میلی ولت ولتاژ خروجی تقویت کننده 1000 میلی ولت است. برقراری ارتباط منابع مختلفسیگنال هنگام تعویض سوئیچ SA1، ما همیشه ...

• 20.09.2014

  PSU برای بار با توان 15 ... 20 وات طراحی شده است. منبع مطابق با طرح مبدل پالس فرکانس بالا تک چرخه ساخته شده است. یک اسیلاتور که در فرکانس 20 ... 40 کیلوهرتز کار می کند روی ترانزیستور مونتاژ می شود. فرکانس توسط ظرفیت C5 تنظیم می شود. عناصر VD5، VD6 و C6 مداری را برای راه اندازی یک نوسان ساز تشکیل می دهند. که در مدار ثانویهبعد از یکسو کننده پل یک تثبیت کننده خطی معمولی روی تراشه وجود دارد که به شما امکان می دهد ...

• 28.09.2014

  شکل یک ژنراتور روی تراشه K174XA11 را نشان می دهد که فرکانس آن توسط ولتاژ کنترل می شود. با تغییر ظرفیت خازن C1 از 560 به 4700pF می توان محدوده فرکانس وسیعی به دست آورد، در حالی که فرکانس با تغییر مقاومت R4 تنظیم می شود. به عنوان مثال، نویسنده متوجه شد که در C1 \u003d 560pF، فرکانس ژنراتور را می توان با استفاده از R4 از 600 هرتز به 200 کیلوهرتز تغییر داد، ...

• 03.10.2014

  این واحد برای تغذیه یک ULF قدرتمند طراحی شده است، برای ولتاژ خروجی ± 27 ولت طراحی شده است و بنابراین تا 3 آمپر روی هر بازو بارگیری می کند. PSU دو قطبی است که بر روی ترانزیستورهای کامپوزیت کامل KT825-KT827 ساخته شده است. هر دو بازوی تثبیت کننده طبق یک طرح ساخته شده اند، اما در بازوی دیگر (نشان داده نشده است)، قطبیت خازن ها تغییر می کند و از ترانزیستورهای دیگری استفاده می شود ...

- این یک چندوجهی است که از قاعده هرم و مقطعی موازی با آن تشکیل شده است. می توانیم بگوییم که هرم ناقص، هرمی است که بالای آن بریده شده است. این رقم دارای خواص منحصر به فرد بسیاری است:

• وجهه های جانبی هرم ذوزنقه ای هستند.
• دنده های جانبی یک هرم منقطع منظم به یک اندازه هستند و در یک زاویه به قاعده متمایل می شوند.
• پایه ها چند ضلعی های مشابه هستند.
• در یک هرم منقطع منظم، وجوه ذوزنقه های متساوی الساقین یکسانی هستند که مساحت آنها برابر است. آنها همچنین در یک زاویه به پایه متمایل هستند.

فرمول مساحت سطح جانبی هرم ناقص مجموع مساحت اضلاع آن است:

از آنجایی که اضلاع هرم ناقص ذوزنقه هستند، برای محاسبه پارامترها باید از فرمول استفاده کنید. ناحیه ذوزنقه ای. برای یک هرم منقطع معمولی می توان از فرمول دیگری برای محاسبه مساحت استفاده کرد. از آنجایی که تمام اضلاع، وجه ها و زوایای آن در قاعده برابر است، می توان محیط قاعده و آپوتم را اعمال کرد و همچنین مساحت را از طریق زاویه در قاعده استخراج کرد.

اگر با توجه به شرایط یک هرم ناقص منتظم، آپوتم (ارتفاع ضلع) و طول اضلاع قاعده داده شود، آنگاه می توان مساحت را از طریق حاصل نصف حاصل از مجموع محیط های قاعده محاسبه کرد. مبانی و حکم:

بیایید به مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم کوتاه نگاه کنیم.
با توجه به یک هرم پنج ضلعی منظم. آپوتم ل\u003d 5 سانتی متر، طول صورت در پایه بزرگ است آ\u003d 6 سانتی متر، و صورت در پایه کوچکتر است ب\u003d 4 سانتی متر. مساحت هرم کوتاه شده را محاسبه کنید.

ابتدا محیط پایه ها را پیدا می کنیم. از آنجایی که به ما یک هرم پنج ضلعی داده شده است، می فهمیم که پایه ها پنج ضلعی هستند. بنابراین، در پایه ها یک شکل با پنج قرار دارد همان طرف ها. محیط پایه بزرگتر را پیدا کنید:

به همین ترتیب، محیط پایه کوچکتر را پیدا می کنیم:

اکنون می توانیم مساحت یک هرم منقطع منظم را محاسبه کنیم. داده ها را در فرمول جایگزین می کنیم:

بنابراین، ما مساحت یک هرم منقطع منظم را از طریق محیط و آپوتم محاسبه کردیم.

روش دیگر برای محاسبه مساحت سطح جانبی هرم منظم فرمول است از طریق گوشه های پایه و منطقه همین پایه ها.

بیایید به یک محاسبه مثال نگاه کنیم. یادت باشد فرمول داده شدهفقط برای یک هرم ناقص معمولی کاربرد دارد.

بگذارید یک هرم چهار گوش منظم داده شود. سطح پایه پایینی a = 6 سانتی متر و وجه b = 4 سانتی متر است. زاویه دو وجهی در پایه β = 60 درجه است. مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم را پیدا کنید.

ابتدا مساحت پایه ها را محاسبه می کنیم. از آنجایی که هرم منظم است، تمام وجوه قاعده ها با هم برابرند. با توجه به اینکه پایه چهار ضلعی است، می فهمیم که محاسبه آن ضروری خواهد بود مساحت مربع. حاصلضرب عرض و طول است، اما مجذور، این مقادیر یکسان هستند. مساحت پایه بزرگتر را پیدا کنید:


اکنون از مقادیر یافت شده برای محاسبه مساحت سطح جانبی استفاده می کنیم.

با دانستن چند فرمول ساده، مساحت ذوزنقه جانبی یک هرم بریده را به راحتی از طریق مقادیر مختلف محاسبه کردیم.

در این درسما یک هرم کوتاه را در نظر می گیریم، با یک هرم ناقص معمولی آشنا می شویم و خواص آنها را مطالعه می کنیم.

اجازه دهید مفهوم یک هرم n-گونال را با استفاده از مثال یک هرم مثلثی به یاد بیاوریم. مثلث ABC داده شده است. در خارج از صفحه مثلث، یک نقطه P گرفته می شود که به رئوس مثلث متصل است. سطح چند وجهی حاصل را هرم می نامند (شکل 1).

برنج. 1. هرم مثلثی

اجازه دهید هرم را با صفحه ای موازی با صفحه قاعده هرم برش دهیم. شکلی که بین این صفحات به دست می آید، هرم بریده نامیده می شود (شکل 2).

برنج. 2. هرم ناقص

عناصر اصلی:

پایه بالا؛

پایه پایین تر ABC;

صورت کناری؛

اگر PH ارتفاع هرم اصلی باشد، ارتفاع هرم کوتاه شده است.

خواص هرم ناقص از روش ساخت آن، یعنی از موازی بودن صفحات پایه ها ناشی می شود:

تمام وجوه جانبی هرم ناقص ذوزنقه هستند. به عنوان مثال، یک چهره را در نظر بگیرید. دارای خاصیت صفحات موازی است (از آنجایی که صفحات موازی هستند، وجه جانبی هرم ABP اصلی را در امتداد خطوط موازی برش می دهند)، در عین حال موازی نیستند. بدیهی است که چهارضلعی یک ذوزنقه است، مانند تمام وجوه جانبی یک هرم ناقص.

نسبت پایه ها برای همه ذوزنقه ها یکسان است:

چندین جفت مثلث مشابه با ضریب تشابه یکسان داریم. به عنوان مثال، مثلث ها و RAB به دلیل موازی بودن صفحات و ضریب تشابه مشابه هستند:

در عین حال، مثلث ها و RCS با ضریب شباهت مشابه هستند:

بدیهی است که ضرایب تشابه برای هر سه جفت مثلث مشابه برابر است، بنابراین نسبت پایه ها برای همه ذوزنقه ها یکسان است.

هرم منقطع منظم، هرم بریده ای است که از بریدن یک هرم منظم با صفحه موازی با قاعده به دست می آید (شکل 3).

برنج. 3. هرم کوتاه شده را اصلاح کنید

تعریف.

هرم منتظم هرم نامیده می شود که در قاعده آن یک n-ضلعی منتظم قرار دارد و راس آن به مرکز این n-گون (مرکز دایره محاطی و محاط) کشیده می شود.

AT این مورددر قاعده هرم یک مربع قرار دارد و راس آن به نقطه تلاقی قطرهای آن کشیده شده است. هرم بریده چهار گوش منتظم ABCD - پایه پایین، - پایه بالایی. ارتفاع هرم اصلی - RO، هرم کوتاه شده - (شکل 4).

برنج. 4. هرم ناقص چهار گوش منتظم

تعریف.

ارتفاع هرم بریده عمودی است که از هر نقطه یک قاعده به صفحه قاعده دوم کشیده می شود.

آپوتم هرم اصلی RM است (M وسط AB است)، آپوتم هرم کوتاه شده است (شکل 4).

تعریف.

نشانه هرم کوتاه، ارتفاع هر وجه جانبی است.

واضح است که تمام لبه های کناری هرم ناقص با یکدیگر برابرند، یعنی وجوه جانبی ذوزنقه های متساوی الساقین مساوی هستند.

مساحت سطح جانبی هرم ناقص منتظم برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع محیط قاعده ها و آپوتم.

اثبات (برای یک هرم منقطع چهار گوش منظم - شکل 4):

بنابراین، باید ثابت کنیم:

مساحت سطح جانبی در اینجا از مجموع مناطق صورت های جانبی - ذوزنقه ها تشکیل می شود. از آنجایی که ذوزنقه ها یکسان هستند، داریم:

مساحت ذوزنقه متساوی الساقین حاصلضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع است و آپوتم ارتفاع ذوزنقه است. ما داریم:

Q.E.D.

برای هرم n-gonal:

جایی که n تعداد وجوه جانبی هرم است، a و b پایه های ذوزنقه هستند، نقطه پایانی است.

اضلاع قاعده یک هرم چهار گوش منقطع منتظم برابر با 3 سانتی متر و 9 سانتی متر، ارتفاع - 4 سانتی متر هستند. مساحت سطح جانبی را پیدا کنید.

برنج. 5. تصویر برای مسئله 1

راه حل. بیایید شرایط را توضیح دهیم:

داده شده: ، ،

یک خط مستقیم MN از نقطه O به موازات دو طرف پایه پایین بکشید، به طور مشابه یک خط مستقیم از طریق نقطه رسم کنید (شکل 6). از آنجایی که مربع ها و ساختارها در پایه های هرم بریده موازی هستند، یک ذوزنقه برابر با وجوه جانبی به دست می آوریم. علاوه بر این، ضلع جانبی آن از وسط لبه‌های بالا و پایین وجه‌های جانبی عبور می‌کند و مظهر یک هرم بریده‌شده خواهد بود.

برنج. 6. ساخت و سازهای اضافی

ذوزنقه حاصل را در نظر بگیرید (شکل 6). در این ذوزنقه قاعده فوقانی، قاعده تحتانی و ارتفاع مشخص است. لازم است ضلع جانبی را پیدا کنید، که نشانه هرم ناقص داده شده است. عمود بر MN رسم کنید. اجازه دهید NQ عمود بر نقطه را حذف کنیم. دریافتیم که پایه بزرگتر به قطعات سه سانتی متری () تقسیم می شود. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید، پاهای موجود در آن مشخص است، این است مثلث مصری، طبق قضیه فیثاغورث، طول هیپوتانوس را تعیین می کنیم: 5 سانتی متر.

اکنون تمام عناصر برای تعیین مساحت سطح جانبی هرم وجود دارد:

هرم توسط صفحه ای موازی با قاعده عبور می کند. با استفاده از مثال یک هرم مثلثی، ثابت کنید که لبه های کناری و ارتفاع هرم توسط این صفحه به قسمت های متناسب تقسیم شده است.

اثبات بیایید نشان دهیم:

برنج. 7. تصویر برای مسئله 2

هرم RABC داده شده است. RO ارتفاع هرم است. هرم با یک صفحه جدا می شود، علاوه بر این، یک هرم کوتاه به دست می آید. نقطه - نقطه تقاطع ارتفاع RO با صفحه قاعده هرم کوتاه. لازم به اثبات است:

کلید حل، ویژگی صفحات موازی است. دو صفحه موازی هر صفحه سوم را قطع می کنند به طوری که خطوط تقاطع موازی هستند. از اینجا: . موازی بودن خطوط متناظر دلالت بر حضور چهار جفت مثلث مشابه دارد:

از شباهت مثلث ها تناسب اضلاع مربوطه به دست می آید. ویژگی مهماین است که ضرایب شباهت برای این مثلث ها یکسان است:

Q.E.D.

هرم مثلثی منظم RABC با ارتفاع و ضلع قاعده توسط صفحه ای که از نقطه وسط ارتفاع PH موازی با قاعده ABC می گذرد جدا می شود. مساحت سطح جانبی هرم ناقص حاصل را پیدا کنید.

راه حل. بیایید نشان دهیم:

برنج. 8. تصویر برای مسئله 3

DIA یک مثلث منتظم است، H مرکز این مثلث (مرکز دایره های محاطی و محاط) است. RM نشانه هرم داده شده است. - شعار هرم بریده. با توجه به خاصیت صفحات موازی (دو صفحه موازی هر صفحه سوم را قطع می کنند تا خطوط تقاطع موازی باشند) چندین جفت مثلث مشابه با ضریب تشابه برابر داریم. به طور خاص، ما به این رابطه علاقه مندیم:

بیایید NM را پیدا کنیم. این شعاع دایره ای است که در پایه محاط شده است، ما فرمول مربوطه را می دانیم:

حالا بیرون راست گوشهРНМ طبق قضیه فیثاغورث، ما RM را پیدا می کنیم - آپوتم هرم اصلی:

از نسبت اولیه:

اکنون ما همه عناصر را برای یافتن سطح جانبی یک هرم کوتاه می دانیم:

بنابراین، ما با مفاهیم یک هرم کوتاه و یک هرم منقطع آشنا شدیم، تعاریف اولیه را ارائه دادیم، خواص را در نظر گرفتیم و قضیه را در مساحت سطح جانبی اثبات کردیم. درس بعدی بر حل مسئله تمرکز خواهد کرد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. هندسه. پایه 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (پایه و سطوح پروفایل) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - ویرایش پنجم، کشیش. و اضافی - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. شاریگین I. F. هندسه. پایه 10-11: کتاب درسی آموزش عمومی موسسات آموزشی/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. هندسه. پایه دهم: کتاب درسی موسسات آموزشی عمومی با مطالعه عمیق و نیمرخ ریاضی / E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - ویرایش ششم، کلیشه. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

مشق شب