Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, sepertinya waktu melambat hingga berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya jatuh pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat di sini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi jika kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita mendapatkan banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari angka apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, misalkan kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda saat menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, satuan ukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, sepertinya waktu melambat hingga berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya jatuh pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat di sini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi jika kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita mendapatkan banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari angka apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, misalkan kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda saat menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, satuan ukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Ketika kita bekerja dengan berbagai ekspresi, termasuk angka, huruf dan variabel, kita harus melakukan sejumlah besar operasi aritmatika. Saat kita melakukan transformasi atau menghitung nilai, sangat penting untuk mengikuti urutan tindakan ini dengan benar. Dengan kata lain, operasi aritmatika memiliki urutan eksekusi khusus mereka sendiri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pada artikel ini, kami akan memberi tahu Anda tindakan apa yang harus dilakukan terlebih dahulu dan setelahnya. Pertama, mari kita lihat beberapa ekspresi sederhana yang hanya berisi variabel atau nilai numerik, serta tanda-tanda pembagian, perkalian, pengurangan, dan penambahan. Kemudian kami akan mengambil contoh dengan tanda kurung dan mempertimbangkan dalam urutan apa mereka harus dievaluasi. Di bagian ketiga, kami akan memberikan urutan transformasi dan perhitungan yang benar dalam contoh-contoh yang menyertakan tanda-tanda akar, pangkat, dan fungsi lainnya.

Definisi 1

Dalam kasus ekspresi tanpa tanda kurung, urutan tindakan ditentukan dengan jelas:

1. Semua tindakan dilakukan dari kiri ke kanan.
2. Pertama-tama, kami melakukan pembagian dan perkalian, dan kedua, pengurangan dan penambahan.

Arti dari aturan ini mudah dimengerti. Urutan penulisan kiri-ke-kanan tradisional mendefinisikan urutan dasar perhitungan, dan kebutuhan untuk mengalikan atau membagi terlebih dahulu dijelaskan oleh inti dari operasi ini.

Mari kita ambil beberapa tugas untuk kejelasan. Kami hanya menggunakan ekspresi numerik paling sederhana sehingga semua perhitungan dapat dilakukan secara mental. Jadi Anda dapat dengan cepat mengingat pesanan yang diinginkan dan dengan cepat memeriksa hasilnya.

Contoh 1

Kondisi: hitung berapa 7 − 3 + 6 .

Larutan

Tidak ada tanda kurung dalam ekspresi kami, perkalian dan pembagian juga tidak ada, jadi kami melakukan semua tindakan dalam urutan yang ditentukan. Pertama, kurangi tiga dari tujuh, lalu tambahkan enam ke sisanya, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan sepuluh. Berikut adalah catatan dari seluruh solusi:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Menjawab: 7 − 3 + 6 = 10 .

Contoh 2

Kondisi: dalam urutan apa perhitungan harus dilakukan dalam ekspresi 6:2 8:3?

Larutan

Untuk menjawab pertanyaan ini, kami membaca ulang aturan untuk ekspresi tanpa tanda kurung, yang telah kami rumuskan sebelumnya. Kami hanya memiliki perkalian dan pembagian di sini, yang berarti kami menjaga urutan perhitungan tertulis dan menghitung secara berurutan dari kiri ke kanan.

Menjawab: pertama, kita membagi enam dengan dua, mengalikan hasilnya dengan delapan, dan membagi angka yang dihasilkan dengan tiga.

Contoh 3

Kondisi: hitung berapa 17 5 6: 3 2 + 4: 2.

Larutan

Pertama, mari kita tentukan urutan operasi yang benar, karena di sini kita memiliki semua tipe dasar operasi aritmatika - penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian. Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah membagi dan mengalikan. Tindakan ini tidak memiliki prioritas satu sama lain, jadi kami melakukannya dalam urutan tertulis dari kanan ke kiri. Artinya, 5 harus dikalikan 6 dan mendapatkan 30, kemudian 30 dibagi 3 dan mendapatkan 10. Setelah itu kita bagi 4 dengan 2 , yaitu 2 . Substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam ekspresi asli:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Tidak ada pembagian atau perkalian di sini, jadi kami melakukan perhitungan yang tersisa secara berurutan dan mendapatkan jawabannya:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Menjawab:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Sampai urutan melakukan tindakan dipelajari dengan kuat, Anda dapat meletakkan angka di atas tanda-tanda operasi aritmatika, yang menunjukkan urutan perhitungan. Misalnya untuk soal di atas, kita bisa menuliskannya seperti ini:

Jika kita memiliki ekspresi literal, maka kita melakukan hal yang sama dengan mereka: pertama kita mengalikan dan membagi, lalu menambah dan mengurangi.

Apa langkah satu dan dua?

Terkadang dalam buku referensi semua operasi aritmatika dibagi menjadi operasi tahap pertama dan kedua. Mari kita merumuskan definisi yang diperlukan.

Operasi tahap pertama termasuk pengurangan dan penambahan, yang kedua - perkalian dan pembagian.

Mengetahui nama-nama ini, kita dapat menulis aturan yang diberikan sebelumnya mengenai urutan tindakan sebagai berikut:

Definisi 2

Dalam ekspresi yang tidak memiliki tanda kurung, Anda harus terlebih dahulu melakukan tindakan langkah kedua dalam arah dari kiri ke kanan, lalu tindakan langkah pertama (dalam arah yang sama).

Urutan evaluasi dalam ekspresi dengan tanda kurung

Tanda kurung itu sendiri adalah tanda yang memberi tahu kita urutan yang diinginkan untuk melakukan tindakan. Dalam hal ini, aturan yang diinginkan dapat ditulis sebagai berikut:

Definisi 3

Jika ada tanda kurung dalam ekspresi, maka tindakan di dalamnya dilakukan terlebih dahulu, setelah itu kita mengalikan dan membagi, dan kemudian menambah dan mengurangi dalam arah dari kiri ke kanan.

Adapun ekspresi tanda kurung itu sendiri, dapat dianggap sebagai komponen dari ekspresi utama. Saat menghitung nilai ekspresi dalam tanda kurung, kami tetap menggunakan prosedur yang sama. Mari kita ilustrasikan ide kita dengan sebuah contoh.

Contoh 4

Kondisi: hitung berapa 5 + (7 2 3) (6 4) : 2.

Larutan

Ekspresi ini memiliki tanda kurung, jadi mari kita mulai dengan mereka. Pertama-tama, mari kita hitung berapa 7 2 · 3 jadinya. Di sini kita perlu mengalikan 2 dengan 3 dan mengurangi hasilnya dari 7:

7 2 3 = 7 6 = 1

Kami mempertimbangkan hasilnya dalam tanda kurung kedua. Di sana kami hanya memiliki satu tindakan: 6 − 4 = 2 .

Sekarang kita perlu mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam ekspresi asli:

5 + (7 2 3) (6 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Mari kita mulai dengan perkalian dan pembagian, lalu pengurangan dan dapatkan:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

Ini menyelesaikan perhitungan.

Menjawab: 5 + (7 2 3) (6 4) : 2 = 6.

Jangan khawatir jika kondisi berisi ekspresi di mana beberapa kurung mengapit yang lain. Kita hanya perlu menerapkan aturan di atas secara konsisten ke semua ekspresi yang diberi tanda kurung. Mari kita ambil tugas ini.

Contoh 5

Kondisi: hitung berapa 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Larutan

Kami memiliki tanda kurung di dalam tanda kurung. Kita mulai dengan 3+1+4 (2+3) yaitu 2+3. Ini akan menjadi 5 . Nilainya perlu diganti ke dalam ekspresi dan hitung itu 3 + 1 + 4 5 . Kita ingat bahwa pertama-tama kita harus mengalikan, dan kemudian menambahkan: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam ekspresi asli, kami menghitung jawabannya: 4 + 24 = 28 .

Menjawab: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Dengan kata lain, ketika mengevaluasi nilai ekspresi yang melibatkan tanda kurung di dalam tanda kurung, kita mulai dengan tanda kurung dalam dan melanjutkan ke tanda kurung luar.

Katakanlah kita perlu mencari berapa banyak (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Kita mulai dengan ekspresi dalam kurung dalam. Karena 4 6: 2 = 4 3 = 1 , ekspresi aslinya dapat ditulis sebagai (4 + (4 + 1) 1) 1 . Sekali lagi kita beralih ke tanda kurung dalam: 4 + 1 = 5 . Kami telah sampai pada ekspresi (4 + 5 − 1) − 1 . Kami percaya 4 + 5 − 1 = 8 dan sebagai hasilnya kita mendapatkan selisih 8 - 1, yang hasilnya adalah 7.

Urutan perhitungan dalam ekspresi dengan pangkat, akar, logaritma, dan fungsi lainnya

Jika kita memiliki ekspresi dalam kondisi dengan derajat, akar, logaritma atau fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen dan kotangen) atau fungsi lainnya, maka pertama-tama kita menghitung nilai fungsi. Setelah itu, kami bertindak sesuai dengan aturan yang ditentukan dalam paragraf sebelumnya. Dengan kata lain, fungsi sama pentingnya dengan ekspresi yang diapit tanda kurung.

Mari kita lihat contoh perhitungan seperti itu.

Contoh 6

Kondisi: tentukan berapa (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Larutan

Kami memiliki ekspresi dengan gelar, yang nilainya harus ditemukan terlebih dahulu. Kami mempertimbangkan: 6 2 \u003d 36. Sekarang kita substitusikan hasilnya ke dalam ekspresi, setelah itu akan berbentuk (3 + 1) 2 + 36: 3 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Menjawab: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 7 = 13.

Dalam artikel terpisah yang dikhususkan untuk menghitung nilai ekspresi, kami memberikan contoh perhitungan lain yang lebih kompleks dalam hal ekspresi dengan akar, derajat, dll. Kami menyarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sekolah dasar akan segera berakhir, segera anak akan melangkah ke dunia matematika yang mendalam. Namun sudah pada periode ini, siswa dihadapkan pada kesulitan-kesulitan sains. Melakukan tugas sederhana, anak menjadi bingung, tersesat, yang akibatnya mengarah pada nilai negatif untuk pekerjaan yang dilakukan. Untuk menghindari masalah seperti itu, saat memecahkan contoh, Anda harus dapat menavigasi dalam urutan yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan contoh. Salah mendistribusikan tindakan, anak tidak melakukan tugas dengan benar. Artikel tersebut mengungkapkan aturan dasar untuk memecahkan contoh yang berisi seluruh rentang perhitungan matematis, termasuk tanda kurung. Urutan tindakan dalam matematika kelas 4 aturan dan contoh.

Sebelum menyelesaikan tugas, minta anak Anda untuk menghitung tindakan yang akan dia lakukan. Jika Anda memiliki kesulitan, tolong bantu.

Beberapa aturan yang harus diikuti saat menyelesaikan contoh tanpa tanda kurung:

Jika tugas perlu melakukan serangkaian tindakan, Anda harus melakukan pembagian atau perkalian terlebih dahulu. Semua tindakan dilakukan selama penulisan. Jika tidak, hasil solusi tidak akan benar.

Jika dalam contoh itu diperlukan untuk mengeksekusi, kami mengeksekusi secara berurutan, dari kiri ke kanan.

27-5+15=37 (saat memecahkan contoh, kami dipandu oleh aturan. Pertama, kami melakukan pengurangan, lalu penambahan).

Ajari anak Anda untuk selalu merencanakan dan menghitung tindakan yang akan dilakukan.

Jawaban untuk setiap tindakan yang diselesaikan ditulis di atas contoh. Jadi akan lebih mudah bagi anak untuk menavigasi tindakan.

Pertimbangkan opsi lain di mana perlu untuk mendistribusikan tindakan secara berurutan:

Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan, aturannya diamati, pertama-tama kita mencari produk, lalu perbedaannya.

Ini adalah contoh sederhana yang membutuhkan perhatian untuk dipecahkan. Banyak anak jatuh pingsan saat melihat tugas di mana tidak hanya perkalian dan pembagian, tetapi juga tanda kurung. Seorang siswa yang tidak tahu urutan melakukan tindakan memiliki pertanyaan yang mencegah dia menyelesaikan tugas.

Sebagaimana dinyatakan dalam aturan, pertama-tama kita menemukan sebuah karya atau tertentu, dan kemudian segala sesuatu yang lain. Tapi kemudian ada tanda kurung! Bagaimana cara melanjutkan dalam kasus ini?

Memecahkan contoh dengan tanda kurung

Mari kita ambil contoh spesifik:

• Saat melakukan tugas ini, pertama-tama temukan nilai ekspresi yang diapit tanda kurung.
• Mulailah dengan perkalian, lalu tambahkan.
• Setelah ekspresi dalam tanda kurung diselesaikan, kami melanjutkan ke tindakan di luarnya.
• Menurut urutan operasi, langkah selanjutnya adalah perkalian.
• Langkah terakhir akan.

Seperti yang Anda lihat dalam contoh ilustratif, semua tindakan diberi nomor. Untuk mengkonsolidasikan topik, undang anak untuk memecahkan beberapa contoh sendiri:

Urutan nilai ekspresi yang harus dievaluasi sudah ditetapkan. Anak hanya perlu mengeksekusi keputusan secara langsung.

Mari kita memperumit tugas. Biarkan anak menemukan arti dari ekspresi mereka sendiri.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Ajari anak Anda untuk menyelesaikan semua tugas dalam versi konsep. Dalam hal ini, siswa akan memiliki kesempatan untuk memperbaiki keputusan atau noda yang salah. Koreksi tidak diperbolehkan dalam buku kerja. Saat mengerjakan tugas sendiri, anak-anak melihat kesalahan mereka.

Orang tua, pada gilirannya, harus memperhatikan kesalahan, membantu anak memahami dan memperbaikinya. Jangan membebani otak siswa dengan tugas dalam jumlah besar. Dengan tindakan seperti itu, Anda akan mengalahkan keinginan anak akan pengetahuan. Harus ada rasa proporsional dalam segala hal.

Istirahat. Anak harus dialihkan perhatiannya dan beristirahat dari kelas. Hal utama yang perlu diingat adalah tidak semua orang memiliki pola pikir matematis. Mungkin anak Anda akan tumbuh menjadi seorang filsuf terkenal.

Dan saat menghitung nilai ekspresi, tindakan dilakukan dalam urutan tertentu, dengan kata lain, Anda harus mengamati urutan tindakan.

Pada artikel ini, kami akan mencari tahu tindakan mana yang harus dilakukan terlebih dahulu, dan tindakan mana yang setelahnya. Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana, ketika ekspresi hanya berisi angka atau variabel yang dihubungkan dengan plus, minus, perkalian dan pembagian. Selanjutnya, kami akan menjelaskan urutan eksekusi tindakan apa yang harus diikuti dalam ekspresi dengan tanda kurung. Akhirnya, pertimbangkan urutan di mana tindakan dilakukan dalam ekspresi yang mengandung kekuatan, akar, dan fungsi lainnya.

Navigasi halaman.

Perkalian dan pembagian pertama, lalu penjumlahan dan pengurangan

Sekolah menyediakan sebagai berikut: aturan yang menentukan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi tanpa tanda kurung:

• tindakan dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan,
• di mana perkalian dan pembagian dilakukan terlebih dahulu, lalu penjumlahan dan pengurangan.

Aturan yang dinyatakan dirasakan cukup alami. Melakukan tindakan secara berurutan dari kiri ke kanan dijelaskan oleh fakta bahwa merupakan kebiasaan bagi kita untuk menyimpan catatan dari kiri ke kanan. Dan fakta bahwa perkalian dan pembagian dilakukan sebelum penambahan dan pengurangan dijelaskan oleh makna yang dibawa oleh tindakan-tindakan ini dalam dirinya sendiri.

Mari kita lihat beberapa contoh penerapan aturan ini. Sebagai contoh, kami akan mengambil ekspresi numerik paling sederhana agar tidak terganggu oleh perhitungan, tetapi untuk fokus pada urutan tindakan yang dilakukan.

Contoh.

Ikuti langkah 7−3+6 .

Larutan.

Ekspresi asli tidak mengandung tanda kurung, juga tidak mengandung perkalian dan pembagian. Oleh karena itu, kita harus melakukan semua tindakan secara berurutan dari kiri ke kanan, yaitu, pertama kita kurangi 3 dari 7, kita dapatkan 4, setelah itu kita tambahkan 6 ke selisih yang dihasilkan 4, kita dapatkan 10.

Secara singkat, solusinya dapat ditulis sebagai berikut: 7−3+6=4+6=10 .

Menjawab:

7−3+6=10 .

Contoh.

Tunjukkan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi 6:2·8:3 .

Larutan.

Untuk menjawab pertanyaan masalah, mari kita beralih ke aturan yang menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi tanpa tanda kurung. Ekspresi asli hanya berisi operasi perkalian dan pembagian, dan menurut aturan, mereka harus dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan.

Menjawab:

Pertama 6 dibagi 2, hasil bagi ini dikalikan 8, akhirnya, hasilnya dibagi 3.

Contoh.

Hitung nilai ekspresi 17−5·6:3−2+4:2 .

Larutan.

Pertama, mari kita tentukan dalam urutan apa tindakan dalam ekspresi asli harus dilakukan. Ini mencakup perkalian dan pembagian dan penambahan dan pengurangan. Pertama, dari kiri ke kanan, Anda perlu melakukan perkalian dan pembagian. Jadi kita kalikan 5 dengan 6, kita dapatkan 30, kita bagi angka ini dengan 3, kita dapatkan 10. Sekarang kita bagi 4 dengan 2, kita mendapatkan 2. Kami mengganti nilai yang ditemukan 10 alih-alih 5 6:3 dalam ekspresi asli, dan nilai 2 alih-alih 4:2, kami memiliki 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Tidak ada perkalian dan pembagian dalam ekspresi yang dihasilkan, sehingga tetap melakukan tindakan yang tersisa dalam urutan dari kiri ke kanan: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Menjawab:

17−5 6:3−2+4:2=7 .

Pada awalnya, agar tidak membingungkan urutan tindakan saat menghitung nilai ekspresi, akan lebih mudah untuk menempatkan angka di atas tanda tindakan yang sesuai dengan urutan pelaksanaannya. Untuk contoh sebelumnya, akan terlihat seperti ini: .

Urutan operasi yang sama - perkalian dan pembagian pertama, kemudian penambahan dan pengurangan - harus diikuti saat bekerja dengan ekspresi literal.

Langkah 1 dan 2

Dalam beberapa buku teks matematika, terdapat pembagian operasi aritmatika menjadi operasi langkah pertama dan kedua. Mari kita tangani ini.

Definisi.

Tindakan langkah pertama disebut penjumlahan dan pengurangan, sedangkan perkalian dan pembagian disebut tindakan langkah kedua.

Dalam istilah ini, aturan dari paragraf sebelumnya, yang menentukan urutan tindakan yang dilakukan, akan ditulis sebagai berikut: jika ekspresi tidak mengandung tanda kurung, maka dalam urutan dari kiri ke kanan, tindakan tahap kedua ( perkalian dan pembagian) dilakukan terlebih dahulu, baru kemudian tindakan tahap pertama (penjumlahan dan pengurangan).

Urutan pelaksanaan operasi aritmatika dalam ekspresi dengan tanda kurung

Ekspresi sering mengandung tanda kurung untuk menunjukkan urutan tindakan yang harus dilakukan. Pada kasus ini aturan yang menentukan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi dengan tanda kurung, dirumuskan sebagai berikut: pertama, tindakan dalam tanda kurung dilakukan, sedangkan perkalian dan pembagian juga dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan, kemudian penjumlahan dan pengurangan.

Jadi, ekspresi dalam tanda kurung dianggap sebagai komponen dari ekspresi asli, dan urutan tindakan yang sudah kita ketahui dipertahankan di dalamnya. Pertimbangkan solusi contoh untuk kejelasan yang lebih besar.

Contoh.

Lakukan langkah-langkah yang diberikan 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Larutan.

Ekspresi berisi tanda kurung, jadi pertama-tama mari kita lakukan operasi dalam ekspresi yang terlampir dalam tanda kurung ini. Mari kita mulai dengan ekspresi 7−2 3 . Di dalamnya, Anda harus terlebih dahulu melakukan perkalian, dan baru kemudian pengurangan, kami memiliki 7−2 3=7−6=1 . Kami meneruskan ke ekspresi kedua dalam tanda kurung 6−4 . Hanya ada satu tindakan di sini - pengurangan, kami melakukannya 6−4=2 .

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam ekspresi asli: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. Dalam ekspresi yang dihasilkan, pertama kita melakukan perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan, kemudian pengurangan, kita mendapatkan 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Pada ini, semua tindakan selesai, kami mematuhi urutan eksekusi berikut: 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Mari kita tulis solusi singkatnya: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

Menjawab:

5+(7−2 3)(6−4):2=6 .

Kebetulan ekspresi mengandung tanda kurung di dalam tanda kurung. Anda tidak perlu takut akan hal ini, Anda hanya perlu secara konsisten menerapkan aturan bersuara untuk melakukan tindakan dalam ekspresi dengan tanda kurung. Mari kita tunjukkan contoh solusi.

Contoh.

Lakukan tindakan dalam ekspresi 4+(3+1+4·(2+3)) .

Larutan.

Ini adalah ekspresi dengan tanda kurung, yang berarti bahwa eksekusi tindakan harus dimulai dengan ekspresi dalam tanda kurung, yaitu dengan 3+1+4 (2+3) . Ekspresi ini juga mengandung tanda kurung, jadi Anda harus terlebih dahulu melakukan tindakan di dalamnya. Mari kita lakukan ini: 2+3=5 . Mengganti nilai yang ditemukan, kami mendapatkan 3+1+4 5 . Dalam ekspresi ini, pertama-tama kita melakukan perkalian, lalu penjumlahan, kita memiliki 3+1+4 5=3+1+20=24 . Nilai awal, setelah mengganti nilai ini, mengambil bentuk 4+24 , dan tetap hanya menyelesaikan tindakan: 4+24=28 .

Menjawab:

4+(3+1+4 (2+3))=28 .

Secara umum, ketika tanda kurung di dalam tanda kurung ada dalam sebuah ekspresi, seringkali lebih mudah untuk memulai dengan tanda kurung dalam dan lanjutkan ke tanda kurung luar.

Sebagai contoh, katakanlah kita perlu melakukan operasi dalam ekspresi (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Pertama, kita melakukan tindakan dalam kurung internal, karena 4−6:2=4−3=1 , kemudian setelah itu ekspresi aslinya akan berbentuk (4+(4+1)1)−1 . Sekali lagi, kita melakukan aksi dalam kurung dalam, karena 4+1=5 , maka kita sampai pada ekspresi berikut (4+5−1)−1 . Sekali lagi, kami melakukan tindakan dalam tanda kurung: 4+5−1=8 , sementara kami sampai pada perbedaan 8−1 , yang sama dengan 7 .