Вариацын хамгийн төгс шинж чанар нь дундаж квадрат хазайлт бөгөөд үүнийг стандарт (эсвэл стандарт хазайлт) гэж нэрлэдэг. Стандарт хэлбэлзэл() нь арифметик дунджаас атрибутын бие даасан утгуудын дундаж квадрат хазайлтын квадрат язгууртай тэнцүү байна:

Стандарт хазайлт нь энгийн:

Бүлэглэсэн өгөгдөлд жигнэсэн стандарт хазайлтыг хэрэглэнэ.

Хэвийн тархалтын нөхцөлд язгуур квадрат ба дундаж шугаман хазайлтын хооронд дараах харьцаа явагдана: ~ 1.25.

Өөрчлөлтийн үндсэн үнэмлэхүй хэмжигдэхүүн болох стандарт хазайлт нь хэвийн тархалтын муруйн ординатын утгыг тодорхойлох, түүврийн ажиглалтыг зохион байгуулахтай холбоотой тооцоолол, түүврийн шинж чанарын нарийвчлалыг тогтоох, түүнчлэн түүврийн шинж чанарыг үнэлэхэд ашиглагддаг. нэгэн төрлийн популяцийн шинж чанарын өөрчлөлтийн хязгаар.

Тархалт, түүний төрөл, стандарт хазайлт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл- өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл түүний математикийн хүлээлтээс хазайлт. Статистикт эсвэл тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг. Вариацын квадрат язгуурыг стандарт хазайлт, стандарт хазайлт эсвэл стандарт тархалт гэж нэрлэдэг.

Нийт зөрүү (σ 2) энэ өөрчлөлтийг үүсгэсэн бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор шинж чанарын өөрчлөлтийг бүхэлд нь хэмждэг. Үүний зэрэгцээ бүлэглэх аргын ачаар бүлэглэлийн шинж чанараас шалтгаалсан өөрчлөлт, тооцоогүй хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүссэн өөрчлөлтийг тодорхойлох, хэмжих боломжтой.

Бүлэг хоорондын зөрүү (σ 2 м.гр) системчилсэн хэлбэлзлийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл шинж чанарын нөлөөн дор үүсдэг судалж буй шинж чанарын үнэ цэнийн ялгаа - бүлгийн үндэс суурийг бүрдүүлдэг хүчин зүйл.

Стандарт хэлбэлзэл(ижил утгатай: стандарт хазайлт, стандарт хазайлт, квадрат хазайлт; холбогдох нэр томъёо: стандарт хазайлт, стандарт тархалт) - магадлалын онол ба статистикт санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын математик хүлээлттэй харьцуулахад хамгийн түгээмэл үзүүлэлт юм. Утгын түүврийн хязгаарлагдмал массивтай бол математикийн хүлээлтийн оронд түүврийн арифметик дундажийг ашигладаг.

Стандарт хазайлтыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэгжээр хэмждэг бөгөөд тооцоололд ашигладаг стандарт алдааарифметик дундаж, итгэлцлийн интервал байгуулах үед, статистик таамаглалыг шалгах үед, санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шугаман хамаарлыг хэмжих үед. гэж тодорхойлсон Квадрат язгуурсанамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсээс.

Стандарт хэлбэлзэл:

Стандарт хэлбэлзэл(дундаж тооцоо квадрат хазайлтсанамсаргүй хувьсагч xтүүний хэлбэлзлийн бодитой тооцоолол дээр үндэслэсэн математикийн хүлээлттэй харьцуулахад):

тархалт хаана байна; - бисонголтын элемент; - дээжийн хэмжээ; - түүврийн арифметик дундаж:

Хоёр талын тооцоолол нь өрөөсгөл гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ерөнхий тохиолдолд бодитой тооцоолол хийх боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч шударга бус хэлбэлзлийн тооцоонд үндэслэсэн тооцоо нь нийцэж байна.

Горим ба медианыг тодорхойлох мөн чанар, хамрах хүрээ, журам.

Өөр өөр шинж чанарын утгын харьцангуй шинж чанарын хувьд статистикийн дундаж чадлын гадна дотоод бүтэцтүгээлтийн цувралууд нь үндсэндээ илэрхийлэгддэг бүтцийн дундаж утгыг ашигладаг загвар ба медиан.

Загвар- Энэ бол цувралын хамгийн түгээмэл хувилбар юм. Загварыг жишээ нь үйлчлүүлэгчдийн дунд хамгийн их эрэлт хэрэгцээтэй байгаа хувцас, гутлын хэмжээг тодорхойлоход ашигладаг. Дискрет цувралын горим нь хамгийн өндөр давтамжтай горим юм. Интервалын өөрчлөлтийн цувралын горимыг тооцоолохдоо эхлээд модаль интервалыг (хамгийн их давтамж дээр үндэслэн), дараа нь дараах томъёог ашиглан шинж чанарын модаль утгын утгыг тодорхойлох хэрэгтэй.

- - загварын үнэ цэнэ

- — модаль интервалын доод хязгаар

- — интервалын хэмжээ

- — модаль интервалын давтамж

- — модальаас өмнөх интервалын давтамж

- — модалын дараах интервалын давтамж

Медиан -Энэ нь эрэмбэлэгдсэн цувралын үндсэн шинж чанарын утга бөгөөд энэ цувралыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг.

Давтамж байгаа тохиолдолд дискрет цуваа дахь медианыг тодорхойлохын тулд эхлээд давтамжийн хагас нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь аль хувилбарын утга түүн дээр тохирохыг тодорхойлно. (Хэрэв эрэмбэлэгдсэн цуврал нь сондгой тооны шинж чанарыг агуулсан бол дундаж тоог дараах томъёогоор тооцоолно.

M e = (n (нийт шинж чанаруудын тоо) + 1)/2,

тэгш тооны шинж тэмдэгтэй тохиолдолд медиан нь эгнээний дундах хоёр шинж чанарын дундажтай тэнцүү байна).

Тооцоолох үед медиануудинтервалын хэлбэлзлийн цувралын хувьд эхлээд медиан байрлах дундаж интервалыг тодорхойлж, дараа нь дараах томъёог ашиглан медиан утгыг тодорхойлно.

- — шаардлагатай медиан

- - медианыг агуулсан интервалын доод хязгаар

- — интервалын хэмжээ

- — давтамжийн нийлбэр буюу цуврал нөхцлийн тоо

Дундажаас өмнөх интервалуудын хуримтлагдсан давтамжийн нийлбэр

- — дундаж интервалын давтамж

Жишээ. Мод ба медианыг ол.

Шийдэл:
IN энэ жишээндмодаль интервал нь 25-30 насны бүлэгт багтдаг тул энэ интервал нь хамгийн өндөр давтамжийг (1054) эзэлдэг.

Горимын хэмжээг тооцоолъё:

Энэ нь оюутнуудын модаль нас 27 гэсэн үг юм.

Медианыг тооцоод үзье. Дундаж интервал нь байна насны ангилал 25-30 жил, учир нь энэ интервал дотор хүн амыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах хувилбар байдаг (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Дараа нь бид шаардлагатай тоон өгөгдлийг томъёонд орлуулж, дундаж утгыг авна.

Энэ нь оюутнуудын нэг тал нь 27.4 нас хүрээгүй, нөгөө тал нь 27.4-өөс дээш насныхан байна гэсэн үг.

Мод ба медианаас гадна эрэмбэлсэн цувралыг 4 тэнцүү хэсэгт хуваах квартил зэрэг үзүүлэлтүүдийг ашиглаж болно. децили- 10 хэсэг ба хувь хэмжээ - 100 хэсэг тутамд.

Сонгомол ажиглалтын тухай ойлголт, түүний хамрах хүрээ.

Сонгомол ажиглалттасралтгүй тандалт ашиглах үед хамаарна бие махбодийн хувьд боломжгүйих хэмжээний өгөгдлийн улмаас эсвэл эдийн засгийн хувьд боломжгүй. Жишээлбэл, зорчигчдын урсгалыг судлах үед бие махбодийн боломжгүй байдал үүсдэг. зах зээлийн үнэ, гэр бүлийн төсөв. Эдийн засгийн тохиромжгүй байдал нь тэдгээрийг устгахтай холбоотой барааны чанарыг үнэлэх, жишээлбэл, амтлах, тоосгоны бат бөх чанарыг шалгах гэх мэт үед үүсдэг.

Ажиглалтаар сонгосон статистикийн нэгжүүд нь түүвэрлэлтийн хүрээ буюу түүврийг бүрдүүлдэг бөгөөд тэдгээрийн массив бүхэлдээ ерөнхий популяцийг (GS) бүрдүүлдэг. Энэ тохиолдолд түүвэр дэх нэгжийн тоог дараах байдлаар тэмдэглэнэ n, мөн бүхэл бүтэн HS-д - Н. Хандлага н/Нтүүврийн харьцангуй хэмжээ буюу эзлэх хувь гэж нэрлэдэг.

Түүврийн ажиглалтын үр дүнгийн чанар нь түүврийн төлөөллийн чанараас, өөрөөр хэлбэл GS-д хэр төлөөлөхөөс хамаарна. Дээжийн төлөөллийг хангахын тулд үүнийг дагаж мөрдөх шаардлагатай нэгжийг санамсаргүй сонгох зарчим, энэ нь түүвэрт HS-ийн нэгжийг оруулахад тохиолдлоос бусад хүчин зүйл нөлөөлж чадахгүй гэж үздэг.

Байдаг Санамсаргүй сонгох 4 аргадээж авах:

1. Үнэндээ санамсаргүйстатистик утгыг оноох үед сонголт эсвэл "сугалааны арга" серийн дугаарууд, тодорхой объектууд дээр (жишээлбэл, баррель) байрлуулсан бөгөөд дараа нь зарим саванд (жишээлбэл, уутанд) холилдож, санамсаргүй байдлаар сонгоно. Практикт энэ аргыг генератор ашиглан гүйцэтгэдэг санамсаргүй тооэсвэл санамсаргүй тоонуудын математик хүснэгтүүд.
2. Механиксонголт тус бүр нь ( Н/н)-нийт хүн амын тоон утга. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь 100,000 утгыг агуулж байгаа бөгөөд та 1,000-ыг сонгох шаардлагатай бол 100,000 / 1000 = 100 дахь утгыг түүвэрт оруулах болно. Түүнээс гадна, хэрэв тэд эрэмблэгдээгүй бол эхний зуугаас санамсаргүй байдлаар эхнийх нь сонгогдох бөгөөд бусдын тоо зуугаараа илүү байх болно. Жишээлбэл, хэрэв эхний нэгж нь No19 байсан бол дараагийнх нь No119, дараа нь No219, дараа нь No319 гэх мэт байх ёстой. Хүн амын нэгжийг эрэмбэлсэн бол эхлээд 50, дараа нь 150, дараа нь 250 гэх мэтийг сонгоно.
3. Нэг төрлийн бус өгөгдлийн массиваас утгыг сонгох ажлыг гүйцэтгэдэг давхрагатай(давхаргасан) арга, анх удаа популяцийг санамсаргүй эсвэл механик сонголт хийх нэгэн төрлийн бүлэгт хуваах үед.
4. Дээж авах тусгай арга бол цувралСонголт, үүнд тэд санамсаргүй эсвэл механик аргаар бие даасан утгыг биш, харин тэдгээрийн цувралыг (зарим тооноос дараалсан тоо хүртэлх дарааллаар), тасралтгүй ажиглалт хийдэг.

Түүврийн ажиглалтын чанар нь үүнээс хамаарна дээжийн төрөл: давтагдсанэсвэл давтагдахгүй.

At дахин сонгохТүүвэрт багтсан статистикийн утгууд эсвэл тэдгээрийн цувралыг ашигласны дараа шинэ түүвэрт оруулах боломжтой болсны дараа нийт хүн амд буцааж өгдөг. Түүнчлэн, популяцийн бүх утгыг түүвэрт оруулах магадлал ижил байна.

Давтагдахгүй сонголтЭнэ нь түүвэрт багтсан статистикийн утгууд эсвэл тэдгээрийн цуваа нь ашиглалтын дараа ерөнхий популяцид буцаж ирэхгүй тул сүүлчийнх нь үлдсэн утгуудын хувьд дараагийн түүвэрт хамрагдах магадлал нэмэгддэг гэсэн үг юм.

Дахин давтагдахгүй дээж авах нь илүү нарийвчлалтай үр дүнг өгдөг тул үүнийг илүү олон удаа ашигладаг. Гэхдээ үүнийг ашиглах боломжгүй (зорчигч урсгал, хэрэглэгчдийн эрэлт хэрэгцээг судлах гэх мэт) тохиолдол байдаг бөгөөд дараа нь дахин сонгон шалгаруулалт явуулдаг.

Ажиглалтын түүвэрлэлтийн хамгийн их алдаа, түүврийн дундаж алдаа, тэдгээрийг тооцоолох журам.

Түүврийн популяци бүрдүүлэх дээрх аргууд болон энэ үйл явцын явцад гарсан алдаануудыг нарийвчлан авч үзье. төлөөлөх байдал .
Зөв санамсаргүйтүүвэрлэлт нь популяциас ямар нэгэн системчилсэн элементгүйгээр санамсаргүй байдлаар нэгжийг сонгоход суурилдаг. Техникийн хувьд бодит санамсаргүй сонголт нь сугалаа (жишээлбэл, сугалаа) эсвэл санамсаргүй тоон хүснэгтийг ашиглан хийгддэг.

Үнэндээ санамсаргүй сонголт "д цэвэр хэлбэрСонгомол ажиглалтын практикт энэ нь ховор хэрэглэгддэг, гэхдээ энэ нь бусад төрлийн сонгон шалгаруулалтын үндсэн зарчмуудыг хэрэгжүүлдэг. Түүвэрлэлтийн аргын онолын зарим асуулт, энгийн санамсаргүй түүврийн алдааны томъёог авч үзье.

Түүвэрлэлтийн хазайлтнь түүврийн ажиглалтын үр дүнгээс тооцсон параметрийн ерөнхий популяцийн утга ба түүний утгын хоорондох зөрүү юм. Дундаж тоон шинж чанарын хувьд түүврийн алдааг тодорхойлно

Заагчийг ахиу түүвэрлэлтийн алдаа гэж нэрлэдэг.
Түүврийн дундаж нь авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм өөр өөр утгатайямар нэгжийг түүвэрт оруулсанаас хамаарна. Тиймээс түүврийн алдаа нь мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд өөр өөр утгыг авч болно. Тиймээс дундажийг тодорхойлно болзошгүй алдаанууд - дундаж түүврийн алдаа, үүнээс хамаарна:

Түүврийн хэмжээ: тоо том байх тусам дундаж алдаа бага байх болно;

Судалж буй шинж чанарын өөрчлөлтийн зэрэг: шинж чанарын өөрчлөлт, улмаар тархалт бага байх тусам түүврийн дундаж алдаа бага байна.

At санамсаргүй дахин сонгохдундаж алдааг тооцоолно:
.
Практикт ерөнхий ялгааяг тодорхойгүй, гэхдээ магадлалын онолгэдэг нь батлагдсан
.
Хангалттай том n-ийн утга 1-тэй ойролцоо байгаа тул бид . Дараа нь түүврийн дундаж алдааг тооцоолж болно:
.
Гэхдээ жижиг түүврийн тохиолдолд (n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

At санамсаргүй давталтгүй түүвэрөгөгдсөн томьёог утгаар нь тохируулна. Дараа нь давтагдахгүй түүвэрлэлтийн дундаж алдаа нь:
Тэгээд .
Учир нь үргэлж бага байвал үржүүлэгч () үргэлж 1-ээс бага байна. Энэ нь давтагдахгүй сонголтын дундаж алдаа нь давтан сонгох үеийнхээс үргэлж бага байна гэсэн үг юм.
Механик дээж авахНийт хүн амыг ямар нэгэн байдлаар (жишээ нь, цагаан толгойн үсгийн жагсаалт, утасны дугаар, байшингийн дугаар, орон сууцны дугаар) эрэмбэлсэн тохиолдолд ашигладаг. Нэгжийг сонгохдоо тодорхой интервалаар явагддаг бөгөөд энэ нь түүвэрлэлтийн хувийн урвуутай тэнцүү байна. Тэгэхээр 2% түүврээр 50 нэгж = 1/0.02, 5% түүвэр, нийт хүн амын 1/0.05 = 20 нэгж тутамд сонгогдоно.

Лавлах цэгийг янз бүрийн аргаар сонгоно: санамсаргүй байдлаар, интервалын дундаас, лавлагаа цэгийн өөрчлөлттэй. Хамгийн гол нь системчилсэн алдаанаас зайлсхийх явдал юм. Жишээлбэл, 5% түүврийн хувьд эхний нэгж нь 13-т байвал дараагийнх нь 33, 53, 73 гэх мэт болно.

Нарийвчлалын хувьд механик сонголт нь санамсаргүй түүвэрлэлттэй ойролцоо байна. Тиймээс механик түүврийн дундаж алдааг тодорхойлохын тулд санамсаргүй сонголтын зөв томъёог ашигладаг.

At ердийн сонголт Судалгаанд хамрагдсан хүн амыг нэг төрлийн, ижил төстэй бүлгүүдэд урьдчилан хуваасан. Жишээлбэл, аж ахуйн нэгжүүдийн судалгааг хийхдээ эдгээр нь хүн амыг судлахад салбар, дэд салбар байж болно, эдгээр нь бүс нутаг, нийгмийн болон насны бүлэг байж болно. Дараа нь бүлэг бүрээс бие даасан сонголтыг механикаар эсвэл цэвэр санамсаргүй байдлаар хийдэг.

Ердийн түүвэрлэлт нь бусад аргуудаас илүү нарийвчлалтай үр дүнг өгдөг. Нийтлэг популяцийг бичих нь типологийн бүлэг бүрийг түүвэрт төлөөлөх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь түүврийн дундаж алдаанд бүлэг хоорондын дисперсийн нөлөөллийг арилгах боломжтой болгодог. Тиймээс дисперсийг нэмэх дүрмийн дагуу ердийн түүврийн алдааг олохдоо зөвхөн бүлгийн дисперсийн дундажийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Дараа нь түүврийн дундаж алдаа нь:
дахин сонгон шалгаруулахад
,
давтагдахгүй сонголттой
,
Хаана - түүвэр дэх бүлэг доторх хэлбэлзлийн дундаж.

Цуваа (эсвэл үүр) сонголт түүвэр судалгаа эхлэхээс өмнө популяцийг цуврал эсвэл бүлэгт хуваах үед хэрэглэнэ. Эдгээр цувралууд нь эцсийн бүтээгдэхүүний сав баглаа боодол, оюутны бүлэг, баг байж болно. Шалгалтын цувралуудыг механик эсвэл цэвэр санамсаргүй байдлаар сонгож, цувралын хүрээнд нэгжийн тасралтгүй шалгалтыг явуулдаг. Тиймээс түүврийн дундаж алдаа нь зөвхөн бүлэг хоорондын (цуврал хоорондын) дисперсээс хамаарах бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

энд r нь сонгосон цувралын тоо;
- i-р цувралын дундаж.

Цуваа түүврийн дундаж алдааг тооцоолно:

дахин сонгон шалгаруулахад:
,
давтагдахгүй сонголттой:
,
Энд R нь нийт ангиллын тоо юм.

Нэгтгэсэнсонголтгэж үзсэн сонголтын аргуудын нэгдэл юм.

Аливаа түүврийн аргын түүврийн дундаж алдаа нь түүврийн үнэмлэхүй хэмжээнээс, бага хэмжээгээр түүврийн хувиас хамаардаг. Эхний тохиолдолд 4500 хүн амтай, хоёрдугаарт 225 мянган хүн амаас 225 ажиглалт хийсэн гэж үзье. Хоёр тохиолдлын зөрүү нь 25-тай тэнцүү байна. Дараа нь эхний тохиолдолд 5%-ийн сонголттой бол түүврийн алдаа нь:

Хоёрдахь тохиолдолд 0.1% сонголттой бол энэ нь дараах байдалтай тэнцүү байна.

Тиймээс, түүвэрлэлтийн хувь 50 дахин буурсан тохиолдолд түүврийн хэмжээ өөрчлөгдөөгүй тул түүврийн алдаа бага зэрэг нэмэгдсэн.
Түүврийн хэмжээг 625 ажиглалт болгон нэмэгдүүлсэн гэж үзье. Энэ тохиолдолд түүвэрлэлтийн алдаа нь:

Түүврийн тоо ижил хэмжээтэй байхад түүврийг 2.8 дахин нэмэгдүүлэх нь түүврийн алдааны хэмжээг 1.6 дахин их хэмжээгээр бууруулдаг.

Түүвэр популяци бүрдүүлэх арга, арга.

Статистикийн хувьд түүвэр популяци бүрдүүлэх янз бүрийн аргыг ашигладаг бөгөөд энэ нь судалгааны зорилтоор тодорхойлогддог бөгөөд судалгааны объектын онцлогоос хамаардаг.

Түүвэр судалгаа явуулах гол нөхцөл нь түүвэрт хамрагдах нийт хүн амын нэгж тус бүрд тэгш боломж олгох зарчмыг зөрчсөнөөс системчилсэн алдаа гарахаас урьдчилан сэргийлэх явдал юм. Системчилсэн алдаанаас урьдчилан сэргийлэх нь түүвэр популяцийг бүрдүүлэх шинжлэх ухааны үндэслэлтэй аргуудыг ашиглах замаар хийгддэг.

Популяциас нэгжийг сонгох дараах аргууд байдаг.

1) бие даасан сонголт - дээжийн хувьд тусдаа нэгжийг сонгосон;

2) бүлгийн сонголт - түүвэрт чанарын хувьд нэгэн төрлийн бүлгүүд эсвэл судалж буй нэгжийн цувралууд орно;

3) хосолсон сонголт нь хувь хүний ​​болон бүлгийн сонголтын хослол юм.
Сонгон шалгаруулалтын аргыг түүвэр популяци бүрдүүлэх дүрмээр тодорхойлно.

Дээж нь дараахь байж болно.

• үнэндээ санамсаргүйтүүвэр популяци нь нийт хүн амын дундаас бие даасан нэгжийг санамсаргүй (санамсаргүй) сонгосны үр дүнд бий болсонд оршино. Энэ тохиолдолд түүврийн популяцид сонгосон нэгжийн тоог ихэвчлэн хүлээн зөвшөөрөгдсөн түүврийн пропорц дээр үндэслэн тодорхойлно. Түүврийн пропорц нь түүврийн олонлогийн нэгжийн тоо n-ийг ерөнхий популяцийн нэгжийн тоонд харьцуулсан харьцаа N, i.e.

• механикЭнэ нь түүврийн олонлогийн нэгжийн сонголтыг тэнцүү интервалд (бүлэг) хуваасан нийт хүн амын дундаас хийдэгт оршино. Энэ тохиолдолд популяци дахь интервалын хэмжээ нь түүврийн харьцааны урвуутай тэнцүү байна. Тиймээс 2% -ийн дээжээр 50 дахь нэгж бүрийг (1: 0.02), 5% -ийн дээжийг, 20 дахь нэгжийг (1: 0.05) гэх мэтээр сонгоно. Тиймээс сонгон шалгаруулалтын хүлээн зөвшөөрөгдсөн хувь хэмжээний дагуу ерөнхий популяцийг механикаар ижил хэмжээтэй бүлэгт хуваадаг. Бүлэг бүрээс түүвэрт зөвхөн нэг нэгжийг сонгоно.
• ердийн -Нийт хүн амыг эхлээд нэгэн төрлийн ердийн бүлгүүдэд хуваадаг. Дараа нь ердийн бүлэг бүрээс цэвэр санамсаргүй эсвэл механик түүврийг ашиглан нэгжийг түүвэр популяцид тус тусад нь сонгоно. Ердийн түүврийн чухал онцлог нь түүврийн популяци дахь нэгжийг сонгох бусад аргуудтай харьцуулахад илүү нарийвчлалтай үр дүнг өгдөг;
• цуврал- нийт хүн амыг ижил хэмжээтэй бүлэгт хуваадаг - цуврал. Цувралыг түүвэр популяцид сонгосон. Цувралын хүрээнд цувралд багтсан нэгжүүдийн тасралтгүй ажиглалтыг явуулдаг;
• нэгтгэсэн- дээж авах хоёр үе шаттай байж болно. Энэ тохиолдолд хүн амыг эхлээд бүлэгт хуваадаг. Дараа нь бүлгүүдийг сонгож, сүүлчийнх нь дотроо тусдаа нэгжүүдийг сонгоно.

Статистикийн хувьд түүвэр популяци дахь нэгжийг сонгохдоо дараахь аргуудыг ялгадаг.:

• нэг үе шаттүүвэрлэлт - сонгосон нэгж бүрийг өгөгдсөн шалгуурын дагуу нэн даруй судалгаанд хамруулна (зохих санамсаргүй болон цуваа түүвэр);
• олон үе шаттайтүүвэрлэлт - тусдаа бүлгүүдийн ерөнхий популяциас сонголт хийх ба бүлгүүдээс тусдаа нэгжийг сонгоно (түүврийн популяцид нэгжийг сонгох механик аргаар ердийн түүвэрлэлт).

Үүнээс гадна:

• дахин сонгох- буцаж ирсэн бөмбөгний схемийн дагуу. Энэ тохиолдолд түүвэрт багтсан нэгж эсвэл цуврал бүрийг нийт хүн амын тоонд буцааж өгөх тул дахин түүвэрт оруулах боломжтой;
• давтагдахгүй сонголт- буцаж ирээгүй бөмбөгний схемийн дагуу. Энэ нь ижил түүврийн хэмжээтэй илүү нарийвчлалтай үр дүнтэй байдаг.

Шаардлагатай түүврийн хэмжээг тодорхойлох (Оюутны t-хүснэгтийг ашиглан).

Түүвэрлэлтийн онолын шинжлэх ухааны зарчмуудын нэг бол хангалттай тооны нэгжийг сонгох явдал юм. Онолын хувьд энэ зарчмыг дагаж мөрдөх хэрэгцээг магадлалын онол дахь хязгаарын теоремуудын нотолгоонд тусгасан бөгөөд энэ нь түүврийн төлөөллийг хангахуйц хэмжээний нэгжээс ямар эзлэхүүнийг сонгох шаардлагатайг тогтоох боломжийг олгодог.

Стандарт түүврийн алдаа буурч, улмаар тооцооллын нарийвчлал нэмэгдэх нь түүврийн хэмжээ ихсэхтэй үргэлж холбоотой байдаг тул түүврийн ажиглалтыг зохион байгуулах шатанд аль хэдийн ямар хэмжээтэй байхыг шийдэх шаардлагатай байна. ажиглалтын үр дүнгийн шаардлагатай нарийвчлалыг хангахын тулд түүвэр популяци нь байх ёстой. Шаардлагатай түүврийн хэмжээг тооцоолохдоо түүврийн хамгийн их алдааны (A) томъёоноос гаргаж авсан томъёог ашиглан, тодорхой төрөл, сонгон шалгаруулах аргад харгалзах замаар бүтээдэг. Тиймээс, санамсаргүй давтагдсан түүврийн хэмжээ (n)-ийн хувьд бид:

Энэ томъёоны мөн чанар нь шаардлагатай тоог санамсаргүй дахин сонгоход түүврийн хэмжээ нь итгэлцлийн коэффициентийн квадраттай шууд пропорциональ байна. (t2)ба вариацын шинж чанарын дисперс (?2) ба түүвэрлэлтийн хамгийн их алдааны квадраттай урвуу пропорциональ (?2). Ялангуяа алдааны дээд хэмжээ хоёр дахин нэмэгдвэл шаардлагатай түүврийн хэмжээг дөрөв дахин бууруулж болно. Гурван параметрийн хоёрыг (t ба?) судлаач тогтоодог.

Үүний зэрэгцээ судлаач, үндэслэнТүүвэр судалгааны зорилго, зорилтуудаас асуултыг шийдэх ёстой: оновчтой хувилбарыг хангахын тулд эдгээр параметрүүдийг ямар тоон хослолд оруулах нь илүү дээр вэ? Нэг тохиолдолд тэр олж авсан үр дүнгийн найдвартай байдалд (t) үнэн зөв байдлын хэмжүүрээс (?) илүү сэтгэл хангалуун байж магадгүй, нөгөө тохиолдолд эсрэгээр. Түүвэрлэлтийн хамгийн их алдааны утгын талаархи асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү төвөгтэй байдаг, учир нь түүврийн ажиглалтын загвар зохион бүтээх шатанд судлаачид ийм үзүүлэлт байдаггүй тул практикт түүврийн хамгийн их алдааны утгыг тогтоох нь заншилтай байдаг. ихэвчлэн шинж чанарын хүлээгдэж буй дундаж түвшний 10% дотор байдаг. Тооцоолсон дундажийг тогтооход янз бүрийн аргаар хандаж болно: өмнөх ижил төстэй судалгааны өгөгдлийг ашиглах, эсвэл түүврийн хүрээний өгөгдлийг ашиглах, жижиг туршилтын түүвэр хийх.

Түүврийн ажиглалтыг төлөвлөхдөө тогтооход хамгийн хэцүү зүйл бол (5.2) томъёоны гуравдахь параметр буюу түүврийн популяцийн тархалт юм. Энэ тохиолдолд өмнө нь хийгдсэн ижил төстэй болон туршилтын судалгаанаас олж авсан судлаачийн мэдэлд байгаа бүх мэдээллийг ашиглах шаардлагатай.

Тодорхойлолтын талаархи асуултХэрэв түүврийн судалгаанд түүврийн нэгжийн хэд хэдэн шинж чанарыг судлах шаардлагатай бол шаардлагатай түүврийн хэмжээ улам төвөгтэй болно. Энэ тохиолдолд шинж чанар тус бүрийн дундаж түвшин ба тэдгээрийн хэлбэлзэл нь дүрмээр өөр өөр байдаг тул шинж чанаруудын алинд нь давуу эрх олгохыг зөвхөн тухайн шинж чанарын зорилго, зорилгыг харгалзан үзэх боломжтой. судалгаа.

Түүврийн ажиглалтыг төлөвлөхдөө тодорхой судалгааны зорилго, ажиглалтын үр дүнд үндэслэн дүгнэлт гаргах магадлалын дагуу түүврийн зөвшөөрөгдөх алдааны урьдчилан тодорхойлсон утгыг авна.

Ерөнхийдөө түүврийн дундажийн хамгийн их алдааны томъёо нь дараахь зүйлийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Нийт популяцийн үзүүлэлтүүдийн түүврийн популяцийн үзүүлэлтээс гарч болзошгүй хазайлтын хэмжээ;

Боломжит алдааны хязгаар нь тодорхой заасан хэмжээнээс хэтрэхгүй байх шаардлагатай түүврийн хэмжээ, шаардлагатай нарийвчлалыг хангах;

Түүвэр дэх алдаа нь тодорхой хязгаартай байх магадлал.

Оюутны хуваарилалтмагадлалын онолын хувьд энэ нь туйлын тасралтгүй тархалтын нэг параметрийн гэр бүл юм.

Динамик цуврал (интервал, момент), хаалтын динамик цуврал.

Динамик цуврал- эдгээр нь тодорхой он цагийн дарааллаар харуулсан статистик үзүүлэлтүүдийн утгууд юм.

Цагийн цуваа бүр хоёр бүрэлдэхүүн хэсгээс бүрдэнэ.

1) хугацааны үзүүлэлтүүд (жил, улирал, сар, өдөр, огноо);

2) судлагдаж буй объектыг тодорхой хугацааны туршид эсвэл холбогдох огноогоор тодорхойлсон үзүүлэлтүүдийг цуврал түвшин гэж нэрлэдэг.

Цувралын түвшинг илэрхийлсэнүнэмлэхүй ба дундаж эсвэл харьцангуй утгууд. Шалгуур үзүүлэлтүүдийн шинж чанараас хамааран үнэмлэхүй, харьцангуй ба дундаж утгын цаг хугацааны цувааг байгуулдаг. Харьцангуй ба дундаж утгуудын динамик цуваа нь үнэмлэхүй утгуудын үүсмэл цувааны үндсэн дээр бүтээгддэг. Динамикийн интервал ба моментийн цуваа байдаг.

Динамик интервалын цувралтодорхой хугацааны үзүүлэлтийн утгыг агуулна. Интервалын цувралд илүү урт хугацаанд үзэгдлийн эзлэхүүн буюу хуримтлагдсан нийлбэрийг олж авахын тулд түвшинг нэгтгэж болно.

Динамик моментийн цувралтодорхой цаг хугацааны (цаг хугацааны огноо) үзүүлэлтүүдийн утгыг тусгасан болно. Момент цувааны хувьд энд байгаа түвшний нийлбэр бодит агуулгагүй тул судлаач зөвхөн тодорхой огнооны хоорондох цувралын түвшний өөрчлөлтийг тусгасан үзэгдлийн ялгааг сонирхож болно. Энд хуримтлагдсан дүнг тооцохгүй.

Хугацааны цувааг зөв бүтээх хамгийн чухал нөхцөл бол өөр өөр хугацаанд хамаарах цувралын түвшинг харьцуулах явдал юм. Түвшингүүд нь нэгэн төрлийн хэмжигдэхүүнээр илэрхийлэгдэх ёстой бөгөөд үзэгдлийн янз бүрийн хэсгүүдийн хамрах хүрээний бүрэн бүтэн байдал ижил байх ёстой.

ТөлөөБодит динамикийг гажуудуулахаас зайлсхийхийн тулд статистикийн судалгаанд цаг хугацааны цувралын статистик дүн шинжилгээ хийхээс өмнө урьдчилсан тооцооллыг (динамикийн цувааг хаах) хийдэг. Динамик цувааг хаах гэдэг нь хоёр ба түүнээс дээш цувралыг нэг цуврал болгон нэгтгэх, тэдгээрийн түвшинг өөр аргачлалаар тооцдог эсвэл нутаг дэвсгэрийн хил хязгаартай нийцэхгүй гэх мэтийг ойлгодог. Динамикийн цувралыг хаах нь динамик цувралын үнэмлэхүй түвшинг нийтлэг үндэслэлд хүргэхийг илэрхийлж магадгүй бөгөөд энэ нь динамик цувралын түвшний харьцуулашгүй байдлыг саармагжуулдаг.

Динамикийн цуваа, коэффициент, өсөлт, өсөлтийн хурдыг харьцуулах тухай ойлголт.

Динамик цуврал- эдгээр нь цаг хугацааны явцад байгалийн болон нийгмийн үзэгдлийн хөгжлийг тодорхойлдог статистикийн цуврал үзүүлэлтүүд юм. ОХУ-ын Улсын статистикийн хорооноос гаргасан статистикийн цуглуулгууд нь олон тооны динамик цувралуудыг хүснэгт хэлбэрээр агуулдаг. Динамик цувралууд нь судалж буй үзэгдлийн хөгжлийн хэв маягийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Динамик цуврал нь хоёр төрлийн үзүүлэлтийг агуулдаг. Цагийн үзүүлэлтүүд(жил, улирал, сар гэх мэт) эсвэл цаг хугацааны цэгүүд (жилийн эхэнд, сар бүрийн эхэнд гэх мэт). Мөр түвшний үзүүлэлтүүд. Динамикийн цувралын түвшний үзүүлэлтүүдийг үнэмлэхүй утга (бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэл тонн эсвэл рубль), харьцангуй утгуудаар илэрхийлж болно. тодорхой татах хүчхотын хүн ам %) ба дундаж утгууд (дундаж цалинаж үйлдвэрийн ажилчид жилээр гэх мэт). Хүснэгт хэлбэрээр цаг хугацааны цуваа нь хоёр багана эсвэл хоёр мөрийг агуулна.

Цагийн цувааг зөв барих нь хэд хэдэн шаардлагыг биелүүлэхийг шаарддаг.

1. цуврал динамикийн бүх үзүүлэлтүүд нь шинжлэх ухааны үндэслэлтэй, найдвартай байх ёстой;
2. цуврал динамик үзүүлэлтүүд нь цаг хугацааны хувьд харьцуулж болохуйц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. ижил хугацаанд эсвэл ижил огноогоор тооцох ёстой;
3. олон тооны динамик үзүүлэлтүүдийг нутаг дэвсгэрийн хэмжээнд харьцуулах боломжтой байх ёстой;
4. цуврал динамикийн үзүүлэлтүүдийг агуулгын хувьд харьцуулж болохуйц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. нэг аргачлалын дагуу, ижил аргаар тооцоолсон;
5. хэд хэдэн динамикийн үзүүлэлтүүдийг харгалзан үзсэн фермийн хүрээг хамарсан харьцуулж болохуйц байх ёстой. Цуврал динамикийн бүх үзүүлэлтийг ижил хэмжлийн нэгжээр өгөх ёстой.

Статистик үзүүлэлтүүдТодорхой хугацааны туршид судалж буй үйл явцын үр дүн, эсвэл тодорхой цаг хугацааны туршид судалж буй үзэгдлийн төлөв байдлыг тодорхойлж болно. үзүүлэлтүүд нь интервал (үе үе) болон түр зуурын байж болно. Үүний дагуу эхлээд динамик цуврал нь интервал эсвэл момент байж болно. Моментийн динамик цуврал нь эргээд тэнцүү эсвэл тэгш бус хугацааны интервалтай байж болно.

Анхны динамик цувралыг дундаж утгууд ба харьцангуй утгуудын цуврал (гинжин ба үндсэн) болгон хувиргаж болно. Ийм хугацааны цувааг үүсмэл хугацааны цуваа гэж нэрлэдэг.

Динамик цувралын дундаж түвшинг тооцоолох аргачлал нь динамик цувралын төрлөөс хамааран өөр өөр байдаг. Жишээ ашиглан бид динамик цувралын төрлүүд, дундаж түвшинг тооцоолох томъёог авч үзэх болно.

Үнэмлэхүй нэмэгддэг (Δy) цувралын дараагийн түвшин өмнөхтэй (гр. 3. - гинжин хэлхээний үнэмлэхүй өсөлт) эсвэл анхны түвшинтэй (гр. 4. - үндсэн үнэмлэхүй өсөлт) хэдэн нэгжээр өөрчлөгдсөнийг харуулна. Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

Цувралын үнэмлэхүй утга буурах үед тус тус "бууралт" эсвэл "бууралт" байх болно.

Үнэмлэхүй өсөлтийн үзүүлэлтүүдээс харахад жишээлбэл, 1998 онд “А” бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэл 1997 онтой харьцуулахад 4 мянган тонноор, 1994 онтой харьцуулахад 34 мянган тонноор; бусад жилийн хувьд хүснэгтийг үзнэ үү. 11.5 гр. 3 ба 4.

Өсөлтийн хувьцувралын түвшин өмнөхтэй (гр. 5 - өсөлт, бууралтын гинжин коэффициентүүд) эсвэл анхны түвшинтэй харьцуулахад (гр. 6 - өсөлт, бууралтын үндсэн коэффициентүүд) хэдэн удаа өөрчлөгдсөнийг харуулдаг. Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

Өсөлтийн хурдцувралын дараагийн түвшинг өмнөхтэй (гр. 7 - гинжин өсөлтийн хувь) хэдэн хувьтай харьцуулж, эсвэл эхний түвшинтэй (гр. 8 - үндсэн өсөлтийн хувь) харьцуулж байгааг харуулна. Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

Жишээлбэл, 1997 онд "А" бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийн хэмжээ 1996 онтой харьцуулахад 105.5% байна (

Өсөлтийн хувьтайлант үеийн түвшин өмнөхтэй харьцуулахад хэдэн хувиар өссөнийг харуулна (9-р багана - гинжин хэлхээний өсөлтийн хувь хэмжээ) эсвэл эхний түвшинтэй харьцуулахад (10-р багана - үндсэн өсөлтийн хурд). Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

T pr = T r - 100% эсвэл T pr = үнэмлэхүй өсөлт / өмнөх үеийн түвшин * 100%

Жишээлбэл, 1996 онд "А" бүтээгдэхүүнийг 1995 онтой харьцуулахад 3.8% (103.8% - 100%) буюу (8:210)x100%, 1994 онтой харьцуулахад 9% (109%) үйлдвэрлэсэн байна. 100%).

Хэрэв цувралын үнэмлэхүй түвшин буурвал хувь хэмжээ 100% -иас бага байх бөгөөд үүний дагуу буурах хурд (хасах тэмдэг бүхий өсөлтийн хурд) байх болно.

Үнэмлэхүй үнэ цэнэ 1% -ийн өсөлт(11-р багана) нь өмнөх үеийн түвшин 1% -иар өсөхийн тулд тухайн хугацаанд хэдэн нэгжийг үйлдвэрлэх ёстойг харуулна. Бидний жишээн дээр 1995 онд 2.0 мянган тонн, 1998 онд 2.3 мянган тонн үйлдвэрлэх шаардлагатай байсан, өөрөөр хэлбэл. хамаагүй том.

1% өсөлтийн үнэмлэхүй утгыг хоёр аргаар тодорхойлж болно.

Өмнөх үеийн түвшинг 100-д ​​хуваана;

Гинжингийн үнэмлэхүй өсөлтийг харгалзах гинжин өсөлтийн хурдаар хуваана.

Үнэмлэхүй утга 1%-ийн өсөлт =

Динамикийн хувьд, ялангуяа урт хугацааны туршид өсөлт, бууралт бүрийн агуулгатай өсөлтийн хурдыг хамтарсан дүн шинжилгээ хийх нь чухал юм.

Хугацааны цувралд дүн шинжилгээ хийх аргачлал нь түвшин нь үнэмлэхүй утгаараа (t, мянган рубль, ажилчдын тоо гэх мэт) илэрхийлэгддэг хугацааны цуваа, түвшин нь хугацааны цувралд хоёуланд нь хамааралтай болохыг анхаарна уу. Харьцангуй үзүүлэлтээр (гажиг%, нүүрсний үнслэг% гэх мэт) эсвэл дундаж утгаараа (ц/га дахь дундаж ургац, дундаж цалин гэх мэт) илэрхийлнэ.

Динамикийн цувралд дүн шинжилгээ хийхдээ өмнөх буюу эхний түвшинтэй харьцуулахад жил бүр тооцсон аналитик үзүүлэлтүүдийн зэрэгцээ тухайн үеийн дундаж аналитик үзүүлэлтүүдийг тооцоолох шаардлагатай: цувралын дундаж түвшин, жилийн дундаж үнэмлэхүй өсөлт. (буурах) болон жилийн дундаж өсөлтийн хурд, өсөлтийн хурд.

Цуврал динамикийн дундаж түвшинг тооцоолох аргуудыг дээр авч үзсэн. Бидний авч үзэж буй интервалын динамик цувралд цувралын дундаж түвшинг энгийн арифметик дундаж томъёог ашиглан тооцоолно.

1994-1998 оны бүтээгдэхүүний жилийн дундаж үйлдвэрлэлийн хэмжээ. 218.4 мянган тонн болсон байна.

Жилийн дундаж үнэмлэхүй өсөлтийг мөн энгийн арифметик дундаж томъёог ашиглан тооцоолно.

Жилийн үнэмлэхүй өсөлт нь 4-12 мянган тонн (3-р баганыг үз), 1995-1998 оны үйлдвэрлэлийн жилийн дундаж өсөлт. 8.5 мянган тонн болсон байна.

Дундаж өсөлтийн хурд ба дундаж өсөлтийн хурдыг тооцоолох аргууд нь илүү нарийвчлан авч үзэхийг шаарддаг. Хүснэгтэд өгөгдсөн жилийн цуврал түвшний үзүүлэлтүүдийн жишээн дээр тэдгээрийг авч үзье.

Динамик цувралын дундаж түвшин.

Динамик цуврал (эсвэл цаг хугацааны цуврал)- эдгээр нь тодорхой статистик үзүүлэлтийн дараалсан мөчүүд эсвэл цаг хугацааны тоон утгууд юм (жишээ нь, он цагийн дарааллаар байрлуулсан).

Динамикийн цувралыг бүрдүүлдэг нэг буюу өөр статистик үзүүлэлтийн тоон утгыг нэрлэдэг цуврал түвшинихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг y. Цувралын эхний улирал y 1анхны буюу гэж нэрлэдэг үндсэн түвшин, мөн сүүлчийнх нь у н - эцсийн. Түвшинд хамаарах мөчүүд эсвэл цаг хугацаа нь тодорхойлогддог т.

Динамикийн цувралыг ихэвчлэн хүснэгт эсвэл график хэлбэрээр үзүүлдэг бөгөөд цаг хугацааны хуваарийг абсцисса тэнхлэгийн дагуу байгуулдаг. т, ба ордны тэнхлэгийн дагуу - цуваа түвшний хуваарь y.

Динамикийн цувралын дундаж үзүүлэлтүүд

Динамикийн цуврал бүрийг тодорхой багц гэж үзэж болно nдундажаар нэгтгэн дүгнэж болох цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөг үзүүлэлтүүд. Ийм ерөнхий (дундаж) үзүүлэлтүүд нь тодорхой үзүүлэлтийн өөрчлөлтийг өөр өөр хугацаанд, өөр өөр улс орнуудад харьцуулах үед онцгой шаардлагатай байдаг.

Динамик цувралын ерөнхий шинж чанар нь юуны түрүүнд дараахь зүйлийг хийж чадна. дунд эгнээний түвшин. Дундаж түвшинг тооцоолох арга нь цуваа түр зуурын эсвэл интервал (үе үе) эсэхээс хамаарна.

Хэзээ интервалЦувралын дундаж түвшинг цувралын түвшний энгийн арифметик дундажийн томъёогоор тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл.

=
Хэрэв боломжтой бол мөчагуулсан эгнээ nтүвшин ( y1, y2, …, yn) огноо (цаг) хооронд тэнцүү интервалтай байвал ийм цувралыг дундаж утгын цуврал болгон хялбархан хувиргаж болно. Энэ тохиолдолд үе бүрийн эхэнд байгаа үзүүлэлт (түвшин) нь өмнөх үеийн төгсгөлийн үзүүлэлт юм. Дараа нь үе бүрийн үзүүлэлтийн дундаж утгыг (огнооны хоорондох интервал) утгуудын нийлбэрийн хагасаар тооцоолж болно. цагтхугацааны эхэн ба төгсгөлд, i.e. Хэрхэн . Ийм дундаж тоо нь . Өмнө дурьдсанчлан дундаж утгуудын цувралын хувьд дундаж түвшинг арифметик дундажаар тооцдог.

Тиймээс бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
.
Тоолуурыг хувиргасны дараа бид дараахь зүйлийг авна.
,

Хаана Y1Тэгээд Yn- эгнээний эхний ба сүүлчийн түвшин; И- дунд түвшин.

Энэ дундажийг статистикт гэж нэрлэдэг дундаж он дараалалагшин зуурын цувралын хувьд. Энэ нь "cronos" (цаг хугацаа, латин) гэсэн үгнээс нэрээ авсан, учир нь энэ нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг үзүүлэлтээр тооцдог.

Тэгш бус тохиолдолдогнооны хоорондох интервал, моментийн цувралын он цагийн дундажийг огнооны хоорондох зайгаар (цаг хугацааны интервал) жинлэсэн хос мөч бүрийн дундаж утгын арифметик дундажаар тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл.
.
Энэ тохиолдолдогнооны хоорондох интервалд түвшин өөр өөр утгыг авсан гэж үздэг бөгөөд бид мэдэгдэж байгаа хоёрын нэг юм ( yiТэгээд yi+1) бид дундаж утгыг тодорхойлж, дүн шинжилгээ хийсэн бүх хугацааны дундажийг тооцоолно.
Хэрэв энэ нь тус бүрийг үнэ цэнэ гэж үзвэл yiдараагийнх хүртэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна (i+ 1)- th мөч, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв түвшний өөрчлөлтийн яг тодорхой огноо тодорхой бол жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан тооцооллыг хийж болно.
,

түвшин өөрчлөгдөөгүй байх хугацаа хаана байна.

Динамик цувралын дундаж түвшнээс гадна бусад дундаж үзүүлэлтүүдийг тооцдог - цувралын түвшний дундаж өөрчлөлт (үндсэн ба гинжин аргууд), өөрчлөлтийн дундаж хурд.

Суурь үзүүлэлт нь үнэмлэхүй өөрчлөлтийг илэрхийлнэнь сүүлчийн үндсэн үнэмлэхүй өөрчлөлтийг өөрчлөлтийн тоонд хуваасан коэффициент юм. Тэр бол

Гинж гэдэг нь туйлын өөрчлөлт гэсэн үг Цувралын түвшин нь бүх гинжин абсолют өөрчлөлтийн нийлбэрийг өөрчлөлтийн тоонд хуваах коэффициент юм.

Дундаж үнэмлэхүй өөрчлөлтийн тэмдэг нь аливаа үзэгдлийн өөрчлөлтийн мөн чанарыг дунджаар дүгнэхэд ашиглагддаг: өсөлт, бууралт эсвэл тогтвортой байдал.

Үндсэн ба гинжин үнэмлэхүй өөрчлөлтийг хянах дүрмээс үзэхэд үндсэн ба гинжин дундаж өөрчлөлтүүд тэнцүү байх ёстой.

Дундаж үнэмлэхүй өөрчлөлтийн зэрэгцээ үндсэн болон гинжин аргуудыг ашиглан харьцангуй дундажийг тооцдог.

Суурь дундаж харьцангуй өөрчлөлттомъёогоор тодорхойлно:

Гинжин дундаж харьцангуй өөрчлөлттомъёогоор тодорхойлно:

Мэдээжийн хэрэг, үндсэн ба гинжин дундаж харьцангуй өөрчлөлтүүд ижил байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг 1-р шалгуур үзүүлэлттэй харьцуулж үзэхэд үзэгдлийн өөрчлөлтийн шинж чанарын талаар дунджаар дүгнэлт гаргадаг: өсөлт, бууралт эсвэл тогтвортой байдал.
Үндсэн буюу гинжин хэлхээний дундаж харьцангуй өөрчлөлтөөс 1-ийг хасснаар харгалзах болно өөрчлөлтийн дундаж хурд, шинж тэмдгээр нь судалж буй үзэгдлийн өөрчлөлтийн мөн чанарыг дүгнэж болох бөгөөд энэ цуврал динамикаар тусгагдсан болно.

Улирлын хэлбэлзэл ба улирлын индексүүд.

Улирлын хэлбэлзэл нь жилийн доторх тогтвортой хэлбэлзэл юм.

Хамгийн их үр дүнд хүрэх менежментийн үндсэн зарчим бол орлогыг нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах явдал юм. Улирлын хэлбэлзлийг судалснаар жилийн түвшин бүрт хамгийн их тэгшитгэлийн асуудлыг шийддэг.

Улирлын хэлбэлзлийг судлахдаа хоорондоо холбоотой хоёр асуудлыг шийддэг.

1. Жилийн дотоод динамик дахь үзэгдлийн хөгжлийн онцлогийг тодорхойлох;

2. Улирлын долгионы загварыг бий болгох замаар улирлын хэлбэлзлийг хэмжих;

Улирлын өөрчлөлтийг хэмжихийн тулд улирлын чанартай цацагт хяруулыг ихэвчлэн тоолдог. Ерөнхийдөө тэдгээрийг динамик цувралын анхны тэгшитгэлийг онолын тэгшитгэлтэй харьцуулах харьцаагаар тодорхойлдог бөгөөд энэ нь харьцуулах үндэслэл болдог.

Улирлын хэлбэлзэл дээр санамсаргүй хазайлтыг давхардуулдаг тул тэдгээрийг арилгахын тулд улирлын индексүүдийг дундажлана.

Энэ тохиолдолд жилийн мөчлөгийн үе бүрт ерөнхий үзүүлэлтүүдийг улирлын дундаж индекс хэлбэрээр тодорхойлно.

Улирлын дундаж хэлбэлзлийн индексүүд нь хөгжлийн үндсэн чиг хандлагын санамсаргүй хазайлтын нөлөөллөөс ангид байдаг.

Трендийн шинж чанараас хамааран улирлын дундаж индексийн томъёо нь дараахь хэлбэртэй байж болно.

1.Хөгжлийн үндсэн чиг хандлагыг тодорхой илэрхийлсэн жилийн доторх динамикийн цувралын хувьд:

2. Өсөх, буурах хандлага байхгүй, эсвэл ач холбогдол багатай жилийн доторх динамикийн цувралын хувьд:

Нийт дундаж нь хаана байна;

Үндсэн чиг хандлагыг шинжлэх арга.

Цаг хугацааны явцад үзэгдлийн хөгжилд янз бүрийн шинж чанартай хүчин зүйлс, нөлөөллийн хүч нөлөөлдөг. Тэдгээрийн зарим нь санамсаргүй шинж чанартай байдаг бол зарим нь бараг тогтмол нөлөө үзүүлж, динамикийн хөгжлийн тодорхой чиг хандлагыг бүрдүүлдэг.

Статистикийн чухал ажил бол янз бүрийн санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөллөөс ангид чиг хандлагын динамикийг цувралаар тодорхойлох явдал юм. Үүний тулд хугацааны цувааг интервал томруулах, хөдөлж буй дундаж, аналитик тэгшитгэх гэх мэт аргаар боловсруулдаг.

Интервал томруулах аргань динамикийн цувралын түвшинг багтаасан цаг хугацааны томрол дээр суурилдаг, i.e. жижиг хугацаатай холбоотой өгөгдлийг илүү том хугацаанд өгөгдлөөр солих явдал юм. Цувралын эхний түвшин нь богино хугацаатай холбоотой үед ялангуяа үр дүнтэй байдаг. Жишээлбэл, өдөр тутмын үйл явдлуудтай холбоотой цуврал үзүүлэлтүүдийг долоо хоног, сар гэх мэт цувралаар сольсон. Энэ нь илүү тодорхой харуулах болно "Үзэгдлийн хөгжлийн тэнхлэг". Томорсон интервалаар тооцоолсон дундаж нь хөгжлийн үндсэн чиг хандлагын чиглэл, мөн чанарыг (өсөлтийг хурдасгах эсвэл удаашруулах) тодорхойлох боломжийг олгодог.

Хөдөлгөөнт дундаж аргаөмнөхтэй төстэй боловч энэ тохиолдолд бодит түвшинг дараалан хөдөлж буй (гулсах) томруулсан интервалд тооцсон дундаж түвшингээр солино. мцуврал түвшин.

Жишээлбэл, хэрэв бид хүлээн зөвшөөрвөл м=3,дараа нь эхлээд цувралын эхний гурван түвшний дундажийг тооцоолж, дараа нь ижил тооны түвшингээс, гэхдээ хоёр дахь, дараа нь гурав дахь шатнаас эхлэн тооцно. Ийнхүү дундаж нь динамик цувралын дагуу нэг гишүүнээр хөдөлж "гулсдаг". -аас тооцоолсон мгишүүд, хөдөлж буй дундаж нь интервал бүрийн дунд (төв) хамаарна.

Энэ арга нь зөвхөн санамсаргүй хэлбэлзлийг арилгадаг. Хэрэв цуврал нь улирлын давалгаатай бол хөдөлж буй дундаж аргыг ашиглан жигдрүүлсний дараа ч үргэлжлэх болно.

Аналитик тохируулга. Санамсаргүй хэлбэлзлийг арилгах, чиг хандлагыг тодорхойлохын тулд аналитик томьёо (эсвэл аналитик тэгшлэх) ашиглан цувралын түвшинг тэгшлэх аргыг ашигладаг. Үүний мөн чанар нь онолын түвшинг цаг хугацааны функц гэж үздэг математик чиг хандлагын загвар болгон батлагдсан тодорхой тэгшитгэлийг ашиглан тооцоолсон эмпирик (бодит) түвшинг онолын түвшинд орлуулах явдал юм. Энэ тохиолдолд бодит түвшин бүрийг хоёр бүрэлдэхүүн хэсгийн нийлбэр гэж үзнэ: , энд системчилсэн бүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд тодорхой тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх ба трендийн эргэн тойронд хэлбэлзэл үүсгэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Аналитик тохируулгын ажил нь дараах байдалтай байна.

1. Бодит өгөгдөлд үндэслэн судалж буй үзүүлэлтийн хөгжлийн чиг хандлагыг хамгийн зөв тусгаж чадах таамаглалын функцийн төрлийг тодорхойлох.

2. Эмпирик өгөгдлөөс заасан функцийн (тэгшитгэл) параметрүүдийг олох

3. Онолын (тавцуулсан) түвшний олсон тэгшитгэлийг ашиглан тооцоолох.

Тодорхой функцийг сонгохдоо дүрмээр бол эмпирик өгөгдлийн график дүрслэлийн үндсэн дээр хийгддэг.

Загварууд нь регрессийн тэгшитгэлүүд бөгөөд тэдгээрийн параметрүүдийг хамгийн бага квадратын аргаар тооцдог

Хугацааны цувааг уялдуулах хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг регрессийн тэгшитгэлүүд нь хөгжлийн аль чиг хандлагыг тусгахад хамгийн тохиромжтой болохыг доор харуулав.

Дээрх тэгшитгэлийн параметрүүдийг олохын тулд тусгай алгоритмууд болон компьютерийн програмууд байдаг. Ялангуяа шулуун шугамын тэгшитгэлийн параметрүүдийг олохын тулд дараах алгоритмыг ашиглаж болно.

Хэрэв цаг хугацаа эсвэл моментуудыг St = 0 гэж дугаарласан бол дээрх алгоритмууд мэдэгдэхүйц хялбарчлагдаж, хувирна.

График дээрх зэрэгцүүлсэн түвшингүүд нь энэ динамик цувралын бодит түвшингээс хамгийн ойр зайд өнгөрөх нэг шулуун шугам дээр байрлана. Квадрат хазайлтын нийлбэр нь санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөллийн тусгал юм.

Үүнийг ашиглан бид тэгшитгэлийн дундаж (стандарт) алдааг тооцоолно:

Энд n нь ажиглалтын тоо, m нь тэгшитгэл дэх параметрүүдийн тоо (бидэнд хоёр нь байна - b 1 ба b 0).

Үндсэн чиг хандлага (трэнд) нь хэд хэдэн динамикийн түвшинд системчилсэн хүчин зүйл хэрхэн нөлөөлж байгааг харуулдаг бөгөөд чиг хандлагын эргэн тойронд түвшний хэлбэлзэл () нь үлдэгдэл хүчин зүйлийн нөлөөллийн хэмжүүр болдог.

Ашигласан хугацааны цувааны загварын чанарыг үнэлэхийн тулд үүнийг бас ашигладаг Фишерийн F тест. Энэ нь хоёр дисперсийн харьцаа, тухайлбал регрессийн улмаас үүссэн дисперсийн харьцаа, i.e. судалж буй хүчин зүйл, санамсаргүй шалтгааны улмаас үүссэн дисперсийн хувьд, өөрөөр хэлбэл. үлдэгдэл тархалт:

Өргөтгөсөн хэлбэрээр энэ шалгуурын томъёог дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энд n нь ажиглалтын тоо, өөрөөр хэлбэл. эгнээний түвшний тоо,

m нь тэгшитгэлийн параметрийн тоо, y нь цувралын бодит түвшин,

Зэрэгцүүлсэн эгнээний түвшин - дунд эгнээний түвшин.

Бусдаас илүү амжилттай загвар нь үргэлж хангалттай сэтгэл ханамжтай байдаггүй. Зөвхөн F шалгуур нь мэдэгдэж буй эгзэгтэй хязгаарыг давсан тохиолдолд л үүнийг хүлээн зөвшөөрч болно. Энэ хил хязгаарыг F-тархалтын хүснэгт ашиглан тогтооно.

Индексүүдийн мөн чанар, ангилал.

Статистикийн хувьд индексийг цаг хугацаа, орон зайд эсвэл аливаа стандарттай харьцуулахад аливаа үзэгдлийн хэмжээ өөрчлөгдөхийг тодорхойлдог харьцангуй үзүүлэлт гэж ойлгодог.

Индексийн харилцааны гол элемент нь индексжүүлсэн утга юм. Индексжүүлсэн утга нь өөрчлөлт нь судалгааны объект болох статистикийн популяцийн шинж чанарын утгыг ойлгодог.

Индексийг ашиглан гурван үндсэн ажлыг шийддэг.

1) нарийн төвөгтэй үзэгдлийн өөрчлөлтийн үнэлгээ;

2) нарийн төвөгтэй үзэгдлийн өөрчлөлтөд хувь хүний ​​хүчин зүйлийн нөлөөллийг тодорхойлох;

3) үзэгдлийн цар хүрээг өнгөрсөн үеийн хэмжээ, өөр нутаг дэвсгэрийн цар хүрээ, түүнчлэн стандарт, төлөвлөгөө, урьдчилсан мэдээтэй харьцуулах.

Индексийг 3 шалгуураар ангилдаг.

2) популяцийн элементүүдийн хамрах түвшний дагуу;

3) ерөнхий индексийг тооцоолох аргын дагуу.

Агуулгын хувьдиндексжүүлсэн хэмжигдэхүүнүүд, индексүүд нь тоон (эзэлхүүний) үзүүлэлтүүдийн индексүүд болон чанарын үзүүлэлтүүдийн индексүүдэд хуваагдана. Тоон үзүүлэлтийн индексүүд - аж үйлдвэрийн бүтээгдэхүүний биет хэмжээ, борлуулалтын биет хэмжээ, ажилчдын тоо гэх мэт. Чанарын үзүүлэлтүүдийн индексүүд - үнэ, зардал, хөдөлмөрийн бүтээмж, дундаж цалин гэх мэт.

Хүн амын нэгжийн хамрах түвшингээс хамааран индексийг бие даасан болон ерөнхий гэсэн хоёр ангилалд хуваадаг. Тэдгээрийг тодорхойлохын тулд бид индексийн аргыг ашиглах практикт батлагдсан дараах конвенцуудыг танилцуулж байна.

q- аливаа бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ (эзэлхүүн) физикийн хувьд ; Р- нэгжийн үнэ; z- үйлдвэрлэлийн нэгжийн өртөг; т- нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд зарцуулсан цаг хугацаа (хөдөлмөрийн эрч хүч) ; w- нэгж хугацаанд үнэ цэнээр бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх; v- нэгж хугацаанд үйлдвэрлэлийн гарцыг биет байдлаар илэрхийлнэ; Т- зарцуулсан нийт хугацаа буюу ажилчдын тоо.

Индексжүүлсэн хэмжигдэхүүнүүд нь аль үе, объектод хамаарахыг ялгахын тулд харгалзах тэмдгийн баруун доод талд доод тэмдгийг байрлуулах нь заншилтай байдаг. Жишээлбэл, динамик индексийн хувьд дүрмээр бол 1-р дэд тэмдгийг харьцуулж буй үе (одоогийн, тайлан) болон харьцуулалт хийсэн үеүүдэд ашигладаг.

Бие даасан индексүүднарийн төвөгтэй үзэгдлийн бие даасан элементүүдийн өөрчлөлтийг тодорхойлоход үйлчилдэг (жишээлбэл, нэг төрлийн бүтээгдэхүүний гарцын хэмжээ өөрчлөгдөх). Эдгээр нь динамикийн харьцангуй утгууд, үүргийн биелэлт, индексжүүлсэн утгуудын харьцуулалтыг илэрхийлдэг.

Бүтээгдэхүүний биет эзлэхүүний хувийн индексийг тодорхойлно

Шинжилгээний үүднээс авч үзвэл, өгөгдсөн бие даасан динамик индексүүд нь өсөлтийн коэффициент (хувь)-тай төстэй бөгөөд суурь үетэй харьцуулахад тухайн үеийн индексжүүлсэн утгын өөрчлөлтийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл хэдэн удаа өссөн (буурсан) байгааг харуулдаг. эсвэл хэдэн хувиар өсөлт (буурах) байна. Индексийн утгыг коэффициент эсвэл хувиар илэрхийлнэ.

Ерөнхий (нийлмэл) индекснарийн төвөгтэй үзэгдлийн бүх элементүүдийн өөрчлөлтийг тусгадаг.

Нэгдсэн индексиндексийн үндсэн хэлбэр юм. Тоолуур ба хуваагч нь "нийлбэр"-ийн олонлог тул үүнийг агрегат гэж нэрлэдэг.

Дундаж индекс, тэдгээрийн тодорхойлолт.

Статистикт нэгтгэсэн индексүүдээс гадна тэдгээрийн өөр нэг хэлбэрийг ашигладаг - жигнэсэн дундаж индекс. Боломжтой мэдээлэл нь ерөнхий индексийг тооцоолох боломжгүй үед тэдгээрийн тооцоог ашигладаг. Тиймээс, үнийн талаархи мэдээлэл байхгүй, гэхдээ тухайн үеийн бүтээгдэхүүний өртгийн талаархи мэдээлэл байгаа бөгөөд бүтээгдэхүүн тус бүрийн үнийн индекс тодорхой байгаа бол үнийн ерөнхий индексийг нэгтгэж тодорхойлох боломжгүй, гэхдээ боломжтой. тус тусын дундажаар тооцох. Үүний нэгэн адил, хэрэв үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний бие даасан төрлийн тоо хэмжээ тодорхойгүй, харин бие даасан индексүүд болон суурь үеийн үйлдвэрлэлийн өртөг тодорхой бол үйлдвэрлэлийн биет хэмжээний ерөнхий индексийг жигнэсэн дундаж үзүүлэлтээр тодорхойлж болно. үнэ цэнэ.

Дундаж индекс -Энэтус тусын индексүүдийн дундажаар тооцсон индекс. Нэгдсэн индекс нь ерөнхий индексийн үндсэн хэлбэр тул дундаж индекс нь нэгтгэсэн индекстэй ижил байх ёстой. Дундаж индексийг тооцоолохдоо арифметик ба гармоник гэсэн хоёр хэлбэрийг ашигладаг.

Хэрэв бие даасан индексүүдийн жин нь нэгтгэсэн индексийн хуваагчийн нөхцлүүд байвал арифметик дундаж индекс нь нэгтгэсэн индекстэй ижил байна. Зөвхөн энэ тохиолдолд арифметик дундаж томъёог ашиглан тооцсон индексийн утга нь нэгтгэсэн индекстэй тэнцүү байх болно.

Хүлээлт ба зөрүү

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэмжье Нудаа, жишээлбэл, бид салхины хурдыг арав дахин хэмжиж, дундаж утгыг олохыг хүсдэг. Дундаж утга нь тархалтын функцтэй хэрхэн холбоотой вэ?

Бид шоо олон удаа өнхрүүлэх болно. Шоо шидэлт бүр дээр гарч ирэх онооны тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд 1-ээс 6 хүртэлх байгалийн ямар ч утгыг авч болно. Бүх шоо шидэхэд тооцсон хасагдсан онооны арифметик дундаж нь мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн боловч их хэмжээний хувьд НЭнэ нь маш тодорхой тоогоор илэрхийлэгддэг - математикийн хүлээлт Mx. Энэ тохиолдолд Mx = 3,5.

Та энэ үнэ цэнийг хэрхэн олж авсан бэ? Оруул Нтест, нэг удаа 1 оноо, нэг удаа 2 оноо гэх мэт. Дараа нь хэзээ Н→ ∞ нэг оноо авсан үр дүнгийн тоо, Үүний нэгэн адил, Тиймээс

Загвар 4.5. Шоо

Одоо бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэддэг гэж үзье x, өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг бид мэднэ xутгыг авч болно x 1 , x 2 , ..., х кмагадлал бүхий х 1 , х 2 , ..., p k.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ Mxсанамсаргүй хувьсагч xтэнцүү байна:

Хариулах. 2,8.

Математикийн хүлээлт нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндэслэлтэй тооцоолол биш юм. Тиймээс дундаж цалинг тооцоолохын тулд дундаж, өөрөөр хэлбэл дундаж цалингаас доогуур цалин авч байгаа хүмүүсийн тоо, түүнээс дээш нь давхцдаг гэсэн ойлголтыг ашиглах нь илүү үндэслэлтэй юм.

Медиансанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тоо гэж нэрлэдэг x 1/2 нь ийм байна х (x < x 1/2) = 1/2.

Өөрөөр хэлбэл, магадлал х 1 нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн xбага байх болно x 1/2, магадлал х 2 нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн xилүү их байх болно x 1/2 нь ижил бөгөөд 1/2-тэй тэнцүү. Медиан нь бүх тархалтын хувьд дангаар тодорхойлогддоггүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү буцъя xутгыг авч болох x 1 , x 2 , ..., х кмагадлал бүхий х 1 , х 2 , ..., p k.

Зөрчилсанамсаргүй хувьсагч xСанамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс квадрат хазайх дундаж утгыг:

Жишээ 2

Өмнөх жишээний нөхцөлд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоол x.

Хариулах. 0,16, 0,4.

Загвар 4.6. Зорилтот руу буудах

Жишээ 3

Шооны эхний өнхрөхөд авсан онооны магадлалын тархалт, медиан, математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.

Аливаа ирмэг нь унах магадлалтай тул хуваарилалт дараах байдалтай байна.

Стандарт хазайлт Дундаж утгаас утгын хазайлт маш их байгааг харж болно.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

• Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 4

Хоёр шоо дээр өнхрүүлсэн онооны нийлбэр ба үржвэрийн математик хүлээлтийг ол.

3-р жишээн дээр бид үүнийг нэг шоо олсон М (x) = 3.5. Тэгэхээр, хоёр кубын хувьд

Тархалтын шинж чанарууд:

• Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Dx + y = Dx + Dy.

Заавал Нөнхрүүлсэн шоо дээр өнхрөх yоноо. Дараа нь

Энэ үр дүн нь зөвхөн шоо шидэхэд үнэн биш юм. Ихэнх тохиолдолд энэ нь математикийн хүлээлтийг эмпирик байдлаар хэмжих нарийвчлалыг тодорхойлдог. Хэмжилтийн тоо нэмэгдэх тусам үүнийг харж болно Ндундаж утгын тархалт, өөрөөр хэлбэл стандарт хазайлт нь пропорциональ хэмжээгээр буурдаг

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын математик хүлээлттэй дараах хамаарлаар холбогдоно.

Энэ тэгш байдлын хоёр талын математик хүлээлтийг олъё. А - тэргүүн байр,

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарын дагуу тэгш байдлын баруун талын математик хүлээлт нь тэнцүү байна.

Стандарт хэлбэлзэл

Стандарт хэлбэлзэлдисперсийн квадрат язгууртай тэнцүү:
Судалгаанд хамрагдсан популяцийн хангалттай том хэмжээний стандарт хазайлтыг тодорхойлохдоо (n > 30) дараах томъёог ашиглана.

Холбогдох мэдээлэл.

Дисперсийн квадрат язгуурыг дунджаас стандарт хазайлт гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тооцоолно.

Стандарт хазайлтын томъёог энгийн алгебрийн хувиргалт нь дараах хэлбэрт хүргэдэг.

Энэ томъёо нь ихэвчлэн тооцооллын практикт илүү тохиромжтой байдаг.

Стандарт хазайлт нь дундаж шугаман хазайлттай адил шинж чанарын тодорхой утгуудын дундаж утгаас хэр их хазайж байгааг харуулдаг. Стандарт хазайлт нь дундаж шугаман хазайлтаас үргэлж их байдаг. Тэдний хооронд дараах харилцаа бий.

Энэ харьцааг мэдсэнээр та мэдэгдэж буй үзүүлэлтүүдийг ашиглан үл мэдэгдэх зүйлийг тодорхойлж болно, жишээлбэл, гэхдээ (И a ба эсрэгээр тооцоолно. Стандарт хазайлт нь шинж чанарын хувьсах үнэмлэхүй хэмжээг хэмждэг бөгөөд шинж чанарын утгатай ижил хэмжилтийн нэгжээр илэрхийлэгддэг (рубль, тонн, жил гэх мэт). Энэ нь хэлбэлзлийн үнэмлэхүй хэмжүүр юм.

Учир нь өөр шинж тэмдэг, жишээ нь байгаа эсвэл байхгүй өндөр боловсрол, даатгал, тархалт, стандарт хазайлтын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Их сургуулийн аль нэг факультетийн оюутнуудын насаар хуваарилалтыг тодорхойлсон салангид цувралын өгөгдлийн дагуу стандарт хазайлтын тооцоог үзүүлье (Хүснэгт 6.2).

Хүснэгт 6.2.

Туслах тооцооны үр дүнг хүснэгтийн 2-5-р баганад үзүүлэв. 6.2.

Оюутны дундаж нас, жилийг жигнэсэн арифметик дундаж томъёогоор (2-р багана) тодорхойлно.

Оюутны хувийн насны дундажаас квадрат хазайлтыг 3-4-р баганад, квадрат хазайлтын үржвэр ба холбогдох давтамжийг 5-р баганад тусгана.

Бид (6.2) томъёог ашиглан сурагчдын нас, насны зөрүүг олно.

Дараа нь o = l / 3.43 1.85 *ода, i.e. Оюутны насны тодорхой утга тус бүр дунджаас 1.85 жилээр хазайдаг.

Өөрчлөлтийн коэффициент

Үнэмлэхүй утгаараа стандарт хазайлт нь шинж чанарын өөрчлөлтийн зэргээс гадна сонголтуудын үнэмлэхүй түвшин ба дундажаас хамаарна. Иймээс янз бүрийн дундаж түвшинтэй вариацын цувааны стандарт хазайлтыг шууд харьцуулах боломжгүй юм. Ийм харьцуулалтыг хийхийн тулд та арифметик дундаж дахь дундаж хазайлтын эзлэх хувийг (шугаман эсвэл квадрат) олох хэрэгтэй, хувиар илэрхийлсэн, өөрөөр хэлбэл. тооцоолох өөрчлөлтийн харьцангуй хэмжүүрүүд.

Шугаман хэлбэлзлийн коэффициент томъёогоор тооцоолно

Өөрчлөлтийн коэффициент дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хувьсах коэффициентийн хувьд зөвхөн судалж буй шинж чанарын өөр өөр хэмжүүртэй харьцуулах боломжгүй байдлыг арилгахаас гадна арифметик дундаж утгын зөрүүгээс үүссэн харьцуулах боломжгүй байдлыг арилгадаг. Нэмж дурдахад хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүд нь хүн амын нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлдог. Хэрэв вариацын коэффициент 33% -иас хэтрэхгүй бол популяцийг нэгэн төрлийн гэж үзнэ.

Хүснэгтийн дагуу. 6.2 ба дээр дурдсан тооцооллын үр дүнд бид (6.3) томъёоны дагуу хэлбэлзлийн коэффициент,% -ийг тодорхойлно.

Хэрэв хэлбэлзлийн коэффициент 33% -иас давсан бол энэ нь судалж буй популяцийн нэг төрлийн бус байдлыг илтгэнэ. Манай тохиолдолд олж авсан утга нь оюутнуудын насаар нь хүн ам нэг төрлийн найрлагатай байгааг харуулж байна. Тиймээс хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүдийг нэгтгэх чухал үүрэг бол дундаж үзүүлэлтүүдийн найдвартай байдлыг үнэлэх явдал юм. Илүү бага c1, a2 ба V, Үүссэн үзэгдлүүдийн багц нь илүү нэгэн төрлийн байх тусам үр дүнгийн дундаж нь илүү найдвартай байх болно. Математикийн статистикт авч үздэг “гурван сигма дүрэм”-ийн дагуу хэвийн тархалттай буюу тэдгээртэй ойролцоо цувралд арифметик дунджаас ±3-аас ихгүй хазайлт 1000 тохиолдлын 997-д тохиолддог. X а, та вариацын цувралын талаархи ерөнхий ойлголтыг авах боломжтой. Жишээлбэл, компанид ажилтны дундаж цалин 25,000 рубль, а нь 100 рубльтэй тэнцэх юм бол найдвартай ойролцоо магадлалтай бол компанийн ажилчдын цалин (25,000) хооронд хэлбэлздэг гэж хэлж болно. ± ± 3 x 100 ) өөрөөр хэлбэл. 24,700-аас 25,300 рубль хүртэл.

Энгийн геометрийн дундажийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана.

Геометрийн жинтэй

Жинлэсэн геометрийн дундажийг тодорхойлохын тулд дараахь томъёог ашиглана.

Дугуй, хоолой, дөрвөлжингийн дундаж талуудын дундаж диаметрийг дундаж квадратыг ашиглан тодорхойлно.

Үндсэн дундаж квадрат утгыг зарим үзүүлэлтийг тооцоолоход ашигладаг, жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн хэмнэлийг тодорхойлдог хэлбэлзлийн коэффициент. Энд тодорхой хугацаанд төлөвлөсөн үйлдвэрлэлийн хэмжээнээс стандарт хазайлтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Эдгээр утгууд нь эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн өөрчлөлтийг дундаж утгаар нь авч үзсэн суурь утгатай харьцуулж нарийн тодорхойлдог.

Квадрат энгийн

Үндсэн дундаж квадратыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Квадрат жинтэй

Жинлэсэн дундаж квадрат нь дараахтай тэнцүү байна.

22. Хувьсах үнэмлэхүй үзүүлэлтүүдэд:

хэлбэлзлийн хүрээ

дундаж шугаман хазайлт

зөрүү

стандарт хэлбэлзэл

Өөрчлөлтийн хүрээ (r)

Өөрчлөлтийн хүрээ- энэ нь атрибутын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын ялгаа юм

Энэ нь судалж буй популяцийн шинж чанарын үнэ цэнэ өөрчлөгдөх хязгаарыг харуулдаг.

Өмнө нь ажиллаж байсан таван өргөдөл гаргагчийн ажлын туршлага: 2,3,4,7, 9 жил. Шийдэл: өөрчлөлтийн хүрээ = 9 - 2 = 7 жил.

Атрибутын утгын зөрүүг ерөнхийд нь тайлбарлахын тулд арифметик дунджаас хазайлтыг харгалзан дундаж хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүдийг тооцоолно. Ялгааг дунджаас хазайлтаар авна.

Энэ тохиолдолд шинж чанарын хувилбаруудын хазайлтын нийлбэрийг дундажаас тэг рүү эргүүлэхээс зайлсхийхийн тулд (дунджийн тэг шинж чанар) хазайлтын шинж тэмдгийг үл тоомсорлох, өөрөөр хэлбэл энэ модулийн нийлбэрийг авах шаардлагатай. хазайлтын утгыг квадрат

Дундаж шугаман ба квадрат хазайлт

Дундаж шугаман хазайлтЭнэ нь шинж чанарын бие даасан утгуудын дунджаас үнэмлэхүй хазайлтын арифметик дундаж юм.

Дундаж шугаман хазайлт нь энгийн:

Өмнө нь ажиллаж байсан таван өргөдөл гаргагчийн ажлын туршлага: 2,3,4,7, 9 жил.

Бидний жишээнд: жил;

Хариулт: 2.4 жил.

Дундаж шугаман хазайлтыг жигнэсэнбүлэглэсэн өгөгдөлд хамаарна:

Конвенцийн дагуу шугаман дундаж хазайлтыг практикт харьцангуй ховор ашигладаг (ялангуяа нийлүүлэлтийн жигд байдлын талаархи гэрээний үүргийн биелэлтийг тодорхойлох; бүтээгдэхүүний чанарын шинжилгээнд үйлдвэрлэлийн технологийн онцлогийг харгалзан үзэх).

Стандарт хэлбэлзэл

Вариацын хамгийн төгс шинж чанар нь дундаж квадрат хазайлт бөгөөд үүнийг стандарт (эсвэл стандарт хазайлт) гэж нэрлэдэг. Стандарт хэлбэлзэл() нь арифметик дундаж шинж чанарын бие даасан утгуудын дундаж квадрат хазайлтын квадрат язгууртай тэнцүү байна:

Стандарт хазайлт нь энгийн:

Бүлэглэсэн өгөгдөлд жигнэсэн стандарт хазайлтыг хэрэглэнэ.

Хэвийн тархалтын нөхцөлд язгуур квадрат ба дундаж шугаман хазайлтын хооронд дараах харьцаа явагдана: ~ 1.25.

Өөрчлөлтийн үндсэн үнэмлэхүй хэмжигдэхүүн болох стандарт хазайлт нь хэвийн тархалтын муруйн ординатын утгыг тодорхойлох, түүврийн ажиглалтыг зохион байгуулахтай холбоотой тооцоолол, түүврийн шинж чанарын нарийвчлалыг тогтоох, түүнчлэн түүврийн шинж чанарыг үнэлэхэд ашиглагддаг. нэгэн төрлийн популяцийн шинж чанарын өөрчлөлтийн хязгаар.

X би -санамсаргүй (одоогийн) хувьсагч;

X̅– Түүврийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Тэгэхээр, дисперс нь хазайлтын дундаж квадрат юм . Өөрөөр хэлбэл, дундаж утгыг эхлээд тооцоолж, дараа нь авна анхны болон дундаж утга бүрийн зөрүүг квадратаар тооцно , нэмээд дараа нь тухайн хүн амын тоонд хуваагдана.

Хувь хүний ​​утга ба дундажийн хоорондох зөрүү нь хазайлтын хэмжүүрийг илэрхийлдэг. Бүх хазайлт нь онцгой байхаар квадрат хэлбэртэй байна эерэг тоонуудмөн тэдгээрийг нэгтгэн дүгнэхэд эерэг ба сөрөг хазайлтыг харилцан устгахаас зайлсхийх. Дараа нь квадрат хазайлтыг өгвөл бид зүгээр л арифметик дундажийг тооцоолно.

Шийдэл шидэт үг"Тархал" гэдэг нь ердөө энэ гурван үгээс бүрдэнэ: дундаж - дөрвөлжин - хазайлт.

Стандарт хазайлт (MSD)

Дисперсийн квадрат язгуурыг авснаар бид " гэж нэрлэгддэгийг олж авна. стандарт хэлбэлзэл".Нэр байдаг "стандарт хазайлт" эсвэл "сигма" (Грек үсгийн нэрнээс σ .). Стандарт хазайлтын томъёо нь:

Тэгэхээр, дисперс нь сигма квадрат буюу стандарт хазайлтын квадрат юм.

Стандарт хазайлт нь өгөгдлийн тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог нь ойлгомжтой, гэхдээ одоо (тархалтаас ялгаатай нь) үүнийг анхны өгөгдөлтэй харьцуулж болно, учир нь тэдгээр нь ижил хэмжлийн нэгжтэй байдаг (энэ нь тооцооллын томъёоноос тодорхой харагдаж байна). Өөрчлөлтийн хүрээ нь туйлын утгуудын хоорондох зөрүү юм. Тодорхой бус байдлын хэмжүүр болох стандарт хазайлт нь статистикийн олон тооцоололд мөн оролцдог. Түүний тусламжтайгаар янз бүрийн тооцоо, урьдчилсан таамаглалын нарийвчлалын түвшинг тодорхойлдог. Хэрэв хэлбэлзэл нь маш том бол стандарт хазайлт нь бас их байх тул таамаглал нь буруу байх болно, жишээлбэл, маш өргөн итгэлийн интервалаар илэрхийлэгдэх болно.

Тиймээс үл хөдлөх хөрөнгийн үнэлгээний статистик мэдээллийг боловсруулах аргад даалгаврын шаардагдах нарийвчлалаас хамааран хоёр буюу гурван сигма дүрмийг ашигладаг.

Хоёр сигма дүрэм ба гурван сигма дүрмийг харьцуулахын тулд бид Лапласын томъёог ашигладаг.

F-F,

Энд Ф(x) нь Лаплас функц;

Хамгийн бага утга

β = хамгийн их утга

s = сигма утга (стандарт хазайлт)

a = дундаж

Энэ тохиолдолд үүнийг ашигладаг хувийн үзэмж X санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын α ба β хил хязгаар нь a = M(X) тархалтын төвөөс тодорхой d утгаараа тэнцүү зайтай байх үед Лапласын томъёо: a = a-d, b = a+d. Эсвэл (1) Томъёо (1) нь хэвийн тархалтын хуультай X санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн d хазайлтын магадлалыг математикийн хүлээлтээс M(X) = a тодорхойлно. Хэрэв (1) томъёонд бид d = 2s ба d = 3s-ийг дарааллаар нь авбал бид дараахийг олж авна: (2), (3).

Хоёр сигма дүрэм

Хэвийн тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн бүх утгууд нь түүний математикийн хүлээлтээс M(X) = a-аас 2 секундээс ихгүй (хоёр стандарт хазайлт) хазайдаг нь бараг найдвартай (итгэлийн магадлал 0.954) байж болно. ). Итгэлийн магадлал (Pd) нь уламжлалт байдлаар найдвартай гэж үздэг үйл явдлын магадлал юм (тэдгээрийн магадлал нь 1-тэй ойролцоо).

Хоёр сигма дүрмийг геометрийн аргаар тайлбарлая. Зураг дээр. Зураг 6-д хуваарилах төв a-тай Гауссын муруйг үзүүлэв. Бүхэл муруй ба Үхрийн тэнхлэгээр хязгаарлагдсан талбай нь 1 (100%), хоёр сигма дүрмийн дагуу abscissas a–2s ба a+2s хоорондох муруйн трапецын талбай тэнцүү байна. 0.954 (нийт талбайн 95.4%) хүртэл. Сүүдэрлэсэн талбайн хэмжээ нь 1-0.954 = 0.046 ("нийт талбайн 5%) байна. Эдгээр хэсгүүдийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний критик муж гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд нь эгзэгтэй бүсэд орох магадлал багатай бөгөөд практикт боломжгүй гэж уламжлалт байдлаар хүлээн зөвшөөрдөг.

Нөхцөлөөр боломжгүй утгын магадлалыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний ач холбогдлын түвшин гэж нэрлэдэг. Ач холбогдолын түвшин нь итгэлийн магадлалтай дараах томъёогоор холбогдоно.

Энд q нь хувиар илэрхийлсэн ач холбогдлын түвшин юм.

Гурван сигма дүрэм

Илүү найдвартай байдлыг шаарддаг асуудлыг шийдвэрлэхдээ (3) томъёоны дагуу хоёр сигма дүрмийн оронд итгэлцлийн магадлалыг (Pd) 0.997 (илүү нарийвчлалтай, 0.9973) авах үед дүрмийг ашиглана. гурван сигма

дагуу гурван сигма дүрэм 0.9973-ийн итгэлцлийн магадлалаар эгзэгтэй талбар нь интервалаас гадуурх шинж чанарын утгын талбай байх болно (a-3s, a+3s). Ач холбогдолын түвшин 0.27% байна.

Өөрөөр хэлбэл, хазайлтын үнэмлэхүй утга нь стандарт хазайлтаас гурав дахин их байх магадлал маш бага буюу 0.0027 = 1-0.9973 байна. Энэ нь тохиолдлын зөвхөн 0.27% нь ийм зүйл болно гэсэн үг юм. Боломжгүй үйл явдлуудын боломжгүй гэсэн зарчим дээр үндэслэсэн ийм үйл явдлуудыг бараг боломжгүй гэж үзэж болно. Тэдгээр. дээж авах өндөр нарийвчлалтай.

Энэ бол гурван сигма дүрмийн мөн чанар юм.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн хэвийн тархсан бол түүний математикийн хүлээлтээс хазайх үнэмлэхүй утга нь стандарт хазайлтаас (MSD) 3 дахин ихгүй байна.

Практикт гурван сигма дүрмийг дараах байдлаар ашигладаг: хэрэв судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт тодорхойгүй боловч дээрх дүрэмд заасан нөхцөл хангагдсан бол судалж буй хувьсагчийг хэвийн тархалттай гэж үзэх үндэслэл бий. ; өөрөөр хэлбэл энэ нь хэвийн тархаагүй байна.

Ач холбогдлын түвшинг эрсдэлийн зөвшөөрөгдсөн хэмжээ, гүйцэтгэх үүрэг даалгавраас хамааран авна. Үл хөдлөх хөрөнгийн үнэлгээний хувьд ихэвчлэн хоёр сигма дүрмийг дагаж бага нарийвчлалтай түүврийг ашигладаг.