Ийм асуудлыг шийдэх стандарт алгоритм нь функцийн тэгийг олсны дараа интервал дээрх деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлох явдал юм. Дараа нь тухайн нөхцөл байдалд ямар асуулт байгаагаас хамааран олсон хамгийн их (эсвэл хамгийн бага) цэгүүд ба интервалын хил дээрх утгыг тооцоолно.

Би та бүхнийг арай өөрөөр хийхийг зөвлөж байна. Яагаад? Би энэ тухай бичсэн.

Би ийм асуудлуудыг дараах байдлаар шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

1. Деривативыг ол.
2. Деривативын тэгийг ол.
3. Тэдгээрийн аль нь энэ интервалд хамаарахыг тодорхойл.
4. Бид 3-р алхамын интервал ба цэгүүдийн хил дээрх функцийн утгыг тооцоолно.
5. Бид дүгнэлт гаргадаг (асуултанд хариулах).

Үзүүлсэн жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ шийдлийг нарийвчлан авч үзээгүй квадрат тэгшитгэл, та үүнийг хийх чадвартай байх ёстой. Тэд бас мэдэх ёстой.

Жишээнүүдийг харцгаая:

77422. y=x функцийн хамгийн том утгыг ол[–2;0] сегмент дээр 3 –3x+4.

Деривативын тэгийг олъё:

x = –1 цэг нь нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид функцийн утгыг -2, -1 ба 0 цэгүүдэд тооцоолно.

Функцийн хамгийн том утга нь 6 байна.

Хариулт: 6

77425. y = x 3 – 3x 2 + 2 функцийн хэрчим дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олъё:

Нөхцөлд заасан интервал нь x = 2 цэгийг агуулна.

Бид 1, 2, 4-р цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолно.

Функцийн хамгийн бага утга нь -2.

Хариулт: -2

77426. [–3;3] хэрчим дэх y = x 3 – 6x 2 функцийн хамгийн том утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олъё:

x = 0 цэг нь тухайн нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид функцийн утгыг -3, 0, 3 цэгүүдэд тооцоолно.

Функцийн хамгийн бага утга нь 0 байна.

Хариулт: 0

77429. y = x 3 – 2x 2 + x +3 функцийн хэрчим дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

3х 2 – 4х + 1 = 0

Бид үндсийг нь авна: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Нөхцөлд заасан интервал нь зөвхөн x = 1-ийг агуулна.

1 ба 4-р цэг дээрх функцийн утгыг олцгооё.

Функцийн хамгийн бага утга нь 3 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: 3

77430. [– 4” хэрчим дэх y = x 3 + 2x 2 + x + 3 функцийн хамгийн том утгыг ол; -1].

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олоод квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

3х 2 + 4х + 1 = 0

Үндсийг нь авцгаая:

Үндэс x = –1 нь нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Функцийн утгыг –4, –1, –1/3 ба 1 цэгүүдээс олно.

Функцийн хамгийн том утга нь 3 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: 3

77433. y = x 3 – x 2 – 40x +3 функцийн хэрчим дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олоод квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

3х 2 – 2х – 40 = 0

Үндсийг нь авцгаая:

Нөхцөлд заасан интервал нь x = 4 язгуурыг агуулна.

0 ба 4 цэг дээрх функцийн утгыг ол.

Функцийн хамгийн бага утга нь -109 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: -109

Деривативгүйгээр функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох аргыг авч үзье. Хэрэв та деривативыг тодорхойлоход том асуудал гарвал энэ аргыг ашиглаж болно. Энэ зарчим нь энгийн - бид интервалаас бүх бүхэл тоон утгыг функц болгон орлуулдаг (баримт нь ийм бүх прототипүүдэд хариулт нь бүхэл тоо юм).

77437. [–2;2] хэрчим дээрх y=7+12x–x 3 функцийн хамгийн бага утгыг ол.

-2-оос 2 хүртэлх оноог орлуулах: Шийдлийг харах

77434. [–2;0] хэрчим дэх y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 функцийн хамгийн том утгыг ол.

Тэгээд л болоо. Чамд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Сегмент дээрх функцын хамгийн жижиг, хамгийн том утгыг хайх үйл явц нь нисдэг тэрэгний объектын эргэн тойронд (функцийн график) сонирхолтой нислэг, алсын тусгалын их буугаар тодорхой цэгүүдэд буудаж, маш их буу сонгохыг санагдуулдаг. Эдгээр цэгүүдээс хяналтын цохилтын тусгай оноо. Оноо нь тодорхой арга замаар, дагуу сонгогддог тодорхой дүрэм. Ямар дүрмээр? Энэ талаар бид цаашид ярих болно.

Хэрэв функц y = е(x) интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б], дараа нь энэ сегмент дээр хүрдэг хамгийн багадаа Тэгээд хамгийн өндөр үнэ цэнэ . Энэ нь аль алинд нь тохиолдож болно экстремум цэгүүд, эсвэл сегментийн төгсгөлд. Тиймээс олох хамгийн багадаа Тэгээд функцийн хамгийн том утгууд , интервал дээр тасралтгүй [ а, б], та түүний утгыг бүхэлд нь тооцоолох хэрэгтэй чухал цэгүүдмөн сегментийн төгсгөлд, дараа нь тэднээс хамгийн жижиг, томыг сонгоно.

Жишээлбэл, та функцийн хамгийн том утгыг тодорхойлохыг хүсч байна е(x) сегмент дээр [ а, б] . Үүнийг хийхийн тулд та түүний бүх чухал цэгүүдийг [[ дээр] олох хэрэгтэй. а, б] .

Чухал цэг цэг гэж нэрлэдэг функцийг тодорхойлсон, мөн тэр деривативтэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй. Дараа нь эгзэгтэй цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй. Эцэст нь эгзэгтэй цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг харьцуулах хэрэгтэй. е(а) Мөн е(б)). Эдгээр тоонуудаас хамгийн том нь байх болно сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга [а, б] .

Хайлтын асуудал Функцийн хамгийн бага утгууд .

Бид функцийн хамгийн жижиг, хамгийн том утгуудыг хамтдаа хайдаг

Жишээ 1. Хамгийн багыг ол хамгийн өндөр үнэ цэнэфункцууд сегмент дээр [-1, 2] .

Шийдэл. Энэ функцийн деривативыг ол. Деривативыг тэгтэй () тэнцүүлээд хоёр чухал цэгийг авъя: ба . Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгыг олохын тулд сегментийн төгсгөл ба цэг дээрх утгыг тооцоолоход хангалттай, учир нь цэг нь сегментэд хамаарахгүй [-1, 2]. Эдгээр функцийн утгууд нь дараах байдалтай байна: , , . Үүнийг дагадаг функцийн хамгийн бага утга(доорх график дээр улаанаар заасан) -7-тэй тэнцүү байх нь сегментийн баруун төгсгөлд - цэг дээр, ба хамгийн агуу(график дээр мөн улаан), 9, - чухал цэг дээр тэнцүү байна.

Хэрэв функц нь тодорхой интервалд тасралтгүй бөгөөд энэ интервал нь сегмент биш (гэхдээ жишээлбэл, интервал юм; интервал ба сегментийн хоорондох ялгаа: интервалын хилийн цэгүүд интервалд хамаарахгүй, харин сегментийн хилийн цэгүүд сегментэд багтсан болно), дараа нь функцийн утгуудын дунд хамгийн бага ба хамгийн том нь байж болохгүй. Жишээлбэл, доорх зурагт үзүүлсэн функц нь ]-∞, +∞[ дээр үргэлжилдэг бөгөөд хамгийн их утгагүй байна.

Гэсэн хэдий ч аливаа интервалын хувьд (хаалттай, нээлттэй эсвэл хязгааргүй) дараах тасралтгүй функцүүдийн шинж чанар нь үнэн юм.

Жишээ 4. Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол сегмент дээр [-1, 3] .

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативыг хуваалтын дериватив гэж олно.

.

Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх бөгөөд энэ нь бидэнд нэг чухал цэгийг өгдөг: . Энэ нь [-1, 3] сегментэд хамаарна. Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд бид сегментийн төгсгөл ба олсон чухал цэг дээрх утгыг олно.

Эдгээр утгыг харьцуулж үзье. Дүгнэлт: -5/13-тай тэнцүү, цэг дээр ба хамгийн өндөр үнэ цэнэцэг дээр 1-тэй тэнцүү.

Бид функцийн хамгийн жижиг, хамгийн том утгуудыг хамтдаа хайсаар байна

Функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгыг олох сэдвээр оюутнуудад сая хэлэлцсэнээс илүү төвөгтэй, өөрөөр хэлбэл функц нь олон гишүүнт эсвэл олон гишүүнт байдаг асуудлыг шийдэх жишээ өгдөггүй багш нар байдаг. бутархай, тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнт. Гэхдээ бид ийм жишээгээр хязгаарлагдахгүй, учир нь багш нарын дунд оюутнуудыг бүрэн дүүрэн бодохыг албадах дуртай хүмүүс байдаг (деривативын хүснэгт). Тиймээс логарифм болон тригонометрийн функцийг ашиглана.

Жишээ 6. Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол сегмент дээр .

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативыг олно бүтээгдэхүүний дериватив :

Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх бөгөөд энэ нь нэг чухал цэгийг өгдөг: . Энэ нь сегментэд хамаарна. Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд бид сегментийн төгсгөл ба олсон чухал цэг дээрх утгыг олно.

Бүх үйлдлийн үр дүн: функц хамгийн бага утгадаа хүрнэ, 0-тэй тэнцүү, цэг дээр болон цэг дээр болон хамгийн өндөр үнэ цэнэ, тэнцүү д², цэг дээр.

Жишээ 7. Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол сегмент дээр .

Шийдэл. Энэ функцийн деривативыг ол:

Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлж байна:

Цорын ганц чухал цэг нь сегментэд хамаарна. Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд бид сегментийн төгсгөл ба олсон чухал цэг дээрх утгыг олно.

Дүгнэлт: функц хамгийн бага утгадаа хүрнэ, тэнцүү, цэг дээр болон хамгийн өндөр үнэ цэнэ, тэнцүү , цэг дээр .

Хэрэглээний экстремаль асуудлуудад функцийн хамгийн бага (хамгийн их) утгыг олох нь дүрмээр бол хамгийн бага (хамгийн их) утгыг олоход хүргэдэг. Гэхдээ хамгийн бага эсвэл дээд хэмжээ нь өөрөө илүү практик ашиг сонирхлыг татдаг, харин тэдгээрт хүрсэн аргументуудын үнэ цэнэ юм. Хэрэглэсэн асуудлуудыг шийдвэрлэхэд нэмэлт бэрхшээл гарч ирдэг - авч үзэж буй үзэгдэл эсвэл үйл явцыг дүрсэлсэн функцуудыг бүрдүүлэх.

Жишээ 8.Дөрвөлжин суурьтай параллелепипед хэлбэртэй, дээд тал нь онгорхой, 4-ийн багтаамжтай савыг цагаан тугалгатай байх ёстой. Савыг таглахад хамгийн бага хэмжээний материал ашиглахын тулд сав ямар хэмжээтэй байх ёстой вэ?

Шийдэл. Болъё x- суурь тал, h- савны өндөр, С- бүрхүүлгүй гадаргуугийн талбай, В- түүний эзлэхүүн. Савны гадаргуугийн талбайг томъёогоор илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл. нь хоёр хувьсагчийн функц юм. Илэрхийлэх Снэг хувьсагчийн функц болгон бид , хаанаас гэсэн баримтыг ашигладаг. Олдсон илэрхийллийг орлуулах hтомъёонд оруулав С:

Энэ функцийг дээд тал нь авч үзье. Энэ нь ]0, +∞[ , болон дотор хаа сайгүй тодорхойлогдож, ялгагдах боломжтой

.

Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлж () эгзэгтэй цэгийг олно. Нэмж дурдахад, дериватив байхгүй, гэхдээ энэ утга нь тодорхойлолтын домэйнд ороогүй тул экстремум цэг байж болохгүй. Тиймээс энэ бол цорын ганц чухал цэг юм. Хоёрдахь хангалттай тэмдгийг ашиглан экстремум байгаа эсэхийг шалгацгаая. Хоёр дахь деривативыг олъё. Хоёр дахь дериватив нь тэгээс их байх үед (). Энэ нь функц хамгийн багадаа хүрэх үед гэсэн үг юм . Үүнээс хойш хамгийн бага нь энэ функцын цорын ганц экстремум бөгөөд энэ нь түүний хамгийн бага утга юм. Тиймээс савны суурийн хажуу тал нь 2 м, өндөр нь .

Жишээ 9.Нэг цэгээс Атөмөр замын шугам дээр байрлах, цэг хүртэл ХАМТ, түүнээс хол зайд байрладаг л, ачаа тээвэрлэх ёстой. Нэгж зайд жингийн нэгжийг төмөр замаар тээвэрлэх зардал нь , хурдны замаар . Ямар цэг хүртэл Мшугамууд төмөр замачаа тээвэрлэх хурдны зам тавих хэрэгтэй АВ ХАМТхамгийн хэмнэлттэй байсан (хэсэг ABТөмөр замыг шулуун гэж үздэг)?

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Функцийн хамгийн их утга нь хамгийн их, хамгийн бага утга нь түүний бүх утгуудын хамгийн бага нь юм.

Функц нь зөвхөн нэг том, зөвхөн нэг хамгийн жижиг утгатай байж болно, эсвэл огт байхгүй байж болно. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох нь эдгээр функцүүдийн дараах шинж чанарууд дээр суурилдаг.

1) Хэрэв тодорхой интервалд (хязгааргүй эсвэл төгсгөлгүй) y=f(x) функц тасралтгүй бөгөөд зөвхөн нэг экстремумтай бөгөөд энэ нь хамгийн их (хамгийн бага) бол функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга болно. энэ интервалд.

2) Хэрэв f(x) функц нь ямар нэг интервал дээр тасралтгүй байвал заавал хамгийн их ба байх ёстой хамгийн бага утга. Эдгээр утгууд нь сегмент дотор байрлах экстремум цэгүүд эсвэл энэ сегментийн хил дээр хүрдэг.

Сегмент дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд дараах схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1. Деривативыг ол.

2. =0 эсвэл байхгүй функцийн чухал цэгүүдийг ол.

3. Чухал цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, тэдгээрээс хамгийн том f max, хамгийн бага f max-ийг сонгоно.

Хэрэглээний асуудлууд, ялангуяа оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхдээ X интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг (дэлхийн хамгийн их ба дэлхийн хамгийн бага) олох асуудал чухал байдаг , бие даасан хувьсагчийг сонгоод судалж буй утгыг энэ хувьсагчаар илэрхийлнэ. Дараа нь үүссэн функцийн хүссэн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг ол. Энэ тохиолдолд эцсийн болон хязгааргүй байж болох бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн интервалыг мөн асуудлын нөхцлөөс тодорхойлно.

Жишээ.Дөрвөлжин ёроолтой, нээлттэй дээд тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй сав нь дотор нь цагаан тугалгатай байх ёстой. Хэрэв савны багтаамж нь 108 литр бол савны хэмжээ ямар байх ёстой вэ? ус, ингэснээр үүнийг тугалгалах зардал хамгийн бага байх болно?

Шийдэл.Хэрэв тухайн багтаамжийн хувьд түүний гадаргуугийн талбай хамгийн бага байвал савыг цагаан тугалгагаар бүрэх зардал хамгийн бага байх болно. Суурийн талыг a дм, савны өндрийг b дм гэж тэмдэглэе. Дараа нь түүний гадаргуугийн S талбай тэнцүү байна

БА

Үүний үр дүнд үүссэн харилцаа нь усан сангийн гадаргуугийн талбай S (функц) ба суурийн хажуугийн a (аргумент) хоорондын хамаарлыг тогтооно. S функцийг экстремумын хувьд авч үзье. Эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдье.

Тиймээс a = 6. (a) > 0 бол a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Жишээ. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол интервал дээр.

Шийдэл: Өгөгдсөн функц нь бүх тооны шулууны дагуу тасралтгүй байна. Функцийн дериватив

болон төлөө дериватив . Эдгээр цэгүүдийн функцын утгыг тооцоолъё.

.

Өгөгдсөн интервалын төгсгөлд функцийн утгууд тэнцүү байна. Тиймээс функцийн хамгийн том утга нь at-тай, хамгийн бага утга нь at-тай тэнцүү байна.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

1. Маягтын тодорхой бус байдлыг илрүүлэх L'Hopital дүрмийг томъёол. Жагсаалт Төрөл бүрийн төрөл L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглаж болох тодорхойгүй байдал.

2. Өсөх, буурах функцийн шинж тэмдгүүдийг томъёол.

3. Функцийн хамгийн их ба минимумыг тодорхойл.

4. Экстремум оршин байх зайлшгүй нөхцөлийг томъёол.

5. Аргументийн ямар утгыг (аль оноог) шүүмжлэлтэй гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр цэгүүдийг хэрхэн олох вэ?

6. Функцийн экстремум байгаагийн хангалттай шинж тэмдгүүд юу вэ? Эхний дериватив ашиглан экстремум дахь функцийг судлах схемийг тоймло.

7. Хоёрдахь дериватив ашиглан экстремум дахь функцийг судлах схемийг тоймлон бич.

8. Муруйн гүдгэр ба хотгорыг тодорхойлно уу.

9. Функцийн графикийн гулзайлтын цэгийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр цэгүүдийг олох аргыг зааж өгнө үү.

10. Өгөгдсөн хэрчим дэх муруйн гүдгэр ба хотгорын шаардлагатай ба хангалттай шинж тэмдгүүдийг томъёол.

11. Муруйн асимптотыг тодорхойл. Функцийн графикийн босоо, хэвтээ, ташуу асимптотуудыг хэрхэн олох вэ?

12. Тойм ерөнхий схемфункцийг судалж, графикийг нь зурах.

13. Өгөгдсөн интервал дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох дүрмийг томъёол.

Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?

Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээ юм.

Урьдчилсан нөхцөлФункцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, эсвэл хязгааргүй, эсвэл байхгүй байна.

Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэг дээрх дериватив нь энэ цэгт экстремум байхгүйгээр тэг, хязгааргүй эсвэл байхгүй байж болно.

Функцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юу вэ?

Эхний нөхцөл:

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. дээд тал нь

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. хамгийн багаЭнд f(x) функц тасралтгүй байх нөхцөлд.

Үүний оронд та функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглаж болно:

x = a цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёр дахь уламжлал f??(a) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимумтай, эерэг бол минимумтай байна.

Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцийн график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгууд болон график тасалдсан утгуудыг бид сонирхож байна.

Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.

y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.

Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2

Тэгшитгэлийг шийд: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN энэ тохиолдолдэгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Энэ аргументын утга нь функцэд байна экстремум. Түүнд олох, "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна уу:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн том ба хамгийн бага үнэ цэнэ?

Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөх үед деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.

Үзсэн жишээний хувьд:

Бид чухал цэгийн зүүн талд байгаа аргументийн дурын утгыг авна: x = -1

x = -1 үед деривативын утга нь y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "хасах").

Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1

x = 1 үед деривативын утга нь y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "нэмэх").

Таны харж байгаагаар дериватив нь эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхдөө тэмдэгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилсөн. Энэ нь x0 чухал утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга интервал дээр(сегмент дээр) ижил процедурыг ашиглан олддог бөгөөд зөвхөн бүх чухал цэгүүд дотор байхгүй байж магадгүй гэдгийг харгалзан үздэг. заасан интервал. Интервалаас гадуур байгаа чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байвал энэ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгыг харгалзан үзнэ.

Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

интервалаар:

Тэгэхээр функцийн дериватив нь байна

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (интервалд ороогүй)

x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (интервалд ороогүй)

Бид функцийн утгыг олох болно чухал үнэ цэнэаргумент:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Эндээс харахад [-9; 9] функц нь x = -4.88 үед хамгийн их утгатай байна:

x = -4.88, y = 5.398,

ба хамгийн бага нь - x = 4.88:

x = 4.88, у = -5.398.

Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганцхан чухал цэг байна: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398-тай тэнцүү байна.

Интервалын төгсгөлд байгаа функцийн утгыг ол:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Интервал дээр [-6; -3] функцийн хамгийн их утга нь бидэнд байна

x = -4.88 үед y = 5.398

хамгийн бага утга -

x = -3 үед y = 1.077

Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хотгор талыг тодорхойлох вэ?

y = f(x) шугамын бүх гулзайлтын цэгийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлттай байна. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөөгүй бол гулзайлт байхгүй болно.

f тэгшитгэлийн язгуурууд? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн тодорхойлолтын мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун дээшээ хонхойж, сөрөг бол доошоо чиглэсэн байна.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?

Тодорхойлолтын мужид ялгах боломжтой f(x,y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1) чухал цэгүүдийг олох, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийднэ

фх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.

бүх цэгийн хувьд (x;y) P0-д хангалттай ойр. Хэрэв ялгаа хэвээр байвал эерэг тэмдэг, тэгвэл P0 цэг дээр бид хамгийн бага, сөрөг байвал хамгийн их байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол P0 цэгт экстремум байхгүй болно.

Функцийн экстремумыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно илүүаргументууд.

График ашиглан функцийг хэрхэн шалгахыг үзье. Графикийг хараад бид сонирхож буй бүх зүйлийг олж мэдэх боломжтой, тухайлбал:

• функцийн домэйн
• функцийн хүрээ
• функц тэг
• нэмэгдэх ба буурах интервалууд
• хамгийн их ба хамгийн бага оноо
• сегмент дэх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга.

Нэр томъёог тодруулъя:

Абсциссацэгийн хэвтээ координат юм.
Захиалга- босоо координат.
Абсцисса тэнхлэг- хэвтээ тэнхлэгийг ихэвчлэн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Y тэнхлэг- босоо тэнхлэг, эсвэл тэнхлэг.

Аргумент- функцийн утгаас хамаарах бие даасан хувьсагч. Ихэнхдээ зааж өгдөг.
Өөрөөр хэлбэл, бид функцийг сонгож, томъёонд орлуулж, -ийг авна.

Домэйнфункцууд - функц байгаа эдгээр (болон зөвхөн тэдгээр) аргументуудын утгуудын багц.
Үүнд: эсвэл .

Бидний зураг дээр функцийг тодорхойлох муж нь сегмент юм. Энэ сегмент дээр функцийн график зурсан болно. Энэ функц байгаа цорын ганц газар юм.

Функцийн хүрээхувьсагчийн авдаг утгуудын багц юм. Бидний зураг дээр энэ нь сегмент юм - хамгийн багааас хамгийн их утга хүртэл.

Функцийн тэг- функцийн утга тэг байх цэгүүд, өөрөөр хэлбэл. Бидний зураг дээр эдгээр нь цэгүүд ба .

Функцийн утгууд эерэг байнахаана. Бидний зураг дээр эдгээр нь интервалууд ба .
Функцийн утга сөрөг байнахаана. Бидний хувьд энэ нь -ээс хүртэлх интервал (эсвэл интервал) юм.

Хамгийн чухал ойлголтууд - нэмэгдүүлэх, багасгах функцзарим багц дээр. Олонлог болгон та сегмент, интервал, интервалуудын нэгдэл эсвэл бүхэл тоон шугамыг авч болно.

Чиг үүрэг нэмэгддэг

Өөрөөр хэлбэл, илүү их байх тусмаа илүү, өөрөөр хэлбэл график баруун, дээшээ гарна.

Чиг үүрэг буурдаголонлог дээр хэрэв ямар нэгэн бөгөөд олонлогт хамаарах бол тэгш бус байдал нь тэгш бус байдлыг илэрхийлнэ.

Буурах функцийн хувьд том утга нь бага утгатай тохирно. График баруун ба доошоо явдаг.

Бидний зураг дээр функц интервал дээр нэмэгдэж, интервалууд дээр буурч байна.

Энэ нь юу болохыг тодорхойлъё функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд.

Хамгийн дээд цэг- энэ нь тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг бөгөөд үүн дэх функцийн утга нь түүнд хангалттай ойр байгаа бүх цэгүүдээс их байна.
Өөрөөр хэлбэл функцийн утга гарах цэгийг максимум цэг гэнэ илүүхөршүүдээс илүү. Энэ бол график дээрх орон нутгийн "толгод" юм.

Бидний зураг дээр хамгийн дээд цэг байна.

Хамгийн бага оноо- тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг, үүн дэх функцийн утга нь түүнд хангалттай ойр байгаа бүх цэгүүдээс бага байна.
Өөрөөр хэлбэл, хамгийн бага цэг нь түүний функцын утга хөршөөсөө бага байх явдал юм. Энэ бол график дээрх орон нутгийн "нүх" юм.

Бидний зураг дээр хамгийн бага цэг байна.

Гол нь хил хязгаар юм. Энэ нь тодорхойлолтын домайны дотоод цэг биш тул дээд цэгийн тодорхойлолтод тохирохгүй байна. Эцсийн эцэст түүний зүүн талд хөршүүд байдаггүй. Үүнтэй адил манай график дээр хамгийн бага цэг байх боломжгүй.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг хамтад нь дууддаг функцийн экстремум цэгүүд. Манай тохиолдолд энэ нь ба .

Хэрэв та олох шаардлагатай бол юу хийх хэрэгтэй вэ, жишээлбэл, хамгийн бага функцсегмент дээр? Энэ тохиолдолд хариулт нь: . Учир нь хамгийн бага функцнь түүний хамгийн бага цэг дэх утга юм.

Үүний нэгэн адил бидний функцийн дээд хэмжээ нь . Энэ нь цэг дээр хүрдэг.

Функцийн экстремум нь ба -тай тэнцүү гэж хэлж болно.

Заримдаа асуудал олохыг шаарддаг Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгуудөгөгдсөн сегмент дээр. Тэд туйлшралтай давхцах албагүй.

Манай тохиолдолд функцийн хамгийн бага утгасегмент дээрх функцийн хамгийн багатай тэнцүү ба давхцаж байна. Гэхдээ энэ сегмент дээрх хамгийн их утга нь -тэй тэнцүү байна. Энэ нь сегментийн зүүн төгсгөлд хүрдэг.

Ямар ч тохиолдолд сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгууд нь сегментийн төгсгөлд эсвэл төгсгөлд хүрдэг.