Хаана
бодит тоонууд ба - тусгай дүр гэж нэрлэдэг төсөөллийн нэгж . Төсөөллийн нэгжийн хувьд тодорхойлолтоор нь гэж үздэг
.

(4.1) – алгебрийн хэлбэр цогцолбор тоо, ба
дуудсан бодит хэсэг цогцолбор тоо, ба
-төсөөллийн хэсэг .

Тоо
дуудсан нарийн төвөгтэй коньюгат тоо руу
.

Хоёр комплекс тоо өгье
,
.

1. Дүн
нийлмэл тоо Тэгээд нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг

2. Ялгаагаар
нийлмэл тоо Тэгээд нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг

3. Ажил
нийлмэл тоо Тэгээд нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг

4. Хувийн нийлмэл тоог хуваахаас комплекс тоо руу
нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг

.

Тайлбар 4.1. Өөрөөр хэлбэл, комплекс тоон дээрх үйлдлүүдийг алгебр дахь шууд илэрхийлэл дээр хийх арифметик үйлдлийн ердийн дүрмийн дагуу нэвтрүүлдэг.

Жишээ 4.1.Нарийн төвөгтэй тоонууд өгөгдсөн. Хай

.

Шийдэл. 1) .

4) Тоолуур ба хуваагчийг хуваагчийн цогц коньюгатаар үржүүлбэл бид олж авна.

Тригонометрийн хэлбэр нийлмэл тоо:

Хаана
- комплекс тооны модуль,
нь комплекс тооны аргумент юм. Булан тодорхой нэр томъёо хүртэл тодорхойлогдоогүй
:

,
.

- нөхцөлөөр тодорхойлогддог аргументийн үндсэн утга

, (эсвэл
).

Үзүүлэн харуулах хэлбэр нийлмэл тоо:

.

Үндэс
тооны хүч Байгаа томъёогоор олддог өөр өөр утгууд

,

Хаана
.

Утгад тохирох оноо
, зөвийн оройнууд
радиустай тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжин
гарал үүсэл нь төвтэй.

Жишээ 4.2.Бүх үндсэн утгыг ол
.

Шийдэл.Нарийн төвөгтэй тоог төсөөлөөд үз дээ
тригонометрийн хэлбэрээр:

,

, хаана
.

Дараа нь
. Тиймээс (4.2) томъёоны дагуу
дөрвөн утгатай:

,
.

Итгэж байна
, бид олдог

,
,

, .

Энд бид аргументийн утгыг үндсэн утга болгон хөрвүүлэв.

Нарийн төвөгтэй хавтгайд тавигддаг

Цогцолбор тоо
онгоцон дээр дүрсэлсэн
цэг
координатуудтай
. Модуль
болон маргаан
цэгийн туйлын координаттай тохирч байна
.

Тэгш бус байдлыг санах нь зүйтэй
цэг дээр төвтэй тойргийг тодорхойлно радиус . Тэгш бус байдал
шулуун шугамын баруун талд байрлах хагас хавтгайг тодорхойлно
, тэгш бус байдал
- шулуун шугамаас дээш байрлах хагас хавтгай
. Үүнээс гадна тэгш бус байдлын систем
туяа хоорондын өнцгийг тогтооно
Тэгээд
гарал үүслээс үүдэлтэй.

Жишээ 4.3.Тэгш бус байдлаар тодорхойлсон талбайг зур.
.

Шийдэл.Эхний тэгш бус байдал нь цэг дээр төвтэй цагирагтай тохирч байна
ба хоёр радиус 1 ба 2, тойрог нь талбайд ороогүй болно (Зураг 4.1).

Хоёр дахь тэгш бус байдал нь туяа хоорондын өнцөгт тохирно
(4-р координатын өнцгийн биссектрис) ба
(эерэг тэнхлэгийн чиглэл
). Цацраг нь өөрөө бүс нутагт ордоггүй (Зураг 4.2).

Хүссэн талбай нь олж авсан хоёр талбайн огтлолцол юм (Зураг 4.3).

4.2. Комплекс хувьсагчийн функцууд

Нэг утгатай функцийг үзье
бүс нутагт тодорхойлогдсон, тасралтгүй
, А - хэсэгчлэн гөлгөр хаалттай эсвэл хаалттай бус чиглүүлсэн муруй хэвтэж байна
. Ердийнх шигээ,
,, Хаана
,
- хувьсагчийн бодит функцууд Тэгээд .

Функцийн интегралыг тооцоолох
цогц хувьсагч ердийн муруйн интегралыг тооцоолоход хүргэдэг, тухайлбал

.

Хэрэв функц бол
энгийн холбогдсон домайн дахь аналитик
, цэгүүдийг агуулсан Тэгээд , дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёо дараах байдалтай байна.

,

Хаана
- функцийн эсрэг дериватив
, тэр бол
бүсэд
.

Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн интегралд хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж болох бөгөөд хэсгүүдээр интегралдах нь бодит хувьсагчийн функцүүдийн интегралыг тооцоолохтой төстэй юм.

Хэрэв интеграцийн зам нь цэгээс гарч буй шугамын нэг хэсэг бол гэдгийг анхаарна уу , эсвэл нэг цэг дээр төвлөрсөн тойргийн хэсэг , дараа нь маягтыг хувьсагчаар солих нь ашигтай
. Эхний тохиолдолд
, А - бодит интеграцийн хувьсагч; хоёр дахь тохиолдолд
, А - бодит интеграцийн хувьсагч.

Жишээ 4.4.Тооцоол
параболоор
цэгээс
цэг хүртэл
(Зураг 4.4).

Шийдэл.Интегралыг хэлбэрээр дахин бичье Дараа нь , . (4.3) томъёог хэрэглэцгээе: Учир нь , Тэр , . Тийм ч учраас

Жишээ 4.5.Интегралыг тооцоолох
, Хаана - тойргийн нум
,
(Зураг 4.5) .

Шийдэл.гэж хэлье , Дараа нь , , . Бид авах:

Чиг үүрэг
, цагираг дахь нэг үнэ цэнэтэй, аналитик
, энэ цагирагт задардаг Лорентын цуврал

Томъёонд (4.5) цуваа
дуудсан гол хэсэг Лорентын цуврал ба цувралууд
дуудсан баруун хэсэг Лорентын цуврал.

Тодорхойлолт 4.1. Цэг дуудсантусгаарлагдсан ганц цэг функцууд
, Хэрэв функц нь энэ цэгийн хөрш байгаа бол
цэгээс бусад хаа сайгүй аналитик .

Чиг үүрэг
цэгийн ойролцоо Laurent цуврал болгон өргөжүүлж болно. Энэ тохиолдолд Лорент цувралын гурван өөр тохиолдол байж болно.

1) ялгааны сөрөг хүчинтэй нэр томъёо агуулаагүй болно
, тэр бол

(Лорэнтын цуврал нь үндсэн хэсгийг агуулаагүй). Энэ тохиолдолд дуудсан зөөврийн ганц цэг функцууд
;

2) ялгааны сөрөг хүчинтэй хязгаарлагдмал тооны нэр томъёог агуулна
, тэр бол

,

болон
. Энэ тохиолдолд гол зүйл дуудсан захиалгын туйл функцууд
;

3) сөрөг хүчинтэй хязгааргүй тооны нэр томъёо агуулсан:

.

Энэ тохиолдолд гол зүйл дуудсан үндсэндээ онцгой цэг функцууд
.

Тусгаарлагдсан ганц цэгийн шинж чанарыг тодорхойлохдоо Лорентын цувралын өргөтгөлийг хайх шаардлагагүй. Та тусгаарлагдсан ганц цэгүүдийн янз бүрийн шинж чанарыг ашиглаж болно.

1) нь функцийн зөөврийн ганц цэг юм
, хэрэв функцийн хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол
цэг дээр :

.

2) функцийн туйл юм
, Хэрэв

.

3) нь функцийн үндсэндээ онцгой цэг юм
, хэрэв цагт
Функц нь хязгааргүй, хязгааргүй, төгсгөлгүй.

Тодорхойлолт 4.2. Цэг дуудсантэг
эхний захиалга (эсвэл олон талт байдал ) функцууд
, хэрэв дараах нөхцөл хангагдсан бол:

…,

.

Тайлбар 4.2. Цэг хэрэв зөвхөн тэг бол
эхний захиалга функцууд
, энэ цэгийн зарим хөршид тэгш байдал хангагдсан үед

,

функц хаана байна
цэг дээр аналитик Тэгээд

4) цэг дэг журмын туйл юм (
) функцууд
, хэрэв энэ цэг тэг дарааллаар байвал функцийн хувьд
.

5) зөвшөөрөх - функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг
, Хаана
- цэг дээрх аналитик функцууд . Тэгээд санаагаа хэлье тэг дараалал байна функцууд
ба тэг дараалал функцууд
.

At
цэг дэг журмын туйл юм
функцууд
.

At
цэг нь функцын зөөврийн ганц цэг юм
.

Жишээ 4.6.Тусгаарлагдсан цэгүүдийг олж, функцийн төрлийг тодорхойлно
.

Шийдэл.Функцүүд
Тэгээд
- бүхэл бүтэн цогц хавтгайд аналитик. Энэ нь функцийн онцгой цэгүүд гэсэн үг юм
нь хуваагчийн тэг, өөрөөр хэлбэл хаана байгаа цэгүүд юм
. Ийм цэгүүд хязгааргүй олон байдаг. Юуны өмнө энэ бол санаа юм
, түүнчлэн тэгшитгэлийг хангах цэгүүд
. Эндээс
Тэгээд
.

Гол санааг анхаарч үзээрэй
. Энэ үед бид:

,
,

,
.

Тэгийн дараалал нь
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Тиймээс, хугацаа
хоёр дахь эрэмбийн туйл (
).

. Дараа нь

,
.

Тэг тоологчийн дараалал нь
.

,
,
.

Хувагчийн тэгийн дараалал нь
. Тиймээс оноо
цагт
Эхний эрэмбийн туйлууд ( энгийн шон ).

Теорем 4.1. (Үлдэгдэл дээрх Коши теорем ). Хэрэв функц бол
хил дээр аналитик юм бүс нутаг
хязгаарлагдмал тооны ганц цэгээс бусад бүс нутгийн хаа сайгүй
, Тэр

.

Интегралыг тооцоолохдоо функцийн бүх онцгой цэгүүдийг сайтар олох нь зүйтэй
, дараа нь контур болон ганц цэгүүдийг зурж, дараа нь зөвхөн нэгтгэх контур дотор байрлах цэгүүдийг сонгоно. Зураггүйгээр зөв сонголт хийх нь ихэвчлэн хэцүү байдаг.

Суутгал тооцох арга
ганц цэгийн төрлөөс хамаарна. Тиймээс үлдэгдлийг тооцоолохын өмнө та онцгой цэгийн төрлийг тодорхойлох хэрэгтэй.

1) цэг дэх функцийн үлдэгдэл Лорентын тэлэлт дэх эхний градусыг хассан коэффициенттэй тэнцүү
цэгийн ойролцоо :

.

Энэ мэдэгдэл нь бүх төрлийн тусгаарлагдсан цэгүүдэд үнэн байдаг тул энэ тохиолдолд ганц цэгийн төрлийг тодорхойлох шаардлагагүй болно.

2) зөөврийн ганц цэг дэх үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү байна.

3) хэрэв нь энгийн туйл (эхний эрэмбийн туйл), функц
хэлбэрээр төлөөлж болно
, Хаана
,
(энэ тохиолдолд анхаарна уу
), дараа нь үлдэгдэл цэг дээр байна тэнцүү байна

.

Ялангуяа, хэрэв
, Тэр
.

4) хэрэв - тэгвэл энгийн шон

5) хэрэв - туйл
дарааллын функц
, Тэр

Жишээ 4.7.Интегралыг тооцоолох
.

Шийдэл.Интегралын ганц цэгүүдийг олох . Чиг үүрэг хоёр онцгой цэгтэй Тэгээд Контур дотор зөвхөн нэг цэг унадаг (Зураг 4.6). Цэг - хоёр дахь эрэмбийн туйл, оноос хойш функцийн хувьд 2-ын олон тооны тэг юм .

Дараа нь (4.7) томъёог ашиглан бид энэ цэг дэх үлдэгдлийг олно.

Теорем 4.1-ээр бид олдог

Холбооны боловсролын агентлаг

___________________________________

Санкт-Петербург муж

"LETI" цахилгаан техникийн их сургууль

_______________________________________

Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн онол

Удирдамж

практик хичээлүүд рүү

дээд математикт

Санкт-Петербург

SPbSETU "LETI" хэвлэлийн газар

UDC 512.64(07)

TFKP: Асуудлыг шийдвэрлэх арга зүйн заавар: В.Г. Дюмин, А.М., Н.Сосновский: Санкт-Петербургийн цахилгаан техникийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2010. 32 х.

Зөвшөөрсөн

Их сургуулийн редакц, хэвлэлийн зөвлөл

зэрэг арга зүйн заавар

© SPbSETU "LETI", 2010

Нийтлэг хувьсагчийн функцууд нь ерөнхий тохиолдолд бодит хавтгайн зураглалаас ялгаатай байдаг.
өөрөө зөвхөн бичлэгийн хэлбэрээр. Чухал бөгөөд маш хэрэгтэй объект бол нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн ангилал юм.

нэг хувьсагчийн функцтэй ижил деривативтай. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд нь хэсэгчилсэн дериватив ба чиглэлтэй деривативтай байдаг нь мэдэгдэж байгаа боловч дүрмээр бол деривативтай холбоотой байдаг. өөр өөр чиглэлүүддавхцахгүй бөгөөд деривативын талаар нэг цэг дээр ярих боломжгүй. Гэсэн хэдий ч, нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн хувьд тэдгээрийг ялгах боломжийг олгодог нөхцөлийг тайлбарлах боломжтой. Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн ялгах функцүүдийн шинж чанарыг судлах нь арга зүйн зааврын агуулга юм. Энэхүү заавар нь ийм функцүүдийн шинж чанарыг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах зорилготой юм. Үзүүлсэн материалыг амжилттай эзэмших нь нийлмэл тоогоор тооцоолох үндсэн ур чадвар, нийлмэл тооны бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг холбосон тэгш бус байдлын үүднээс тодорхойлсон хамгийн энгийн геометрийн объектуудтай танилцахгүйгээр боломжгүй юм. Үүнд шаардлагатай бүх мэдээллийн хураангуйг удирдамжаас олж болно.

Математик шинжилгээний стандарт аппарат: хязгаар, дериватив, интеграл, цувралыг удирдамжийн текстэд өргөн ашигладаг. Эдгээр ойлголтууд нь өөрийн гэсэн онцлогтой бол нэг хувьсагчийн функцтэй харьцуулахад зохих тайлбарыг өгдөг боловч ихэнх тохиолдолд бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салгаж, бодит шинжилгээний стандарт хэрэгслийг ашиглахад хангалттай.

1. Комплекс хувьсагчийн элементар функцууд

Цогц хувьсагчийн функцүүдийн ялгах нөхцлийн тухай яриаг ямар элементар функцүүд ийм шинж чанартай болохыг олж мэдэх замаар эхлүүлэх нь зүйн хэрэг юм. Илэрхий харилцаанаас

Үүнээс үзэхэд аливаа олон гишүүнт ялгах боломжтой. Мөн чадлын цувааг нийлэх тойрог дотор нэр томъёогоор нь ялгаж болох тул,

тэгвэл аль ч функцийг Тейлорын цувралд өргөтгөх боломжтой ойролцоох цэгүүдэд ялгах боломжтой. Энэ бол хангалттай нөхцөл боловч удахгүй тодорхой болох тул зайлшгүй шаардлагатай. Функцийн графикийн үйл ажиллагааг хянах замаар нэг хувьсагчийн функцийг деривативтай нь судлахад дэмжлэг үзүүлэх нь тохиромжтой. Энэ нь нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн хувьд боломжгүй юм. Графикийн цэгүүд нь хэмжээст 4, .

Гэсэн хэдий ч нарийн төвөгтэй хавтгай дахь нэлээд энгийн олонлогуудын зургийг авч үзэх замаар функцийн зарим график дүрслэлийг олж авч болно.
, өгөгдсөн функцийн нөлөөн дор үүсдэг. Жишээлбэл, энэ үүднээс хэд хэдэн энгийн функцуудыг авч үзье.

Шугаман функц

Аливаа дифференциал функц нь шугаман функцтэй орон нутгийн хувьд төстэй байдаг тул энэ энгийн функц маш чухал юм. Функцийн үйлдлийг хамгийн их нарийвчлан авч үзье

Энд
-- комплекс тооны модуль Тэгээд -- түүний аргумент. Тиймээс шугаман функц нь суналт, эргэлт, орчуулгыг гүйцэтгэдэг. Тиймээс шугаман зураглал нь ямар ч олонлогийг ижил төстэй олонлог болгон авдаг. Ялангуяа шугаман зураглалын нөлөөгөөр шулуун шугамууд шулуун, тойрог нь тойрог болж хувирдаг.

Чиг үүрэг

Энэ функц нь шугаман дараачийн хамгийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь ямар ч шугамыг шулуун шугам болгон хувиргана гэж хүлээхэд хэцүү бөгөөд тойргийг тойрог болгон хувиргах нь тийм биш гэдгийг энгийн жишээнүүд харуулж байна, гэхдээ энэ функц нь бүх шугам, тойргийн багцыг хувиргадаг болохыг харуулж байна; өөрөө. Үүнийг шалгахын тулд зураглалын бодит (координат) тайлбар руу очих нь тохиромжтой

Нотолгоо нь урвуу зураглалын тайлбарыг шаарддаг

Хэрэв тэгшитгэлийг авч үзье
, дараа нь бид шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг авна. Хэрэв
, Тэр

Тиймээс, хэзээ
дурын тойргийн тэгшитгэл гарна.

гэдгийг анхаарна уу
Тэгээд
, дараа нь тойрог эхийг дайран өнгөрнө. Хэрэв
Тэгээд
, тэгвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг авна.

Инверсийн үйл ажиллагааны дор авч үзэж буй тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичих болно

, (
)

эсвэл . Энэ нь тойрог эсвэл шулуун шугамын аль нэгийг дүрсэлсэн тэгшитгэл гэдгийг харж болно. Энэ нь тэгшитгэл дэх коэффициентүүд Тэгээд
солигдсон газрууд нь урвуу эргэлтийн үед 0-ийг дайран өнгөрч буй шулуунууд тойрог болж, 0-ийг дайран өнгөрч буй тойрог шулуун шугам болж хувирна гэсэн үг юм.

Эрчим хүчний функцууд

Эдгээр функцүүдийн өмнө дурдсан функцүүдээс гол ялгаа нь тэдгээр нь нэгдмэл биш юм (
). Бид функц гэж хэлж болно
нарийн төвөгтэй хавтгайг нэг хавтгайн хоёр хуулбар болгон хувиргадаг. Энэ сэдвийг зөв боловсруулахын тулд Риманы гадаргуугийн нүсэр төхөөрөмжийг ашиглах шаардлагатай бөгөөд энд авч үзсэн асуудлын хүрээнээс давж гардаг. Нарийн төвөгтэй хавтгайг салбар болгон хувааж, тус бүрийг цогц хавтгайд нэг нэгээр нь буулгаж болно гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Энэ бол функцийн задаргаа юм
Жишээ нь, дээд хагас хавтгай нь функцээр нэг нэгээр нь цогц хавтгайд дүрслэгдсэн байна
. Ийм зургуудын геометрийн гажуудлыг урвуу байдлаар тайлбарлахаас илүү хэцүү байдаг. Дасгалын хувьд та дээд талын хагас хавтгайн тэгш өнцөгт координатын сүлжээг харуулах үед юу болж хувирч байгааг ажиглаж болно.

Тэгш өнцөгт координатын тор нь хавтгайд муруй шугаман координатын системийг бүрдүүлдэг параболын гэр бүл болж хувирч байгааг харж болно.
. Дээр тайлбарласан онгоцны хуваалт нь ийм функц юм
тус бүрийг харуулдаг салбаруудыг бүхэлд нь хавтгайд . Урагш ба урвуу зураглалын тайлбар иймэрхүү харагдаж байна

Тиймээс функц
Байгаа янз бүрийн урвуу функцууд,

онгоцны янз бүрийн салбарт тодорхойлсон

Ийм тохиолдолд зураглалыг олон хуудас гэж нэрлэдэг.

Жуковскийн функц

Жуковскийн бүтээсэн онгоцны далавчны онолын үндэс болсон тул функц нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг (энэ дизайны тайлбарыг номноос олж болно). Функц нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг тул тэдгээрийн аль нэгэнд нь анхаарлаа хандуулцгаая - энэ функц аль багц дээр нэг нэгээр ажилладаг болохыг олж мэдээрэй. Тэгш байдлыг анхаарч үзээрэй

, хаана
.

Тиймээс Жуковскийн функц нь аль ч домэйнд нэгийг харьцдаг Тэгээд тэдний бүтээгдэхүүн нэгтэй тэнцүү биш байна. Эдгээр нь жишээлбэл, нээлттэй нэгжийн тойрог юм
мөн хаалттай нэгж тойргийн нэмэлт
.

Жуковскийн функцын тойрог дээрх үйлдлийг авч үзье

Бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салгаснаар бид эллипсийн параметрийн тэгшитгэлийг олж авна

,
.

Хэрэв
, дараа нь эдгээр эллипсүүд хавтгайг бүхэлд нь дүүргэнэ. Сегментийн дүрс нь гипербол байгаа эсэхийг ижил аргаар шалгаж болно

.

Экспоненциал функц

Функцийг бүхэл бүтэн цогц хавтгайд нийлдэг хүчний цуваа болгон өргөжүүлж болох тул хаа сайгүй ялгах боломжтой; Функц нь нэгийг харьцах олонлогуудыг тайлбарлая. Илэрхий тэгш байдал
Энэ нь онгоцыг бүхэл бүтэн хавтгайд функцээр нэг нэгээр нь дүрсэлсэн туузан гэр бүлд хувааж болохыг харуулж байна. Энэ хуваалт нь урвуу функц хэрхэн ажилладагийг илүү нарийвчлалтай ойлгоход зайлшгүй шаардлагатай урвуу функцууд. Туузан тус бүр дээр байгалийн урвуу зураглал байдаг

Энэ тохиолдолд урвуу функц нь олон валент бөгөөд урвуу функцүүдийн тоо хязгааргүй юм.

Газрын зургийн геометрийн тодорхойлолт нь маш энгийн: шулуун шугамууд
туяа болж хувирна
, сегментүүд

тойрог болж хувирна
.

Комплекс хувьсагчийн функцууд.
Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн ялгаа.

Энэ нийтлэл нь миний авч үзэх цуврал хичээлүүдийг эхлүүлж байна ердийн даалгавар, нийлмэл хувьсагчийн функцын онолтой холбоотой. Жишээнүүдийг амжилттай эзэмшихийн тулд танд байх ёстой үндсэн мэдлэгкомплекс тоонуудын тухай. Материалыг нэгтгэх, давтахын тулд хуудас руу зочлоорой. Мөн олохын тулд танд ур чадвар хэрэгтэй болно хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив. Энд байна, эдгээр хэсэгчилсэн деривативууд ... одоо ч гэсэн тэд хэр олон удаа тохиолддогийг би бага зэрэг гайхсан ...

Бидний судалж эхэлж буй сэдэв нь ямар нэгэн хүндрэл учруулахгүй бөгөөд нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцэд зарчмын хувьд бүх зүйл ойлгомжтой, хүртээмжтэй байдаг. Хамгийн гол нь миний туршилтаар олж авсан үндсэн дүрмийг дагаж мөрдөх явдал юм. Үргэлжлүүлэн уншина уу!

Комплекс хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт

Эхлээд нэг хувьсагчийн сургуулийн функцын талаарх мэдлэгээ сэргээцгээе.

Нэг хувьсагч функцЭнэ нь бие даасан хувьсагчийн утга бүр (тодорхойлолтын мужаас) функцийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг утгатай тохирдог дүрэм юм. Мэдээжийн хэрэг, "x" ба "y" нь бодит тоо юм.

Нарийн төвөгтэй тохиолдолд функциональ хамаарлыг дараахь байдлаар тодорхойлно.

Комплекс хувьсагчийн нэг утгатай функц- энэ бол хүн бүрийн дагаж мөрддөг дүрэм юм цогцбие даасан хувьсагчийн утга (тодорхойлолтын домэйноос) нь зөвхөн нэгтэй тохирч байна цогцфункцийн утга. Онол нь олон утгатай болон бусад зарим төрлийн функцуудыг авч үздэг боловч энгийн байх үүднээс би нэг тодорхойлолт дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Комплекс хувьсагчийн функцийн ялгаа нь юу вэ?

Гол ялгаа: комплекс тоо. Би шоолж байгаа юм биш. Ийм асуултууд ихэвчлэн хүмүүсийг тэнэг байдалд оруулдаг. Өгүүллийн төгсгөлд би танд хөгжилтэй түүх ярих болно. Хичээл дээр Даммигийн нийлмэл тообид цогц тоог хэлбэрээр авч үзсэн. Одооноос хойш "z" үсэг болжээ хувьсагч, дараа нь бид үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэх болно: , харин "x" болон "y" нь өөр байж болно хүчинтэйутга. Товчоор хэлбэл, нийлмэл хувьсагчийн функц нь "ердийн" утгыг авдаг хувьсагч ба -аас хамаардаг. Энэ баримтаас дараах зүйл логикоор гарч байна.

Комплекс хувьсагчийн функцийг дараах байдлаар бичиж болно.
, энд ба нь хоёрын хоёр функц юм хүчинтэйхувьсагч.

Функцийг дууддаг бодит хэсэгфункцууд
Функцийг дууддаг төсөөллийн хэсэгфункцууд

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл хувьсагчийн функц нь хоёр бодит функцээс хамаардаг ба . Эцэст нь бүх зүйлийг тодруулахын тулд практик жишээг харцгаая.

Жишээ 1

Шийдэл:Бие даасан хувьсагч "zet" нь таны санаж байгаагаар хэлбэрээр бичигдсэн байдаг тул:

(1) Бид орлуулсан.

(2) Эхний нэр томъёоны хувьд товчилсон үржүүлэх томъёог ашигласан. Хугацааны хувьд хаалт нээгдсэн байна.

(3) Үүнийг мартаж болохгүй болгоомжтой квадрат

(4) Нэр томъёоны өөрчлөлт: эхлээд бид нэр томъёог дахин бичнэ , ямар ч төсөөллийн нэгж байхгүй(эхний бүлэг), дараа нь байгаа нэр томъёо (хоёр дахь бүлэг). Нөхцөлүүдийг холих шаардлагагүй бөгөөд энэ алхамыг алгасаж болно (үнэндээ үүнийг амаар хийх замаар).

(5) Хоёрдахь бүлгийн хувьд бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авдаг.

Үүний үр дүнд бидний функц хэлбэрээр дүрслэгдсэн байна

Хариулт:
- функцийн бодит хэсэг.
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Эдгээр нь ямар төрлийн функцууд болж хувирсан бэ? Та ийм алдартай олж болох хоёр хувьсагчийн хамгийн энгийн функцууд хэсэгчилсэн дериватив. Өршөөлгүйгээр бид үүнийг олох болно. Гэхдээ жаахан дараа.

Товчхондоо, шийдэгдсэн асуудлын алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно: бид анхны функцийг орлуулж, хялбаршуулж, бүх нэр томъёог хоёр бүлэгт хуваадаг - төсөөллийн нэгжгүйгээр (бодит хэсэг) болон төсөөллийн нэгжтэй (төсөөлөл хэсэг) .

Жишээ 2

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгийг ол

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Нарийн төвөгтэй онгоцон дээр даам бариад тулалдаанд орохоосоо өмнө хамгийн ихийг нь өгье чухал зөвлөгөөэнэ сэдвээр:

АНХААРУУЛГА!Мэдээжийн хэрэг та хаа сайгүй болгоомжтой байх хэрэгтэй, гэхдээ нарийн төвөгтэй тоогоор та урьд өмнөхөөсөө илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй! Хаалтанд болгоомжтой нээж, юу ч бүү алдаарай гэдгийг санаарай. Миний ажигласнаар хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдэг алдагдах явдал юм. Битгий яар!

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Одоо шоо. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг гаргаж авна.
.

Томъёо нь практикт хэрэглэхэд маш тохиромжтой, учир нь тэдгээр нь шийдлийн процессыг ихээхэн хурдасгадаг.

Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн ялгаа.

Надад сайн, муу гэсэн хоёр мэдээ байна. Би сайнаас нь эхэлье. Комплекс хувьсагчийн функцийн хувьд ялгах дүрэм, элементар функцын деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Иймээс дериватив нь бодит хувьсагчийн функцтэй яг ижил аргаар авдаг.

Муу мэдээ гэвэл олон нийлмэл хувьсах функцүүдийн хувьд дериватив огт байдаггүй бөгөөд та үүнийг олох хэрэгтэй. ялгах боломжтой юунэг эсвэл өөр функц. Мөн таны зүрх сэтгэл ямар байгааг "ойлгох" нь нэмэлт асуудалтай холбоотой юм.

Комплекс хувьсагчийн функцийг авч үзье. Энэ функцийг ялгахын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

1) Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг. Эдгээр тэмдэглэгээг нэн даруй мартаарай, учир нь нийлмэл хувьсагчийн функцын онолд уламжлалт байдлаар өөр тэмдэглэгээг ашигладаг. .

2) гэж нэрлэгддэг зүйлийг хэрэгжүүлэх Коши-Риманы нөхцөл:

Зөвхөн энэ тохиолдолд дериватив байх болно!

Жишээ 3

Шийдэлдараалсан гурван үе шатанд хуваагдана:

1) Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг олцгооё. Энэ ажлыг өмнөх жишээнүүдэд авч үзсэн тул би тайлбаргүйгээр бичих болно.

Түүнээс хойш:

Тиймээс:

- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Би өөр нэг техникийн асуудалд анхаарлаа хандуулъя: ямар дарааллаарбодит болон зохиомол хэсэгт нэр томъёог бичнэ үү? Тиймээ, зарчмын хувьд энэ нь хамаагүй. Жишээлбэл, бодит хэсгийг дараах байдлаар бичиж болно. , мөн төсөөлөлтэй нь - иймэрхүү: .

2) Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая. Тэдний хоёр нь бий.

Нөхцөл байдлыг шалгаж эхэлцгээе. Бид олдог хэсэгчилсэн дериватив:

Тиймээс нөхцөл хангагдсан байна.

Мэдээжийн хэрэг, сайн мэдээ гэвэл хэсэгчилсэн дериватив нь бараг үргэлж маш энгийн байдаг.

Бид хоёр дахь нөхцлийн биелэлтийг шалгана.

Үр дүн нь адилхан, гэхдээ эсрэг шинж тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл нөхцөл нь бас биелдэг.

Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан тул функцийг ялгах боломжтой.

3) Функцийн деривативыг олъё. Дериватив нь маш энгийн бөгөөд ердийн дүрмийн дагуу олддог.

Ялгах үед төсөөллийн нэгжийг тогтмол гэж үздэг.

Хариулт: - бодит хэсэг, - төсөөллийн хэсэг.
Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан, .

Деривативыг олох өөр хоёр арга бий, тэдгээр нь мэдээжийн хэрэг бага ашиглагддаг, гэхдээ мэдээлэл нь хоёр дахь хичээлийг ойлгоход хэрэгтэй болно. Комплекс хувьсагчийн функцийг хэрхэн олох вэ?

Деривативыг дараах томъёогоор олж болно.

IN энэ тохиолдолд:

Тиймээс

Бид урвуу асуудлыг шийдэх ёстой - үр дүнгийн илэрхийлэлд бид тусгаарлах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд нэр томъёо болон хаалтны гадна талд шаардлагатай:

Урвуу үйлдлийг олон хүмүүсийн анзаарсанчлан шалгах нь арай илүү хэцүү байдаг тул ноорог дээрх илэрхийлэлийг авах эсвэл хаалтуудыг амаар нээж, үр дүн нь яг байгаа эсэхийг шалгаарай;

Дериватив олох толин тусгал томъёо:

Энэ тохиолдолд: , Тийм учраас:

Жишээ 4

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан бол функцийн деривативыг ол.

Хичээлийн төгсгөлд богино шийдэл, эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Коши-Риманы нөхцөл үргэлж хангагдсан уу? Онолын хувьд тэдгээр нь биелэхээсээ илүү олон удаа биелдэггүй. Гэхдээ дотор практик жишээнүүдТэдгээр нь биелэгдээгүй тохиолдлыг би санахгүй байна =) Тиймээс, хэрэв таны хэсэгчилсэн деривативууд "нэгдэхгүй" бол маш өндөр магадлалтайгаар та хаа нэгтээ алдаа гаргасан гэж хэлж болно.

Функцуудаа төвөгтэй болгоцгооё:

Жишээ 5

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тооцоол

Шийдэл:Шийдлийн алгоритм нь бүрэн хадгалагдсан боловч төгсгөлд шинэ цэг нэмэгдэх болно: нэг цэгээс деривативыг олох. Кубын хувьд шаардлагатай томъёог аль хэдийн гаргаж авсан болно:

Энэ функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлъё.

Анхаарал, дахин анхаарал!

Түүнээс хойш:


Тиймээс:
- функцийн бодит хэсэг;
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Хоёр дахь нөхцлийг шалгаж байна:

Үр дүн нь ижил, гэхдээ эсрэг шинж тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл нөхцөл нь бас биелдэг.

Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан тул функцийг ялгах боломжтой:

Шаардлагатай цэг дээр деривативын утгыг тооцоолъё.

Хариулт:, , Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан,

Шоо дөрвөлжин хэлбэртэй функцууд нийтлэг байдаг тул бататгах жишээ энд байна:

Жишээ 6

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тооцоол.

Хичээлийн төгсгөлд дуусгах шийдэл ба жишээ.

Онолын хувьд цогц дүн шинжилгээНарийн төвөгтэй аргументийн бусад функцийг мөн тодорхойлсон: экспонент, синус, косинус гэх мэт. Эдгээр функцууд нь ер бусын, бүр хачирхалтай шинж чанартай байдаг - энэ нь үнэхээр сонирхолтой юм! Би танд хэлэхийг үнэхээр хүсч байна, гэхдээ энд лавлах ном эсвэл сурах бичиг биш, харин шийдлийн ном байгаа тул зарим нийтлэг функцтэй ижил асуудлыг авч үзэх болно.

Эхлээд гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар Эйлерийн томъёо:

Хэнд ч зориулав хүчинтэйтоо, дараах томъёонууд хүчинтэй байна:

Та үүнийг дэвтэртээ лавлах материал болгон хуулж болно.

Хатуухан хэлэхэд зөвхөн нэг томьёо байдаг, гэхдээ ихэвчлэн ая тухтай байлгах үүднээс экспонент дахь хасах тэмдэгтэй тусгай тохиолдлыг бичдэг. Параметр нь нэг үсэг байх албагүй, энэ нь нарийн төвөгтэй илэрхийлэл эсвэл функц байж болно, зөвхөн тэдгээрийг хүлээн зөвшөөрөх нь чухал юм зөвхөн хүчинтэйутга. Үнэндээ бид үүнийг яг одоо харах болно:

Жишээ 7

Деривативыг ол.

Шийдэл:Намын ерөнхий шугам нь хөдлөшгүй хэвээр байна - функцийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг ялгах шаардлагатай. Би дэлгэрэнгүй шийдлийг өгч, доорх алхам бүрийн талаар тайлбар өгөх болно.

Түүнээс хойш:

(1) Оронд нь "z"-г орлуулна уу.

(2) Орлуулсны дараа та бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг сонгох хэрэгтэй үзүүлэлтийн эхнийхүзэсгэлэнд оролцогчид. Үүнийг хийхийн тулд хаалтуудыг нээнэ үү.

(3) Бид индикаторын төсөөллийн хэсгийг бүлэглэж, төсөөллийн нэгжийг хаалтанд байрлуулна.

(4) Бид сургуулийн үйлдлийг зэрэгтэй ашигладаг.

(5) Үржүүлэгчийн хувьд бид Эйлерийн томьёог ашигладаг ба .

(6) Хаалтуудыг нээснээр:

- функцийн бодит хэсэг;
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Цаашдын үйлдлүүд нь стандарт бөгөөд Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая:

Жишээ 9

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тиймээс бид деривативыг олохгүй.

Шийдэл:Шийдлийн алгоритм нь өмнөх хоёр жишээтэй маш төстэй боловч маш их байдаг чухал цэгүүд, Тийм учраас Эхний шатБи алхам алхмаар дахин тайлбар хийх болно:

Түүнээс хойш:

1) Оронд нь "z"-г орлуулна уу.

(2) Эхлээд бид бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг сонгоно синусын дотор. Эдгээр зорилгын үүднээс бид хаалтуудыг нээдэг.

(3) Бид томъёог ашигладаг, ба .

(4) Бид ашигладаг гипербол косинусын паритет: Тэгээд гиперболын синусын хачин байдал: . Гиперболи нь хэдийгээр энэ ертөнцөөс гарсан боловч олон талаараа ижил төстэй тригонометрийн функцуудыг санагдуулдаг.

Эцэст нь:
- функцийн бодит хэсэг;
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Анхаар!Хасах тэмдэг нь төсөөллийн хэсгийг хэлдэг бөгөөд ямар ч тохиолдолд бид үүнийг алдах ёсгүй! Учир нь харааны дүрслэлДээрх үр дүнг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая:

Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан.

Хариулт:, , Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан.

Эрхэм ноёд хатагтай нар аа, бид өөрсдөө шийдье.

Жишээ 10

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойл. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу.

Би зориуд илүү хэцүү жишээнүүдийг сонгосон, учир нь хүн бүр хальсалсан самар гэх мэт зүйлийг даван туулах чадвартай байдаг. Үүний зэрэгцээ та анхаарлаа төвлөрүүлэх болно! Хичээлийн төгсгөлд самрын жигнэмэг.

Эцэст нь хэлэхэд би дахиад нэгийг авч үзэх болно сонирхолтой жишээ, нийлмэл аргумент нь хуваарьт байгаа үед. Практикт энэ нь хэд хэдэн удаа тохиолдсон тул энгийн зүйлийг харцгаая. Өө, би хөгширч байна ...

Жишээ 11

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойл. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу.

Шийдэл:Дахин хэлэхэд функцын бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг ялгах шаардлагатай.
Хэрэв бол

Хуваарьт "Z" байвал яах вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Бүх зүйл энгийн - стандарт нь туслах болно нийлмэл илэрхийллээр тоо болон хуваагчийг үржүүлэх арга, үүнийг аль хэдийн хичээлийн жишээнүүдэд ашигласан Даммигийн нийлмэл тоо. Санаж үзье сургуулийн томъёо. Бид хуваагчдаа аль хэдийн байгаа бөгөөд энэ нь нийлмэл илэрхийлэл байх болно гэсэн үг юм. Тиймээс та тоологч ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Лекц №4.

Геометрийн хувьд комплекс хувьсагчийн функц w=f(z) тодорхой багцын дэлгэцийг зааж өгнө z– тодорхой багц руу нисэх онгоц w- онгоц. Цэг wÎ Гдуудсан арга зам оноо zхаруулах үед w=f(z), цэг zÎ Д – прототип оноо w.

Хэрэв хүн бүр zзөвхөн нэг утга таарч байна w=f(z), дараа нь функц дуудагдана хоёрдмол утгагүй (w=|z|,w=,w= Re zгэх мэт) Хэрэв зарим нь zнэгээс олон утгатай таарч байна w, функцийг дуудна полисмантик (w=Арг z).

Хэрэв (жишээ нь тухайн бүс нутгийн янз бүрийн цэгүүдэд Дфункц авдаг өөр өөр утгатай), дараа нь функц w=е(z) гэж нэрлэдэг нэгдмэл бүсэд Д.

Өөрөөр хэлбэл, univalent функц w=е(z) талбайг нэг нэгээр нь зураглана Ддээр Г. Нэг хуудас дэлгэцтэй w=е(z) дурын цэгийн урвуу дүрс wÎ Гнэг элементээс бүрдэнэ: : . Тийм ч учраас zхувьсагчийн функц гэж үзэж болно w, дээр тодорхойлсон Г. Үүнийг томилж, дууддаг урвуу функц .

Хэрэв тухайн бүсэд байгаа бол Ддагуу байдаг ядаж, нэг хос цэг, дараа нь функц е(z) гэж нэрлэдэг олон навчит бүсэд Д.

Хэрэв харуулах бол w=е(z) олон навчтай Д(Жишээлбэл, w=z n), дараа нь энэ тохиолдолд зарим утгууд wÎ Гнэгээс илүү оноотой таарч байна zÎ Д:е(z)=w. Тиймээс урвуу зураглал нь нэг утгатай биш, олон утгатай функц юм.

Талбай дээрх нэг оронтой тоо Дфункц w=е(z) гэж нэрлэдэг олон утгат функцийн салбарФ, хэрэв үнэ цэнэ еямар ч үед zÎ Дутгуудын аль нэгэнд таарч байна Фэнэ үед.

Олон утгатай функцийн нэг утгатай салбаруудыг тусгаарлахын тулд дараах байдлаар ажиллана уу: талбар ДФункцуудыг нэгдмэл байдлын мужид хуваа w=е(z) бүс нутгуудын аль нь ч нийтлэг дотоод цэггүй байхаар, цэг тус бүрээр zÎ Дэдгээрийн аль нэгэнд нь буюу заримынх нь хилийн бүсэд харьяалагддаг байсан. Эдгээр нэгдмэл байдлын муж бүрт урвуу функц тодорхойлогддог w=е(z). Энэ нь олон утгатай функцийн нэг утгатай салбар юм.

Конформын зураглалын тухай ойлголт

Жишээ.Нэг цэгийн суналтын коэффициент ба эргэлтийн өнцгийг ол z=2бихаруулах үед.

■ Деривативыг олох өгөгдсөн цэг дэх түүний үнэ цэнэ .

Сунгах харьцаа кдеривативын модультай тэнцүү: .

Эргэлтийн өнцөг jдеривативын аргументтай тэнцүү байна. Гол нь дөрөвдүгээр улиралд оршдог тул . ■

Жишээ 3.5.Онгоцны аль хэсгийг харуулах үед тодорхойл w=z 2 нь сунгасан, аль нь шахагдсан байна.

■ Деривативыг олох w¢=2 z. Аливаа цэгийн хурцадмал байдлын хүчин зүйл zтэнцүү байна к=|w¢( z)|=2|z|. Нарийн төвөгтэй хавтгай дахь цэгүүдийн багц к>1, энэ нь 2| z|>1 эсвэл , харуулах үед сунадаг хавтгайн хэсгийг бүрдүүлдэг. Тиймээс харуулахдаа w=z 2, тойргийн гадна талыг сунгаж, дотор нь шахаж байна. ■

Дэлгэц w=е(z) гэж нэрлэдэг нийцтэй (өөрөөр хэлбэл хэлбэрээ хадгалдаг) хэрэв энэ нь муруй хоорондын өнцгийг хадгалж, тухайн цэгийн ойр орчмын байнгын өргөтгөлийн шинж чанартай бол цэг дээр.

Аналитик функцээр тогтоосон аливаа зураглал е(z) бүх цэгүүдэд тохирно.

Зураглал гэж нэрлэдэг бүс нутагт нийцтэй , хэрэв энэ бүс нутгийн цэг бүрт тохиромжтой байвал.

Өнцгийн лавлах чиглэл хадгалагдсан конформ зураглалыг гэнэ Эхний төрлийн конформ зураглал . Өнцгийн чиглэлийг эргүүлэх конформ зураглал гэж нэрлэдэг ΙΙ төрлийн конформын зураглал (Жишээлбэл, ).

Конформын зураглалын онол, практикт хоёр асуудал тавигдаж, шийдэгддэг.

Эхний ажил бол өгөгдсөн зураглалын дор өгөгдсөн шугам эсвэл талбайн дүрсийг олох явдал юм. шууд даалгавар .

Хоёр дахь нь өгөгдсөн шугам эсвэл талбайг өөр өгөгдсөн шугам эсвэл талбай руу буулгах функцийг олох явдал юм. урвуу асуудал .

Шууд асуудлыг шийдвэрлэхдээ цэгийн дүрсийг харгалзан үздэг zхаруулах үед 0 байна w=е(z) цэг юм w 0, ийм байна w 0 =е(z 0), өөрөөр хэлбэл орлуулалтын үр дүн z 0 инч е(z). Тиймээс олонлогийн дүрсийг олохын тулд хоёр хамаарлаас бүрдэх системийг шийдэх хэрэгтэй. Тэдгээрийн нэг нь зураглалын функцийг тодорхойлдог w=е(z), нөгөө нь шугамын дүрсийг олох асуудлыг шийдэж байгаа бол шугамын тэгшитгэл, эсвэл талбайн зураглалын асуудлыг шийдэж байгаа бол урвуу зургийн цэгүүдийн багцыг тодорхойлох тэгш бус байдал юм. Аль ч тохиолдолд шийдлийн процедур нь хувьсагчийг арилгах хүртэл буурдаг zөгөгдсөн хоёр харьцаанаас.

Дүрэм 3.3.Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамын дүрсийг олох Ф(x,y)=0 (эсвэл тодорхой y=j(x)), харуулах үед w=е(z) шаардлагатай:

1. Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг сонго е(z): у=Re е(z), v=Im е(z).

2. Системээс хасах XТэгээд у.Үүний үр дүнд үүссэн хамаарал нь энэ шугамын зургийн тэгшитгэл юм.

Дүрэм 3.4.Харуулж байх үед өгөгдсөн мөрийн зургийг олох w=е(z) шаардлагатай:

1. Шугамын тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр бич z=z(т) эсвэл дотор нарийн төвөгтэй хэлбэр .

2. Шугамын тэгшитгэлийн төрлөөс хамааран харгалзах тохиолдлыг авч үзье.

Хэрэв мөрийг параметрийн хэлбэрээр өгсөн бол илэрхийллийг орлуулна z(т) В w=е(z);

Хэрэв мөрийг нарийн төвөгтэй хэлбэрээр өгсөн бол илэрхийлнэ үү z-аас w=е(z), өөрөөр хэлбэл, ба. Дараа нь та орлуулах хэрэгтэй zба шугамын тэгшитгэлд. Үүний үр дүнд үүссэн хамаарал нь энэ шугамын зургийн тэгшитгэл юм.

Дүрэм 3.5.Өгөгдсөн талбайн зургийг олохын тулд та хоёр аргын аль нэгийг ашиглах хэрэгтэй.

Эхний арга.

1. Энэ талбайн хилийн тэгшитгэлийг бич. Өгөгдсөн талбайн хилийн зургийг 3.3 эсвэл 3.4 дүрмийн дагуу ол.

2. Өгөгдсөн талбайн дурын дотоод цэгийг сонгож, өгөгдсөн зураглалын доор түүний дүрсийг ол. Үүссэн цэгийн хамаарах бүс нь тухайн бүс нутгийн хүссэн зураг юм.

Хоёрдахь арга.

1. Экспресс zхарьцаанаас w=е(z).

2. 1-р алхам дээр хүлээн авсан зүйлээ орлуулаарай. тухайн бүс нутгийг тодорхойлсон тэгш бус байдлын илэрхийлэл. Үр дүнгийн харьцаа нь хүссэн зураг юм.

Жишээ.Тойргийн дүрсийг олоорой | zФункцийг ашиглан харуулах үед |=1 w=z 2 .

■ 1 арга зам(Дүрмийн 3.3-ын дагуу).

1. Болъё z=x+iy, w=u+iv. Дараа нь u+iv =x 2 -y 2 +би 2xy. Бид авах:

2. Үүнийг хасъя XТэгээд цагтЭдгээр тэгшитгэлээс. Үүнийг хийхийн тулд эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийг квадрат болгож, нэмье.

у 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 =x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Системийн гурав дахь тэгшитгэлийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна. у 2 +v 2 =1 эсвэл | w| 2 =1, энэ нь | w|=1. Тэгэхээр, тойргийн дүрс | z|=1 нь тойрог | w|=1, хоёр удаа явах боломжтой. Энэ нь түүнээс хойшхи баримтаас харагдаж байна w=z 2 дараа нь Арг w=2Арг z+2pk. Тэгэхээр цэг хэзээ zбүрэн тойргийг дүрсэлдэг | z|=1, тэгвэл түүний дүрс нь | тойргийг дүрсэлнэ w|=1 хоёр удаа.

2 арга зам(Дүрмийн 3.4-ийн дагуу).

1. Нэгж тойргийн тэгшитгэлийг параметр хэлбэрээр бичье. z=e энэ (0£ т£2 х).

2. Орлуулж үзье z=e энэхарьцаагаар w=z 2: w=e i 2 т=cos2 т+бинүгэл2 т. Тиймээс | w| 2 = cos 2 2 т+нүгэл 2 2 т=1, энэ нь | w|=1 – зургийн тэгшитгэл. ■

Жишээ.Шугамын зургийн тэгшитгэлийг ол y=xхаруулах үед w=z 3 .

■ Муруйг тодорхой өгсөн тул бид 3.3 дүрмийг хэрэгжүүлнэ.

1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +би(3x 2 y-y 3).

гэсэн үг,

2. Үүссэн системд бид орлуулна y=x: Оруулахгүй XЭдгээр тэгшитгэлээс бид олж авна v=-u.

Тиймээс системийн I ба III координатын өнцгийн биссектрисын дүрс xOyнь системийн II ба IV координатын өнцгийн биссектрис юм uOv. ■

1. Шугаман функц

Шугаман функцхэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг

w=аз+б, (4.1)

Хаана А, б- нарийн төвөгтэй тогтмолууд.

Энэ функцийг тодорхойлсон . Тиймээс хэрэв , тэгвэл шугаман функцнийлмэл хувьсагчийн бүх хавтгайд нийцсэн зураглалыг гаргадаг. Энэ тохиолдолд бүх муруйн шүргэгчийг ижил өнцгөөр Arg эргүүлнэ а, мөн бүх цэгийн суналт тэнцүү байна. Хэрэв a= 1, тэгвэл , энэ нь сунгалт, эргэлт байхгүй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд бид авдаг w=z+b. Энэ зураглал нь бүхэл хавтгайг вектороор шилжүүлдэг.

Ерөнхий тохиолдолд нийлмэл тоог бичих экспоненциал хэлбэрт шилжсэнээр бид олж авна. Тиймээс шугаман зураглал нь гурван геометрийн хувиргалтаас бүрддэг.

w 1 =rz- коэффициенттэй ижил төстэй байдал r=|а|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- өнцгөөр эргэх j=arg ацэгийн эргэн тойронд ТУХАЙ;

w=w 2 +б=re i j z+б- вектор руу зэрэгцээ шилжүүлэх.

Тиймээс зураглал w=аз+б| доторх аливаа хавтгай дүрсийн шугаман хэмжээг өөрчилдөг а| нэг удаа энэ дүрсийг өнцгөөр эргүүлнэ j=arg аэхийн эргэн тойронд түүнийг утгаараа векторын чиглэлд шилжүүлнэ.

Шугаман зураглал нь дугуй хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл тойргийг дүрсэлсэн байдаг z- тойрог доторх онгоцууд w- онгоц (болон эсрэгээр); шулуун шугамыг шулуун шугам болгон хувиргадаг.

Жишээ.Тэнхлэгийн дүрсийг ол OUхаруулах үед w=2из-3и.

■ 1 арга зам(Дүрмийн 3.4-ийн дагуу). Бид тэнхлэгийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр сонгоно.

1. Бодит хэлбэрээр тэнхлэгийн тэгшитгэл байгаа тул Өө: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран цагт.

2. Орлуулж үзье z=iyилэрхийлэл болгон w=2из-3и: w=-2y-3би, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (цагт- параметр). Бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тусгаарласны дараа бид зургийн тэгшитгэлийг бодит хэлбэрээр олж авна. у=-2y, v=-3 эсвэл v=-3, -¥<у<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, бодит тэнхлэгтэй зэрэгцээ.

2 арга зам. Бид шугаман хувиргалтын дугуй шинж чанарыг ашигладаг - шулуун шугамын дүрс нь шулуун шугам юм. Шулуун шугамыг хоёр цэг зааж өгснөөр тодорхойлогддог тул тэнхлэгт хангалттай OUдурын хоёр цэгийг сонгоод тэдгээрийн зургийг олоорой. Олдсон цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь шаардлагатай болно. Оноо сонгоцгооё z 1 =0, z 2 =би, тэдгээрийн зургууд w 1 =-3би, w 2 =-2-3бизурагдсан үед Im шугаман дээр хэвтэх w= -3 Тиймээс тэнхлэгийн дүрс OUшулуун шугам юм v=-3.

3 арга зам(геометрийн). Харилцаанаас w=2из-3иүүнийг дагадаг а=2би, б=-3би, |а|=2, . Энэ нь өгөгдсөн шулуун шугам (тэнхлэг OU) эхтэй харьцуулахад өнцгөөр эргүүлэх ёстой бөгөөд дараа нь 3 нэгжээр доошилно. 2 дахин сунах нь гарал үүслээр дамждаг тул анхны шугамын геометрийн дүр төрхийг өөрчлөхгүй. ■

Жишээ.Тойрог төлөөлөх шугаман функцийг олоорой | z-i|=1 тойрог тутамд | w- 3|=2.

■ Тавьсан асуудал бол зураглалын онолын урвуу асуудал юм - өгөгдсөн зураг болон урьдчилсан зургийг өгөгдсөн бол харгалзах зураглалыг ол. Нэмэлт нөхцөл байхгүй бол асуудал нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаггүй. Геометрийн шийдлийг танилцуулъя.

1. Тойргийн төвийг эх цэг рүү шилжүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд бид зураглалыг ашигладаг w 1 =z-i.

2. Онгоцонд w 1 2 дахин сунгах зураглалыг ашиглая w 2 =2w 1 .

3. Тойргийг баруун тийш 3 нэгж шилжүүлнэ: w=w 2 +3. Эцэст нь бид: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2би- шаардлагатай функц.

Та геометрийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх өөр дарааллыг сонгож болно - эхлээд шилжүүлж болохгүй, харин эргүүлэх эсвэл сунгах хэрэгтэй. ■

2. Бутархай шугаман функц

Бутархай шугаманхэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг

, (4.2)

Хаана а, б,в,d-нийлмэл тоо нь , .

Бутархай шугаман хувиргалтын шинж чанарууд

1°Тохиромжтой байдал

Дэлгэц w=Л(z) нь нийлмэл хавтгайн бусад бүх төгсгөлийн цэгүүдэд тохирно.

2° Дугуй өмч

Бутархай шугаман зураглал дахь шулуун эсвэл тойргийн зураг w=Л(z) нь шулуун эсвэл тойрог (мөн шулуун шугамын дүрс нь тойрог эсвэл шулуун шугам байж болно, тойргийн дүрс нь шулуун ба тойрог хоёулаа байж болно). Үүнийг харуулах үед үүнийг тогтооход хялбар байдаг w=Л(z) цэгийг дайран өнгөрөх бүх шулуун ба тойрог шулуун хавтгайд ордог ( w), мөн цэгийг дайран өнгөрөх бүх шулуун шугамууд эсвэл тойрог г, - онгоцны тойрогт ( w).

3°Давхар харилцааны инвариант байдал

Хандлага бутархай шугаман зураглалын дор хадгалагдана, өөрөөр хэлбэл энэ нь түүний инвариант юм. Энэ харилцааг нэрлэдэг дөрвөн онооны давхар харьцаа. Тиймээс бутархай шугаман хувиргалтыг гурван цэг болон тэдгээрийн дүрсийг зааж өгснөөр өвөрмөц байдлаар тодорхойлно: . Эдгээр хосуудыг ашиглан та дараах томъёог ашиглан бутархай шугаман функцийг олох боломжтой.

. (4.3)

Зарим тоо гарсан тохиолдолд энэ томъёог бас хэрэглэж болно z kТэгээд w kХэрэв та дүрмийг ашиглавал ¥ болж хувирна: ¥ тэмдэг гарч ирэх зөрүүг 1-ээр солино.

4°Тэгш хэмийг хадгалах

Хэрэв оноо z 1 ба z 2 нь ямар нэг шугам эсвэл тойрог дээр тэгш хэмтэй байна g, дараа нь дурын бутархай шугаман зураглалын хувьд w=Л(z) тэдний зургууд w 1 ба w 2 нь зурагтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байх болно g: .

Шулуун шугамын тэгш хэмийг ердийн утгаар ойлгодог.

Оноо zТэгээд z*гэж нэрлэдэг тойрогтой тэгш хэмтэй |z-z 0 |=Р, хэрэв тэдгээр нь тойргийн төвөөс гарч буй ижил туяан дээр хэвтэж байгаа бөгөөд тойргийн төвөөс тэдгээрийн зайны үржвэр нь түүний радиусын квадраттай тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=Р 2 . (4.4)

Нэг цэгт тэгш хэмтэй цэг z 0 - тойргийн төв нь хязгааргүй цэг байх нь ойлгомжтой.

5°Хил давах тохирох зарчим (шугам эсвэл тойрогоор хүрээлэгдсэн хэсгийг харуулах)

Хэрэв бутархай шугаман зураглалд шулуун шугам эсвэл тойрог gшулуун шугам эсвэл тойрог болж хувирдаг g¢, дараа нь талбай Д, энэ нь хязгаарлагдмал g, хязгаарлагдсан хоёр талбайн аль нэгэнд хувирна g¢. Энэ тохиолдолд хилийн тойргийн захидал харилцааны зарчим явагдана: хэрэв зарим шугамыг тойрч гарах үед gбүс нутаг Дзүүн (баруун) талд, дараа нь шугамын харгалзах дамжлагатай болж хувирна g¢бүс нутаг D¢мөн зүүн талд (баруун) байх ёстой.

Жишээ.Бутархай шугаман функцийг ол w=Л(z), ийм байна w(би)=2би, w(¥)=1, w(-1)=¥.

■ Бид тэмдэглэе z 1 =би, z 2 =¥, z 3 =-1 ба w 1 =2би, w 2 =1, w 3 =¥. (4.3)-ыг агуулсан ялгааг орлуулж томъёог хэрэглэцгээе z 2 ба w 3-аас ¥:

эсвэл .

Хөрвүүлье: - w-wi+ 2би- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+биÛ нь шаардлагатай функц юм. ■