• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan membicarakannya menghitung logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama kita akan memahami perhitungan logaritma menurut definisinya. Selanjutnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah ini, kita akan fokus menghitung logaritma melalui nilai logaritma lain yang ditentukan sebelumnya. Terakhir, mari pelajari cara menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori dilengkapi dengan contoh-contoh dengan solusi rinci.

Navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, hal ini dapat dilakukan dengan cukup cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah merepresentasikan bilangan b dalam bentuk a c, yang menurut definisi logaritma, bilangan c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, rantai persamaan berikut berhubungan dengan pencarian logaritma: log a b=log a a c =c.

Jadi, menghitung logaritma menurut definisi adalah mencari bilangan c sedemikian rupa sehingga a c = b, dan bilangan c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Dengan mempertimbangkan informasi di paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh pangkat tertentu dari basis logaritma, Anda dapat langsung menunjukkan berapa logaritmanya - sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan solusi dengan contoh.

Contoh.

Temukan log 2 2 −3, dan hitung juga logaritma natural dari bilangan e 5,3.

Larutan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 −3 =−3. Memang benar, bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat −3.

Demikian pula, kita menemukan logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.

Jika bilangan b di bawah tanda logaritma tidak ditentukan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mencermati apakah mungkin untuk menghasilkan representasi bilangan b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama bila bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2, ini memungkinkan Anda menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Mari kita beralih ke menghitung logaritma kedua. Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: (lihat jika perlu). Karena itu, .

Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari situlah kami menyimpulkan bahwa . Oleh karena itu, menurut definisi logaritma .

Secara singkat solusinya dapat ditulis sebagai berikut: .

Menjawab:

catatan 5 25=2 , Dan .

Jika terdapat bilangan asli yang cukup besar di bawah tanda logaritma, tidak ada salahnya untuk memfaktorkannya menjadi faktor prima. Seringkali membantu untuk merepresentasikan bilangan seperti pangkat dari basis logaritma, dan oleh karena itu menghitung logaritma ini berdasarkan definisi.

Contoh.

Temukan nilai logaritma.

Larutan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Sifat-sifat tersebut antara lain sifat logaritma satu dan sifat logaritma suatu bilangan sama dengan bilangan pokok: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1. Artinya, bila di bawah tanda logaritma terdapat angka 1 atau angka a yang sama dengan basis logaritma, maka dalam hal ini logaritmanya masing-masing sama dengan 0 dan 1.

Contoh.

Logaritma dan log10 sama dengan apa?

Larutan.

Karena , maka dari definisi logaritma berikut ini .

Pada contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal sepuluh sama dengan satu, yaitu lg10=lg10 1 =1.

Menjawab:

DAN lg10=1 .

Perhatikan bahwa penghitungan logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan persamaan log a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika bilangan di bawah tanda logaritma dan basis logaritma mudah direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan tertentu, akan sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu properti logaritma. Mari kita lihat contoh mencari logaritma yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritmanya.

Larutan.

Menjawab:

.

Properti logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya di paragraf berikut.

Menemukan logaritma melalui logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan properti logaritma saat menghitungnya. Namun perbedaan utamanya di sini adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita beri contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita mengetahui log 2 3≈1.584963, maka kita dapat mencari, misalnya log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Pada contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma suatu produk. Namun, lebih sering kita perlu menggunakan properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli melalui logaritma yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma 27 dengan basis 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b.

Larutan.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27 = 3 3 , dan logaritma aslinya, karena sifat logaritma pangkat, dapat ditulis ulang menjadi 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat cara menyatakan log 60 3 dalam logaritma yang diketahui. Sifat logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis memungkinkan kita untuk menulis log persamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= catatan 60 2 2 +catatan 60 3+catatan 60 5= 2·catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5 . Dengan demikian, 2 catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5=1. Karena itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Terakhir, kita menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Menjawab:

catatan 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus transisi ke basis baru dari bentuk logaritma . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya dari logaritma asli, dengan menggunakan rumus transisi, mereka berpindah ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini terdapat tabel logaritma yang memungkinkan nilainya dihitung dengan derajat tertentu. ketepatan. Di paragraf berikutnya kami akan menunjukkan bagaimana hal ini dilakukan.

Tabel logaritma dan kegunaannya

Untuk perhitungan perkiraan nilai logaritma dapat digunakan tabel logaritma. Tabel logaritma basis 2 yang paling umum digunakan, tabel logaritma natural, dan tabel logaritma desimal. Saat bekerja dalam sistem bilangan desimal, akan lebih mudah jika menggunakan tabel logaritma berdasarkan basis sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan Anda menemukan nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal) dengan akurasi sepersepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menggunakan contoh spesifik - lebih jelasnya seperti ini. Mari kita cari log1.256.

Di kolom kiri tabel logaritma desimal kita menemukan dua digit pertama dari angka 1,256, yaitu kita menemukan 1,2 (angka ini dilingkari biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari bilangan asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (bilangan ini dilingkari dengan garis hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka di sel tabel logaritma di perpotongan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot dengan warna oranye). Jumlah angka-angka yang ditandai memberikan nilai logaritma desimal yang diinginkan hingga desimal keempat, yaitu, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk mencari nilai logaritma desimal dari bilangan yang memiliki lebih dari tiga digit setelah koma, serta yang melampaui rentang 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana hal ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari kita hitung lg102.76332. Pertama, Anda perlu menulis nomor dalam bentuk standar: 102,76332=1,0276332·10 2. Setelah ini, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, yang kita punya 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal aslinya kira-kira sama dengan logaritma bilangan yang dihasilkan, yaitu kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita terapkan properti logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Terakhir, kita mencari nilai logaritma lg1.028 dari tabel logaritma desimal lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Hasilnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa dengan menggunakan tabel logaritma desimal Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk beralih ke logaritma desimal, mencari nilainya di tabel, dan melakukan penghitungan sisanya.

Misalnya, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus transisi ke basis logaritma baru, kita punya . Dari tabel logaritma desimal kita menemukan log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Dengan demikian, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Sifat-sifat dasar logaritma natural, grafik, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, turunan, integral, pemuaian deret pangkat dan representasi fungsi ln x menggunakan bilangan kompleks diberikan.

Definisi

Logaritma natural adalah fungsi y = di x, kebalikan dari eksponensial, x = ey, dan merupakan logaritma ke bilangan pokok e: ln x = log e x.

Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika karena turunannya memiliki bentuk paling sederhana: (ln x)′ = 1/ x.

Berdasarkan definisi, basis logaritma natural adalah bilangan e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafik fungsi y = di x.

Grafik logaritma natural (fungsi y = di x) diperoleh dari grafik eksponensial dengan pemantulan cermin relatif terhadap garis lurus y = x.

Logaritma natural didefinisikan untuk nilai positif dari variabel x. Ia meningkat secara monoton dalam domain definisinya.

Pada x → 0 limit logaritma naturalnya dikurangi tak terhingga (-∞).

Karena x → + ∞, limit logaritma naturalnya adalah ditambah tak terhingga (+ ∞). Untuk x besar, logaritma meningkat cukup lambat. Setiap fungsi pangkat x a dengan eksponen positif a tumbuh lebih cepat daripada logaritma.

Sifat-sifat logaritma natural

Domain definisi, kumpulan nilai, ekstrem, naik, turun

Logaritma natural merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Sifat-sifat utama logaritma natural disajikan dalam tabel.

dalam nilai x

dalam 1 = 0

Rumus dasar logaritma natural

Rumus berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma apa pun dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan rumus substitusi dasar:

Bukti rumus-rumus ini disajikan pada bagian "Logaritma".

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma natural adalah eksponen.

Jika kemudian

Jika kemudian.

Turunan ln x

Turunan dari logaritma natural:
.
Turunan dari logaritma natural modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Integral

Integral dihitung dengan integrasi per bagian:
.
Jadi,

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Perhatikan fungsi variabel kompleks z:
.
Mari kita nyatakan variabel kompleksnya z melalui modul R dan argumen φ :
.
Dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau
.
Argumen φ tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,
itu akan menjadi nomor yang sama untuk n yang berbeda.

Oleh karena itu, logaritma natural, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Kapan perluasan terjadi:

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kami akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah ini kita akan membahas identitas logaritma dasar.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma muncul ketika memecahkan masalah dalam arti terbalik tertentu, ketika Anda perlu mencari eksponen dari nilai eksponen yang diketahui dan basis yang diketahui.

Namun cukup kata pengantarnya, sekarang saatnya menjawab pertanyaan “apa itu logaritma”? Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Logaritma dari b ke basis a, di mana a>0, a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada tahap ini, kita perhatikan bahwa kata “logaritma” yang diucapkan seharusnya segera menimbulkan dua pertanyaan lanjutan: “angka berapa” dan “atas dasar apa”. Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya logaritma suatu bilangan ke basis tertentu.

Ayo segera masuk notasi logaritma: logaritma suatu bilangan b ke basis a biasanya dilambangkan dengan log a b. Logaritma bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 mempunyai sebutan khusus masing-masing lnb dan logb, yaitu yang ditulis bukan log e b, melainkan lnb, dan bukan log 10 b, melainkan lgb.

Sekarang kami dapat memberikan: .
Dan catatannya tidak masuk akal, karena yang pertama ada bilangan negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua ada bilangan negatif di basis, dan yang ketiga ada bilangan negatif di bawah tanda logaritma dan satuan di dasar.

Sekarang mari kita bicarakan aturan membaca logaritma. Log a b dibaca sebagai “logaritma b ke basis a”. Misalnya, log 2 3 adalah logaritma tiga dengan basis 2, dan merupakan logaritma dua koma dua pertiga dari akar kuadrat dasar lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma natural, dan notasi lnb berbunyi "logaritma natural dari b". Misalnya, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dua koma tujuh lima perseratus.

Ada baiknya memikirkan secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana pembatasan ini berasal. Persamaan bentuk yang disebut , yang secara langsung mengikuti definisi logaritma yang diberikan di atas, akan membantu kita melakukan hal ini.

Mari kita mulai dengan a≠1. Karena satu pangkat apa pun sama dengan satu, persamaan tersebut hanya berlaku jika b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, diasumsikan a≠1.

Mari kita membenarkan kelayakan kondisi a>0. Dengan a=0, berdasarkan definisi logaritma, kita akan mendapatkan persamaan, yang hanya mungkin terjadi dengan b=0. Namun log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang bukan nol, karena nol pada pangkat apa pun yang bukan nol adalah nol. Kondisi a≠0 memungkinkan kita menghindari ambiguitas ini. Dan ketika a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Terakhir, kondisi b>0 berasal dari pertidaksamaan a>0, karena , dan nilai pangkat dengan basis positif a selalu positif.

Untuk menyimpulkan poin ini, katakanlah definisi logaritma yang disebutkan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah pangkat tertentu dari basis. Memang definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=ap, maka logaritma bilangan b ke basis a sama dengan p. Artinya, persamaan log a a p =p benar. Misalnya kita mengetahui bahwa 2 3 =8, maka log 2 8=3. Kami akan membicarakan ini lebih lanjut di artikel.

Berhubungan dengan

tugas menemukan salah satu dari tiga angka dari dua angka lainnya dapat ditetapkan. Jika a dan kemudian N diberikan, maka keduanya ditemukan dengan eksponensial. Jika N dan kemudian a diberikan dengan mengambil akar derajat x (atau menaikkannya ke pangkat). Sekarang perhatikan kasus ketika, jika diketahui a dan N, kita perlu mencari x.

Misalkan bilangan N positif: bilangan a positif dan tidak sama dengan satu: .

Definisi. Logaritma bilangan N ke basis a adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk memperoleh bilangan N; logaritma dilambangkan dengan

Jadi, dalam persamaan (26.1) eksponennya ditemukan sebagai logaritma dari N ke basis a. Postingan