Функцийг судлах ерөнхий схем ба график байгуулах.
1. Гүдгэр ба хотгорын функцийг судлах.

1. 
   
2. 
   Функцийн графикийн асимптотууд.

Оршил.

Сургуулийн математикийн хичээл дээр та функциональ график зурах хэрэгцээтэй аль хэдийн танилцсан. -д та нэг цэгийн аргыг ашигласан. Энэ нь үзэл баримтлалын хувьд энгийн бөгөөд харьцангуй хурдан зорилгодоо хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Функц нь тасралтгүй бөгөөд нэлээд жигд өөрчлөгддөг тохиолдолд энэ арга нь график дүрслэлийн шаардлагатай нарийвчлалыг хангаж чадна. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийн байршлын тодорхой нягтралд хүрэхийн тулд илүү их оноо авах хэрэгтэй.

Зарим газар функц нь "зан төлөв"-ийн онцлог шинж чанартай байдаг гэж үзье: эсвэл түүний утгууд нь хаа нэгтээ жижиг газар огцом өөрчлөгддөг, эсвэл завсарлага байдаг. Графикийн хамгийн чухал хэсгүүдийг ийм байдлаар илрүүлэхгүй байж болно.

Энэ нөхцөл байдал нь "цэгээр" график байгуулах аргын утгыг бууруулдаг.

Функцийн аналитик судалгаанд үндэслэн график зурах хоёрдахь арга бий. Энэ нь сургуулийн математикийн курст авч үзсэн аргатай харьцуулахад эерэг байдаг.

1. Гүдгэр ба хотгорын функцийг судлах .

Функцийг зөвшөөр
(a, c) интервалаар ялгах боломжтой. Дараа нь аль ч цэгт функцийн графикт шүргэгч байна
энэ график (
), шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель биш, учир нь түүний налуу нь тэнцүү байна
, мэдээж.

О
тодорхойлолт Бид функцийн график гэж хэлэх болно
(a, c) дээр (a, c) дээрх функцын графиктай шүргэгчээс доош (дээд биш) байрласан бол доош (дээш) чиглэсэн суллах хэсэгтэй байна.

a) хотгор муруй б) гүдгэр муруй

Теорем 1 (муруйн гүдгэр (гүдгэр) зайлшгүй нөхцөл).

Хоёр дахин ялгах функцийн график нь гүдгэр (хүнх) муруй байвал (a, c) интервал дээрх хоёр дахь дериватив нь энэ интервал дээр сөрөг (эерэг) байна.

Теорем 2(муруйн гүдгэр (гүдгэр) хангалттай нөхцөл).

Хэрэв функц нь (a, b) ба дээр хоёр дахин ялгагдах боломжтой бол
(
) энэ интервалын бүх цэг дээр байвал функцийн график болох муруй нь энэ интервал дээр гүдгэр (гүдгэр) байна.

1. 
   Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүд.

ТодорхойлолтЦэг
цэг дээр байгаа бол функцийн графикийн гулзайлтын цэг гэнэ
график нь шүргэгчтэй, цэгийн ийм хөрш байдаг , түүний дотор цэгийн зүүн ба баруун талд байрлах функцийн график нь гүдгэрийн өөр өөр чиглэлтэй байна.

О Гулзайлтын цэг дээр шүргэгч нь функцын графикийг гаталж байгаа нь ойлгомжтой, учир нь энэ цэгийн нэг талд график шүргэгчээс дээгүүр, нөгөө талд нь түүний доор, өөрөөр хэлбэл гулзайлтын цэгийн ойролцоо байрладаг. Функцийн график нь шүргэгчийн нэг талаас нөгөө тал руу геометрийн хувьд дамждаг бөгөөд түүгээр "нугадаг". Эндээс л "зайлтын цэг" гэсэн нэр гарч ирсэн.

Теорем 3(зайлшгүй гулзайлтын цэгийн нөхцөл). Функцийн график нь нэг цэгт нугалалттай, функц нь цэг дээр байна тасралтгүй хоёр дахь дериватив. Дараа нь
.
Бүх цэгүүд нь гулзайлтын цэг биш юм. Жишээлбэл, функцийн график
(0, 0) дээр нугалах цэг байхгүй боловч
цагт
. Тиймээс хоёр дахь деривативын тэгтэй тэнцүү байх нь зөвхөн гулзайлтын зайлшгүй нөхцөл юм.

Графикийн цэгүүд гэж нэрлэгддэг чухал цэгүүдII-хотууд.Эгзэгтэй цэг бүрт гулзайлт байгаа эсэхийг цаашид судлах шаардлагатай байна.

Теорем 4(нугалах цэгийн хангалттай нөхцөл). Функц нь цэгийн аль нэг хэсэгт хоёр дахь деривативтэй байг. Дараа нь заасан хороололд байгаа бол
цэгийн баруун ба зүүн талд өөр өөр тэмдэгтэй бол график цэг дээр гулзайлгасан байна .
Сэтгэгдэл.Хэрэв теорем үнэн хэвээр байна
цэгээс бусад хэсэгт хоёрдахь дериватив байдаг ба тухайн цэг дээрх функцийн графикт шүргэгч байна.
. Дараа нь заасан хөршийн дотор цэгийн зүүн ба баруун талд өөр өөр тэмдэгтэй байвал функцийн график цэг дээр гулзайлттай байна.
Гүдгэр, хотгор, гулзайлтын цэгүүдийн функцийг судлах схем.

Жишээ.Функцийг судлах
гүдгэр, хотгор, гулзайлтын цэг.
1.

2.
,
=

3. цагт байхгүй

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Функцийн графикийн асимптотууд.

үед функцийн зан төлөвийг судлах үед
эсвэл 2-р төрлийн тасалдлын цэгүүдийн ойролцоо байх үед функцийн график нь аль нэг шулуун шугаманд дуртайдаа ойртдог нь ихэвчлэн тохиолддог. Ийм мөрүүдийг нэрлэдэг.

О тодорхойлолт 1. Чигээрээ Хэрэв цэг муруйн дагуу хязгааргүйд шилжих үед муруйн цэгээс энэ шугам хүртэлх зай тэг рүү чиглэж байвал муруйн асимптот гэж нэрлэнэ. Босоо, хэвтээ, ташуу гэсэн гурван төрлийн асимптот байдаг.

Тодорхойлолт 2.Чигээрээ
Хэрэв нэг талт хязгаарын дор хаяж нэг нь тэнцүү бол функцийн графикийн босоо асимптот гэнэ.
, өөрөөр хэлбэл, эсвэл

Жишээлбэл, функцийн график
босоо асимптоттой
, учир нь
, a
.

Тодорхойлолт 3. y \u003d A шулуун шугамыг функцийн графикийн хэвтээ асимптот гэж нэрлэдэг.
хэрэв
.

Жишээлбэл, функцийн график нь хэвтээ асимптот y=0 байна, учир нь
.

Тодорхойлолт 4.Чигээрээ
(
) функцийн графикийн ташуу асимптот гэнэ
хэрэв
;

Хэрэв ядаж нэг хязгаар байхгүй бол муруй нь асимптотгүй болно. Хэрэв, дараа нь эдгээр хязгаарыг тусад нь хайх хэрэгтэй, төлөө болон
.

Жишээлбэл. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

; x=0 – босоо асимптот

;
.

ташуу асимптот юм.
4. Функцийг бүрэн судлах схем ба график.

Функцийн үйл ажиллагааг судалж, графикийг нь бүтээхэд тохиромжтой үлгэр жишээ схемийг авч үзье.

Жишээ.Функцийг судлах
мөн үүнийг төлөвлө.

1., x=-1-ээс бусад.

2.
тэгш, сондгой ч биш функц

-

-



+

+

y

-4


t r.

0

Дүгнэлт.
Энэ аргын чухал шинж чанар нь голчлон муруйн зан үйлийн онцлог шинж чанарыг илрүүлэх, судлахад суурилдаг явдал юм. Функц нь жигд өөрчлөгддөг газруудыг нарийвчлан судлаагүй тул ийм судалгаа хийх шаардлагагүй болно. Гэхдээ үйл ажиллагаа нь зан үйлийн онцлог шинж чанартай байдаг газруудыг бүрэн судалж, хамгийн зөв график дүрслэлд хамруулдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь функцийн хамгийн их, хамгийн бага цэг, тасалдал гэх мэт цэгүүд юм.

Хонхор ба гулзайлтын чиглэлийг тодорхойлох, түүнчлэн асимптотуудыг олох арга нь функцийг илүү нарийвчлан судлах, тэдгээрийн графикийн талаар илүү нарийвчлалтай ойлголт авах боломжийг олгодог.

Функцийн гүдгэр байдлын тухай ойлголт

\(y = f\left(x \right),\) функцийг \(\left[ (a,b) \right] сегмент дээр тасралтгүй гэж тооцно.\) \(y = f) функцийг авч үзье. \left(x \right),\) )\) гэж нэрлэдэг гүдгэр доош (эсвэл зүгээр л гүдгэр) хэрэв \((x_1)\) ба \((x_2)\) цэгүүдээс \(\left[ (a,b) \right]\) x_1),(x_2) \in \left[ (a,) b) \right],\) ингэснээр \((x_1) \ne (x_2),\) дараа нь \(f\left(x \right) \) функц дуудагдана. хатуу гүдгэр доош

Дээш чиглэсэн гүдгэр функц нь мөн адил тодорхойлогддог. \(f\left(x \right)\) функцийг дуудна дээш гүдгэр (эсвэл хотгор) хэрчмийн \((x_1)\) ба \((x_2)\) цэгүүдэд \(\left[ (a,b) \right]\) тэгш бус байдал байвал \ Хэрэв энэ тэгш бус байдал нь аль ч \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) ийм байдлаар \((x_1) \ne (x_2),\) дараа нь \(f\left(x \right) функц үүснэ. ) \) гэж нэрлэдэг дээшээ хатуу гүдгэр сегмент дээр \(\left[(a,b) \right].\)

Функцийн гүдгэр байдлын геометрийн тайлбар

Гүдгэр функцийн танилцуулсан тодорхойлолтууд нь энгийн геометрийн тайлбартай байдаг.

Функцийн хувьд, гүдгэр доош (зураг \(1\)), дурын хөвчний \(B\) дунд цэг \((A_1)(A_2)\) оршдог. дээрх

Үүний нэгэн адил функцийн хувьд дээш гүдгэр (зураг \(2\)), дурын хөвчний \(B\) дунд цэг \((A_1)(A_2)\) оршдог. доорфункцийн графикийн харгалзах цэг \((A_0)\) буюу энэ цэгтэй давхцаж байна.

Гүдгэр функцууд нь байршилтай холбоотой өөр нэг харааны шинж чанартай байдаг шүргэгч функцийн график руу. \(f\left(x \right)\) функц нь гүдгэр доош \(\left[ (a,b) \right]\) сегмент дээр түүний график нь \(\зүүн) сегментийн аль ч цэгт түүнд зурсан шүргэгчээс багагүй байх тохиолдолд л. [ (a ,b) \баруун]\) (зураг \(3\)).

Үүний дагуу \(f\left(x \right)\) функц нь байна дээш гүдгэр \(\left[ (a,b) \right]\) сегмент дээр түүний график нь \(\left) сегментийн аль ч цэгт түүн рүү татсан шүргэгчээс ихгүй байвал ((x_0)\) [ (a ,b) \баруун]\) (зураг \(4\)). Эдгээр шинж чанарууд нь теорем бөгөөд функцийн гүдгэр байдлын тодорхойлолтыг ашиглан нотлогдож болно.

Гүдгэр байх хангалттай нөхцөл

\(f\left(x \right)\) функцийн хувьд \(f"\left(x \right)\) эхний дериватив \(\left[(a,b) \right] сегмент дээр байгаа байг. \) ба хоёрдахь дериватив \(f""\left(x \right)\) − интервал дээр \(\left((a,b) \right).\) Дараа нь гүдгэр байдлын хувьд дараах хангалттай шалгуурыг хангана:

Хэрэв \(f""\left(x \right) \ge 0\) бүгдэд \(x \in \left((a,b) \right),\) байвал \(f\left(x \) функц байна. зөв)\) гүдгэр доош сегмент дээр \(\left[(a,b) \right];\)

Хэрэв \(f""\left(x \right) \le 0\) бүгдэд \(x \in \left((a,b) \right),\) байвал \(f\left(x \) функц байна. зөв)\) дээш гүдгэр сегмент дээр \(\left[(a,b) \right].\)

Хоёрдахь дериватив нь тэгээс их (бага) байх тохиолдолд нэг нь хатуу гүдгэр доош (эсвэл дээш ).

Доошоо гүдгэр функцийн хувьд дээрх теоремыг баталъя. \(f\left(x \right)\) функц нь \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) интервал дээр сөрөг бус хоёр дахь деривативтэй байг. \right) \ge 0.\) Хэсгийн дунд цэгийг \((x_0)\) гэж тэмдэглэнэ \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Энэ сегментийн уртыг гэж үзье. \(2h.\)-тай тэнцүү Дараа нь \((x_1)\) ба \((x_2)\) координатуудыг дараах байдлаар бичиж болно: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2) ) = (x_0) + h.\] \((x_0)\) цэг дээрх \(f\left(x \right)\) функцийг Лагранж хэлбэрийн үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын цуврал болгон өргөжүүл. Бид дараах илэрхийлэлүүдийг авна: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right) ) - f"\left(((x_0)) \баруун)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \баруун)(h^2)))((2)},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Хоёр тэнцүүг нэмнэ үү: \[ (f\left(((x_1)) \баруун) + f\left(((x_2)) \баруун) ) = (2f\left(((x_0)) \баруун) + \frac (((h^2)(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \баруун) + f""\left(((\xi _2)) \баруун)) \right].) \] \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) баруун гар талын хоёр дахь деривативууд сөрөг биш учраас . Тиймээс \ эсвэл \ өөрөөр хэлбэл, тодорхойлолтын дагуу \(f\left(x \right)\) функц байна. гүдгэр доош .

Функцид шаардлагатай гүдгэр нөхцөл (жишээ нь, гүдгэр байдлын нөхцлөөс \(f""\left(x \right) \ge 0\)) зөвхөн дараах байдлаар хангагдах шууд теорем гэдгийг анхаарна уу. хатуу бус тэгш бус байдал. Хатуу гүдгэр тохиолдолд шаардлагатай нөхцөл нь ерөнхийдөө хангагддаггүй. Жишээлбэл, \(f\left(x \right) = (x^4)\) функц нь хатуу доошоо гүдгэр байна. Гэсэн хэдий ч \(x = 0\) цэг дээр түүний хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Энэ тохиолдолд \(f""\left(x \right) \gt 0\) хатуу тэгш бус байдал хангагдаагүй.

Гүдгэр функцүүдийн шинж чанарууд

Бүх функцууд \(\left[ (a,b) \right].\) сегмент дээр тодорхойлогддог бөгөөд тасралтгүй байна гэж үзэн бид гүдгэр функцүүдийн зарим шинж чанарыг жагсаав.

Хэрэв \(f\) ба \(g\) функцүүд доош (дээш) гүдгэр байвал тэдгээрийн аль нэг нь шугаман хослол \(af + bg,\) энд \(a\), \(b\) эерэг бодит тоонууд мөн доошоо (дээш) гүдгэр байна.

Хэрэв \(u = g\left(x \right)\) функц нь доошоо гүдгэр, \(y = f\left(u \right)\) функц нь доошоо гүдгэр, буурахгүй байвал нарийн төвөгтэй функц \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) мөн доошоо гүдгэр болно.

Хэрэв \(u = g\left(x \right)\) функц нь дээшээ гүдгэр, \(y = f\left(u \right)\) функц нь доошоо гүдгэр, өсөхгүй байвал нарийн төвөгтэй функц \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) доош гүдгэр болно.

Орон нутгийн дээд хэмжээ \(\left[(a,b) \right],\) сегмент дээр тодорхойлсон гүдгэр дээш чиглэсэн функц нь нэгэн зэрэг түүний хамгийн өндөр үнэ цэнэ энэ сегмент дээр.

Орон нутгийн доод хэмжээ \(\left[(a,b) \right],\) сегмент дээр тодорхойлсон доош чиглэсэн гүдгэр функц нь нэгэн зэрэг түүний хамгийн бага утга энэ сегмент дээр.

Онлайн тооцоолуур ашиглан та олох боломжтой функцийн графикийн гулзайлтын цэг ба гүдгэр интервалууд Word дээрх шийдлийн дизайнтай. f(x1,x2) хоёр хувьсагчийн функц гүдгэр эсэхийг Гессийн матрицаар шийддэг.

Функцийг оруулах дүрэм:

Функцийн графикийн гүдгэрийн чиглэл. Гулзайлтын цэгүүд

Тодорхойлолт: y=f(x) муруй нь (a; b) интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс дээш байрласан байвал доош чиглэсэн гүдгэр гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт: y=f(x) муруй нь (a; b) интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс доогуур байвал дээшээ гүдгэр гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт: Функцийн график дээш доош гүдгэр байх интервалыг функцийн графикийн гүдгэрийн интервал гэнэ.

y=f(x) функцийн график болох муруйгаас доош буюу дээш чиглэсэн гүдгэр нь түүний хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлогддог: хэрэв зарим интервалд f''(x) > 0 байвал муруй нь гүдгэр байна. энэ интервал дээр доошоо; хэрэв f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Тодорхойлолт: y=f(x) функцийн графикийн энэ графын эсрэг талын гүдгэр интервалуудыг тусгаарлах цэгийг гулзайлтын цэг гэнэ.

Зөвхөн хоёр дахь төрлийн чухал цэгүүд гулзайлтын цэг болж чадна; y = f(x) функцийн мужид хамаарах цэгүүд бөгөөд энэ үед f''(x) хоёр дахь дериватив алга болох буюу тасрах болно.

y = f(x) функцийн графикийн гулзайлтын цэгийг олох дүрэм.

1. f''(x) хоёр дахь деривативыг ол.
2. y=f(x) функцийн хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол, өөрөөр хэлбэл. f''(x) алга болох буюу тасрах цэг.
3. Олдсон эгзэгтэй цэгүүд f(x) функцийн мужийг хуваах интервал дахь f''(x) хоёр дахь деривативын тэмдгийг судал. Хэрэв энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг x 0 нь эсрэг чиглэлийн гүдгэр интервалуудыг тусгаарладаг бол x 0 нь функцийн графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса юм.
4. Гулзайлтын цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох.

Жишээ 1. Дараах муруйны гүдгэрийн завсар ба гулзайлтын цэгийг ол: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Шийдэл: f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x-ийг ол.
12-6x=0 тэгшитгэлийг шийдэж, хоёр дахь деривативаар критик цэгүүдийг олъё. x=2.


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Хариулт: Функц нь x∈(2; +∞) хувьд дээшээ гүдгэр; функц нь x∈(-∞; 2)-ын хувьд доошоо гүдгэр; гулзайлтын цэг (2;16) .

Жишээ 2. Функц нугалах цэгтэй юу: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Жишээ 3. Функцийн график гүдгэр ба гүдгэр байх интервалыг ол: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Функцийг зурахдаа гүдгэр интервал ба гулзайлтын цэгийг тодорхойлох нь чухал юм. График хэлбэрээр функцийг тодорхой дүрслэхийн тулд бид буурах, нэмэгдүүлэх интервалуудын хамт хэрэгтэй.

Энэ сэдвийг ойлгохын тулд функцийн дериватив гэж юу болох, түүнийг ямар нэг дарааллаар хэрхэн тооцоолох, мөн янз бүрийн төрлийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагатай.

Өгүүллийн эхэнд үндсэн ойлголтуудыг тодорхойлсон. Дараа нь бид тодорхой интервал дахь гүдгэрийн чиглэл ба хоёр дахь деривативын утгын хооронд ямар хамаарал байгааг харуулах болно. Дараа нь бид графикийн гулзайлтын цэгүүдийг тодорхойлох нөхцөлийг зааж өгөх болно. Бүх үндэслэлийг асуудлын шийдлийн жишээн дээр харуулах болно.

Тодорхойлолт 1

График нь энэ интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс багагүй байх тохиолдолд тодорхой интервал дээр доошоо чиглэнэ.

Тодорхойлолт 2

Дифференциалагдах функц нь гүдгэрЭнэ функцийн график нь энэ интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс өндөргүй байх тохиолдолд тодорхой интервал дээр дээшээ.

Доош чиглэсэн гүдгэр функцийг мөн хотгор гэж нэрлэж болно. Хоёр тодорхойлолтыг доорх графикт тодорхой харуулав.

Тодорхойлолт 3

Функцийн гулзайлтын цэг- энэ нь функцийн график байгаа x 0 цэгийн ойролцоо дериватив байгаа тохиолдолд функцийн графикт шүргэгч байх M (x 0 ; f (x 0)) цэг юм. зүүн ба баруун талдаа гүдгэр янз бүрийн чиглэлийг авдаг.

Энгийнээр хэлбэл гулзайлтын цэг гэдэг нь граф дээрх шүргэгч байх газар бөгөөд энэ газраар өнгөрөхөд графын гүдгэрийн чиглэл нь гүдгэрийн чиглэлийг өөрчилнө. Хэрэв та ямар нөхцөлд босоо болон босоо бус шүргэгч байх боломжтойг санахгүй байгаа бол функцийн графикийн тангенсийн хэсгийг нэг цэгт давтахыг зөвлөж байна.

Улаан өнгөөр ​​тодруулсан олон нугалах цэг бүхий функцийн графикийг доор харуулав. Гулзайлтын цэгүүд заавал байх албагүй гэдгийг тодруулъя. Нэг функцийн график дээр нэг, хоёр, хэд хэдэн, хязгааргүй олон эсвэл аль нь ч байж болно.

Энэ хэсэгт бид тодорхой функцийн график дээрх гүдгэр интервалыг тодорхойлж болох теоремын талаар ярих болно.

Тодорхойлолт 4

Хэрэв f "" (x) ≥ 0 ∀ x тэгш бус байдал нь заасан x интервалд харгалзах y = f (x) функц нь хоёр дахь төгсгөлөг деривативтай бол функцийн график нь доош эсвэл дээш чиглэсэн гүдгэр хэлбэртэй байна. ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) үнэн байх болно.

Энэ теоремыг ашиглан функцийн аль ч график дээрх хотгор ба гүдгэрийн интервалыг олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд та харгалзах функцийн муж дээрх f "" (x) ≥ 0 ба f "" (x) ≤ 0 тэгш бус байдлыг шийдэхэд л хангалттай.

Хоёрдахь дериватив байхгүй боловч y = f (x) функц тодорхойлогдсон цэгүүд нь гүдгэр ба хотгорын интервалд багтах болно гэдгийг тодруулцгаая.

Энэ теоремыг хэрхэн зөв хэрэглэх талаар тодорхой асуудлын жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Нөхцөл: y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 функц өгөгдсөн. Түүний график ямар интервалд гүдгэр ба хотгор байхыг тодорхойлно.

Шийдэл

Энэ функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Хоёр дахь деривативыг тооцоолж эхэлье.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Хоёрдахь деривативын муж нь функцийн өөрийнхтэй давхцаж байгааг бид харж байна.Иймээс гүдгэрийн интервалуудыг тодорхойлохын тулд f "" (x) ≥ 0 ба f "" (x) ≤ 0 тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй. .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Өгөгдсөн функцийн график сегмент дээр хонхорхой байх болно гэдгийг бид олж мэдсэн [ 2 ; + ∞) ба сегмент дэх гүдгэр (- ∞ ; 2 ] .

Тодорхой болгохын тулд функцийн графикийг зурж, гүдгэр хэсгийг цэнхэрээр, хонхор хэсгийг улаанаар тэмдэглэнэ.

Хариулт:өгөгдсөн функцийн график нь сегмент дээр хонхорхойтой байна [ 2 ; + ∞) ба сегмент дэх гүдгэр (- ∞ ; 2 ] .

Гэхдээ хоёр дахь деривативын домэйн функцийн домэйнтэй давхцахгүй бол яах вэ? Энд дээр дурдсан тайлбар нь бидэнд ашигтай юм: эцсийн хоёр дахь дериватив байхгүй цэгүүдийг бид мөн хонхор ба гүдгэр хэсгүүдэд оруулах болно.

Жишээ 2

Нөхцөл: y = 8 x x - 1 функц өгөгдсөн. Түүний график ямар интервалд хотгор, ямар интервалд гүдгэр байхыг тодорхойл.

Шийдэл

Эхлээд функцийн хамрах хүрээг олж мэдье.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Одоо бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно.

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Хоёрдахь деривативын муж нь x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) олонлог юм. Тэгтэй тэнцүү x нь анхны функцийн мужид байх боловч хоёр дахь деривативын мужид байхгүй гэдгийг бид харж байна. Энэ цэгийг хотгор эсвэл гүдгэр сегментэд оруулах ёстой.

Үүний дараа өгөгдсөн функцийн муж дээрх f "" (x) ≥ 0 ба f "" (x) ≤ 0 тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй. Үүний тулд бид интервалын аргыг ашигладаг: x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 эсвэл x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 тоологч 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 нь 0 болж, хуваагч нь x тэг эсвэл нэг байх үед 0 болно.

Гарсан цэгүүдийг график дээр тавьж, анхны функцийн мужид орох бүх интервал дээрх илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойлъё. График дээр энэ хэсгийг ангаахайгаар зааж өгсөн болно. Хэрэв утга эерэг байвал интервалыг нэмэх, сөрөг бол хасах тэмдэгээр тэмдэглээрэй.

Үүний үр дүнд,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , ба f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; нэг)

Бид өмнө нь тэмдэглэсэн x = 0 цэгийг асааж, хүссэн хариултаа авна. Анхны функцийн график 0-д доошоо товойсон байх болно; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , ба түүнээс дээш - x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; нэг).

Гүдгэр хэсгийг хөхөөр, хонхор хэсгийг улаанаар тэмдэглэж график зуръя. Босоо асимптотыг хар тасархай шугамаар тэмдэглэв.

Хариулт:Анхны функцийн график 0-д доошоо товойсон байх болно; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , ба түүнээс дээш - x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; нэг).

Функцийн графикийн гулзайлтын нөхцөл

Зарим функцийн графикийг эргүүлэхэд шаардлагатай нөхцлийн томъёололоос эхэлцгээе.

Тодорхойлолт 5

График нь гулзайлтын цэгтэй y = f(x) функцтэй гэж үзье. x = x 0-ийн хувьд энэ нь тасралтгүй хоёр дахь деривативтай тул f "" (x 0) = 0 тэгшитгэлийг хангана.

Энэ нөхцөлийг харгалзан бид хоёр дахь дериватив 0 болж хувирах нугалах цэгүүдийг хайх хэрэгтэй. Энэ нөхцөл хангалтгүй байх болно: ийм бүх цэгүүд бидэнд тохирохгүй.

Мөн ерөнхий тодорхойлолтын дагуу босоо эсвэл босоо бус шүргэгч шугам хэрэгтэй болно гэдгийг анхаарна уу. Практикт энэ нь гулзайлтын цэгүүдийг олохын тулд энэ функцийн хоёр дахь дериватив нь 0 болсон цэгүүдийг авах ёстой гэсэн үг юм. Тиймээс гулзайлтын цэгүүдийн абсциссуудыг олохын тулд функцийн мужаас бүх x 0-ийг авах шаардлагатай бөгөөд энд lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ба lim x → x 0 + 0 f " байна. (x) = ∞ . Ихэнхдээ эдгээр нь эхний деривативын хуваагч 0 болж хувирдаг цэгүүд юм.

Функцийн графикийн гулзайлтын цэг байх эхний хангалттай нөхцөл

Бид гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса болгон авч болох бүх x 0 утгыг олсон. Үүний дараа бид эхний хангалттай гулзайлтын нөхцлийг ашиглах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 6

М цэг дээр үргэлжилсэн y = f (x) функц байна гэж үзье (x 0 ; f (x 0)) . Түүгээр ч барахгүй, энэ цэг дээр шүргэгчтэй бөгөөд функц өөрөө энэ цэгийн ойролцоо хоёр дахь деривативтай байна x 0 . Энэ тохиолдолд хоёр дахь дериватив нь зүүн ба баруун талд эсрэг шинж тэмдгийг олж авбал энэ цэгийг гулзайлтын цэг гэж үзэж болно.

Энэ нөхцөл нь энэ үед хоёр дахь дериватив заавал байх шаардлагагүй гэдгийг бид харж байна, түүний x 0 цэгийн ойролцоо байх нь хангалттай юм.

Дээрх бүгдийг үйлдлүүдийн дараалал болгон хялбархан танилцуулж болно.

1. Эхлээд та боломжит гулзайлтын цэгүүдийн бүх абсцисса х 0-ийг олох хэрэгтэй, энд f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Дериватив ямар цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгдөхийг олж мэдээрэй. Эдгээр утгууд нь гулзайлтын цэгүүдийн абсциссууд бөгөөд тэдгээрт тохирох M (x 0 ; f (x 0)) цэгүүд нь өөрөө гулзайлтын цэгүүд юм.

Тодорхой болгохын тулд хоёр асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Нөхцөл: y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x функц өгөгдсөн. Энэ функцийн график хаана гулзайлтын болон товойсон цэгүүдтэй болохыг тодорхойл.

Шийдэл

Энэ функц нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр тодорхойлогддог. Бид эхний деривативыг авч үзье.

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Одоо эхний деривативын домайныг олъё. Энэ нь мөн бүх бодит тоонуудын багц юм. Иймээс lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ба lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ тэгшитгэлийг x 0-ийн аль ч утгын хувьд хангаж чадахгүй.

Бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Бид 2 ба 3 гэсэн хоёр нугалах цэгийн абсциссуудыг олсон. Бидний хийх зүйл бол дериватив ямар үед тэмдэгээ өөрчлөхийг шалгах явдал юм. Тоон тэнхлэгийг зурж, түүн дээр эдгээр цэгүүдийг зурж, дараа нь үүссэн интервалууд дээр хоёр дахь деривативын тэмдгүүдийг байрлуулна.

Нуманууд нь интервал бүр дэх графикийн гүдгэрийн чиглэлийг харуулдаг.

Хоёр дахь дериватив нь абсцисса 3-тай цэгийн тэмдгийг (нэмэхээс хасах) урвуу зүүнээс баруун тийш дайран өнгөрч, абсцисса 3-тай цэг дээр мөн адил (хасахаас нэмэх) хийнэ. Тэгэхээр x = - 2 ба x = 3 нь функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса юм гэж бид дүгнэж болно. Тэд графикийн цэгүүдтэй тохирно - 2; - 4 3 ба 3; - 15 8 .

Хонхор ба гүдгэр газруудын талаар дүгнэлт гаргахын тулд тоон тэнхлэгийн дүрс ба тэдгээрийн үр дүнд үүссэн тэмдгүүдийг интервал дээр дахин харцгаая. Энэ нь товойсон сегмент дээр байрлах болно - 2; 3 , хэрчмүүд дээрх хонхорхой (- ∞ ; - 2 ] ба [ 3 ; + ∞) .

Асуудлын шийдлийг график дээр тодорхой харуулав: цэнхэр өнгө - гүдгэр, улаан - хотгор, хар өнгө нь гулзайлтын цэг гэсэн үг.

Хариулт:товойсон хэсэг нь сегмент дээр байрлана - 2; 3 , хэрчмүүд дээрх хонхорхой (- ∞ ; - 2 ] ба [ 3 ; + ∞) .

Жишээ 4

Нөхцөл: y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 функцийн графикийн бүх гулзайлтын цэгүүдийн абсциссуудыг тооцоол.

Шийдэл

Өгөгдсөн функцийн муж нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм. Бид деривативыг тооцоолно:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x) - 3) 2 5

Функцээс ялгаатай нь түүний анхны дериватив нь 3-ийн x утгаар тодорхойлогддоггүй, гэхдээ:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Графикийн босоо шүргэгч энэ цэгээр дамжин өнгөрнө гэсэн үг. Тиймээс 3 нь гулзайлтын цэгийн абсцисса байж болно.

Бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно. Бид мөн түүний тодорхойлолтын талбай болон 0 болж хувирах цэгүүдийг олдог.

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 "(x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 15096 2.

Бидэнд өөр хоёр боломжит нугалах цэг бий. Бид бүгдийг нь тоон мөрөнд байрлуулж, үүссэн интервалуудыг тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Заасан цэг бүрээр дамжин өнгөрөх үед тэмдгийн өөрчлөлт гарах бөгөөд энэ нь бүгд гулзайлтын цэг гэсэн үг юм.

Хариулт:Функцийн графикийг зурж, хонхорыг улаанаар, гүдгэрийг хөхөөр, гулзайлтын цэгийг хараар тэмдэглэе.

Эхний хангалттай гулзайлтын нөхцлийг мэдсэнээр бид хоёр дахь дериватив байх шаардлагагүй шаардлагатай цэгүүдийг тодорхойлж чадна. Үүний үндсэн дээр эхний нөхцөл нь хамгийн түгээмэл бөгөөд янз бүрийн төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой гэж үзэж болно.

Өөр хоёр гулзайлтын нөхцөл байдгийг анхаарна уу, гэхдээ зөвхөн заасан цэг дээр хязгаарлагдмал дериватив байгаа тохиолдолд л хэрэглэж болно.

Хэрэв бид f "" (x 0) = 0 ба f """ (x 0) ≠ 0 байвал x 0 нь y = f (x) графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса болно.

Жишээ 5

Нөхцөл: y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 функц өгөгдсөн. Функцийн график 3-р цэгт гулзайлгах эсэхийг тодорхойлох; 4 5 .

Шийдэл

Хамгийн эхний хийх зүйл бол өгөгдсөн цэг нь энэ функцийн графикт хамаарах эсэхийг шалгах явдал юм.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Заасан функц нь бодит тоо бүхий бүх аргументуудад тодорхойлогддог. Бид эхний болон хоёр дахь деривативуудыг тооцоолно.

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Хэрэв x нь 0-тэй тэнцүү бол хоёр дахь дериватив 0 болно гэдгийг бид олж мэдсэн. Энэ нь энэ цэгт шаардлагатай гулзайлтын нөхцөл хангагдана гэсэн үг юм. Одоо бид хоёр дахь нөхцөлийг ашиглаж байна: бид гурав дахь деривативыг олж, 3-д 0 болж хувирах эсэхийг олж мэдээрэй.

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Гурав дахь дериватив нь x-ийн аль ч утгын хувьд алга болохгүй. Тиймээс энэ цэг нь функцийн графикийн гулзайлтын цэг болно гэж бид дүгнэж болно.

Хариулт:Үүний шийдлийг зураг дээр үзүүлье:

f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . . , f (n) (x 0) = 0 ба f (n + 1) (x 0) ≠ 0 гэж үзье. Энэ тохиолдолд n-ийн хувьд ч гэсэн x 0 нь y \u003d f (x) графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса юм.

Жишээ 6

Нөхцөл: y = (x - 3) 5 + 1 функц өгөгдсөн. Графикийн гулзайлтын цэгүүдийг тооцоол.

Шийдэл

Энэ функц нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр тодорхойлогддог. Деривативыг тооцоол: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Энэ нь аргументийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогдох тул графикийн аль ч цэгт босоо бус шүргэгч байх болно.

Одоо хоёр дахь дериватив ямар утгыг 0 болгохыг тооцоолъё:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Бид x = 3-ын хувьд функцийн график гулзайлтын цэгтэй байж болохыг олж мэдсэн. Үүнийг батлахын тулд бид гурав дахь нөхцөлийг ашигладаг:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 у (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , у (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Гурав дахь хангалттай нөхцөлөөр бид n = 4 байна. Энэ нь тэгш тоо бөгөөд энэ нь x \u003d 3 нь гулзайлтын цэгийн абсцисса байх ба функцийн графикийн цэг (3; 1) түүнд тохирно гэсэн үг юм.

Хариулт:Энэ функцийн гүдгэр, хотгор, гулзайлтын цэг бүхий графикийг энд үзүүлэв.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу