Artikel ini membahas cara mencari nilai ekspresi matematika. Mari kita mulai dengan ekspresi numerik sederhana dan kemudian kita akan mempertimbangkan kasus seiring dengan meningkatnya kompleksitasnya. Pada akhirnya, kami memberikan ekspresi yang berisi penunjukan huruf, tanda kurung, akar, tanda matematika khusus, derajat, fungsi, dll. Keseluruhan teori, menurut tradisi, akan diberikan contoh-contoh yang berlimpah dan terperinci.

Bagaimana cara menemukan nilai ekspresi numerik?

Ekspresi numerik, antara lain, membantu menggambarkan kondisi masalah dalam bahasa matematika. Secara umum, ekspresi matematika bisa sangat sederhana, terdiri dari sepasang angka dan tanda aritmatika, atau sangat kompleks, yang berisi fungsi, derajat, akar, kurung, dll. Sebagai bagian dari tugas, seringkali perlu untuk menemukan nilai dari sebuah ekspresi. Cara melakukannya akan dibahas di bawah ini.

Kasus paling sederhana

Ini adalah kasus di mana ekspresi hanya berisi angka dan aritmatika. Untuk berhasil menemukan nilai ekspresi seperti itu, Anda akan memerlukan pengetahuan tentang urutan operasi aritmatika yang dilakukan tanpa tanda kurung, serta kemampuan untuk melakukan operasi dengan angka yang berbeda.

Jika ekspresi hanya berisi angka dan tanda aritmatika " + " , " · " , " - " , " " , maka operasi dilakukan dari kiri ke kanan dengan urutan sebagai berikut: pertama perkalian dan pembagian, kemudian penjumlahan dan pengurangan. Mari kita beri contoh.

Contoh 1. Nilai ekspresi numerik

Biarkan perlu untuk menemukan nilai ekspresi 14 - 2 · 15 6 - 3 .

Mari kita lakukan perkalian dan pembagian terlebih dahulu. Kita mendapatkan:

14 - 2 15 6 - 3 = 14 - 30 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Sekarang kita kurangi dan dapatkan hasil akhir:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Contoh 2. Nilai ekspresi numerik

Mari kita hitung: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 2 3 4 11 12 .

Pertama, kita melakukan konversi pecahan, pembagian dan perkalian:

0, 5 - 2 - 7 + 2 3 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Sekarang mari kita lakukan penjumlahan dan pengurangan. Mari kita kelompokkan pecahan dan membawanya ke penyebut yang sama:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Nilai yang diinginkan ditemukan.

Ekspresi dengan tanda kurung

Jika ekspresi berisi tanda kurung, maka mereka menentukan urutan tindakan dalam ekspresi ini. Pertama, tindakan dalam tanda kurung dilakukan, dan kemudian sisanya. Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.

Contoh 3. Nilai ekspresi numerik

Temukan nilai dari ekspresi 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Ekspresi berisi tanda kurung, jadi pertama-tama kita melakukan operasi pengurangan dalam tanda kurung, dan baru kemudian perkalian.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Nilai ekspresi yang mengandung tanda kurung dalam tanda kurung ditemukan menurut prinsip yang sama.

Contoh 4. Nilai ekspresi numerik

Mari kita hitung nilainya 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Kami akan melakukan tindakan mulai dari kurung terdalam, pindah ke kurung terluar.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Dalam menemukan nilai ekspresi dengan tanda kurung, yang utama adalah mengikuti urutan tindakan.

Ekspresi dengan akar

Ekspresi matematika yang nilainya perlu kita temukan mungkin mengandung tanda akar. Selain itu, ekspresi itu sendiri dapat berada di bawah tanda akar. Bagaimana menjadi dalam kasus itu? Pertama, Anda perlu menemukan nilai ekspresi di bawah akar, dan kemudian mengekstrak akar dari angka yang dihasilkan. Jika memungkinkan, lebih baik menghilangkan akar dalam ekspresi numerik, menggantikannya dengan nilai numerik.

Contoh 5. Nilai ekspresi numerik

Mari kita hitung nilai ekspresi dengan akar - 2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Pertama, kita menghitung ekspresi radikal.

2 3 - 1 + 60 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Sekarang kita dapat menghitung nilai seluruh ekspresi.

2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Seringkali, untuk menemukan nilai ekspresi dengan akar, seringkali perlu terlebih dahulu mengubah ekspresi aslinya. Mari kita jelaskan ini dengan contoh lain.

Contoh 6. Nilai ekspresi numerik

Apa itu 3 + 1 3 - 1 - 1

Seperti yang Anda lihat, kami tidak memiliki kemampuan untuk mengganti akar dengan nilai yang tepat, yang memperumit proses penghitungan. Namun, dalam kasus ini, Anda dapat menerapkan rumus perkalian yang disingkat.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Dengan demikian:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ekspresi dengan kekuatan

Jika ekspresi mengandung kekuatan, nilainya harus dihitung sebelum melanjutkan dengan semua tindakan lainnya. Kebetulan eksponen itu sendiri atau basis derajat adalah ekspresi. Dalam hal ini, nilai ekspresi ini dihitung terlebih dahulu, dan kemudian nilai derajat.

Contoh 7. Nilai ekspresi numerik

Tentukan nilai dari ekspresi 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Kami mulai menghitung secara berurutan.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Tetap hanya melakukan operasi penambahan dan mengetahui nilai ekspresi:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Juga sering disarankan untuk menyederhanakan ekspresi menggunakan sifat-sifat derajat.

Contoh 8. Nilai ekspresi numerik

Mari kita hitung nilai dari ekspresi berikut: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponen sekali lagi sedemikian rupa sehingga nilai numerik pastinya tidak dapat diperoleh. Sederhanakan ekspresi asli untuk menemukan nilainya.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Ekspresi dengan pecahan

Jika suatu ekspresi mengandung pecahan, maka ketika menghitung ekspresi seperti itu, semua pecahan di dalamnya harus direpresentasikan sebagai pecahan biasa dan nilainya dihitung.

Jika ada ekspresi dalam pembilang dan penyebut pecahan, maka nilai ekspresi ini pertama kali dihitung, dan nilai akhir dari pecahan itu sendiri dicatat. Operasi aritmatika dilakukan dalam urutan standar. Mari kita pertimbangkan sebuah contoh solusi.

Contoh 9. Nilai ekspresi numerik

Mari kita cari nilai dari ekspresi yang mengandung pecahan: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 1 + 2 + 3 9 - 6 2 .

Seperti yang Anda lihat, ada tiga pecahan dalam ekspresi aslinya. Mari kita hitung dulu nilainya.

3 , 2 2 = 3 , 2 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Mari kita tulis ulang ekspresi kita dan hitung nilainya:

1 , 6 - 3 1 6 1 = 1 , 6 - 0 , 5 1 = 1 , 1

Seringkali, ketika menemukan nilai ekspresi, akan lebih mudah untuk mengurangi pecahan. Ada aturan yang tidak diucapkan: sebelum menemukan nilainya, ekspresi apa pun paling baik disederhanakan hingga maksimum, mengurangi semua perhitungan menjadi kasus yang paling sederhana.

Contoh 10. Nilai ekspresi numerik

Mari kita hitung ekspresi 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Kita tidak dapat sepenuhnya mengekstrak akar lima, tetapi kita dapat menyederhanakan ekspresi aslinya melalui transformasi.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Ekspresi asli mengambil bentuk:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Mari kita hitung nilai ekspresi ini:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Ekspresi dengan logaritma

Ketika logaritma hadir dalam ekspresi, nilainya, jika memungkinkan, dihitung dari awal. Misalnya, dalam log ekspresi 2 4 + 2 4, Anda dapat langsung menulis nilai logaritma ini alih-alih log 2 4, lalu melakukan semua tindakan. Kami mendapatkan: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Ekspresi numerik juga dapat ditemukan di bawah tanda logaritma dan pada dasarnya. Dalam hal ini, langkah pertama adalah menemukan nilainya. Mari kita ambil ekspresi log 5 - 6 3 5 2 + 2 + 7 . Kita punya:

log 5 - 6 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Jika tidak mungkin menghitung nilai pasti dari logaritma, penyederhanaan ekspresi akan membantu menemukan nilainya.

Contoh 11. Nilai ekspresi numerik

Temukan nilai dari ekspresi log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Menurut sifat logaritma:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Sekali lagi menerapkan sifat-sifat logaritma, untuk pecahan terakhir dalam ekspresi yang kita dapatkan:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Sekarang Anda dapat melanjutkan ke perhitungan nilai ekspresi asli.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Ekspresi dengan fungsi trigonometri

Kebetulan dalam ekspresi ada fungsi trigonometri sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta fungsi yang kebalikannya. Dari nilai tersebut dihitung sebelum semua operasi aritmatika lainnya dilakukan. Jika tidak, ekspresi disederhanakan.

Contoh 12. Nilai ekspresi numerik

Temukan nilai dari ekspresi: t g 2 4 3 - sin - 5 2 + cosπ.

Pertama, kami menghitung nilai fungsi trigonometri yang termasuk dalam ekspresi.

dosa - 5 2 \u003d - 1

Ganti nilai dalam ekspresi dan hitung nilainya:

t g 2 4 3 - sin - 5 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Nilai ekspresi ditemukan.

Seringkali, untuk menemukan nilai ekspresi dengan fungsi trigonometri, itu harus terlebih dahulu dikonversi. Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh.

Contoh 13. Nilai ekspresi numerik

Kita perlu mencari nilai dari ekspresi cos 2 8 - sin 2 8 cos 5 36 cos 9 - sin 5 36 sin 9 - 1.

Untuk transformasi, kita akan menggunakan rumus trigonometri untuk kosinus sudut rangkap dan kosinus jumlah.

cos 2 8 - sin 2 8 cos 5 36 cos 9 - sin 5 36 sin 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 36 + 9 - 1 = cos π 4 cos 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Kasus umum ekspresi numerik

Dalam kasus umum, ekspresi trigonometri dapat berisi semua elemen yang dijelaskan di atas: tanda kurung, derajat, akar, logaritma, fungsi. Mari kita rumuskan aturan umum untuk menemukan nilai dari ekspresi tersebut.

Bagaimana menemukan nilai ekspresi

1. Akar, pangkat, logaritma, dll. digantikan oleh nilai-nilai mereka.
2. Tindakan dalam tanda kurung dilakukan.
3. Langkah-langkah yang tersisa dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan. Pertama - perkalian dan pembagian, lalu - penjumlahan dan pengurangan.

Mari kita ambil contoh.

Contoh 14. Nilai ekspresi numerik

Mari kita hitung berapa nilai dari ekspresi - 2 sin 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Ekspresinya cukup kompleks dan rumit. Bukanlah kebetulan bahwa kami memilih contoh seperti itu, mencoba memasukkan semua kasus yang dijelaskan di atas ke dalamnya. Bagaimana menemukan nilai dari ekspresi seperti itu?

Diketahui bahwa ketika menghitung nilai bentuk pecahan kompleks, pertama-tama nilai pembilang dan penyebut pecahan ditemukan secara terpisah. Kami berturut-turut akan mengubah dan menyederhanakan ekspresi ini.

Pertama-tama, kita hitung nilai dari ekspresi radikal 2 sin 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan nilai sinus, dan ekspresi yang merupakan argumen dari fungsi trigonometri.

6 + 2 2 5 + 3 5 = 6 + 2 2 + 3 5 = 6 + 2 5 5 = 6 + 2

Sekarang Anda dapat mengetahui nilai sinus:

sin 6 + 2 2 5 + 3 5 = sin 6 + 2 = sin 6 = 1 2 .

Kami menghitung nilai ekspresi radikal:

2 sin 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 = 4 = 2.

Dengan penyebut pecahan, semuanya lebih mudah:

Sekarang kita dapat menuliskan nilai seluruh pecahan:

2 sin 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Dengan mengingat hal ini, kami menulis seluruh ekspresi:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Hasil Akhir:

2 sin 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Dalam hal ini, kami dapat menghitung nilai eksak untuk akar, logaritma, sinus, dan sebagainya. Jika ini tidak memungkinkan, Anda dapat mencoba menghilangkannya dengan transformasi matematis.

Menghitung Ekspresi dengan Cara Rasional

Nilai numerik harus dihitung secara konsisten dan akurat. Proses ini dapat dirasionalisasikan dan dipercepat dengan menggunakan berbagai sifat operasi dengan bilangan. Misalnya, diketahui bahwa produk sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Mengingat properti ini, kita dapat segera mengatakan bahwa ekspresi 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 4 0 sama dengan nol. Dalam hal ini, sama sekali tidak perlu melakukan langkah-langkah dalam urutan yang dijelaskan dalam artikel di atas.

Juga nyaman untuk menggunakan properti pengurangan angka yang sama. Tanpa melakukan tindakan apa pun, dimungkinkan untuk memesan bahwa nilai ekspresi 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 juga sama dengan nol.

Teknik lain yang memungkinkan Anda untuk mempercepat proses adalah penggunaan transformasi identik seperti mengelompokkan suku dan faktor dan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Pendekatan rasional untuk menghitung ekspresi dengan pecahan adalah dengan mengurangi ekspresi yang sama dalam pembilang dan penyebut.

Sebagai contoh, mari kita ambil ekspresi 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Tanpa melakukan tindakan dalam tanda kurung, tetapi dengan mengurangi pecahan, kita dapat mengatakan bahwa nilai ekspresi adalah 1 3 .

Menemukan nilai ekspresi dengan variabel

Nilai ekspresi literal dan ekspresi dengan variabel ditemukan untuk nilai tertentu dari huruf dan variabel.

Menemukan nilai ekspresi dengan variabel

Untuk menemukan nilai ekspresi literal dan ekspresi dengan variabel, Anda perlu mengganti nilai huruf dan variabel yang diberikan ke dalam ekspresi asli, lalu menghitung nilai ekspresi numerik yang dihasilkan.

Contoh 15. Nilai ekspresi dengan variabel

Hitung nilai dari ekspresi 0, 5 x - y yang diberikan x = 2 , 4 dan y = 5 .

Kami mengganti nilai variabel ke dalam ekspresi dan menghitung:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Terkadang dimungkinkan untuk mengubah ekspresi sedemikian rupa untuk mendapatkan nilainya terlepas dari nilai huruf dan variabel yang disertakan di dalamnya. Untuk melakukan ini, perlu untuk menghilangkan huruf dan variabel dalam ekspresi, jika mungkin, menggunakan transformasi identik, properti operasi aritmatika, dan semua metode lain yang mungkin.

Misalnya, ekspresi x + 3 - x jelas memiliki nilai 3, dan nilai x tidak perlu diketahui untuk menghitung nilai ini. Nilai ekspresi ini sama dengan tiga untuk semua nilai variabel x dari rentang nilai yang valid.

Satu lagi contoh. Nilai ekspresi x x sama dengan satu untuk semua x positif.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dalam kursus aljabar kelas 7, kami terlibat dalam transformasi ekspresi bilangan bulat, yaitu ekspresi yang terdiri dari angka dan variabel menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian, serta pembagian dengan angka selain nol. Jadi, ekspresi adalah bilangan bulat

Sebaliknya, ekspresi

selain tindakan penambahan, pengurangan dan perkalian, mereka mengandung pembagian dengan ekspresi dengan variabel. Ekspresi seperti itu disebut ekspresi fraksional.

Ekspresi bilangan bulat dan pecahan disebut ekspresi rasional.

Ekspresi integer masuk akal untuk setiap nilai variabel yang disertakan di dalamnya, karena untuk menemukan nilai seluruh ekspresi, Anda perlu melakukan tindakan yang selalu memungkinkan.

Ekspresi pecahan untuk beberapa nilai variabel mungkin tidak masuk akal. Misalnya, ekspresi - tidak masuk akal untuk a = 0. Untuk semua nilai a lainnya, ekspresi ini masuk akal. Ekspresi masuk akal untuk nilai-nilai x dan y ketika x y.

Nilai variabel yang ekspresinya masuk akal disebut nilai variabel yang valid.

Ekspresi bentuk disebut, seperti yang Anda tahu, pecahan.

Pecahan yang pembilang dan penyebutnya polinomial disebut pecahan rasional.

Pecahan merupakan contoh pecahan rasional.

Dalam pecahan rasional, nilai-nilai variabel tersebut dapat diterima yang penyebut pecahannya tidak hilang.

Contoh 1 Mari kita cari nilai variabel yang valid dalam pecahan

Keputusan Untuk menemukan berapa nilai penyebut pecahan yang hilang, Anda perlu menyelesaikan persamaan a (a - 9) \u003d 0. Persamaan ini memiliki dua akar: 0 dan 9. Oleh karena itu, semua angka kecuali 0 dan 9 adalah nilai yang valid untuk variabel a.

Contoh 2 Berapa nilai x nilai pecahannya? sama dengan nol?

Keputusan Pecahan adalah nol jika dan hanya jika a adalah 0 dan b 0.

Jadi, jika ekspresi numerik terdiri dari angka dan tanda +, , · dan :, maka dalam urutan dari kiri ke kanan, Anda harus terlebih dahulu melakukan perkalian dan pembagian, dan kemudian penambahan dan pengurangan, yang memungkinkan Anda menemukan yang diinginkan nilai ekspresi.

Mari kita lihat beberapa contoh untuk klarifikasi.

Contoh.

Hitung nilai ekspresi 14−2·15:6−3 .

Keputusan.

Untuk menemukan nilai ekspresi, Anda perlu melakukan semua tindakan yang ditentukan di dalamnya sesuai dengan urutan yang diterima untuk melakukan tindakan ini. Pertama, secara berurutan dari kiri ke kanan, kita melakukan perkalian dan pembagian, kita dapatkan 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sekarang, dalam urutan dari kiri ke kanan, kita melakukan tindakan yang tersisa: 14−5−3=9−3=6 . Jadi kami menemukan nilai ekspresi aslinya, itu sama dengan 6 .

Menjawab:

14−2 15:6−3=6 .

Contoh.

Temukan nilai ekspresinya.

Keputusan.

Dalam contoh ini, pertama-tama kita perlu melakukan perkalian 2 (−7) dan pembagian dengan perkalian dalam ekspresi. Mengingat bagaimana , kita menemukan 2 (−7)=−14 . Dan untuk melakukan tindakan dalam ekspresi, pertama , kemudian , dan jalankan: .

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam ekspresi asli: .

Tapi bagaimana ketika ada ekspresi numerik di bawah tanda akar? Untuk mendapatkan nilai akar seperti itu, Anda harus terlebih dahulu menemukan nilai ekspresi akar, mengikuti urutan operasi yang diterima. Sebagai contoh, .

Dalam ekspresi numerik, akar harus dianggap sebagai beberapa angka, dan disarankan untuk segera mengganti akar dengan nilainya, dan kemudian menemukan nilai ekspresi yang dihasilkan tanpa akar, melakukan tindakan dalam urutan yang diterima.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi dengan akar.

Keputusan.

Pertama, cari nilai akarnya . Untuk melakukan ini, pertama, kami menghitung nilai ekspresi radikal, kami memiliki 2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Dan kedua, kami menemukan nilai root.

Sekarang mari kita hitung nilai akar kedua dari ekspresi aslinya: .

Akhirnya, kita dapat menemukan nilai dari ekspresi asli dengan mengganti akar-akarnya dengan nilainya: .

Menjawab:

Cukup sering, untuk memungkinkan menemukan nilai ekspresi dengan akar, Anda harus mengonversinya terlebih dahulu. Mari kita tunjukkan contoh solusi.

Contoh.

Apa arti dari ungkapan .

Keputusan.

Kami tidak dapat mengganti akar tiga dengan nilai eksaknya, yang tidak memungkinkan kami menghitung nilai ekspresi ini dengan cara yang dijelaskan di atas. Namun, kita dapat menghitung nilai ekspresi ini dengan melakukan transformasi sederhana. Berlaku rumus selisih kuadrat: . Mengingat , kita dapatkan . Jadi nilai ekspresi aslinya adalah 1 .

Menjawab:

.

Dengan derajat

Jika basis dan eksponen adalah angka, maka nilainya dihitung dengan definisi derajat, misalnya, 3 2 =3 3=9 atau 8 1 =1/8 . Ada juga entri ketika basis dan / atau eksponen adalah beberapa ekspresi. Dalam kasus ini, Anda perlu menemukan nilai ekspresi dalam basis, nilai ekspresi dalam eksponen, dan kemudian menghitung nilai derajat itu sendiri.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi dengan kekuatan bentuk 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Keputusan.

Ekspresi aslinya memiliki dua pangkat 2 3 4−10 dan (1−1/2) 3.5−2 1/4 . Nilainya harus dihitung sebelum melakukan langkah selanjutnya.

Mari kita mulai dengan pangkat 2 3·4−10 . Indikatornya berisi ekspresi numerik, mari kita hitung nilainya: 3·4−10=12−10=2 . Sekarang Anda dapat menemukan nilai derajat itu sendiri: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Ada ekspresi di pangkalan dan eksponen (1−1/2) 3,5−2 1/4, kami menghitung nilainya untuk menemukan nilai derajat nanti. Kita punya (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Sekarang kita kembali ke ekspresi asli, mengganti derajat di dalamnya dengan nilainya, dan menemukan nilai ekspresi yang kita butuhkan: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Menjawab:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Perlu dicatat bahwa ada kasus yang lebih umum ketika disarankan untuk melakukan pendahuluan penyederhanaan ekspresi dengan kekuatan di pangkalan.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi .

Keputusan.

Dilihat oleh eksponen dalam ekspresi ini, nilai yang tepat dari derajat tidak dapat diperoleh. Mari kita coba sederhanakan ekspresi aslinya, mungkin ini akan membantu menemukan nilainya. Kita punya

Menjawab:

.

Perpangkatan dalam ekspresi sering kali sejalan dengan logaritma, tetapi kita akan berbicara tentang menemukan nilai ekspresi dengan logaritma di salah satunya.

Menemukan nilai ekspresi dengan pecahan

Ekspresi numerik dalam entri mereka mungkin berisi pecahan. Ketika diperlukan untuk menemukan nilai dari ekspresi seperti itu, pecahan selain pecahan biasa harus diganti dengan nilainya sebelum melakukan langkah lain.

Pembilang dan penyebut pecahan (yang berbeda dari pecahan biasa) dapat berisi beberapa bilangan dan ekspresi. Untuk menghitung nilai pecahan seperti itu, Anda perlu menghitung nilai ekspresi dalam pembilang, menghitung nilai ekspresi dalam penyebut, dan kemudian menghitung nilai pecahan itu sendiri. Urutan ini dijelaskan oleh fakta bahwa pecahan a/b, di mana a dan b adalah beberapa ekspresi, sebenarnya adalah hasil bagi dari bentuk (a):(b) , karena .

Mari kita pertimbangkan sebuah contoh solusi.

Contoh.

Menemukan nilai dari ekspresi dengan pecahan .

Keputusan.

Dalam ekspresi numerik asli, tiga pecahan dan . Untuk menemukan nilai dari ekspresi aslinya, pertama-tama kita membutuhkan pecahan ini dan menggantinya dengan nilainya. Ayo lakukan.

Pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah bilangan. Untuk menemukan nilai pecahan seperti itu, kami mengganti bilah pecahan dengan tanda pembagian, dan melakukan tindakan ini: .

Pembilang pecahan mengandung ekspresi 7−2 3 , nilainya mudah dicari: 7−2 3=7−6=1 . Dengan demikian, . Anda dapat melanjutkan untuk menemukan nilai pecahan ketiga.

Pecahan ketiga dalam pembilang dan penyebut berisi ekspresi numerik, oleh karena itu, Anda harus terlebih dahulu menghitung nilainya, dan ini akan memungkinkan Anda untuk menemukan nilai pecahan itu sendiri. Kita punya .

Tetap mengganti nilai yang ditemukan ke dalam ekspresi asli, dan melakukan langkah-langkah yang tersisa: .

Menjawab:

.

Seringkali, ketika menemukan nilai ekspresi dengan pecahan, Anda harus melakukan penyederhanaan ekspresi pecahan, berdasarkan kinerja tindakan dengan pecahan dan pengurangan pecahan.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi .

Keputusan.

Akar lima tidak sepenuhnya diekstraksi, jadi untuk menemukan nilai ekspresi aslinya, mari kita sederhanakan terlebih dahulu. Untuk ini singkirkan irasionalitas dalam penyebut pecahan pertama: . Setelah itu, ekspresi aslinya akan berbentuk . Setelah mengurangkan pecahan, akarnya akan hilang, yang akan memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari ekspresi yang awalnya diberikan :.

Menjawab:

.

Dengan logaritma

Jika ekspresi numerik mengandung , dan jika mungkin untuk menghilangkannya, maka ini dilakukan sebelum melakukan tindakan lain. Misalnya, ketika menemukan nilai ekspresi log 2 4+2 3 , logaritma log 2 4 diganti dengan nilainya 2 , setelah itu sisa operasi dilakukan dalam urutan biasa, yaitu log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Ketika ada ekspresi numerik di bawah tanda logaritma dan / atau pada dasarnya, maka nilainya pertama kali ditemukan, setelah itu nilai logaritma dihitung. Misalnya, pertimbangkan ekspresi dengan logaritma bentuk . Di dasar logaritma dan di bawah tandanya ada ekspresi numerik, kami menemukan nilainya: . Sekarang kami menemukan logaritma, setelah itu kami menyelesaikan perhitungan: .

Jika logaritma tidak dihitung dengan tepat, maka penyederhanaan awal menggunakan . Dalam hal ini, Anda harus menguasai materi artikel dengan baik. transformasi ekspresi logaritma.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi dengan logaritma .

Keputusan.

Mari kita mulai dengan menghitung log 2 (log 2 256) . Karena 256=2 8 , maka log 2 256=8 , maka log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritma log 6 2 dan log 6 3 dapat dikelompokkan. Jumlah logaritma log 6 2+log 6 3 sama dengan logaritma dari log produk 6 (2 3) , jadi log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Sekarang mari kita berurusan dengan pecahan. Untuk memulainya, kita akan menulis ulang basis logaritma dalam penyebut sebagai pecahan biasa sebagai 1/5, setelah itu kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma, yang akan memungkinkan kita untuk mendapatkan nilai pecahan:
.

Tetap hanya untuk mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi asli dan selesai menemukan nilainya:

Menjawab:

Bagaimana cara menemukan nilai ekspresi trigonometri?

Ketika ekspresi numerik berisi atau dll., maka nilainya dihitung sebelum melakukan tindakan lain. Jika ada ekspresi numerik di bawah tanda fungsi trigonometri, maka nilainya dihitung terlebih dahulu, setelah itu nilai fungsi trigonometri ditemukan.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi .

Keputusan.

Beralih ke artikel, kita mendapatkan dan cosπ=−1 . Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam ekspresi asli, itu mengambil bentuk . Untuk menemukan nilainya, Anda harus terlebih dahulu melakukan eksponensial, lalu selesaikan perhitungannya: .

Menjawab:

.

Perlu dicatat bahwa perhitungan nilai ekspresi dengan sinus, cosinus, dll. sering membutuhkan sebelumnya transformasi ekspresi trigonometri.

Contoh.

Berapakah nilai dari ekspresi trigonometri? .

Keputusan.

Mari kita ubah ekspresi aslinya menggunakan , dalam hal ini kita membutuhkan rumus kosinus sudut ganda dan rumus jumlah kosinus:

Transformasi yang dilakukan membantu kami menemukan nilai ekspresi.

Menjawab:

.

Kasus umum

Dalam kasus umum, ekspresi numerik dapat berisi akar, derajat, pecahan, dan fungsi apa pun, dan tanda kurung. Menemukan nilai dari ekspresi tersebut terdiri dari melakukan tindakan berikut:

• akar pertama, derajat, pecahan, dll. digantikan oleh nilai-nilai mereka,
• tindakan lebih lanjut dalam tanda kurung,
• dan dalam urutan dari kiri ke kanan, operasi yang tersisa dilakukan - perkalian dan pembagian, diikuti dengan penambahan dan pengurangan.

Tindakan di atas dilakukan sampai diperoleh hasil akhir.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi .

Keputusan.

Bentuk ungkapan ini agak rumit. Dalam ekspresi ini, kita melihat pecahan, akar, derajat, sinus dan logaritma. Bagaimana menemukan maknanya?

Bergerak sepanjang catatan dari kiri ke kanan, kami menemukan sebagian kecil dari formulir . Kita tahu bahwa ketika bekerja dengan pecahan bertipe kompleks, kita perlu menghitung nilai pembilangnya secara terpisah, secara terpisah - penyebutnya, dan, akhirnya, menemukan nilai pecahannya.

Di pembilang kita memiliki akar bentuk . Untuk menentukan nilainya, Anda harus terlebih dahulu menghitung nilai ekspresi radikal . Ada sinus di sini. Kita dapat menemukan nilainya hanya setelah menghitung nilai ekspresi . Inilah yang bisa kita lakukan: . Lalu dari mana dan .

Dengan penyebut, semuanya sederhana: .

Dengan demikian, .

Setelah mengganti hasil ini ke dalam ekspresi aslinya, itu akan mengambil bentuk . Ekspresi yang dihasilkan berisi derajat. Untuk menemukan nilainya, pertama-tama Anda harus menemukan nilai indikatornya, kami memiliki .

Jadi, .

Menjawab:

.

Jika tidak mungkin untuk menghitung nilai yang tepat dari akar, derajat, dll., maka Anda dapat mencoba menghilangkannya menggunakan transformasi apa pun, dan kemudian kembali menghitung nilai sesuai dengan skema yang ditentukan.

Cara Rasional Menghitung Nilai Ekspresi

Menghitung nilai ekspresi numerik membutuhkan konsistensi dan akurasi. Ya, perlu untuk mematuhi urutan tindakan yang dicatat dalam paragraf sebelumnya, tetapi ini tidak boleh dilakukan secara membabi buta dan mekanis. Dengan ini kami maksudkan bahwa seringkali mungkin untuk merasionalisasi proses menemukan nilai dari suatu ekspresi. Misalnya, beberapa properti tindakan dengan angka memungkinkan Anda mempercepat dan menyederhanakan pencarian nilai ekspresi secara signifikan.

Sebagai contoh, kita mengetahui sifat perkalian ini: jika salah satu faktor dalam hasil kali adalah nol, maka nilai produknya adalah nol. Dengan menggunakan properti ini, kita dapat langsung mengatakan bahwa nilai dari ekspresi 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4+456:3 43) adalah nol. Jika kita mengikuti urutan operasi standar, maka pertama-tama kita harus menghitung nilai ekspresi rumit dalam tanda kurung, dan ini akan memakan banyak waktu, dan hasilnya akan tetap nol.

Juga nyaman untuk menggunakan properti pengurangan angka yang sama: jika Anda mengurangi angka yang sama dari suatu angka, maka hasilnya akan menjadi nol. Properti ini dapat dianggap lebih luas: perbedaan dua ekspresi numerik identik sama dengan nol. Misalnya, tanpa menghitung nilai ekspresi dalam tanda kurung, Anda dapat menemukan nilai ekspresi (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), itu sama dengan nol, karena ekspresi asli adalah perbedaan dari ekspresi yang identik.

Perhitungan rasional dari nilai-nilai ekspresi dapat difasilitasi oleh transformasi identik. Misalnya, ini berguna pengelompokan istilah dan faktor, tidak jarang digunakan mengambil faktor persekutuan dari kurung. Jadi nilai dari ekspresi 53 5+53 7−53 11+5 sangat mudah ditemukan setelah menghilangkan faktor 53 dari kurung: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Perhitungan langsung akan memakan waktu lebih lama.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan pendekatan rasional untuk menghitung nilai ekspresi dengan pecahan - faktor yang sama dalam pembilang dan penyebut pecahan dikurangi. Misalnya, mengurangi persamaan yang sama dalam pembilang dan penyebut suatu pecahan memungkinkan Anda untuk segera menemukan nilainya, yaitu 1/2 .

Menemukan nilai ekspresi literal dan ekspresi dengan variabel

Arti ekspresi literal dan variabel ditemukan untuk nilai tertentu dari huruf dan variabel. Artinya, kita berbicara tentang menemukan nilai ekspresi literal untuk nilai huruf yang diberikan atau menemukan nilai ekspresi dengan variabel untuk nilai variabel yang dipilih.

aturan menemukan nilai ekspresi literal atau ekspresi dengan variabel untuk nilai huruf yang diberikan atau nilai variabel yang dipilih adalah sebagai berikut: dalam ekspresi asli, Anda perlu mengganti nilai huruf atau variabel yang diberikan, dan menghitung nilai ekspresi numerik yang dihasilkan, itu adalah nilai yang diinginkan.

Contoh.

Hitung nilai ekspresi 0.5 x−y untuk x=2.4 dan y=5 .

Keputusan.

Untuk menemukan nilai ekspresi yang diperlukan, pertama-tama Anda harus mengganti nilai variabel ini ke dalam ekspresi asli, dan kemudian melakukan tindakan berikut: 0.5 2.4−5=1.2−5=−3.8 .

Menjawab:

−3,8 .

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa terkadang transformasi ekspresi literal dan ekspresi dengan variabel memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilainya, terlepas dari nilai huruf dan variabel. Misalnya, ekspresi x+3−x dapat disederhanakan menjadi 3 . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa nilai ekspresi x+3−x sama dengan 3 untuk setiap nilai variabel x dari rentang nilai yang dapat diterima (ODZ). Contoh lain: nilai ekspresi sama dengan 1 untuk semua nilai positif x , jadi rentang nilai yang dapat diterima untuk variabel x dalam ekspresi asli adalah himpunan bilangan positif, dan kesetaraan terjadi di area ini .

Bibliografi.

• Matematika: studi. untuk 5 sel. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Edisi ke-21, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 hal.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. Kelas 6: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [N. Ya Vilenkin dan lain-lain]. - Edisi ke-22, Pdt. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.